Ko‘p o‘zgaruvchili tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot funksiyalari
![I B OB . BA`ZI MAXSUS IKKI O`ZGARUVCHILI DISKRET
TAQSIMOTLAR
1 §. Ko’p o’lchovli tasodifiy miqdorlarga oid asosiy ta’rif va tushunchalar.
Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdor X=(X 1,X 2,… ,X n)−¿ bu bir xil Ω
ehtimollik fazosida berilgan X i ( i = 1,2 , … , n )
tasodifiy miqdorlar jamlanmasidir.
Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot qonuni uning
F
X
( x
1 , x
2 , … , x
n ) = F
X
1 , X
2 , … , X
n ( x
1 , x
2 , … , x
n ) = ¿
¿ P
{ ( X
1 < x
1 ) ∩ ( X
2 < x
2 ) ∩ … ∩ ( X
n < x
n ) }
taqsimot funksiyasi bilan beriladi, u ko‘p o‘zgaruvchilarning sonli funksiyasi va
(ehtimol sifatida) [0;1] oraliqdagi qiymatlarni qabul qiladi
Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagi xossalarga
ega. Barcha
x1,x2,…,xn∈R lar uchun:
1) 0 ≤ F
X
1 , X
2 , … , X
n
( x
1 , x
2 , … , x
n ) ≤ 1 ; ( 3.57 )
2)
F
X
1 , X
2 , … , X
n ( x
1 , x
2 , … , x
n ) har bir argument bo‘yicha kamaymaydi; (3 . 58)
3)
F
X
1 , X
2 , … , X
n ( x
1 , x
2 , … , x
n ) har bir argument bo‘yicha chapdan uzluksiz; (3 . 59)
4)
F
X
1 , X
2 , … , X
n ( x
1 , x
2 , … , x
n − 1 , − ∞ ) = 0 ; ( 3.60 )
5)
F
X
1 , X
2 , … , X
n ( x
1 , x
2 , … , x
n − 1 , + ∞ ) = F
X
1 , X
2 , … , X
n − 1 ( x
1 , x
2 , … , x
n − 1 ) = 1 ;
(3.61)
Bir o‘lchovli holdan farqli o‘laroq, biror
F : R n
→ R funktsiya uchun
( 3.57 ) − ( 3.61 )
xossalarning bajarilishi bu funksiya biror ko‘p o‘lchovli tasodifiy
miqdorning taqsimot funksiyasi bo‘lishligini kafolatlamaydi.
Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar xuddi bir o‘lchovli kabi, diskret
(mumkin bo‘lgan qiymatlar to‘plami chekli yoki sanoqli to‘plamni tashkil
qilganda) yoki uzluksiz (mumkin bo‘lgan qiymatlar to‘plami sanoqsiz bo‘lsa)
bo‘lishi mumkin.
3](https://docx.uz/documents/27f11556-f70d-45c6-8025-464dae3bd98b/page_3.png?v=1)
![shartga aylanadi.
Tasodifiy miqdorlarning bog‘liqligini o‘lchash uchun X
va Y
tasodifiy
miqdorlar kovariatsiyasi kiritiladi
cov( X , Y ) = M [( X − MX )( Y − MY )] .
(3.75)
Oxirgi formula osongina
cov ( X , Y ) = M ( X , Y ) − MX ∙ MY .
(3.76)
shaklga keltiriladi.
Tasodifiy miqdorlarning kovariatsiyasi quyidagi xossalarga ega:
1)
cov (X ,Y)= cov (Y ,X ),cov (X ,X)= DX , (3.77) 2)
cov
( αX , Y ) = αcov ( X , X ) ;
cov ( X + Y , Z ) = cov ( X , Z ) + cov ( Y , Z ) ,
(3.78) 3)
B og‘liqm as
X va Y tasodifiy miqdorlar uch un cov ( X , Y ) = 0.
(3.79)
Bir vaqtning o‘zida bir xil yo‘nalishda o‘zgarish tendensiyasiga ega X
va
Y
tasodifiy miqdorlar uchun cov ( X , Y ) > 0 ,
bir vaqtning o‘zida turlicha yo‘na-
lishda o‘zgarish tendensiyasiga ega X
va Y
tasodifiy miqdorlar uchun
cov ( X , Y ) < 0.
Ixtiyoriy (bog‘liq va bog‘liqmas) tasodifiy miqdorlar yig‘indisining
dispersiyasi
D
( X + Y ) = DX + DY + cov ( X , Y )
(3.80)
formula bo‘yicha hisoblanadi.
Kovariatsiya ixtiyoriy haqiqiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin, shuning
uchun tasodifiy miqdorlarning bog‘lanish o‘lchovi sifatida foydalanish uchun mos
kelmaydi .
Buning uchun
X va Y tasodifiy miqdorlarning korrelyatsiya koeffitsienti
yaxshiroq mos keladi:
7](https://docx.uz/documents/27f11556-f70d-45c6-8025-464dae3bd98b/page_7.png?v=1)
![ρ( X , Y ) = cov ( X , Y )
σ
X σ
Y = M [ ( X − MX ) ( Y − MY ) ]
σ
X σ
Y = M ( XY ) − MX ∙ MY
σ
X σ
Y .
(3.81)
Korrelyatsiya koeffitsienti quyidagi xossalar ega:
1) Ixtiyoriy X
va Y
tasodifiy miqdorlar uchun : − 1 ≤ ρ
( X , Y ) ≤ 1
(3.82) 2)
Bog‘liqmas
X va Y tasodifiy miqdorlar uchun: ρ ( X , Y ) = 0
(3.83) 3)
Y=aX +b(a,b∈R,a≠0)
chiziqli bog‘langan tasodifiy miqdorlar uchun va faqat ular
uchun:
| ρ ( X , Y )| = 1.
(3.84)
Agar korrelyatsiya koeffitsienti ρ ( X , Y ) = 0
bo‘lsa, bu albatta
X va Y
tasodifiy miqdorlar bog‘liqmas ekanligini anglatmaydi. Bunda berilgan tasodifiy
miqdorlar korrelyatsiyalanmagan deyiladi.Bog‘liqmaslikdan korrelyatsiyalan-
maganlik kelib chiqadi, , lekin aksincha - har doim ham emas.
f
( x
1 , x
2 ) = 1
2 π
√ 1 − ρ 2
σ
1 σ
2 exp { − 1
2 ( 1 − ρ 2
) [( x
1 − a
1
σ
1 ) 2
− 2 ρ x
1 − a
1
σ
1 ∙ x
2 − a
2
σ
2 + + ( x
2 − a
2
σ
2 ) 2]}
(3.85)
taqsimot zichligi bilan berilgan tasodifiy miqdor ikki o‘lchovli normal qonun
bo‘yicha taqsimlangan deb ataladi.
Bundan tashqari, uning komponentlari mos ravishda a
1 va a
2 - matematik
kutilishlar
σ1 v a σ2 o‘rtacha kvadratik chetlanishlarga ega X1 va X2 bir o‘lchovli
normal qonunlar bo‘yicha taqsimlanadi, r
parametr esa X
1 va
X2 tasodifiy
miqdorlar orasidagi korrelyatsiya koeffitsientiga teng.
2 § . Ikki o`zgaruvchili Binomial taqsimot.
8](https://docx.uz/documents/27f11556-f70d-45c6-8025-464dae3bd98b/page_8.png?v=1)
![∑
y = 0∞(
x + y ) !
x ! y ! a y
= 1
(
1 − a ) x + 1 ,
∑y=0
∞ (x+y)!
x!y! yay= a(1+x)
(1−a)x+2,
∑
y = 0∞
(
x + y ) !
x ! y ! y 2
a y
= a ( 1 + x )
(
1 − a ) x + 3 [ a ( x + 1 ) + 1 ] .
Ikki o`zgaruvchili Gipergeometrik taqsimot . Bir o`zgaruvchili
Gipergeometrik taqsimotni ikki o`zgaruvchili holiga umumlashtirish mumkin.
Dastlab Isserlis (1914) ikki o'zgaruvchili manfiy binomial taqsimotni fanga kiritdi,
undan so`ng Pirson (1924) ushbu taqsimotning bir qancha xossalarini keltiradi.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan ikki o`zgaruvchili
(
X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili r,n1,n2,n3 parametrlarga ega
Gipergeometrik taqsimot deyiladi:
f
( x , y ) =
{
( n
1
x )( n
2
y )( n
3
r − x − y )
(
n
1 + n
2 + n
3
r ) , agar x , y = 0,1 , … , r
0 , aks holda
bu yerda x < n
1 , y < n
2 , r − x − y < n
3 va
0<r≤n1+n2+n3 butun son. Ikki o`zgaruvchili
tasodifiy miqdorning Gipergeometrik taqsimotini
( X , Y ) HYP ( k , p
1 , p
2 ) ko`rinishda
belgilaymiz.
Teorema. Aytaylik,
(X ,Y) HYP (r,n1,n2,n3) bo`lsin, bunda r,n1,n2,n3 lar
parametrlar. U holda, quyidagi munosabatlar o`rinli:
E
( X ) = r n
1
n
1 + n
2 + n
3 , E ( Y ) = r n
2
n
1 + n
2 + n
3 ,
Var (X)= rn1(n2+n3)
(n1+n2+n3)2(
n1+n2+n3− r
n1+n2+n3−1),
15](https://docx.uz/documents/27f11556-f70d-45c6-8025-464dae3bd98b/page_15.png?v=1)
![2 Bob. BA`ZI MAXSUS IKKI O`ZGARUVCHILI UZLUKSIZ
TAQSIMOTLAR
1 § . Ikki o'zgaruvchili tekis taqsimot.
Ushbu bo'limda biz Morgenstern ikki o'zgaruvchili tekis taqsimotini batafsil
o'rganamiz. Morgenstern ikki o'zgaruvchili tekis taqsimotining marginallari tekis
bo`ladi. Shu ma'noda, bu bir o'zgaruvchili tekis taqsimotning umumlashmasidir.
1956-yilda Morgenstern ikki o'zgaruvchili taqsimotlarning bir parametrli holini
taqdim etdi, ularning bir o'zgaruvchili marginali quyidagicha:
f( x , y ) = f
1 ( x ) f
2 ( y )( 1 + α [ 2 F
1 ( x ) − 1 ][ 2 F
2 ( y ) − 1 ]) ,
bu yerda α ∈
[ − 1 ; 1 ]
parametr. Agar cdf F
i ( x ) = x
va pdf f
i ( x ) = 1 ( i = 1,2 )
deb faraz
qilsak, u holda biz birlik kvadratdagi Morgenshtern tekis taqsimotiga kelamiz.
Birlik kvadratdagi Morgenshtern tekis taqsimotining zichlik funksiyasi
quyidagicha keltiriladi:
f
( x , y ) = 1 + α ( 2 x − 1 )( 2 y − 1 ) , 0 < x , y < 1 , − 1 ≤ α ≤ 1.
Quyida Morgenshtern tekis taqimotini ixtiyoriy
[a;b]×[c;d] to`g`ri to`rtburchakda
aniqlaymiz.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan uzluksiz
( X , Y )
tasodifiy miqdorga
[a;b]×[c;d] to`g`ri to`rtburchakda berilgan ikki o`zgaruvchili
tekis taqsimot deyiladi:
f(x,y)=
{
1+α(
2x−2a
b−a −1)(
2y−2c
d−c −1)
(b−a)(d− c)
0,aks holda
,agar x∈[a;b],y∈[c;d]
19](https://docx.uz/documents/27f11556-f70d-45c6-8025-464dae3bd98b/page_19.png?v=1)
![bu yerda α ∈[ − 1 ; 1 ]
parametr. Ikki o`zgaruvchili [a;b]×[c;d] to`g`ri to`rtburchakda
aniqlangan uzluksiz Morgnshtern taqsimotini
(X ,Y)UNIF (a,b,c,d,α) ko`rinishda
belgilaymiz.
Quyidagi rasmlarda α = 0,5
bo`lganda birlik kvadratda joylashgan f
( x , y )
funksiyaning grafigi va teng-zichlik chiziqlari keltirilgan:
Teorema. Faraz qilaylik,
( X , Y ) UNIFM ( a , b , c , d , α )
bo`lsin, bunda
a,b,c,d,α
lar parametrlar. U holda,
E(X)= b+a
2 ,E(Y)= d+c
2 ,Var (X )= (b− a)2
12 ,Var (Y)= (d−c)2
12 ,
Cov (X ,Y)= 1
36 α(b− a)(d− c).
Isbot. Dastlab,
X ning zichlik funksiyasini topamiz:
f
1
( x ) =
∫
cd
f ( x , y ) dy =
∫
cd 1 + α
( 2 x − 2 a
b − a − 1 )( 2 y − 2 c
d − c − 1 )
(
b − a )( d − c ) dy = 1
b − a .
Demak, X
ning zichlik funksiyasi
( a ; b )
intervalda tekis bo`ladi. Ya`ni
X UNIF
( a , b ) .
Quyidagi tengliklar mavjud:
20](https://docx.uz/documents/27f11556-f70d-45c6-8025-464dae3bd98b/page_20.png?v=1)
![E( X ) = b + a
2 va Var ( X ) = ( b − a ) 2
12 .
Xuddi shunday,
Y UNIF (c,d) ekanligi ko`rsatiladi. Bunda esa:
E
( Y ) = d + c
2 va Var (Y)= (d−c)2
12 .
X
va Y
ko`paytmasi kutilmasini topamiz:
E
( XY ) =
∫
ab
∫
cd
xyf ( x , y ) dxdy =
∫
ab
∫
cd
xy 1 + α
( 2 x − 2 a
b − a − 1 )( 2 y − 2 c
d − c − 1 )
(
b − a )( d − c ) dxdy = ¿
¿ 1
36 α(b−a)(d− c)+1
4(b+a)(d+c).
X
va Y ning kovariatsiyasi esa quyidagicha beriladi:
Cov (X ,Y)= E(XY )− E(X )E(Y)= 1
36 α(b−a)(d−c).
Bu tengliklar teoremani isbotlaydi.
Quyida yana bir umumlashgan ikki o`zgaruvchili tekis taqsimotning ta`rifini
keltiramiz:
Ta`rif. Aytaylik
S⊂ R2 soha R2 Yevklid fazosida berilgan A
yuzali soha
bo`lsin. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan taqsimotga,
X va Y
tasodifiy miqdorlarning ikki o`garuvchili S
sohadagi tekis taqsimoti deyiladi:
f(x,y)=
{
1
A ,(x,y)∈S
0,aks holda
1965-yilda Plakket quyidagi tenglikni qanoatlantiradigan F
1
( x )
va F2(x) marginallar
bilan berilgan F
( x , y )
ikki o`zgaruvchili taqsimotlar sinfini quradi:
(α− 1)F (x,y)2−{1+(α−1)[F1(x)+F2(y)]}F(x,y)+αF1(x)F2(y)=0
21](https://docx.uz/documents/27f11556-f70d-45c6-8025-464dae3bd98b/page_21.png?v=1)
![bu yerda 0<α<∞ . Quyidagi tengsizlik o`rinli bo`ladi:
max
{ F
1 ( x ) + F
2 ( y ) − 1 , 0 } ≤ F ( x , y ) ≤ min { F
1 ( x ) , F
2 ( y )} .
Ushbu sinfning zichlik funksiyasi esa Plakket tomonidan quyidagicha aniqlangan:
f
( x , y ) = α f
1 ( x ) f
2 ( y )[( α − 1 ){ F
1 ( x ) + F
2 ( y ) − 2 F
1 ( x ) F
2 ( y )}] + 1
[
S ( x , y ) 2
− 4 α ( α − 1 ) F
1 ( x ) F
2 ( y )] 3
2 ,
bunda
S(x,y)=1+(α−1)(F1(x)+F2(y)).
Agar F
i
( x ) = x
va f
i ( x ) = 1 ( i = 1,2 )
deb olsak, u holda Plakket tomonidan aniqlangan
zichlik funksiyasi quyidagicha bo`ladi:
f
( x , y ) = α [( α − 1 ){ x + y − 2 xy } + 1 ]
[{
1 + ( α − 1 )( x + y )} 2
− 4 α ( α − 1 ) xy ] 3
2 ,
bu yerda
0≤x,y≤1 va α>0 . Lekin, ushbu funksiya integrallanuvchi emasligi uchun
ikki o`zgaruvchili zichlik funksiya bo`lmaydi. Ushbu tasdiq Plakket (1965) va
Mardiya(1967) lar tomonidan hisobga olinmagan.
Ikki o`zgaruvchili Betta taqsimoti.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan ikki o`zgaruvchili
(
X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili Betta taqsimoti deyiladi:
f
( x , y ) =
{ Г
( θ
1 + θ
2 + θ
3 )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) x θ
1 − 1
y θ
2 − 1
(
1 − x − y ) θ
3 − 1
, agar 0 < x , y , x + y < 1
0 , aks holda
bu yerda
θ1,θ2,θ3 larmusbat parametrlar. ( X , Y )
tasodifiy miqdorning ikki
o`zgaruvchili
θ1,θ2,θ3 parametrlarga ega Betta taqsimotini ( X , Y ) Beta ( θ
1 , θ
2 , θ
3 )
ko`rinishda belgilaymiz.
22](https://docx.uz/documents/27f11556-f70d-45c6-8025-464dae3bd98b/page_22.png?v=1)
![Ushbu integralni hisoblash uchun u = 1 − y
1 − x almashtirish olamiz. U holda
f
1( x ) = Г ( θ )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) x θ
1 − 1
(
1 − x ) θ
2 + θ
3 − 1
∫
01 − x
u θ
2 − 1 (
1 − u ) θ
3 − 1
du = ¿
¿ Г(θ)
Г(θ1)Г(θ2)Г(θ3)
xθ1−1(1− x)θ2+θ3−1B(θ2,θ3)= Г(θ)
Г(θ1)Г(θ2+θ3)
xθ1−1(1− x)θ2+θ3−1.
Yuqoridagi integralni hisoblashda quyidagi tenglikdan foydalandik:
∫0
1−x
uθ2−1(1− u)θ3−1du = B(θ2,θ3)= Г(θ2)Г(θ3)
Г(θ2+θ3)
.
Ushbu tenglik
X BETA (θ1,θ2+θ3) ekanligini ko`rsatadi. Xuddi shunday
Y BETA (θ1,θ2+θ3)
ekanligini ham ko`rsatish mumkin.
X BETA (θ1,θ2+θ3)
va Y BETA (θ1,θ2+θ3) ekanligidan quyidagi tengliklarni osongina
keltirish mumkin:
E(X)= θ1
θ ,E(Y)= θ2
θ ,Var (X )= θ1(θ−θ1)
θ2(θ+1),Var (Y)= θ2(θ−θ2)
θ2(θ+1).
bunda
θ=θ1+θ2+θ3.
Endi
X va Y larning ko`paytmasining kutilmasini hisoblaymiz:
E
( XY ) =
∫
01 [
∫
01 − x
xyf ( x , y ) dy ] dx = ¿
¿ Г
( θ )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) ∫
01 [
∫
01 − x
xy x θ
1 − 1
y θ
2 − 1 (
1 − x − y ) θ
3 − 1
dy ] dx = ¿
¿ Г
( θ )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) ∫
01 [
∫
01 − x
x θ
1
y θ
2 (
1 − x − y ) θ
3 − 1
dy ] dx = ¿
¿ Г
( θ )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) ∫
01
x θ
1
(
1 − x ) θ
3 − 1 [
∫
01 − x
y θ
2 (
1 − y
1 − x ) θ
3 − 1
dy ] dx = [ u = y
1 − x ]
24](https://docx.uz/documents/27f11556-f70d-45c6-8025-464dae3bd98b/page_24.png?v=1)
![¿ Г( θ )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) ∫
01
x θ
1
(
1 − x ) θ
2 + θ
3 [
∫
01
u θ
2 (
1 − u ) θ
3 − 1
du ] dx = ¿
¿ Г(θ)
Г(θ1)Г(θ2)Г(θ3)
B(θ2+1,θ3)B(θ1+1,θ2+θ3+1)=¿
¿ Г
( θ )
Г
( θ
1 ) Г ( θ
2 ) Г ( θ
3 ) ∙ θ
1 Г
( θ
1 ) ∙( θ
2 + θ
3 ) ∙ Г ( θ
2 + θ
3 )
θ
( θ + 1 ) Г ( θ ) ∙ θ
2 Г
( θ
2 ) Г ( θ
3 )
(
θ
2 + θ
3 ) Г ( θ
2 + θ
3 ) = ¿
¿ θ
1 θ
2
θ
( θ + 1 ) .
Ushbu tenglikdan foydalanib X
va Y
ning kovariatsiyasini topish oson:
Cov
( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E ( Y ) = θ
1 θ
2
θ ( θ + 1 ) − θ
1
θ ∙ θ
2
θ = − θ
1 θ
2
θ 2 (
θ + 1 ) .
Teorema isbotlandi.
X
va Y ning korrelyatsiya koeffiysiyenti kovariatsiya yordamida osongina topiladi:
ρ= Cov (X ,Y)
√Var (X )Var (Y)=−
√
θ1θ2
(θ1+θ3)(θ2+θ3).
2 § . Ikki o'zgaruvchili Koshi taqsimoti.
Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan taqsimotga Koshi
ehtimollik taqsimoti deyiladi:
f
( x ) = θ
π
[ θ + ( x − a ) 2] , − ∞ < x < ∞ ,
bu yerda α > 0
va
θ lar haqiqiy parametrlar. α − ¿
parametr joylashuv parametri
deyiladi.
Koshi taqsimoti statistik tadbiqlaridan tashqari o'quv maqsadlarida ham keng
qo'llaniladi. Quyida keltiriladigan tushunchalarning asosiy maqsadi ikki
o'zgaruvchili holat uchun bir o'zgaruvchili Koshi taqsimotini umumlashtirish va
25](https://docx.uz/documents/27f11556-f70d-45c6-8025-464dae3bd98b/page_25.png?v=1)
![uning turli xil ichki xususiyatlarini o'rganishdir. Ikki o'zgaruvchili Koshi
taqsimotini ularning ehtimollik zichlik funksiyasi yordamida aniqlaymiz.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan uzluksiz ( X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili Koshi taqsimoti deyiladi:
f(x,y)= θ
2π[θ2+(x−a)2+(y− β)2]
32
,−∞<x,y<∞ ,
bu yerda θ − ¿
musbat parametr va α
va β
joylashuv parametrlari. Ikki o`zgaruvchili
Koshi taqsimotini quyidagicha belgilaymiz:
(X ,Y)CAU (θ,α,β).
Quyidagi rasmlarda α = 0 = β
va θ = 0,5
bo`lganda f
( x , y )
funksiyaning grafigi va
teng-zichlik chiziqlari keltirilgan:
Teorema. Agar
(X ,Y)CAU (θ,α,β),θ>0,α,β lar parametrlar bo`lsa, u holda
E
( X ) , E ( Y ) , Var ( X ) , Var ( Y )
va Cov (X ,Y) lar mavjud emas.
Isbot. Dastlab X
ning marginalini topamiz:
f1(x)=∫−∞
+∞
f(x,y)dy =∫−∞
+∞ θ
2π[θ2+(x− a)2+(y− β)2]
32
dy .
Ushbu integralni hisoblash uchun
y = β +
√[ θ 2
+ ( x − a ) 2]
∙ tgψ .
Bundan
dy =√[θ2+(x− a)2]∙sec 2ψdψ va
[
θ 2
+ ( x − a ) 2
+ ( y − β ) 2] 3
2
= [ θ 2
+ ( x − a ) 2] 3
2(
1 + t g 2
ψ ) 3
2
= [ θ 2
+ ( x − a ) 2] 3
2
sec 3
ψ .
26](https://docx.uz/documents/27f11556-f70d-45c6-8025-464dae3bd98b/page_26.png?v=1)
![Ushbulardan foydalanib, yuqoridagi integralni hisoblaymiz: ∫−∞
+∞ θ
2π[θ2+(x− a)2+(y− β)2]
32
dy = θ
2π ∫−π2
π2 √[θ2+(x−a)2]∙sec 2ψdψ
[θ2+(x−a)2]
32∙sec 3ψdψ
=¿
¿ θ
2π[θ2+(x−a)2]∫−π2
π2
cos ψ dψ = θ
π[θ2+(x−a)2]
.
Demak, X
ning marginali θ
va
α parametrlarga ega Koshi taqsimoti bo`ladi.
Bundan esa
X tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi E ( X )
va dispersiyasi
Var
( X )
mavjud bo`lmaydi. Xuddi shunday ko`rsatish mumkinki, Y
tasodifiy miqdor
θ
va β parametrli Koshi taqsimoti bo`ladi va E ( Y )
va Var ( Y )
lar mavjud bo`lmaydi.
Quyidagi tenglikdan esa
Cov (X ,Y) ning mavjud emasligini ko`rsatish mumkin:
Cov
( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E ( Y )
Y
ning X= x bo`lgandagi shartli taqsimoti quyidagicha keltiriladi:
f
( y / x ) = f ( x , y )
f
1
( x ) = 1
2 θ 2
+
( x − a ) 2
[
θ 2
+ ( x − a ) 2
+ ( y − β ) 2] 3
2 .
Xuddi shunday, X
ning Y = y
shartli taqsimoti quyidagicha keltiriladi:
f(y/x)= 1
2
θ2+(y− β)2
[θ2+(x−a)2+(y− β)2]
32
.
3 § . Ikki o'zgaruvchili Gamma taqsimoti.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan uzluksiz
( X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili Gamma taqsimoti deyiladi:
f
( x , y ) =
{
( xy ) 1
2
( α − 1 )
(
1 − θ ) Г ( a ) θ 1
2
( α − 1 ) e − x + y
1 − θ
I
α − 1 ( 2
√ θxy
1 − θ
)
0 , aks holda , agar 0 ≤ x , y < ∞ ,
27](https://docx.uz/documents/27f11556-f70d-45c6-8025-464dae3bd98b/page_27.png?v=1)
![bu yerda θ ∈[ 0 ; 1 )
α>0 parametrlar
I
k
( z) ≔
∑
r = 0∞
( 1
2 z ) k + 2 r
r ! Г
( k + r + 1 ) .
Ikki o`zgaruvchili Gamma taqsimotini quyidagicha belgilaymiz:
(
X , Y ) GAMK ( θ , α ) .
Ik(z)− k
-tartibli Bessel funksiyasi. f ( x , y )
funksiyaning ko`rinishi quyidagicha
bo`ladi:
f
( x , y ) =
{ 1
θ α − 1
Г
( a ) e − x + y
1 − θ
¿
0 , aks holda ∑
k = 0∞ (
θxy ) α + k − 1
k ! Г
( α + k )( 1 − θ ) α + 2 k , 0 ≤ x < y < ∞
Quyidagi rasmlarda α = 1
va θ = 0,5
bo`lganda f
( x , y )
funksiyaning grafigi va teng-
zichlik chiziqlari keltirilgan:
Teorema. Faraz qilaylik,
( X , Y ) GAMK ( θ , α )
bo`lsin, bunda 0<α<∞ ,0≤θ<1
lar parametrlar. U holda,
E
( X ) = α , E ( Y ) = α , Var ( X ) = α , Var ( Y ) = α ,
Cov (X ,Y)=αθ ,M (s,t)= 1
[(1− s)(1−t)−θst ]α.
28](https://docx.uz/documents/27f11556-f70d-45c6-8025-464dae3bd98b/page_28.png?v=1)
![Isbot. Dastlab X taqsimotning α− ¿ parametrli va θ=1 da bir o`zgaruvchili
gamma taqsimoti bo`lishini ko`rsatamiz:
f
1
( x ) =
∫
0∞
f ( x , y ) dy =
∫
0∞
1
θ α − 1
Г ( α ) e − x + y
1 − θ
∑
k = 0∞
(
θxy ) α + k − 1
k ! Г
( α + k )( 1 − θ ) α + 2 k dy = ¿
¿∑k=0
∞ 1
θα−1Г(α)e
−x1−θ (θx )α+k−1
k!Г(α+k)(1−θ)α+2k∫0
∞
yα+k−1e
−y1−θdy =¿
¿
∑
k = 0∞
1
θ α − 1
Г
( α ) e − x
1 − θ
( θx ) α + k − 1
k ! Г
( α + k )( 1 − θ ) α + 2 k
( 1 − θ ) α + k
Г ( α + k ) = ¿
¿∑k=0
∞
(
θ
1−θ)
k 1
k!Г(α)xα+k−1e
−x1−θ= 1
Г(α)xα−1e
−x1−θ∑k=0
∞ 1
k!(
xθ
1−θ)
k
=¿
¿ 1
Г(α)xα−1e
−x1−θe
xθ1−θ= 1
Г (α)xα−1e−x.
Demak, X
taqsimot α − ¿
parametrli va
θ=1 da gamma taqsimoti ekan. Bulardan esa
quyidagi tengliklarga ega bo`lamiz:
E(X)=α,Var (X)=α.
Xuddi shunday Y
taqsimot ham α − ¿
parametrli va
θ=1 da gamma taqsimotiligini
ko`rsatish mumkin. Bulardan esa quyidagi tengliklarga ega bo`lamiz:
E
( Y ) = α , Var ( Y ) = α .
4 § . Ikki o`zgaruvchili Normal taqsimot.
Ta`rif. Zichlik funksiyasi quyidagi ko`rinishda berilgan ikki o`zgaruvchili
uzluksiz
( X , Y )
tasodifiy miqdorga ikki o`zgaruvchili Normal taqsimot deyiladi:
f
( x , y ) = 1
2 π σ
1 σ
2
√ 1 − ρ 2 e − 1
2 Q
( x , y )
, − ∞ < x , y < ∞ ,
bu yerda
Q (x,y)≔ 1
1− ρ2[(
x− μ1
σ1 )
2
− 2ρ(
x− μ1
σ1 )(
y− μ2
σ2 )+(
y− μ2
σ2 )
2
],
29](https://docx.uz/documents/27f11556-f70d-45c6-8025-464dae3bd98b/page_29.png?v=1)
Ko‘p o‘zgaruvchili tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot funksiyalari