Mavzu Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya va uning uzluksizli - Педагогика - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	10000UZS
Размер	357.0KB
Покупки	0
Дата загрузки	06 Ноябрь 2026
Расширение	pdf
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Педагогика

Mavzu Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya va uning uzluksizli

Купить

Reja:
I bob. Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar.
1.1 Rm fazo va uning muhim to’plamlari.
1.2 Rm fazoda ketma -ketlik va uning limiti
1.3 Ko’p o’zgaruvchili funksiya va uning limiti
II bob. Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi.
2.1 Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi.
2.2 Uzluksiz funksiyalarning xossalari.
2.3 Ko’p o’zgaruvchili funkiyaning tekis uzluksizligi. Kantor teoremasi.
Xulosa.
Foydalanilgan adabiyotlar.

I bob. Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar
1.1 Rm fazo va uning muhim to’plamlari.
Rm fazo m ta A1, A 2, A 3, ... A m (m > 1, butun son) to’plamlarning Dekart
ko’paytmasi ikkita A va V to’plamlarning Dekart ko’paytmasiga o’xshash
ta’riflanadi. Agar A1 = A 2 = . . . =A m = R bo’lsa, u holda

To’plam Rm to’plam deb ataladi. Rm to’plamning ( x1, x 2, . . . x m) shu to’plam
nuqtasi deyiladi va u odatda bitta harf bilan belgilanadi: x = (x 1, x 2, . . . x m) Bunda
x1, x 2, . . . x m sonlar x nuqtaning mos ravishda birinchi, ikkinchi, . . . m –
koordinatalari deyiladi.
Agar nuqtalar uchun x1 = y 1, x 2
= y 2, . . . x m = y m. Bo’lsa , u holda x = y deb ataladi.
Ta’rif Ushbu
(1)
Miqdor x va y nuqtalar orasidagi masofa (Evklid masofasi) deb ataladi. Bunday
aniqlangan masofa quyidagi xossalarga ega (bunda )
1)
2)
3)
Bu xossalarni isbotlaylik. (1) munosabatdan p(x, y) miqdorning har doim
manfiy emasligini ko’ramiz. Agar p(x, y) = 0 bo’lsa, unda y1 – x1 = 0, y 2 – x2 = 0,
. . . , y m – xm = 0 bo’lib, x1 = y 1, x 2 = y 2, . . . x m = y m ya’ni x = y bo’ladi. Aksincha
x = y , ya’ni x1 = y 1, x 2 = y 2, . . . x m = y m bo’lsa, u holda (1) dan p(x,y) – 0 bo’lishi
kelib chiqadi. Bu esa 1) – xossani isbotlaydi.
(1) munosabatdan

bo’ladi.
Masofaning 3) – xossasi ushbu 1 2 1 2 1 2 ... ... {( , ,..., ), , ,..., } m m m A A A R R R x x x x R x R x R           1 2 1 2 ( , ,..., ) , ( , ... ) mm
mm x x x x R y y y y R    2 2 2 2
1 1 2 2
1
( , ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) m m m m
n
x y y x y x y x y x 


          ,, m x y z R ( , ) 0xy   ( , ) 0x y x y     ( , ) ( , )x y y x   ( , ) ( , ) ( , )x z x y y z    

(2)
tengsizlikka asoslanib isbotlanadi, bunda a1, a 2, . . . a m; b 1, b 2, . . . b m ixtiyoriy
haqiqiy sonlar. Avvalo shu tengsizlikning to’g’riligini ko’rsatayl ik. Ravshanki,
uchun

Bundan, x ga nisbatan kvadrat uchhadning manfiy emasligi

kelib chiqadi. Demak, bu kvadrat uchhad ikkita turli haqiqiy ildizga ega bo’lmaydi.
Binobarin, uning diskrminanti

bo’lishi kerak. Bundan esa

bo’lib,

bo’ladi. Keyingi tengsizlikdan esa

bo’lishi kelib chiqadi. Odatda (2) tengsizlik Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi deb
ataladi.
Ixtiyoriy nuqtalarni olib, ular
orasidagi masofani (1) formuladan foydalanib topamiz: 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) m m m m x y y x y x y x x y x y x y                2 2 2
11
1 1 1
()
m m m
m m m
a b a b
  
      2
1
( ) 0
m
i
ax b

  2 2 2
1 1 1
( ) (2 ) 0
m m m
i i i
i i i
a x a b x b
  
      2 2 2
1 1 1
[ ] 0
m m m
i i i i
i i i
a b a b
  
     33
1 1 1
m m m
i i i i
i i i
a b a b
  
    1 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
m m m
i i i i i i
i i i
z x y x z y
  
        2 2 2
1 1 1
()
m m m
i i i i
i i i
a b a b
  
      1 2 1 2 ( , ,..., ) , ( , ... ) mm
mm x x x x R y y y y R   

(3)

Endi Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi (2) da
, ,
deb olsak, unda

bo’lib,

bo’ladi. Yuqoridagi (3) munosabatlarni e’tiborga olib, topamiz:

Bu esa 3) – xossani isbotlaydi.

1.2 Rm fazoda ketma -ketlik va uning limiti
Ushbu

akslantirishning tasvirlaridan tuzilgan

to’plam Rm fazoda ketma -ketlik deyiladi va 3* kabi belgilanadi. Har bir
ni ketma -ketlik hadlari hadlari deyiladi.
Rm fazoda biror { x(n) }:

Ketma -ketlik va a = (a 1, a 2, . . . a m) nuqta berilgan bo’lsin. 2
1
( , ) ( )
m
ii
i
x y y x 

  2
1
( , ) ( )
m
ii
i
z y z y 

  2
1
( , ) ( )
m
ii
i
x z x z 

  11 ia y x  11 ib z x  11 ic z y  1 1 1 1a b z x    ( 1, 2,..., )im 1 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
m m m
i i i i i i
i i i
z x y x z y
  
        ( , ) ( , ) ( , )x z x y y z     : m f N R  (1) ( 2) ( ) ; ;...; ;... n x x x ( ) ( ) ( ) ( )
12 ( , ,..., )( 1, 2,...) n n n n
m x x x x n  (1) ( 2) ( ) ; ;...; ;... n x x x

Ta’rif Agar olinganda ham shunday topilsaki, ixtiyoriy
n > n 0 uchun

tengsizlik bajarilsa, a nuqta {x(n) }ketma -ketlikning limiti deyiladi va
yoki da
kabi belgilanadi.
Agar {x(n) }ketma -ketlik limitga ega bo’lsa, u yaqinlashuvchi ketma -ketlik
deyiladi.
1-misol Rm fazoda ushbu

ketma -ketlikning limiti a = (0, 0, . . . 0) ekanini ko’rsating.
sonni olaylik. Shu ga ko’ra ni topamiz. Unda
uchun

bo’ladi. Demak,

Ta’rifga ko’ra

bo’ladi.
Teorema Rm fazoda ketma -ketlikning a = (a 1, a 2,
. . . a m) ni intilishi: 0   0nN  () ( , ) n xa   () lim n
n xa   n  ()n xa  () 1 1 1 { } { , ,..., } n x
n n n
 0    0 ]1 m n

 0 nn  () 1 1 1 ( , ) (( , ,..., ), (0, 0,..., 0)) n xa
n n n
  2 2 2 1 1 1( 0) ( 0) ... ( 0)
n n n
        2 0 [ ] 1
m m m m
nn n m


    
 () ( , ) n xa   () 1 1 1 lim lim ( , ,..., ) (0, 0,..., 0) n
nn xa
n n n      ( ) ( ) ( ) ( )
12 { } { , ,..., } n n n n
m x x x x 

uchun bir yo’la

. . . . . . . . .

bo’lishi zarur va yetarli. Demak,

Bu teorema Rm fazoda ketma -ketlikning limiti sonli ketma -ketlikning limitiga
kelishini ifodalaydi.

1.3 Ko’p o’zgaruvchili funksiya va uning limiti.
Rm fazoda biror M to’plamni qaraylik: .
Ta’rif Agar M to’plamdagi har bir x = (x 1, x 2, . . . x m) nuqtaga biror qoida
yoki qonunga ko’ra bitta haqiqiy son mos qo’yilgan bo’lsa, M to’plamda
ko’p o’zgaruvchili (m ta o’zgaruvchili) funksiya berilgan deyiladi va uni

kabi belgilanadi. Bunda M – funksiyaning aniqlanish to’plami x1, x 2, . . . x m –
funksiya argumentlari, y esa x1, x 2, . . . x m o’zgaruvchilarning funksiyasi deyiladi.
Masalan, f – Rm – fazodagi har bir x = (x 1, x 2, . . . x m) nuqtaga shu nuqta
koordinatalari kvadratlarining yeg’indisini mos qo’yuvchi qoida, ya’ni

bo’lsin. Bu holda funksiyaga ega bo’lamiz.
Bu funkiyaning aniqlanish to’plami M = R m bo’ladi. lim n
n xa   11 lim n
n xa   22 lim n
n xa   lim n
mm n xa   11
22
lim
lim
lim
.....
lim
n
n
n
n n
n
n
mm n
xa
xa
xa
xa




 

    

   m MR  ()y y R  12 : ( , ,..., ) m f x x x y  12 ( , ,..., ) m y f x x x 2 2 2
1 2 1 2 : ( , ,..., ) ... mm f x x x x x x x     

Rm+1 fazoning nuqtalaridan iborat ushbu

to’plam y = f(x 1, x 2, . . . x m) funksiya grafigi deyiladi.
Maalan, ikki o’zgaruvchili

funksiyalarning grafigi Rm fazoda giperbolik hamda aylanma paraboloidlar bo’ladi.
Misol . Ushbu

funksiyaning aniqlanish to’plamini aniqlang.
Ravshanki, x va y argumentlarning qiymatlariga ko’ra z ning ma’noga ega
bo’lishi uchun, x va y lar ushbu

munosabatda bo’lishi lozim. Bu tengsizliklarni tekislikning x + y + 1 = 0 va
x + y – 1 = 0 to’g’ri chiziqlar orasidagi nuqtalar koordinatalari qanoatlantiradi.
Berilgan funksiyaning aniqlanish to’plami bo’ladi.
Misol Ushbu

funksiyaning aniqlanish to’plamini toping. Bu funksiya x va y larning

bo’ladigan qiymatlaridan aniqlangan. Keyingi tenglikdan topamiz:

Shunday qilib, berilgan funksiyaning aniqlanish to’plami

bo’ladi.

1 2 1 2 {( , ,..., , ( , ,..., ))} mm x x x f x x x 22 , z x y z x y    arcsin( ) z x y 11 xy     2 2 2 2 ( 1 )(sin sin ) z x y x y       22 sin sin 0 xy   2 sin 0 ( ) x x p p butunson      2 sin 0 ( ) y y q q butunson      2 {( , ) : , } M p q R p Z q Z    

II bob. Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi.
2.1 Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi
Rm fazodagi M to’plamda funksiya berilgan bo’lib,
nuqta shu to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
Ta’rif Agar
da, ya’ni
. . .

da funksiyaning limiti mavjud bo’lib,

ya’ni

bo’lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Ta’rif (Geyne ta’rifi) Agar M to’plamning nuqtalaridan tuzilgan, a ga
intiluvchi har qanday {x(n) } ketma -ketlik olinganda ham mos {f(x (n) )}
ketma -ketlik hamma vaqt f(a) ga intilsa, f(x) funksiya a nuqtada uzluksiz deb
ataladi.
Ta’rif (Koshi ta’rifi) Agar son uchun shunday topilsaki,
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalarda

tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya a nuqtada uzluksiz deb ataladi.
funksiya argumentlarining orttirmalari

ga mos ushbu
12 ( ) ( , ,..., ) m f x f x x x  12 ( , ,..., ) m a a a a  aM xa 11xa  mmxa  12 ( ) ( , ,..., ) m f x f x x x  lim ( ) ( )xa f x f a   11 1 2 1 2
...........
lim ( , ,..., ) ( , ,..., )
mm
mm xa
xa
f x x x f a a a 

 12 ( , ,..., ) m a a a a  aM 0   0   ( , )xa   xM ( ) ( )f x f a   12 ( ) ( , ,..., ) m f x f x x x  12, ,..., m x x x   1 2 1 2 ( ) ( ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) mm f x f a f x x x f a a a    

ayirma f(x) funksiyaning a nuqtadagi to’liq orttirmasi deyiladi va kabi
belgilanadi:

. . . . . . . . . . .

ayirmalar 24* funksiyaning a nuqtadagi hususiy orttirmalari deyiladi.
Ta’rif Agar

bo’lsa, f(x) funksiya a nuqtada uzluksiz deyiladi.
Ta’rif Agar f(x) funksiya M to’plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa,
funksiya shu to’plamda uzluksiz deyiladi.
Shuni ta’kidlash lozimki, yuqorida keltirilgan ta’riflar ko’p o’zgaruchili
funksiyaning barcha o’zgaruvchilari bo’yicha uzluksizligini ifodalaydi.

2.2 Uzluksizlik funksiyalarning xossalari
Biz quyida ko’p o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalarini
keltiramiz. Bunda bir o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalari to’g’risidagi
ma’lumotlardan to’la foydalana boramiz.
Ko’p o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalar ham bir o’zgaruvchili uzluksiz
fun ksiyalarning xossalari kabi xossalarga ega.
f(x) funksiya to’plamda berilgan bo’lsin, M to’plamdan biror
x0 nuqta olib, bu nuqtaning shu to’plamga tegishli bo’lhan yetarli kichik atrofini
qaraylik. f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo’lsin. Bunday f(x) funksiyaning x0
nuqtaning yetarli kichik atrofidagi xossalarini (lokal xossalarini) o’rganamiz:
1. Agar f(x) funksiya nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda x0 nuqtaning
yetarli
kichik atrofida funksiya chegaralangan bo’ladi. 1 1 2 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) m m m f a x a x a x f a a a         ()fa 1 1 1 2 1 2 ( ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) mm x f a f a x a a f a a a     1 2 1 2 ( ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) m m m mx f a f a a a x f a a a     12
00 ............ 0
lim ( ) 0
m
xx
x
fa 

 () m M M R  0xM 

Isbot Funksiy a uzluksizligi ta’rifiga ko’ra bo’lib, undan
f(x) funksiyani x0 nuqtada chekli limitga ega ekanligi kelib chiqadi. Chekli limitga
ega bo’lgan funksiyaning xossalaridan esa, f(x) funksiyani x0 nuqtaning yetarli
kichik atrofida chegaralanganligini topamiz.
2. Agar f(x) funksiyani x0 nuqtada u zluksiz bo’lib, bo’lsa,
x0 nuqtaning yetarli kichik atrofidagi x nuqtalarda bo’ladi.
Isbot f(x) funksiya x0 nuqtada u zluksizligi ta’rifiga ko’ra, olinganda
ham shunday topiladiki, barcha nuqtalar uchun

bo’ladi.
Bu yerda (agar bo’lsa, ) deb olsak,
fikrimizning tasdig’iga ega bo’lamiz.
Demak, f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz va bo’lsa, x0 nuqtaning
yetarli kichik atrofidagi x nuqtalarda funksiya qiymatlarining ishorasi f(x 0) ning
ishorasi bilan bir xil bo’lar ekan:

3. Agar f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo’lsa, x0 nuqtaning yetarli kichik
atrofidagi nuqtalar uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isbot f(x) funksiyaning x0 nuqtada uzluksizligiga asosan olinganda
ham, ga ko’ra shunday topiladiki, barcha nuqtalar uchun

bo’ladi. Jumladan nuqtalar uchun ham
0
0 lim ( ) ( )xx f x f x   00 ( ) 0( ( ) 0)f x f x  00 ( ) 0( ( ) 0)f x f x  0   0   0 () x U x M   I 00 ( ) ( ) ( )f x f x f x     0 ( ) 0fx   0 ( ) 0fx  0 ()fx   0 ( ) 0fx  0 ( ) ( ) signf x signf x  , x M x M  ( ) ( )f x f x     0   2
 0   0 () x U x   0 ( ) ( )
2
f x f x   00 ( ), ( ) x U x x U x    0 ( ) ( )
2
f x f x   

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Keyingi tengsizliklardan esa bo’lishi
kelib chiqadi.

2.3 Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning tekis uzluksizgi. Kantor teoremasi.
f(x) funksiya to'plamda berilgan bo'lsin.
Ta'rif. Agar son uchun topilsaki, M to'plamning
tengsizlik ni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va ( ) nuqtalarida

tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya M to'pla mda tekis uzluksiz funksiya deb ataladi.
Funksiyaning t ekis uzluksizligi ta'rifidagi son gagina bog'liq
bo'ladi. Ravshanki, agar f(x) funksiya to'plamda tekis uzluksiz bo'lsa, u
shu to'plamda uzluksiz bo'ladi.
M isol. Ushbu

funksiyaning to'plamda tekis uzluksiz bo’ lish i
ko'rsatilsin.
sonni olib, unga ko'ra topiladigan sonni deb olsak, u
holda

tengsizlikni qanoatlantiruvchi 18* nuqtalar uchun

bo'ladi. Demak, berilgan funksiya to'plamda tekis uzluksiz. 0 ( ) ( )
2
f x f x    m MR  0   0   ( , )xx     x x , x M x M  ( ) ( )f x f x     0   0   m MR  22
1 2 1 2 ( , )f x x x x  2 2 2
1 2 1 2 {( , ) : 1} D x x R x x     0   0   3
4
  1 2 1 2 ( , ) (( , ), ( , )x x p x x x x         22
1 1 2 2 ( ) ( )x x x x           1 2 1 2 ( , ) , ( , )x x D x x D        2 2 2 2
1 2 1 1 2 1 2 ( , ) ( , ) [( ) ( ) ] [( ) ( ) ]f x x f x x x x x x               22
1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 ( )( ) ( )( ) 2 ( ) ( )x x x x x x x x x x x x                     22
1 2 2 2 ( ) ( ) 4 x x x x            2 DR 

Teorema. (Kantor teoremusi). Agar f(x) fun ksiya chegaralangan yopiq M
to'plamda uzluksiz bo'lsa, funksiya shu to'plamda tekis uzluksiz bo'ladi.
Isbot. Teskarisini faraz qilaylik, ya'ni f(x) funksiya chegaralangan yopiq M
to'plamda uzluksiz bo'lsinu, ammo tekis uzluksizlik ta'rifidagi shart bajarilmasin.
Bu holda biror son va ixtiyoriy son uchun M to'plamda
tengsizlikni qanoatlantir uvchi shunday va ( ) nuqtalari
topiladiki,

bo'ladi.
Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma -ketligi olaylik:
(1)
Farazimizga ko'ra, yuqoridagi son va ixtiyoriy
uchun M to'plamda shunday va nuqtalar topiladiki,
va
va
. . . . . .
va
bo'ladi.
Modomiki, M - chegaralangan to'plam va ekan, unda
Boltsano -Veyershtrass teoremasiga ko'ra ketma -ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy
ketma -ketlik ajratish mumkin:
(2)
M yopiq to'plam bo'lganligi sababli bo'ladi. Yuqoridagi ketma -ketlikdan
ajratilgan qismiy ketma -ketlikning limiti ham a ga teng bo'ladi. Haqiqatdan ham,
ushbu

tengsizlikdagi lar uchun ( 1) va ( 2) munosabatlarga ko'ra da
m MR  0   0   ( , )xx    x x , x M x M  ( ) ( )f x f x     1 2 2, ,..., ,...    0( 0 1, 2,...) nn n     0   0( 1, 2,...) n n   ()n a ()n b ( 1, 2,...)n  (1) (1)
1 ( , )ab   (1) (1) ( ( )f a f b   ( 2) ( 2)
1 ( , )ab   ( 2) ( 2) ( ( )f a f b   ( ) ( ) ( , ) nn
n ab   ( ) ( ) ( ( ) nn f a f b   () ( 1, 2,...) n a M n  () 0 lim kn
k aa   0aM  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) k k k k k
k
n n n n n
n b a b a a a a a          kn () 0 ( , ) kn aa 

bo'lishini e'tiborga olib, da ekanini topamiz.
Shunday qilib, da
.

Xulosa
Men ushbu kurs ishimda ketma -ketliklar, ularning limiti, ko’p o’zgaruvchili
funksiyalar va ularning uzluksizligi haqida fikr yuritdim. Sifatli ta‘lim olish uchun
ta‘lim vositalarining ahamiyati katta.Xalqimizda ajoyib naql bor ―Ish quroling
soz bo‘lsa, mas haqqating oz bo‘lur. Rivojlanib borayotgan texnikalashuv
sharoitida, albatta ta‘lim vositalari ham yangilashib borishi tabiiy. Kurs ishida
nomlari keltirilgan zamonaviy ta‘lim vositalaridan kelajakda akadamik litsey
maktab va oily o‘quv yurtlarida foydalan ilsa maqsadga muvofiq bo‘ladi va yaxshi
natijalarga erishish mumkin. Ta‘lim maqsadlari, uning mazmuni, o’qitish va ta‘lim
berish usullari, nazorat va natijalarni baholashni o’zaro bog’liklikda loyihalash
ko’pincha an‘anaviy o’quv jarayonida yetishmaydigan narsadir. Jahon pedagogika
fani ilmiy – texnika taraqqiyoti ta‘sirini boshdan kechirib, psixologiya, kibernetika,
tizimlar nazariyasi, boshqaruv nazariyasi va boshqa fanlar yutuqlarini birlashtirib,
hozirgi davrda faol yangilanish (innovatsiya) jarayonlari bosqichidaturar ekan,
inson imkoniyatlarini samarali rivojlantirish amaliyotiga boy mahsul bermoqda.
Pedagogik texnologiya usullari dastlab o’qitishning harakatini namunaviy
vaziyatdagi belgilangan qoida bo’yicha o’zlashtirish talab etiladigan mahsuldor
darajasi uchun ishlab chiqilgan. Mahsuldor ta‘lim har qanday ta‘limning zaruriy
tarkibiy qismi hisoblanib, u insoniyat jamg’argan tajribani aniq o’quv fani
doirasida o’zlashtirish bilan bog’liq. 1997 -yilda qabul qilingan O‘zbekiston
Respublikasining―Ta‘lim to‘g‘risidagi qonuni va ― Kadrlar tayyorlash milliy
dasturi milliy ta‘lim taraqqiyoti va milliy kadrlar tayyorlash tizimi istiqbollarini
belgilovchi xujjat sifatida bu sohadagi ishlarni rivojlantirishda yana bir tarixiy davr
boshlanishiga zamin yaratdi. Ka drlar tayyorlash Milliy dasturi asosiy vazifalaridan
biri bu ta‘lim jarayonidagi sifat ko‘rsatkichlarini yaxshilash, ya‘ni jahon k  () 0 ( , ) kn aa  k  () 0 kn aa  () 0 kn ba 

andozalariga mos, raqobatbardosh, yuqori saviyaga ega bo‘lgan mutaxassislar
tayyorlashdir.Ushbu murakkab muammolarni yechimini topib, ularni amalda keng
qo‘llash oliy ta‘lim tizimi xodimlari oldiga juda katta vazifalar belgilaydi.

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati:
1. G. M. Fixtengols, “Matematik analiz asoslari” I tom.”O’qituvchi”
Toshkent 1970.
2. A. Sa’dullayev, “Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami”
1-qism.”O’zbekiston” 1993.
3. T. A. Azlarov, X. Mansurov. “Matematik analiz asoslari”, 1 -qism.
“O’qituvchi” Toshkent 1986.
4. B. P. Demidovich, “ Сборник задач и упражненый по
маткматическому анализу. Наука 1977.
Internet say tlari:
5. www.bilimdon.uz
6. uz.wikipedia.org
7. www.study.uz
8. www.metodist.uz

Mavzu Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya va uning uzluksizli

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish