Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar uchun ba’zi natijalar
![ni olamiz. Bu yerdan umumiy ko‘paytuvchi P(A) ni qavs tashqarisiga chiqarib,
hamda 1 − P ( B ) = P ( B )
tenglikdan foydalansak, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
P ( A B ) = P ( A ) ( 1 − P ( B ) ) = P ( A ) P ( B ) .
Bu tenglik 4.2-ta’rifga ko‘ra A
va B
hodisalarning bog‘liqsizligini ko‘rsatadi.
Endi
A va B hodisalarning bog‘liqsizligini ko‘rsatamiz. Ikkilik munosabatiga
ko‘ra
A ⋅ B = A + B = Ω − ( A + B )
tenglik o‘rinli. P ( C ) = 1 − P ( C )
tenglikdan quyidagi tenglikni olamiz:
P ( A ⋅ B ) = 1 − P ( A + B ) = 1 − P ( A ) − P ( B ) + P ( AB ) .
A
va
B hodisalarning bog‘liqsizligi P ( AB ) = P ( A ) P ( B )
dan
P ( A ⋅ B ) = 1 − P ( A ) − P ( B ) + P ( A ) P ( B ) = [ 1 − P ( A ) ] [ 1 − P ( B ) ] = P ( A ) P ( B ) .
Bu tenglik
A va B hodisalarning bog‘liqsizligini isbotlaydi.
1.4-misol. Mavzuni 50 %
ga o‘zlashtirgan talabaga oraliq nazorat uchun 4 ta
savol berildi. Agar talaba barcha (4 ta) savolga to‘g‘ri javob bersa, unga a’lo – 5
baho qo‘yiladi. Faqat bitta savol javobini ko‘chirish shartida talabaning a’lo baho
olish ehtimolini toping. Uni shartsiz ehtimol bilan taqqoslang.
Yechish. Talabaning bitta savolga to‘g‘ri javob berish hodisasini A
bilan
belgilaylik. Masala shartiga ko‘ra P ( A ) = 1
2 va P ( A ) = 1
2 ekanligini olamiz. Quyidagi
AAAA,AAAA,AAAA,AAAA,AAAA(1.6 )
hodisalarning istalgan biri ro‘y berganda talaba a’lo baho oladi. Ya’ni
B= AAAA+AAAA+AAAA+AAAA+AAAA(1.7 )
talabaning a’lo baho olish hodisasidir. Chunki,
AAAA− ¿ talaba 4 ta savolning
barchasiga to‘g‘ri javob berish hodisasi, A A A A − ¿
talaba 1 , 2 ,
va 3 savollarga
to‘g‘ri javob beradi, lekin unda 4 – savolga to‘g‘ri javob yo‘q (u 4 – savolga
11](https://docx.uz/documents/e3b9faae-cec6-451b-ad98-86bc3e366ecb/page_10.png?v=1)
![Absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi. X−¿ absolyut
uzluksiz (1.7-ta’rifga qarang) tasodifiy miqdor, p ( x ) − ¿
uning zichlik funksiyasi
bo‘lsin.
Zichlik funksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz:
1.1-xossa. Zichlik funksiya manfiymas, ya’ni
p(x)≥0.
1.2-xossa. Absolyut uzluksiz X
tasodifiy miqdorning
(a;b) oraliqdan
qiymatlar qabul qilish ehtimoli zichlik funksiyadan shu oraliq bo‘yicha olingan
aniq integralga teng:
P({ω∈Ω :a<X (ω)<b})=∫a
b
p(x)dx = F(b)− F(a).(1.10 )
1.3-xossa. Zichlik funksiyasidan ( − ∞ , ∞ )
oraliq bo‘yicha olingan xosmas
integralning qiymati 1 ga teng, ya’ni
∫−∞
∞
p(x)dx =1
tenglik o‘rinli.
Endi eng ko‘p ishlatiladigan absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorlarni
keltiramiz. Biz absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyasi
hamda zichlik funksiyasini beramiz.
Tekis taqsimot.
[a;b] kesmada tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor absolyut
uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘lib, uning zichlik funksiyasi
p(x)=
{
1
b−a,agar x∈[a;b]
0,agar x∈R¿[a;b¿]
taqsimot funksiyasi esa
F
( x ) =
{ 0 , x ∈
( − ∞ ; a ) ,
x − a
b − a , agar x ∈
[ a ; b ] ,
1 , agar x ∈
( b ; ∞ )
19](https://docx.uz/documents/e3b9faae-cec6-451b-ad98-86bc3e366ecb/page_18.png?v=1)
![ko‘rinishga ega. Tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning [ a , b ]
kesma ichidagi
(x1,x2)
intervaldan qiymat qabul qilish ehtimoli, F ( x
2 ) − F ( x
1 ) = x
2 − x
1
b − a ga teng bo‘lib,
u shu intervalning uzunligiga proporsional.
Eksponensial taqsimot. Musbat
λ>0 uchun
p(x)={
0,x<0,
λe−λx,x≥0
zichlik funksiyaga ega bo‘lgan tasodifiy miqdorga
λ−¿ parametrli eksponensial
qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.
Bu tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
F
( x ) = { 0 , x < 0 ,
1 − e − λx
, x ≥ 0
ko‘rinishga ega ekanligini topish qiyin emas.
Normal taqsimot. Zichlik funksiyasi
φ
a , σ
( x ) = 1
σ √ 2 π e −
( x − a ) 2
2 σ 2
ko‘rinishga ega bo‘lgan tasodifiy miqdorga
(
a , σ 2 )
, a ∈ R , σ > 0 , parametrli normal
(yoki Gauss) qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.
Uning taqsimot funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega
Φa,σ(x)= 1
σ√2π∫−∞
x
e
−(t−a)2
2σ2 dt .(1.11 )
Xususan
a=0,σ=1 bo‘lganda normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot
zichligi va taqsimot funksiyasi
φ
0,1
( x ) = 1
√
2 π e − x 2
2
, Φ
0,1
( x ) = Φ ( x ) = 1
√
2 π ∫
− ∞x
e − t 2
2
dt
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Φ (x) taqsimotga standart normal qonun deyiladi.
20](https://docx.uz/documents/e3b9faae-cec6-451b-ad98-86bc3e366ecb/page_19.png?v=1)
![Φa,σ(x)=Φ(
x−a
σ )tenglik o‘rinli bo‘lganligi uchun normal qonunning
a va σ parametrlariga
taqsimotning "siljish" va "masshtab" parametrlari deb ataladi.
1.10-misol.
X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi FX(x)= K(x)
bo‘lsin. K − ¿
Kantorning zinapoya funksiyasi. X
ning singulyar uzluksiz tasodifiy
miqdor ekanligini ko‘rsating va
X tasodifiy miqdorning A = [ 1
3 ; 2
3 ]
oraliqdan
qiymatlar qabul qilish ehtimolini toping.
Yechish. Kantorning zinapoya funksiyasi
K singulyar uzluksiz ([3] yoki [5]
ga qarang) bo‘lganligi uchun 1.10-ta’rifga ko‘ra X
singulyar uzluksiz tasodifiy
miqdor bo‘ladi.
Endi
{ω∈Ω :X (ω)∈A} hodisa ehtimolini hisoblaymiz:
P ( { ω ∈ Ω : X ( ω ) ∈ A } ) = P ( { ω ∈ Ω : 1
3 ≤ X ( ω ) ≤ 2
3 } ) = K ( 2
3 ) − K ( 1
3 ) = 1
2 − 1
2 = 0.
1.11-misol.
Ω=[−π;π] , A
esa Ω dagi Borel to‘plamlari sistemasi,
P ( A ) = 1
2 π μ ( A )
. Bu yerda μ
Lebeg o‘lchovi.
ξ : Ω → R ; ξ ( ω ) = 1 − cos ω tasodifiy
miqdorning absolyut uzluksizligini ko‘rsating, uning taqsimot funksiyasi va zichlik
funksiyasini toping.
Yechish. Tasodifiy miqdor ξ ( ω ) = 1 − cos ω
ning qiymatlar sohasi
[0;2]
kesmadan iborat. Shunday ekan
x=0 va x=2 nuqtalar muhim nuqtalar hisoblanadi.
Taqsimot funksiya ta’rifiga ko‘ra (1.4-ta’rif) har bir
x∈R uchun
P ( { ω ∈ Ω : ξ ( ω ) ≤ x } )
ehtimolni hisoblashimiz kerak. Demak,
21](https://docx.uz/documents/e3b9faae-cec6-451b-ad98-86bc3e366ecb/page_20.png?v=1)
![{ω∈[− π;π]:1−cos ω ≤x}={ω∈[− π;π]:1− x≤cos ω}={ω
∅, x<0
, 0≤x≤2
Ω , x>2. Bu tenglikning ikkala tomonidan ehtimol olib quyidagilarni olamiz:
F
ξ ( x ) = P { ω ∈ Ω : 1 − cos ω ≤ x } =
{ 0 , x < 0
1
π arccos ( 1 − x ) , 0 ≤ x < 2
1 , x ≥ 2.
Ma’lumki, taqsimot funksiyadan olingan hosila zichlik funksiyaga teng,
ya’ni
p
ξ ( x ) = F
ξ'
( x ) =
{ 0 , x < 0
1
π 1 √
x ( x − 2 ) , 0 < x < 2
0 , x > 2.
1. 3-§. Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari
1.12-ta’rif.
(Ω ,A,P) – ehtimolliklar fazosi va ξ : Ω → R
tasodifiy miqdor
bo‘lsin. Har bir
x haqiqiy songa
P({ω∈Ω :ξ(ω)≤x})= Fξ(x)
sonni mos qo‘yuvchi akslantirishga
ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
deyiladi.
Demak,
ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi Fξ(x) yoki qisqacha
F ( x )
ko‘rinishida belgilanadi.
Amaliyotda ko‘p uchraydigan tasodifiy miqdorlardan ushbu ikki xilini
ajratish mumkin: diskret tasodifiy miqdorlar va uzluksiz tasodifiy miqdorlar.
Bu mavzuda biz faqat diskret tasodifiy miqdorlar bilan ishlaymiz.
Tasodifiy miqdorning eng sodda misoli sifatida
A∈A hodisaning indikatori
IA(ω)
ni qarash mumkin.
1.12-misol.
A∈A hodisaning indikatori IA(ω) quyidagicha aniqlanadi:
22](https://docx.uz/documents/e3b9faae-cec6-451b-ad98-86bc3e366ecb/page_21.png?v=1)
![1.5-xossa. Taqsimot funksiya uchun quyidagi limit munosabatlar o‘rinli: limx→−∞F(x)=0;limx→+∞F(x)=1.
1.6-xossa. F ( x )
taqsimot funksiya o‘ngdan uzluksiz:
lim
x → x
0 , x > x
0 F ( x ) = F ( x
0 ) .
1.4 − 1.6
xossalar taqsimot funksiyaning xarakteristik xossalari hisoblanadi.
1.4 −1.6
xossalarga ega bo‘lgan har qanday F ( x )
funksiya uchun shunday
ξ tasodifiy
miqdor mavjudki uning taqsimot funksiyasi F ( x )
ga teng bo‘ladi.
Taqsimot funksiyaning 1.4 va 1.5 xossalaridan uning qiymatlari 0 va 1
orasida joylashishi kelib chiqadi, ya’ni
0≤F(x)≤1.
Taqsimot funksiyaning xossalaridan quyidagi tasdiqlar ham kelib chiqadi: ξ
tasodifiy miqdorning
¿ oraliqdan qiymatlar qabul qilish ehtimoli taqsimot
funksiyaning shu oraliqdagi orttirmasiga teng
P ( { ω ∈ Ω : α < ξ ( ω ) ≤ β } ) = F ( β ) − F ( α ) .
1.7-xossa. Agar tasodifiy miqdorni qiymatlari
[a;b] oraliqda bo‘lsa, u holda
barcha x ∈ ( − ∞ ; a )
larda F ( x ) = 0
va barcha
x∈¿ larda F(x)=1 bo‘ladi.
1.13-misol. ξ
diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan:
Uning
taqsimot ko‘pburchagini yasang.
Yechish. To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida abssissalar o‘qiga
mumkin bo‘lgan
xi qiymatlarni, ordinatalar o‘qiga esa mos pi ehtimollarni
qo‘yamiz. Natijada
M 1(1;0,2 ), M 2(3;0,1 ) , M 3(6;0,4 ) va M 4(8;0,3 ) nuqtalarni
topamiz. Bu nuqtalarni to‘g‘ri chiziq kesmalari bilan tutashtirib, izlanayotgan
taqsimot ko‘pburchagini hosil qilamiz.
24
ξ
1 3 6 8
P
0,2 0,1 0,4 0,3](https://docx.uz/documents/e3b9faae-cec6-451b-ad98-86bc3e366ecb/page_23.png?v=1)
![2.1-xossa ∀ x
1 0 ≤ F( x
1 , x
2 , … x
n ) ≤ 1
ya ni taqsimot funksiya chegaralangan. ʻ
2.2-xossa F
( x
1 , x
2 , … x
n ) funksiya har qaysi argumenti bo yicha kamayuvchi ʻ
emas va chapdan uzluksiz.
2.3-xossa Agar biror x
1 → + ∞
bo lsa, u holda
ʻ
limx→∞F(x1,x2,…xn)= F(xn,,… x1∞x1,… xn)
= F
N
1 , N
2 , .. N
n ( X
1 , X
2 , … X
n ) (2.2)
2.4-xossa Agar biror x
1 → + ∞
bo lsa, u holda
ʻ limx→∞F(x1,x2,…xn)=1 3-xossa
yordamida keltirib chiqarilgan (2.2) taqsimot funksiyaga marginal(xususiy)
taqsimot funksiya deyiladi. X=
(X1,X2,…Xn) tasodifiy vektorning barcha marginal
taqsimot funksiyalari soni
k = C
n1
+ C
n2
+ ... + C
nn − 1
=
∑
k = 0n
C
nk
− C
nk
− C
nn
=
2n− 2 ga tengdir.
Masalan,
X=(X1,X2,…Xn)(n= 2) ikki o lchovlik tasodifiy vektorning marginal ʻ
taqsimot funksiyalari soni
k=22−2=2 ta bo lib, ular quyidagilardir: ʻ
F(x2,,+∞)= F1,(x1)= P(X¿¿1,<x2);F(+∞ ,x2)= F2,(x2)= P(X ¿¿2<x2)¿¿
Kelgusida biz uchun tasodifiy miqdorlar bilan bir qatorda tasodifiy vektorlar
yokiko p o lchovli tasodifiy miqdorlar tushunchasi ham judazarur.
ʻ ʻ
Biz asosan ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlarlar haqida ma’lumotlar
keltiramiz, n
o‘lchovli tasodifiy miqdor ta’rifi va ular haqidagi qo‘shimcha
ma’lumotlarni masalan, [3] adabiyotdan qarab olish mumkin.
2.3-ta’rif. Faraz qilaylik,
(Ω ,A,P) ehtimollar fazosida aniqlangan ξ
va η
tasodifiy miqdorlar berilgan bo‘lsin.
ζ=(ξ,η) vektorga tasodifiy vektor yoki ikki
o‘lchamli tasodifiy miqdor deyiladi.
Bizga
a1<b1,a2<b2 tengsizliklarni qanoatlantiruvchi a1,a2 va b1,b2 haqiqiy
sonlar berilgan bo‘lsin. U holda
{ω∈Ω :a1<ξ(ω)≤b1,a2<η(ω)≤b2}=¿
¿{ω ∈Ω :a1<ξ(ω)≤b1} {ω∈Ω :a2<η(ω)≤b2}∈A(2.3 )
27](https://docx.uz/documents/e3b9faae-cec6-451b-ad98-86bc3e366ecb/page_26.png?v=1)
![Fξ,η(x,y)= P({ω∈Ω :ξ(ω)≤x,η(ω)≤ y})ikki o‘lchovli funksiya ζ = ( ξ , η )
tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi yoki ξ
va
η
tasodifiy miqdorlarning birgalikdagi taqsimot funksiyasi deyiladi.
Ikki o‘lchovli taqsimot funksiya F
ξ , η ( x , y )
ni biz ba’zan, qulaylik uchun ξ , η
indekslarini tushirib qoldirib,
F(x,y) shaklida yozamiz.
Δ
a
1 b
1 F
orqali
F(x,y) funksiyaning x argumenti bo‘yicha ¿
yarim intervaldagi
Δ
a
1 b
1 F ( x , y ) = F ( b
1 , y ) − F ( a
1 , y )
orttirmasini belgilaylik. Agar
¿ × ¿ = { ( x , y ) ∈ R 2
: a
1 < x ≤ b
1 , a
2 < y ≤ b
2 }
orqali
R 2
dagi yarim ochiq to‘g‘ri to‘rtburchakni belgilasak, u holda
P
ζ
(( a
1 , b
1 ] × ( a
2 , b
2 ]) = Δ
a
2 b
2 Δ
a
1 b
1 F ( x , y ) = Δ
a
2 b
2 ( F ( b
1 , y ) − F ( a
1 , y ))
¿ F
( b
1 , b
2 ) − F ( b
1 , a
2 ) − [ F ( a
1 , b
2 ) − F ( a
1 , a
2 )] ( 2.5 )
tenglik o‘rinli. (2.5) tenglik
ζ tasodifiy vektorning ¿×¿ yarim ochiq to‘g‘ri
to‘rtburchakdan qiymatlar qabul qilish ehtimolidir.
Ikki o‘lchovli taqsimot funksiyalarning xossalari. F ( x , y )
funksiya
ζ=(ξ,η)
tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Ikki o‘lchovli F ( x , y )
taqsimot funksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz:
2.5-xossa. Monotonlik xossasi:
F(x,y) funksiya tayinlangan x da y
argument bo‘yicha kamaymaydigan va o‘ngdan uzluksiz. Xuddi shunday bu
funksiya tayinlangan
y da x bo‘yicha kamaymaydigan va o‘ngdan uzluksizdir.
2.6-xossa.
limx→+∞Fξ,η(x,y)= Fη(y),limy→+∞Fξ,η(x,y)= Fξ(x).
2.7-xossa. lim
x → − ∞ F
ξ , η ( x , y ) = lim
y → − ∞ F
ξ , η ( x , y ) = 0.
2.8-xossa. barcha a
1 < b
1 , a
2 < b
2 lar uchun
Δa1b1Δa2b2F(x,y)≥0.
29](https://docx.uz/documents/e3b9faae-cec6-451b-ad98-86bc3e366ecb/page_28.png?v=1)
![2.1-lemma. (2.11) tenglik bilan aniqlangan ξ1,ξ2,… ,ξn tasodifiy miqdorlar
birgalikda bog‘liqmas bo‘lishi uchun
A1,A2,… ,An hodisalar birgalikda bog‘liqmas
bo‘lishi zarur va yetarli.
2.2-lemma. (2.11) tenglik bilan aniqlangan ξ
1 , ξ
2 , … , ξ
n tasodifiy miqdorlar
bir xil taqsimlangan bo‘lishi uchun
P(A1)= P(A2)=… = P(An) va
x1= x2=… = xn,y1= y2=… = yn
tengliklarning bajarilishi zarur va yetarli.
Bog‘liqmas n
ta tajriba o‘tkazilgan bo‘lsin. Faraz qilaylik, Ω
k ,
k − ¿
tajribaning elementar hodisalar fazosi,
Ak esa Ωk ning qism to‘plamlaridan tashkil
topgan algebra (yoki σ
algebra), P
k esa ( Ω
k , A
k )
o‘lchovli fazoda kiritilgan ehtimol
o‘lchovi bo‘lsin. U holda
(Ωk,Ak,Pk) ehtimollar fazosini k – tajribaning matematik
modeli va ( Ω
1 , A
1 , P
1 ) ,
( Ω
2 , A
2 , P
2 )
,
… , ( Ω
n , A
n , P
n )
ketma-ketlikni esa tajribalar
ketma-ketligining modeli deb atash mumkin. Ko‘p hollarda
ξ1:Ω1→ R, ξ2:Ω2→ R,
..., ξ
n : Ω
n → R
tasodifiy miqdorlar tajribalar bog‘liqmas bo‘lganligi uchun ular
bog‘liqmas tasodifiy miqdorlar bo‘ladi deb tasdiq aytishadi.
Buni biz quyidagi matematik model yordamida tushuntirishga xarakat
qilamiz. Faraz qilaylik,
Ωk sonlar o‘qi R yoki uning biror qismi [ak,bk] kesma
bo‘lsin. A
k = B ( Ω
k )
ya’ni Ω
k dagi Borel to‘plamlari sinfi, P
k esa
(Ωk,Ak) o‘lchovli
fazoda kiritilgan ehtimol o‘lchovi bo‘lsin. Xususan,
Ωk=[ak,bk] bo‘lganda
P
k ( A ) = 1
b
k − a
k μ ( A )
deyish mumkin. Bu yerda
μ sonlar o‘qidagi Lebeg o‘lchovi.
O‘tkazilgan n
ta bog‘liqmas tajribaning matematik modeli quyidagicha bo‘ladi.
Elementar hodisalar fazosi
Ω= Ω1×Ω2×⋯×Ωn dekart ko‘paytma, A = B ( Ω )
esa
Ω= Ω1×Ω2×⋯×Ωn
dagi Borel to‘plamlari sinfi, ehtimol o‘lchovi P esa Pk
o‘lchovlarning dekart ko‘paytmasi bo‘ladi. Xususan, Ω
k = [ a
k , b
k ]
bo‘lganda
P ( A ) = 1
b
1 − a
1 1
b
2 − a
2 ⋯ 1
b
n − a
n μ ( A )
bo‘ladi. Bu yerda μ ,
esa
Rn dagi Lebeg o‘lchovi.
38](https://docx.uz/documents/e3b9faae-cec6-451b-ad98-86bc3e366ecb/page_37.png?v=1)
![bilan bog‘liqmasligi kelib chiqadi. C1,C2 va D hodisalar ko‘paytmasi
C
1 C
2 D =
( 0 , π
2 ) ekanligidan
P
( { ω ∈ ¿ : ξ
1 ( ω ) = 1 , ξ
2 ( ω ) = 1 , ξ
3 ( ω ) = 1 } ) = P ( C
1 C
2 D ) = 1
4
tenglikni olamiz. Ikkinchi tomondan
P
( { ω : ξ
1 ( ω ) = 1 } ) ⋅ P ( { ω : ξ
2 ( ω ) = 1 } ) ⋅ P ( { ω : ξ
3 ( ω ) = 1 } ) = 1
2 ⋅ 1
2 ⋅ 1
2 = 1
8 ≠ 1
4 .
Demak,
ξ1,ξ2,ξ3 tasodifiy miqdorlarni birgalikda bog‘liqmas emas.
2.4-misol. Ω = ¿ × ¿
– elementar hodisalar fazosi. σ
– algebra A
sifatida Ω
dagi Borel to‘plamlari sistemasini qaraymiz, ehtimol o‘lchovi
P sifatida
P ( A ) = μ ( A )
ni olamiz. Bu yerda μ
tekislikdagi Lebeg o‘lchovi. ( Ω , A , P )
ehtimollar
fazosida
ξ(ω)=ξ(ω1,ω2)= ω1
va
η ( ω ) = I
A ( ω ) =
{ 1 , ω ∈ A
0 , ω ∉ A .
tasodifiy miqdorlarni qaraymiz. Bu yerda
A=¿×¿.
ξ
va η
tasodifiy miqdorlarni bog‘liqmaslikka tekshiring.
Yechish. 1 – usul. Tasodifiy vektor ζ = ( ξ , η )
ning taqsimot funksiyasini
topamiz:
{ω∈Ω :ξ(ω)≤x,η(ω)≤y}=
{
∅, x<0yoki y<0
׿, 0≤x<1,0≤y<1
×[0;1], 0≤x<1,y≥1
A, x≥1,0≤ y<1
Ω , x≥1,y≥1.
(2.17 )
( 2.17 )
tenglikning ikkala tomonidan ehtimol olib, ξ
va η
tasodifiy miqdorlarning
birgalikdagi taqsimot funksiyasi
Fξ,η(x,y) ni olamiz:
42](https://docx.uz/documents/e3b9faae-cec6-451b-ad98-86bc3e366ecb/page_41.png?v=1)
![XULOSA
Ushbu bitiruv malakaviy ishi ko’p o’lchovli tasodifiy miqdorlar uchun ba’zi
natijalarga bag’ishlangan bo’lib, asosan ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarning
taqsimot funksiyalari va bog’liqmasligiga doir masalalar qaralgan. Jumladan
ishning birinchi bobida bog’liqmaslik tushunchasi dastlab hodisalar uchun kiritildi.
Keyin esa bir o’lchovli tasodifiy miqdor va uning taqsimot funksiyasiga doir
asosiy ta’rif va tasdiqlar keltirildi. Taqsimot funksiyani qurish usullari diskret va
absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun misollarda tushuntirildi.
Bitiruv ishining ikkinchi bobida ko’p o’lchovli tasodifiy miqdorlar haqida
so’z boradi. Bu bobda ko’p o’lchovli tasaodifiy miqdorlar uchun asosiy ta’rif
tushunchalar keltirildi va ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarning bog’liqmasligiga
oid qiziqarli masalalar batafsil yechib ko’rsatilgan. Bundan tashqari II bobda ba’zi
ikki o’lchovli taqsimotlar keltirib o’tilgan.
Bitiruv malakaviy ishida keltirilgan nazariy ma’lumotlar ta’rif va xossalarni
keltirishda asosan [1], [2], [5], [8] adabiyotlardan foydalanildi. Masalalar va ularni
yechish usullari asosan [5] adabiyotdan tanlab olingan.
Ishni bajarish jarayonida ehtimollik fazolarda berilgan ko’p o’lchovli
tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot funksiyalari xossalaridan samarali
foydalanish usullari keltirildi.
45](https://docx.uz/documents/e3b9faae-cec6-451b-ad98-86bc3e366ecb/page_44.png?v=1)
Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar uchun ba’zi natijalar