Meteorologik maydonlarning ob’ektiv tahlili
![bu yerda x
i va y
i – i punktning koordinatalari. Misol uchun, koordinatalari x
1 va y
1
bo‘lgan i=1 punkt uchun:H (x 1 ,y 1)= a 0+ a 1 x1+ a 2 y 1.
Bunday yo‘l bilan aniqlangan geopotensial qiymati
i =H(x
i ,y
i )–H
i xatolikka
ega bo‘ladi, bu yerda H
i geopotensialning i punktdagi faktik qiymati.
Eng kichik kvadratlar usuliga muvofiq a koeffitsiyentlar shunday bo‘lishi
kerakki, barcha punktlar bo‘yicha
i xatoliklar kvadratlari yig‘indisi minimal
bo‘lishi, ya’ni a koeffitsiyentlar quyidagi ifodaning minimumi shartidan
aniqlanishi kerak:
Q = ∑
i=1
N
δi
2= ∑
i=1
N
[H (xi,yi)− H i]
2= ∑
i=1
N
[a0+a1xi+a2yi− H i]
2.
Barcha a koeffitsiyentlar bo‘yicha Q dan hosilalarning nolga teng bo‘lishi
ekstremum sharti hisoblanadi. Natijada quyidagi uch noma’lumli normal
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
∂Q
∂a0
= 2∑
i=1
N
[a0+a1xi+a2yi− H i]= 0;
∂Q
∂a1
= 2∑
i=1
N
[a0+a1xi+a2yi− H i]xi= 0;
∂Q
∂a2
= 2∑
i=1
N
[a0+a1xi+a2yi− H i]yi= 0.
a koeffitsiyentlarni summa belgisi ostidan chiqarib, erkin hadlarni o‘ng
tomonga o‘tkazgandan so‘ng tenglamalr sistemasi quyidagi ko‘rinishda yoziladi:
Na 0+a1∑
i=1
N
xi+a2∑
i=1
N
yi= ∑
i=1
N
H i;
a0∑
i=1
N
xi+a1∑
i=1
N
xixi+a2∑
i=1
N
yixi= ∑
i=1
N
xiH i;
a0∑
i=1
N
yi+a1∑
i=1
N
xiyi+a2∑
i=1
N
yiyi= ∑
i=1
N
yiH i,
yoki](https://docx.uz/documents/620ddc38-6361-4266-99dc-b951439b52d2/page_6.png?v=1)
![shartidan aniqlanishi mumkin:Q = ∑
i=1
N
giδi
2= ∑
i=1
N
gi[H (xi,yi)− H i]
2= ∑
i=1
N
gi[a0+a1xi+a2yi− H i]
2.
So‘ngra yuqorida keltirib o‘tilgan tartibda normal tenglamalar sistemasi
tuziladi va yechiladi.
Polinomial interpolyatsiya usulining qo‘llanilishi
Boshlang‘ich ma’lumotlar sifatida tahlil qilinayotgan elementning nafaqat
bitta sathdagi qiymatlari, balki boshqa ma’lumotlardan ham foydalaniluvchi sonli
tahlil sxemalarini ko‘rib chiqamiz.
Misol uchun, turli sathlarda olingan ma’lumotlardan foydalanish va
maydonlarni approksimatsiyalash uchun ikkinchi tartibli polinomlarni qo‘llashda
geopotensialning fazoviy maydoni quyidagicha ifodalanishi mumkin:
H (x,y,ξ)= a0+ a1x+ a2y+ a3xy + a4x2+ a5y2+a6ξ+a7xξ + a8yξ +a9ξ2.
bu yerda
ξ= p/P ( R=1000 ). Bu holda
Q = ∑
i,k
gik [H (xi,yi,ξk)− H ik ]
2
funksiya minimallashtirilishi lozim. Bu yerda i – punktning tekislikdagi indeksi, k
– vertikal koordinata indeksi, H
ik – fazoning ik nuqtasida o‘lchangan H kattalikning
qiymati, g
ik – o‘lchashlarning shu nuqtadagi salmog‘i.
Tahlil qilinayotgan elementning o‘lchangan qiymatlari bilan bir qatorda bu
elementning prognoz asosida olingan qiymatlaridan ham foydalanish mumkin.
Prognoz asosida olingan ma’lumotlarni
^H orqali belgilaymiz. Bu holda,
masalan, bitta sath ma’lumotlarini hisobga olishda quyidagi funksiya
minimallashtiriladi:
Q = ∑
i
gi[H (xi,yi)− H i]
2
+∑
l
pl[^H (xl,yl)− ^H l]
2
.
bu yerda i va l indekslar mos ravishda punktlardagi kuzatish va prognoz
ma’lumotlarini ifodalaydi, g
i va p
l – mos ravishda faktik va prognostik
ma’lumotlarning salmoqlari.
Geopotensial maydonining tahlilida shamolni geostrofik deb qabul qilib,](https://docx.uz/documents/620ddc38-6361-4266-99dc-b951439b52d2/page_8.png?v=1)
![shamol to‘g‘risidagi ma’lumotlardan foydalanish mumkin. u=− g
l
∂H
∂ y
,
υ= − g
l
∂ H
∂ x
geostrofik shamol munosabatlaridan va, misol uchun, N uchun ikkinchi tartibli
polinomdan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:
u(x,y)= − g
l (a2+a3x+2a5y);
υ(x,y)= − g
l (a1+a3y+2a5x).
Geopotensial va shamol to‘g‘risidagi faktik va prognostik ma’lumotlardan
foydalaniluvchi umumiy holda quyidagi funksiya minimallashtiriladi:
Q=∑
i
αi[H (xi,yi)− H i]
2+∑
j
βj[^H (xj,yj)− ^H j]
2+∑
k
γk{[u(xk,yk)−uk]
2+[υ(xk,yk)− υk]
2
},
bu yerda i, j, k – geopotensialning o‘lchangan va prognostik hamda shamol tashkil
etuvchilarining o‘lchangan qiymatlariga ega punktning teksilikdagi o‘rnini
tavsiflovchi indekslar, α
i , β
j , γ
k – yuqoridagi qiymatlarga mos keluvchi salmoqlar.
Polinomial interpolyatsiya usulini yana bir umumlashtirish biror ortogonal
funksiyalar, masalan Chebishev polinomlari yoki trigonometrik funksiyalardan
foydalanishdan iborat. So‘nggi holda bitta sathdagi maydon quyidagi ko‘rinishda
ifodalanishi mumkin:
H (θ ,λ)= ∑
m
∑
k
C mk θkcos mλ + ∑
n
∑
k
D nk θksin mλ ,
bu yerda
θ,λ – qutbiy burchak ( θ=90-φ ) va uzunlik, m va n – garmonikalar tartib
raqamlari, k – butun sonlar (0, 1, 2, ...), C va D – qatorga yoyish koeffitsiyentlari
bo‘lib, quyidagi ifodaning minimumi shartidan aniqlanadi:
Q = ∑
i
[H (θi,λi)− H i]
2
,
bu yerda i – nuqtaning tekislikdagi tartib raqami.
Bayon qilingan nazariya asosida bir qator muayyan uslubiyatlar ishlab
chiqilgan va amaliyotga tadbiq etilgan.](https://docx.uz/documents/620ddc38-6361-4266-99dc-b951439b52d2/page_9.png?v=1)
![usulga muvofiq to‘r tugunida f element haqiqiy qiymatining ¯f normadan
chetlanishi
f0' quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
f0
'= ∑
i=1
n
pifi
'= p1f1
'+ p2 f2
'+...+ pn fn
'
, (1)
bu yerda,
fi'= fi− ¯fi – i ( i=1,2,…,n ) punktlarda o‘lchangan elementning o‘rtacha
qiymatdan chetlanishi,
fi – meteorologik elementning o‘lchangan qiymati, p
i –
interpolyaiya salmoqlari. Eng kichik kvadratlar usuliga muvofiq p
i ni aniqlash
uchun o‘rtacha kvadrat xatolikning minimumi, ya’ni quyidagi funksiyalarning
minimumi shartidan normal tenglamalar sistemasi tuziladi:
E= δ2= [f0
'− ∑
i=1
n
pifi
'
]
2
=
[
f02
'− 2 f0
'∑
i=1
n
pifi
'+(∑
i=1
n
pifi
'
)
2
]
. (2)
Agar Ye funksiyaning p
i bo‘yicha xususiy hosilalari nolga teng bo‘lsa, ya’ni
quyidagi shart bajarilsa, bu funksiya minimumga ega bo‘ladi:
∂ E
∂ pi
= 0
, i ( i=1,2,…,n ). (3)
E uchun yozilgan ifodaning har bir hadini differensiallab, quyidagini hosil
qilamiz:
∂(f02
'
)
∂ pi
= 0, ∂
∂ pi(f0
'∑
i=1
n
pifi
'
)= f0
'fi;
∂
∂ pi(∑
i=1
n
pifi
'
)
2
= 2∑
j=1
n
pifi
'∂
∂ pi(∑
i=1
n
pifi
'
)= 2∑
j=1
n
pifj
'fi
'= 2∑
j=1
n
pifj
'fi
'.
(4)
Bu ifodalarni hisobga olsak, (3) tenglama quyidagicha yoziladi:
− 2 f0
'fi+2∑
j=1
n
pifj
'fi
'= 0
, i ( i=1,2,…,n ).
Bu ifodani interpolyatsiya bajarilayotgan to‘r tuguni joylashgan hududdagi
dispersiyaga bo‘lib, har bir i nuqtadagi ma’lumotlarning o‘rtacha kvadrat xatolari
σ
i ma’lum ekanligini hisobga olsak, quyidagini hosil qilamiz:](https://docx.uz/documents/620ddc38-6361-4266-99dc-b951439b52d2/page_13.png?v=1)
Meteorologik maydonlarning ob’ektiv tahlili