Maydon nazariyasi elementlari, ularning tadbiq etilishi - Педагогика - Дипломные работы

Информация о документе

Цена	12000UZS
Размер	1.0MB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	doc
Раздел	Дипломные работы
Предмет	Педагогика

Maydon nazariyasi elementlari, ularning tadbiq etilishi

Купить

Maydon nazariyasi elementlari, ularning tadbiq etilishi
MUNDARIJA
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati ..................................................................... 41
I. O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti asarlari. ............................................. 41
II. Me’yoriy- huquqiy hujjatlar. ....................................................................... 42
IV. Internet saytlari. ........................................................................................... 43
Kirish
Hozirgi zamon fizika-matematika hamda texnika fanlari taraqqiyotida
vektorlar bilan tenzorlar nazariyasini zarurligi va ko’p sohalarda bu nazariyaning
kuchli tekshirish vositasi ekanligi shubhasizdir.
Vektorlar bilan tenzorlar nazariyasini keraklicha bilmasdan turib oliy o’quv
yurtlarida nazariy mexanika, gidrodinamika, radiotexnika, magnit maydon fizikasi,
nisbiylik nazariyasi va ba’zi boshqa fanlarni yaxshi o’rganib bo’lmaydi.
Jismning fazodagi o’rni va harakati faqat boshqa jismlarga nisbatangina
aniqlanishi mumkin. Jismning mos vaqti bilan o’rni aniqlanishida asos qilib
olingan moddiy sistema sanoq sistemasi deyiladi. Harakatlanuvchi zarrachaning
fazoda ishg’ol qilgan nuqtasini har bir sanoq sistemasida sonlar-koordinatalar bilan
ifodalash mumkin.
Koordinatalarning qanday sistemasi olingan bo’lmasin, skalyar faqat bitta son
bilan ifodalanadi. Uch o’lchovli fazodagi vektor koordinatalarining har qanday
1

sistemasida ham uchta son bilan ifodalanadi. Bu uchta son turli sistemada turlicha
bo’lsada, o’zaro aniq almashtirish qonuniga bo’ysinadi:
Agar vektorni ifodalovchi uchta son biror sistemada ma’lum ekan har qanday
boshqa sistemada uchta yangi sonni shu almashtirish qonunidan foydalanib
aniqlash mumkin. Shunday qilib, uch o’lchovli fazodagi vektorni aniq almashtirish
qonuniga bo’ysingan uchta son to’plami deb qarash mumkin. Tenzor tushunchasi
ham aslida vektor tushunchasining ma’lum ravishda umumlashtirilishi natijasidir.
Har qanday fizik maydon, masalan, elektromagnit maydoni, gravitatsion
maydon, fazoda o’ziga munosib joy ishg’ol qiladi va kerakli fizik miqdorlar bilan
harakterlanadi. Fizik maydonning aniqlanishi uchun, shu kerakli fizik
miqdorlarning, jumladan ularni ifodalovchi vektorlar va tenzorlarning fazodagi
taqsimot sohasini bilish lozim. Shunday qilib, maydon haqidagi matematik
tushuncha kelib chiqadi.
Biror fizik miqdorni aniqlovchi sonlar shu fizik miqdorning komponentalari
deyiladi. Masalan, skalyarning komponenti bitta bo’lsa, vektorniki uchtadir.
Inersiya momentlari, mexanik kuchlanishlar va deformatsiyalar, elastiklik
modullari, magnitlanish koeffisentlar va hokazo – mana bular ko’p komponentli
fizik miqdorlarga oddiy misollardir. Tenzor deyilganda komponentlari o’ziga
maxsus almashtirish qonuniga bo’ysingan fizik miqdor anglashiladi. U holda
skalyar bilan vektor xususiy shakllardagi eng oddiy tenzorlar bo’lib qoladi.
Ushbu bitiruv malakaviy ishida maydon nazariyasining ayrim elementlari
ularning hususiyatlari, ular ustida amallar va ularni o’rganishning usullari haqida
fikr yuritiladi.
Bitiruv ishi mavzusining dolzarbligi va uning asoslanishi. Bitiruv ishi
tezlik vektori sirkulyatsiyasi, potentsialli maydon, tok chiziqlari, uyurmalarning
kinematik xossalari, statsionar va statsionar bo’lmagan harakatlarni o’rganishga
bag’ishlangan. Gamilton operatori matematik analiz, f unksional analiz , vektor
analiz, maydonlar nazariyasi, differensial geometriyaning, mexanika va fizikaning
bir qator masalalarida uchraydi. Gamilton operatorining maydonlar nazariyasi
2

hamda differensial geometriyaning ba’zi bir masalalariga tatbiqi nazariy va amaliy
ahamiyatga ega bo’lib, mavzuning dolzarbligini anglatadi.
O’zbekistonda kadrlar tayyorlash bo’yicha noyob milliy modeli jahon
hamjamiyati tomonidan keng e’tirof etilmoqda. Xalqaro tajriba tahlili shuni
ko’rsatadiki, aksariyat rivojlangan davlatlarda bu sohadagi islohatlar, odatda, faqat
ta’lim sohasida amalga oshirilgan.
Barcha e’tibor ta’lim tizimini demokratik va insonparvarlik tamoyillari asosida
takomillashtirib,uning moddiy texnika bazasini zamon va davr talablari darajasiga
ko’tarish va O’zbekistonning ma’rifiy salohiyatini kuchaytirishga qaratildi.Shu
maqsadda 1992-yil 2-iyulda “Ta’lim to’g’risida”gi qonun qabul qilindi.
Bitiruv ishining ob’ekti va predmeti. Ishning ob’ektini sifatida oliy ta’lim
tizimida fizika-matematika va texnika sohalariga oid ta’lim yo’nalishlari va
mutaxassisliklarda o’tiladigan maydon nazariyasining asosiy tushunchalari
hisoblanadi.
1. Bitiruv ishining predmeti bo’lib nazariy mexanika fanida maydon nazariyasi
elemenlarini kengroq o’rganinsh hisoblanadi . Maydon nazariyasi usullari nazariy
va amaliy mexanika masalalarini yechishda samarali usul lar hisoblanadi.
Mexanikaning harakat differensial tenglamalari maydon nazariyasi operatorlari
orqali kompakt ko’rinishda ifodalanadi. Potensialli maydonlarda bu tenglamalarni
yechish soddalashadi.
Ishning maqsadi va vazifasi. T ezlik vektori sirkulyatsiyasi, potentsialli
maydon, tok chiziqlari, uyurmalarning kinematik xossalari, statsionar va statsionar
bo’lmagan harakat, G amilton operatorining vektor maydon nazariyasi hamda
differensial geometriyaning ba’zi bir masalalariga tatbiq qilish bitiruv ishining
maqsadi hisoblanadi.
Bitiruv ishida qo’yilgan maqsaddan kelib chiqqan holda quyidagi vazifalar
belgilab olindi:
3

- Skalyar maydon gradyentini hisoblash va gradient xossalarini o’rganish.
- Vektor maydon divergensiyasi yordamida oqimning xususiyatlarini o’rganish.
- Vektor maydon rotori yordamida tegishli maydonning uyurmasi xususiyatlarini
o’rganish.
- Gamilton operatorini tadbiq etib harakat differensiyal tenglama va elastik
muozanatning deferensiyal tenglamalarini soda ko’rinishda ifodalash.
` Bitiruv ishini tayyorlashda foydalanilgan adabiyotlar va normativ-
huquqiy hujjatlarning qisqacha o‘zaro tahlili. Ushbu bitiruv ishini tayyorlash
davomida mexanika sohasida izlanishlar olib borgan mamlakatimiz va dunyoning
quyidagi olimlarining darslik va o‘quv qo‘llanmalaridan foydalanildi: fan bo’yicha
asosiy darslik va o’quv qo’llanmalaridan R.C. Hibbeler, R.S. Khurmi, [III.2,3],
dunyo bo’yicha yuqori reytingga ega jurnallarda chop etilgan ilmiy maqolalardan
[V.2,3,5]. Bundan tashqari yurtimizda asos sifatida qabul qilingan O‘zbekiston
Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi Qonuni, “Kadrlar tayyorlash milliy
dasturi” hamda 2017-2021 yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning
beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasi dagi ijtimoiy sohani
rivojlantirishga yo‘naltirilgan ta’lim va fan sohasini rivojlantirish, oliy ta’lim
tizimini faoliyatining sifati, samaradorligini oshirish asosida ilmiy-tadqiqot va
innovatsiya faoliyatini rag‘batlantirish, yutuqlarini amaliyotga joriy etishning
samarali mexanizmlarini yaratish, shuningdek Prezidentimiz Sh.M.Mirziyoyev
tomonidan 20 17 yil 20 aprelda qabul qilingan PQ-2909 sonli “Oliy ta’lim tizimini
yanada rivojlantirish chora- tadbirlari to‘g‘risidagi qarorlari ushbu bitiruv ishida
asos sifatida olingan [I, II].
Bitiruv ishida Maydon nazariyasi elementlaridan foydalanilgan holda mexanikaga
oid bir nechta masalalar ko’rilgan. Xususan markaziy kuch maydonidagi
harakatlarni o’rganishda maydon nazariyasining operatorlari muhum ro’l o’ynashi
ko’rsatilgan.
4

Bitiruv ishning nazariy va amaliy ahamiyati. Ishning nazariy ahamiyati
matematik analiz kursida asosan skalyar argumentning skalyar funksiyasi va uning
xossalari o’rganilgan bo’lsa, maydon nazariyasida skalyar argumentning vektor
funksiyasi, vektor argumentning skalyar funksiyasi, vektor argumentning vektor
funksiyasi xossalari o’rganiladi. Bu nazariyadan foydalanib mexanika,
astranomiya, gidralogiya va boshqa bir qator fanlarning amaliy masalalari
yechiladi.
Bitiruv ishi tuzilmasining tavsifi. Strukturaviy jihatdan bitiruv ishi kirish,
ikki bob, to’rtta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
1.1-§. Skalyar va vektor maydonlarda differensial va integral hisob
1.1.1 Vektorlar analizi
O’zaro bog’langan miqdordan birining o’zgarishi bilan ikkinchisi unga mos
o’zgarishi mumkin. Birinchi o’zgaruvchi miqdor argument va unga mos
o’zgaruvchi miqdor funkisya deyiladi; argument skalyar miqdor vektor miqdor
bo’lishi mumkin; shuningdek, funksiya ham skalyar miqdor yoki vektor miqdor
bo’lishi mumkin. Skalyar argumentning skalyar funksiyalari matematik analizda
batafsil tekshiriladi. Skalyar argumentning vektor funksiyalarini, vektor
argumentning sklayar funksiyalari va vektor funksiyalarini tekshirish masalalari
bilan vektorlar analizi shug’ullanadi.
1.1.2 O’zgaruvchi skalyar va vektorlar
5

Ma’lum chegarada o’zgaradigan t skalyar argument berilgan bo’lsin.
Masalan, bunday skalyar argument sifatida vaqt olinishi mumkin. Agar t skalyar
argumentning har bir qiymatiga aniq bir a vektor miqdor mos kelsa, bu a vektor
miqdor t skalyar argumentning vektor funksiyasi deyiladi va a = a (t) shaklida
yoziladi. Shunday qilib, skalyar argument o’zgarishi bilan vektor miqdorining yo
moduli yoki yo’nalishining yoxud moduli bilan yo’nalishi birgalikda o’zgarishi
mumkin.
Moduli cheksiz kichik bo’lgan o’zgaruvchi vektor cheksiz kichik vektor
deyiladi. Agar t argument ixtiyoriy ravishda qiymatiga intilganda a o’zgaruvchi
vektor bilan o’zgarmas vektorning ayirmasi cheksiz kichik vektor bo’lsa,
o’zgarmas vektor o’zgaruvchi vektorning dagi limiti deyiladi va
yoki ko’rinishda yoziladi.
t argumentning funksiyasi bo’lgan vektor shu argumentning aniq qiymati
da bo’lsin. Agar mavjud va ga teng bo’lsa,
vektor da uzluksiz vektor funksiya deyiladi. Boshqacharoq ham ifodalash
mumkin. t argumentning cheksiz kichik orttirmasi ga vektorning cheksiz
kichik orttirmasi mos kelsa, ya’ni bo’lsa, vektor
qiymatda uzluksiz funksiya deyiladi.
Tekshirilishi lozim bo’lgan vektor funksiyalarini har doim uzluksiz vektor
funksiyalar deb hisoblaymiz. Matematik analizdagi cheksiz kichik miqdorlar,
limitlar haqidagi ma’lumotlar vektorlar analizida ham munosib ravishda keng va
samarali ishlatiladi.
6

Vektor funksiyasi xususiyatlarini
o’rganishda godograf tushunchasi
ancha qulay. Argument o’zgarishi
bilan o’zgaruvchi vektorning boshi
o’zgarmas biror nuqtada (qutbda)
turgan bo’lsa, uning oxiri fazoda
qandaydir geometrik o’rin hosil qiladi, odatda, bu –aniq shakldagi chiziq; ana shu
chiziq o’zgaruvchi vektorning godografi deyiladi (1-rasm).
Agar vektorning yo’nalishi o’zgarmasdan, faqat moduligina o’zgarsa, uning
godografi qutbdan o’tib, shu yo’nalishdagi to’gri chiziqda yotadi. Agar vektorning
moduli o’garmasdan, faqat yo’nalishigina o’zgarsa, bunday vektorning godografi
markazi qutbda joyshlashgan va radiusi berilgan o’zgarmas modulga teng shar
sirtida yotadi. Masalan, tekshirilayotgan o’zgaruvchi vektor harakatdagi
zarrachaning radius-vektori bo’lsa, radius-vektorning godografi shu zarrachaning
trayektoriyasi bo’ladi.
I.1.3. Skalyar argumentli vektorni differensiallash
O’zgaruvchi vektor skalyar argument ning
funksiyasi bo’lsin: . Argument dan
ga o’zgarganda, vektor ham dan
ga o’zgarsin (2-rasm). Argument
orttirmasi ga vektor orttirmasi mos
kelsin: .
7

Argument orttirmasi ning nolga intilishi bilan birga nisbat ham aniq bir
limitga intilsa, bu limit vektorning argument bo’yicha olingan hosilasi
deyiladi. Bu hosilani ko’rinishda yozsak, ta’rifga binoan:
bo’ladi. Vektorning differensiali uning hosilasi bilan argument
differensiali dt ning ko’paytmasidir: .
vektorning yo’nalishi vektorning yo’nalishi bilan birdir, ya’ni
godorgraf vatari ning yo’nalishi bilan birdir. Argumentning orttirmasi
nolga intilganda, nuqta nuqtaga intiladi, demak, vatar yo’nalishi
godografning nuqtadagi urinmasi yo’nalishi bilan birlashishga intiladi. Shuning
uchun, vektor hosilasi bo’lgan ning yo’nalishi shu vektor godografiga
tegishli nuqtada o’tqazilgan urinma bo’yicha argument orta borayotgan mos
tomonga qaratilgan (2-rasm). Masalan, harakatdagi zarracha radius-vektori ning
vaqt bo’yicha olingan hosilasi shu zarrachaning tezlik vektori buladi: .
Aytilganlardan ravshanki, tezlik vektori trayektoriyaga urinmadir.
radius- vektor godografining yoy uzunligi ni skalyar argument sifatida qabul
qilishimiz mumkin. U vaqtda vektorning yo’nalishi godorafga urinma bo’lib,
yoyning o’sa borayotgan tomoniga qaratilgan. Ta’rifga muvofiq:
8

nolga intilishi bilan ning limiti birga teng bo’ladi. Demak, radius-
vektorning yoy uzunligi bo’yicha hosilasi o’sha radius vektor godografiga
olingan urinma bo’ylab, yoyning o’sa borayotgan tomoniga qaratilgan birlik
vektordir. Bu birlik vektori orqali belgilaylik:
Vektor hosilasining (1) dagi ta ’ rifiga ko ’ ra , matematik analizdan ma ’ lum
bo ’ lgan differensiallash qoidalarini eslasak , quyidagilarni yozishimiz mumkin :
I.1.4. Skalyar argumentli vektorni integrallash
Vektor funksiya uchun noaniq va aniq integrallar tushunchalarini kiritish
mumkin.
vektornning skalyar argument bo’yicha olingan hosilasi bo’lsin:
Hosilalari vektorga teng bo’lgan barcha vektorlar to’plami
vektorning noaniq integrali deyiladi, ya’ni:
9

bu yerda – ixtiyoriy o’zgarmas vektor. Argumentning dan gacha o’zgarish
intervalida olingan vektorning aniq integralini noaniq integral orttiramsi
sifatida ta’riflash mumkin:
Ta’riflarning o’zidan ayonki, vektorlar yig’indisining integrali vektorlar
integrallarining yig’indisiga teng, masalan:
Bo’laklab integrallash formulasini ham isbot qilish qiyin emas. Masalan, ikki
vektor skalyar ko’paytmasining hosilasini olaylik:
Buning chap va o’ng tomonlarini integrallash natijasida:
bo’ladi, demak:
Shuningdek, vektor ko’paytma uchun quyidagini yozamiz;
Aniq integral uchun esa bunday bo’ladi;
10

Misol keltiraylik. Nyutonning ikkinchi qonuniga muvofiq, bu yerda -
zarracha massasi, uning tezlanishi va –shu zarrachaga ta’sir qiluvchi kuch.
Odatda massa o’zgarmas bo’lganligidan, uni hosila belgisi ichiga kiritib yozish
mumkin, demak , yoki Kuchning vaqt elementiga
ko’paytmasi kuchning elementar impulsi deyiladi. Vaqtning dan gacha
o’zgarishi oralig’ida undan olingan aniq integral:
bo’ladi. Demak, chekli oralig’dagi kuch impulsi harakat miqdorining shu vaqt
oralig’idagi o’zgarishiga teng.
I.1.5. Fizik miqdorlar maydoni
Yuqorida skalyar argumentning vektor funksiyasi bilan shug’ullangan edik.
Endi vektor argumentining skalyar funksiyasi bilan vektor funksiyasini tekshirish
masalasiga o’tamiz.
Fizik hodisalarni harakterlovchi miqdorlar fazoda yoki uning aniq sohalarida
qandaydir taqsimlangan bo’lishi mumkin.
Agar biror fizik miqdor, fazo yoki undagi aniq sohaning har bir nuqtasida tayin
qiymatga ega bo’lsa, bu miqdorning maydoni to’g’risida gapirish mumkin.
Miqdorning skalyar yoki vektor bo’lishiga qarab, maydon yo skalyar maydon yoki
vektor maydon deyiladi, miqdorning o’zi esa, maydon funksiyasi deb ataladi.
11

Masalan, jismning elektr potensiali yoki temperaturasi har bir nuqtada aniq
qiymatga ega; turli joyida tempraturasi va bosimi turlicha bo’lgan jismning
zichligi, umumiy aytganda, nuqtadan nuqtaga o’tgan sari o’zgara boradi va
hokazo. Bu misollardagi elektr potensial maydoni tempratura maydoni, zichlik
maydoni va boshqalar sklayar maydonlardir.
Harakatdagi suyuqlik yoki gazning turli nuqtalarida tezlik turlicha, elektr
maydoni yoki magnit maydoni kuchlanganligi turli nuqtalarda turlicha va hokazo.
Bu misollardagi tezliklar maydoni, kuchlanganlik maydoni va boshqalar vektor
maydonlaridir.
Fizika matematika, meteorologiya, elektrotexnika va boshqa fanlarda skalyar
va vektor maydonlarni grafik tasvirlash usuli qo’llaniladi.
Masalan, biror vektorning maydoni berilgan
bo’lsin. Bu maydonda shunday egri chiziq olaylikki,
uning har bir nuqtasida vektor unga urinma
bo’lsin. Bunday chiziq vektor chiziq deyiladi (3-
rasm).
Berilgan vektor chiziq bo’yicha harakatlanuvchi biror zararachani tasavvur
qilsak, zarracha radius-vektorning godografi xuddi shu vektor chiziqning o’zginasi
bo’ladi. U vaqtda radius –vektordan yoy uzunligi bo’yicha olingan hosila vektor
chiziqqa urinma bo’ladi. Shunday qilib, vektor chiziqining biror ixtiyoriy
nuqtasidagi vektor va hosila shu vektor chiziqining urinmasi bo’yicha
yo’naltirilgan, ya’ni vektor va hosila kollinear vektorlardir: ya’ni:
(1)
Vektor chiziqlarning bu differntsial tenglamasini Dekart sistemasida yozib
ko’rsatish mumkin, (1) ga binoan;
12

vektor nuqtaning bir qiymatli va uzluksiz funksiyasi bo ’ lsa , maydonning har
bir nuqtasidan bittagina vektor chiziq o ’ tadi .
Maydon vektorning biror nuqtadagi yo ’ nalishi shu nuqtadan o ’ tgan vektor
chiziqning urinmasi bo ’ yicha aniq tomonga qaratilgan bo ’ ladi .
Maydon vektorining biror nuqtadagi son qiymatini tasvirlash uchun, odatda,
tubandagi grafik usul qo’llaniladi.
vektor maydonning ixtiyoriy biror nuqtasida shu vektorga perpendikulyar
ravishda joylashgan birlik yuzni tasavvur etaylik (4-rasm). Vektorning M
nuqtasidan son qiymati (moduli) shu nuqtada vektor chiziqqa perpendikulyar
qo’yilgan birlik yuzdan o’tuvchi vektor chiziqlar soni deb qabul qilinishi mumkin.
U vaqtda vektor chiziqlarning turli joylarda zichroq yoki siyrakroq bo’lishiga
qarab, vektorning son qiymatlari qanday taqsimlanishi haqida tasavvur hosil
qilishimiz mumkin (5-rasm).
Moduli ham, yo’nalishi ham
o’zgarmas vektorning maydoni
tasvirlovchi vektor chiziqlar
maydonning hamma joyida bir xil
13

zichlik bilan taqsimlanadi va o’zaro parallel bo’ladi. Bunday vektor maydon bir
jinsli vektor maydon deyiladi (6-rasm).
Umumiy fizikadan ma’lum bo’lgan elektr kuch chiziqlari va magnit kuch
chiziqlari tushunchalarini eslatib o’tish mumkin: elektr maydoni
kuchlanganligining vektor chiziqlari elektr kuch chiziqlari, magnit maydoni
kuchlanganligining vektor chiziqlari esa magnit kuch chiziqlari deyiladi.
Endi, nuqtaning bir qiymatli va uzluksiz funksiyasi bo’lgan biror skalyarning
maydoni berilgan bo’lsin. Skalyar funksiyaning qiymatlari bir xil bo’lgan maydon
nuqtalari biror sirtni hosil qiladi:
Bu yerda –o’zgarmas miqdori (konstanta). Barcha nuqtalarida funksiyaning
o’zgarmas qiymatiga ega bo’lgan bunday sirt izosirt yoki ekvipotensial sirt
deyiladi (7-rasm).
Funksiya bir qiymatli va uzliksiz bo’lsa, maydonning har bir nuqtasidan
bittagina izosirt o’tadi.
konstantinga turli qiymatlar berib, izosirtlar oilasini tuzamiz:
14

8-rasmda izosirtning qog’oz beti bilan kesilish izlari tasvirlangan.
Izosirt chizish uchun, odatda, bir izosirtdan ikkinchi izosirtga o’tishda
funksiyaning o’zgarishi hamma joyda bir xil qilib olinadi. Bu holda turli joylarida
izosirtlarning zichroq yoki siyrakroq bo’lishiga qarab, skalyar funksiyaning qasyi
yo’nalishida qanday o’zgarishini tasavvur qilishimiz mumkin.
Berilgan sohalardagi aniq taqsimotli fizik miqdorlarning qandayligiga qarab,
maydonlar ham xilma-xil bo’ladi. Biz hozircha faqat skalyar maydon va vektor
maydon haqida gapirdik.
Bu bobda faqat shu maydonlar bilangina shug’ullanamiz. Yanada murakkabroq
bo’lgan maydonlar – tenzor maydonlar masalasi bu kitobning keyingi boblarida
ko’rib chiqiladi.
I.1.6. Maydonda chiziq bo’yicha olingan ba’zi integrallar
Tekshirilmoqda bo’lgan skalyar yoki vektor funksiyalarni maydonning hamma
nuqtalarida uzluksiz deb hisoblaymiz. Uzluksizlik sharti buzilgan hollar
keyinchalik ko’rib chiqiladi.
Bunga funksiyasi bo’lgan vektor berilgan bo’lsin. Uning joyidagi ikki
nuqta orqali o’tgan biror egri chiziqni olaylik (9-rasm). Bu egri chiziqni kichik
elementlarga bo’lib chiqaylik. Elementlardan biri bo’lsin.
nuqtalar orasidagi yoy
uzunligini orqali, nuqtadan
nuqtaga qaratilgan elementar siljish
vektorini orqali belgilaylik.
vektor, umuman aytganda, bir
nuqtadan ikkinchi nuqtaga o’tish
bilan o’zaro boradi. Tekshirilayotgan nuqtadagi vektor bilan elementar siljish
15

vektori ning skalyar ko’paytmasi ni tuzaylik. Qolgan barcha elementlar
uchun ham shunday skalyar ko’paytmalar tuzib chiqib, so’ngra ularning umumiy
yig’indisi ni hisoblab topaylik.
Elementlarning har biri cheksiz kamaya borishi bilan bu elementlarning
umumiy soni cheksiz ko’paya boradi deylik. Shunday shartga bo’ysingan yig’indi
ning limiti mavjud bo’lsa, u vektorning nuqtalar orasidagi chiziq
bo’yicha olingan chiziqli integrali yoki egri chiziqli integrali deyiladi va
shaklda yoziladi.
Chiziqli integralning qiymati vektorga, boshlang’ich nuqta bilan so’nggi B
nuqtaga va chiziqning shakliga bog’liqdir. Olingan chiziq yopiq chiziq (kontur)
bo’lishi ham mumkin. Vektorning yopiq chiziq (kontur) bo’yicha olingan integrali
vektorning sirkulyatsiyasi yoki kontur integrali deyiladi va
Shaklida yoziladi.
Bir misol olaylik. Zarrachaga kuch ta’sir qilishi natijasidagi elementar siljish
bo’lsin. Bajarilgan elementar ish bo’ladi. kontur bo’yicha bir nuqtadan
ikkinchi nuqtaga o’tganda zarrachaga ta’sir qiluvchi kuchning bajargan ishi
bo’ladi. Agar zarracha yopiq chiziq bo’yicha harakatlansa, bajarilgan
ish bo’ladi. Ta’sir kuchlarining xarakteriga qarab, ayrim hollarda yopiq
chiziq bo’yicha bajarilgan ish nolga teng bo’lishi mumkin.
Yuqoridagi kabi mulohazalardan foydalanib, chiziq bo’yicha olingach yana
ikki integral bilan ish ko’rish mumkin: va , bu yerda -nuqtaning
16

skalyar funksiyasi va nuqtaning vektor funksiyasi. Bu integrallarni yopiq
chiziq bo’yicha ham olish mumkin. va .
Vektorlarni poligonlash qoidasidan bizga ma’lumki, yopiq chiziq hosil qiluvchi
vektorlar yig’indisi nolga teng. Shunga binoan:
Misol uchun biror yopiq chiziq va uning ikkita va nuqtasi berilgan
bo’lsin (10-rasm).
(1) ga binoan, bunday yozamiz:
bu yerdan:
Demak:
Chiziqning uzunligi bilan qiziqar ekanmiz, bilan integral nolga teng
bo’lmaydi va integral
bilan integral
17

bir-biriga teng bo’lmaydi (10-rasmdagi) yopiq chiziqning birinchi qism
uzunligini va ikkinchi qism uzunligini orqali belgilasak, bunday yozishimiz
mumkin:
I.1.7. Maydonda sirt bo’yicha olingan ba’zi integrallar
Bir jinsli vektor maydon berilgan, ya’ni maydon vektorining son qiymati va
yo’nalishi o’zgarmas bo’lib, hamma nuqtalarda bir xil bo’lsin. Vektor chiziqlar
yo’nalishiga perpendikulyar bo’lmagan, ammo qog’oz betiga perpendikulyar
bo’lgan yuzning (11-rasm) qog’oz beti bilan kesishuv chizig’i bilan
ko’rsatiladi, Yuz normalining birlik vektorini orqali belgilasak
bo’ladi. Berilgan yuzning vektor chiziqlar yo’nalishiga perpendikulyar bo’lgan
tekislikka proyeksiyasini orqali belgilaylik (rasmda bilan ko’rsatilgan); bu
holda:
bo’ladi. yuz va yuz orasidagi burchak vektor bilan normalning birlik
vektori orasidagi burchakka teng: yoki, (1) ga binoan, .
Demak:
18

Agar vektor chiziq yo’nalishiga perpendikulyar qo’yilgan birlik yuzdan
o’tuvchi vektor chiziqlar soni vektor modulini tasvirlash nazarda tutilsa, yuz
orqali vektor chiziqlar o’tadi deyishimiz mumkin. Bu miqdor orqali
belgilansa:
yoki, skalyar ko’paytma xossasiga ko’ra:
bo’ladi.
11-rasmda yuz orqali o’tayotgan suyuqlik oqimini tasavvur qilishimiz
mumkin. Mana shu qiyosdan foydalanib, (4) yoki (5) da ifodalangan miqdor
vektorning yuz orqali oqimi deyiladi.
Endi bizga vektor maydoni berilgan bo’lsin. Bu maydonda biror sirt
olaylik (12-rasm).
19

Bu sirtni kichik elementlarga bo’lib chiqaylik; elementlardan biri bo’lsin
(rasmda qog’oz betiga perpendikulyar qilib olingan). Elementar yuz orqali
vektorning elementar oqimi bo’ladi.
Sirtning bir elementidan ikkinchi elementiga o’tilganda vektor o’zgaradi.
Shuning uchun sirt elementlari naqadar kichik olinsa, vektorning berilgan sirt
orqali oqimi shu qadar aniq hisoblab chiqilishi mumkin. Sirt elementlarining har
biri cheksiz kamaya borishi bilan barcha elementlar soni cheksiz ko’paya borganda
olingan elementar oqimlar yig’indisi ning limiti mavjud bo’lsa, u
vektorning berilgan sirt orqali oqimi deyiladi va
shaklda yoziladi.
Vektorning yopiq sirt orqali oqimi:
shaklda yoziladi.
Yuqoridagi muhokamalrga ko’ra:
bo ’ ladi , bu yerda vektorning yo ’ nalishi
elementar yuzini chegaralovchi kontur
yo ’ nalishiga mos qilib olinishi kerak . (8) ga
binoan :
bo’ladi demak:
20

Yopiq sirtga nisbatan tashqi normal yo’nalishi normalning musbat yo’nalishi
deb qabul qilinadi (12-rasm). U vaqtda yopiq sirtdan tashqari chiquvchi vektor
chiziqlarga mos oqim musbat ishora bilan, ichkari kiruvchilarga mos oqim esa
manfiy ishora bilan olinadi.
I.1.8. Maydon funksiyalarining fazoviy hosilalari
Maydondagi nuqtalarining biridan ikkinchisiga o’tishda maydon funksiyalari
o’zgaradi. Berilgan nuqta atrofida maydon funksiyalarini uzluksiz va
differensiallanuvchi funksiyalar deb hisoblaymiz. Atrof nuqtalarining berilgan
nuqtaga nisbatan vaziyatlari shu berilgan nuqta radiyis-vektorining juda kichik
o’zgarishi bilan aniqlanadi.
Berilgan nuqta atrofida maydon funksiyalarining o’zgarishini miqdoriy
ifodalash masalasiga o’taylik.
Misolni maydonning skalyar funksiyasidan boshlaymiz. Berilgan nuqtani
qurshab olgan yopiq sirt bo’yicha skalyar funksiya integrali ni olaylik. Bu
integralning yopiq sirt bilan chegaralangan V hajmga nisbatini tuzamiz:
Berilgan nuqtani qurshab olgan yopiq sirtning shaklidan qat’iy nazar, benihoya
kamayishi bilan birga, u bilan chegaralangan hajm nolga intiladi. Ana shu shart
bajarilganda yuqoridagicha tuzilgan nisbatning mavjud va aniq limiti skalyar
funksiya ning berilgan nuqtadagi gradiyenti deb ataladi va orqali
belgilanadi:
(1)
Skalyar funksiyaning berilgan nuqtadagi gradiyenti shu skalyar funksiyaning o’sha
nuqtadagi fazoviy vektor hosilasi deyiladi.
Yuqorida aytilgandek mulohazalardan foydalanib, maydonning vektor
funksiyasidan olingan fazoviy hosilalar tushunchasini kiritish mumkin. Fazo
21

nuqtasini qurshovchi yopiq sirt bo’yich olingan maydon vektor funksiyasining ikki
xil integrali bizga ma’lum:
va
Bu integrallarning fazo nuqtasini qurshovchi yopiq sirt bilan chegaralangan
hajmga nisbatini tuzamiz:
,
Berilgan nuqtani qurshab olgan yopiq sirtning benihoya kamayishi bilan
birga, birinchi nisbat qandaydir aniq skalyar miqdorga, ikkinchi nisbat esa
qandaydir aniq vektor miqdorga intiladi.
Birinchi nisbatning limitini ifodalovchi skalyar miqdor a vektorning berilgan
nuqtadagi divergensiyasi deyiladi va ko’rinishda yoziladi. Ikkinchi
nisbatning limitini ifodalovchi vektor miqdor a vektorning berilgan nuqtadagi
uyurmasi deyiladi va ko’rinishda yoziladi. Shunday qilib, ta’rifga muofiq:
(2)
(3)
bo’ladi.
Vektorning divergensiyasi vektorning fazoviy skalyar hosilasi deb, uning
uyurmasi esa vektorning fazoviy vektor hosilasi deb ataladi.
Yuqoridagi keltirilgan ta’riflardan ravshanki, maydon funksiyalari
yig’indisining fazoviy hosilasi maydon funksiyalarining fazoviy hosilalari
yig’indisiga teng, ya’ni:
(4)
22

(5)
(6)
Haqiqatan, misol uchun (4) ni tekshiraylik. Agar bo’lsa, bunday
yozishimiz mumkin:
Demak, (1)ga binoan:
bo’ladi, ya’ni isbot qilinishi lozim bo’lim bo’lgan (4) formula kelib chiqadi.
Qolgan ikki formula ham xuddi shu tarzda isbot qilinadi.
O’zgarmas maydon funksiyalari va ning fazoviy hosilalari nolga teng
bo’ladi:
(7)
(8)
(9)
Ixtiyoriy maydon funksiyalarining biror o’zgarmas c miqdor bilan
ko’paytmasi uchun, (1), (2), (3) ga binoan, quyidagilarni yozish mumkin:
(10)
(11)
(12)
Skalyarning gradiyenti, vektorning divergensiyasi va vektorning uyurmasi maydon
nazariyasining muhum tushunchalaridandir.
23

Maydon funksiyalaridan olingan fazoviy hosilalar fazo oriyentatsiyasiga
bog’liq. Haqiqatan, sirt elementi psevdovektor, hajm va psevdoskalyardir. Skalyar
gradiyentining polyar vektor, psevdoskalyar gradiyentining esa psevdovektor
bo’lishi (1) dan ravshan. Shuning singari, polyar vektor divergensiyasining skalyar,
psevdovektor divergensiyasining esa psevdoskalyar bo’lishi (2) dan ayon. Nihoyat,
polyar vektor uyurmasining psevdovektor, psevdovektor uyurmasining esa polyar
vektorligi (3) dan ravshan.
1.2-§. Skalyar maydonning gradiyenti, vektor maydonning divergensiyasi va
rotori
1.2.1. Skalyar funksiyaning gradienti
Funksiya o’zgarishlari turli yo’nalishlarda turlicha bo’lishi mumkin. Nuqta
orqali cheksiz ko’p yo’nalishlar o’tadi, demak, funksiyaning shu nuqtadagi
yo’nalishlar bo’yicha olingan hosilalari ham cheksiz ko’pdir. Ammo funksiyaning
biror nuqtada har qanday yo’nalish bo’yicha olingan hosilasi funksiyaning shu
nuqtadagi gradient bilan bo’g’langan.
(1)
bo’ladi. Funksiya gradientining birlik vektor yo’nalishidagi proeksiyasi grad
ni tekshirib ko’raylik. (1) ga muvofiq:
(2)
bo’ladi.
Funksiyaning gradientini aniqlashda berilgan nuqtani qurshab olgan yopiq
cheksiz kichik sirtning qandayligi ahamiyatsiz bo’lganidan, bu shakl
ixtiyorimizcha tanlashimiz mumkin. Shuning uchun biz yopiq sirtni silindr
shaklida olaylik: silindrning balandligi va asoslari bo’lsin.
vektor yo ’ nalishining birlik vektori desak , bo ’ ladi . M
24

nuqta radius - vektori r bo ’ lsa , nuqta radius - vektori bo ’ ladi . Yon sirtning
normali perpendikulyar . Shu sababli yuqori tartibli cheksiz kichik miqdorlarga
e ’ tibor qilinmasa silindrning yopiq sirti bo ’ yicha olingan integral uchun quyidagini
yozishimiz mumkin :
Silindrning hajmi esa . Natijada (2) ga binoan:
bo`ladi. Bu ifodaning o`ng tomoni, (1) ta`rifga muvofiq, bo`ladi. Shunday
qilib:
yoki (3)
(4)
Ko`ramizki, funksiyaning biror nuqtada ma`lum yo`nalish bo`yicha hosilasi
funksiya gradientining shu yo`nalishdagi proyeksiyasiga teng. Agar hosila
yo`nalishi funksiya gradientining yo`nalishi bilan bir xil bo`lsa, funksiya
gradientining proyeksiyasi eng katta qiymatga ega bo`ladi. U vaqtda, (4) ga
binoan, funksiyaning bu yo`nalish bo`yicha hosilasi ham eng katta qiymatga
ega, ya`ni o`zining gradient yo`nalishi bo`yicha funksiya eng katta su`rat bilan
ko`payadi.
Funksiya gradient yo`nalishining birlik vektorini orqali belgilasak, so`nggi
formuladan:
(5)
25

bo`ladi. Aytilganlardan shunday xulosa chiqaramiz: funksiya gradienti shunday
vektorki, uning yo`nalishi funksiyaning eng katta su`rat bilan ko`payish tomoniga
qaratilib, son qiymati (moduli) funksiyaning shu yo`nalish bo`yicha hosilasiga
teng.
Endi bitta maydonning biror nuqtasi orqali o`tkazilgan
izosirt berilgan bo`lsin. Shu izosirtga nuqtada urinma bo`lgan birlik vektorni
orqali belgilaylik. Izosirtda funksiya o`zgarmasligidan, funksiyaning urinma
yo`nalishidagi hosilasi nolga tengdir. Demak, (3) ga binoan, .
Demak, biror nuqtadagi funksiya gradienti shu nuqtadan o`tkazilgan izosirtga
perpendikulyar bo`ladi.
vektor funksiya gradienti ni tasvirlaydi, funksiya gradientining
yo`nalishidagi proyeksiyasi shu yo`nalishdagi funksiya hosilasi ni
tasvirlaydi. (4) dan ko`ramizki, izosirt normali bo`yicha olingan funksiya hosilasi
funksiya gradientining son qiymati (moduli)ga tengdir.
Funksiya gradientining Dekart komponentlarini topaylik, (4) va (3) dan:
.
Birlik vektor ixtiyoriy olinganligi sababli:
(6)
bo`ladi. Shunday qilib, funksiya gradientining Dekart kompanentlari uchun:
,
26

, (7)
.
ya`ni funksiya gradientining Dekart komponentlari bio`yicha funksiyaning xususiy
hosilalariga tengdir.
Funksiya to`la differensiali, ta`rifga muvofiq:

bo`ladi. Bu ifodaning o`ng tomoni gradient bilan siljish vektori ning
skalyar ko`paytmasidir:
(8)
ya`ni funksiya gradienti bilan radius-vektor differensialining skalyar ko`paytmasi
funksiyaning to`la differensialiga tengdir.
Berilgan vektor skalyar funksiyaning to`la differensiali bilan quyidagicha
bog`langan bo`lsin:
. (9)
(28.8) ga binoan, yoki . Bu yerda
ixtiyoriy bo`lganligidan , demak:
. (10)
27

Xullas, biror vektorning radius-vektor differensiali bilan skalyar ko`paytmasi
qandaydir skalyar funksiyaning to`la differensialiga teng bo`lsa, bunday vektor
o`sha skalyar funksiyaning gradient bo`ladi.
Agar funksiyaning orttirmasining Teylor qatoriga ajratishda yuqori tartibli
cheksiz kichik miqdorlar e`tiborga olinmasa, u holda:
(11)
bo`ladi.
28

2-BOB. MAYDON NAZARIYASIGA DOIR MASALALAR YECHISH
2.1-§. Gamilton opertori va unga doir formulalar
2.1.1-Misol : funksiyaning nuqtada o’qining musbat
yo’nalishi bilan burchak tashkil qilgan yo’nalish bo’yicha hosilani va
o’zgarish tezligini toping.
Yechish : Yo’nalish bo’yicha hosilani
formuladan topamiz.funksiya nuqtada differensiallanuvchi.
Agar chiziq o’qining musbat yo’nalishi bo’yicha burchak tashkil
qilsa bilan bo’lgan burchak tashkilqiladi.
Quyudagini hisoblashimiz kerak.
Demak,
2.1.2-Misol : funksiyaning nuqtada shu nuqtadan
o’qi bilan burchak tashkil qilgan yo’nalish bo’yicha hosilasi, vektor va eng
katta o’zgarish tezligi topilsin.
Yechish : Xususiy hosilalari va ularni nuqtadagi qiymatini topamiz:
29

Agar yo’nalish o’qining musbat yo’nalishi bilan burchak tashkil
qilgan bo’lsa , o’qining musbat yo’nalishi bilan burchak tashkil
qildi. Demak, . Bulardan, bo’lib
formuladan
Funksiyalarning nuqtadagi o’zgarish tezligi
.
2.1.1 Qo`zg`almas sirt ustida harakatlanuvchi
moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalari
Moddiy nuqta tenglamasi
(1)
ko`rinishida berilgan qo`zg`almas sirt ustida harakatlansin. Nuqtaga ta`sir etuvchi
aktiv kuchlarning teng ta`sir etuvchisi bo`lsin.
Avval nuqta harakatlanayotgan sirt silliq bo`lgan holni qaraymiz. Bu holda
bog`lanish reaksiyasi sirt normali bo`ylab yo`nalgan bo`ladi va unga normal
reaksiya deyiladi (shakl). U holda erksiz moddiy nuqtaning harakat differensial
tenglamasini quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:
(2)
bu yerda bog`lanishning normal reaksiya kuchi.
30

(2) tenglamaning ikkala tomonini o`qlariga proyeksiyalab, М
nuqtaning harakat differensial tenglamalarini hosil qilamiz, ya`ni
(3)
bu yerda kuchning o`qlardagi proyeksiyalari,
normal reaksiyaning o`sha o`qlardagi proyeksiyalari.
Sirtning normal reaksiyasi sirtning tashqi normali bo`ylab yo`nalgan bo`lsa,
uning yo`nalishi musbat, ichki normali bo`ylab
yo`nalgan bo`lsa, yo`nalishi manfiy deb olamiz.
Differensial tenglamalar kursidan ma`lumki,
sirtning vektori ham sirtning tashqi
normali bo`ylab yo`nalgan vektor bo`ladi, ya`ni
(4)
vektorni bazis vektorlari orqali quyidagicha yoziladi:
(5)
(4) va (5) tengliklarga asosan, normal reaksiyaning koordinata o`qlaridagi
proyeksiyalari quyidagicha bo`ladi:
(6)
vektorning moduli:
(4) tenglikdan:
31z
x yo MN
F



shakl

Bundan
da Lagranj ko`paytiruvchisi deyiladi.
(6) munosabatlarga asosan (3) tenglamalar quyidagi ko`rinishga keladi:
(7)
(7) tenglamalar erksiz moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalarini
yoki Lagranjning birinchi tur tenglamalarini ifodalaydi.
(7) tenglamalar (1) bog`lanish tenglamasi bilan birgalikda to`rtta tenglamalar
sistemasini hosil qiladi. Bu tenglamalar sistemasidan miqdorlarni
vaqtning funksiyasi ko`rinishida topish mumkin. Vaqtning funksiyasi bo`lgan
koordinatalar M nuqtaning harakat qonunini ifodalaydi. Lagranj
ko`paytuvchisi topilgandan keyin normal reaksiyaning moduli
(8)
formuladan topiladi.
2.1.3-misol. Quyidagi munosabatlarning to’g’riligini ko’rsating
a) ; b) ; c)
.
32

Yechish: a)
Bulardan kelib chiqadiki (*) va (**) munosabatlar ekvivalent, ya’ni
munosabat o’rinli.
b) Faraz qilaylik va vektorlar berilgan bo’lsin
Demak, munosabat o’rinli.
c)
2.2-§. Ikkinchi tartibli differensial amallar
2.2.1. Vektor maydon divergensiyasi, vektor maydoni.
2.2.1 Misol . Maydonning vektor chiziqlarini toping.
Yechish . Vektor chiziqlarining differensial tenglamalari bunday ko’rinishga
ega:
33

Yoki
Bu sistemani integrallab, hosil qilamiz:
bundan:
bunda -ixtiyoriy doimiydir.
Koordinatalar boshidan chiqayotgan nurlar vektor chiziqlari bo’lishi
ravshan. Bu chiziqlarning kanonik tenglamalari bunday ko’rinishga ega
2.2.2. Stoks teoremasi .
2.2.2 Misol . Ushbu
vektor maydonning koordinata tekisliklari bilan kesishish
chizig’i bo’yicha sirkulyatsiyasini hisoblang.
Yechish: tekislikning yuqori tomonini shuningdek, shu tomonga mos
kelgan berk konturni aylanib chiqish yo’nalishini qarab chiqamiz.
(18-chizma) uchburchak
Ushbuga ega bo’lamiz:
Xususiy hosilalarini topamiz:
34

Bu ifodalarni (1.3.9) Stoks formulasiga qo’yamiz.
sirt bo’yicha olingan integralni bu sirtning koordinata tekisliklaridagi
proektsiyalari bo’lgan karrali integrallar bilan ifodalaymiz:
(19-chizma) uchburchak
(20-chizma) uchburchak
35

(21-chizma) uchburchak
Shunday qilib
2.2.3. Vektor maydon uyurmasi.
Faraz qilaylik, fazoning sohasida quyidagi vector maydon berilgan
bo’lsin.
Ta’rif . vektor maydoning uyurmasi (yoki rotori) deb nuqtaning
bilan belgilanadigan va
formula bilan aniqlanadigan vektor maydoniga aytiladi, bunda xususiy hosilalarni
nuqtada topamiz.
2.2.3-Misol . Ushbu
vektor maydoning uyurmasini toping.
Yechish: ga egamiz. Xususiy hosilalarni topamiz:
36

.
Demak,
Uyurma tushunchasidan foydalanib, (1.3.9) Stoks formulasini vektor shaklida
qayta yozish mumkin:
va bunday ifodalsh mumkin: vektorning sirtni chegaralovchi konturni
aylanib chiqishning musbat yo’nalishi bo’yicha sirkulyatsiyasi vektorning
shu sirt orqali o’tadigan oqimiga teng.
Uyurmaning ta’rifidan foydalanib, quyidagi xossalarning to’g’ri ekaniga
ishonch hosil qilish mumkin.
bunda - o ’ zgarmas skalyar .
bunda skalyar maydonni aniqlovchi
funksiya .
2.2.4 Potensial maydon. Potensiallik shartlari .
1.3.4-Ta’rif . Agar
vektor maydonning uyurmasi sohaning hamma nuqtalarida nolga teng bo’lsa,
bu maydon shu sohada potensial (yoki gradientli, yoki uyurmasiz) maydon
deyiladi.
Potensial maydonning ta’rifiga ko’ra maydonning har bir nuqtasi uchun
bo’ladi, quyidagi ayniyatlar o’rinli bo’ladi:
37

Shuning uchun (1.3.13) ayniyatlarning bajarilishi vektor maydonning
potensialligi sharti bo’ladi.
Shu ayniyatlar
Chiziqli integralning yopiq kontur bo’yicha nolga aylanishi uchun zarur
va yetarlidir, shuningdek, uning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligining
zaruriy va yetarli shartidir.
1.3.5-Ta’rif . Gradienti skalyar maydonni vujudga keltiruvchi
skalyar funksiya shu vektor maydonning potensial funksiyasi (yoki
potensiali) deyiladi.
Shunday qilib, potensial maydon
munosabat bilan ifodalanadi, bunda
Bo’lib, shu bilan birga yoki
2.2.4-Misol. Ushbu
maydon potensiali maydon bo’lishi yoki bo’lmasligini tekshiring.
Yechish. bo’lgani uchun bu yerdan
xususiy hosilalarni topamiz.
38

Quyidagilar ravshan,
ya’ni (1.3.13) shart bajariladi, shuning uchun berilgan maydon potensial
maydondir.
Elastik deformatsiyaning muvozanat differensial tenglamalari

Bu tenglamalar sistemasini divergensiyasidan foydalansak quyidagicha
yoziladi.

Deformatsiyalanmagan elastik jismda ikkita bir biriga yaqin va
nuqtalarni olamiz, ularning radius vektorlari tegishlicha va bo'lsin.
Deformatsiyadan keyin ular va nuqtalarga o’tadi, ularning radius vektorlari
esa tegishli ravishda va bo’ladi.
Ko’chish vektorining komponentlari, , , larning chiziqli xadlariga
nisbatan quyidagicha yoziladi.
Xuddi shuningdek va o’qlardagi proyeksiyalar ham yoziladi. Bu
tengliklarni operatori orqali quyidagicha yozish mumkin.
Nyutonning butun olam tortishish qonunidan kelib chiqadigan differensial
tenglamani maydon nazariyasi operatorlari orqali quyidagicha ifodalash mumkin.
;
39

Agar deb potensialni kiritsak ning ikkinchi tenglamasidan,
Puasson tenglamasini hosil qilamiz;
Bu yerdan agar massa qatnashmasa - Laplas tenglamasini hosil qilamiz.
XULOSA
Masalaning yana bir muhim tomoni shundaki, vektorlar analosi
tushunchasining tadbiqi, oddiy misollar yordamida keltirilgan. Loyiha ishida
skalyar maydon gradiyenti vector maydon divirgensiyasi vector maydon rotiri
kabi tushunchalar keltirilgan. Ularning xossalariga e’tibor qaratilgan. Shu bilan
birga Gamilton operatori kiritilgan bo’lib, vector analizning
operatorlari,tenglamalari va bir qator formulalari nabla operatori yordamida
korsatilagan vectorlar analizi yordamida fazoda biror fizik kattalikni tarqalishi
o’rganiladi.
Masalan: Zichlik, temperature, elektr maydon, tezliklar maydoni, kuch
maydoni va boshqalar o’rnatiladi, natijada tegishli maydon xususiyatlari
aniqlanadi. Loyiha ishi doirasida asosiy tariflar, Formulalar berilgan mavzuni
o’zlashtirishda vectorlar algebrasi elementlaridan foydalanilgan.
O’z o’rnida shuni aytish lozimki, mazkur loyiha ishi ayrim kamchiliklardan holi
emas. Masalan: Mavzuni yoritishda xorijiy tillardagi adabiyotlardan kengroq
foydalanilganda ishning sifati yanada oshgan bo’lar edi.
Vector maydon divergensiyasi deb nomlanib, vector maydoni, sirt orqali o’tadigan
vektor maydon oqimi. Uning tezliklar maydonidagi fizik ma’nosi. Vector
maydonning yopiq sirt bo’yicha oqimini hajm bo’yicha olingan integral orqali
ifodalash haqida trogradiskiy teoremasi haqida ma’lumot berildi.
40

Ushbu bitiruv ishi Gamilton operatori va uning ba’zi bir tadbiqlari. Ish ikki bobdan
iborat bo’lib, birinchi bobda mazkur ishni bayon qilishda zarur bo’ladigan
ma’lumotlar keltirilgan xususan skalyar maydon gradiyenti, vektor maydon
divergentsiyasi, vektor maydon uyurmasi, II bob uchun asos bo’lib xizmat qiladi.
II bob Gamilton operatori. Gamilton operatori (Nabla operatori) vector
maydonidagi ikkinchi tartibli amallar yuzasidan gap yuritdik.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
I. O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti asarlari.
1. Mirziyoyev Shavkat Miromonovich. Erkin va farovon, demokratik
o‘zbekiston davlatini birgalikda barpo etamiz.
O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti lavozimiga kirishish tantanali marosimiga
bag‘ishlangan Oliy Majlis palatalarining qo‘shma majlisidagi nutq / Sh.M.
Mirziyoyev. – Toshkent: O‘zbekiston, 2016. - 56 b. (.pdf 17.6Mb)
2. Mirziyoyev, Shavkat Miromonovich. Tanqidiy tahlil, qat’iy tartib-
intizom va shaxsiy javobgarlik – har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi
bo‘lishi kerak. Mamlakatimizni 2016 yilda ijtimoiy-iqtisodiy rivojlantirishning
asosiy yakunlari va 2017 yilga mo‘ljallangan iqtisodiy dasturning eng muhim
ustuvor yo‘nalishlariga bag‘ishlangan Vazirlar Mahkamasining kengaytirilgan
majlisidagi ma’ruza, 2017 yil 14 yanvar / Sh.M. Mirziyoyev. – Toshkent:
O‘zbekiston, 2017. – 104 b. (.pdf 32.5Mb)
3. Mirziyoyev , Shavkat Miromonovich . Qonun ustuvorligi va inson
manfaatlarini ta ’ minlash – yurt taraqqiyoti va xalq farovonligining garovi .
O‘zbekiston Respublikasi Konstitutsiyasi qabul qilinganining 24 yilligiga
bag‘ishlangan tantanali marosimdagi ma’ruza. 2016 yil 7 dekabr
/Sh.M.Mirziyoyev. – Toshkent: “O‘zbekiston”, 2017. – 48 b (.pdf 22 Mb.).
41

II . Me’yoriy- huquqiy hujjatlar.
1. O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi Qonuni. O‘zbekiston
Respublikasi Qonunchilik palatasi , 2020 yil 19-may . 72 -modda.
2. Kadrlar tayyorlash milliy dasturi. O‘zbekiston Respublikasi Oliy
Majlisining Axborotnomasi, 1997 yil. 11-12-son, 295-modda.
3. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Maxkamasining 2012 yil 28 dekabrdagi
“ Oliy o‘quv yurtidan keyingi ta’lim xamda oliy malakali ilmiy va ilmiy pedagogik
kadrlarni attestatsiyadan o‘tkazish tizimini takomillashtirish chora-tadbirlari
to‘g‘risida”gi № 365 sonli Qarori.
4. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligining 2014
yil 31 martdagi “Oliy ta’lim muasasalari talabalarini me’yoriy-hujjatlar bilan
ta’minlash to‘g‘risida”gi № 114 - sonli buyrug‘i.
5. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2015 yil
10 yanvardagi “Vazirlar Mahkamasining “Oliy ta’limning Davlat ta’lim
standartlarini tasdiqlash to‘g‘risida” 2001 yil 16 avgustdagi 343-son qaroriga
o‘zgartirish va qo‘shimchalar kiritish haqida”gi № 3-sonli Qarori.
6. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining "Uzluksiz ta’lim
tizimi uchun davlat ta’lim standartlarini ishlab chiqish va joriy etish to‘g‘risida"
1998 yil 5 yanvardagi 5-son Qarori.
III . Asosiy adabiyotlar.
2. Theoretical mechanics. Vasile Szolga, 2010.
3. Statics and Dynamics. R. C. Hibbeler, 2013.
4. Engineering mechanics. R.S. Khurmi, 2011.
5. Dissipation of oscillatory contact lines using resonant mode scanning. Yi
Xia 1 and Paul H. Steen. npj Microgravity (2020) 6:3 ;
https://doi.org/10.1038/s41526-019-0093-0
6. Controllable vibration of liquid crystal elastomer beams under periodic
illumination. Jun Zhao, Peibao Xu, Yong Yu, Kai Li. International Journal of
Mechanical Sciences 170 (2020) 105366.
42

7. Fayzullayev B.A. «Nazariy mexanika 1-jild», T.: “Cho‘lpon”, 2011.
8. I.V.Meshcherskiy «Nazariy mexanikadan masalalar to‘plami», T.:
«O‘qituvchi», 1989.
9. G. Xudoyberganov, A.Vorisov, X. Mansurov, B.Shoyimqulov “Matematik
analizdan ma’ruzalar” II qism. Toshkent 2010-yil bet-72-80.
10. A . Sadullayev , K . Mansurov , G . Xudoyberganov , A . Vorisov , G . G ’ ulomov
“ Matematik analiz kursidan misol va masalalar to ’ plami ” II qism Toshkent 1993-
yil bet -57-58.
11. А.С. Феденко, И.В. Белко, В.И. Видирников, В.Т. Воднев, А.А. Гусак,
А.И.Нахиновская, А.П.Рядушка, Л.К. Тутаев “сборник задач
дифференциалной геометрии” 1973 год Москва Наука.
12. M.A. Sobirov, A.Yo. Yusupov differensial geometriya kursi Toshkent 2001-
yil bet-433-472.
13. A. Sa’dullayev, X. Mansurov, “Matematik analiz kursidan misol va
masalalar to’plami” 2-tom Toshkent 1995-yil 9-28 betlar
14. Бугров, Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.
/ Я.С. Бугров, С.М. Никольский. − М.: Наука, 1997. − 337 с.
15. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 / П.Е.
Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. − М. : Оникс 21 век, 2002. − 304 с.

16. Topildi y ev V.R. Ta’lim va tarbiya jarayonlarini tashkil etishning me’yoriy-
huquqiy asoslari. –T., 2015. - 164- bet .
IV . Internet saytlari.
1. www.edu.uz
2. www.edu.ru
3. www.cer.ru
4. www.ilm.uz
5. www.uza.uz
6. www.ziyonet.uz
7. www.mechaniks.com
43

V. Scopus materiallari
1. Dissipation of oscillatory contact lines using resonant mode scanning. Yi
Xia 1 and Paul H. Steen. npj Microgravity (2020) 6:3;
https://doi.org/10.1038/s41526-019-0093-0
2. Controllable vibration of liquid crystal elastomer beams under periodic
illumination. Jun Zhao, Peibao Xu, Yong Yu, Kai Li. International Journal
of Mechanical Sciences 170 (2020) 105366.
3. V.V. Rumyantsev (originator), which appeared in Encyclopedia of
Mathematics - ISBN 1402006098. See original article Lagrange equations
(in mechanics). Encyclopedia of Mathematics. URL:http://
encyclopediaofmath. org/index.php?
title=Lagrange_equations_(in_mechanics)&oldid=47555
4. D. Besdo, Examples to Extremum and Variational Principles in Mechanics
© Springer-Verlag Wien 1972
5. David Tong. "Cambridge Lecture Notes on Classical Dynamics" URL:http://
encyclopediaofmath.org/wiki/Lagrange mechanics
6. Kibble, T. W. B.; Berkshire, F. H. (2004). Classical Mechanics (5th ed.).
Imperial College Press. p. 236. ISBN 9781860944352 .
7. Louis N. Hand; Janet D. Finch (1998). Analytical mechanics . Cambridge
University Press. pp. 140–141. ISBN 0-521-57572-9 .
44

Maydon nazariyasi elementlari, ularning tadbiq etilishi

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish