Kirish Roʻyxatdan oʻtish

Docx

  • Referatlar
  • Diplom ishlar
  • Boshqa
    • Slaydlar
    • Referatlar
    • Kurs ishlari
    • Diplom ishlar
    • Dissertatsiyalar
    • Dars ishlanmalar
    • Infografika
    • Kitoblar
    • Testlar

Dokument ma'lumotlari

Narxi 12000UZS
Hajmi 2.3MB
Xaridlar 15
Yuklab olingan sana 06 Aprel 2024
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Geometriya

Sotuvchi

Bohodir Jalolov

Lobachevskiy geometriyasi

Sotib olish
MUNDARIJA 
KIRISH…………………………………………………………….………….….9
      I  BOB.  Lobachevskiy geometriyasi va va uning qurilishi……………….11
1.1 .    Lobachevskiy aksiomasi va undan kelib chiqadigan natijalar ………...……
11
1.2.  Aylana, oritsikl va ekvidistant chiziqlar…………………………….……..…12
     II  BOB.  Lobachevskiy geometriyasida to'g'ri chiziq va tekisliklar……..14
2.1.  Lobachevskiy geometriyasida to'g'ri chiziq va tekisliklar….……….…….….14
2.2 . Lobachevskiy geometriyasida tekisliklarning o'zaro vaziyati …….…………20
2.3.  Lobachevskiy geometriyasida to'g'ri chiziq va tekisliklarning o zaro vaziyatiʻ  
…………………………………………………………………………………….26
Xulosa…………………………………………………….……...……………….33
Foydalanilgan adabiyotlar va manbalar ro‘yxati……….………….……….…34
Ilovalar ……………………………..…………………………………………….35
1 KI R I S H
          Jamiyat rivojlanishining hozirgi bosqichida barkamol insonni tarbiyalash eng
asosiy,   k е chiktirib   bo`lmaydigan   muhim   vazifalardan   biridir.   Birinchi
Pr е zid е ntimiz Islom Karimov ta’kidlaganid е k: “Sog`lom avlodni tarbiyalash buyuk
davlat   poyd е vorini,   faravon   hayot   asosini   qurish   d е ganidir”   [4,   3].   Shu   jihatdan
olganda,   mamlakatimizda   sog`lom   avlod   dasturi   harakatining   k е ng   tus   olgani,
“Kadrlar  tayyorlash  milliy dasturi”  asosida  ta’lim–tarbiya tizimining tubdan isloh
etilayotgani   ham   ana   shu   ulug`vor   vazifani   amalga   oshirish   yo`lidagi   muhim
qadamdir. 
              O`zb е kiston   R е spublikasi   mustaqil   Davlat   suv е r е nligini   qo`lga   kiritgan
birinchi   kunlaridanoq   uzluksiz   ta’lim   tizimida   amalga   oshirilayotgan   k е ng
islohotlar   milliy   ta’lim–tarbiya   tizimini   takomillashtirishga,   zamon   talablari   bilan
uyg`unlashtirilgan,   jahon   andozalari   darajasiga   mos   “milliy   mod е lni”   hayotga
tadbiq   qilishga   qaratildi.   Jamiyatimizdagi   fuqarolar   tafakkurini   yangilash,   milliy
o`zlikni   anglash,   milliy   va   umumbashariy   qadriyatlarni   o`zlashtirish   orqali,
o`quvchilarning   ist е ’dodlari,   qobiliyatlarini   tadqiq   etish,   est е tik   tafakkurini
shakllantirish   va   rivojlantirish   davlat   umummilliy   siyosati   darajasidagi
masalalardan   biri   sifatid   b е lgilab   b е rilishi   yosh   avlodni   har   tomonlama   kamol
toptirish   uchun   ta’lim–   tarbiyaning   barcha   sohalarida,   ularning   omillari   va
vositalarini   ishga   solishni   taqozo   etmoqda.   b е lgilab   b е rilishi   yosh   avlodni   har
tomonlama kamol   toptirish  uchun  ta’lim–  tarbiyaning  barcha sohalarida,  ularning
omillari va vositalarini ishga solishni taqozo etmoqda. 
              Kurs   ishining   maqsadi:   Talabalarga   geometriyani   o’qitishning   an’anaviy
talim   metodi   haqida   umumiy   ma'lumotlar   va   ularning   o'ziga   xos   xususiyatlarini
tushuntirish,   ular   yordamida   dasturi   tuzishni   va   uni   o‘qiy   olishni   o‘rgatish   orqali
talabalarni geometriya fanlariga qiziqishlarini yanada oshirish.
Kurs ishining vazifasi:   Bo’lajak geometriya o’qituvchilariga an’anviy talim
metodi   bo’yicha   tayyorgarlik   tizimi   mazmunining   nazariy   va   amaliy   holatini
o‘rganish   va   tahlil   qilish;   -talabalarga   turli   loyihalarni   tasvirlashdagi   o’ziga   xos
xususiyatlarni va   ularning turlari haqida tushunchalar berish va takomillashtirish; -
talabalarning mavzu yuzasidan bilim, ko'nikma va malakasini shakllantirish.
Kurs   ishining   ob’yekti:   Oliy   ta’lim   tizimida   “Matematika”   bakalavriyat
ta’lim yo‘nalishi talabalariga nazariy va  amaliy ta’lim berish jarayoni.
Kurs   ishining   predmeti:   Bo‘lajak   muhandislarni   tayyorlash
bo‘yicha   tahsil   olayotgan   talabalarning   geometriya   muhandisligi   ilmini   egallash
jarayonidagi ta’lim mazmuni va texnologiyasi.
Kurs ishining tuzilishi va tarkibi:   Kurs ishi kirish, ikki bob, to’rt paragraf,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.
2 I BOB .  Lobachevskiy geometriyasi va va uning qurilishi chiziq va
tekisliklarning o'zaro vaziyatlari.
1.1 Lobachevskiy aksiomasi va undan kelib chiqadigan natijalar
       Lobachevskiy geometriyasi   -   Yevklid geometriyasining
aksiomalar   sistemasidan   faqat   parallellik   aksiomasi   bilan   farq   qiladigan,
aksiomalar   sistemasiga   asoslangan   geometrik   nazariya.   L.g.da   Yevklidning
parallellik   aksiomasi   o rniga   quyidagi   aksioma   qabul   qilinadi:   agar   to g ri   chiziqʻ ʻ ʻ
va   undan   tashqarida   nuqta   berilgan   bo lsa,   ularni   o z   ichiga   olgan   tekislikda   shu	
ʻ ʻ
nuqtadan   o tuvchi,   lekin   berilgan   to g ri   chiziq   bilan   kesishmaydigan   kamida	
ʻ ʻ ʻ
ikkita to g ri chiziq o tkazish mumkin.	
ʻ ʻ ʻ
1 -   Yevklid geometriyasi ,  2 - RIman geometriyasi, 3 - Lobachevskiy geometriyasi
              L.g.ning   manbai   —   Yevklidning   "Negizlar"   asarida   ta riflangan   beshinchi	
ʼ
postulatni   isbotlash   uchun   Ibn   al-Xaysam   (10-asr),   Umar   Xayyom   (12-asr),
Nasriddin Tusiy (13-asr), Prokl (15-asr), Lejandr, Lambert va boshqa matematiklar
tomonidan qilingan urinishlardir. 19-asrda beshinchi postulatni boshqa aksiomalar
asosida   isbotlab   bo lmaydi,   ya ni   u   mustaqil   aksioma,   degan   fikr   vujudga   keldi.	
ʻ ʼ
Agar  beshinchi  postulat  aksioma  sifatida  qabul   qilingan  bo lsa,  uning inkori  ham	
ʻ
boshqa   aksi-omalarga   zid   bo lmasligi   kerak.   Yevklidning   beshinchi   postulati	
ʻ
o rniga   yuqoridagi   aksiomaga   asoslangan   geometriyani   birinchi   marta  1826-yilda	
ʻ
N. I. Lobachevskiy, undan keyinroq Ya. Bolyay taklif qildi.
             Yevklid geometriyasining parallellik aksiomasiga asoslanmagan  teoremalari
L.g.da ham o rinli bo ladi, parallellik aksiomaga asoslangan teoremalari esa L.g.da	
ʻ ʻ
o rinli   bo lmaydi.   L.g.da   uchburchakning   ichki   burchaklari   yig indisi   180°   dan	
ʻ ʻ ʻ
kichik.L.g.ning   mantiqiy   ziddiyatsizligini   birinchi   marta   italyan   matematigi   E.
Beltrami 1868-yilda isbotladi. U psevdosferaning geodezik chiziqlari to g ri chiziq	
ʻ ʻ
deb qaralsa, hosil bo ladigan geometriya L.g. ekanligini ko rsatdi. 	
ʻ ʻ Bu fakt L.g.ning
Beltrami   interpretatsiyasi   (izohi)   deyiladi.   Keyinchalik   F.   Kleyn   va   A.   Puankare
ham L.g.ning boshqa interpretatsiyalarini berdilar.
        L.g. — mat., mexanika va fizikada keng tatbiq etiladigan nazariya. Shu bilan
birga   L.g.ning   yaratilishi   moddiy   olam   haqidagi   tasavvurimizni   boyitdi.   Yevklid
geometriyasi olamni to g ri aks ettiruvchi yagona geometriya emasligini ko rsatdi.	
ʻ ʻ ʻ
             B. Rimanning elliptik geometriyasidan farqlash uchun L.g. ba zan noyevklid	
ʼ
giperbolik geometriya ham deyiladi.
3 1.2.  Aylana, oritsikl va ekvidistant chiziqlar.
              Ma`lumki,   Yevklid   tekisligidagi   ikki   chiziq   —to`g`ri   chiziq   bilan   aylana
o`zining   ajoyib   bir   xossasi   bilan   boshqa   chiziqlardan   ajralib   turadi.   Bu   xossa
shundan   iboratki,   bu   chiziqlar   o`z   shaklini   o`zgartirmasdan   o`z-o`zi   bo`y`lab
sirpanadi.   Bunday   xossaga   ega   chiziqlarni        o`zgarmas   egrilikka   ega   chiziqlar   deb
ataladi.Bunday xossali ikki chiziqning mavjudlidi Yevklid tekisligidagi ikki to`g`ri
chiziqning  o`zaro  ikki   xil   —   kesishuvchi   va   parallel   holda   joylanishi   bilan   uzviy
bog`langandir. Bu esa o`z yo`lida Yevklid tekisligida to`g`ri chiziqlarning ikki xil
dastasi   borligining   natijasidir:   1)   dasta   markazi   deb   ataldigan   nuqtadan   o`tgan
barcha   to`g`ri   chiziqlar   to`plami   (markazli   dasta);   2)   bir   to`g`ri   chiziqqa   parallel
bo`lgan   barcha   to`g`ri   chiziqlar   to`plami   (markazsiz   dasta).   Markazli   dastaning
orthogonal   traektoriyasi   aylanadan ,   markazsiz   dastaning   orthogonal   traektoriyasi
esa to`g`ri chiziqdan iborat .
              Lobachevskiy   tekisligida   ham   yuqoridagi   xossaga   ega   bo`lgan   bunday
chiziqlarning   mavjudligi   to`g`ri   chiziqlarning   o`zaro   joylashuviga   bog`liqdir.
Lobachevskiy   tekisligida   ikki   to`g`ri   chiziq   kesishuvchi   (yaqinlashuvchi),   o`zaro
parallel   (ma`lum   yo`nalishda)   va   uzoqlashuvchi   bo`lishi   mumkin,   ya`ni
lobachevskiy   tekisligida   to`g`ri   chiziqlarning   uch   xil   dastasi   mavjud:1)bitta
nuqtada   kesishuvchi   barcha   to`g`ri   chiziqlar   to`plami   elliptic   dasta   deb   yuritiladi:
2)biror  to`g`ri chiziqning belgili  yo`nalishida unga parallel  bo`lgan barcha to`g`ri
chiziqlar   to` plami   parabolic   dasta        deb   ataladi;   3)tayin   to`g`ri   chiziqqa
perpendikulyar   bo`lgan   barcha   to`g`ri   chiziqlar,   ya`ni   uzoqlashuvchi   to`g`ri
chiziqlar   to`plami   giperbolik   dasta        deb   ataladi.   Bu   uch   xil   dastaning   mavjudligi
munosabati   bilan   doimiy   egrilikka   ega   bo`lgan   uch   xil   egri   chiziq   borligini
ko`rsatamiz. Buning uchun avval ba`zi tushunchalarni kiritaylik.
       Ixtiyoriy ikki a, b to`g`ri chiziqni uchinchi c to`g`ri chiziq kesib o`tganda hosil
bo`lgan ichki bir tomonli burchaklar teng bo`lsa ya`ni(), c to`g`ri   chiziq a , b ning
teng og`ishli kesuvchisi deb ataladi.
             Teorema.   To`g`ri chiziqlar dastasiga tegishli ixtiyoriy ikki to`g`ri chiziqning
biridagi   nuqtadan   ikkinchisiga   teng   og`ishli   faqat   bitta   to`g`ri   chiziq   o`tkazish
mumkin.
              Isboti.   1-hol,   a,b  to`g`ri   chiziqlar   markazli   dastaga   tegishli   bo`lsin.   a   to`g`ri
chiziqdagi   ixtiyoriy A nuqtani olib , S nuqtadan boshlab   b   to`g`ri chiziq ustiga SA
gat   eng   kesma   qo`ysak,   b   da   B   nuqta   (SA=SB)   hosil   bo`ladi.   teng   yonli   bo`lgani
uchun . Bu burchaklarni to`diruvchilari ham o`zaro teng bo`lgani uchun AB to`g`ri
chiziq a, b uchun teng og`ishli kesuvchi bo`ladi. Ravshanki,   A nuqtadan a ,b nit eng
og`ishda   kesuvchi   boshqa   to`g`ri   chiziq   o`tmaydi.
4               2-hol. A, b to`g`ri chiziqlar giperbolik dastaga tegishli bo`lsin. Bu holda a,b
to`g`ri   chiziqlar   o`zaro   uzoqlashuvchi   to`g`ri   chiziqlar   bo`lib,   bunday   to`g`ri
chiziqlar yagona umumiy   AB perpendikulyarga egadir , bu perpendikulyar a,b ning
teng   og`ishli   kesuvchisi   bo`ladi.   U   holda   a   dagi   A   nuqtadan   teng   og`ishli
kesuvchini o`tkazish uchun B dan boshlab b ning ustida (A  nuqta Ab ning qaysiˊ́
tomonida   bo`lsa,   shu   tomonda)   AA =BB   shart   bilan   aniqlanadigan   B   nuqtani	
ˊ́ ˊ́ ˊ́
topamiz.   U   holda   A B   to`g`ri   chiziq   izlangan   kesuvchi   bo`ladi,   chunki   A ABB	
ˊ́ ˊ́ ˊ́ ˊ́
to`rtburchak Sakkeri to`rtburchagidir:
5 II-BOB. Lobachevskiy geometriyasida to'g'ri chiziq va tekisliklar
2.1 Lobachevskiy geometriyasida to'g'ri chiziqlarning o'zaro vaziyati.
          Ikki to'g'ri chiziqning o'zaro vaziyatlari
       Ikki to'g'ri chiziq fazoda o'zaro parallel, kesuvchi yoki ayqash vaziyatlarda 
bo'lishi mumkin.
       1. Parallel to'g'ri chiziqlar
       Ta’rif. Agar ikki to’g’ri chiziq bir tekislikka tegishli bo'lib umumiy
kesishuv nuqtasi bo'lmasa yokicheksiz uzoq (xosmas) nuqtada kesishsa, ular o'zaro
parallel to'g'ri chiziqlar deyiladi. (35-rasm)
       Parallel proyeksiyalarning xossasiga asosan parallel to'g'ri chiziqlarning bir
nomli proyeksiyalari ham o'zaro parallel bo'ladi, ya'ni a||b bo'lsa, uholda
a'||b',a"||b" va a′"||b'" bo'ladi.
        Fazodagi umumiy vaziyatda joylashgan parallel to'g'ri chiziqlarning ikkita
bir nomli proyeksiyalari o'zaro parallel bo'lsa, ularning uchinchi proyeksiyalari
ham o'zaro parallel bo'ladi1.
                                                           
                                                              35-rasm
        Ammo to'g'ri chiziqlar biror proyeksiyalar tekisligiga parallel va ularning
shu tekislikdagi proyeksiyalari berilmagan bo'lsa, u holda yuqorida keltirilgan shart
bajarilmaydi. Masalan, W tekislikka parallel bo'lgan profil to'g'ri chiziq
kesmalarning bir nomli gorizontal va frontal proyeksiyalari (r1 va r2) ning o'zaro
parallel bo'lishi yetarli bo'lmaydi (36-rasm). Bunday hollarda to'g'ri chiziqlarning
6 profil proyeksiyalarini yasash va ularning paralleligini tekshirish zarur.
Shuningdek, bu to'g'ri chiziqlarning o'zaro vaziyatini profil proyeksiyalaridan
foydalanmasdan ham aniqlash mumkin.
Buning uchun:
        • to'g'ri chiziq kesmalarining bir nomli proyeksiyalarining nisbatlari tengligini
aniqlaymiz. Kesmaning biror, masalan, D', D" nuqtasidan ixtiyoriy (o'tkir burchak
ostida) parallel chiziqlar o'tkazib, D'1=A'B' va D"2=A"B" kesmalarni qo'yiladi
(36- rasm). So'ngra 1 va 2 nuqtalarni  С ′ va C" bilan tutashtiramiz. Agar C'1=C"2
bo'lsa bu to'g'ri chiziqlar o'zaro parallel bo'ladi. Aks holda bu to'g'ri chiziqlar
uchrashmas to'g'ri chiziqlar ekanligini isbotlanadi;
              • to'g'ri chiziq kesmalarining bir nomli  nuqtalarini o'zaro kesishadigan  qilib
to'g'richiziqlar   bilan   tutashtiramiz   (37-   rasm).   Agar   chiziqlarning   kesishish
nuqtasining
       E' va E" proyeksiyalari bir bog'lovchi chiziqda bo'lsa, u holda AB va CD to'g'ri
chiziqlar bir tekislikka tegishli va o'zaro parallel bo'ladi.
          36 – rasm                                                                            37-rasm
          2. Kesishuvchi to'g'ri chiziqlar
        Ta'rif. Agar ikki to'g'ri chiziq fazoda umumiy bir (xos) nuqtaga ega bo'lsa,
ularni kesishuvchi to'g'ri chiziqlar deyiladi.
Kesishuvchi to'g'ri chiziqlar proyeksiyalarining kesishish nuqtalari to'g'ri
7 chiziqlar kesishish nuqtasining proyeksiyalari bo'ladi (38-rasm). Kesishuvchi to'g'ri
chiziqlarning bir nomli proyeksiyalari ham chizmada o'zaro kesishadi va kesishish
nuqta proyeksiyalari bir proyeksion bog'lovchi chiziqda bo'ladi.
Fazoda umumiy vaziyatda kesishuvchi to'g'ri chiziqlar berilgan bo'lsa, bu
to'g'ri chiziqlarning faqat ikkita bir nomli proyeksiyalarining kesishishi kifoya
qiladi.
      Agar kesishuvchi chiziqlarning biri proyeksiyalar tekisligining birortasiga
parallel bo'lsa, u holda ularning ikkita bir nomli proyeksiyalarining o'zaro
kesishuvi yetarli bo'lmaydi. Masalan, AB va CD(38-rasm) to'g'ri chiziq
kesmalarining biri W tekislikka parallel joylashgan.
                                                               38- rasm
        Bu chiziqlarning o'zaro vaziyatini ularning profil proyeksiyalarini yasash
bilan aniqlash mumkin. Agar kesishish nuqtasining proyeksiyalari bir bog'lovchi
chiziqda joylashsa, bu to'g'ri chiziqlar o'zarokesishadi, aks holda to'g'ri chiziqlar
kesishmaydi.
       3. Uchrashmas (ayqash) to'g'ri chiziqlar
       Ta'rif. Ikki to'g'ri chiziq o'zaro parallel bo'lmasayoki kesishmasa ular
uchrashmas (ayqash)to’g’ri chiziqlar deyiladi.
       Ma’lumki, parallel va kesuvchi to'g'ri chiziqlar bitta tekislikka tegishli bo'ladi
(4 a,b-rasmlar). Uchrashmas to'g'ri chiziqlar esa bir tekislikda yotmaydi.
Uchrashmas to'g'ri chiziqlarning bir nomli proyeksiyalari chizmada o'zaro kesishsa
ham, ammo kesishish nuqtalari bir bog'lovchi chiziqqa tegishli bo'lmaydi.
Masalan, 39-rasmda AB (A′B', A"B") va EF(E'F′, E"F") uchrashmas chiziqlar
berilgan bo'lsin. Bu to'g'ri chiziqlar proyeksiyalarining 1'≡2' va 3"≡4" kesishish
nuqtalari fazoda bu to'g'ri chiziqlarning har biriga tegishli ikki nuqtaning
proyeksiyalari bo’lmay, aksincha, 1  ∈  EF, 2  ∈  AB va 3  ∈  EF, 4 ∈ AB bo'ladi.
8                                                                     b)
                                                            39 – rasm
         4. To'g'ri burchakning proyeksiyalanish xususiyatlari
         Teorema. Agar to'g'ri burchakning bir tomoni tekislikka parallel bo'lib,
ikkinchi tomoni bu tekislikka perpendikulyar bo'lmasa, mazkur to'g'ri burchak shu
tekislikka haqiqiy kattalikda proyeksiyalanadi.
         Bu teoremani isbotlash uchun 5 a-rasmdan foydalanamiz. Shakldagi
∠ ABC=90°ga teng va uning ikkala tomoni ham H tekislikka parallel vaziyatda
joylashgan deb faraz qilamiz. Bu vaziyatda uning gorizontal proyeksiyasining
qiymati o'ziga teng bo'lib proyeksiyalanadi, ya'ni  ∠ A'B'C=90° bo'ladi.
                        a)                                                   b)                           v)
40 – rasm
9          To'g'ri burchakning  ВС  tomonidan H tekislikka perpendikulyar qilib R
tekislik o'tkazamiz. U holda AB ⊥ R bo'lib, H∩R=RHhosil bo'ladi. Agar to'g'ri
burchakning  ВС  tomonini AB tomoni atrofida aylantirib, ixtiyoriy  ВС 1 vaziyatga
keltirsak ham uning bu tomonining proyeksiyasi RHbilan ustma-ust tushadi.
Shunga ko'ra  ∠ ABC1= ∠ A'B'C′ =90°bo'ladi. Demak:
∠ ABC=90°,  АВ ║ Н  va  ВС ║ Н ⇒∠ А ' В ' С ′ = 900.
Chizmada ( ∠ ABC va  ∠ DEF) to'g'ri burchaklarning tasvirlanishi 5 b va 5 
vrasmlarda
keltirilgan. To'g'ri burchakning proyeksiyalanish xususiyatidan chizma
geometriyada metrik masalalarni yechishda keng foydalanadi.
         5. Chizmalarda ko'rinishlikni aniqlash
          Geometrik figuraning fazodagi o'zaro vaziyatlariga oid masalalar yechishda
tasvirlarni yaqqolashtirish maqsadida ularning ko'rinadigan va ko'rinmaydigan
qismlarini aniqlashga to'g'ri keladi.
Geometrik figuralarning kuzatuvchiga nisbatan chizmada ko'rinishligi konkurent
nuqtalardan foydalanib aniqlanadi.
        Ta'rif.Bitta proyeksiyalovchi nurda (to'g'ri chiziqda) joylashgan nuqtalar
konkurent nuqtalar deyiladi.
         Agar kuzatuvchi proyeksiyalovchi nur yo'nalishida konkurent nuqtalarga
qarasa, u o'ziga yaqin bo'lgan nuqtani yoki proyeksiyalar tekisligidan uzoqroq
joylashgan nuqtani ko'radi. Masalan, 41-rasmda berilgan bir proyeksiyalovchi
chiziqda joylashgan va V ga nisbatan konkurent bo'lgan A va  В nuqtalarga s
yo'nalish bo'yicha qaralganda, kuzatuvchiga yaqin bo'lgan yoki V tekislikdan
uzoqroq joylashgan A nuqta ko'rinadi. Shuningdek, H ga nisbatan konkurent
bo'lgan  С  va D nuqtalarga S1 yo'nalish bo'yicha qaralsa, H tekislikdan uzoqroq
joylashgan  С  nuqta ko'rinadi.
                                                                  b)
10 41 – rasm
        
Chizmada konkurent nuqtalarning ko'rinishligini ularning koordinatalari
orqali aniqlash ham mumkin. Konkurent nuqtalarning H tekislikka nisbatan
ko'rinishligi z applikatasi, V tekislikka nisbatan  у  ordinatasi va W tekislikka
nisbatan x absissasi aniqlaydi. H tekislikka nisbatan applikatasi eng katta bo'lgan
konkurent nuqta kuzatuvchiga ko'rinadi.
6 b-rasmda A(A′, A'), B(B', B"), va C(C′, C"), D(D′, D") konkurent
nuqtalarning proyeksiyalari berilgan. Bunda V tekislikka nisbatan  В  nuqta, H
tekislikka   nisbatan   С   nuqta   ko'rinuvchi   nuqtalar   bo'ladi,   chunki   yA<   YBva
ZS>ZD.
        Fazoda turli vaziyatlarda joylashgan geometrik shakllarning chizmada
ko'rinishligi ularga tegishli bo'lgan ayrim konkurent nuqtalarning ko'rinishligini
tekshirish yo'li bilan aniqlanadi.
41-a rasmda a(a', a") va b(b', b") uchrashmas to'g'ri chiziqlar berilgan. To'g'ri
chiziqlar gorizontal proyeksiyalarning o'zaro kesishgan va H ga nisbatan konkurent
bo'lgan nuqtasi 1′≡2"ustma-ust proyeksiyalangan. Bu nuqtalardan qaysi birini
ko'rinishligini aniqlash uchun ularning gorizontal proyeksiyasidan
proyeksiyalovchi chiziq o'tkazib, to'g'ri chiziqlarning frontal a" va b'
proyeksiyalarida 1" va 2" nuqtalar belgilanadi va z1>z2 ekanligi aniqlanadi.
Natijada, a chiziqqa tegishli 1 nuqta kuzatuvchiga ko'rinadi, b chiziqqategishli 2
nuqta esa uning ostida bo'ladi. Demak, a(a', a") va b(b′, b") to'g'ri chiziqlarga
yuqoridan qaraganda a to'g'ri chiziq b to'g'ri chiziqqa nisbatan kuzatuvchiga yaqin
joylashgan.
                          a)                                                                             b)
42– rasm
       42 –rasmda ham c(c', c") va d(d', d") chiziqlarni Vga nisbatan qaraganda
11 y3>y4 bo'lgani uchun 3 nuqta kuzatuvchiga ko'rinadi. Shuning uchun c(c', c") va
d(d', d") to'g'ri chiziqlarga oldidan qaraganimizda d to'g'ri chiziq  с  to'g'ri chiziqqa
nisbatan kuzatuvchiga yaqinroq joylashgan.
2.2.Labacheviskiy geometriasida tekisliklarni o’zaro vaziyati
 Ta‛rif. Agar bir tekislikka tegishli o'zaro kesishuvchi ikki to'g'ri chiziqlar 
ikkinchi tekislikka tegishli o'zaro kesishuvchi ikki to'g'ri chiziqlarga mos ravishda
parallel bo'lsa, bunday tekisliklar ham o'zaro parallel deyiladi.
Agar Q tekislikka tegishli a∩b kesishuvchi to'g'ri chiziqlar ikkinchi P 
tekislikka   tegishli   a1∩b1   kesishuvchi   to'g'ri   chiziqlarga   mos   ravishda   o'zaro
parallel bo'lsa, bu tekisliklar ham o'zaro parallel bo'ladi (1-rasm).
Agar fazodagi ikki tekislik bir-biriga parallel bo'lsa, chizmada bu 
tekisliklarning bir nomli izlari ham o'zaro parallel bo'ladi, ya'ni: Q || R bo'lsa; QH ||
RH,, QV || RV va QW || RW bo'ladi (2-rasm).
Chizmada profil proyeksiyalovchi tekisliklar uchun ularning gorizontal va 
frontal   izlari   parallel   bo'lishi   yetarli   bo'lmaydi.   Masalan,   3-rasmda   berilgan   G   va
G1 tekisliklarda  GH  || G1H  va  GV ||  G1V bo'lib,  GW  ≠G1W bo'lgani  uchun  G≠
G1bo'ladi.   Bu   tekisliklarning   o'zaro   vaziyatini   tekisliklarga   tegishli   a   va   b   to'g'ri
chiziqlar yordami bilan ham aniqlash mumkin, bunda a ⊂ G1 va  b ⊂ G bo'lgan holda
a"  ∥ b" bo'lsa, a' ≠b‛ bo'lgani uchun a≠b va G≠G1 bo'ladi.
12                               2-rasm                                           3-rasm
         Fazodagi ixtiyoriy nuqta orqali berilgan tekislikka faqat bitta parallel tekislik
o'tkazish mumkin. 1-misol. A (A', A") nuqtadan Q (QH, QV) tekislikka parallel P
(PH,   Pv)   tekislik   o'tkazish   talab   qilinsin   (4-a   rasm).   Tekisliklarning   parallellik
xususiyatlariga   ko'ra   P   tekislikning   izlari   PH ∥ QH   va   PY ∥ QY   Pw   ∥ Qw   bo'lishi
shart.   Misolni   yechish   uchun   to'g'ri   chiziq   va   tekislikning   parallellik   shartlaridan
foydalanib,   A   nuqtaning   A'   va   A"   proyeksiyalaridan   Q   tekislikka   parallel   qilib
ixtiyoriy to'g'ri chiziq, h (h‛ h") gorizontal o'tkaziladi (4-b rasm). 4-rasm 
Bu   gorizontalning   frontal   izi   h"V   yasalib   undan   izlangan   P   tekislikning   PV   izi
berilgan   tekislikning   QV   iziga   parallel   qilib   o'tkaziladi.   So'ngra   PV   ∩   Ox   =PX
nuqtasidan   Q   tekislik-   ning   QH   iziga   parallel   qilib   izlangan   tekislikning   PH   izi
o'tkaziladi.   2-misol.   E   (E‛,   E")   nuqtadan   a   (a',   a")   va   b   (b',   b")   parallel   chiziqlar
bilan berilgan tekislikka parallel tekislik o'tkazish talab qilinsin (5-a rasm).
13          Bu misolni yechish uchun berilgan tekislikka tegishli ixtiyoriy c(c', c") to'g'ri
chiziqni o'tkazib, So'ngra E nuqtaning E‛ va E" proyeksiyalaridan a va s chiziqlar
proyeksiyalariga mos ravishda parallel qilib o'tkazilgan m'∩n',m"∩n" kesishuvchi
chiziqlar   proyeksiyalari   izlangan   tekislik   proyeksiyasi   bo'ladi.   Tekislikka   tegishli
bo'lmagan nuqtadan mazkur tekislikka parallel bo'lgan cheksiz ko'p to'g'ri chiziqlar
o'tkazish   mumkin.   Bunday   to'g'ri   chiziqlar   to'plami   berilgan   tekislikka   parallel
bo'lgan tekislikni ifodalaydi.
       Tekisliklarning o'zaro kesishuvi 
        Ta'rif. Agar ikki tekislik umumiy ikki nuqtaga ega bo'lsa bu tekisliklar o'zaro
kesishuvchi deyiladi. Ikki P va Q tekisliklar m to'g'ri chiziq bo'yicha kesishadigan
bo'lsa, bu chiziqni yasash uchun har ikkala tekislikka tegishli bo'lgan ikki umumiy
nuqtasini   aniqlash   kifoya   qiladi   (6-rasm).   7-a,   b   rasmda   P   va   Q   kesishuvchi
tekisliklar   berilgan.   Tasvirdan   yaqqol   ko'rinib   turibdiki,   bu   tekisliklarga   umumiy
bo'lgan   E   va   F   nuqtalar   tekisliklarning   bir   nomli   izlarining   kesishish   nuqtalari
bo'ladi: E = QH ∩PH va F = QV ∩PV.   
14        Bu uqtalar o'zaro tutashtirilsa Q va P tekisliklarning l kesishuv chizig'i 
hosilbo'ladi: 
l = Q∩ P.
        Chizmada (7-b rasm) bu tekisliklarning kesishish chizig'ining proyeksiyalarini
yasash uchun tekisliklarning bir nomli izlarining kesishish E va F nuqtalarining E‛,
E"   va   F‛,   F"   proyeksiyalari   aniqlanadi   va   bir   nomli   proyeksiyalarini   o'zaro
tutashtiriladi. Natijada hosil bo'lgan l‛ va l" to'g'ri chiziqlar Q va P tekisliklarning
kesishish   chizig'ining   proyeksiyalari   bo'ladi.   Agar   tekisliklarning   izlari   birinchi
oktantda   kesishmasa   u   holda   bir   nomli   izlarini   davom   ettirib   ularning   kesishuvi
nuqtasini   boshqa   oktantda   topish   bilan   kesishuv   chizig'i   nuqtalarining
proyeksiyalarini yasash mumkin.
          Masalan, T (TH, TV) va P (PH, PV) tekisliklarning (8-rasm) gorizontal izlari
Tn va Pn ikkinchi oktantda kesishadi. 
            Kesishuvchi   tekisliklarning   biri   gorizontal   tekislik   bo'lsa,   bu   tekisliklar
gorizontal chiziq bo'yicha kesishadi.
15               9-a,b-rasmda umumiy vaziyatdagi T tekislik bilan H1 gorizontal tekislikning
kesishish   chizig'i   h   gorizontal   bo'ladi.   Agar   umumiy   vaziyatdagi   tekislik   frontal
tekislik   bilan   kesishgan   bo'lsa,   bu   tekisliklar   frontal   bo'yicha   kesishadi.   Ammo
kesishuvchi   tekisliklarning   biri   proyeksiyalovchi   tekislik   bo'lsa,   proyeksiyalovchi
tekislikning   xossasiga   muvofiq,   ularning   kesishish   chizig'ining   proyeksiyalaridan
biri proyeksiyalovchi tekislikning izida bo'ladi (10-rasm).
Kesishuvchi
tekisliklarning bir nomli izlari chizma chegarasida kesishmasa,  ularning kesishish
chizig'ini   yordamchi   tekisliklar   vositasida   aniqlash   mumkin.   Masalan,   umumiy
vaziyatdagi   Р ( Рн ,   PV)   va   T(TH,   Т V)   tekisliklarning   kesishish   chizig'ini   yasash
uchun H1 gorizontal va V1, frontal tekisliklardan foydaianiladi (11-rasm ).
       12-a,b-rasmdagi umumiy vaziyatdagi a  ∥ b va s ∩ d chiziqlar bilan berilgan Q
va   P   tekisliklarning   kesishish   chizig’ini   yasash   uchun   gorizontal   H1   va   H2
tekisliklar o'tkazilgan.
              Dastalab   H1   tekislikning   Q   va   P   tekisliklar   bilan   kesishish   chiziqlarini
aniqlash   uchun   tekisliklarni   a,   b   va   s,   d,   chiziqlarini   1,   2   va   3,   4   nuqtalarda
kesganligi   belgilanadi.   Bu   nuqtalarni   o'zaro   tutashtirganda,   m1   va   n1   chiziqlar
hosil   bo'ladi,   ya'ni:   H1   ∩   Q=m1   va   H1   ∩P   =   n1   bo'ladi.   m1   va   n1   to'g'ri
16 chiziqlarning kesishish nuqtasi E = m1 ∩ n1 Q va P tekisliklarga umumiy bo'lgan
birinchi nuqtadir.
       Xuddi shu tartibda Q va P tekisliklarning H2 gorizontal tekislik bilan kesishish
chizig'i   aniqlanadi.   Chizmada   H2   tekislik   a,   b   va   c,   d   chiziqlarni   5,   6   va   7,   8
nuqtalarda kesadi. Natijada:  H2 ∩Q = m2 va H2 ∩ P = n2 hosil  bo'ladi. Rasmda
H2   ∥ H1   bo'lgani   uchun   m2   ∥ m1   va   n2   ∥   n1   bo'ladi.   Bu   nuqta   Q   va   P
tekisliklarning   ikkinchi   umumiy   F   nuqtasi   bo'lib   u   m1va   n2   chiziqlarning   o'zaro
kesishish nuqtasi bo'ladi: Fq m2 ∩ n2 . 
        Har ikkala P va Q tekisliklar uchun umumiy bo'lgan E va F nuqtalarni o'zaro
tutashtirsak, tekisliklarning kesishish chizig'i hosil bo'ladi.
17 2.3. Lobachevskiy geometriyasida to'g'ri chiziq va tekisliklarning o’zaro
vaziyati
       Tekislikka tegishli to'g'ri chiziq va nuqta. Quyidagi xollarda to'g'ri chiziq
tekislikka tegishli bo'ladi:
       • agar to'g'ri chiziqning ikki nuqtasi tekislikka tegishli bo'lsa, bu to'g'ri chiziq
tekislik- ka tegishli bo'ladi. Masalan, a to'g'ri chiziqning A vaBnuqtalari (13-
rasm) Q tekislikka tegishli bo'lganligi uchun a to'g'ri chiziq Q tekislikka tegishli
bo'ladi;
       • agar m to'g'ri chiziqning bir nuqtasi tekislikka tegishli bo'lib, mazkur
tekislikka tegishli yoki unga parallel biror to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsa, bu
to'g'ri chiziq tekislikka tegishli bo'ladi. Masalan, m to'g'ri chiziqning  С nuqtasi Q
tekislikka tegishli va bu to'g'ri chiziq mazkur tekislikka tegishli to'g'ri chiziqqa
parallelbo'lsa, uholdamto'g'richiziq Q  tekislikkategishlibo'ladi.
 
a)                                                                        b)
18                                                              74-rasm
       To'g'ri chiziqning tekislikka tegishli bo'lish shartlaridan quyidagi xulosaga
kelish mumkin.
              Agar   to'g'ri   chiziq   tekislikka   tegishli   bo'lsa,   bu   to'g'ri   chiziqning   bir   nomli
izlari tekislikning bir nomli izlariga tegishli bo'ladi (75-rasm). P tekislikka tegishli
m
to'g'ri chiziqning  М H gorizontal izi tekislikning PH gorizontal izida, to'g'ri
chiziqning MV frontal izi tekislikning PV frontal izida joylashgan. Demak, m
to'g'richiziq P tekislikka tegishli bo'ladi, ya'ni m   P.
75-rasm
              Agar   nuqta   tekislikka   tegishli   bo'lsa,   bu   nuqta   tekislikning   biror   to'g'ri
chizig'iga   tegishli   bo'ladi.   Masalan,   76-rasmda   Р ( Р H н ,   PV)   tekislik,   A(A′   ,A")
vaB(B',   B")   nuqtalarning   proyeksiyalari   berilgan.   Tekislik   va   nuqtalarning   o'zaro
joylashuvini aniqlash ko'rsatilgan.
       77-rasmda a va b kesishuvchi chiziqlar orqali berilgan R tekislik bilan E va F
nuqtalarning o'zaro vaziyati m va n chiziqlar yordami bilan aniqlangan:
1. E'  ∈ 'mvaE"  ∈ n" bo'lgani uchun E ∈ R.
1. F m'va F' ∈  m"bo'lgani uchun esa F R. 
76-rasm                                                77-rasm
19          Tekislikning bosh chiziqlari
        Tekislikning bosh chiziqlariga uning gorizontali, frontali va eng katta og'ish
chiziqlari kiradi.
        Tekislikning gorizontali
        Ta′rif.Tekislikka tegishli to'g'ri chiziq H tekisligiga parallel bo'lsa, bu to'g'ri
chiziq tekislikning gorizontali deyiladi.
Chizmada tekislik gorizontalining frontal proyeksiyasi Ox ga gorizontal
proyeksiyasi esa tekislikning gorizontal iziga parallel bo'ladi (78-rasm).
78-rasm
79-rasm
       79-rasmda  а ∩b   chiziqlar bilan berilgan tekislikning h gorizontali va f frontali
tasvirlangan.
       Tekislikning profil chizig'i
       Ta'rif. Agar tekislikka tegishli to'g'ri chiziq profil proyeksiyalar tekisligiga
parallel bo'lsa, bu to'g'ri chiziq tekislikning profil chizig'i yoki profili
deyiladi.
       Bunda p ∈ Qbo'lib va p║W bo'lsa, p to'g'ri chiziq Q tekislikning profili bo'ladi
20 (80- a,b-rasm).
a)           b)
80-rasm
       Tekislikning eng katta og′ma chizig'i
       Ta'rif. Tekislikka tegishlivatekislikning bosh chiziqlaridan biri (gorizontalyoki
frontal)gaperpendikulyar to'g'ri chiziq tekislikning engkatta og′ma chizig′i deb
ataladi.
       Agar P tekislikka tegishli e to'g'ri chiziq tekislikning gorizontaliga
perpendikulyar bo'lsa, u holda e to'g'ri chiziqni P tekislikning H tekislikka nisbatan
eng katta og'ma chizig'i deyiladi.
       81-rasmda P tekislikning H tekislikka eng katta og'ma chizig'i tasvirlangan. Bu
yerda h ⊂ P va h║H. To'g'ri burchakning proyeksiyalanish xususiyatidan;
∠ BED=90° va ED║H bo'lgani uchun  ∠ B'E'D'=90obo'ladi.
       Tekislikning eng katta og'ma chizig'i orqali uning proyeksiyalar tekisligi bilan
hosil qilgan ikki yoqli burchagi aniqlanadi (81-rasm). P tekislikning H tekislikka
nisbatan eng katta og'ma chizig'i P va H tekisliklar orasidagi  ∠ BAB′chiziqli
burchakni ifodalaydi (chunki AB ⊥ PHva A'B′ ⊥  PH). Bu ikki yoqli burchakning
qiymatini aniqlaydi.
81-rasm
       P tekislikning H tekislikka nisbatan eng katta og'ma chizig'ining gorizontal
proyeksiyasi tekislikning h gorizontal chizig'ining h' gorizontal proyeksiyasiga
21 yoki tekislikning PH gorizontal iziga perpendikulyar bo'ladi ( 81-rasm).
   
            P   tekislikning   Hga   nisbatan   eng   katta   og'ma   chizig'ini   yasash   uchun   P
gorizontal
izida ixtiyoriy A nuqta tanlab olinadi. Bu nuqtadan e ∈ P to'g'ri chiziqning
gorizontal proyeksiyasini e' ⊥ PH qilib, P tekislikning H tekislikka eng katta og'ma
chizig'ining gorizontal proyeksiyasi o'tkaziladi va Oxo'qida e'∩Ox=B' nuqta
aniqlanadi. So'ngrabu chiziqning frontal e" proyeksiyasi A' va B′nuqtalar
yordamida yasaladi. Hosil bo'lgan e ∈ P to'g'ri chiziqning e' va e" proyeksiyalari P
tekislikning H tekislikka nisbatan eng katta og'ma chizig'ining proyeksiyalari
bo'ladi. Bu chiziqning H tekislik bilan hosil qilgan α  burchagi aniqlanadi. Buning
uchun to'g'ri burchakli uchburchak  Δ A'B'Vodan foydalanilgan (81-rasm).
Xuddi shunday Q (QH,QV) tekislikning V tekislik bilan hosil etgan  β burchagi
yasaladi (82-rasm).
                          82-rasm                                    83-rasm
                  Δ ABC   orqali   berilgan   tekislikning   V   tekislik   bilan   hosil   qilgan
burchagianiqlangan   (83-rasm).   Buning   uchun   ABC   tekislikning   f(f   ',f")   frontalini
olamiz vaunga perpendikulyar qilib berilgan tekislikning V tekislikka nisbatan eng
kattaog'ma chizig'i m(m′ ,m")dan foydalanamiz.
        To'g'ri chiziq va tekisliklarning o'zaro parallelligi
              Ta'rif.   Agar   fazodagi   m   to'g'ri   chiziq   P   tekislikka   tegishli   biror   n   to'g'ri
chiziqqa
parallel bo'lsa, u holda bu to'g'ri chiziq tekislikka parallel bo'ladi.Bunda n ⊂ P bo'lib,
m ∥ n bo'lsa m ∥ Pbo'ladi (84-a, b rasm).
22 84-rasm
       1-misol.A (A', A") nuqtadan Q (QH, QV) tekislikka parallel to'g'ri chiziq 
o'tkazish talab qilinsin (24-rasm).
             A nuqtadan Q tekislikka parallel qilib cheksiz ko'p to'g'ri chiziqlar o'tkazish
mumkin. Shunday to'g'ri chiziqlarning ixtiyoriy bittasi l o'tkaziladi.
             Buning uchun Q tekislikka tegishli ixtiyoriy e (e’ e") to'g'ri chiziq tanlanadi.
Bu   to'g'ri   chiziqning   bir   nomli   proyeksiyalariga   parallel   qilib   A   nuqtaning   A'   va
A"proyeksiyalaridan izlangan to'g'ri chiziqning l’ va l" proyeksiyalari o'tkaziladi.
                  85-rasm                                                       86-rasm
       2-misol. D (D’ D") nuqtadan ABC (A’B’C’, A"B"C") tekisligi va gorizontal
proyeksiyalar   tekisligi   H   ga   parallel   m   to'g'ri   chiziq   o'tkazilsin   (86-rasm).Buning
uchun  Δ ABC tekisligida H ga parallel, qilib uning gorizontali h (h’,h")to'g'ri chiziq
o'tkaziladi. So'ngra D nuqtaning D' va D" proyeksiyalaridan m‛ ∥ h' va
m" ∥ h" qilib izlangan to'g'ri chiziqning proyeksiyalari o'tkaziladi.
                  3-misol.   P(m   ||   n)   tekislik   va   l(l',l   ")   to'g'ri   chiziqning   o'zaro   vaziyati
aniqlansin
23                                                       87-rasm
       To'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro vaziyatini aniqlash uchun P tekislikda e' ||l‛
qilib to'g'ri chiziqning gorizontal proyeksiyasi o'tkaziladi va uning frontal e"
proyeksiyasi yasaladi. Chizmada e" to'g'ri chiziq l‛‛ ga parallel bo'lmagani uchun l
to'g'ri chiziq tekislikka parallel bo'lmaydi.
  
XULOSA
24      
              Yuqorida   bayon   etilgan   fikrlardan   xulosa   shuki,   talabalarga   boshlang`ich
kurslardan   boshlab   geometriyaning,   to’g’ri   chiziq,   tekislik,   to’g’ri   chiziq   va
tekislikning   o’zaro   vaziyati   ham   amaliy,   ham   ilmiy–nazariy   jihatdan   yaxshi
o`qitilishi shart. 
Yevklid geometriyasining aksiomalar sistemasidan faqat parallellik 
aksiomasi bilan farq qiladigan, aksiomalar sistemasiga asoslangan geometrik 
nazariya. L.g.da Yevklidning parallellik aksiomasi o rniga quyidagi aksioma qabulʻ
qilinadi: agar to g ri chiziq va undan tashqarida nuqta berilgan bo lsa, ularni o z 	
ʻ ʻ ʻ ʻ
ichiga olgan tekislikda shu nuqtadan o tuvchi, lekin berilgan to g ri chiziq bilan 	
ʻ ʻ ʻ
kesishmaydigan kamida ikkita to g ri chiziq o tkazish mumkin.	
ʻ ʻ ʻ
         L. g.ning manbai — Yevklidning "Negizlar" asarida ta riflangan beshinchi 	
ʼ
postulatni isbotlash uchun Ibn al-Xaysam (10-asr), Umar Xayyom (12-asr), 
Nasriddin Tusiy (13-asr), Prokl (15-asr), Lejandr, Lambert va boshqa matematiklar
tomonidan qilingan urinishlardir. 19-asrda beshinchi postulatni boshqa aksiomalar 
asosida isbotlab bo lmaydi, ya ni u mustaqil aksioma, degan fikr vujudga keldi. 	
ʻ ʼ
Agar beshinchi postulat aksioma sifatida qabul qilingan bo lsa, uning inkori ham 	
ʻ
boshqa aksi-omalarga zid bo lmasligi kerak. Yevklidning beshinchi postulati 	
ʻ
o rniga yuqoridagi aksiomaga asoslangan geometriyani birinchi marta 1826-yilda 	
ʻ
N. I. Lobachevskiy, undan keyinroq Ya. Bolyay taklif qildi.
        Yevklid geometriyasining parallellik aksiomasiga asoslanmagan teoremalari 
L.g.da ham o rinli bo ladi, parallellik aksiomaga asoslangan teoremalari esa L.g.da	
ʻ ʻ
o rinli bo lmaydi. L.g.da uchburchakning ichki burchaklari yig indisi 180° dan 	
ʻ ʻ ʻ
kichik.
       L.g.ning mantiqiy ziddiyatsizligini birinchi marta italyan matematigi E. 
Beltrami 1868-yilda isbotladi. U psevdosferaning geodezik chiziqlari to g ri chiziq	
ʻ ʻ
deb qaralsa, hosil bo ladigan geometriya L.g. ekanligini ko rsatdi. Bu fakt L.g.ning	
ʻ ʻ
Beltrami interpretatsiyasi (izohi) deyiladi. Keyinchalik F. Kleyn va A. Puankare 
ham L.g.ning boshqa interpretatsiyalarini berdilar.
       L.g. — mat., mexanika va fizikada keng tatbiq etiladigan nazariya. Shu bilan 
birga L.g.ning yaratilishi moddiy olam haqidagi tasavvurimizni boyitdi. Yevklid 
geometriyasi olamni to g ri aks ettiruvchi yagona geometriya emasligini ko rsatdi.	
ʻ ʻ ʻ
       B. Rimanning elliptik geometriyasidan farqlash uchun L.g. ba zan noyevklid 	
ʼ
giperbolik geometriya ham deyiladi.
        O`tmish tarixdan aniq ma`lumki, qadimda buyuk muhandislar geometriyaning
ilmiy asoslarini qo`llash natijasida, katta yutuqlarga erishganlar. 
       Bularni talabalarga o`qitishda didaktiv prinsiplarning asosiysi hisoblangan– 
ilmiylik prinsipi yetakchi o`rin egallashi lozim. 
          Men o`zimning kurs ishimda Lo bacheviski geometriasida, Tekislik va to’g’ri
chziqlarni vaziyati haqidagi umumiy tushunchalarni bayon etdim, ishlash usullarini
misollar keltirish bilan yoritdim. Shu bilan birga Tekislik va to’g’ri  chiziqga doir
25 bir   nechta   misollarni   ko`rsatdim.   Men   o`z   kurs   ishimda   oldimga   qo`ygan
maqsadimga erishdim.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati.
1.   Islom   Karimov   Yuksak   ma`naviyat   –   yingilmas   kuch   Toshkent   “Ma`naviyat”
2008. 
26 2. O`zb е kiston R е spublikasining “Ta`lim to`g`risida”gi qonuni. –T., 1997. 
3. O`zb е kiston R е spublikasining Kadrlar tayyorlash milliy dasturi. T., 1997. 
4. O`zb е kiston R е spublikasining Davlat ta`lim standarti, T.2003.
5. O’zbekiston Respublikasi Prezidenti Mirziyoev.SH.M Milliy taraqqiyot 
yulimizni qatiyat bilan davom ettirib, yangi bosqichga kutaramiz. 1-jild—T.. 
“O’zbekiston “,2017.-592b.
6. O’zbekiston Respublikas Pirizidenti Mirziyoev.SH.M Xalqimizning roziligi 
bizning faolligimizga berilgan eng oliy baxodi. 2-jild.T.. “O’zbekiston”, 2018.
7. Karimov.I.A O’zbekiston mustaqillikga erishish ostonasida—T.. 
“O’zbekiston”,2017.
8. Dadajonov Normat, Yunusmetov Rasulmat, Abdullaev Temir Geometriya. 
Toshkent “O’ituvchi”—1988.
9. Dadajonov.N.D, Juraeva.M.J Geometriya. 1-qism, Toshkent, “O’qituvchi”, 
1982.
10. Otajonov.R.Q. Geometriya yasash metodlari.  T, “O’qituvchi”, 1970.
11. Pogorelov.A.V Geometriya, 6-10, Toshkent, “O’qituvchi”, 1984.
12 .   Я.И. Перельман  «Занимательная геометрия» Москва 2010г.
13 .   Я.П.Понарин.   “Элементарная геометрия”.  Москва 2006 г
14.  B . Q .  Xaydarov  “ Algebra   va   analiz   asoslari   geometriya   I   qism ”.  Toshkent      
       2018 y
15.     B . Q .  Xaydarov  “ Algebra   va   analiz   asoslari   geometriya   II   qism ”.  Toshkent     
        2018 y
16. Погорелов А.В. “Геометрия 10–11”, учебник. –М., Просвешение, 2009
17.   Геометрия, Часть I, Атанасян Л.С., Базылев В.Т., 1986
18 .   Геометрия, Часть  II , Атанасян Л.С., Базылев В.Т., 1986
 
Elektron ta’lim resurslari
1 . O’zbekiston Respublikasi Oliy va urta maxsus ta’lim vazirligi :  www.edu.uz .
2 . O’zbekiston Respublikasi Xalq talim vazirligi :  www.uzedu.uz .
27 3. O’zbekiston Respublikasi Xalq talim vazirligi xuzuridagi Multimedia 
umumta’lim dasturlarini ruvojlantirishmarkazi:  www.eduportal.uz . 
www.multimedia.uz .
4.  O’zbekiston Respublikasi Oliy va urta maxsus ta’lim vazirligi xuzuridagi bosh 
Bosh ilmiy-metodik markaz:  www.bimm.uz .
Ijtimoiy axborot ta’lim portal:  www.ziyonet.uz .
5. Nizomiy nomidagi Toshkent davlat pedagogika universiteti  www.tdpu.uz . 
6. Internet resurslari elekton kutubxonasi:  http://www.allbest.ru .
 
28

Lobachevskiy geometriyasi

Sotib olish
  • O'xshash dokumentlar

  • Muntazam ko‘pyoqlar
  • Fazodagi geometrik oʻrinlar
  • Lobachevskiy geometriyasining turli modellari
  • Almashtirishlar gruppasi
  • Turli yosh guruhlarda geometrik shakl va figuralar haqidagi tasavvurlarni shakllantirish

Xaridni tasdiqlang

Ha Yo'q

© Copyright 2019-2025. Created by Foreach.Soft

  • Balansdan chiqarish bo'yicha ko'rsatmalar
  • Biz bilan aloqa
  • Saytdan foydalanish yuriqnomasi
  • Fayl yuklash yuriqnomasi
  • Русский