Mos tushish masalasi va uning umumlashmalari
![1.Mavzuning dolzarbligi. Juda ko‘plab variantlarga va kutilmagan
yechimlarga ega bo‘lgan mos tushishlar masalasi birinchi marta Shvetsariyalik
matematik Monmort tomonidan 1703-yilda qo‘yilgan. Keyinchalik
LaplasBernshteyn, Chebishev, Borovkov, Fellerlar tomonidan umumlashtirilgan va
ayrim fizik, kimyoviy, biologik jarayonlarning matematik tahlillarida qo‘llanilgan.
Kvant elektronikasi, atom va yadro fizikasi, mayda zarralar fizikasining paydo
bo‘lishi va rivojlanishi bilan mos tushishlar masalasining tatbiqlar sohasi ham
kengaydi.
Masala Monmort tomonidan nisbatan sodda ko‘rinishda qo‘yilgan: har
qaysisi N ta har xil kartadan iborat bo‘lgan ikkita bir xil kartalar dastasi berilgan.
Har qaysi dastadagi kartalar ixtiyoriy tartibda aralashtirilib, keyin kartalarning
joylashish tartibi solishtiriladi. Agar birorta karta ikkala dastada ham bir xil
vaziyatni egallasa, shu o‘rinda mos tushish hodisasi ro‘y berdi deyiladi. Mos
tushish hodisasi bir yoki bir necha o‘rinda roy berishi yoki birortta o‘rinda ham
ro‘y bermasligi mumkin. Kamida bitta o‘rinda mos tushish hodisasining ro‘y
berish ehtimolini topish talab qilinadi.
Monmort ushbu masalani yechib, kutilmagan xulosaga keldi: hech
bo‘lmaganda bitta mos tushish hodisasining ro‘y berish ehtimoli N ning yetarli
katta qiymatlarida N ga deyarli bog’liq emas va taqriban 2
3 ga teng.
V.Feller [3] ushbu masalani dastalar soni K(K≤2 ) bo‘lgan holga
umumlashtirdi va uning ommaviy xizmat jarayonlariga tatbiqlarini qaratdi.
I.Kleynrok [8] mos tushishlar soninining ko‘p o‘lchovli taqsimotini tahlil qilib,
uning elementar zarrachalar fizikasiga ayrim tatbiqlarni ko‘rsatib beradi.
V.Bozorov va H.Qurbonovlar [6] karrali murakkab mos tushishlar soni va uning
asimptotik taqsimotlarini o‘rganishdi.
Ushbu ishda e’tibor asosan karrali murakkab mos tushishlarning ayrim
umumlashmalari, asimptotik taqsimotlar va tanlanma mos tushish hodisalarini
o‘rganishga qaratiladi.
2](https://docx.uz/documents/0c113bb2-8b47-4bc8-bc53-763b4269ac24/page_2.png?v=1)
![8. Ilmiy tadqiqot metodlar. Ushbu ishda ehtimollar nazariyasining umumiy
tadqiqot metodlari bilan bir qatorda matematik induksiya, elementar hodisa kiritish
va ajratib olish hamda kambinatorik analiz metodlaridan keng foydalanilgan.
9. Ishning tuzulishi. Ish kirish qismi va ikkita bobga birlashtirilgan 7 ta
paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar qisimlaridan iborat. Bibliografiyada
5 ta darslik, 2 ta monografiya, 2 ta ilmiy maqolalar, jami 5 ta adabiyot ro‘yxati
keltirilgan.
10. Ishning qisqacha mazmuni. I-bobda 3 ta paragrafdan iborat bo‘lib,
kombinatorikaga oid va ishda bevosita qo‘llanilgan ma’lumotlar, hodisalar
yig’indisi ehtimoli, uning natijalari, tatbiqlari va umumlashmalari berilgan. II-
bobda karrali murakkab, va murakkab karrali mos tushishlar haqidagi masala
bo‘yicha olingan natijalar mos tushishlar sonining sonli harakteristikalarini
hisoblash, murakkab karrali mos tushishlar soni taqsimot qonuni qaralgan. Xulosa
qismida dessartatsiya ishida qaralgan masalalarning ahamiyati, tatbiq sohalari,
olingan asosiy natijalar va qo‘llanilgan tadqiqot metodlari, shuningdek, ishni
davom ettirish yo‘nalishlari haqida malumotlar berilgan.
I BOB. KARRALI, MURAKKAB VA TANLANMA MOS
TUSHISHLAR
1.1-§. Ehtimolning klassik va statistik ta’riflari.
1.1.1-ta’rif. A
- hodisalar algebrasi, P= P(A);A∈A esa A
da aniqlangan va
[0;1] to‘plamdan qiymatlar qabul qiladigan to‘plam funksiyasi bo‘lsin. Agar
A
dan olingan va birgalikda bo’lmagan ixtiyoriy A
va В
hodisalar uchun
P(A+B)= P(A)+P(B)
4](https://docx.uz/documents/0c113bb2-8b47-4bc8-bc53-763b4269ac24/page_4.png?v=1)
![1.3-§. Hodisalar yig’indisining ehtimoli.
Quyidag hodisalar sistemasini qaraymiz.
¿ (1.3.1)
Faraz qilaylik, biror tajrbada ushbu hodsalardan ko‘pi bilan N tasi ro‘y
berishi mumkin bo‘lsin, agar ξ
i
( i = 1 , k − 1 )
ro‘y bergan ( 1(i) ) tpdagi hodisalar soni
bo‘lsa, ushbu shartlar bajarilsin:
{
0≤ξi≤N ,i=1,k−1
0≤ξ1+ξ2+… +ξk−1≤N
Teorema. Tajrbada m
1 ta (
1' ) tipdagi m
2 ta ( 1'' ) tipdag va h.k m
k − 1 ta (
1 ( k − 1 )
)
tipdagi hodisalarning ro‘y berish ehtimoliquyidagi formula bilan aniqlanadi:
Pn(m1,… ,mk−1)=∑r=0
mk
¿¿
∙∏j−1
k−r
Cmj+ij
mj Cmk−1+r−i1−…−ik−2
mk−1
(1.3.2)
bu yerda
mk= N −m1−… −mk−1,
Sr(m1,… ,mk−1,i1,… ,ik−2)=¿
=
∑
j(−1),j(k−1),PAj1(1)∙…∙Ajm1+i(1)∙…∙Aj1(k−1)(k−1)∙…∙Ajm(k−1)(k−1)(k−1)+r−i1−…−ik−2
(1.1) munosabatda k=2 da [1] ishning 4-bo‘limida isbotlangan (1.2.1) formula, k=3
da esa [3] ishda isbotlangan formula kelib chiqadi.
Agar (2.1.1) hodisalar o‘zaro bog’liq bo‘lmasa va
A
r( i )
∙ A
r
( j)
= ∅ , i ≠ j , i , j = 1 , k − 1
hamda
P ( A ¿
¿ 1 ( i )
) = P
( A
2 ( i))
= … = P ( A
N ( i))
= P
i , 1 , k − 1 ¿ shartlar bajarlsa (1.3.2)
formuladan quydagi taqsimot kelib chiqadi:
15](https://docx.uz/documents/0c113bb2-8b47-4bc8-bc53-763b4269ac24/page_15.png?v=1)
![∑r=0
n−m
¿¿va a(n,m)=0. Teorema isbot bo‘ldi.
1.4-§. N ta hodisadan m tasining ro‘y berish ehtimoli
1-teorema. A
1 , A
2 ...
A3 hodisalardan rosa m tasining (1 ≤ m ≤ N
)
ro‘y berish ehtimoli
P[m] ushbu formula bilan aniqlanadi:
P
[ m ] =
∑
r = 0N − m
¿ ¿
Izoh. Oldingi paragrafdagi natijaga ko‘ra birorta ham hodisaning ro‘y berish
ehtimoli quydagiga teng
P
[ 0 ] = 1 -
S1+¿ S2−S3+… ±SN .
Demak, agar biz
S0=1 deb qabul qilsak, (1.2.1) formula m = 0 uchun ham
o‘rinli bo‘ladi.
18](https://docx.uz/documents/0c113bb2-8b47-4bc8-bc53-763b4269ac24/page_18.png?v=1)
![Teoremaning isboti. Faraz qilaylik P[0]= P(B) bo‘lsin va biror ω ∋B
elementar hodisa
A1,A2,… AN hodisalardan n tasining tarkibiga kirsin. U holda
ω ∋B
hodisa (1.2.1) tenglikning o‘ng tomoniga faqat n = m bo‘lgandagina kiradi.
Shuni qayd etib o‘tamizki, agar ω A
1 , A
2 , … A
N hodisalardan N tasining tarkibiga
kirsa, u holda P(
ω ) ehtimol (1.2.1) tenglikdagi Sm,Sm+1,… Sn yig’indilar tarkibiga
kiradi va S
n + 1 , … S
N yigindilar tarkibiga kirmaydi. Demak, n < m da P( ω
) ehtimol
(1.2.1) tenglikning o‘ng tomonida qatnashmaydi, ya’ni agar tenglikning o‘ng
tomonini elementar hodisalar ehtimoli bo‘yicha yoysak, P( ω
) lar o‘zaro qisqarib
ketadi. Haqiqatdan ham P(
ω ) ehtimoli n > m da Sk (m ¿k≤n ) yigindiga C
nk
koefitsiyent bilan kiradi. Shunday qilib P(
ω ) ehtimol (1.2.1) tenglikning o‘ng
tomoniga
C
nk
− C
m + 1m
C
nm + 1
+ C
m + 2m
C
nm + 2
− … ± C
n − mm
C
nn − m
.
(1.4.2)
koefitsiyent bilan kiradi.
C
m + km
∙ C
nm + k
=
( m + k ) !
m ! k ! ∙ n !
(
m + k ) !( n − k − m ) ! = n !
m ! ( n − m ) ! ∙
( n − m ) !
k !
( n − m − k ) ! = C
nm
C
n − mk
.
tenglikka ko‘ra (1.2.2) ifoda ushbu ko‘rinishga keladi:
C
nm
( C
n − m0
− C
n − m1
+ C
n − m2
− … ± C
n − mn − m
)
(1.4.3)
Bu yerda qavs ichidagi ifoda
¿ ning binomal yoyilmasi ekanligi e’tiborga
olinsa, (1.2.3) ifoda nolga tengligi kelib chiqadi.
Misol. Misol sifatida mos tushishlar haqidagi masalalarni qaraymiz. Oldingi
paragrfda biz S = 1
k ! Tenglikni topgan edik. Ushbu ifodani (1.2.1) formulaga
qo‘yib, rosa m ta mos tushish hodisalari ro‘y berish ehtimolini hisoblaymiz . m=0,
m=1, ... , m = N da quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz:
P[0]=1−1+ 1
2!− 1
3!+… ± 1
(N −1)!± 1
N !
,
P[1]=1− 1+ 1
2!− 1
3!+… ± 1
(N− 2)!± 1
(N−1)!
,
19](https://docx.uz/documents/0c113bb2-8b47-4bc8-bc53-763b4269ac24/page_19.png?v=1)
![P
[ 2 ] = 1
2 ! ¿
),
P
[ 3 ] = 1
3 ! ¿
),
− − − − − − − − − − − − − … ,P[N−2]= 1
(N −2)!¿
),
P[N−1]= 1
(N−1)!¿
P
[ N − 2 ] = 1
( N ) ! ,
Bu yerda
P[N−2]=0 tenglk shuni ko‘rsatadiki, rosa N – 1 ta mos tushish
hodisasi ro‘y berishi mumkin emas. Haqiqatdan ham, agar N – 1 ta mos tushish
hodisasi ro‘y bergan bo‘lsa, N – orinda ham o‘z-o‘zidan mos tushish ro‘y beradi.
(1.2.4) tengliklardan ko‘rinadiki, P
m ehtimollikdagi qavs ichidagi ifoda
e−1
ning qatorga yoyilmasidagi birinchi N – m ta hadining yig’indisini beradi. Shu
sababli ushbu munosabat bajariladi:
lim
N → ∞ P
[ m ] = 1
m ! e − 1
,
ya’ni cheksiz sondagi qartalardan iborat ikkita qartalar dastasi dastasi solishtirilsa,
mos tushishlar soni parametri biriga teng bo‘lgan Puasson taqsimottiga ega bo‘ladi.
2-teorema. A
1 , A
2 , … , A
N hodisalardan kamida m tasining ro‘y berish
ehtimoli ushbu formula bilan hisoblanadi:
Pm=Sm−Cmm−1Sm+1+Cm+1 m−1Sm+2−… ±CN−1 m−1SN. (1.4.5)
Teoremani isbotlash uchun (1.2.1) tenglkdan foydalanladi Ehtimolnng
xossasiga ko‘ra
P
m = P
[ m ] + P
[
m + 1 ] + … + P
N . (1.4.6)
20](https://docx.uz/documents/0c113bb2-8b47-4bc8-bc53-763b4269ac24/page_20.png?v=1)
![Bu tenglikka P[k] larning (m ≤k≤N ) qiymatlarin qo‘yib, qator soddalashtirishlardan
keyin (1.2.6) tenglikni hosil qilish mumkin.
II BOB. KARRALI, MURAKKAB VA TANLANMA MOS
TUSHISHLAR
2.1-§. Karrali mos tushishlar
N ta raqamlangan va har bir raqamlangan N ta soqqalardan iborat k ta bir xil
soqqalar To‘plami berilgan bo‘lsin. Avval birinchi to‘plam, keyin ikkinchi to‘plam
berilgan bo‘lsin. Avval birinchi to‘plam, keyin ikkinchi to‘plam va hokozo k-
to‘plam soqqqalarni qutiga bittadan joylaymiz. Har bir qutida k tadan soqqa
bo‘ladi. Agar biror qutida va hamisha soqqalarning raqami bir xil bo‘lsa, shu
o‘rinda k karrali mos tushishlar hodisasi ro‘y beradi deyiladi.
Teorema. m o‘rinda (0 ≤ m ≥N) k karrali mos tushish hodisasining ro‘y
berish ehtimoli
U mk quyidagi formula bilan hisoblanadi:
U mk= 1
m!¿¿
21](https://docx.uz/documents/0c113bb2-8b47-4bc8-bc53-763b4269ac24/page_21.png?v=1)
![Kombinatorika elementlariga asosan har bir to‘plamdagi soqqalarni
qutilarga bittadan N! Usulda joylash mumkin. U holda k ta to‘plam soqqalarni
qutilarga joylashtirishlarning umumiy soni
n = N ! ∙ N ! ∙ … ∙ N !⏟
k ta = (N !)k
bo‘ladi .
Endi
n' ni hisoblaylik m+r o‘rnida k karrali mos tushsh hodisasi ro‘y bergan
bo‘lsin. Qolgan N - m – r o‘rnida har bir to‘plamda qolgan soqqalarni (N – m – r)!
Usulda joylash mumkin. Demak
n' = [(N – m - r)! ¿k
va (2.1.7) ushbu ko‘rinishga keladi:
P( A
1 , … , … . , m + rk
¿ =
[( N − m − r ) !] k
( N ) k .
Bu ehrimolni (2.1.5) ga qo‘yib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz.
S
m + r =
CNm+r[(N− m−r)!]k
(N )k .
Bunga ko‘ra
U mk ushbu ko‘rinishga keladi:
U mk= ∑r=0
N−m
¿¿
Agar
C
m + rr
C
Nm + r
= N !
r ! m !
( N − m − r ) ! .
tenglikni e’tiborga olsak, (2.1.8) dan (2.1.1) formula kelib chiqadi.
Teoremaning ikkinchi qismini isbot qilamiz.
Ma’lumki,
23](https://docx.uz/documents/0c113bb2-8b47-4bc8-bc53-763b4269ac24/page_23.png?v=1)
![U mk=∑i=m
N
U ik.Bunga ko‘ra (2.1.1) formulaga asosan
U
mk =
∑
i = mN
1
i ! ¿ ¿ ¿
tenglikka ega bo‘lamiz. (2.1.9) da yig’indilar tartibini almashtiramiz, yani m ≤ i ≤
N, i ≤ r ≤ N o‘rniga m ≤ N, m ≤ i≤ r ni qo‘yamiz, u holda (2.1.9) ushbu
ko‘rinishga keladi.
U
mk¿
=
∑
i = mN
1
i ! ¿ ¿ ¿ .
Agar ¿
=
¿ ∙ ¿
tenglikni e’tiborga olsak,
U
m
1 k¿
=
∑
r = mN
¿ ¿
munosabatga ega bo‘lamiz. Ikkinchi yig’indini hisoblaylik:
∑
i = mr
¿ ¿
¿ 1
r!∑i=m
r
¿¿
Kombinatorika ayniyatlariga ko‘ra [3] quyidagi tengliklar o‘rinli:
C−1k= ¿
Ushbu ayniyatga muvofiq (2.1.11) ushbu ko‘rinishga keladi.
24](https://docx.uz/documents/0c113bb2-8b47-4bc8-bc53-763b4269ac24/page_24.png?v=1)
![2.3-§. Karrali murakkab mos tushishlar
Faraz qilaylik, bir xil k ta to‘plam berilgan bo‘lib, har bir to‘plam bir xil n ta
to‘plamostilaridan va har bir to‘lamosti bir xil 1, ... , N gacha raqamlangan
soqqalardan tashkil topgan bo‘lsin, ya’niAi=(Bi,… Bn)
, i= 1,k
B
j = ( a
1 , … , a
n ), j = 1 , n
Shunday qilib har bir to‘plamda nN ta soqqa mavjud bo‘lib, har bir
ai (i= 1,n )
soqqa n ta nusxada bo‘ladi.
Aytaylik N ta 1 dan N gacha raqamlangan qutilar berilgan,
Ai to‘plamlarning
har biridan tasodifan N ta, jamiki kN ta soqqa olib qutilarga k tadan tavakkalga
joylaymiz. Agar i-qutiga joylangan barcha soqqalar i raqamli bo‘lsa shu joyda k
karrali murakkab mos tushish hodisasi ro;y bergan deyiladi.
ξN (k,n)-k karrali murakkab mos tushish hodisalari soni bo‘lsin.
Ma’lumki,
0
≤ξN(k,n)≤N . Quyidagi belgilashni kiritaylik.
PN(k,n,m)= P[ξN(k,n)= m]
m=0,1...,N .
Teorema. Hamma m=
0,N lar uchun quyidagi formula o‘rinli:
PN(k,n,m)= 1
m!¿¿
(2.3.1)
bu yerda P
N j
= N
( N − 1 ) … ( N − j + 1 ) , 1 ≤ n < ∞ , 1 ≤ k > ∞
Izoh: 1.[2] ishda (k=1, n=1) da oddiy) k = 2, n=1 bo‘lganida
Karrali va k=1, n=2 da murakkab mos tushish hodisalari o‘rganilgan (2.3.1)
formuladan k va n ning tegishlicha qiymatlarida [2] ishdagi natijalar kelib chiqadi.
29](https://docx.uz/documents/0c113bb2-8b47-4bc8-bc53-763b4269ac24/page_29.png?v=1)
![P
N( 1,1 , m ) = 1
m ! N ! ∑
j = mN
¿ ¿
PN(2,1 ,m)= 1
m!¿¿
P
N
( 2,1 , m ) = 1
m ! N ! ∑
j = mN
¿ ¿
Isbot:
Ai i= 1 , N
i – qutida k – karrali murakkab mos tushish hodisasining ro‘y
berishi bo‘lsin. U holda
P
N
( k , n , m ) = P ( ¿ i
1 < m < i
m ¿ N ( A
i
1 ∩ A
i
2 ∩ … ∩ A
i
m )) . ( 2.3 .4 )
[3] (124-bet) ishdagi (3.1) formulaga va ehtimollarni qo‘shish formulasiga asosan
(4) munosabat ushbu ko‘rinishga keladi.
PN(k,n,m)= ∑j=m
N
¿¿
Agar A
i
1 ∙ A
i
j (
ij=1,N ) hodisalar teng imkoniyatli ekanligini e’tiborga olsak,
(2.3.5) munosabat quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi.
PN(k,n,m)= ∑j=m
N
¿¿
Ehtimolning klassik ta’rifiga ko‘ra
P(A1… Aj)= n''
n' . (2.3.7)
Bu yerda
n' mumkin bo‘lgan barcha joylashtirishlar va n'' ( A
1 … A
j ¿
hodisa ro‘y
beradigan joylashtirishlar soni.
k ta to‘plamning har biridan N ta soqqani
CnNN usulida olish va uni N ta qutiga
N! Usulda joylash mumkin. Demak ,
30](https://docx.uz/documents/0c113bb2-8b47-4bc8-bc53-763b4269ac24/page_30.png?v=1)
![1-teorema: m o‘rinda ka karrali tanlanma mos tushishhodisasining ro‘y
berish ehtimoli ushbu formula bilan aniqlanadi:
P
mkr
= r !
m ! ¿ ¿
bu yerda ANr = N∙(N-1)∙ ... ∙(N-r+1).
Isbot: i o‘rinda k karrali mos tushish hodisasi ro‘y berishini
Aik deb
belgilaylik, bu yerda 0 ≤ i ≤ r.
Quyidagi belgilashni kiritamiz:
Ai1,….,im
k
= Ai1
k∩… ∩ Aim
k ( i1<¿ i
2 < … < i
m ).
U holda [2] ishdan (2.4.1) formulaga asosan
Pmkr=∑i=0
r−m
(−1)iCm+1 i Sm+1,(2.4 .2)
bu yerda
Sm+1= ∑i1<…<im
N
P(Ai1,….,im+1
k ).
∆
i
1 , … . , i
m + 1 hodisalar teng imkoniyatli bo‘lishini e’tiborga olsak,
Sm+1=Crm+1P(A1,2,..,m+1 k ).
tenglikka ega bo‘lamiz. Bunga asosan (2.4.2)
Pmkr=∑i=0
r−m
(−1)iCm+1 i Crm+1P(A1,2 ,..,m+1 k ).(2.4 .3)
ko‘rinishiga keladi. Ehtimolning klassik ta’rifiga ko‘ra
P¿
) = n '
n ́ ,
32](https://docx.uz/documents/0c113bb2-8b47-4bc8-bc53-763b4269ac24/page_32.png?v=1)
![bu yerda n – mumkin bo‘lgan barcha imkoniyatlar soni va
n' -(A1,2 ,..,m+1 k ) hodisani tashkil etuvchi imkoniyatlar soni.
N ta elementdan r tasini
CNr usulida tanlash va birinchi to‘plamdan olingan r
ta element bilan r! usulda solishtirish mumkin. To‘plamlar k taligini e’tiborga
olsak,
n'=¿¿
bo‘ladi. Endi
n '
ni topamiz. m+1 o‘rnida mos tushish hodisasi ro‘y bergan bo‘lsin.
U holda (r – m – 1) ta elementni (N – m – 1) ta elementdan
AN–m–1 r–m–1 usulda tanlash
mumkin. To‘plamlar k taligini etiborga olsak,
n '
= ¿ ¿
bo‘ladi. Demak (2.4.4) ga ko‘ra (2.4.3) ushbu ko‘rinishga keladi:
Sm+1=Crm+1AN–m–1 r–m–1¿k¿
Bu ifodani (2.4.2) ga qo‘yib, yig’indi ostidagi ifodani soddalashtirdik,
(2.4.1) formula hosil bo‘ladi.
Xususiy holda, r = N da [4] ishda olingan natijaga ega bo‘lamiz.
2-teorema: r = N da kamida m ta o‘rinda k karrali mos tushish hodisasining
ro‘y berish ehtimoli quyidagiga teng:
Pmk(N)= 1
(m− 1)!¿¿
Isbot: (2.4.1) dan r=N da quyidagi tenglikni hosil qilamiz
Pmk(N)= 1
(m)!¿¿
33](https://docx.uz/documents/0c113bb2-8b47-4bc8-bc53-763b4269ac24/page_33.png?v=1)
![Ehtimolning xossalariga ko‘ra
P
mk( N )
=
∑
i = mN
P
ik N
,
yoki (2.4.6) ga asosan
P
mk( N )
=
∑
i = mN
1(
i) ! ¿ ¿ ¿
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerda yig’indilar tartibini quyidagicha o‘zgartiramiz: m
≤i≤N
va i ≤ j ≤ N
o‘rniga m ≤ j ≤ N
va m ≤ i ≤ j
ni qo‘yamiz. Bunga asosan (2.4.7) dan
P
mk( N )
=
∑
j = mN
¿ ¿ ¿
Agar ¿
tenglikni e’tiborga olsak,
P
mk( N )
=
∑
j = 1N
¿ ¿
munosabatga ega bo‘lamiz.
Endi ikkinchi yig’indini hisoblaymiz:
∑
i = mj
¿ ¿
Kombinatorikaning [3]
C−1m= ¿
ayniyatlariga asosan (2.4.9) dan
34](https://docx.uz/documents/0c113bb2-8b47-4bc8-bc53-763b4269ac24/page_34.png?v=1)
Mos tushish masalasi va uning umumlashmalari