Ko‘p o‘zgaruvchili silliq qavariq funksiyalar va ularning tatbiqlari - Педагогика - Дипломные работы

Информация о документе

Цена	12000UZS
Размер	92.6KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Дипломные работы
Предмет	Педагогика

Ko‘p o‘zgaruvchili silliq qavariq funksiyalar va ularning tatbiqlari

Купить

KO’P O’ZGARUVCHILI SILLIQ QAVARIQ FUNKSIYALAR VA
ULARNING TATBIQLARI

M U N D A R I J A
Kirish ………………………………………………………...........................6
1. Qavariq funksiyalar va Sirtlar nazaryasining asosiy tushunchalari.
1.1 Sirtlar haqida va silliq sirt tushunchasi ……………………………………….7
1.2 Qavariq to’plamlar va qavariq funksiyalar ………………………………….10
1.3 Karrali Furye almashtirishlari va sirtda mujassamlashgan silliq Borel
o’lchovlari
…………………………………………………………………………………….16
2. Silliq qavariq funksiyalar uchun Shuls yoyilmasi.
2.1 Nyuton ko’pyoqliklari va muvofiqlashgan koordinatalar sistemasi
…………………………………………………………………………………….21
2.2 Qavariq funksiyalar uchun Shults yoyilmasi ……..…………………………28
2.3 Shuls yoyilmasiga doir misollar ……………………………………………..34
Xulosa …………………………………………………………………………...3
7
Adabiyotlar ro`yxati ………………………………………………………........37

KIRISH
1.Masalaning qo’yilishi.
Tebranuvchan integrallani tatqiq qilishda uning faza funksiyasi deb ataluvchi
funksiyalarning xossalari muhim ahamyatga ega. Keng ma’noda tebranuvchan
integrallarning asimptotik baholari zamonaviy matematikaning ko’plab sohalarida
muhim o’rin egallaydi.Shu sababli fazasi silliq qavariq funksiya bo’lgan
tebranuvchan integrallarga bog’liq masalalarni o’rganish muhim ahamyat kasb
etadi.
2.Masalaning dolzarbligi.
Qavariq silliq funksiyalarning funksional xossalarini o’rganish ko’plab masalalarni
tatqiq qilishda , xususan tebranuvchan integrallarni baholash masalalarini
yechishda qo’llaniladi.
3.Ilmiy tatqiqot metodlari.
Bitiruv malakaviy ishini bajarishda differensial va integral hisob, asimptotik analiz
usullaridan keng foydalanilgan.
4.Ilmiy ishning ahamyati.
Malakaviy bitiruv ishi referativ xarakterga ega.
5.Ishning malakaviy ahamyati.
Bu ishda olingan natijalar garmonik analiz, matematik fizika tenglamalari,
ehtimollar nazaryasi va matematikaning boshqa ko’pgina bo’limlarida qo’llaniladi.
6.Ishning maqsadi.
Qavariq funksiya haqida tushuncha va xossalari, qavariq funksiyalar uchun Shults
yoyilmasi va uning tatbiqlarini o’rganish.
7.Ishning tuzulishi.
Malakaviy bitiruv ishida bir o’zgaruvchili va ko’p o’zgaruvchili qavariq
funksiyalarning ba’zi xossalari, ixtiyoriy qavariq funksiya uchun Shults yoyilmasi
va uning tatbiqlari o’rganilgan.
2

Ish ikki bob 6 ta paragrafdab iborat bo’lib , birinchi bobda bir va ko’p
o’zgaruvchili qavariq funksiyalar,qavariq to’plamlar va ularning xossalari
o’rganilagan.
Ishning ikkinchi bobida esa qavariq funksiyalar uchun uning Shults yoyilmasi
haqidagi asosiy teoremaning isboti o’rganilgan bo’lib, teoremaga doir bir nechta
misollar tatqiq qilingan.
3

I - BOB. SIRTLAR HAQIDA
1.1.§ SIRTLAR HAQIDA VA SIRT TUSHUNCHASI
Biz Rn−¿ orqali n−¿ o’lchovli haqiqiy arifmetik fazoni belgilaymiz. ( n−¿
o’lchovli nuqta deb
n ta haqiqiy sonlardan tuzilgan M (x1,x2,… ,xn) sistemaga
aytamiz.) x
1 , x
2 , … , x
n lar
M nuqtaning koordinatalari deb aytiladi. Faraz qilgan
barcha
n−¿ o’lchovli nuqtalar to’plami n−¿ o’lchovli arifmetik fazoni tashkil
etadi[17].
n=3 bo’lganda bu (x1,x2,x3) uchliklardan tuzilgan to’plam bo’lib bu biz
bilgan oddiy uch o`lchovli fazo bo’ladi. Biz keyingi barcha mulohazalarimizni
fazoda qarab ketamiz. Endi sirtlarning berilish usullarini qarab chiqamiz. Sirtlar
quyidagi ko’rinishlarda berilishi mumkin:
a) Oshkor ko’rinishda:
xn+1= f(x1,x2,… ,xn);(x1,x2,… ,xn)∈G
b) Oshkormas ko’rinishda:
F(x1,x2,… ,xn,xn+1)=0,(x1,x2,… ,xn,xn+1)∈U ,∇ F≠0
c ) Parametrik ko’rinishda:
x1= x1(u1,u2,… ,un−1),x2= x2(u1,u2,… ,un−1),… xn= xn(u1,u2,… ,un−1),(u1,u2,… ,un−1)∈U
d)Vektor ko’rinishda:
r= r(u1,u2,… ,un−1)∈U
Bu yerda
G−¿ tekislikdagi soha, U esa fazodagi soha. Masalan markazi
O
( 0,0 , … , 0 )
da radiusi r
ga teng sferaning F ( x
1 , x
2 , … , x
n , x
n + 1 ) ≡ x
12
+ … x
n2
+ x
n + 12
− r 2
= 0
oshkormas ko’rinishda, x = r cos u sin v , y = r sin u sin v , z = r cos v
parametrik
ko’rinishda,
x=¿
0≤u<2π,0≤v≤π
vektor ko’rinishda.
Rn+1−¿
fazoda to’g’ri burchakli (O x1x2… xn) dekart koordinatalar sistemasi berilgan
bo’lsin.
4

Ta’rif 1.1. Agar G−(O x1x2… xn) tekislikdagi ochiq to’plam bo’lib va
xn+1= f(x1,x2,… ,xn);(x1,x2,… ,xn)∈G(1.1 )
funksiya
G da 1- tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lsa, u holda bu
funksiya chizgan
S∈Rn to’plam – silliq deyiladi.
Bu holda biz sirtni
xn+1=0 tekislikka proyeksiyalanadi deymiz. (1.1) tenglik
bilan aniqlangan funksiya
(x1,x2,… ,xn,xn+1)∈S va (x1,x2,… ,xn)∈G nuqtalarni bir
biriga bir qiymatli mos qo’yadi ya’ni S ⇆ G

Agar
G−¿ chegaralangan soha va γ−¿ uning chegarasi bo’lib f funksiyaning
xususiy hosilalari
∂ f
∂xi
,i∈{1,2 ,… ,n}
nafaqat uzluksiz balki,
G da tekis uzluksiz ham bo’lsa u holda f va uning xususiy
hosilalarini
γ gacha uzluksiz davom ettirish mumkin. Biz bunday
z = f
( x
1 , x
2 , … , x
n )(( x
1 , x
2 , … , x
n ) ∈ G )
davom ettirilgan funksiyani silliq
S bo’lak
chizadi deymiz.
Г= S¿S to’plam S ning chegarasi deyiladi. Uning xn+1=0
tekislikdagi proyeksiyasi
γ dir. Agar γ bo’lakli silliq chiziq bo’lsa
x1= x1(u1,u2,… ,un−1),x2= x2(u1,u2,… ,un−1),… xn= xn(u1,u2,… ,un−1),(u1,u2,… ,un−1)∈U
x
n + 1 = f
( x
1 , x
2 , … , x
n ) ,( u
1 , u
2 , … , u
n − 1 ) ∈ U
Bunday holda
S ni elementar silliq bo’lak deb ataymiz. Agar A0=(x10,x20,… xn0)
funksiya chizilgan silliq sirtning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsa, u holda G
ning ochiq
to’plamligidan va
f ning uzluksizligidan ∀ δ1>0 son uchun ∃δ2 son topiladiki,
∆= {|xi− xi0|≤δ1,,|xn+1− xn+10 |≤δ2},i∈{1,2 ,… ,n}(1.2 )
to’g’ri burchakli parallelepiped
S dan elementar silliq δ bo’lak qirqib oladi.
xn+1= f(x1,x2,… ,xn)((x1,x2,… ,xn)∈∆'),∆'={|xi− xi0|≤δ1,|xn+1− xn+10 |≤δ2}⊂G
,
5

shunday qilib,
∆ '
− ∆ ning xn+1=0 tekislikdagi proeksiyasi bo`ladi. Endi bu ta’rifni
hech bir koodinatalar tekisligiga proyeksiyalanmaydigan sirtlarga kengaytiramiz.
Faraz qilaylik
S ⊂ R n + 1
bo’lsin. Agar
S dan olingan har qanday

A0=(x10,x20,… xn0) nuqta uchun uning shunday bir
∆= {|xi− xi0|≤δ1,,|xn+1− xn+10 |≤δ2},i∈{1,2 ,… ,n}
atrofini ko’rsatish mumkin bo’lsaki, u
S dan hech bo’lmaganda
xi= fi(x1,x2,… xi−1,xi+1… ,xn),{|xj− xj0|≤δ1,|xi− xi0|≤δ2},i≠ ji∈{1,2 ,… ,n}
larning birortasi yordamida ifodalanadigan δ
silliq sirt ajratsa S
ga silliq sirt
deyiladi. Faraz qilaylik
Ω − R n + 1
dagi ochiq to’plam bo’lsin va unda ∀ F
( x , y , z )
funksiya berilgan bo’lsin. U holda quyidagi teorema o’rinli.
Teorema 1.1. Agar F
( x
1 , x
2 , … , x
n , x
n + 1 ) funksiya va uning barcha xususiy
hosilalari uzluksiz bo’lib,
∑
i = 0n + 1
(
∂ F
∂ x
i ) 2
> 0 , (( x
1 , x
2 , … , x
n , x
n + 1 ) ∈ Ω )( 1.4 )
bajarilsa, u holda
S =
{( x
1 , x
2 , … , x
n , x
n + 1 ) ∈ Ω ; F ( x
1 , x
2 , … , x
n , x
n + 1 ) = 0 } ≠ ∅ ( 1.5 )
bo’lganda S
to'plam silliq sirtni ifodalaydi.
1.2.§ QAVARIQ FUNKSIYALAR VA ULARNING ASOSIY XOSSALARI.
Ta’rif 1.2. Agar
M ⊂ Rn to’plam o’zining iztiyoriy x , y ∈ M
nuqtalarini
tutashtiruvchi
[ x , y ]
kesmani ham o’zida saqlasa, M ga qavariq to’plam deyiladi.
Ta’rif 1.3 . Agar biror
x∈E nuqta va ixtiyoriy y∈Rn uchun shunday ε= ε(y)>0
son mavjud bo’lib , barcha t,
|t|<ε larda x+ty ∈Rn munosabat bajarilsa ,
x ∈ R n
nuqta
6

M ⊂ Rn to’plamning yadrosiga tegishli deyiladi. M ⊂ Rn to’plamning yadrosi- J(M )
bilan belgilanadi, ya’ni
J
( M ) = { x ∈ M : ∀ y ∈ R n
, ∃ ε = ε ( y ) > 0 , | t| < ε , x + ty ∈ R n }
Ta’rif 1.4. Yadrosi bo’sh bo’lmagan qavariq to’plam qavariq jism deyiladi.
Tasdiq.
R3 -fazoda kub, shar, tetraedr, tekislikda to’g’ri to’rburchak, doira,
uchburchak qavariq jism bo’ladi.
Tasdiq. Agar M
qavariq to’plam bo’lsa unng yadrosi J
( M )
ham qavariq
to’plam bo’ladi.
Isbot. Haqiqatan ham, x , y ∈ J
( M )
va z = ∝ x + ( 1 − ∝ ) y ,
∝ ∈[0.1 ] bo’lsin. U
holda ixtiyoriy
a∈Rn uchun shunday ε
1 > 0
, ε2>0 sonlar mavjudki, | t
1 | < ε
1 , |t2|<ε2
shartni qanoatlantiruvchi barcha
t1,t2 larda x + t
1 a
va x + t
2 a
elementlar M to’plamda
yotadi. Bundan kelib chiqadiki, barcha
|t|<ε,ε= min (ε1,ε2) larda
∝
( x + ta ) + ( 1 − ∝ )( y + ta ) = ∝ x + ( 1 − ∝ ) y + ∝ ta + ( 1 − ∝ ) ta = z + ta ∈ M ,
ya’ni z ∈ J
( M )
munosabat o`rinli bo`ladi.
Teorema . Istalgan sondagi qavariq to’plamlarning kesishmasi yana qavariq
to’plam bo’ladi.
Isbot . Faraz qilaylik,
M =¿τM τ
bo’lib, barcha
M τ lar qavariq to’plamlar bo’lsin, x va y lar M ning ikki ixtiyoriy
nuqtasi bo’lsin. U holda x
va y
nuqtalarni tutashtiruvchi
[x,y] kesma M
τ larning har
biriga qarashli va demak, M ga ham qarashli bo’ladi. Shunday qilib M haqiqatda
qavariq to’plam ekan.
Ta’rif 1.5. Haqiqiy qiymatli va haqiqiy o’zgaruvchili f
( x )
funksiya qavariq
deyiladi , agar ∀ x
1 , x
2 lar uchun
7

f( x
1 + x
2
2 ) ≤ 1
2 ( f ( x
1 ) + f ( x
2 ))( 1.6 )
tengsizlik bajarilsa.
Biz bundan keyin faqat uzluksiz qavariq funksiyalar bilan ish ko’ramiz. Endi agar
(1.6) tengsizlik bajarilsa, u holda ∀ α ∈
[ 0,1 ]
uchun
f(∝ x1+(1−∝ )x2)≤∝ f(x1)+(1−∝ )f(x2)(1.7 )
shart bajarilishini ko’tsatamiz. (1.7) tengsizlik Iensen tengsizligi deb ham aytiladi
[19].
Isbot. Teskarisidan faraz qilamiz, (1.7) tengsizlik barcha
∝ larda bajarilmasin. U
holda uzluksiz
F
( ∝ ) = f [ ∝ x
1 + ( 1 − ∝ ) x
2 ] − ∝ f ( u
1 ) − ( 1 − ∝ ) f ( x
2 )
funksiyaning
[0,1 ] dagi eng katta M 0 qiymati musbat bo’ladi. f ( ∝ )
funksiyaning M 0
erishadigan eng kichik nuqtasini ∝
0 orqali belgilaymiz. U holda ∃ δ > 0
mavjudki,
[
∝
0 − δ , ∝
0 + δ ] ⊂ [ 0,1 ]
bo’ladi. (1.2.1) tengsizlikni
u1¿=¿
u
2¿
= ¿
nuqtalarga qo’llasak quyidagilarni yozish mumkin.
f
[ ∝ x
1 + ( 1 − ∝ ) x
2 ] ≤ 1
2 f (( ∝
0 − δ ) x
1 + ( 1 − ∝
0 + δ ) x
2 ) + ¿
+ 1
2 f
(( ∝
0 + δ ) x
1 + ( 1 − ∝
0 − δ ) x
2 ) :
F
( ∝
0 ) = f ( ∝
0 x
1 + ( 1 − ∝
0 ) x
2 ) − ( ∝
0 ) f ( x
1 ) − ( 1 − ∝
0 ) f ( x
2 ) :
f(∝0− δ)= M ((∝0−δ)u1+(1−∝0+δ)u2)−(∝0− δ)M (u1)− ¿
−(1−∝0+δ)f(x2):
F
( ∝
0 + δ ) = f (( ∝
0 + δ ) x
1 + ( 1 − ∝
0 − δ ) x
2 ) − ( ∝
0 + δ ) f ( x
1 ) − ¿
8

−( 1 − ∝
0 − δ ) f ( x
2 ) :
F
( ∝
0 − δ ) + F ( ∝
0 + δ ) = f (( ∝
0 − δ ) x
1 + ( 1 − ∝
0 + δ ) x
2 ) + ¿
+ f((∝ 0+δ)x1+(1−∝ 0− δ)x2)−2∝0f(x1)−2(1−∝0)f(x2)≥
≥ 2
[ f ( ∝
0 x
1 + ( 1 − ∝
0 ) x
2 ) − ( ∝
0 ) f ( x
1 ) − ( 1 − ∝
0 ) f ( x
2 )] = 2 F ( ∝
0 ) :

bundan esa o’z navbatida quyidagi munosabat kelib chiqadi.
F
( ∝
0 ) ≤ F ( ∝
0 − δ ) + F ( ∝
0 + δ )
2 ≤ f
0
Bu esa farazimizga zid. Agar x
1 ≠ x
2 bo’lsa, (1.7) da tenglik faqat ∝ = 0
yoki ∝ = 1
da
yoki bo’lmasa
∀ ∝ ∈[0,1 ] larda bajariladi. (1.6) tengsizlikni yanada umumlashtirish
mumkin. Ya’ni ∀ x
1 , x
2 , … , x
lar uchun
f
( x
1 + x
2 + … + x
n
n ) ≤ 1
n ( f ( x
1 ) + f ( x
2 ) + … + f ( x
n ))( 1.8 )
o ’ rinli bo ’ ladi . Osongina ko ’ rsatish mumkinki ,
n = 2 k
, k ∈ N bo ’ lganda (1.6)
tengsizlikni ketma - ket qo ’ llab (1.8) tengsizlikning o ’ rinli bo ’ lishini isbotlash
mumkin . Umumiy holda
m ni shunday tanlaymizki,
n + m = 2 k
bajarilsin. U holda
f
( x
1 + x
2 + … + x
n + m x
¿
n + m ) ≤ 1
n + m ( f ( x
1 ) + f ( x
2 ) + … + mf ( x
¿ )) :
x
¿ = x
1 + x
2 + … + x
n
n
ni olsak, u holda
f
( x
1 + x
2 + … + x
n
n ) ≤ 1
n + m [ f ( x
1 ) + f ( x
2 ) + … + f ( x
n ) ] + ¿
+ m
n + m f
( x
1 + x
2 + … + x
n
n )
yoki
9

f( x
1 + x
2 + … + x
n
n ) ≤ 1
n ( f ( x
1 ) + f ( x
2 ) + … + f ( x
n ))
ga kelamiz.
Qavariq funksiyalarning xossalari.
Xossa 1.1. Faraz qilaylik
x1≤x3≤x2 bo’lsin. U holda
x3= x2− x3
x2− x1
x1+x3− x1
x2− x1
x2
va (1.7 ) ga asosan
f(x¿¿3)≤ x2− x3
x2− x1
M (x¿¿1)+x3− x1
x2− x1
f(x2)¿¿
ga kelamiz. Bundan tengsizlikning ikkala qismidan
M (u1) ni ayirib soddalashtirsak
f ( x ¿ ¿ 3 ) − f
( x
1 )
x
3 − x
1 ≤ f ( x
2 ) − f ( x
1 )
x
2 − x
1 ¿
ga kelamiz. Xuddi shu kabi
f ( x ¿ ¿ 2 ) − f
( x
1 )
x
2 − x
1 ≤ f ( x
2 ) − f ( x
3 )
x
2 − x
3 ¿
o’rinli bo’ladi. Oxirgi ikki tengsizlikdan
f(x¿¿3)− f(x1)
x3− x1
≤ f(x2)− f(x1)
x2− x1
≤ f(x2)− f(x3)
x2− x3
(1.9 )¿
tengsizlikni hosil qilamiz.
Xossa 1.2. Uzluksiz qavariq f ( x )
funksiya o’zining har bir nuqtasida o’ng
va chap hosilalarga ega bo’lib ular uchun
p
− ¿ ( x ) ≤ p
+ ¿ ( x ) ( 1.10 ) ¿ ¿
munosabat o’rinli bo’ladi.
10

Isbot. 0<h1<h2 bo’lsin. U holda ravshanki
x−h2<x−h1<x+h1<x+h2
bo’ladi va (1.2.4) ga asosan
f
( x ) − f ( x − h
2 )
h
2 ≤ f ( x ) − f ( x + h
1 )
h
1 ≤
≤ f(x− h1)− f(u)
h1
≤ f(x+h2)− f(x)
h2
(1.11 )
o’rinli. Bu tengsizliklardan ko’rinadiki
f(x+h)− f(x)
h
ifoda h → + 0
da kamayadi va shuning uchun
p+¿(u)¿ hosilaga ega va (1.10)
munosabat o’rinli.
Xossa 1.3. Uzluksiz qavariq
f(x) funksiyaning hosilasi p+¿(x)¿ o’ng tomondan
uzluksiz funksiya bo’ladi.
Isbot. x
1 < x
2 bo’lsin. U holda yetarlicha kichik h
larda x
1 + h < x
2 + h
bo’ladi. va (1.9)
dan
f
( x
1 + h ) − f ( x
1 )
h ≤ f ( x
2 ) − f ( x
2 − h )
h( 1.12 )
kelib chiqadi.
h→ 0 limitga o’tsak p−¿(x)≤p+¿(x)¿¿ (1.12) va (1.10) ni e’tiborga olsak

p−¿(x)≤p+¿(x)¿¿ (1.13)
ni hosil qilamiz. 1.2 – xossani isbotlashda ko’rdikki
∀ h>0 da
p+¿(x)≤f(x+h)−f(x) h ¿
bo’ladi. h
ni fiksirlab x → x
0 + ¿
limitga o’tsak
limx→x0
p+¿(x)≤ f(x0+h)− f(x0)
h (1.14 )¿
11

bo’ladi. p
+ ¿ ( x ) ¿ funksiyaning monotonligidan (1.14) ning chap tomonidagi limit
mavjud. (1.14) da h → + 0
limitga o’tsak
lim
x → x
0 p
+ ¿ ( x ) ≤ p
+ ¿ ( x
0 ) ¿ ¿
ga kelamiz. Boshqa tomondan esa x≥x0 da limx→x0
p+¿(x)≥ p+¿(x0)¿¿
bulardan esa
lim
x → x
0 p
+ ¿ ( x ) = p
+ ¿
( x
0) ¿ ¿
ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shu kabi quyidagi xossa o’rinli.
Xossa 1.4. p
( x ) funksiya kamaymaydigan chapdan uzluksiz funksiya bo’ladi.
Xossa 1.5. Har bir chekli oraliqda qavariq uzluksiz f ( x )
funksiya absolyut
uzluksiz va Lipshits shartini qanoatlantiradi.
Isbot.
[a,b]− ¿ chekli oraliq va a<x1<x2<b bo’lsin. U holda (1.9) ga asosan
f ( x ¿ ¿ 1 ) − f
( a )
x
1 − a ≤ f ( x
2 ) − f ( x
1 )
x
2 − x
1 ≤ f ( b ) − f ( x
2 )
b − x
2 ¿
bulardan esa o’z navbatida
p+¿(a)≤f(x2)−f(x1) x2−x1 ≤p−¿(b)¿¿
kelib chiqadi.
max ¿¿ desak, u holda ∀ u1,u2∈[a,b] lar uchun
|
f ( x
2 ) − f ( x
1 )| ≤ L | x
1 − x
2 |
ya’ni Lipshits shartining bajarilishi kelib chiqadi.
Shuni aytib o’tish kerakki agar biror
f funksiya biror oraliqda ikki marta
differensiallanuvchi va uning ikkinchi tartibli hosilasi shu oraliqda musbat bo’lsa,
u holda
f qavariq funksiya bo’ladi.
KARRALI FURYE ALAMSHTIRISHLARI
§1.3. KARRALI FURYE ALAMSHTIRISHLARI VA SIRTDA
MUJASSAMLASHGAN SILLIQ BOREL O’LCHOVLARI .
Rn
fazolarida Fur’e almashtirishlari .
12

Biz bu bobda
R n
fazoda Fur’e almashtirishlarini ko’rib chiqamiz. Faraz
qilaylik, f funksiya Rn fazosida absolyut integrallanuvchi bo’lsin.
Ta’rif . Agar
f funksiya
R n
absolyut integralanuvchi bo’lsa, u holda uning Fur’e
almashtirishi deb quyidagi Riman integrali bilan aniqlangan uzluksiz funksiyaga
aytiladi:
^
f( ξ ) =
∫
R n f ( x ) e − 2 πi ( x , ξ )
dx , ξ ∈ R n
( 1 )
Majoranta haqidagi Veyershtrass teoremasiga asosan (1) integral
ξ∈Rn
bo’yicha tekis yaqinlashuvchi (parametrga bog’liq ) integral bo’ladi. Shuning
uchun ham integral ostidagi funksiyaning parametrga uzluksiz bog’liq ekanligidan
^f(ξ)
funksiya ham ξ parametrning uzluksiz funksiyasi bo’lishi kelib chiqadi.
Bundan tashqari quyidagi Riman-Lebeg teoremasi o’rinli:
Riman-Lebeg Teoremasi . Agar
f funksiya
R n
da absolyut
integrralanuvchi bo’lsa u holda quyidagi munosabat o’rinli:
lim
|
ξ| → + ∞
^ f( ξ ) = 0
Shuni ta’kidlash joizki biz bu limitning tezligi haqida hech narsa ayta olmaymiz.
^
f( ξ ) funksiyaning silliq bo’lishi va cheksizdagi xarakteri f funksiyaning xossalari
bilan bog’liq. Buni aniqroq ifodalash uchun Sh ( R n
)
harfi bilan belgilanuvchi
Schvarts fazosini kiritamiz.
Sh ( R n
) fazo quyidagicha aniqlanadi: agar
φ ∈ C ∞
( R n
) tayinlangan funksiya
uchun ixtiyoriy α
va β
multiindekslarda
¿
x ∈ R n
| x β
∂ α
φ ( x ) | < ∞ ( 2 )
shartlar bajarilsa, φ ∈ Sh ( R n
)
deymiz.
Teorema . Fur’e almashtirishi orqali aniqlangan F
( φ ) = ^ φ( ξ )
operator Sh ( R
xn
)
fazoni
Sh (Rξn)
fazoga chiziqli akslantiruvchi, yuqoridagi (2) tengsizliklar bilan aniqlangan
13

yarimnormalar orqali aniqlangan topologiyaga nisbatan uzluksiz operator bo’ladi
va teskari akslantirish
F − 1(^
f)( x ) =
∫
R n f ( x ) e 2 πi ( x , ξ )
dx , x ∈ R n
( 3 )
formula bilan aniqlanadi.
Bu teoremaning 1-qismi bo’laklab integrallash formulasidan osongina kelib
chiqadi.
( 3)
formula Sh ( R n
)
fazoga qarashli funksiyalar uchun integral ostida
limitga o’tish orqali ko’rsatiladi. Haqiqatan ham, biz avalo n = 1
holni ko’rib
chiqamiz.
^f(ξ) tez kamayuvchi funksiya bolsa, u holda
∫
− ∞+ ∞
^
f( ξ ) d ξ = lim
r → + ∞ ∫
− rr ^
f( ξ ) d ξ
tenglikni yozishimiz mumkin. Oxirgi tenglikda ( 1 )
integralning tekis
yaqinlashishidan foydalansak bu integralda parametr bo’yicha integral ostida
chekli oraliqda integrallasak
∫
− rr
^
f( ξ ) d ξ =
∫
− ∞+ ∞
sin ( 2 πrx )
xπ f ( x ) d x
tenglikka kelamiz. Endi ixtiyoriy nolmas
r uchun
∫−∞
+∞sin (2πrx )
xπ dx=1
ayniyatdan foydalanamiz. Nihoyat
lim
r → + ∞ ∫
− ∞+ ∞
sin
( 2 πrx )
xπ ( f ( x ) − f ( 0) ) d x = 0
tenglikni ko’rsatish etarli. Faraz qilaylik
ε>0 ixtiyoriy tayinlangan musbat son
bo’lsin.
f silliq funksiya bo’lgani uchun |x|≤1 lar uchun | f ( x ) − f ( 0 ) | ≤ M | x |

tengsizlik bajartiladi. δ = ε
4 M sonini olamiz va oxirgi integralni quyidagicha
yozamiz:
14

∫|x|≤δ
dx + ∫|x|≥δ
dxEndi birinchi integralning elementar bahosidan
|
∫|
x| ≤ δ dx | ≤ ε
2
tengsizlikka kelamiz. ∫
|
x| ≥ δ dx
integralda bo’laklab integrallash formulasidan
foydalansak
∫|x|≥δ
dx =O (r−1)(r→ +∞)
asimptotik munosabatga kelamiz. Albvatta bu munosabatda O ( r − 1
)
asimptotik
baho
δ soniga bog’liq. Agar δ tayinlangan musbat son bo’lsa u holda shunday r0
sonini topishimiz mumkinki r > r
0 tengsizlikni qanoatlantiriuch barcha sonlar uchun
|
O ( r − 1
) | < ε
2 tengsizlik bajariladi. Bundan esa ixtiyoriy r > r
0 son uchun
|
∫
− ∞+ ∞
sin
( 2 πrx )
xπ ( f ( x ) − f ( 0) ) dx | < ε
tengsizlik kelib chiqadi. Boshqacha qilib yozganda
∫
− ∞+ ∞
^
f( ξ ) d ξ = f ( 0 )
tenglikka kelamiz.Endi istalgan tayinlangan
y son uchun f
y ( x ) ≔ f ( x + y )
tenglik
bilan aniqlangan Sh ( R )
fazoning elementini belgilaymiz. Osongina ko’rsatish
mumkinki
^
f
y ( ξ ) = ^ f( ξ ) e 2 πi ( y , ξ )
ayniyat o’rinli.Bundan esa
fy(0)= ∫−∞
+∞
^fy(ξ)dξ= ∫−∞
+∞
^f(ξ)e2πi(y,ξ)dξ
15

tenglikka kelamiz . Shunday qilib teorema n = 1
holda isbotlandi.Umumiy holda
teoremani isbotlash uchun “ xususiy” Fur’e almashtirishlarini quyidagi tengliklar
orqali
F
k( f )( x
1 , … , ξ
k , x
k + 1 , … , x
n ) =
∫
R
x
k e 2 πi x
k ξ
k
f ( x ) d x
k , ξ
k ∈ R
ξ
k
kiritamiz .Bu tengliklardan aniqlangan operatorlar orqali Fur’e almashtirishlarini
F
( f )( ξ ) = ( F
1 , … , F
n ) ( f ) ( ξ )
tenglik orqali aniqlash mumkin.Xususiy Fur’e almashtirishlari F
1 , … , F
n o’rin
almashtirish xossasiga egadir. Ularning har biri Sh ( R n
)
fazoda aniqlangan va bu
fazoni o’zini o’ziga akslantiradi.Endi teoremaning isboti o’z-o’zidan ravshan.
Sirtda mujassamlashgan silliq Borel o’lchovlari.
Faraz qilaylik
S⊆ Rn fazodagi m
−o’lchovli qism fazoning ( m
−o’chovli
sirtning) ochiq (sirtdagi industirlangan topologiyaga nisbatan) qism to’plami
bo’lsin. Biz dσ
orqali S
sirtdagi sirt yuzasi orqali aniqlangan o’lchovni belgilaymiz
va φ ∈ C
0∞
( R n
)
tayinlangan funksiya bo’lsin. Endi biz
R n
fazoda aniqlangan
dμ = φ ( x ) dσ
o’lchovni qaraymiz. Ya’ni ixtiyoriy uzluksiz
f funksiya uchun
∫
R f
( x ) dμ =
∫
S f ( x ) φ ( x ) dσ
tenglik o’rinli bo’ladi. Ravshanki yuqoridagi tenlikning o’ng tomonidagi integral
to’g’ri aniqlangan ya’ni aniq ma’noga ega. Xususan ixtiyoriy
ξ vektor uchun
quyidagi
dμ o’lchovning Fur’e almashtirishi deb ataluvchi integral
^
dμ ( ξ ) ≔
∫
R n e − 2 πi ( x , ξ )
dμ ≔
∫
S e − 2 πi ( x , ξ )
φ ( x ) dσ
Misol: Faraz qilaylik
S = S n − 1
ya’ni
S − R n
fazodagi markazi koordinatalar boshida
bo’lgan birlik sferea va φ ≡ 1
bo’lsin. U holda
^dσ (ξ) sferik simmetrik funksiya
16

bo’ladi. Shuning uchun bu funksiyani hisoblash uchun ξ = (| ξ| , 0 , … , 0 )
deb olish
etarli. Hisoblash natijasi quyidagicha:
^
dσ ( ξ ) =
∫
S n − 1 e − 2 πi ( x , ξ )
dσ ( x ) = | ξ | 2 − n
2
J
n − 2
2 ( | ξ| ) ,
bu erda J
n − 2
2 (
| ξ| )
-Bessel funksiyasi. Bessel funksiyasining asimptotikasi quyidagi
natijaga keltiradi:
^ dσ ( ξ ) = O
( |ξ|
1−n2 ¿(|ξ|→ +∞)
SILLIQ QAVARIQ FUNKSIYALAR UCHUN SCHULTS YOYILMASI
§2.1. NYUTON KO’PYOQLIKLARI VA MUVOFIQLASHGAN
KOORDINATALAR SISTEMASI
Bu paragrafda keyingi mulohazalarni bayon qilishda zarur bo’lgan ta’riflar va
belgilashlarni kiritib olamiz. Silliq, haqiqiy qiymatli
ϕ fazali va a amplitudali
J
( λ , ϕ , a ) =
∫
R n a ( x ) e iλ ϕ ( x )
dx
integralga tebranuvchan integrallar deyiladi, bunda
a∈C0∞(Rn) va λ∈R .
Agar ϕ − ¿
koordinatalar boshida analitik funksiya va nol bu funksiya uchun
kritik nuqta, shu bilan bir vaqtda koordinatalar boshining yetarlicha kichik atrofida
a amplitudaning tashuvchisi yo’nalgan bo’lsa, u holda J
( λ , ϕ , a )
tebranuvchan
integral uchun quyidagi assimptotik yoyilma o’rinli:
J(λ,ϕ,a)≈eiλϕ(0)∑r ∑k=0
n−1
Cr,k(a)λrlnk(λ),λ→ +∞
bunda manfiy ratsional sonlardan tashkil topgan arifmetik progressiyaning chekli
hadi, va har bir
(r,k) juftlik uchun C
r , k koeffitsiyent tashuvchilar taqsimotiga ega,
qaysikim fazalar kritik to’plamiga tegishli, ya’ni
17

{x ∈ R n
: ∇ ϕ ( x ) = 0 } .
Ta’kidlaymizki,
r ko’rstakichli ϕ fazalar to’plamiga tegishli arifmetik
progressiyani aniqlash masalasi netrivial masala hisoblanadi. Bir o’lchovli
tebranuvchan integrallarining kamayish tartibi faza funksiyasining karrali kritik
nuqtalarini aniqlashi Van der Karputning klassik lemmasida (qarang, [11])
ko’rsatilgan. Bundan tashqari, Erdeyning klassik lemmasiga ko’ra bir o’lchovli
tebranuvchan integrallarining assimptotik qatori fazani va amplitudani aniqlashi
ravshan. Ushbu fikrlar asosida V. I. Arnold [7] karrali tebranuvchan integrallari
muvofiqlashgan koordinatalar sistemasida qurilgan Nyuton ko’pyoqligining faza
funksiyalarini aniqlashi haqidagi gipotezani oldinga surdi.
Keyinchalik, [12] ishda muvofiqlashgan koordinatalar sistemasida qurilgan
Nyuton ko’pyoqligining faza funksiyalari va tebranuvchan integrallarning
assimptotik yoyilmasidagi bosh had orasidagi bog’lanish tekshirilgan. Bundan
tashqari o’lchov Fure almashtirishlarining baholari haqida ko’p sonli ishlar
mavjud. Bugunda olingan natijalari haqidagi ma’lumotlarni bilish uchun [14] ga
qarang.
Quyida ba’zi belgilashlar bilan tanishamiz.
N0⊂ R+¿⊂R¿ mos ravishda
nomanfiy butun, barcha musbat haqiqiy va barcha haqiqiy sonlar to’plami bo’lsin.
Aytaylik, K ⊂ N
0n
− ¿
qandaydir to’plam.
K to’plamning Nyuton ko’pyoqi R+¿n¿ ning
qavariq qobiqlari majmuidan − ¿
¿k∈K(k+R+
n)
aniqlansin.
18

ϕ−¿ silliq funksiya, koordinatalar boshida aniqlangan bo’lsin. bu
funksiyaning Makloren qatorini qaraylik:
ϕ
x ≈
∑
k ∈ Ν
0n c
k x k
, c
k ∈ R
Bu qatorning tashuvchisi supp
( ϕ
x ) = { k ∈ N
0 n
¿ { 0 ¿ } : c
k ≠ 0 }
kabi aniqlanadi.
ϕ
Makloren qatorining Nyuton ko’pyoqligi supp (ϕx) to’plamning Nyuton
ko’pyoqligi kabi aniqlanadi. Umuman, funksiyaning ixtiyoriy kiritik nuqtalaridagi
fazalari Nyuton ko’pyoqliklariga o’xshash aniqlanadi.
R n
koordinatalar sistemasini fiksirlaymiz va
ϕx orqali ϕ funksiyaning shu
koordinat sistemasidagi Makloren qatorni belgilaymiz.
d−¿ Nyuton ko’pyoqi
bilan
x1= x2=… = xn= d,d∈R to’g’ri chiziqning kesishish koordinatasi bo’lsin. Bu
son Nyuton ko’pyoqi bilan koordinata boshi orasidagi masofa deyiladi. Masofani
d
( x )
bilan belgilaymiz.
Nyuton ko’pyoqining bosh yoqi deb,
( d ( x ) , d ( x ) , … , d ( x ))
nuqtani o’z ichiga
olgan eng kichik o’lchovli yoqiga aytiladi. Shuni aytish kerakki, funksiyaning
Nyuton ko’pyoqi va koordinatalar boshidan Nyuton ko’pyoqigacha bo’lgan masofa
tanlab olingan lokal koordinatalar sistemasiga bog’liq. Lokal koordinatalar
sistemasi deyilganda, koordinatalar boshi atrofini o’ziga cheksiz silliq diffeomorf
akslantirish nazarda tutilgan, bunda koordinatalar boshi bu akslantirishning
qo’zg’almas nuqtasi bo’ladi.
19

ϕ−¿yuqoridagidek bo’lsin va x = ( x
1 , x
2 , … , x
n ) nuqta Rn ning fiksirlangan
nuqtasi bo’lsin. ϕ
ning Makloren qatorini ϕ
x orqali va koordinatalar boshi bilan
Nyuton ko’pyoqi
N (ϕx) orasidagi masofani esa d(x) orqali belgilaymiz.
h(ϕ)= {d(x)}
qiymatni qaraylik, bunda supremum koordinatalar boshida lokal silliq bo’lgan
barcha x kordinatalar to’plamiga nisbatan olinadi. h
( ϕ )
soniga ϕ funksiyaning
balandligi deyiladi (qarang, [12]).
Agar h
( ϕ ) = d ( x )
tenglik bajarilsa, lokal silliq koodinat sistemasi ϕ funksiya
uchun muvofiqlashgan deyiladi. A. N. Varchenkoning [12] natijalaridan kelib
chiqadiki,
n=2 holda analitik funksiyalar uchun muvofiqlashgan koordinatalar
sistemasi mavjud, lekin karrali komponentlarga ega emas. Bundan tashqari
tebranuvchan integrallarning assimptotik yoyilmasining bosh hadi ushbu
c
| λ| − 1 / h ( ϕ )
ln ( 1 + | λ|) m
ko'rinishda bo’ladi, bunda m = 0
va m = 1
hollarda Nyuton ko’pyoqining bosh yoqi
muvofiqlashgan koordinatalar sistemasiga bog’liq. Boshqacha aytganda, ikki
o’lchovli holda tebranuvchan integral assimptotik yoyilmasining bosh hadi
muvofiqlashgan koordinatalar sistemasidagi Nyuton ko’pyoqining diskret
xarakteristikasi orqali aniqlanadi. [3] ishda ikki o’zgaruvchiga bog’liq ixtiyoriy
silliq faza funksiyasi uchun shunga o’xshash tasdiqlar isbotlangan. Ammo, A.N.
Varchenko misolda ko’rsatadiki, agar
n≥3 bo’lganda bunga o’xshash koordinatalar
sistemasi mavjud emas. Qayd etish kerakki, agar o’zgaruchilarni almashtirganda
20

silliqlik yo’qolsa, u holda ixtiyoriy analitik funksiya uchun muvofiqlashgan
koordinatalar sistemasining analogini qurish mumkin (qarang, [14]).
Agar, ta’riflangan funksiya balandligi faqatgina chiziqli almashtirishlarda
chegaralangan bo’lsa, u holda biz mos ravishda funksiyaning chiziqli balandligihlin(ϕ)
ga va chiziqli – muvofiqlashgan koordinatalar sistemasiga o’tishimiz
mumkin. Ta’rifga ko’ra h
lin
( ϕ ) ≤ h ( ϕ )
ga ega bo’lamiz (qarang, [13]).
Boshqa tomondan, agarda
ϕ−¿ silliq qavariq chekli chiziqli tipga mansub
bo’lsa, muvofiqlashgan koordinatalar sistemasining mavjudligini G. Shuls [9]
isbotlagan. Bundan tashqari, berilgan ortogonal sistemada o’zgaruvchilarni
almashtirib bunday koordinatalar sistemasiga ega bo’lamiz. Xususan, silliq qavariq
chekli chiziqli tipga mansub funksiya uchun h
lin
( ϕ ) = h ( ϕ )
tenglik o’rinli.
G. Shulsning natijalarining formulirovka qilish uchun zaruriy ta’riflarni kiritib
olamiz.
ϕ−¿
koordinatalar boshining biror atrofida silliq funksiya, va u
ϕ(0)=0,∇ ϕ(0)= 0
shartni qanoatlantirsin. Agar ixtiyoriy x,y∈U ⊂Rn (bunda U − ¿
koordinatalar boshi atrofida qavariq) vektorlar va
α+β=1 shartni qanoatlantiruvchi
ixtiyoriy nomanfiy α , β
sonlar uchun
ϕ
( αx + βy ) ≤ α ϕ( x ) + β ϕ( y )
tengsizlik bajarilsa, u holda ϕ
qavariq deyiladi.
21

ϕ funksiya koordinatalar boshida chekli chiziqli tipli deyiladi, agar ixtiyoriy
ξ∈Rn
birlik vektor uchun N ≥ 2
son mavjud bo’lib,
D
ξN
ϕ
( 0 ) ≠ 0
bo’lsa, bunda
Dξϕ(0)− ϕ funksiyaning koordintalar boshidagi ξ
vektor yo’nalishi
bo’yicha hosilasi. Bu shart geometrik jihatdan, x
n + 1 = 0
gipersirtga urinuvchi
ixtiyoriy to’g’ri chiziq koordinatalar boshida
xn+1=ϕ(x) gipersirt bilan chekli urinish
tartibiga ega.
k≔(k1,k2,… ,kn)∈Rn−¿
tartiblangan n
ta musbat sonlar jamlanmasi bo’lsin.
δ
τk
(
x ) bilan
δτk(x1,x2,… ,xn)≔(τk1x1,τk2x2,… ,τknxn)
formula bilan aniqlangan
δτk:Rn⟼ Rn akslantirishni belgilaymiz.
Ixtiyoriy
x ∈ R n
vektor va
τ musbat haqiqiy soni uchun
ϕ δ
τk
(
x ) = τ m
ϕ ( x )
tenglik o’rinli bo’lsa, ϕ
( x )
funksiya k og’irlikli m tartibli kvazibirjinsli deyiladi.
Ixtiyoriy
xα monomial ( α , k )
tartibli kvazibirjinsli funksiya bo’ladi.
k ∈ R
+ ¿ n
− ¿ ¿ fiksirlangan vektor bo’lsin. ρ
( α ) ≔ ( α , k )
belgilashni kiritamiz,
bunda α ∈ R
+ ¿ n
− ¿ ¿ multiindeks va
( α , k ) − α
va k
vektorlarning skalyar ko’paytmasi.
Silliq funsksiyani tartibining ta’rifini kiritamiz.
Ta’rif 2.1. x
1 , x
2 , … , x
n o’zgaruvchili ko’phad
k og’irlikli (bunda k berilgan) d
tartibli deyiladi, agar uning hamma monomlari yuqorida keltirilgan
k og’irlika
22

nisbatan d – darajali bo’lsa. Cheksiz silliq funksiya d tartibga ega deyiladi, agar
uning ixtiyoriy notrivial kesmadagi Teylor qatorining tartibi d ga teng bo’lsa,
bunda shunday kesma mavjud bo’lishi kerak. Aksincha bo’lsa, ya’ni silliq funksiya
tekis bo’lsa, uning tartibini
+∞ deb hisoblaymiz.
R n
da koordinatalar boshida silliq funksiyaning kurtag algebrasi A bo’lsin.
Ik
bilan { x α }
ρ( α) = 1 monomlarga qurilgan idealni belgilaymiz. Bundan tashqari m A
algebraning
{ x
1 , x
2 , … , x
n } funksiyalarga qurilgan idealini ifodalaydi. d tartibli
ko’phadlar (silliq funksiyalar) A
d − ¿
chiziqli fazoni tashkil etadi. Bundan tashqari
d < d '
bo’lsa, A
d ' ⊂ A
d munosbat o’rinli bo’ladi. Shunday qilib ko’paytmaning tartibi
qo’shiluvchilarning tartiblari yig’indisiga teng bo’lib,
Ad silliq funksiyalar nihol
algebrasining ideali bo’ladi (qarang,[10]).
Tartibi
d dan qat’iy katta bo’lgan silliq funksiyalar fazosini A¿d bilan
belgilaymiz. Boshqacha aytganda, quyidagi munosbat o’rinli:
A¿d={ϕ∈A:N (ϕ)⊂¿
.
Lemma 2.1.
k≔(k1,k2,… ,kn)−¿ og’irliklar to’plami bo’lsin, bunda {
1
kj}j=1
n
−¿ natural
son. U holda quyidagi tenglik o’rinli:
m n
min
{ k
j}
⊂ I
k
Xususan, chekli R − ¿
modul bo’yicha
xα((α,k)<1) monomlar bilan shakllantirilgan
A / I
k faktor algebra b
1 , b
2 , … , b
s ,
( deg
k ( b
ν ) > 1 , ν = 1,2 , … , s )
strukturaga ega.
Isbot. Lemma 2.1. standart metodlar bilan isbotlanadi.
∎
23

Mashq 2.1. k∈Rn vazn lemma 2.1. shartlarini qanoatlantirsin. U holda quyidagi
tenglik o’rinli:
A¿1= Ikm+¿b1,b2,… ,bs>¿

bunda
¿b1,b2,… ,bs>¿ A¿1/Ikm= A¿1/Ik faktor algebraning b1,b2,… ,bs bazis
monomlarining chiziqli qobig’idir.
Isbot. Mashq 2.1. ning isboti Lemma 2.1. dan kelib chiqadi.
2.2.§ SILLIQ QAVARIQ FUNKSIYALAR UCHUN SCHULTS YOYILMASI
Bizga
R n + 1
fazoda
S chekli tartibli, silliq qavariq gipersirt berilgan bo’lib, dv
unda aniqlangan Lebeg sirt o’lchovi bo’lsin. Faraz qilaylik,
ξ ∈ S n
− S sirtning aniq
bir nuqtasida o’tkazilgan normal va
v esa S sirtda aniqlangan kompakt tashuvchili
silliq funksiya bo’lsin.
F[dμ ](η)
orqali
R n + 1
fazoda chekli Borel o’lchovi dμ ning Furye
almashtirishini belgilaymiz:
F [dμ ](η)= ∫
Rn+1eiηTxdμ (x)
(
ηT bunda η
vektorning transponirlangani )
Bizning asosiy maqsadimiz quyidagi assimptotik yoyilmani isbotlashdan
iboratdir:
F [vdυ ](λξ ) ei(λξtx0)λ−ν∑j=0
∞
bjλ
−jk,λ→ ∞
bu yerda
ν,k berilgan sonlar va b0∈C oshkor ravishda aniqlanadi.
24

Asosiy masala
∫
R n u( x ) e iλf ( x )
dx ( 1 )
Ko’rinishdagi integrallarni
λ→ ∞ da kamayish tartibini aniqlashdan iboratdir, bu
yerda
f nol nuqta atrofida silliq qavariq funksiya bo’lib, f ( 0) = 0 , f ' ( 0 ) = 0
( f' orqali
f
funksiyaning gradienti belgilangan) shartlarni qanoatlantiradi va u
R n
da
aniqlangan nol nuqta atrofida mujassamlashgan silliq funksiya deb olinadi. Bundan
tashqari, f funksiya S
bo'yicha 0
da chekli tartibli deb qaraladi. (1) ni tekshirish
uchun bizga birinchi teoremada berilgan va mustaqil qiziqish uyg'otadigan
f ning Teylor
yoyilmasining batafsil o’rganish kerak bo'ladi.
e1,e2,… en orqali Rn da standart
ortonormal bazis va
α∈N0n multi-indeks [N0=(N ∪{0})] to’plamda aniqlangan,
xususan
αkek ,k-chi komponentasi αk qolgan komponentalari 0 dan iborat multi-
indeks.
Teorema1 .(H.Shults).Bizga
f : R n
→ R , f
( 0) = 0 , f ' ( 0 ) = 0
shartlarni qanoatlantiruvchi chekli tipli silliq qavariq funksiya berilgan bo’lsin. U
holda koordinatalar sistemasini burish orqali quyidagi tasdiqlarga ega bo’lamiz:
a) f
( x )
∑
α a
α x α
nol nuqta atrofida f funksiyaning Teylor yoyilmasi bo’lsin
(buralgan koordinatalar sistemasida). U holda shunday
kj≥2(j=1,… ,n) juft
sonlar mavjudki, p
( α ) =
∑
j = 1n
α
j
k
j < 1
shartdagi barcha α uchun aα=0 tenglik
25

o’rinli, bundan tashqari ushbu α= kjej tenglik uchun aα>0 munosabat
o’rinlidir.
b) Ushbu ko’phad P(x)= ∑
p
( α) = 1 a
α x α
(Taylor yoyilmasining bosh qismi deb
nomlanadi) qavariq funksiya bo’lib, P ( x ) > 0
tengsizlik barcha noldan farqli
x lar uchun bajariladi.
1-teoremaning isboti : Biz
m≥2 sonlar uchun Sm orqali quyidagi to’plamni
belgilaymiz
S
m = { x ∈ R n
:
∑
j = 2m
|
D
x j
f ( 0 ) | = 0
Bu yerda D
x j
f
( 0 ) = ∂
∂ t f ( tx ) ↑
t = 0 : birlik x vektorlar uchun nol nuqtada f funksiyadan
x
yo’nalish bo’yicha hosila. Provardida x∈Sm munosabat nol nuqta atrofida
f
( tx ) ≤ c t m + 1
tengsizlikning bajarilishiga ekvivalent. f(x) funksiyaning
qavariqligidan foydalansak
∀ x+y∈Sm lar uchun
f
( 1
2 t ( x + y )) ≤ 1
2 f ( tx ) + 1
2 f ( ty ) ≤ c t m + 1
tengsizlik bajariladi. Shu sababli
m≥2 butun sonlar uchun Sm to’plamalar
R n
fazoning qism fazosidan iborat qism to’plamlar bo’ladi. f
( x )
funksiyaning chekli
tartibli ekanligini hisobga olganda
¿ m S
m = { 0 }
tenglik o’rinli bo’ladi.umumiy holda quyidagi tasdiqni isbotlash mumkin:
26

Tasdiq . Ko’pi bilan k
ta juft butun sonlar ( 2 ≤ m
1 ≤ m
2 ≤ , … , ≤ m
k ) butun sonlar ketma
ketligi mavjud bo’lib
1¿
{ 0 } = S
m
k ⊆ S
m
k − 1 ⊆ … ⊆ S
m
1 ⊆ S
m
0 = R n

2¿
har bir x∈Smj−1{S¿mj ,Dxlf(0)=0 barcha l < m
j , va Dxmjf(0)>0 .
Keltirilgan tasdiqning isboti:
m1
orqali S
m
1 ≠ R n
shartlni qanoatlantiruvchi m larning eng kichigini belgilaymiz.
Sm1
to’plamning kiritilishiga asosan va m1 sonning tarifidan barcha l<m1 larda va
barcha x ∈ R n
{ S ¿
m
1 lar uchun D
xm
1
f
( 0) ≠ 0
munosabat o’rinli bo’ladi. Bundan tashqari
f ( x )
funksiya qavariq bo’lgani uchun va
m1 sonning juft ekanligidan Dxm1f(0)>0
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Agar S
m
1 = { 0 }
bulsa u holda tasdiqning isboti yakunlanadi. Aks holda biz bu
jarayonni davom ettiramiz: m
1 , m
2 , … , m
j sonlar topilgach m
j + 1 orqali S
m
j + 1 ≠ S
m
j
shartni qanoatlantiruvchi m
j da katta sonlarning eng kichigini belgilaymiz.Bunda
m
j + 1 uchun ham S
m
j + 1 ≠ R n
va barcha l < m
j + 1 larda va barcha x ∈ R n
{ S ¿
m
1 lar uchun
Dxm1f(0)>0
munosabatlar o’rinli bo’ladi.Bu jarayonni S
m
j + 1 = { 0 }
tenglik o’rinli
bo’lguncha davom ettiramiz.
f(x) chekli tartipli bo’lganligi sababli har doim
yuqoridagi shartni qanoatlantiruvchi chekli m
j + 1 sonni topish mumkin. Shu bilan
keltirilgan tasdiq isboti yakunlandi.
Endi har bir j
indeks uchun koordinatalar sistemasini shunday buramizki S
m
j fazo
ei,… ,en
vektorlar orqali hosil qilingan bo’lsin, bu yerda i = n + 1 − dim S
m
j tenglik
27

o’rinli bo’ladi.Agar ej∈Sml−1{S¿ml munosabat bajarilsa kj sonlarni kj=ml tenglik
orqali aniqlaymiz. U holda, i ! a
i e
j = D
e
ji
f
( 0)
tengliklar o’rinli bo’lganligidan, barcha
i ≤ k
j − 1
shartni qanoatlantiruvchi
i lar uchun a
i e
j = 0
va a
k
j e
j > 0
munosabatlarga ega
bo’lamiz. δ = min
{ ρ ( α ) : a
α ≠ 0 }
va P
δ ( x ) =
∑
ρ
( α) = δ a
α x α
tenglik o’rinli bo’lsin. Agar Pδ(x)
ko’phadni qavariq deb faraz qilsak osongina ko’rsatish mumkinki δ = 1
tenglik
o’rinli bo’ladi: Agar δ < 1
bo’lsa , yuqoridagilarga asosan barcha j = 1 , … , n
lar
uchun
Pδ(ej)=0 bo’lib va Pδ(x) ko’phadning qavariq ekanligidan Pδ(x)≡0 ya’ni
ρ(α)=δ
tenglikni qanoatlantiruvchi α
lar uchun aα=0 tengliklarga ega bo’lamiz bu
esa
δ sonining tarifiga zid.
Endi
Pδ(x) ko’phadning qavariq ekanligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik shunday
v,x∈Rn
vektorlar mavjud bo’lib vTPδ''(x)v<0 shartlarni qanoatlantirsin. Agar Qα
orqali Q
α
( x ) = a
α x α
ko’phadni va At orqali
A
t = diag ( t 1
k
1
, … , t 1
k
n )
dioganal matritsani
belgilaymiz. ni belgilaymiz. ni belgilaymiz. ni belgilaymiz. U holda sodda
hisoblashlar orqali quyidagi tengliknu olamiz;
(
A
t v ) T
Q
α' '
( A
t x ) A
t v = t ρ ( α)
v T
Q
α' '
( x ) v
f
( x )
funksiya Teylor qatorining bosh qismini ajratamiz
f(x)= ∑α∈M
aαxα+R(x)
Bu yerda
M to’plam quyidagicha aniqlanadi: M = {α∈N0n:aα≠0,|α|≤kn} , barcha t>0
shartni qanoatlantiruvchi
t sonlar uchun
28

(Atv)Tf''(Atx)(A¿¿tv)=tδvTPδ''(x)v+ ∑ α∈M,ρ(α)>α
tρ(α)vTQα''(x)v+(Atv)TR''(Atx)(Atv);¿bu yerda
|(Atv)TR''(Atx)Atv|≤ct
1+1kn,0<t<1
.
Shuning uchun yetralicha kichik musbat t
sonlar uchun
( A
t v ) T
f ' ' (
A
t x ) A
t v < 0
tengsizlik o’rinli bo’lib bu esa o’z navbatida
f funksiyaning qavariq ekanligiga
zid.
Endi faqatgina barcha x ≠ 0
lar uchun P ( x ) > 0
tengsizlik bararilishini isbotlash qoldi.
B
orqali quyidagi B = { x ∈ R n
: P ( x ) = 0 }
to’plamni belgilab olamiz;U holda P ( x )
ko’phadning qavariq ekanligi va P ( x ) ≥ 0
shartga asosan B
chiziqli fazo
bo’ladi.Agar
B={0} tenglik bajarilsa teorema isboti yakunlanadi. Faraz qilaylik B
chiziqli fazoning noldan farqli
(x≠0,x∈B) elementi mavjud bo’lsin. B
chiziqli fazo
At
operatorga nisbatan invariant bo’lganligi uchun, barcha x ∈ B ( x ≠ 0 )
lar uchun
Atx∈B
munosabat o’rinli bo’ladi va xusuan t>0, x(t)=|Atx|−1Atx∈B bo’lsin.Farz
qilaylik
l - xl∈B(xl≠0) shartni qanoatlantiruvchi eng katta butun son bo’lsin. U
holda
t→ +0 da x ( t )
vektor biror bir y ( | y | = 1 )
, bunda barcha kj≠kl shartni
qnoatlantiruvchi indekslar uchun
yj=0 tenglik o’rinli . P ( x )
ko’phad uzluksiz
bo’lganligi uchun, shuningdek
y∈B munosabat ham o’rinli bo’ladi va kj sonlarning
ta’rifidan y ∈ S
k
l − 1 { S ¿
k
l bo’ladi. Natijada yetarlicha kichik t ( t > 0 )
lar uchun
c
1 t k
l
≤ f
( ty ) ≤
∑
α ∈ M y α
t | α|
+ R ( ty ) ≤ c
2 t k
n
29

tengsizlik o’rinli bo’lib bu yerda R( ty )
qoldiq |R(ty )|≤ctkn tengsizlikni
qanoatlantiradi.Shuning uchun ∑
|
α| = k
l a
α y α
> 0
tengsizlik orinli bo’ladi. N orqali
quyidagi to’plamni belgilaymiz;
N ={α∈m:αj=0barcha kj≠klshartni qanoatlantiruvchi jindekslar uchun }
. U holda
y α
= 0
agar
α∉N ,va ρ ( α ) = | α| / k
l agar α∈N bo’lsa bundan quyidagiga ega bo’lamiz:
P
( y ) =
∑
ρ
( α) = 1 a
α y α
=
∑
ρ ( α) = 1 , α ∈ N a
α y α
=
∑ |
α| = k
l , α ∈ N a
α y α
=
∑ |
α| = k
l a
α y α
> 0
Bu esa
P(y)=0 ekanligiga zid. Shuning uchun B={0} tenglik o’rinli. Teorema isbot
bo’ldi.
2.2.§ SHULT YOYILMASIGA DOIR MISOLLAR
1-misol . f
( x , y ) = x 4
+ x 2
y 6
+ x y 9
+ y 12
funksiyaning Shults yoyilmasini toping.
Yechish: Dastlab
f(x,y) funksiya Shults teoremasi shartlarini qanoatlantirishini
tekshiramiz. f
( 0,0 ) = 0
, ∇ f ( 0,0 ) = 0
shartlar bajarilishini ko’rish qiyin emas.Endi
f(x,y)
funksiyani qavariqlikka tekshiramiz.Berilgan funksiya qavariq bo’lishi
uchun
Hess (f)=
|
∂2f
∂x2
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y2|
≥0
30

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.Shu sababli Hess( f )
ni topamiz:
Hess (f)=
|
∂2f
∂x2
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y2|
=|
12 x2+2y6 12 xy5+9y8
12 xy5+9y8 30 x2y4+132 y10|= 360 x4y4+144 ∙11 x2y10+60 x2y10+264 y16−144 x2y10−18 ∙12 xy13−81 y16=360 x4y4+144 ∙10 x2y10+60 x2y10+183 y16−18 ∙12 xy13=(12 xy5−9y8)2+360 x4y4+144 ∙9x2y10+60 x2y10+102 y16≥0
Demak f
( x , y )
qavariq bo’lib f ( 0,0 ) = 0
, ∇ f ( 0,0 ) = 0
tengsizliklar o’rinli bo’lganligi
uchun funksiya Shults teoremasi shartlarini qanoatlantiradi.
P= f
ko’phad (1
4,1
12 ) og’irlik bilan kvazi bir jinsli bo’ladi.Haqiqatan ham
f
( t 1
4
x , t 1
12
y ) = t ( x ¿
¿ 4 + x 2
y 6
+ x y 9
+ y 12
) = tf ( x , y ) ¿
Endi
f(x,y)= P ko’phadning M 1=(4,0 ),M 2= (2,6 ),M 3=(1,9 ),M 4=(0,12 ), darajalariga
mos Nyuton ko’pyoqligini quramiz:
P
-ko’phadning darajalariga mos barcha M
1 , M
2 , M
3 , M
4 nuqtalar Nyuton
ko’pyoqligiga tegishli bo’lganligi uchun Shults yoyilmasining o’zi
P= f
ko’phaddan iborat bo’ladi.
2-misol . f
( x , y ) = x 2
+ x 3
y + y 2
+ ln ( 1 + xy )
funksiyaning Shults yoyilmasini toping.
Yechish: Dastlab
f(x,y) funksiya Shults teoremasi shartlarini qanoatlantiradi,
ya’ni berilgan funksiya uchun f
( 0,0 ) = 0
, ∇ f ( 0,0 ) = 0
tengliklar o’rinli bo’lib nol
nuqtaning yetarlicha kichik atrofida
f qavariq funksiya bo’ladi. f(x,y)
funksiyaning Shults yoyilmasini topish uchun dastlab bu funksiyani nol nuqta
atrofida
|α|≤2 hadgacha Makloren qatoriga yoyib olamiz(bu yerda α multi-indeks).
f(x,y)= x2+xy +y2+R(x,y)
31

P ko’phad sifatida Makloren yoyilmasining bosh qismini olamiz.
P= x2+xy +y2
Endi
P ko’phadning darajalari M
1 = ( 2,0 ) , M
2 = ( 1,1 ) , M
3 = ( 0,2 ) ,
darajalariga mos
Nyuton ko’pyoqligini quramiz:
M
1 , M
2 , M
3 -nuqtalarning barchasi Nyuton ko’pyoqligida joylashganligi sababli
Shults yoyilmasi
P = x 2
+ xy + y 2
ko’phaddan iborat bo’lib
( 1
2 , 1
2 ) og’irlik bilan bir
jinsli bo’ladi.Endi bu ko’phadning Shults teoremasi sharlarini qanoatlantirishini
tekshiramiz.Osongina ko’rish mimkinki P
( 0,0 ) = 0
, ∇ P ( 0,0 ) = 0
tengliklar o’rinli va
Hess
( P ) =
| ∂ 2
P
∂ x 2 ∂ 2
P
∂ x ∂ y
∂ 2
P
∂ x ∂ y ∂ 2
P
∂ y 2 | =
| 2 1
1 2 | > 0
tengsizlik bajarilganligi sabali P
qavariq bo’lib va demak
f ning | α| ≤ 2
shartni
qanoatlantiruvchi Shults yoyilmasi
P= x2+xy +y2 ko’phaddan iborat bo’ladi
32

Xulosa
Ushbu malakaviy bitiruv ishi bir o’zgaruvchili va ko’p o’zgaruvchili
qavariq funksiyalarning ba’zi xossalari, ixtiyoriy qavariq funksiya uchun Shuls
yoyilmasi va uning tatbiqlarini o’rganishga bag`ishlangan.
Malakaviy bitiruv ishida bir va ko’p o’zgaruvchili qavariq funksiyalar,qavariq
to’plamlar, sirtlar va ularning xossalari o’rganildi. Bundan tashqari tebranuvchan
integrallar nazariyasida muhim ahamiyatga ega bo`lgan qavariq funksiyalar uchun
uning Shuls yoyilmasi haqidagi asosiy teoremaning isboti o’rganildi va teoremaga
doir bir nechta misollar tatqiq qilindi.
33

ADABIYOTLAR RO’YXATI:
1. I.A.Ikromov “Tebranuvchan integrallar va ularning tadbiqlari fani bo’yicha
uslubiy ko’rsatma’ Samarqand-2009.
2. Shulz, H .: Convex hupersufaces of finite type and the asymptotics of their
Fourier transforms// Indiana Univ . Math . J . –1991, 40, No .4– p.1267-1275.
3. Икромов И.А и Солев А.С. Алгоритм определения базиса Щульца для
выпуклых функций // Узбекский Мат.Журнал– 2008, № 4 –С.75- 88.
4. Арнольд В.И., Варченко А.Н., ГусUн-заде С.М. Особенности
дифференцируемых отображений, ч. 1. Классификация критичCких
точек каустику и волновых фронтов. М.: Наука, 1982.
5. Сидоров Ю.В., М.В.Федорюк., М.И.Шабунин. «Лекция по теории
функции комплексного переменного» Изд. М.: Наука 1982
6. Федорюк М.В. Метод перевала. М.:Наука, 1977
7. Ikromov I.A. Damped Oscillatory Integrals and Boundedness Problem for
maximal operators // Preprint ICTP Trieste(Italy). 2003. IC./2003/43.P.24.
8. Malgrange B. Ideals of differentiable functions. Oxford Univ. press/ 1966.
9. Van der Corput. Zahlentheoretische Abschatzungen // Math. Ann. 1921. V.
84. P. 53-79.
10. Sogge C.D. and Stein E.M.: Averages of functions over hypersurface in R n
.
Invent.Math. 82.(1985) 543-556) 1.
11. Stein E.M.: Maximal functions: spherical means. Proc. Natl.Acad. Sci. USA
73(1976) 2174-2175. 2.
34

Ko‘p o‘zgaruvchili silliq qavariq funksiyalar va ularning tatbiqlari

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish