Modul qatnashgan tenglamalarni oʻqitish metodikasi - Pedagogika - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	128.4KB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	13 May 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Pedagogika

Sotuvchi

Shavkat

Ro'yxatga olish sanasi 04 Aprel 2024

69 Sotish

Modul qatnashgan tenglamalarni oʻqitish metodikasi

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI MAKTABGACHA VA MAKTAB
TA’LIMI VAZIRLIGI
NIZOMIY NOMIDAGI TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA
UNIVERSITETI
“Himoyaga ruxsat beraman”
Fizika-matematika fakulteti
dekani G ‘ . F. Djabbarov
_________________
2025-yil “____” _______________
“Matematika va informatika” ta’lim yo‘nalishi
3 - kurs 3 06 -guruh talabasi
Kamoljonova Fazilat To‘lqinjon qizi ning
“ Matematika o qitish metodikasiʻ ” fanidan
KURS ISHI
Mavzu: Modul qatnashgan tenglamalarni o qitish metodikasi
ʻ
Toshkent-2025“Tasdiqlayman”
“Umumiy matematika”
kafedrasi mudiri p.f.n.,
dotsent Akmalov A.A.
________
«_______» Kurs ishi rahbari:
“Umumiy matematika”
kafedrasi dotsenti.v.b
Koshnazarov R.A.
__________________________

MUNDARIJA:
KIRISH................................................................................................................. 3
I-BOB. MODUL QATNASHGAN TENGLAMALAR: NAZARIY
ASOSLAR VA TURLARI
1.1. Modul tushunchasi va uning matematik ifodasi…………………………….. 6
1.2. Modul qatnashgan tenglamalar va ularning
turlari………………………….. 12
1.3. Modul bilan bog‘liq tengsizliklar va ularni yechish
usullari ………………… 18
II-BOB. MODUL QATNASHGAN TENGLAMALARNI O QITISHʻ
METODIKASI
2.1. Modul qatnashgan tenglamalarni o qitishda interfaol
ʻ
usullar ……………….. 22
2.2. Modul qatnashgan tenglamalarni o qitishda zamonaviy
ʻ
texnologiyalar …….. 28
2.3. Modul qatnashgan tenglamalarni o qitishda baholash va natijalarni tahlil
ʻ
qilish……………………………………………………………………………... 33
XULOSA……………………………………………………………………….. 36
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR............................................................. 38
2

KIRISH
“Sof matematika — bu mantiqiy g‘oyalar she’riyatidir.”
Albert Eynshteyn
Mavzuning dolzarbligi . So‘nggi yillarda O‘zbekiston Respublikasida ta’lim
sifatini oshirish, fanlarni zamonaviy va interaktiv metodlar orqali o‘qitish,
o‘quvchilarning chuqur va puxta bilim olishini ta’minlash yo‘lida qator tub islohotlar
amalga oshirilmoqda. Ushbu islohotlar nafaqat ta’lim mazmunini yangilashni, balki
pedagogik yondashuvlarni ham tubdan o‘zgartirishni talab qilmoqda. Ayniqsa,
matematika kabi asosiy fanlarni o‘qitishning samaradorligini oshirish bugungi kun
ta’lim siyosatining ustuvor yo‘nalishlaridan biridir. Matematika – bu faqat fan emas,
balki fikrlash madaniyatidir. Ayniqsa, algebraik bilimlar, jumladan, modul (absolyut
qiymat) qatnashgan tenglamalarni o‘rgatish orqali o‘quvchilarda mantiqiy, analitik va
tizimli fikrlash ko‘nikmalarini shakllantirish mumkin. Modul tenglamalarini o‘rganish
orqali o‘quvchi matematik tafakkur asoslarini chuqurroq anglaydi, grafik tafakkur,
algoritmik fikrlash va matematik modellashtirish kabi zamonaviy ko‘nikmalarni
egallaydi.
2022-yil 28-yanvarda O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining “2022–2026
yillarda xalq ta’limini rivojlantirish bo‘yicha Milliy dastur” ini tasdiqlash to‘g‘risidagi
PF-60-sonli 1
farmoni e’lon qilindi. Ushbu hujjatda aniq fanlar, xususan matematika
fani bo‘yicha ta’lim mazmuni va metodikalarini zamon talablari asosida yangilash
vazifasi belgilangan. Farmonga ko‘ra, matematika fanini chuqurlashtirib o‘qitish,
1
2022-yil 28-yanvarda O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining “2022–2026 yillarda xalq ta’limini rivojlantirish
bo‘yicha Milliy dastur”ini tasdiqlash to‘g‘risidagi PF-60-sonli farmoni
3

fanlarni o‘zaro integratsiyalashgan holda o‘qitish, zamonaviy texnologiyalardan
foydalanish orqali dars jarayonlarini optimallashtirish ustuvor maqsad etib qo‘yilgan.
Bundan tashqari, 2024-yil 16-oktabrda Prezident tomonidan qabul qilingan PF-
158-sonli 2
farmonga muvofiq, 2025/2026 o‘quv yilidan boshlab kasbiy ta’lim
muassasalarida yangi texnikumlar tarmog‘i joriy qilinadi va xalqaro ta’lim dasturlari
asosida ta’lim beriladi. Bu esa o‘quvchilarning murakkab masalalarni hal qilish,
matematik tahlil va modellashtirishga oid bilimlarini kengaytirishni talab etadi.
Modul qatnashgan tenglamalar esa aynan shunday bilim va ko‘nikmalarni egallashda
muhim vosita bo‘lib xizmat qiladi.
Modul qatnashgan tenglamalar o‘rta maktab matematikasining muhim, biroq
ko‘pchilik o‘quvchilar uchun murakkab bo‘lib tuyuladigan mavzularidan biridir. Bu
mavzuni o‘rgatishda matematik tushunchalarni aniq, mantiqiy va izchil tarzda
tushuntirish, o‘quvchining mavzuga bo‘lgan qiziqishini uyg‘otish, darsni interaktiv
usullar bilan boyitish muhim hisoblanadi. Afsuski, amaliyotda ko‘plab o‘quvchilar
ushbu mavzuni chuqur o‘zlashtira olmayapti. Bunga asosiy sabablar sifatida
o‘qituvchining metodik yondashuvining sustligi, mavzuni grafik asosida tushuntirish
yetarli darajada emasligi, individual yondashuv yetishmasligi va nazariy hamda
amaliy mashqlar o‘rtasidagi nomutanosiblikni keltirish mumkin. Zamonaviy
metodikalarga asoslangan holda modul qatnashgan tenglamalarni o‘qitish orqali
yuqoridagi muammolarni bartaraf etish mumkin. Bunda quyidagilar asosiy
yondashuvlar bo‘lib xizmat qiladi: dars jarayonini muammoli vaziyatlardan boshlash,
real hayotdagi masalalarga asoslangan topshiriqlardan foydalanish, modellashtirish va
grafik yondashuvlarni qo‘llash, AKT vositalarini qo‘shish, guruhlarda ishlash orqali
o‘zaro fikr almashish, o‘yinli metodlar orqali darsga qiziqishni oshirish.
Yana bir muhim jihat – O‘zbekiston Respublikasi Fanlar akademiyasi, Oliy
ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi hamda Maktabgacha va maktab ta’limi vazirligi
tomonidan matematik ta’lim sifatini oshirish bo‘yicha hamkorlikda olib borilayotgan
2
2024-yil 16-oktabrda Prezident tomonidan qabul qilingan PF-158-sonli farmoni
4

izchil ishlar. Jumladan, ixtisoslashtirilgan matematika maktablari soni oshirilmoqda,
o‘quv dasturlari va darsliklar xalqaro mezonlarga moslashtirilmoqda, xalqaro PISA,
TIMSS kabi baholash tizimlari joriy etilmoqda. Ushbu islohotlar doirasida algebraik
tahlil, xususan, modul tenglamalarni o‘qitish darajasi ham yuqorilashi zarur.
Kurs ishining maqsadi. O‘rta ta’lim muassasalarida algebra kursi doirasida
modul qatnashgan tenglamalarni samarali va tushunarli tarzda o‘qitish metodikasini
ilmiy-nazariy va amaliy jihatdan chuqur o‘rganish, mavjud pedagogik tajribalarni
tahlil qilish, zamonaviy o‘qitish texnologiyalarini qo‘llash orqali o‘quvchilarda
mantiqiy fikrlash, mustaqil ishlash va matematik muammolarni hal qilish
ko‘nikmalarini shakllantirishga xizmat qiluvchi uslubiy tavsiyalar ishlab chiqishdan
iborat. Shuningdek, ushbu kurs ishi orqali modul tenglamalarning o‘quv dasturidagi
o‘rni, murakkablik darajasi, mavzuga nisbatan o‘quvchilarning qiziqishi va
o‘zlashtirish darajasi tahlil qilinadi hamda o‘qituvchilar uchun dars jarayonini yanada
interaktiv va samarali tashkil etishga xizmat qiluvchi metodik yondashuvlar taklif
etiladi.
Kurs ishining vazifalari:
 Modul qatnashgan tenglamalarning nazariy asoslarini o‘rganish.
 Mazkur tenglamalarni o‘qitishdagi amaliy metodlarni tahlil qilish.
 Dars jarayonida qo‘llaniladigan samarali uslublarni aniqlash.
 O‘quvchilarda mantiqiy fikrlashni rivojlantirishga xizmat qiluvchi
topshiriqlarni tanlash.
 O‘qituvchilar uchun metodik tavsiyalar ishlab chiqish.
Kurs ishining predmeti. Modul qatnashgan tenglamalarni o‘qitish jarayonida
qo‘llaniladigan metodik yondashuvlar, o‘quvchilar bilan ishlash usullari va darsni
samarali tashkil etish vositalaridir.
5

Kurs ishining obyekti. Umumiy o‘rta ta’lim maktablarida matematika fanini
o‘qitish jarayoni, xususan, algebra kursida modul qatnashgan tenglamalarni o‘rgatish
amaliyotidir.
Kurs ishining tuzilishi: kirish, 2 ta bob, umumiy xulosa va foydalanilgan
adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.
I-BOB. MODUL QATNASHGAN TENGLAMALAR: NAZARIY
ASOSLAR VA TURLARI
1.1. Modul tushunchasi va uning matematik ifodasi
Modul, yoki absolyut qiymat, matematikada sonning manfiy yoki musbatligini
hisobga olmasdan, uning o‘lchamini ifodalash uchun ishlatiladi. Modul, asosan,
haqiqiy sonlar to‘plamida qo‘llaniladi va uning asosiy maqsadi sonlar o‘rtasidagi
masofani aniq ko‘rsatishdir. Modul tushunchasi sonning o‘ziga nisbatan qanchalik
uzoqligini ifodalaydi, shuning uchun ham uni “sonning 0 nuqtasiga bo‘lgan masofasi”
deb ta’riflash mumkin.
1. Modulning matematik ifodasi. Modul (absolyut qiymat) matematikada
biror sonning faqat kattaligini, ya'ni uning musbat qiymatini ko'rsatadi. Modulning
maqsadi, sonning manfiy yoki musbat ekanligini hisobga olmay, faqat uning
masofasini hisoblashdir. Bu tushuncha sonlarning o‘zaro masofasini aniqlashda yoki
sonlarning kattaligini taqqoslashda juda foydalidir.
Matematikada modul yoki absolyut qiymat quyidagicha ta’riflanadi:∣a∣={
a,agar a≥0
−a,agar a<0
Bu ifodada a - haqiqiy son bo'lib, uning moduli uning manfiy yoki musbatligini
hisobga olmay faqat kattaligini ko'rsatadi. Modulning ta'rifi shundan iboratki, agar
son aa musbat yoki nol bo‘lsa, uning moduli o‘ziga teng bo‘ladi. Agar aa manfiy
bo‘lsa, moduli uning qarama-qarshi qiymatiga teng bo‘ladi.
6

Modulning xossalaridan biri, sonlarning yig'indisi, ko‘paytmasi yoki bo‘linmasi
bilan bog'liq hisoblashlar vaqtida ishlatiladi. Modulning eng asosiy xossalaridan biri
shundaki, modul sonning musbat yoki manfiy bo‘lishidan qat’i nazar, uning o‘lchami
(kattaligi)ni ifodalaydi. Shuning uchun modulni hisoblashda sonning ishorasi hisobga
olinmaydi.
Misollar yordamida modulning qanday ishlashini ko‘rish mumkin:
1. Agar a=3, unda ∣ 3 ∣ =3, chunki 3 musbat son.
2. Agar a=−4, unda ∣ −4 ∣ =4, chunki −4 manfiy son va modul uning qarama-
qarshi qiymatiga teng bo‘ladi.
3. Agar a = 0, unda |0| = 0, chunki nolning moduli o‘zi bilan teng bo‘ladi.
Modulning boshqa bir muhim xossasi yig‘indi, ko‘paytma va bo‘linmalarga
taalluqli. Misol uchun, modulni yig‘indi ustida ishlatganimizda, quyidagi xossa
qo‘llaniladi:
∣ a + b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣
Bu xossa shuni anglatadiki, ikkita sonning yig‘indisi moduli har doim ularning
modullarining yig‘indisidan kichik yoki teng bo‘ladi. Bunday xossalar matematikada
va amaliy masalalarda sonlarni qo‘shishda yoki taqqoslashda foydalidir.
Modulni ko‘paytma ustida ishlatganimizda esa, quyidagi xossa qo‘llaniladi:∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣
Bu xossa modulli ko‘paytmani hisoblashda ishlatiladi va u ikki sonning
modullarining ko‘paytmasiga teng bo‘lishini bildiradi.
Modulni bo‘lishda esa quyidagi xossa qo‘llaniladi:
∣a
b∣= ∣a∣
∣b∣
Bu xossa, agar sonni bo‘lishda ishlatilsa, modullarni alohida hisoblash va
natijada ularni bo‘lish orqali qiymatni olish mumkinligini ko‘rsatadi.
Modulning grafik tasvirini ko‘rib chiqish, uni yaxshiroq tushunishga yordam
beradi. Agar y= ∣ x ∣ funksiyasining grafigini chizsak, u “V” shaklida bo‘ladi. Agar x≥0
7

bo‘lsa, grafik chiziq to‘g‘ri bo‘ladi, chunki y=x. Agar x<0 bo‘lsa, grafik chiziq uning
manfiy qiymatini musbat qilib beradi, ya’ni y=−x. Shunday qilib, modulning grafigi
x = 0 nuqtada uchlanadi va ikkita chiziqning kesishishiga olib keladi.
Modul nafaqat matematika, balki boshqa sohalarda ham ishlatiladi. Masalan,
fizika va iqtisodiyotda modul tushunchasi kattaliklarni taqqoslashda, masofani
hisoblashda yoki qiymatlarni solishtirishda qo‘llaniladi. Moduli hisoblash orqali,
masalan, tezlik, kuch, va boshqa fizik kattaliklarni ifodalash mumkin, chunki bu
kattaliklar faqat o‘lchamga ega bo‘ladi va yo‘nalish muhim emas. Statistikada esa
modul yordamida dispersiya yoki o‘rtacha qiymatlarni hisoblashda qo‘llanadi. Shu
tarzda, modul matematikada, fizika va boshqa sohalarda keng qo‘llaniladigan muhim
tushuncha bo‘lib, u sonlarning kattaligini hisoblashda qulaylik yaratadi. Modulni
hisoblash, masalaning o‘zi bilan bog‘liq barcha ishoralarni hisobga olmay, faqat
sonning kattaligini ko‘rsatadi, bu esa hisoblashlarda oddiylik va aniq natijalar beradi.
Modulni qo‘llash matematikada, shuningdek, turli amaliy sohalarda keng
qo‘llaniladigan bir tushuncha bo‘lib, uning yordamida musbat yoki manfiy sonlar
orasidagi farqlarni hisoblashda, masofalarni aniqlashda, va muammolarni sodda
tarzda yechishda samarali natijalar olinadi. Modul yordamida sonlarning kattaligini,
ularning farqlarini, va grafikdagi joylashuvini aniq bilish mumkin.
Modulni qo‘llashning asosiy sohalarini quyidagi tarzda ko‘rib chiqish mumkin:
1. Sonlar orasidagi masofa. Modul orqali ikki sonning orasidagi masofani
hisoblash mumkin. Misol uchun, agar aa va bb sonlari mavjud bo‘lsa, ularning
orasidagi masofa quyidagicha hisoblanadi:¿a−b∨¿
Bu formula sonlarning farqining modulini ifodalaydi, shunda farq har doim
musbat bo‘ladi. Bu xususiyat sonlar orasidagi masofani aniqlashda juda foydalidir,
chunki biz musbat yoki manfiy farqni farqning o‘lchoviga aylantiramiz.
8

2. Tenglamalar va tengsizliklar. Modulli tenglamalar va tengsizliklar
matematik hisob-kitoblarda keng qo‘llaniladi. Modulning asosiy xususiyati shundaki,
u musbat natijalarni hisoblashga yordam beradi. Masalan, |x - 3| = 5 tenglamasini
ko‘rib chiqamiz. Bu tenglama ikki holatga ajratiladi: x - 3 = 5 yoki x - 3 = -5, va har
bir holat alohida yechiladi. Shunday qilib, modul yordamida masalalarni sodda tarzda
yechish mumkin.
Modulli tengsizliklar ham o‘ziga xos tarzda yechiladi. Misol uchun, ∣ x+2 ∣ <4
tengsizlikni yechish uchun ikki tengsizlikka ajratiladi: −4<x+2<4, va undan keyin bu
tengsizlikni oddiy ravishda yechish mumkin.
3. Grafik qo‘llanilishi. Modulni grafikda qo‘llash ham juda muhimdir. Agar
y= ∣ x ∣ funksiyasini grafikka tushiradigan bo‘lsak, bu grafikka V shaklida bo‘ladi. Bu
grafikda manfiy qiymatlar musbat qiymatlar bilan bir xil joylashadi, chunki modul
sonni musbat qiymat sifatida ifodalaydi. Grafikda modulning qo‘llanilishi, masalan,
matematik modellash yoki fizikaviy masalalarda yordam beradi. Grafikdan sonlarning
kattaligini va ularning taqsimlanishini aniq bilish mumkin.
4. Fizika va iqtisodiyotda qo‘llanilishi. Modulni qo‘llash fizika va
iqtisodiyotda ham keng tarqalgan. Fizikada, masalan, tezlik, kuch, energiya kabi
kattaliklar modulli tarzda o‘lchanadi, chunki bu kattaliklar faqat o‘lchamga ega bo‘lib,
yo‘nalishi ahamiyatga ega emas. Iqtisodiyotda ham modul, masalan, foyda yoki
zararlarni hisoblashda qo‘llaniladi, chunki bu qiymatlar musbat bo‘lishi kerak. Modul
yordamida, manfiy qiymatlar hisobga olinmasdan, faqat o‘lchamni aniqlash
imkoniyati mavjud.
5. Matematik modellashda. Modul matematik modellarda, ayniqsa,
optimallashtirish masalalarida qo‘llaniladi. Modul yordamida, matematik modelda
sonlarning musbat yoki manfiy yo‘nalishlari hisobga olinmaydi, faqat ularning
kattaligi bilan ishlanadi. Bu usul, iqtisodiy va fizikaviy masalalarda samarali
yechimlar topishga yordam beradi. Modulni qo‘llashda asosiy maqsad sonlarning
9

kattaligini aniqlash, masofani hisoblash va matematik tenglamalar, tengsizliklar va
grafik masalalarni yechishda qulaylik yaratishdir. Modul yordamida hisoblashlar aniq
va oson amalga oshiriladi, bu esa murakkab masalalarni hal qilishda samarali
natijalarni taqdim etadi.
Modul funksiyasining grafi y= ∣ x| shaklida bo‘lib, bu grafik “V” shaklida hosil
bo‘ladi. Grafikning tuzilishi quyidagicha:
1. Agar x≥0 bo‘lsa, ya'ni xx musbat yoki nol bo‘lsa, unda y=x. Bu holatda
grafik to‘g‘ri chiziq tarzida bo‘ladi va yuqoriga qarab o‘sadi. Bu, y=x chiziqning o‘ng
tomoni bo‘lib, to‘g‘ri chiziq kabi yuqoriga o‘sadi. Bu chiziq y-o‘qi bo‘yicha o‘suvchi
bo‘ladi.
2. Agar x<0 bo‘lsa, ya'ni xx manfiy bo‘lsa, unda y=−x. Bu holatda grafik yana
to‘g‘ri chiziq bo‘lib, lekin chapga qarab o‘sadi. y=−x chizig‘i manfiy x qiymatlari
uchun simmetrik bo‘lib, yuqoriga qarab o‘sadi, ammo chap tomon bo‘yicha.
Shunday qilib, y= ∣ x ∣ funksiyasining grafigi ikkita to‘g‘ri chiziqdan iborat
bo‘lib, ular x=0 nuqtada bir-biriga tutashadi. Natijada hosil bo‘lgan grafik “V”
shaklini yaratadi. Grafikning uchlanish nuqtasi x=0 bo‘lib, bu nuqtada chiziqlar bir-
10

biriga bog‘lanadi. Grafikda simmetriya mavjud, ya'ni x=0 nuqtasidan oldin va keyin
grafik o‘xshash tarzda o‘sadi, faqat farqi shundaki, manfiy x qiymatlari uchun
grafikka salbiy qiymatlar, musbat x qiymatlari uchun esa musbat qiymatlar beriladi.
Modul grafikasi oddiy bo‘lib, undan turli matematik masalalarda, ayniqsa tenglamalar
va tengsizliklarni yechishda foydalaniladi. Bu grafik, shuningdek, fizika va
iqtisodiyot kabi amaliy sohalarda ham keng qo‘llaniladi, chunki u sonlarning
kattaligini, ularning manfiy yoki musbatligini hisobga olmasdan, faqat kattalikni
aniqlash imkonini beradi.
Matematika va fizikada modul tushunchasi sonlarning masofasini o‘lchashda
ishlatiladi. Ikki son x va y orasidagi masofa modulli ifodadan foydalanib hisoblanadi
va quyidagi formula bilan ifodalanadi:
Masofa = ∣ x − y ∣
Bu yerda x va y sonlari orasidagi masofa, ularning farqining moduli yordamida
aniqlanadi. Modul yordamida, manfiy yoki musbat qiymatlar orasidagi farqni
hisoblashda ular orasidagi masofani tekis ravishda olish mumkin. Grafikda bu masofa
ikkita nuqta orasidagi masofani ifodalaydi. Grafikda bu nuqtalar orasidagi masofa
ularning o‘xshashliklarini aniqlashda muhim bo‘ladi.
Modul nafaqat matematika, balki fizikada, iqtisodiyotda, statistikada va boshqa
sohalarda ham keng qo‘llaniladi. Fizikada modul yordamida tezlik, kuch, va boshqa
o‘lchovlar hisoblanadi, chunki bu kattaliklar yo‘nalishdan qat'iy nazar faqat
o‘lchamga ega bo‘ladi. Masalan, tezlikni aniqlashda, biz faqat tezlikning kattaligini
hisoblaymiz, yo‘nalish ahamiyatga ega emas. Shunday qilib, tezlik yoki kuchni
hisoblashda modul orqali faqat kattalikni o‘lchash mumkin. Iqtisodiyotda modul
narxlarning o‘zgarishini tahlil qilishda qo‘llaniladi. Agar biror tovarning narxi
o‘zgarib tursa, modul yordamida narxlarning kattaligini va ularning farqini aniqlash
mumkin. Shu bilan birga, statistikada modul dispersiya va o‘rtacha qiymatlarni
hisoblashda foydalidir. Dispersiya – bu ma'lumotlar to‘plamining qanday tarqalganini
11

ko‘rsatadi, va modul yordamida uning kattaligini aniqlash mumkin. Modulning asosiy
foydasi shundaki, u sonlarni faqat kattalik bo‘yicha baholash imkonini beradi. Bu esa,
matematik va ilmiy masalalarni yechishda katta qulaylik yaratadi, chunki sonlarning
yo‘nalishini hisobga olishning hojati yo‘q, faqat ularning kattaligini aniqlash kifoya
qiladi. Matematik va ilmiy modellarni qurishda bu juda muhim ahamiyatga ega,
chunki ko‘plab masalalarda sonlar o‘rtasidagi farqlarni kattalik jihatidan hisoblash
talab etiladi, va bu yerda modul tushunchasi juda qulay vosita bo‘lib xizmat qiladi.
1.2. Modul qatnashgan tenglamalar va ularning turlari
Modulli tenglamalar matematikada va boshqa ko'plab sohalarda keng
qo'llaniladigan tushuncha bo'lib, ularning yechimlari va turlari juda muhim
hisoblanadi. Modulli tenglamalar, asosan, musbat va manfiy sonlar orasidagi farqlarni
hisoblashda ishlatiladi. Bu turdagi tenglamalarni yechish uchun, modul (absolyut
qiymat) tushunchasini chuqur tushunish zarur.
Modulli tenglama — bu tenglama bo'lib, unda modulli ifoda ishtirok etadi.
Modul (absolyut qiymat) o‘ziga xos ta'rifga ega bo‘lib, musbat sonlar uchun o‘z
qiymatiga, manfiy sonlar uchun esa qarama-qarshi qiymatga ega bo‘ladi. Modul
yordamida, musbat va manfiy sonlar orasidagi farqni bartaraf qilib, faqat kattalik
bo‘yicha o‘lchov olish mumkin. Modul yordamida ikki nuqta orasidagi masofani
hisoblashda, yoki fizikada kattaliklarning o‘lchovlarini olishda ham keng qo‘llaniladi.
Matematikada modulni bilish, sonlar orasidagi masofani aniqlashda muhim vositadir.
Modulni yechishda, uning ta'rifi asosida ikkita holatni ko‘rib chiqish kerak
bo‘ladi. Misol uchun, oddiy modulli tenglama quyidagicha bo‘lishi mumkin:
∣ x − 3 ∣ = 5
Bu tenglama “x ning 3 dan bo‘lgan masofasi 5 ga teng” degan ma'noni
anglatadi. Bu tenglamani yechish uchun modulning ta'rifiga asosan ikkita holatni
ko‘rib chiqamiz.
12

Birinchi holat: agar x−3=5, unda x=8 bo‘ladi.
Ikkinchi holat: agar x−3=−5, unda x=−2 bo‘ladi.
Shunday qilib, bu tenglamaning yechimlari x=8 va x=−2 bo‘ladi.
Ko‘p modulli tenglamalar. Ko‘p modulli tenglamalar bo‘lganda bir nechta
modul ifodalari ishtirok etadi. Bu tenglamalarni yechish uchun har bir modulning
qiymatini hisobga olish zarur. Har bir holat bo‘yicha tenglama yechilib, umumiy
yechimlar aniqlanadi.
Misol uchun:∣x−2∣+∣x+3∣=7
Bu tenglamada ikkita modul mavjud va ularning har biri uchun holatlar ko‘rib
chiqiladi.
Agar x≥2, modulni oddiy tarzda ishlatamiz:
( x − 2 ) + ( x + 3 ) = 7
Bu tenglamani yechib, x=3 ga teng yechimga erishamiz.
Agar x<−3, modulni qarama-qarshi ishlatamiz:
− ( x − 2 ) ± ( x + 3 ) = 7
Bu tenglama bo‘yicha x=−4 yechimi aniqlanadi.
Agar −3≤x<2, o‘rtada joylashgan modulni qarama-qarshi ishlatib yechamiz:
− ( x − 2 ) + ( x + 3 ) = 7
Bu tenglama esa, noto‘g‘ri bo‘lib, yechim bermaydi. Demak, bu tenglamaning
yechimlari x=3 va x=−4 bo‘ladi.
Modulli tengsizliklar. Modulli tengsizliklar, modulli tenglamalar kabi
yechiladi, lekin ular tenglikni emas, balki o‘lchashni, cheklovlarni ifodalaydi. Modulli
tengsizlikni yechishda, modulning ta'rifi asosida ikkita holat ko‘rib chiqiladi. Har bir
holat bo‘yicha tengsizlikni yechib, uning yechimini aniqlash mumkin.
Masalan:
∣x−1∣<4
13

Bu tengsizlikni yechish uchun ikki holatni ko‘rib chiqamiz.
Birinci holat: x−1<4, unda x<5.
Ikkinchi holat: −(x−1)<4, unda x>−3.
Natijada, bu tengsizlikning yechimi −3<x<5 bo‘ladi.
Modulli tengsizliklar, analitik tahlilda, statistika, iqtisodiyot va boshqa
sohalarda keng qo‘llaniladi. Masalan, iqtisodiy tahlilda narxlarning o‘zgarishi,
statistika va optikada o‘lchovlar, masofalarni hisoblashda modulli ifodalardan
foydalaniladi.
Modulni qo‘llash. Modulning qo‘llanishi, sonlarning o‘zgarishini va
masofalarni hisoblashda katta ahamiyatga ega. Modul yordamida manfiy va musbat
qiymatlar orasidagi farqni bartaraf etish mumkin. Modul yordamida o‘lchovlar
kattalikni faqat kattalik sifatida ko‘rsatuvchi ifodalar bo‘ladi, bu esa har xil
masalalarni yechishda qulaylik yaratadi. Fizikada, masalan, tezlikni hisoblashda
moduldan foydalaniladi, chunki tezlikning yo‘nalishi emas, balki kattaligi ahamiyatga
ega. Modulning boshqa sohalarda ham qo‘llanilishi juda kengdir. Modulli tenglamalar
iqtisodiyotda narxlar o‘zgarishini tahlil qilishda, statistikada esa dispersiya va
o‘rtacha qiymatlarni hisoblashda yordam beradi.
Modulli tenglamalar va tengsizliklar, oddiy tenglama va tengsizliklardan farq
qiladi. Ularning yechimi ko‘pincha bir nechta holatlar asosida topiladi va har bir holat
alohida yechiladi. Modulli tenglamalar musbat va manfiy sonlar orasidagi farqni
bartaraf qilish orqali yechiladi, shuning uchun bu turdagi tenglamalarni yechishda
ehtiyotkorlik va diqqat kerak. Modulli tengsizliklarda ham yechimlar ko‘pincha ikki
holat asosida ajratiladi. Bu holatlar, tengsizlikning turiga qarab, ijobiy yoki salbiy
qiymatlarni ko‘rsatadi. Modulli tengsizliklarning yechimlari o‘rganish uchun, har
doim modulning ta'rifi asosida ikki holatni ko‘rib chiqish lozim. Modulli tenglamalar
va tengsizliklar algebra va geometriyada keng qo‘llaniladigan hisoblash vositalaridir.
Ular murakkab matematik masalalarni yechishda juda foydalidir, chunki ular
14

sonlarning kattaliklarini baholashda va o‘lchovlar orasidagi farqlarni tahlil qilishda
muhim vositalarni taqdim etadi.
Matematika va fizikada modul sonlarning masofasini o‘lchashda ishlatiladi.
Masofa modulli ifodadan foydalanib hisoblanadi, chunki modul ikkita nuqta orasidagi
masofani hisoblashda ishlatiladi. Modul yordamida, nuqtalar orasidagi masofa doimo
musbat qiymatga ega bo‘ladi, chunki masofa sifatida musbat qiymatlarni qabul
qilishimiz kerak. Matematik formulada ikki nuqta orasidagi masofa quyidagicha
ifodalanadi:Masofa =∣x− y∣
Bu yerda xx va yy ikki nuqta bo‘lib, ularning moduli yordamida masofa
aniqlanadi. Grafikda bu masofa ikki nuqta orasidagi masofani ifodalaydi. Modul
yordamida bu masofani to‘g‘ri va tez hisoblash mumkin. Modulning amaliy
qo‘llanishi juda keng. U matematika va fizika fanlarida, shuningdek, iqtisodiyot,
statistika va boshqalarda ham qo‘llaniladi. Modul yordamida kattaliklarning faqat
o‘lchamiga e’tibor qaratiladi, yo‘nalishning ahamiyati bo‘lmaydi. Bu esa hisoblash
jarayonlarini soddalashtiradi va masalalarni osonroq yechishga yordam beradi.
Modulli tenglamalar va tengsizliklar, matematika va ilm-fan sohalarida katta
ahamiyatga ega bo‘lib, ular orqali murakkab masalalar yechiladi. Bu turdagi
tenglamalar bilim sohasida o‘ziga xos o‘rin tutadi va ularning yechimlari ko‘plab
matematik masalalarda qo‘llaniladi.
Modulli tenglamalarni yechishning bir nechta usullari mavjud. Ushbu usullar
modulli tenglamalarni yechishda samarali bo‘lishi uchun matematik ifodalarni to‘g‘ri
tahlil qilish va har bir usulni o‘ziga xos tarzda qo‘llash zarur. Modulning ta'rifiga
asoslangan yechim modulli tenglamalarni yechishda eng ko‘p ishlatiladigan
usullardan biridir. Modulning ta'rifi quyidagicha:
∣x∣={
x,agar x≥0
− x,agar x<0
15

Ushbu ta'rifga ko‘ra, modulli tenglamani yechishda ikki holatni ko‘rib chiqish
kerak bo‘ladi. Har bir holat modulli ifodaning ijobiy yoki salbiy qiymatini ko‘rsatadi.
Har bir holat uchun tenglama alohida yechiladi, va oxirida umumiy yechimlar
aniqlanadi.
Misol uchun, tenglama ∣ x−3 ∣ =5 berilgan bo‘lsa, modulning ta'rifiga asosan
ikkita holatni ko‘rib chiqamiz:
1. Birinci holat : x−3=5, bu holda tenglama x=8 bo‘ladi.
2. Ikkinchi holat : x−3=−5, bu holda tenglama x=−2 bo‘ladi.
Shunday qilib, bu tenglamaning yechimlari x=8 va x=−2 bo‘ladi.
Grafik usul modulli tenglamalarni vizual tarzda yechish uchun ishlatiladi. Bu
usulda, modulli tenglamaning har bir tomonini alohida grafik sifatida chizish kerak
bo‘ladi. Grafiklar ikki funksiyaning kesishish nuqtasini aniqlash uchun chiziladi. Har
bir nuqtaning kesishishi tenglamaning yechimini bildiradi. Masalan, tenglama
∣ x−2 ∣ =3 bo‘lsa, grafikka yondashib, modulni chiqarib, kesishish nuqtalarini izlash
mumkin. Grafikda y= ∣ x−2 ∣ va y=3 funksiyalari chiziladi va grafiklar kesishgan joyda
x=5 va x=−1yechimlari olinadi.
Algebraik usul modulli tenglamalarni algebraik tarzda yechish uchun
qo‘llaniladi. Bu usulda, modulli ifodalarni alohida holatlarga ajratib, har bir holat
uchun tenglama alohida yechiladi. Modulli ifodalarni olib tashlash uchun, har bir
holatni ko‘rib chiqish kerak bo‘ladi. Har bir holatda modulni olib tashlashga o‘xshash
yechimlar topiladi. Misol uchun, tenglama ∣ x−2 ∣ =4 bo‘lsa, ikkita holatni ko‘rib
chiqamiz:
1. Birinchi holat : x−2=4, bu holda x=6.
2. Ikkinchi holat : x−2=−4, bu holda x=−2.
Shunday qilib, bu tenglamaning yechimlari x=6 va x=−2 bo‘ladi.
Modulli tenglamalarni yechishda har bir usulni turli holatlarda ishlatish
mumkin. Oddiy modulli tenglamalar uchun modulning ta'rifiga asoslangan yechim
16

usuli samarali bo‘lsa, murakkab modulli tenglamalar uchun grafik yoki algebraik
usuldan foydalanish yaxshi natijalar beradi. Har bir usul modulli tenglamalarning
murakkabligiga qarab tanlanadi.
Modulli tenglamalarning xususiyatlari va amaliy qo‘llanilishi matematikadan
tashqari, fizikada, iqtisodiyotda va statistikada ham muhim o‘rin tutadi. Keling,
ularning ayrim xususiyatlari va amaliy qo‘llanilishi haqida to‘liqroq ma'lumot
beraylik.
Xususiyatlar:
1. Simmetriya : Modulli tenglamalar son o‘qi bo‘yicha simmetrik bo‘ladi. Bu,
agar bir yechim x=a bo‘lsa, unda x=−a ham tenglama uchun yechim bo‘lishini
anglatadi. Modulli tenglama modulli ifoda sifatida berilganligi sababli, musbat va
manfiy qiymatlar bir xil masofani bildiradi. Bu xususiyat modulli tenglamalar uchun
asosiy o‘ziga xosliklardan biridir. Masalan, tenglama ∣ x−3 ∣ =5 ni ko‘rib chiqsak, x=8
va x=−2 yechimlarining ikkalasi ham to‘g‘ri bo‘ladi, chunki ular 5 birlik masofada
turadi.
2. Ikkita yechim : Oddiy modulli tenglamalar odatda ikki yechimga ega
bo‘ladi. Modulning ta'rifiga ko‘ra, har bir ifoda ijobiy yoki salbiy qiymatni olishi
mumkin, bu esa ikki xil yechimni keltirib chiqaradi. Masalan, tenglama ∣ x−2 ∣ =4
bo‘lsa, x=6 va x=−2 yechimlari hosil bo‘ladi. Har bir holat uchun alohida yechim
chiqariladi.
3. Ishlash sohasi : Modulli tenglamalar turli sohalarda keng qo‘llaniladi.
Masalan, fizikada, iqtisodiyotda va statistikada, modul yordamida faqat kattalik
(masofa, qiymat) ahamiyatga ega bo‘lgan holatlar uchun tenglamalar va masalalar
tuziladi. Modul o‘lchovlar o‘rtasidagi farqni baholashda, yo‘nalish muhim bo‘lmagan
holatlar uchun foydalaniladi.
Amaliy qo‘llanilishi:
17

1. Fizikada : Modulli tenglamalar ko‘plab fizik masalalarda qo‘llaniladi,
masalan, tezlik, kuch, va o‘lchovlar. Fizikada modulli ifodalar yordamida
kattaliklarning faqat o‘lchamiga e'tibor beriladi, yo‘nalish esa muhim emas. Misol
uchun, tezlikni hisoblashda, uning musbat yoki manfiy bo‘lishi farq qilmasdan, faqat
tezlikning kattaligi, ya'ni moduli e'tiborga olinadi.
2. Iqtisodiyotda : Modulli tenglamalar iqtisodiyotda narxlar o‘zgarishini tahlil
qilishda ishlatiladi. Narxlar va boshqa iqtisodiy ko‘rsatkichlar o‘rtasidagi masofa yoki
farqni o‘lchashda moduldan foydalanish osonlashtiradi. Masalan, iqtisodiy
o‘zgarishlar va tendensiyalarni tahlil qilishda, narxlar o‘rtasidagi farqlarni baholashda
modulni qo‘llash qo‘l keladi, chunki bu jarayonda yo‘nalishdan ko‘ra kattaliklar
ahamiyatga ega.
3. Statistikada : Statistika sohasida modul dispersiya va o‘rtacha qiymatlarni
hisoblashda qo‘llaniladi. Dispersiya modulni qo‘llash orqali o‘zgartiriladi, chunki bu
statistikada qiymatlar orasidagi farqlarni o‘lchashda ahamiyatli bo‘ladi. Modulli
tenglamalar yordamida o‘rtacha qiymatlar va og‘ishlarni tahlil qilish osonlashadi.
1.3. Modul bilan bog‘liq tengsizliklar va ularni yechish usullari
Modulli tengsizliklarni yechishning asosiy bosqichlari quyidagicha amalga
oshiriladi:
1. Modulli ifodani ajratish : Tengsizlikda modulli ifodaning har bir holatini
ajratib ko'rish kerak. Modulli ifodaning musbat va manfiy qiymatlari mavjud bo'lib,
har bir holatni alohida ko'rib chiqish zarur. Modulli tengsizlikni yechishning asosiy
tamoyili shundan iboratki, modulni musbat yoki manfiy qiymatda bo'lishini e'tiborga
olish zarur.
2. Har bir holatni yechish : Ajratilgan har bir holatni alohida yechish kerak.
Masalan, |A| ≤ B tengsizlikni yechishda A ifodasi musbat va manfiy bo'lishi mumkin,
shuning uchun ikkita holatni alohida yechish zarur:
o Agar |A| ≤ B bo'lsa, bu quyidagi ikki holatni bildiradi:
18

 A ≤ B
 A ≥ -B
o Agar |A| > B bo'lsa, bu ikki holatni bildiradi:
 A > B
 A < -B
Har bir holatni yechishda algebraik manipulyatsiyalarni amalga oshirib, har bir
holat uchun yechimlarni topish kerak.
3. Yechimlarni birlashtirish : Har bir holatni yechib bo'lgach, olingan
yechimlarni birlashtirish kerak. Yechimlar son o'qi bo'yicha birlashadi, va natijada
umumiy yechimlar to'plami hosil bo'ladi. Buning uchun har bir holatni yechib, oxirgi
yechimlarni birlashtirib chiqish kerak. Yechimlar umumiy shaklda son o'qi bo'ylab
ko'rsatiladi.
Misollar:
1. Misol 1 : Tengsizlik: |x + 3| ≤ 5
o Modulli ifodani ajratish: Ikkita holatni ko'rib chiqamiz:
 x + 3 ≤ 5
 x + 3 ≥ -5
o Har bir holatni yechish:
 Birinchi holatni yechish: x + 3 ≤ 5 → x ≤ 2
 Ikkinchi holatni yechish: x + 3 ≥ -5 → x ≥ -8
o Yechimlarni birlashtirish: Yechim: -8 ≤ x ≤ 2
2. Misol 2 : Tengsizlik: |2x - 1| > 3
o Modulli ifodani ajratish: Ikkita holatni ko'rib chiqamiz:
 2x - 1 > 3
 2x - 1 < -3
o Har bir holatni yechish:
 Birinchi holatni yechish: 2x - 1 > 3 → 2x > 4 → x > 2
19

 Ikkinchi holatni yechish: 2x - 1 < -3 → 2x < -2 → x < -1
o Yechimlarni birlashtirish: Yechim: x < -1 yoki x > 2
Shu tarzda modulli tengsizliklarni yechishda har bir holatni alohida ko'rib
chiqish va ularni birlashtirish orqali umumiy yechimni topish mumkin. Har bir holatni
yechishda algebraik amallarni to'g'ri bajarish va yechimlarni birlashtirish zarur.
Intervallar usuli modulli tengsizliklarni yechishda juda foydali bo‘lgan samarali
usullardan biridir. Bu usul modulli ifodani tashkil etuvchi algebraik ifodaning nol
nuqtalari orqali son o‘qini bir nechta intervallarga ajratishga asoslanadi. Har bir
intervalda modulli ifoda mos ravishda musbat yoki manfiy bo‘ladi, shuning uchun bu
intervallarda modulni ochib, tengsizlikni modul belgisisiz shaklga keltirib yechish
mumkin. Ushbu usul, ayniqsa, bir nechta modulli ifodalar qatnashgan murakkab
tengsizliklarda aniqlik va qulaylik beradi. Avvalo, modulli ifodadagi ichki ifodalar
nolga teng bo‘ladigan nuqtalarni aniqlash kerak, chunki aynan shu nuqtalarda
modulning qiymati nol bo‘ladi va modulning ochilishi o‘zgaradi. Ushbu nuqtalar
orqali son o‘qi intervallarga ajratiladi. Har bir intervallarda modulli ifodalar yoki
ifoda belgisi aniqlanib, mos ravishda modul ochiladi va tengsizlik oddiy algebraik
tengsizlikka aylanadi. So‘ngra har bir intervalda hosil bo‘lgan tengsizliklar alohida
yechiladi. Har bir intervaldagi yechimlar o‘ziga xos shartlarga ega bo‘lgani sababli,
faqat shu intervalda mavjud bo‘lgan yechimlar tanlanadi. Yakunda barcha
intervallarda olingan yechimlar birlashtirilib, umumiy yechimlar to‘plami aniqlanadi.
Misol tariqasida quyidagi modulli tengsizlikni olaylik: |x − 2| < 3. Ushbu
tengsizlikni yechish uchun eng avvalo modul ostidagi ifoda nolga teng bo‘ladigan
nuqtani aniqlaymiz, ya’ni x − 2 = 0, demak x = 2. Bu nuqta son o‘qini ikki
intervallarga ajratadi: x < 2 va x > 2. Endi tengsizlikni modul ta’rifiga ko‘ra ikkita
holatda ko‘rib chiqamiz.
Birinchi holat: x − 2 < 3, bu ifodani yechamiz: x < 5. Ikkinchi holat: −(x − 2) <
3, bu ifodani yechamiz: −x + 2 < 3, bundan x > −1. Demak, bu ikki holatdagi
20

yechimlarni birlashtirib, umumiy yechim: −1 < x < 5 bo‘ladi. Bu yechim son o‘qi
bo‘yicha −1 dan 5 gacha bo‘lgan oraliqni tashkil qiladi. Bu oraliqdagi har qanday x
qiymati tengsizlikni qanoatlantiradi. Shu tarzda, intervallar usulidan foydalangan
holda modulli tengsizliklar aniq va ravon yechiladi. Bu usul nafaqat tushunarli, balki
qat’iy bosqichma-bosqich yechim olish imkonini beradi. Ayniqsa, bir nechta modul
ishtirok etgan hollarda bu yondashuvni qo‘llash murakkabliklarni bartaraf etadi va
to‘g‘ri yechim topishga yordam beradi.
Modulli tengsizliklar hayotiy va amaliy masalalarni tahlil qilishda keng
qo‘llaniladi. Ular ayniqsa aniqlik, farq va chegaralarni hisoblash zarur bo‘lgan
vaziyatlarda foydalidir. Fizikada modulli tengsizliklar ob'ektlarning holati, tezligi
yoki yo‘l bosish masofasini belgilashda yordam beradi, chunki bu kattaliklar odatda
yo‘nalishdan qat’i nazar modul orqali ifodalanadi. Masalan, zarracha markazdan
ortiqcha uzoqlashmasligi kerak bo‘lgan shart |x| < a tarzida yozilishi mumkin.
Iqtisodiyotda modulli tengsizliklar narxlarning ma’lum oraliqda o‘zgarishini ifodalash
uchun ishlatiladi. Masalan, bir mahsulot narxi belgilangan qiymatdan ±5 so‘mdan
oshmasligi kerak degan shart |p − p | ≤ 5 ko‘rinishida yoziladi. Bu korxonaga narx₀
siyosatini shakllantirishda yordam beradi. Statistikada esa modulli tengsizliklar
yordamida ma’lumotlar to‘plami dispersiyasi yoki medianadan og‘ish darajasi
aniqlanadi. Bunda farqlar ko‘p hollarda |x − m| < ε ko‘rinishida baholanadi.
Intervallar usuli modulli tengsizliklarni bu sohalarda aniq va qulay yechish imkonini
beradi. Bu usul real holatlarda chegaralarni aniqlash, xavfsizlik darajalarini belgilash
yoki muqobil variantlarni solishtirishda aniq yechimlar olish imkonini beradi.
Shuning uchun modulli tengsizliklarni chuqur tushunish nafaqat matematik bilim,
balki amaliy tahliliy fikrlash ko‘nikmasini shakllantirish uchun ham foydalidir.
21

II-BOB. MODUL QATNASHGAN TENGLAMALARNI O QITISHʻ
METODIKASI
2.1. Modul qatnashgan tenglamalarni o qitishda interfaol usullar
ʻ
Modul qatnashgan tenglamalarni o qitishda interfaol metodlardan foydalanish
ʻ
o‘quvchilarning mavzuga bo‘lgan qiziqishini oshirish, ularning mustaqil fikrlash va
muammolarni hal qilish ko‘nikmalarini rivojlantirishda muhim ahamiyatga ega.
Muammoli o‘qitish: Muammoli o‘qitish metodini modul tenglamalarni
o‘rgatishda qo‘llash o‘quvchilarning mustaqil fikrlash, tahlil qilish va muammolarni
hal etish ko‘nikmalarini rivojlantirishga xizmat qiladi. Bu metod o‘quvchilarning
bilimga bo‘lgan ehtiyojini uyg‘otadi va ularni faol ishtirok etishga undaydi.
Muammoli o‘qitishning asosiy bosqichlari quyidagilardan iborat:
22

1. Muammoli vaziyatni yaratish : O‘qituvchi o‘quvchilarga real hayotdan
olingan yoki mavzuga oid muammoli vaziyatni taqdim etadi. Bu vaziyat
o‘quvchilarda qiziqish uyg‘otishi va ularni muammoni hal etishga undashi kerak.
2. Muammoni tahlil qilish : O‘quvchilar muammoli vaziyatni tahlil qilib,
uning sabab va oqibatlarini aniqlashadi. Bu bosqichda o‘quvchilar mavjud bilimlarini
ishga solib, muammoning mohiyatini tushunishga harakat qilishadi.
3. Yechim variantlarini ishlab chiqish : O‘quvchilar muammoni hal etish
uchun turli yechim variantlarini ishlab chiqishadi. Bu bosqichda ijodiy fikrlash,
analogiya, taqqoslash kabi metodlardan foydalaniladi.
4. Eng maqbul yechimni tanlash : O‘quvchilar ishlab chiqilgan yechim
variantlarini baholab, eng maqbulini tanlashadi. Bu bosqichda tanqidiy fikrlash, tahlil
qilish va qaror qabul qilish ko‘nikmalari rivojlanadi.
5. Yechimni asoslash va taqdim etish : O‘quvchilar tanlangan yechimni
asoslab, uni sinf oldida taqdim etishadi. Bu bosqichda muloqot, fikrni aniq ifodalash
va o‘z fikrini himoya qilish ko‘nikmalari shakllanadi.
Muammoli o‘qitish metodini modul tenglamalarni o‘rgatishda qo‘llash
quyidagi afzalliklarga ega:
 O‘quvchilarning mavzuga bo‘lgan qiziqishini oshiradi.
 Mustaqil fikrlash va muammolarni hal etish ko‘nikmalarini rivojlantiradi.
 O‘quvchilarda analitik va tanqidiy fikrlashni shakllantiradi.
 Muloqot va hamkorlik ko‘nikmalarini rivojlantiradi.
 O‘quvchilarning bilimlarini chuqurlashtiradi va mustahkamlaydi.
Muammoli o‘qitish metodini muvaffaqiyatli qo‘llash uchun o‘qituvchi
quyidagilarga e'tibor qaratishi lozim:
 Muammoli vaziyatlar o‘quvchilarning bilim darajasiga mos bo‘lishi kerak.
 O‘quvchilarning faol ishtirokini ta'minlash uchun guruhli ishlar, munozaralar
kabi interfaol metodlardan foydalanish zarur.
23

 O‘quvchilarning fikrlarini hurmat qilish va ularni rag‘batlantirish muhim.
 Dars jarayonida o‘quvchilarning mustaqil fikrlashini qo‘llab-quvvatlash
lozim.
Muammoli o‘qitish metodi orqali o‘quvchilar modul tenglamalarni nafaqat
nazariy jihatdan, balki amaliyotda ham chuqur o‘rganishadi. Bu metod
o‘quvchilarning matematik tafakkurini rivojlantiradi va ularni real hayotdagi
muammolarni hal etishga tayyorlaydi.
Guruhli ishlar: Guruhli ishlar modul tenglamalarni o‘qitishda o‘quvchilarning
faol ishtirokini ta’minlash, mustaqil fikrlash va hamkorlikda yechim topish
ko‘nikmalarini rivojlantirishda samarali usul hisoblanadi. Bu metodda o‘quvchilar
kichik guruhlarga bo‘linib, ularga modul tenglamalarini yechish bo‘yicha topshiriqlar
beriladi. Har bir guruh vazifani birgalikda bajaradi, natijani muhokama qiladi va
umumiy yechimga keladi. Bu jarayon o‘quvchilarning bir-biridan o‘rganishiga, turli
fikrlarni solishtirish va murosaga kelish ko‘nikmalarini shakllantirishga xizmat qiladi.
Masalan, har bir guruhga turli darajadagi modul tenglamalari yoki tengsizliklari
beriladi. Guruh a’zolari bir-biri bilan muloqotda bo‘lib, avval masalani tushunishga
harakat qiladi, keyin uning yechim yo‘llarini izlaydi. Kimdir yechim usulini taklif
qiladi, boshqasi esa uni tekshiradi yoki o‘z fikrini bildiradi. Bu orqali o‘quvchilar fikr
almashishni, izchil mantiqiy tahlil qilishni o‘rganadilar. Har bir o‘quvchi o‘z hissasini
qo‘shadi, bu esa mas’uliyatni oshiradi. Guruhli ishlarda o‘qituvchi faqat kuzatuvchi
va yo‘naltiruvchi rolini bajaradi. O‘quvchilar o‘z ustida ishlashga, masalani chuqur
tushunishga majbur bo‘ladilar. Bu metod ayniqsa murakkab mavzularni
o‘zlashtirishda foydalidir, chunki har bir guruh a’zosi boshqa o‘quvchilarning
yordami orqali tushunmagan joylarini aniqlashtiradi. Bundan tashqari, o‘qituvchi
umumiy muhokama vaqtida har bir guruhning fikrini eshitib, eng maqbul va to‘g‘ri
yechimlarni tahlil qilish orqali darsni yakunlaydi. Guruhli ishlar orqali o‘quvchilar
liderlik, jamoada ishlash, boshqalarga fikrini tushuntirish, bahslashmasdan muhokama
24

qilish, o‘z fikrini asoslash, boshqalarning fikrini inobatga olish kabi ijtimoiy-
psixologik ko‘nikmalarga ham ega bo‘ladilar. Ayniqsa, modul ifodalar bilan ishlashda
bir nechta yechim bo‘lishi mumkinligi, yechim oraliqlarini solishtirish zarurligi
guruhda bajarilsa, ancha samarali bo‘ladi.
Interfaol texnologiyalar: Interfaol texnologiyalarni modul tenglamalarni
o‘qitishda qo‘llash ta’lim jarayonining sifatini sezilarli darajada oshiradi. Zamonaviy
axborot-kommunikatsiya texnologiyalari yordamida o‘quvchilar mavzuni yanada
vizual, tushunarli va interaktiv tarzda o‘zlashtirish imkoniyatiga ega bo‘ladilar.
Ayniqsa, murakkab tushunchalarni, masalan, modul ichidagi ifodalarni, ularning
geometrik talqinini yoki yechim intervalini tushuntirishda texnologik vositalar katta
ahamiyatga ega. Interaktiv doskalar yordamida dars jarayonini dinamik tarzda tashkil
qilish mumkin. Masalan, modul tenglamaning grafik ifodasini real vaqt rejimida
chizish, har xil qiymatlar berib ko‘rsatish va natijani bevosita sinfda tahlil qilish orqali
o‘quvchilar mavzuni chuqurroq anglab yetishadi. Shuningdek, bu vosita orqali
o‘qituvchi bir nechta yechim usullarini taqqoslab ko‘rsatishi mumkin, bu esa
o‘quvchilarning tanqidiy fikrlashini rivojlantiradi.
Matematik dasturlar, masalan, GeoGebra, Desmos yoki Wolfram Alpha
yordamida o‘quvchilar modul tenglamalarni mustaqil tahlil qilishlari, grafikalar
chizishlari, yechimlarning oraliqdagi joylashuvini aniqlashlari mumkin. Bu dasturlar
orqali o‘quvchilar nafaqat javobni olishadi, balki qanday qilib yechimga kelganlarini
ham tushunishadi. Bunday vositalar o‘quvchining matematik intuitiv tafakkurini
rivojlantirishga xizmat qiladi. Onlayn platformalar, masalan, Khan Academy,
Coursera yoki Milliy ta’lim portallari orqali modul tenglamalar bo‘yicha videodarslar
ko‘rish, testlar yechish va baholash tizimi asosida o‘z bilimlarini mustaqil tekshirish
imkoniyati mavjud. Shu orqali har bir o‘quvchi o‘zining individual o‘rganish tezligiga
mos ta’lim olish imkoniyatiga ega bo‘ladi. Onlayn sinflarda o‘quvchilar o‘zaro fikr
25

almashishadi, muammolarni birgalikda hal etishadi va bu orqali ko‘proq faol
bo‘lishadi.
Interfaol texnologiyalar shuningdek, o‘qituvchiga ham darsni tayyorlash va olib
borishda yengillik yaratadi. Masalan, tayyor slaydlar, animatsiyalar, virtual
laboratoriyalar orqali murakkab mavzularni oddiylashtirish, vaqtni tejamkorlik bilan
ishlatish imkonini beradi. Bundan tashqari, test tizimlari orqali o‘quvchilar bilimini
avtomatik ravishda tekshirish, baholash va natijalar asosida tahlil qilish osonlashadi.
Yuqoridagilardan ko‘rinib turibdiki, interfaol texnologiyalar modul tenglamalarni
o‘qitishda nafaqat o‘quvchilarning darsga qiziqishini oshiradi, balki ularning mavzuni
anglash darajasini ham yuqorilantiradi. Ayniqsa, texnologiyadan to‘g‘ri foydalanilgan
holatda darslar ko‘proq amaliy, mazmunli va samarali bo‘ladi. Shu sababli,
zamonaviy ta’limda axborot-kommunikatsiya texnologiyalaridan faol foydalanish
muhim metodik yondashuv sifatida alohida o‘rin tutadi.
Aqliy hujum (brainstorming): Aqliy hujum (brainstorming) metodi modul
tenglamalarini o‘qitishda o‘quvchilarning faol fikrlashini rag‘batlantirish, turli nuqtai
nazarlar asosida muammoni tahlil qilish va ijodiy yondashuvni shakllantirishda juda
samarali vositadir. Bu usulda o‘qituvchi modul tenglamalariga oid biror masalani yoki
muammoni taqdim etadi va o‘quvchilardan bu masalani yechish bo‘yicha imkon
qadar ko‘p fikr, g‘oya yoki usulni ilgari surishlarini so‘raydi. Eng muhimi, aqliy
hujum jarayonida hech bir fikr noto‘g‘ri yoki yaroqsiz hisoblanmaydi — har qanday
taklif qadrlanadi va ro‘yxatga olinadi.
Masalan, o‘qituvchi quyidagi tenglama ustida ishlashni taklif qilishi mumkin: |
2x − 5| = 3. O‘quvchilar bu tenglamani yechish bo‘yicha turli usullarni taklif qiladilar
— kimdir modulni ikki holatga ajratishni aytadi, boshqasi son o‘qida tasvirlashni
taklif qiladi, yana kimdir bu tenglamaning grafik yechimini ko‘rsatishni istaydi.
Bunday turli xil yondashuvlar sinfdagi har bir o‘quvchining mavzuni o‘z uslubida
tushunishiga imkon beradi. Aqliy hujum usuli ayniqsa darsning boshlanishida yoki
26

yangi mavzuni o‘zlashtirish jarayonida foydalidir. Bu metod orqali o‘quvchilar
nafaqat o‘z bilimlarini namoyon qilishadi, balki boshqalarning fikrlarini eshitib,
ulardan yangi bilimlar oladilar. Jarayon yakunida taklif etilgan g‘oyalar ichida eng
maqbullari tanlab olinadi va chuqurroq tahlil qilinadi. O‘qituvchi bu bosqichda
umumlashtiruvchi rolni bajaradi, ya’ni o‘quvchilar tomonidan ilgari surilgan fikrlar
asosida muammoning optimal yechimini aniqlaydi. Aqliy hujumda o‘quvchilar erkin
fikrlash imkoniga ega bo‘lgani uchun ular o‘zlarini darsning faol ishtirokchisi sifatida
his qiladilar. Bu esa ularda o‘z fikrini ochiq bildirish, izchil mulohaza yuritish va
boshqalarning nuqtai nazariga hurmat bilan qarash ko‘nikmalarini shakllantiradi.
Modul tenglamalar kabi murakkab mavzularni o‘rganishda bu usul mavzuni kengroq
qamrab olishga va o‘quvchilarning bilim doirasini kengaytirishga xizmat qiladi.
Bahs-munozara: Bahs-munozara metodi modul tenglamalarni o‘qitishda
o‘quvchilarning bilimlarini chuqurlashtirish, ularning mustaqil fikrlashini va mantiqiy
tahlil qilish ko‘nikmalarini rivojlantirishda muhim rol o‘ynaydi. Bu metodda
o‘quvchilar ikki yoki undan ortiq guruhlarga bo‘linib, berilgan masala yuzasidan o‘z
qarashlarini bayon etishadi, o‘z nuqtai nazarlarini himoya qilishga harakat qilishadi,
hamda qarama-qarshi guruhlarning fikrlarini tahlil qilib, ularga asosli javob
qaytarishadi. Masalan, modul tenglamani yechishda: “|x + 2| = 5” tenglamaning
nechta yechimi bo‘lishi mumkinligi haqida bahs tashkil etish mumkin. Bir guruh bu
tenglamaning faqat bitta yechimi bor deb fikr bildiradi, ikkinchi guruh esa ikkita
yechimi borligini isbotlab ko‘rsatadi. Bahs davomida o‘quvchilar o‘z fikrlarini
matematik asoslar bilan dalillashga intilishadi: modulning ta’rifi, uning xossalari va
yechish usullari haqida bilganlarini amalda qo‘llaydilar.
Bu jarayon o‘quvchilarga faqatgina to‘g‘ri javob topish emas, balki o‘sha
javobga qanday yo‘l bilan kelishni tushunishga yordam beradi. Bahs-munozara orqali
ular har bir fikrni tahlil qilish, dalillash, rad qilish yoki qo‘llab-quvvatlash kabi
muhim intellektual ko‘nikmalarni o‘zlashtiradilar. Ayniqsa, modul tenglamalar kabi
27

mavzularni o‘rganishda bu metod ularni mavzuga nisbatan faol va mas’uliyatli
yondashishga undaydi. Bahs-munozara shuningdek, o‘quvchilar o‘rtasida sog‘lom
raqobat va o‘zaro hurmat muhitini shakllantiradi. Har bir ishtirokchi o‘z fikrini
bildirishga, u orqali boshqalarga ta’sir o‘tkazishga intiladi. Bu esa o‘quvchilarda o‘z
fikrini aniq, lo‘nda va asosli ifodalash, hamda boshqalarni diqqat bilan tinglash
malakalarini rivojlantiradi. Yaxshi tashkil etilgan bahs-munozara darslarida
o‘quvchilar biror matematik masalaga bir necha nuqtai nazardan yondasha olishni
o‘rganadilar, bu esa ularning chuqurroq bilim egallashlariga zamin yaratadi.
2.2. Modul qatnashgan tenglamalarni o qitishda zamonaviy texnologiyalarʻ
Modul qatnashgan tenglamalarni o‘qitishda zamonaviy ta’lim
texnologiyalaridan foydalanish o‘quv jarayonini yanada samarali va interaktiv qilish
imkonini beradi. Bu texnologiyalar matematikani o‘rganishni qiziqarli, tushunarli va
o‘quvchilarning faol ishtirokini ta’minlaydigan tarzda tashkil etishga yordam beradi.
Raqamli ta’lim resurslari. Raqamli ta'lim resurslari o‘quv jarayonini yanada
samarali va interaktiv qilishda katta ahamiyatga ega. Ushbu resurslar, masalan,
interaktiv darsliklar, video darslar, testlar, audio materiallar va boshqa turdagi o‘quv
materiallarini o‘z ichiga oladi. Bunday resurslar o‘quvchilarga o‘quv materiallarini
mustahkamlashda yordam beradi va mavzuni o‘zlashtirish jarayonini qiziqarli va
tushunarli qiladi.
28

Interaktiv darsliklar : Bu resurslar o‘quvchilarga masalalarni amaliyotda
o‘rganishga yordam beradi. Masalan, matematik masalalar yoki modul
tenglamalarining yechimini qadam-baqadam tushuntirib beradigan darsliklar
o‘quvchilarga mavzuni yanada yaxshi tushunishga imkon yaratadi. O‘quvchilar
interaktiv darsliklarda masalalarni mustaqil yechib, natijalarni tekshirishlari mumkin.
Video darslar : Video darslar orqali o‘quvchilar modul tenglamalarining
nazariy asoslarini ko‘rishlari va amaliy misollar orqali tushunishlari mumkin. Video
darslar vizual va audio materiallar orqali tushuntirilganda, mavzu yanada osonroq va
tez o‘zlashtiriladi. O‘quvchilar video materiallarni qayta ko‘rib, qiyin joylarni yana
bir bor tushunishlari mumkin.
Testlar : Raqamli testlar o‘quvchilarga o‘rgangan bilimlarini tekshirish
imkoniyatini beradi. Ular modul tenglamalarini yechishda o‘zlashtirgan bilimlarini
amalda sinab ko‘rishlari va har bir testdan keyin o‘z natijalarini ko‘rishlari mumkin.
Bu o‘quvchilarga o‘z kamchiliklarini ko‘rishga va ularni tuzatishga yordam beradi.
Audio materiallar : Audio materiallar tinglab o‘rganish imkoniyatini yaratadi.
Ular o‘quvchilarga modul tenglamalari haqidagi nazariy materiallarni tinglab,
tushunishga yordam beradi. Bunday materiallar, ayniqsa, ko‘rish imkoniyati
cheklangan o‘quvchilar uchun juda foydalidir.
Bu resurslar yordamida o‘quvchilar modul tenglamalarining nazariy asoslarini
mustahkamlash, masalalarni yechish usullarini o‘rganish va mavzuni chuqurroq
tushunish imkoniyatiga ega bo‘ladilar. Shuningdek, raqamli ta'lim resurslari
o‘quvchilarni mustaqil o‘rganishga, izlanishga va o‘z bilimlarini kengaytirishga
undaydi.
Interaktiv taqdimotlar – bu ta'lim jarayonini yanada qiziqarli va samarali
qilishda ishlatiladigan vizual vositalardir. PowerPoint, Prezi yoki boshqa dasturlar
yordamida tayyorlangan taqdimotlar o‘quvchilarga modul tenglamalarining nazariy
va amaliy qismlarini ko‘rsatish imkonini beradi. Ushbu taqdimotlar, asosan,
29

grafikalar, diagrammalar, animatsiyalar va boshqa vizual materiallar yordamida
mavzuni tushunishni osonlashtiradi. Grafiklar va diagrammalar orqali, o‘quvchilar
modul tenglamalarining turli ko‘rinishlarini va ular orasidagi bog‘lanishni ko‘ra
olishadi. Masalan, modul tenglamasining grafikasini ekranda ko‘rish o‘quvchilarga
uning yechimini vizual tarzda tushunishga yordam beradi. Ushbu metod
o‘quvchilarning geometrik fikrlashini rivojlantiradi va ularning amaliy ko‘nikmalarini
oshiradi.
Animatsiyalar esa modul tenglamalarining turli o‘zgarishlarini vaqt davomida
ko‘rsatishga imkon beradi. Bu metod yordamida o‘quvchilar tenglamalarning yechimi
qanday o‘zgarishi va modulli ifodaning qanday ta'sir qilishini yaxshiroq tushunishlari
mumkin. Interaktiv taqdimotlar yordamida o‘quvchilar mavzuni qiziqarli va interaktiv
tarzda o‘rganadilar. Masalan, taqdimotda interaktiv savollar, testlar yoki baholashlar
qo‘shish mumkin, bu esa o‘quvchilarning o‘z bilimlarini sinab ko‘rishiga va faol
ishtirok etishiga yordam beradi. Shuningdek, taqdimotlar o‘quvchilarga mavzu haqida
ko‘proq savollar berish va o‘z fikrlarini bildirish imkoniyatini yaratadi. Shu tarzda,
interaktiv taqdimotlar o‘quvchilarga modul tenglamalarini o‘rganishning samarali va
qiziqarli usulini taqdim etadi. Bu vositalar yordamida mavzu yanada tushunarli, esda
qolarli va samarali bo‘ladi.
Onlayn platformalar – Moodle, Google Classroom kabi platformalar
zamonaviy ta’lim jarayonida o‘quvchilarga masofaviy ta'lim olish imkoniyatini
yaratadi. Ushbu platformalar orqali o‘quvchilar o‘z vaqtida darslarga qatnashish,
topshiriqlarni bajarish, o‘zaro fikr almashish va o‘qituvchidan teskari aloqa olishlari
mumkin. Bu platformalar ta’lim jarayonini yanada interaktiv, moslashuvchan va
samarali qilishga yordam beradi. Moodle va Google Classroom kabi onlayn
platformalar, o‘quvchilarga dars materiallarini osongina taqdim etish, masalalarni
interaktiv tarzda yechish, video darslarni ko‘rish va muhokama qilish imkonini
beradi. Platformalar o‘quvchilarga topshiriqlarni bajarishda, o‘z vaqtida va aniq
30

javoblar olishda yordam beradi. Shuningdek, o‘qituvchilar o‘z talabalariga maxsus
e'lonlar, testlar yoki ma'ruzalar joylashtirishi mumkin, bu esa darslarni to‘liq va
samarali tashkil etishga yordam beradi. Onlayn platformalar o‘quvchilarning o‘zaro
fikr almashishini, muhokama qilishni va savollarga javob berishni osonlashtiradi.
O‘quvchilar bir-biri bilan fikr almashish, masalalarni birgalikda tahlil qilish, bir-biriga
yordam berish orqali o‘z bilimlarini mustahkamlashadi. Bu jarayon o‘quvchilarning
o‘zaro hamkorlik qilish ko‘nikmalarini rivojlantiradi. Teskari aloqa olish imkoniyati
ham juda muhimdir. Onlayn platformalar orqali o‘quvchilar o‘z ishlari va
topshiriqlarini o‘qituvchiga yuborish, to‘g‘ri javoblar olish va zarur bo‘lsa,
qo‘shimcha tushuntirishlar so‘rash imkoniyatiga ega. Bu esa o‘quvchilarga o‘z bilim
va ko‘nikmalarini yanada yaxshilashga yordam beradi.
Onlayn platformalar – Moodle, Google Classroom kabi platformalar
zamonaviy ta’lim jarayonida o‘quvchilarga masofaviy ta'lim olish imkoniyatini
yaratadi. Ushbu platformalar orqali o‘quvchilar o‘z vaqtida darslarga qatnashish,
topshiriqlarni bajarish, o‘zaro fikr almashish va o‘qituvchidan teskari aloqa olishlari
mumkin. Bu platformalar ta’lim jarayonini yanada interaktiv, moslashuvchan va
samarali qilishga yordam beradi. Moodle va Google Classroom kabi onlayn
platformalar, o‘quvchilarga dars materiallarini osongina taqdim etish, masalalarni
interaktiv tarzda yechish, video darslarni ko‘rish va muhokama qilish imkonini
beradi. Platformalar o‘quvchilarga topshiriqlarni bajarishda, o‘z vaqtida va aniq
javoblar olishda yordam beradi. Shuningdek, o‘qituvchilar o‘z talabalariga maxsus
e'lonlar, testlar yoki ma'ruzalar joylashtirishi mumkin, bu esa darslarni to‘liq va
samarali tashkil etishga yordam beradi.
Onlayn platformalar o‘quvchilarning o‘zaro fikr almashishini, muhokama
qilishni va savollarga javob berishni osonlashtiradi. O‘quvchilar bir-biri bilan fikr
almashish, masalalarni birgalikda tahlil qilish, bir-biriga yordam berish orqali o‘z
bilimlarini mustahkamlashadi. Bu jarayon o‘quvchilarning o‘zaro hamkorlik qilish
31

ko‘nikmalarini rivojlantiradi. Teskari aloqa olish imkoniyati ham juda muhimdir.
Onlayn platformalar orqali o‘quvchilar o‘z ishlari va topshiriqlarini o‘qituvchiga
yuborish, to‘g‘ri javoblar olish va zarur bo‘lsa, qo‘shimcha tushuntirishlar so‘rash
imkoniyatiga ega. Bu esa o‘quvchilarga o‘z bilim va ko‘nikmalarini yanada
yaxshilashga yordam beradi. Onlayn platformalar modul tenglamalarini o‘rganishda
interaktiv va samarali vosita sifatida ishlatiladi, o‘quvchilarga darsni o‘z vaqtida
o‘rganish, interaktiv muloqot qilish va masalalarni muhokama qilish imkoniyatini
yaratadi.
Interaktiv ta’lim platformalari – IQBoard kabi platformalar o‘qituvchilarga
interaktiv doskalar yordamida darslarni yanada qiziqarli va samarali o‘tkazish
imkonini beradi. IQBoard kabi platformalar o‘qituvchilarga nafaqat matn va grafik
materiallarni taqdim etish, balki o‘quvchilar bilan real vaqt rejimida masalalarni
yechish, fikr almashish va interaktiv tarzda darslarni olib borish imkoniyatini
yaratadi. Bu platformalar yordamida o‘quvchilar o‘z fikrlarini faol ravishda
bildirishlari, guruhli muhokamalarda qatnashishlari va boshqalar bilan hamkorlikda
muammolarni hal qilishlari mumkin. IQBoard kabi interaktiv doskalar darslarni
ko‘rgazmali qilishda, murakkab masalalarni oddiy va tushunarli tarzda tushuntirishda
yordam beradi. Masalan, grafiklar, diagrammalar, animatsiyalar va boshqa vizual
materiallar yordamida o‘quvchilarga mavzuni aniqroq tushunish imkoniyati
yaratiladi. Bu texnologiyalar orqali darslar nafaqat ko‘proq qiziqarli bo‘ladi, balki
o‘quvchilarning faol ishtirokini ta'minlaydi. Interaktiv ta’lim platformalari yordamida
o‘qituvchi darsni faqatgina o‘qitish jarayoni sifatida emas, balki o‘quvchilar bilan
birgalikda rivojlantiriladigan faol va interaktiv jarayon sifatida tashkil etadi.
Shuningdek, o‘quvchilar o‘rtasida musobaqalar, o‘yinlar va turli xil faoliyatlar
o‘tkazish mumkin, bu esa o‘quvchilarning mavzuni yanada chuqurroq o‘rganishlariga
yordam beradi.
32

Shunday qilib, zamonaviy ta’lim texnologiyalarini modul tenglamalarni
o‘qitishda qo‘llash o‘quv jarayonini yanada samarali, interaktiv va qiziqarli qilishga
yordam beradi. Bu texnologiyalar o‘quvchilarning mavzuni chuqurroq tushunishiga,
mustaqil ishlash ko‘nikmalarini rivojlantirishga va o‘qituvchilarning darslarni
samarali tashkil etishiga xizmat qiladi.
2.3. Modul qatnashgan tenglamalarni o qitishda baholash va natijalarniʻ
tahlil qilish
Modul tenglamalarini o‘qitishda baholash va natijalarni tahlil qilish
o‘qituvchining o‘quv jarayonini boshqarish va o‘quvchilarning bilim darajasini
aniqlashda muhim vositadir. Bu jarayon o‘quvchilarning kuchli va zaif tomonlarini
aniqlash, shuningdek, ularning o‘qish jarayonini optimallashtirishga yordam beradi.
Baholash va tahlil qilish, shuningdek, o‘quvchilarning mustaqil fikrlashini
rivojlantirish, ularning har bir darsni qanday o‘zlashtirganini aniqlash uchun zaruriy
vositadir.
33

Baholashning asosiy usullari:
1. Diagnostik baholash: Diagnostik baholash o‘quvchilarning bilim darajasini
boshlang‘ich bosqichda aniqlashga mo‘ljallangan. Bu usul o‘quvchilarning oldingi
bilimlarini tekshirishga imkon beradi. Diagnostik baholash yordamida o‘qituvchi
o‘quvchilarning modul tenglamalarini qanday tushunishini va darsda qanday
muammolar yuzaga kelayotganini aniqlay oladi. Masalan, diagnostik testlar yoki
KWL diagrammasi yordamida o‘quvchilarning mavzu haqidagi bilim darajasini tahlil
qilish mumkin.
2. Formativ baholash: Dars davomida o‘quvchilarning faoliyatini muntazam
ravishda kuzatish va tahlil qilish formativ baholashni tashkil qiladi. Formativ
baholash yordamida o‘qituvchi o‘quvchilarning mavzuni qanday o‘zlashtirayotganini
doimiy ravishda aniqlash imkoniga ega bo‘ladi. Bu usul o‘quvchilarga o‘z bilimlarini
doimiy ravishda yaxshilashga yordam beradi. Misol uchun, dars davomida
o‘quvchilarning savollariga javob berish, guruhli ishlar o‘tkazish yoki kichik testlar
orqali ularning bilim darajasini baholash mumkin.
3. Summativ baholash: Summativ baholash o‘quvchilarning o‘zlashtirish
darajasini yakuniy ravishda aniqlashga mo‘ljallangan. Bu baholash usuli odatda
darsning oxirida amalga oshiriladi va o‘quvchilarning umumiy bilimini baholaydi.
Summativ baholash yordamida o‘qituvchi o‘quvchilarning modul tenglamalarini
qanday o‘zlashtirganini ko‘rish imkoniyatiga ega bo‘ladi. Summativ baholashni
testlar, imtihonlar yoki yakuniy loyiha orqali amalga oshirish mumkin.
Baholash vositalari:
1. Testlar: Testlar o‘quvchilarning bilim darajasini aniqlashda keng
qo‘llaniladi. Testlar orqali o‘quvchilarning modulli tenglamalarni qanday
tushunganini, yechimlarni to‘g‘ri topa olishlarini va mavzuni to‘liq
o‘zlashtirganliklarini baholash mumkin. Testlar qisqa javoblar, ko‘p tanlovli savollar
34

yoki ochiq savollar shaklida bo‘lishi mumkin. Testlar o‘quvchilarga masalalarni tez
va aniq yechish imkonini beradi.
2. Portfolio: Portfolio o‘quvchilarning ishlarini yig‘ib, tahlil qilish orqali ular
haqida batafsil ma’lumot olishga yordam beradi. Portfolio yordamida o‘quvchilar o‘z
ishlarini to‘plashadi va ular orqali o‘quvchilarning rivojlanishini kuzatish mumkin.
Masalan, modul tenglamalari bo‘yicha o‘quvchilar tomonidan bajarilgan topshiriqlar
yoki loyiha ishlarini portfolioga kiritish mumkin.
3. Loyihalar: O‘quvchilarga modul tenglamalariga oid amaliy masalalarni
yechish uchun loyihalar berish, ularning mustaqil ishlash ko‘nikmalarini
rivojlantiradi. Loyihalar yordamida o‘quvchilar mavzuni real hayotga qo‘llashni
o‘rganadilar. Loyihalar davomida o‘quvchilar turli usullarni, masalan, amaliy
mashqlar yoki kompyuter dasturlarini qo‘llash orqali modul tenglamalarini
yechishadi.
4. Taqdimotlar: O‘quvchilarning fikrlarini aniq va ravshan ifodalashini
baholash uchun taqdimotlar o‘tkazish mumkin. O‘quvchilarga modul tenglamalari
haqidagi ma’lumotlarini taqdimot orqali taqdim etish topshiriladi. Bu usul
o‘quvchilarning kommunikativ qobiliyatlarini rivojlantiradi. Taqdimotlar grafikalar,
diagrammalar va animatsiyalar yordamida yanada samarali bo‘ladi.
Natijalarni tahlil qilish: Baholash natijalarini tahlil qilish o‘quvchilarning
kuchli va zaif tomonlarini aniqlashda yordam beradi. Bu tahlil asosida o‘qituvchi
o‘quvchilarning ehtiyojlariga mos ravishda darsni tashkil etadi. Misol uchun, agar
biror o‘quvchi modul tenglamalarini yechishda qiyinchiliklarga duch kelsa, unga
qo‘shimcha tushuntirishlar yoki amaliy mashqlar berish mumkin. Tahlil natijalari
asosida o‘qituvchi o‘z dars metodlarini yaxshilash imkoniga ega bo‘ladi. Tahlil qilish
natijalari yordamida o‘qituvchi o‘z pedagogik faoliyatini takomillashtiradi. Masalan,
agar o‘quvchilarning ba’zi guruhlari module tenglamalarini to‘liq tushunmasalar,
o‘qituvchi o‘quvchilarning muammolarini aniqlab, ularni yengillashtirishga qaratilgan
35

metodlarni qo‘llashi mumkin. Bu tahlil o‘qituvchiga o‘z yondashuvlarini
moslashtirishga imkon beradi.
Modul tenglamalarini o‘qitishda baholash va natijalarni tahlil qilish
o‘quvchilarning bilim darajasini aniqlash, ularning kuchli va zaif tomonlarini
belgilashda, shuningdek, o‘qitish metodlarini takomillashtirishda muhim ahamiyatga
ega. Diagnostik, formativ va summativ baholash usullari orqali o‘qituvchi
o‘quvchilarning bilim darajasini kuzatib boradi. Baholash vositalari, masalan, testlar,
portfolio, loyihalar va taqdimotlar yordamida o‘quvchilarning mustaqil ishlash
ko‘nikmalarini baholash mumkin. Natijalarni tahlil qilish esa o‘qituvchiga o‘z
darslarini yanada samarali tashkil etish imkonini beradi. Bu jarayon o‘quvchilarning
o‘zlashtirish darajasini yaxshilashga, o‘qituvchining pedagogik faoliyatini
takomillashtirishga yordam beradi va ta’lim jarayonini samarali tashkil etishga olib
keladi.
XULOSA
Modul qatnashgan tenglamalar — bu matematikaning fundamental
tushunchalaridan biri bo‘lib, ularni o‘rganish orqali o‘quvchilarni matematik fikrlash,
tahliliy va kreativ yechimlar topish ko‘nikmalariga ega bo‘lishlariga yordam beradi.
Shu bilan birga, modul tenglamalarni o‘qitishda faqat nazariy bilimlarni berish emas,
balki o‘quvchilarni amaliy masalalarni yechishga, mustaqil fikrlashga va tahlil
36

qilishga o‘rgatish juda muhimdir. O‘qitish metodikasining samarali bo‘lishi uchun
pedagoglar turli usullar va vositalardan foydalanadilar. Modulli tenglamalarni
o‘qitishda an'anaviy metodlar bilan birga, zamonaviy pedagogik texnologiyalar ham
katta rol o‘ynaydi. Masalan, interaktiv taqdimotlar, onlayn platformalar va boshqa
raqamli resurslar o‘quvchilarning mavzuni chuqurroq tushunishiga va amaliy
mashg‘ulotlar orqali bilimlarini mustahkamlashlariga yordam beradi. Ushbu metodlar
o‘quvchilarning diqqatini jalb qilish, mavzuni qiziqarli va tushunarli qilishda samarali
vositalardir.
Shuningdek, modul tenglamalarini o‘qitish jarayonida o‘quvchilarga real
hayotga oid masalalarni yechish imkoniyatini taqdim etish kerak. Bu metod
o‘quvchilarni matematik model yaratish, tahlil qilish va yechimlar topish
ko‘nikmalarini rivojlantirishga yordam beradi. Modul tenglamalarini o‘qitishda
guruhli ishlar, aqliy hujum va bahs-munozara kabi interaktiv metodlar o‘quvchilar
o‘rtasida fikr almashishni rag‘batlantiradi, ular bir-biriga yordam berib, o‘z bilimlarini
mustahkamlashadi. O‘quvchilarning bilim darajasini baholashda zamonaviy baholash
vositalari, jumladan, diagnostik testlar va onlayn testlar yordamida o‘qituvchilar
o‘quvchilarning bilimini va ko‘nikmalarini tezda baholashlari mumkin. Bu metodlar
yordamida o‘quvchilarni o‘zlashtirgan bilimlari bo‘yicha baholash va kerakli
o‘zgarishlarni amalga oshirish imkoniyati yaratiladi.
Kurs ishida modul qatnashgan tenglamalarni o‘qitishda metodik
yondashuvlarning samarali qo‘llanilishi muhim ahamiyatga ega ekanligi ko‘rsatilgan.
Ushbu metodlar o‘quvchilarga nafaqat matematik bilimlarni berish, balki ularga
mustaqil fikrlash, masalalarni yechish va ularni real hayotda qo‘llash ko‘nikmalarini
rivojlantirishga yordam beradi. O‘qituvchining metodik tayyorgarligi va
texnologiyalarni samarali qo‘llash usullari o‘quvchilarning muvaffaqiyatini
ta’minlaydigan asosiy omillardandir. O‘quvchilarning mustaqil ishlashlarini
rag‘batlantirish va ularga amaliy masalalar orqali bilimlarni mustahkamlash o‘qitish
37

jarayonining samaradorligini oshiradi. Modul tenglamalarini o‘qitishda interfaol
metodlar va texnologiyalarni qo‘llash o‘quvchilarning diqqatini qaratib, darslarni
yanada qiziqarli va samarali qiladi. Modul qatnashgan tenglamalarni o‘qitish
jarayonida turli yondashuvlarni birlashtirish, o‘quvchilarning bilim va ko‘nikmalarini
har tomonlama rivojlantirishga yordam beradi.
Xulosa qilib aytganda, modul qatnashgan tenglamalarni o‘qitish metodikasi
nafaqat matematika fanining asosiy tushunchalarini o‘rganishni, balki o‘quvchilarning
ijodiy, analitik va amaliy ko‘nikmalarini ham rivojlantirishga yordam beradi.
Zamonaviy pedagogik metodlar va texnologiyalar yordamida o‘quvchilarga
matematikani o‘rgatishning samarali va qiziqarli usullari ishlab chiqilgan. Shu bilan
birga, o‘qituvchining professional malakasi, uning o‘quvchilarga bilim berishdagi
yondashuvi va turli interfaol metodlardan foydalanish qobiliyati o‘quvchilarning
muvaffaqiyatini ta’minlaydi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Alixonov S. Matematika o‘qitish metodikasi. – Toshkent: O‘qituvchi, 1989.
– 440 b.
2. Alixonov S. Matematika o‘qitish metodikasi. – Toshkent: Cho‘lpon
nomidagi nashriyot-matbaa ijodiy uyi, 2011. – 317 b.
38

3. Axlimirzayev A., Sobirov G. S., Ibroximjonov I. I. Modul belgisi
qatnashgan ba’zi bir tenglamalarni yechish usullari. – So‘nggi ilmiy tadqiqotlar
nazariyasi, 2023. – 12 b.
4. Axlimirzayev A., Sobirov G. S., Ibroximjonov I. I. Modul belgisi
qatnashgan ba’zi bir tenglamalarni yechish usullari. – So‘nggi ilmiy tadqiqotlar
nazariyasi, 2023. – 12 b.
5. Alixonov S. Matematika o‘qitish metodikasi. – Toshkent: O‘qituvchi, 2011.
– 385 b.
6. Alixonov S. Matematika o‘qitish metodikasi. – Toshkent: O‘qituvchi, 2011.
– 317 b.
7. Ahmedov M., Abdurahmonova N., Jumayev M. Matematika. – Toshkent:
Turon-iqbol, 2018. – 192 b.
8. Axlimirzayev A., Sobirov G. S., Ibroximjonov I. I. Modul belgisi
qatnashgan ba’zi bir tenglamalarni yechish usullari. – So‘nggi ilmiy tadqiqotlar
nazariyasi, 2023. – 12 b.
9. Alixonov S. Matematika o‘qitish metodikasi. – Toshkent: O‘qituvchi, 1989.
– 440 b.
10. Baraeva E. V., Men’kova S. V. Elementarnaya matematika. – Arzamas:
Arzamasskiy gosudarstvenniy universitet, 2014. – 320 b.
11. Bikbaeva N. U., Yangabayeva E., Girfanova K. M. Matematika. – Toshkent:
O‘qituvchi, 2017. – 160 b.
12. Burkhanov S., Khudoyorov O‘., Norqulova N. Matematika. – Toshkent:
Sharq, 2016. – 144 b.
13. Dilmurodov N. Oddiy differensial tenglamalar. – Namangan: Sano-standart,
2019. – 476 b.
14. Gaidunov I. I. Abssolutnaya velichina. – Moskva: Prosveshchenie, 1968. –
96 b.
39

15. Gaidunov I. I. Posobie po matematike dlya tekhnikumov. – Moskva:
Vysshaya shkola, 1970. – 448 b.
16. Hakimova M. H. Matematika o‘qitish metodikasi. – Toshkent: Durdona,
2020. – 123 b.
17. Hakimova M. H. Matematika o‘qitish metodikasi (amaliy mashg‘ulot 1-
modul). – Buxoro: Buxoro nashriyoti, 2011. – 112 b.
18. Jo’raqulova A. X. Matematika o‘qitish metodikasi. – Toshkent: ZiyoNET
kutubxonasi, 2013. – 193 b.
19. Konovalova E. I. Sbornik zadach po algebre i geometrii. – Samara:
Samarskiy universitet, 2017. – 256 b.
20. Medvedskaya V. N. Didaktik materiallar po metodike prepodavaniya
matematiki v nachal’nykh klassakh. – Toshkent: Toshkent nashriyoti, 2010. – 144 b.
21. Sivashinskiy I. Kh. Posobie po matematike dlya tekhnikumov. – Moskva:
Vysshaya shkola, 1970. – 448 b.
22. Sahaev M. Elementarnaya matematika. – Toshkent: O‘qituvchi, 1970. – 128
b.
23. Xudoynazarov E. M. Matematika o‘qitish metodikasi. – Toshkent:
Nodirabegim, 2020. – 198 b.
24. Jo’raqulova A. X. Matematika o‘qitish metodikasi. – Toshkent: ZiyoNET
kutubxonasi, 2013. – 193 b.
25. Medvedskaya V. N. Didaktik materiallar po metodike prepodavaniya
matematiki v nachal’nykh klassakh. – Toshkent: Toshkent nashriyoti, 2010. – 144 b.
26. Hakimova M. H. Matematika o‘qitish metodikasi. – Toshkent: ZiyoNET
kutubxonasi, 2013. – 193 b.
27. Hakimova M. H. Matematika o‘qitish metodikasi. – Toshkent: O‘qituvchi,
1989. – 440 b.
40

28. Boltyanskiy V. G., Vil’enkin N. Ya. Simmetriya v algebre. – Moskva:
Vysshaya shkola, 2002. – 256 b.
29. Sivashinskiy I. Kh. Posobie po matematike dlya tekhnikumov. – Moskva:
Vysshaya shkola, 1970. – 448 b.
30. Xudoynazarov E. M. Matematika o‘qitish metodikasi. – Toshkent:
Nodirabegim, 2020. – 198 b.
Internet saytlar
31. https://mathhelp.com – Matematik masalalar va metodlar bo‘yicha resurslar.
32. https://www.khanacademy.org – Matematika o‘qitish uchun onlayn darslar.
33. https://www.coursera.org – Onlayn kurslar va bilimlar almashish.
34. https://www.edx.org – Akademik kurslar va o‘quv materiallari.
35. https://www.mathway.com – Matematika masalalarini yechish vositasi.
36. https://www.desmos.com – Interaktiv grafik va matematik vositalar.
37. https://www.socrative.com – Onlayn baholash va testlar.
38. https://www.wolframalpha.com – Ilmiy hisob-kitoblar va analiz.
39. https://www.geogebra.org – Matematika ta’limi uchun interaktiv vositalar.
40. https://www.brainly.com – Onlayn ta’lim platformasi, savol-javoblar.
Nizomiy nomidagi Toshkent davlat pedagogika universiteti Fizika-matematika
fakulteti 60110600 – Matematika va informatika t a’lim yo nalishiʻ
“_______________________” fanidan yozilgan kurs ishiga doir komissiya
XULOSASI
Talaba _______________________________________________________________
___________________________________________________________mavzusidagi
41

Kurs ishiga ilmiy rahbar xulosasi:
Rejani to g ri yoritilganligi: __________________________________________ʻ ʻ
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Talabaning mustaqil va erkin faoliyati:
______________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Nazariy yozma bayoniga qo yiladigan reyting balli (himova kuniga qarab):
ʻ
Ilmiy rahbar: _________________________________________________________
( ballgacha )
Kurs ishi himoyasiga komissiya xulosasi ____________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Kurs ishi himoyasiga qo yiladigan reyting baho:
ʻ
______________________________
(ballgacha)
Jami: __________________________
(ballgacha)
Rais: ___________________________________
42

A’zolari: ________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
43

Sotib olish