Kvadratik stoxastik jarayonlar bir sinfi uchun traektoriyalar
![Xususan, gonosomal evolyutsion operatori dinamikasini o‘rganishda ham
ko‘plab masalalar ochiqligicha qolmoqda.
Sh uning uchun ushbu magistrlik dissertatsiyasida mavzu sifatida
”Kvadratik stoxastik jarayonlar bir sinfi uchun traektoriyalar ” mavzusini
tanladik va bu muammoni qarab chiqish, unga doir nazariy va amaliy
natijalarni o‘rganish va bu fanni o‘qitish jarayonining sifat jihatlar i ni oshirish
uchun asos bo‘lib xizmat qiladi.
Maskur magistrlik dissertatsiya ishining maqsadi va vazifasi gonosomal
evolyutsion operatoridan hosil qilingan diskret vaqtli dinamik sistemalarda
ixtiyoriy boshlang ‘ ich nuqta uchun traektoriyaning limit nuqtalari to‘plamini
to‘la tavsiflashdan iborat.
4 . Tadqiqotning ilmiy yangiligi . Gonosomal evolyutsion operatorlar sinfi
uchun uning cheksiz ko‘p qo‘zg almas nuqtalarga egaligi va har bir qo‘zg almasʼ ʼ
nuqtalarga yaqinlashadigan o‘zaro kesishmaydigan traektoriyalar mavjudligi
isbotlangan.
5. Tadqiqotning asosiy masalalari va farazlari:
- tegishli biologik sistemaning turg un holatini tavsiflovchi gonosomal
ʼ
evolyutsion operatorlarining qo‘zg almas nuqtalari va invariant to‘plamlarini
ʼ
topish;
- davriy nuqtalar to‘plamini tavsiflash va ularni tipini aniqlash;
- ikki jinsli populyatsiyaning gonosomal evolyutsion operatorlaridan hosil
qilingan traektoriyalarning limit nuqtalarini tadqiq qilish;
6. Tadqiqot mavzusi bo‘yicha adabiyotlar sharhi. Bacaër N. [ 4] ,
Devaney R.L. [ 5], Ganikhodzhaev R.N., Mukhamedov F.M. and Rozikov U.A.
[ 6 ], Galor O. [ 7 ], Ganikhodjaev N.N., [9 ], Karlin S. [11], Kesten H. [12],
Ladra M., Rozikov U.A. [14], Lyubich Y.I . [15], Pollard J.H. [16] , Reed M.L.
[ 17], Jamilov U.U. [19], Rozikov U.A. [21], Varro R. [28] kabi olimlar
tomonidan o‘rganilgan bu nazariya bo‘yicha va ularning tadbiqlari nazariy va
amaliy jihatdan ochib berilgan, lekin ularni o‘zbek tilida va sistemali bayon
qilinishi, amaliy matematikada qo‘llanishi usullari yetarlicha bayon etilmagan.
6](https://docx.uz/documents/a7ba7688-e472-4671-8fd8-8000898b59eb/page_6.png?v=1)
![1-BOB. K VADRATIK STOXASTIK OPERATOR
1.1- §. Ikki jinsli populyatsiya. Gonosomal evolyutsion operator
Populyatsiya - bu bir xil turdagi, uzoq vaqt davomida bir hududda (ma'lum
bir hududni egallagan) yashaydigan va boshqa bir xil guruhlardan butunlay
ajratilgan organizmlar to‘plami. Hayotiy fanlarda populyatsiya dinamikasi
bo‘limi populyatsiyalarning kattaligi va yosh tarkibi dinamik sistema sifatida
o‘rganadi. Ushbu tadqiqotlar aholi sonining ko‘payishi, qarishi yoki aholining
kamayishi bilan bog'liq. Populyatsiya dinamikasi - matematik biologiyaning
yaxshi rivojlangan tarmog'i bo‘lib, u ikki yuz yildan ortiq tarixga ega bo‘lsada
[4], yaqinda matematik biologiya sohasi sezilarli darajada o‘sdi.
Matematik biologiyaning ko‘plab aniq modellari ularga mos chiziqli
bo‘lmagan evolyutsiya operatori tomonidan tasvirlanadi. Chiziqli bo‘lmagan
operatorlarning umumiy nazariyasi mavjud emasligi sababli, har bir konkret
operator uchun maxsus tekshirish usulidan foydalanish kerak. Biz g onosomal
evolyutsiyani tavsiflovchi konkret chiziqli bo‘lmagan ko‘p o‘lchovli operator
tomonidan yaratilgan dinamik sistemasini o‘rganamiz. Bizning modelimiz ikki
jinsli populyatsiya bilan bog'liq. Erkin va ikki jinsli populyatsiyaning
evolyutsiya operatorlari tomonidan yaratilgan dinamik sistemalarni o‘rganishni
chiziqli bo‘lmagan dinamik sistemalarni o‘rganishga keltirish mumkinligini
ta'kidlaymiz (Batafsil ma'lumot uchun [13], [22], [23], [24], [25], [27] ga
qarang). Biologiyada jins genetik jihatdan aniqlanadi, erkaklar va urg'ochilar
jinsiy morfologiyasini aniqlaydigan turli xil genlarga ega. Hayvonlarda bu
ko‘pincha xromosoma farqlari bilan birga keladi. Genetik jihatdan aniqlash
odatda XY (masalan: odamlar, sutemizuvchilar), ZW (qushlar) xromosoma
birikmalari orqali amalga oshiriladi. Odatda bu usulda jins ikki xromosomada
ifodalangan genlar miqdori bilan aniqlanadi. Haroratga bog'liq bo‘lgan ba'zi
jinsiy aloqa sistemalari mavjud va hatto ba'zi tizimlarda jinsiy o‘zgarish
8](https://docx.uz/documents/a7ba7688-e472-4671-8fd8-8000898b59eb/page_8.png?v=1)
![fenomeni mavjud (batafsil ma'lumot uchun [14] ga qarang). [28] da jins
o zgarishi bilan bog liq algebra tuzilgan. Ikki jinsli populyatsiyada har qandayʻ ʻ
differensiatsiya jinsning farqlanishiga mos kelishi kerak, ya'ni bir turdagi barcha
organizmlar bir jinsga tegishli bo‘lishi kerak. Shuning uchun, ikki jinsli
populyatsiyada erkak va ayol turlari haqida gapirish mumkin. Ikki jinsli
populyatsiyaning matematik modellari uchun [15], [18], [19], [21], [23], larga
qarang. Jins gonosomalar deb ataladigan ikkita xromosoma tomonidan
boshqariladi Gonosomal meros - bu jinsiy xromosomalarda kodlangan gen bilan
bog'liq belgilar uchun kuzatiladigan meros usuli hisoblanadi.
Gen - tirik organizm irsiyatining molekulyar birligi. Xromosoma: genning
genetik kodini o‘z ichiga oladi. Gemofiliya irsiy genetik kasalliklar guruhi
bo‘lib tananing qon ivishini yoki koagulyatsiyasini nazorat qilish qobiliyatini
buzilganda, bu qon tomir yorilganida qon ketishini to‘xtatish uchun ishlatiladi.
Ozod populyatsiya . m turdan iborat populyatsiyani ko‘rib chiqaylik.
x0=(x1,0,x2,0,… xm,0)
dastlabki avloddagi turlarning ehtimollik taqsimoti bo‘lsin, bu
yerda
xi,0= P(i) i ning ehtimoli, i=1,2 ,… m , va Pir,l - i va r -nchi turdagi
individlar o‘zaro birikib
l individual hosil qilish ehtimoli, aniqrog'i Pir,l bu
P ( l / i , r )
- shartli ehtimollik aniqrog’I
i va r
-nchi turlar o‘zaro birikishning
shartli ehtimoli. Keyin ular
l individual muvaffaqiyatli yuzaga keltiradi.
Erkin populyatsiya modellari, ya'ni jinsda farq yo‘q va har qanday avlodda
ir
"ota-onalar" bog’liqsiz, ya'ni P(i,r)= P(i)P(r)= xi0xr0 . U holda birinchi avloddagi
turning (holat) ehtimollik taqsimoti
x'=(x1',x2',… xm') ni umumiy ehtimollik
x
l'
=
∑
i , r = 1m
P ( l / i , r ) P
( i , r ) =
∑
i , r = 1m
P
ir , l x
i0
x
r0
, l = 1,2 , … . , m . ( 1.1 .1 )
orqali topish mumkin.
9](https://docx.uz/documents/a7ba7688-e472-4671-8fd8-8000898b59eb/page_9.png?v=1)
![x0→ x' moslik evolyutsiya operatori deb nomlangan V operatorni aniqlaydi.
Populyatsiya ixtiyoriy
x0 holatidan boshlab, so‘ngra ( keyingi "avlod"da)
x '
= V ( x 0
) holatiga, so‘ngra
x ' '
= V ( V
( x 0 )
) holatiga o‘tadi va hokazo. Demak,
populyatsiyaning holati quyidagi diskret-vaqt dinamik sistema bilan tavsiflanadi
x0,x'=V (x0),x''=V (V (x0))=V2(x0),… .
bu yerda
V n
(
x 0 )
= V ( V ( … V ¿
¿ n ( x 0 )
… .. ) ) ¿ V ning
x 0
ga n marta iteratsiyasini
bildiradi. Ta’kidlash kerakki (1.1.1) bilan aniqlangan
V operator kvadratik
stoxastik operator (QSO) deyiladi agar ixtiyoriy i , r = 1,2 , … . , m
da
∑
l = 1m
P
ir , l = 1
shart bajarilsa. Yuqori o‘lchamli dinamik sistemalar muhim ahamiyatga ega,
ammo hozirgi vaqtda tushunarli bo‘lgan kam dinamik hodisalar mavjud [8].
Dinamik sistemalarni ko‘rib chiqish uchun [10], [12], [13], [20], [24], [26], larga
qarang.
Endi ikki jinsli populyatsiya haqida fikr yuritamiz. Buning uchun ba'zi asosiy
ta'riflarni beramiz. Tur bo‘limi differentsiatsiya deb ataladi. Eng oddiy misol -
jinsni farqlash. ikki jinsli populyatsiyada (BP) har qanday differensiatsiya
jinsning farqlanishiga mos kelishi kerak, ya'ni bir turdagi barcha organizmlar bir
jinsga tegishli bo‘lishi kerak. Yuqorida keltirilgan jinsni aniqlash sistema laridan
foydalanib, erkak va urg’ochi tiplari haqida gapirish mumkin. Agar populyatsiya
ikki jinsli bo‘lsa, biz urg'ochilar to‘plamini
{1,2 ,… η} bilan indekslangan chekli
ko‘p turli t urlarga bo‘lish mumkin deb taxmin qilamiz va xuddi shunday, erkak
turlari
{1,2 ,… ν} bilan indekslanadi. η+ν soni populyatsiyaning o‘lchami
deyiladi. Populyatsiya holati mos ravishda
Rη va Rν da ikkita simplekslarning
dekart ko‘paytmasi
S η − 1
× S ν − 1
da berilgan ( x , y )
vektor yordamida aniqlanadi.
Bunda x
va
y lar urg'ochi va erkaklarning mumkin bo‘lgan turlar bo‘yicha
ehtimollik taqsimotidir.
10](https://docx.uz/documents/a7ba7688-e472-4671-8fd8-8000898b59eb/page_10.png?v=1)
![2-BOB . GONOSOMAL EVOLYUTSION OPERATORDAN HOSIL
BO‘LGAN DINAMIK SISTEMALAR.
2. 1- § . Teng ehtimoliy koeffisientli gonosomal operator trayektoriyasi.
Qo‘yidagi belgilashlarni kiritamizO={(0,0 ,u,v)∈R4:u,v∈R}∪{(x,y,0,0 )∈R4:x,y∈R}
I = { s = ( x , y , u , v ) ∈ R 4
: y = v = 0 }
J = { s ∈ I : x = y }
P = { s = ( x , y , u , v ) ∈ R 4
: x ≥ 0 , y ≥ 0 , u ≥ 0 , v ≥ 0 }
Qa={s=(x,y,u,v)∈P:x+y+u+v≤a},a∈[0,4 ]
N ={s=(x,y,u,v)∈R4:x≤0,y≤0,u≤0,v≤0}
N0={s=(x,y,u,v)∈R4:x≤0,y≤0,u≥0,v≥0
}
N
1 = { s = ( x , y , u , v ) ∈ R 4
: x ≥ 0 , y ≥ 0 , u ≤ 0 , v ≤ 0 }
2.1.1-lemma. Yuqoridagi to‘plamlar uchun quyidagi tasdiqlar o‘rinli:
1)
I,J,P va Qa to‘plamlar (1.1.4) operatorga nisbatan invariant to‘plamlar.
2 ¿ W ( 0 ) = { 0,0,0,0 }
3) W(N)
⊂ P
4) W ( Q
a ) ⊂ Q
a 2
4
5)
W (N0)⊂ N W (N1)⊂ N
Isbot: Biz Q
a to‘plam uchun 4) - tasdiqning isbotini keltiramiz, qolgan
to‘plamlar uchun tasdiqlar oddiygina (1.1.4) dan kelib chiqadi.
Istalgan
s=¿ ) ∈Qa ni olaylik va bizda
0≤x+y≤a va 0≤u+v≤a
28](https://docx.uz/documents/a7ba7688-e472-4671-8fd8-8000898b59eb/page_28.png?v=1)
![α '
+ β '
−( α ( 2 )
+ β ( 2 ) )
= α '
+ β '
− ( 6 β '
+ 3 α '
+ 4 α '
β '
6 + 3 α ' + 3 α '
+ 4 β '
α '
6 + 6 β '
+ 3 α '
+ 4 α '
β ' ) ≥ 12 ( α '
− β ' )
+ 6 ( α ' 2
− β ' 2 )
+ 4 α '
β '
( α '
− β '
)
3 ( 2 + α '
) ( 6 + 6 β '
+ 3 α '
+ 4 α '
β '
) ≥ 0
tengsizlik bajarilishini ko‘ramiz. lemma isbotlandi.
2.2.1-natija . Har qanday boshlang’ich nuqta
( α , β ) ∈ ∆ ,
uchun
0 ≤ β
( m)
≤ α ( m)
, m = 1,2 , … … ( 2.2 .9 )
va
α(m+1)+β(m+1)≤α(m)+β(m),m=1,2 ,… … (2.2 .10 )
baholar o‘rinli. Xususan
{α(m)+β(m)}m≥1 ketma -ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi.
2.2.4-lemma. Har qanday boshlang’ich
(α,β)∈∆ nuqta va (2.2.7) operator
trayektoriyasi uchun
limm→∞α(m)= limm→∞β(m)=0.(2.2 .11 )
tenglik o‘rinli.
Isbot:
α ( m )
va
β ( m )
ketma-ketliklar chegaralanganligi uchun Bolzano-
Veyershtrass teoremasiga ko‘ra ulardan quyidagi shartlarni qanoatlantiradigan
limk→∞α(mk)= a,limk→∞β(mk)= b.(2.2 .12 )
a∈[0,4 ],b∈[0,1 ]
yaqinlashuvchi { α
k ≥ 1( m ¿ ¿ k ) }
¿
va { β
k ≥ 1( m ¿ ¿ k ) }
¿
qismy ketma-ketliklar ajratish mumkin.
{α(m)+β(m)}m≥1
ketma ketlik yaqinlashuvchi bo‘lganligi uchun
lim
m → ∞
( α ( m )
+ β ( m ) )
= lim
k → ∞ ( α ( m
k + 1 )
+ β ( m
k + 1 ) )
= ¿ ¿
¿ lim
k → ∞ ¿ ¿
¿ a + b . ( 2.2 .13 )
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
45](https://docx.uz/documents/a7ba7688-e472-4671-8fd8-8000898b59eb/page_45.png?v=1)
![y = a va z = b
kelib chiqadi.
Agar x≠0 va t≠0 bo‘lsa, oxirgi tenglamalar sistemasining ikkinchi va uchinchi
tenglamalaridan,
a = 0 va b = 0
kelib chiqadi. Bu esa a , b ∈ ( 0 ; 1 )
shartga zid.
Agar
x≠0 va t=0 bo‘lsa, z≠0 va oxirgi tenglamalar sistemasining birinchi va
uchinchi tenglamalaridan mos ravishda,
x + y = a va z = b
kelib chiqadi.
Agar
x=0 va t≠0 bo‘lsa, y≠0 va oxirgi tenglamalar sistemasining ikkinchi va
to‘rtinchi tenglamalaridan mos ravishda,
y = a va z + t = b
kelib chiqadi. Natijada berilgan operator qo‘zg’almas nuqtalari
FixW ={(0,a,z,t):z+t=b,z,t∈[0,b]}
∪{(x,y,b,0):x+y= a,x,y∈[0,a]}
to‘plam elementlaridan iborat ekanligi kelib chiqadi.
s
0 = ( x , y , z , t )
nuqta x = 0
yoki
z=0 shartni qanoatlantiruvchi boshlang’ich nuqta
bo‘lsin. U holda
W ( S ¿ ¿ 0 ) =
( 0 , a , z , t ) ∈ FixW ⟹ W m
( s ) → W ( s ¿ ¿ 0 ) , m → ∞ da ¿ ¿
s
0 = ( x , y , z , t )
nuqta xz ≠ 0
shartni qanoatlantiruvchi boshlang’ich nuqta ya’ni
s0=(x,y,z,t)∈S2.2 ∕{(x,y,z,t)∈S2.2 :xz =0}
bo‘lsin. U holda quyidagi belgilashlar belgilashlardan foydalanamiz:
54](https://docx.uz/documents/a7ba7688-e472-4671-8fd8-8000898b59eb/page_54.png?v=1)
![ko‘rinishidagi barcha invariant chiziqlarni topamiz. Buning uchunH (u,f(u))=(u',f(u'))
tenglamadan foydalanishimiz kerak. Bundan esa
H :
{
u'=uau +b
cu +d
v'=
uau +b
cu +d
u+au +b
cu +d−1
= au '+b
cu '+d=
aau +d
cu +d+b
m au +b
cu +d+d
Ikkinchi tenglamadan
uau +b
cu +d
u+au +b
cu +d−1
=
aau +b
cu +d+b
m au +b
cu +d+d
hosil qilamiz.
Bu esa quyidagiga ekvivolent
[ − a 3
+
( c − d ) a 2
+ ( b + d ) ac − b c 2
¿ u 3
+ ¿
+ a d 2
+ c b 2
+ bc 2
¿ u 2
+ [ 2 bcd − ( a + c ) b 2
] u + ( d − b ) bd = 0.
Shunday qilib quydagi tenglamalar sistemasiga kelamiz.
{
− a 3
+
( c − d ) a 2
+ ( b + d ) ac − b c 2
= 0
(
d − 2 b ) a 2
− ( a + c ) bd + a d 2
+ c b 2
+ b c 2
= 0
2 bcd −
( a + c ) b 2
= 0
(
d − b ) bd = 0
Bu tenglamalar sistemasining oxirgi tengligidan
d= 0,yoki d= b,yoki b=0
ekanligi kelib chiqadi, demak bizda qarab chiqadigan holatlar ko‘p. Invariant
chiziqlarning yasalishiga va
H operatorning berilishiga ko‘ra shuni
ta’kidlashimiz kerakki,
u≥1,v≥1 va v=o'zgarmas son invariant chiziq bo‘lmaydi.
59](https://docx.uz/documents/a7ba7688-e472-4671-8fd8-8000898b59eb/page_59.png?v=1)
![ta’kidlaganimizdek
v = o '
zgarmas son invariant chiziq bo‘lmaydi. Agar a=− d≠0
bo‘lsa u holda quyidagi egri chiziq
v = au
cu − a
c
a≥1
shart asosida biz izlayotgan invariant chiziqni beradi. Demak yechim
b = 0 , a = − d ≠ 0 , ∀ c .
Bu yechimga mos keladigan invariant egri chiziq funksiya grafigi
v = f
a , c
( u ) = au
cu − a = φ
p ( u ) = u
pu − 1
bu yerda p = c
a ≥ 1
.
u,v≥1
bo‘lganligi uchun, p∈(1,2 ] bo‘ladi. Shunday qilib quyidagi bir parametrli
invariant egri chiziq oilasiga ega bo‘lamiz.
γp={(u,v)∈[1,+∞¿2:v= u
pu −1},p∈(1,2 ].
Berilgan p ∈
( 1,2 ]
uchun ( 1 , 1
p − 1 ) va ( 1
p − 1 , 1
) nuqtalarni tutashtiruvchi γ
p egri
chiziq ¿
da chekli. Eski o‘zgaruvchilarga qaytsak,
V opertatorga nisbatan
γθ={(α,β)∈[0,+∞ ¿2:β= θ−α
1+(2+θ)α},
bir parametrli invariant egri chiziq oilasiga ega bo‘lamiz. Bu yerda
θ = 2 − p
p − 1 ≥ 0 , p ∈
( 1,2 ] .
3.2.1- teorema.
(i) Har qanday
t=(α,β)∈M 1∪M 3 boshlang’ich nuqta uchun
limm→ꝏα(m)(t)=+ꝏ
61](https://docx.uz/documents/a7ba7688-e472-4671-8fd8-8000898b59eb/page_61.png?v=1)
Kvadratik stoxastik jarayonlar bir sinfi uchun traektoriyalar