Nyuton binomi. Binomial koeffietsientlarning xossalari - Педагогика - Рефераты

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	101.9KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	Педагогика

Nyuton binomi. Binomial koeffietsientlarning xossalari

Купить

Nyuton binomi. Binomial koeffietsientlarning xossalari
Reja:
1. Nyuton binomi .
2. Nyuton binomi formulalari.
3. Nyuton binomi haqida tushunchalar va masalalar.
4. Binomial koeffietsientlarning xossalari.
5. Xulosa.

1. Nyuton binomi - ikki qo shiluvchi yig indisining ixtiyoriy butun musbatʻ ʻ
darajasini qo shiluvchilar darajalari yig indisi ko rinishda ifodalovchi
ʻ ʻ ʻ
formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.
Nyuton binomi formulasi Nyutondan ancha avval ham ma lum bo lgan.
ʼ ʻ
Mac, Umar Xayyom (11 — 12-asrlar), Jamshid Koshiy (14—15-
asrlar) binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini bilganlar.
Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy ko rsatkich uchun umumlashtirgan.
ʻ
Ko'pincha matematika va tabiiy fanlarda biz kabi binomial darajalarni
hisoblashimiz kerak.
(x + 3) 2
yoki (2x - 7) 5
(Binomial (x + a) ga o'xshash narsa, bu kamida bitta o'zgaruvchini o'z ichiga
oladi.)
Birinchi misol, binomial kvadratlar juda oddiy, biz buni doimo bajaramiz. Ikkinchi
variant esa, xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun biroz ishlab chiqishni talab qiladi.
Yaxshi yangilik shundaki, ushbu kengaytmalar har doim ma'lum bir naqshlarga
ega va biz ularni oson bajarilishini ta'minlash uchun foydalanishimiz mumkin.
Kvadrat: (x + a) 2
Umumiy nuqtai nazar uchun kvadratik binomiyaning kvadratik funktsiyaga
ajralishi quyidagicha ko'rinadi.
Ba'zida biz ko'paytirishimiz kerak bo'lgan barcha juftlarni eslab qolish uchun
"birinchi, tashqi, ichki, oxirgi" ma'nosini anglatuvchi Fo-l mnemonikasidan
foydalanamiz.
Natijada har doim faqat bitta x, bitta y va bitta aralash a'zo, ikkalasini ham o'z
ichiga oladi.

kengaytirilgan atamalar (x + a) 4 orqali chapdan o'ngga o'qishda koeffitsientlar 1,
4, 6, 4 va 1 ga teng.
Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi. Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi
uchun zarur bo‘lgan ayrim tushunchalarni matematik analiz kursidan keltiramiz.
Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin: , ,., ,.. u
1 u
2
u
n . Shu ketma-ketlik yordamida tuzilgan.
Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin: , ,..., ,... u
1 u
2
un . Shu ketma-ketlik yordamida tuzilgan U
1 +U
2 +…+Un+…=   __k=1 u k
ifoda sonli cheksiz qator yoki, qisqacha, qator deb ataladi.
Sn= u
1 + u
2 +…+ u
n yig‘indiga qatorning xususiy yig‘indisi deyiladi .
Agar qatorning xususiy yig‘indilaridan tuzilgan S
1 , S
2 ,…,Sn,…
ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘lsa, u holda qator yaqinlashuvchi va bu
limitning qiymati yaqinlashuvchi qator yig‘indisi deb ataladi.
Agar xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda
qator uzoqlashuvchi deyiladi.
2. Qisqartirilgan ko'paytirish formulasida
a+b2=C20·a2+C21·a1·b+C22·b2=a2+2ab+b2 Nyuton binomi formulasi ko'rinadi,
chunki bu n=2uning maxsus ishi.
Binomning birinchi qismi parchalanish deb ataladi (a+b)nСnk·an-
k·bk(k+1)va bu erda parchalanishning birinchi a'zosi k=0,1,2, …,n.
Nyuton binomial koeffitsientlari, binom koeffitsientlarining xususiyatlari, Paskal
uchburchagi
Turli n uchun binomial koeffitsientlarni taqdim etish Paskalning arifmetik
uchburchagi deb ataladigan jadval yordamida amalga oshiriladi. Jadvalning
umumiy ko'rinishi:
Darajasi ko'rsatkichi Binominal koeffitsientlar
0 C
00
1 C
10 C
11
2 C
20 C
21 C
22

3 C
30 C
31 C
32 C
33
⋮ … … … … … … … … …
N C
n0 C
n1 … … … … … C
nn-1 C
nn
Tabiiy holdan, Paskalning bunday uchburchagi dürbün koeffitsientlari
qiymatlaridan iborat:
Darajasi ko'rsatkichi Binominal koeffitsientlar
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
⋮ … … … … … … … … … … … … …
N C
n0 C
n1 … … … … … … … … … C
nn-1 C
nn
Uchburchakning tomonlari birliklarning qiymatiga ega. Ichkarida qo'shni
tomonlarning ikki raqamini qo'shganda olingan raqamlar mavjud. Qizil rangda
ta'kidlangan qiymatlar to'rtta va ko'k oltitasi sifatida olinadi. Qoida
uchburchakning bir qismi bo'lgan barcha ichki sonlar uchun amal
qiladi. Koeffitsientlarning xususiyatlari Nyuton dürbünü yordamida tushuntiriladi.
Nyuton binomi formulasini isbotlash
Nyuton binomi stavkalari uchun adolatli bo'lgan tenglik mavjud:
 koeffitsient boshidan va oxiridan teng ravishda ajratiladi va quyidagi formuladan
ko'rinib turganidek tengdir C
np =C
nn-pp =0, 1, 2, …, n;
 C
np =C
np+1 =C
n+1p+1 ;
 binom koeffitsientlari 2 binomial darajasi ko'rsatkichi darajasida, ya'ni
C
n0 +C
n1 +C
n2 +...+C
nn =2n;
 binominal koeffitsientlarni teng tartibga solishda ularning summasi g'alati joylarda
joylashgan binomial koeffitsientlar yig'indisiga teng.
Turlarning tengligi a+b
n =C
n 0a*n +C
n1*an-1*b +C
n2*an-2*2b +...+C
nn-1*a*bn +C
nn*bn
adolatli hisoblanadi. Uning mavjudligini isbotlaymiz.
Buning uchun matematik indüksiyon usulini qo'llash kerak.
Dalil uchun bir nechta fikrlarni bajarish kerak:

1. Qachon degradatsiyasi tenglik tekshirish n=3. Bizda
shunday (a+b) 3
=a+ba+ba+b=a 2
+ab+ba+b n
a+b==a 2
+2ab+b 2
a+b=a 3
+2a 2
b+ab 2
+a 2
b+2
ab+b 3
==a 3
+3a 2
b+3ab 2
+b 3
=C
30 a 3
+C
31 a 2
b+C
32 ab 2
+C
33 b 3
2. Agar tengsizlik to'g'ri bo'lsan-1, unda turning ifodasi a+b
n-1 =C
n-10 ·a
n-1 ·C
n-11 ·a
n -2·b·C
n-
12 ·a
n-3 ·b
2 +...+C
n-1n -2·a·b
n-2 +C
n-1n-1 ·b
n-1
bu adolatli hisoblanadi.
3. a+b
n-1 =C
n-10 ·a
n-1 ·C
n-11 ·a
n-2 ·b·C
n-12 ·a
n-3 ·b
2 +...+C
n-1n-2 ·a·b
n-2 +C
n-1n-1 ·b
n-12 -bandga
asoslangan tenglik isboti.
Ishonchli
Ifoda
a+b
n =a+ba+b
n-1 ==(a+b)C
n-10 ·a
n-1 ·C
n-11 ·a
n-2 ·b·C
n-12 ·a
n-3 ·b
2 +...+C
n-1n-2 ·a·b
n-2 +C
n-1n-1 ·b
n-1
Qavslarni ochish kerak, keyin biz olamiza+bn=Cn-10·an+Cn-11·an-1·b+Cn-12·an-
2·b2+...+Cn-1n-2·a2·bn-2++Cn-1n-1·a·bn-1+Cn-10·an-1·b+Cn-11·an-2·b2+Cn-
12·an-3·b3+...+Cn-1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn
Mahsulotlar va etkazib beruvchilarning lentasini yanada aniqroq qurish uchun
a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+...++Cn-1n-1+Cn-
1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn
Bizda shunday Cn-10=1va Cn0=1keyin Cn-10=Cn0. Agar Cn-1n-
1=1va Cnn=1keyin Cn-1n-1=Cnn. Kombinatsiyalarning xususiyatlarini
qo'llashda Cnp+Cnp+1=Cn+1p+1biz turlarning ifodasini olamiz
Cn-11+Cn-10=Cn1Cn-12+Cn-11=Cn2 ⋮ Cn-1n-1+Cn-1n-2=Cnn-1
Olingan tenglik bilan almashtiramiz. Buni olamiz
a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+...++Cn-1n-1+Cn-
1n-2·a·bn-1=Cn-1n-1·bn
Keyin Nyutonning bioniga o'tishingiz mumkin a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-
2·b2+...+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn.
Dürbün formulasi isbotlangan.
Nyuton Binomi-misollar va muammolarni hal qilishda foydalanish
Formuladan foydalanishning to'liq tushunchasi uchun misollarni ko'rib chiqing.
Misol 1
(a+b) 5
Nyuton Binomi formulasidan foydalanib , ifodani kengaytirish.
Qaror
Paskal uchburchagida beshinchi daraja bilan binominal koeffitsientlar
aniq 1, 5, 10, 10, 5, 1. Ya'ni, a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5biz kerakli
ajralish nima ekanligini bilib olamiz.
Javob: a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
Misol 2

Nyuton binomi koeffitsientlarini turning ayrışmasının oltinchi a'zosi uchun
toping a+b10.
Qaror
Vaziyatga ko'ra, bu bor n=10, k=6-1=5. Keyin bionomik koeffitsientni
hisoblashga o'tishingiz mumkin:
Cnk=C105=(10)!(5)!·10-5!=(10)!(5)!·(5)!==10·9·8·7·6(5)!
=10·9·8·7·61·2·3·4·5=252
Javob: Cnk=C105=252
Quyida ko'rsatilgan raqam bilan ifodalashning bo'linishini isbotlash uchun dürbün
tomonidan ishlatiladigan bir misol.
Misol 3
5n+28·n-1Tabiiy son bilan ifodalashning ma'nosi n16qoldiqsiz bo'linadi.
Qaror
Nyuton dürbünü shaklida ifoda 5n=4+1nqilish va foydalanish kerak. Keyin buni
olamiz
5n+28·n-1=4+1n+28·n-1==Cn0·4n+Cn1·4n-1·1+...+Cnn-2·42·1n-2+Cnn-1·4·1n-
1+Cnn·1n+28·n-1==4n+Cn1·4n-1+...+Cnn-2·42+n·4+1+28·n-1==4n+Cn1·4n-1+...
+Cnn-2·42+32·n==16·(4n-2+Cn1·4n-3+...+Cnn-2+2·n)
Nyuton dürbününün formulasi tabiiy uchun n bu ko'rinishga
ega ,
qaerda - n dan k ga
kombinatsiyalarni ifodalovchi bionomik koeffitsientlar, k=0,1,2,…,n, va"!"bu
faktorial belgisi).
Misol uchun, qisqartirilgan ko'paytirishning "kvadrat miqdori" turining
ma'lum formulasi Nyuton
dürbününün maxsus ishi bor n=2.
Nyuton dürbününün formulasining o'ng tomonida joylashgan ifoda (a+b) n deb
ataladi
va ifoda (k+1)parchalanishning
uchinchi a'zosi , k=0,1,2,..., n.
Nyuton binomining koeffitsientlari, bionomik koeffitsientlarning xususiyatlari,
Paskal uchburchagi.
Paskal
Uchburchagi.

Turli uchun binomial stavkalari n arifmetik deb ataladigan jadval shaklida tasavvur
qilish qulay Paskal uchburchagi. Umumiy holda, Paskal uchburchagi quyidagi
shaklga ega:
Paskalning uchburchagi tabiiy ravishda Nyuton dürbün koeffitsientlari
shaklida keng tarqalgan :
Paskal uchburchagi tomonlari birliklardan iborat. Paskal uchburchagi ichida
yuqoridagi ikkita tegishli sonni qo'shib olingan raqamlar mavjud. Misol uchun,
o'nta qiymat (qizil rangda ajratilgan) to'rt va oltitaning yig'indisi (ko'k rangda
ajratilgan) sifatida olinadi. Bu qoida Paskal uchburchagini tashkil etuvchi barcha
ichki sonlar uchun amal qiladi va Nyuton dürbün koeffitsientlarining
xususiyatlariga bog'liq.
Binomial koeffitsientlarning xususiyatlari.
Nyuton dürbün stavkalari uchun quyidagi xususiyatlar amal qiladi:
 ajralishning boshidan va oxiridan teng bo'lgan koeffitsientlar bir-biriga
teng , p = 0,1,2,..., n;
 ;
 binomial koeffitsientlar yig'indisi Nyuton dürbünün darajasiga teng darajada
ko'tarilgan 2 soniga teng: ;
 hatto joylarda turgan binomial koeffitsientlar yig'indisi g'alati joylarda turgan
binomial koeffitsientlar yig'indisiga teng.
Birinchi ikkita xususiyat-kombinatsiyalar sonining xususiyatlari.
Nyuton dürbününün formulasini isbotlash.

Biz Nyuton binomi formulasini isbotlaymiz , ya'ni tenglik adolatini
isbotlaymiz
.
1. Keling , n = 3 uchun ba'zi n uchun ajralish adolatini
tekshirib ko'raylik .
Ular to'g'ri tenglik oldilar.
2. Tenglik n-1 uchun to'g'rideb hisoblang, ya'ni tenglik
adolatli
.
3. Ikkinchi nuqta taxminiga asoslangan tenglik to'g'ri ekanligini isbotlaymiz
.
Boraylik!
Qavslarni
ochish
Guruhlash
shartlari
Shunday qilib , keyin ; chunki ,
keyin ; bundan tashqari, kombinatsiyalar xususiyatidan foydalanib
, biz olamiz

Ushbu natijalarni yuqoridagi tenglikka
almashtirish
N
yuton dürbününün formulasiga
keling .
Bu Nyuton binomining formulasini isbotladi.
Nyuton Binomi-misollar va muammolarni hal qilishda foydalanish.
Nyuton dürbününün formulasi ishlatiladigan misollar uchun batafsil echimlarni
ko'rib chiqing.
Misol.
Nyuton dürbünü formulasiga ko'ra, ifoda (a+b) 5 ning ayrışmasını yozing
.
Qaror.
Beshinchi darajaga mos keladigan Paskal uchburchagi chizig'iga qarang. Binomial
koeffitsientlar raqamlar bo'ladi 1, 5, 10, 10, 5, 1. Shunday qilib, bizda
bor .
Misol.
Nyuton dürbün koeffisiyenti, ifodani buzishning oltinchi a'zosi uchun
toping .
Qaror.
Bizning misolimizda n = 10, k = 6-1=5. Shunday qilib, biz kerakli bionomik
koeffitsientni hisoblashimiz mumkin:
Xulosa qilib aytganda, Nyuton binomidan foydalanish, so'zning muayyan songa
bo'linishini isbotlashga imkon beruvchi misolni ko'rib chiqing.
Misol.
N – tabiiy raqam bo'lgan ifoda qiymati 16 tomonidan qoldiqsiz
bo'linishini isbotlang.
Qaror.

Keling, Nyuton dürbününün formulasini qanday qilib ishlatishimiz haqida birinchi
atamani tasavvur qilaylik
:
Olingan mahsulot asl ifodani 16-ga ajratishni tasdiqlaydi.
Xulosa:
Xulosa qilib shularni aytish mumkunki Nyuton binomi - ikki qo shiluvchiʻ
yig indisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qo shiluvchilar darajalari
ʻ ʻ
yig indisi ko rinishda ifodalovchi formula bo’lib bu anchagina ossalashtirilgan
ʻ ʻ
hisoblash usuli ekan. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil
qilishi hisoblash vaqtini ancha ossonlashtirar ekan. Ayniqsa Nuyuton binomi
ikki qo’shiluvchining darajasi katta bo’lganda ancha samarali usul ekan.
Foydalanilgan
adabiyotlar va internet saytlari:
1. Kombinatortika va ehtimollar nazariyasi.
2. Vikipediya uz
3. "Nyuton Binomi" [elektron resurs] - URL:
http://wiki.laser.ru/be/bse/001/008/082/931.html
4. https://hozir.org
5. Buyuk sovet Ensiklopediyasi TSB, 1964. [Elektron resurs] - URL:
https://litlife.club/books/106169/read?page = 11
6. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2017-yil 6-
apreldagi “Umumiy o‘rta va o‘rta maxsus, kasb-hunar ta’limining
davlat ta’lim standartlarini tasdiqlash to‘g‘risida”gi № 187- sonli
Qarori
7. M.A. Mirzaahmedov, Sh.N. Ismailov, A.Q. Amanov, B.Q.Xaydarov,
Matematika 11, darslik, Toshkent, 2018

Nyuton binomi. Binomial koeffietsientlarning xossalari

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish