Информация о документе

Цена 2000UZS
Размер 107.0KB
Покупки 0
Дата загрузки 07 Ноябрь 2026
Расширение docx
Раздел Рефераты
Предмет Педагогика

Продавец

Bohodir Jalolov

Matritsalar va ular ustida amallar. Koordinatalar sistemasini (Dekart) burishda tenzorlarini almashtirish.Ikkinchi rang simmetrik tenzorning bosh qiymatlari va bosh yo‘nalishlari

Купить
Matritsalar va ular ustida amallar. Koordinatalar sistemasini ( Dekart ) burishda tenzorlarini almashtirish.Ikkinchi rang simmetrik tenzorning bosh qiymatlari va bosh yo’nalishlari . Tenzor maydonlar to’g’risida tushuncha.Tenzor maydonlar va tenzor hisobi. Reja: 1. Tenzorlarni qo’shish va ayirish. 2. Tenzorni skalyarga ko’paytirish. 3. Simmetriklash va antisimmetriklash. 4. Tenzorni tenzorga ko’paytirish. 5. Tenzor indekslarini ko’tarish va tushirish. 6. Tenzorning rangini pasaytirish. 7. Tenzorning skalyar invariantlari. 8. Tenzorning bosh o’qlari. 9. Tenzorning bosh komponentalari. 10. Vektorning kovariant hosilasi. Tay anch iboralar: t enzor, tenzorning rangi, skalyar, vektor, simmetriklash, antisimmetriklash, invariant, bosh o’q, bosh komponenta, kontravariant komponentadan kovariant hosila. 1. Te nzorlarni qo’shish va sk aly arga k o’pay t irish. Tenzorlarni qo’shish amali faqat bir xil tuzilishga ega hamda ranglari teng bo’lgan tenzorlar ustidagina o’rinlidir. Masalan, A= Aijk ⃗эi⃗эj⃗эk va B = Bijk ⃗эi⃗эj⃗эkuchinchi rang tenzorlarni qo’shsak C = A+ B= (Aijk + Bijk )⃗эi⃗эj⃗эk yana uchinchi rang tenzor hosil qilamiz. Ayirsak ham huddi shunday. Quyidagi beshta tenzorni qaraylik T1= T ji⃗эi⃗эj, T2= T pq ⃗эp⃗эq, T3= Tmn ⃗эm⃗эn, T4= Tlk⃗эk⃗эl, T5= Tl⋅¿¿k⃗эk⃗эl. ¿ Bu tenzorlardan faqat T 1 +T 4 va T 2 +T 3 yig’indilarnigina tuzish mumkin T 1 va T 2 ; T 3 va T 4 larning yig’indilarini tuzib bo’lmaydi, chunki ushbu tenzorlarning tuzilishlari har xil. Xuddi shu sababga ko’ra T 5 tenzorini qolgan tenzorlarning hech biri bilan qo’shib bo’lmaydi. Tenzorlarni qo’shish amalini ketma-ket qo’llash natijasida tenzorni songa (skalyarga) ko’paytirish amalini asoslash mumkin. Demak, agar A-tenzor bo’lsa, ixtiyoriy k≥ 0 soni uchun C = k A ob’yekt ham tenzordir. 2. Te nzorlarni simme t rik lash va ant isimme t rik lash. Ta’rif 1 . T= T ijkl ⃗эi⃗эj⃗эk⃗эl tenzor i va j indekslari bo’yicha simmetrik deyiladi, agar T ijkl = T jikl bo’lsa. Ta’rif 2 . T=Tijkl ⃗эi⃗эj⃗эk⃗эl tenzor i va j indekslari bo’yicha antisimmetrik deyiladi, agar T ijkl = − T jiklbo’lsa. Yuqorida keltirilgan qo’shish qoidasidan foydalanib ixtiyoriy T= T ij⃗эi⃗эj ikkinchi rang tenzorga doimo simmetrik T 0= 1 2 (T ij+ T ji)⃗эi⃗э j (4.1) va antisimmetrik T1= 1 2 (Tij− T ji)⃗эi⃗эj (4.2) tenzorlarni mos qo’yish mumkin. Ushbu (4.1) va (4.2) amallarga mos ravishda tenzorni simmetriklash va antisimmetriklash deyiladi. Ko’rinib turibdiki, agar T simmetrik tenzor bo’lsa T 0 = T va T 1 =0 , va aksincha agar T antisimmetrik tenzor bo’lsa, T 0 = 0 va T 1 = T bo’ladi. Yuqoridagi (4.1) va (4.2) formulalardan T ij= 1 2 (T ij+T ji)+ 1 2 (T ij− T ji) (4.3) ya’ni T=T 0 +T 1. Demak, (4.3) formuladan ko’rinadiki tenzorning T ij matrisasini simmetrik va antisimmetrik matrisalar yig’indisi kabi tasvirlash mumkin. Eslatma. Ranglari va tuzilishlaridan qat’iy nazar ixtiyoriy tenzorlarni ularning berilish tartibida ko’paytirish mumkin. Masalan, A= Ai⃗эi vektor va T= T ¿j k⋅¿⃗эk⃗эj ¿ tenzorlarni quyidagicha ko’paytirish mumkin B = A iT ¿jk⋅¿⃗эi⃗эk⃗эj; C=T¿j k⋅¿Ai⃗эk⃗эj⃗эi,¿¿lekin hosil qilingan B va C ob’yektlar uchinchi rang tenzorlari bo’lmaydilar. Shuning uchun bunday ko’paytalarga tenzorlarning noaniq ko’paytmalari deyiladi. 3. Te nzorning indek slarini k o’t arish va t ushirish. Te nzorning rangini pasay t irish. O’tgan 3-ma’ruzadagi (3.14) formulaga asosan g fundamental metrik tenzor yordamida tenzor komponentalarining yuqori indekslarini tushirish mumkin degan xulosaga kelamiz. Xuddi shunday tenzor komponentalarining pastki indekslarini ko’tarish ham mumkin. Masalan, T= T ijk ⃗эi⃗эj⃗эk= Tijk gim ⃗эmgjn⃗эngkp ⃗эp= Tijk gim g jngkp ⃗эm⃗эn⃗эp= ¿Tmnp ⃗эm⃗эn⃗эp= Tmnp ⃗эm⃗эn⃗эqgpq= Tmnp gpq⋅⃗эm⃗эn⃗эq= T¿⋅q mn ⋅¿⃗эm⃗эn⃗эq ¿ Bu yerda T tenzor komponentalarining indekslari ko’tarildi va yana qisman tushirildi. Fundamental metrik tenzor yordamida bajarilgan yuqoridagi amal indekslarni ko’tarish va tushirish amali deyiladi. Tenzorlarning ranglarini pasaytirish ham mumkin. Lekin bu amal faqat aralash komponentali tenzorlar uchungina o’rinlidir. Ushbu amal bilan xususiy misolda tanishamiz. Faraz qilaylik aralash komponentali uchinchi rang tenzor Ti⋅¿¿jk⃗эi⃗эj⃗эk ¿ berilgan bo’lsin. Bu tenzorning hamma komponentalari ichidan faqat i = j bo’lganlarini tanlab olib, ularning yig’indisini qaraymiz: Ti⋅⋅¿¿ik=T1⋅⋅¿¿1k+T2⋅⋅¿⋅2k+T3⋅⋅¿¿3k¿¿¿¿Ko’rinib turibdiki bu yig’indi faqat k indeksgagina bog’liq, chunki i -«gung» indeksdir. Ti⋅⋅¿¿ik¿ yig’indi Ti⋅⋅¿¿ik¿ komponentalar ustida i va j indekslar bo’yicha tenzorning rangini pasaytirish amali natijasidir. Bunday amalni bajarish natijasida tenzorning rangi birlikka kamayadi. Demak, Ti= Ti⋅¿ ¿ik⃗эk tenzorining rangi birga teng. Agar tenzor o’zining faqat konrtavariant yoki faqat kovariant komponentalari bilan berilgan bo’lsa uning rangini pasaytirish g fundamemtal metrik tenzor yordamida bajariladi: T = T ij⃗эi⋅⃗эj= T ijgik⃗эk⋅⃗эj= T k⋅¿¿j⃗эk⋅⃗эj ¿ demak, Tijgik=Tk⋅¿¿j¿ ya’ni bundan keyin tenzorning rangini pasaytirish uchun uning komponentasini avvalo fundamental metrik tenzor yordamida aralash holga keltirish va shundan keyin rangini pasaytirish mumkin. 4. Te nzorning sk aly ar invariant lari Tutash muhit mexanikasi qoidalarining matematik ifodalari koordinat sistemasining tanlanishiga bog’liq bo’lmasligi kerak. Ushbu talab matematik ifodalar faqat invariant ob’ektlar orqali yozilishi kerakligini taqozo qiladi. Bu esa o’z navbatida vektor va tenzorlarning invariantlarini hosil qilish zaruriyatini keltirib chiqaradi. Faraz qilaylik⃗A = A i⃗эi= A j⃗э j= A ig ij⃗э j vektori berilgan bo’lsin. Bu vektorning uzunligini qaraymiz |⃗A|2= ⃗A⋅⃗A = AiA j⃗эi⃗эj= AiA jgik⃗эk⃗эj= AiA jgij= AiAi , bu yerdan AiAi ifoda invariant ekanligi kelib chiqadi, chunki vektorning kontravariant va kovariant komponentalari o’zaro teskaridirlar. Demak, vektorning faqat bitta mustaqil invarianti mavjud bo’lib, u ham bo’lsa uning uzunligidir. Endi T ij⃗эi⃗эj= T tenzorning rangini g ij lar yordamida pasaytiraylik T ijg ij= T ¿ii⋅¿=T¿11⋅¿+T¿22⋅¿+T¿33⋅¿¿¿¿¿ ko’rinib turibdiki bunday amal natijasida songa (skalyarga) ega bo’ldik. Ma’lumki skalyar miqdorlar koordinat sistemasining tanlanishga bog’liq emas. Demak, T¿i i⋅¿¿ miqdor tenzorning invariantidan iboratdir va uni ikkinchi rang tenzorning birinchi invariant deb ataymiz. Quyidagi ifodalar T ¿ji⋅¿T¿ij⋅¿,T¿ji⋅¿⋅T¿pj⋅¿T¿ip⋅¿¿¿¿¿¿ invariantlarni tashkil qilishini tekshirish qiyin emas. Shunday qilib ikkinchi rang tenzorning uchta invarianti mavjud T ¿ii⋅¿;T¿ji⋅¿T¿ij⋅¿;T¿ji⋅¿T¿pj⋅¿T¿ip⋅¿¿¿¿¿¿¿ (4.4) Tenzorning bosh o’qlari va komponentalari tushunchalarini tenzor sirti tushunchasi bilan bog’liq holda kiritamiz. Buning uchun  1 ,  2 ,  3 koordinatalar sistemasining boshiga juda yaqin tyurgan nuqtani olamiz va OM → = d⃗r= dζ i⃗эi vektori hamda T= T ij⃗эi⃗эj tenzorning komponetalaridan tuzilgan Tijdζ idζ j ifodani qaraymiz. Ushbu ifoda invariant bo’lganligidan T ijdζ idζ j= T ij 'dη idη j= C , (4.5) bu yerda C - biror skalyar miqdor. Belgilangan O nuqtaning cheksiz kichik atrofida C ning ma’lum qiymati va T ij larning O nuqtada olingan qiymatlarida (4.5) ikkinchi tartibli sirt tenglamasidir. Bu sirt tenzor sirti deyiladi. Demak, har qanday ikkinchi rang tenzorga har bir nuqtada (4.5) ikkinchi taztibli sirtni mos qo’yish mumkin. Ma’lumki (4.5) tenglamani koordinat sistemasini almashtirish yo’li bilan quyidagi kanonik T 11 (dx ')2+T 22 (dx 2)2+T 33 (dx 3)2= C ko’rinishga keltirish mumkin. Bunda x1,x2,x3 koordinatalar sistemasi ortogonal bo’ladi. Demak, fazoning har bir nuqtasi uchun shunday koordinatalar o’qlarini kiri tish mumkinki, bunda ikkinchi rang simmetrik tenzorning faqat uchta T 11 , T 22, T 33 kooponentalari noldan farqli bo’ladi. Bunday koordinat o’qlari tenzorning bosh o’qlari deyiladi. O’qlari bosh o’qlar bo’ylab yo’nalgan koordinatalar sistemasi esa tenzorning bosh koordinat sistemasi deyiladi. Bosh koordinatalar sistemasidagi tenzorning har qanday noldan farqli har xil komponentalari bosh komponentalar deyiladi. 5. Ve k t orning k ovariant hosilasi Oldingi ma’ruzalardan ma’lumki ixtiyoriy egri chiziqli  1 ,  2 ,  3 koordinatalar sistemasida ⃗эi bazis vektorlari o’zgaruvchi vektorlar bo’lib, ular  i koordinatalarning funksiyalari boladilar. Shuning uchun ⃗A= Ai⃗эi vektorning hosilasini hisoblashda bu faktni hisobga olshga to’g’ri keladi. Demak, ∂ ⃗A ∂ζi= ∂ Ai ∂ ζ j⃗эi+ Ai∂ ⃗эi ∂ζ j (4.6) va bu yerdagi ∂⃗эi ∂ζj kattalik yana vektordan iborat bo’ladi va uni ⃗эk bazis vektorlari bo’yicha yoyish mumkin. Bu yoyilmaning komponentalarini Г ij k deb belgilaymiz, ya’ni ∂⃗эi ∂ζ j= Γ ij k⋅⃗эk (4.7) ifodaga ega bo’lamiz. Bu yerdagi Г ij k lar koordinatalarning funksiyalari bo’ladilar va Kristoffel simvollari deb ataladilar. Oxirgi (4.7) ifodani (4.6) ga qo’yib ∂ ⃗A ∂ζ j= ∂ Ai ∂ ζ j⃗эi+ AiГ ij k⃗эk (4.8) ga ega bo’lamiz. Bu ifodaning o’ng tomonidagi ikkinchi qo’shiluvchi i va k lar bo’yicha yigindidan iborat ya’ni i va k lar gung indekslar. Shuning uchun bu yerdagi i va k larning o’rinlarini almashtirib ∂⃗A ∂ζj= ( ∂Ai ∂ζj+AkГkji )⃗эi (4.9) ifodaga ega bo’lamiz. Bu ifodada ⃗эi bazis vektorlari oldilaridagi koeffisieyentlar vektorning kontrovariant komponentalaridan olingan kovariant hosilalar deyiladi va ∇ jAi kabi belgilanadi. Demak, ∇ jAi= ∂ Ai ∂ ζ j+ A kT kj i. (4.10) Quyida ∇ jAi hosilalarning xossalari bilan tanishamiz. Mav zuga oid namunav iy masalalar 1-misol. λ=Aijxixj (bu erda Aij = const ) funksiya uchun ∂ λ/∂ xi=(Aij+Aji)xj va ∂2λ/∂ xi∂ xj=Aij+Aji ekanligini ko’rsating va bu hosilalarni Aij= Aji hol uchun soddalashtiring. Yechish : Quyidagi hosilani qarab chiqamiz ∂ λ ∂xk = Aij ∂ xi ∂xk xj+Aijxi ∂ xj ∂ xk . Ushbu tenglik ∂ xi ∂xk ≡δik o’rinli bo’lgani uchun ∂ λ ∂xk = Akjxj+Aikxi=(Akj+Ajk)xj. Differensiallashni davom ettirib ∂2λ ∂xp∂xk =(Akj+Ajk) ∂xj ∂ xp = Akp+Apk ni hosil qilamiz. Agarda Aij= Aji bo’lsa, u holda ∂λ ∂xk =2Akjxj va ∂2λ ∂xp∂xk =2Apk bo’ladi. Must aqil ishlash uchun sav ollar 1. Qanday tenzorlarni qo’shish mumkin? 2. Qanday tenzorlarni ayirish mumkin? 3. Tenzorning songa ko’paytmasi nimani beradi? 4. Ikkinchi rang tenzorni simmetriklash va antisimmetriklash usulini yozib bering. 5. Tenzorni simmetrik va antisimmetrik tenzorlar yig’indisi ko’rinishida yosing. 6. Qanday tenzorlarni ko’paytirish mumkin? 7. Tenzorning indeksini ko’tarish yoki tushirish uchun nima qilmoq kerak? 8. Tenzorning rangi qanday pasaytiriladi? 9. Tenzorning nechta skalyar invarianti mavjud? Ularni yozing. 10. Tenzorning bosh o’qlari deb qanday o’qlarga aytiladi? 11. Tenzorning bosh komponentalari deb nimaga aytiladi? 12. Vektorning kovariant hosilasi nima? Ifodasini yozing. Adabiy ot lar 1. Xudoynazarov X.X. Deformatsiyalanuvchi muhit kinematikasi. Ma’ruzalar matni.-Samarqand, 1996, 22-27 . 2. C едов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1.-М. : «Наука», 1970, 54- 63 стр.

Matritsalar va ular ustida amallar. Koordinatalar sistemasini (Dekart) burishda tenzorlarini almashtirish.Ikkinchi rang simmetrik tenzorning bosh qiymatlari va bosh yo‘nalishlari

Купить