Olmos panjaradagi diskret shredinger

Информация о документе

Цена	12000UZS
Размер	156.4KB
Покупки	0
Дата загрузки	06 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Дипломные работы
Предмет	Педагогика

Olmos panjaradagi diskret shredinger

Купить

Kirish
Masalaning qo‘yilishi. Ushbu bitiruv malakaviy ishida olmas panjaradagi
sistemada aniqlangan diskret Schrödinger operatorining qaralgan.
Bitiruv malakaviy ishining asosiy maqsadi bu operatorning impuls tasvirini
olish hamda muhim spektrini o’rganishdan iborat.
Mavzuning dolzarbligi. Ko‘plab ilmiy-amaliy tad q i q otlar panjaradagi
sistemada aniqlangan diskret Schrödinger operatorlarni o‘rganishga keltiriladi.
Jumladan, qattiq jismlar fizikasi va kvant maydonlar nazariyasi hamda chiziqli
chegaralangan o‘z - o‘ziga qo‘shma operatorlarning spektral nazariyasida
uchraydigan panjaradagi sistemaga mos model operatorlarga oid tadqiqotlarni
rivojlantirish muhim vazifalardan biri hisoblanadi.
Ishning maqsad va vazifalari. Bitiruv malakaviy ishning asosiy maqsadi
olmas panjaradagi sistemada aniqlangan diskret Schrödinger operatorini tavsivlash
hamda
bu operatorning impuls tasvirini olish va muhim spektrini o’rganishdan
iborat.
Ilmiy-tatqiqot usullari. Ushbu bitiruv malakaviy ishida parametrga bog‘liq
funksiyalarning minimumi va maksimumi, integral tenglamalarni yechish,
qaralayotgan operatorlar oilasiga mos Fredgolm determinantini hisoblash uning
nollarini topishda undagi xosmas integrallarni hisoblash usullari dan foydalanildi .
Mavzuning o‘rganilish darajasi. Atom va molekulyar hamda qattiq jismlar
fizikasi, kvant maydonlar nazariyasining asosiy masalalari Shredinger
operatorlarini o‘rganishga qaratilgan. Bu sohada olingan natijalar to‘g‘risida
ko‘plab ma’lumotlar matematik fizikaning “ensiklopediyasi” – M.Rid va
B.Saymonning to‘rt tomli kitobida keltirilgan.

Ma’lumki, olmas panjaradagi ikki zarrachali Shredinger operatorlarini
o’rganish ochiq masala hisoblanadi. Mazkur ishda o’rganilayotgan operator olmas
panjaradagi ikki zarrachali Shredinger operatorini o’rganishda muhim ahamiyat
kasb etadi.

Tadqiqotning ilmiy yangiligi. Bitiruv malakaviy ishida olingan natijalar
referativ xarakterga ega bo‘lib, [2] ishda olingan natijalarning xususiy holi
hisoblanadi.
Tadqiqot predmeti va ob’yekti. Tadqiqotning predmeti matematik fizika
va funksional analiz bo‘lib, ob’yekti esa p anjarada gi ikki ta ixtiyoriy kvant
zarrachali sistema gamiltonianiga mos operator lar oilasidan iborat.
Tatqiqotnig ilmiy va amaliy ahamiyati. Ishda olingan natijalar va unda
qo‘llanilgan usullar olmos panjaradagi ikki zarrachali sistemaga mos
gamiltonianning tadqiq qilish da foydalanish mumkin .
Ishning tuzilishi. Ushbu ish kirish, ikki bob, xulosa, foydalanilgan
adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.

Olingan natijalarning qisqacha mazmuni. Bitiruv malakaviy ishida
olingan asosiy natijalar:
a) Olmos panjarada diskret Schredinger operatori tavsiflangan ;
b) Qaralayotgan diskret Schredinger operatorini impuls tasviri olingan hamda
uni asosiy xossalari keltirilgan ;
c) Olmos panjarada diskret Schredinger operatori muhim spektri tavsiflangan .

BOB 1. Hilbert fazosida o`z-o`ziga qo`shma operatorlar
nazaryasining asosiy tushunchalari. Chiziqli operatorlarning
spektri .

Tayanch ma`lumotlar : Bu bobda ichki ko‘paytmali vektor fazolar, to‘la
normallangan fazolar, Hilbert fazosida aniqlangan chiziqli chegaralangan
operatorlar ta’rifi va xossalari , Hilbert fazosida o‘ziga – o‘zi qo‘shma va teskari
operator tushunchsi , o‘z – o‘ziga qo‘shma operatorlarning xossalari , kompakt
operator ta’rifi va xossalari , Hilbert fazosida aniqlangan operatorlarning spektri
o‘rganilgan va ularga misollar qurilgan.
1.1 Ichki ko`paytmali vektor fazolar. Hilbert fazolari.
Faraz qilamiz, V to’plamda elementlarni qo’shish va kompleks (haqiqiy)
songa ko’paytirish amallari kiritilgan bo’lsin.
Agar
V to’plamda kiritilgan qo’shish amali uchun ushbu
1. Yopiqlik: ∀ x , y ∈ V
uchun x + y ∈ V
,
2. Kommutativlik:
∀ x,y∈V uchun x+y= y+x ,
3. Assotsiativlik: ∀ x , y , z ∈ V
uchun ( x + y ) + z = x + ( y + z )
,
4. Neytral yoki nol element mavjudligi:
∃Θ ∈V :∀ x∈V ,x+Θ= Θ+x= x ,
5. Qarama-qarshi element mavjudligi: ∀ x ∈ V
uchun ∃ − x ∈ V : x + ( − x ) = Θ
, va
ko’paytirish amali uchun ∀ α ∈ C ( R )

6. Yopiqlik: ∀ α ∈ C ( R )
va ∀ x ∈ V
uchun
αx ∈V ,
7. Assotsiativlik:
∀ α,β∈C (R) va ∀ x∈V uchun α ( βx ) = ( αβ ) x
,

8. 1 ∙ x = x , ∀ x ∈ V
,
9. (α+β)x=αx +βx ,∀ α,β∈C(R) va ∀ x∈V ,
10. α
( x + y ) = αx + βy , ∀ α ∈ C ( R )
va ∀ x,y∈V
Munosabatlar bajarilsa,
V to’plam vektor fazo yoki chiziqli fazo deb ataladi.
Sonlar maydonining kompleks C
yoki
R haqiqiy bo’lishiga qarab, vektor fazolar
mos ravishda kompleks yok i haqiqiy vektor fazolar deb yuritiladi.
Misol 1.1.1 Haqiqiy sonlar to`plami
ℝ ning n marta o`z-o`ziga dekart
ko`paymasini
Rn kabi belgilaymiz,
ya`ni R n
= R × R × … × R =
{( x
1 ; x
2 ; … ; x
n ) : x
i ∈ R i = 1,2 , … n }

Rn
da elementlarni qo`shish va haqiqiy songa ko`paytirish amallari
quydagicha kiritamiz:
x+y=
(x1+y1;x2+y2;… ;xn+yn)∈Rn
α
Ɐ ∈ ℝ va Ɐ x = ( x
1 ; x
2 ; … ; x
n ) ∈ R n
uchun
αx=(αx1;αx2;… ;αxn)∈Rn
.
Agar
Θ =(0;0;…;0)
∈ R n
vektorni nol element va -x= (− x1;… ;− xn)∈Rn vektorni
x =
( x
1 ; x
2 ; … ; x
n ) ∈ R n
vektorga Qarama-qarshi element sifatida aniqlasak, u
holda
Rn to`plam chiziqli fazoga aylanadi va biz uni n o`lchovli haqiqiy
chiziqli fazo deb ataymiz.
Misol. 1.1.2
[a;b] da aniqlangan barcha uzluksiz funksiyalar fazosini C
[
a ; b ]
kabi belgilanadi. C [ a ; b ]
da qo`shish va songa ko`paytirish amallarini
quydagicha kiritamiz:
fⱯ ,g∈C [a;b]uchun (f+g)(x)= f(x)+g(x)∈C [a;b]

α
Ɐ ∈ ℂ va f Ɐ ∈ C [ a ; b ]
uchun (αf )(x)=αf (x)∈C [a;b]
Nol element sifatida Agar Θ
( x ) ≡ 0
funksiyani . f ( x )
funksiyaga qarama-qarshi
element sifatida − f ( x )
funksiyani aniqlasak, C
[ a ; b ]
ham chiziqli fazoga
aylanadi.

Misol 1.1.3
Z 1
− ¿ butun sonlar to’plami yordamida Zd= Z1×Z1×… ×Z1 ⏟
d
ya’ni uning
d marta o’z-o’ziga Dekart ko’paytmasini aniqlaymiz. Bu to’plam
d
o’lchamli butun qiymatli panjara deyiladi. Demak,
Zd={s=(s1,s2,... ,sd):sk∈Z1,k=1,... d}.
Z d
panjarada
s elementning moduli deb ¿ s ∨ ¿
∑
k = 1d
∨ s
k ∨ ¿
songa aytiladi. Quyidagi
shartni qanoatlantiruvchi barcha
f:Zd→ C funksiyalar fazosini qaraymiz:
∑s∈Zd ∨ f(s)¿p<∞ ,
bunda
p biror tayinlangan musbat son. Ushbu fazoda qo’shish va songa
ko’paytirish amallarini quyidagicha kiritamiz:
1.
∀ f,g uchun
( f + g ) ( s ) = f ( s ) + g ( s ) ;
2.
∀ λ∈C va f uchun
( λf ) ( s ) = λf ( s ) .
Nol element Θ
( s) ≡ 0. f ( s )
ga qarama-qarshi element − f ( s)
kabi aniqlanadi. Hosil
bo’lgan fazo l
p
( Z d )
kabi belgilanadi va u chiziqli fazo bo’ladi.
Haqiqatdan ham, agar f ∈ l
p ¿
) bo’lsa, yaqinlashuvchi qatorning xossalariga
binoan ixtiyoriy
λ∈C uchun λf ∈lp(Zd) bo’ladi. ∀ f , g ∈ l
p ( Z d
)
uchun f+g∈lp(Zd)
ekanligi Minkovskiy tengsizligiga asoslanadi. Demak
lp(Zd) fazo qo’shish va
songa ko’paytirish amallariga nisbatan yopiq.
lp(Z¿¿d)−¿¿
p panjara bilan yig`iluvchi barcha
f ( s) s ∈ Z d
ketma-ketliklar
to`plami.
Misol 1.1.4 Faraz qilamiz,
T1=¿ bo’lsin. T1 da qo’shish va songa
ko’paytirish amallarini haqiqiy sonlarni
2π modul bo’yicha qo’shish va
songa ko’paytirish sifatida kiritamiz, masalan

π
3+π= 4π
3 =− 2π
3 (mod 2π),6 ⋅ π
4 = 3 π
2 = − π
2 ( mod 2 π ) .
Ushbu to’plam bir o’lchamli tor deb ataladi.
T d
bilan
d o’lchamli tor, ya’ni
T d
= T 1
× T 1
× … × T 1
⏟
d marta
ni belgilaymiz.
d
o’lchamli tor Td da aniqlangan, Haar ma’nosida o’lchovga ega va
∫
T d ∨ f ( x ) ¿ p
dx < ∞
shartni qanoatlantiruvchi barcha
f:Td→ C funksiyalarning chiziqli fazosini
qaraymiz, bunda integralda o’lchov Haar ma’nosida olinadi va p
tayinlangan
musbat son. Elementlarni qo’shish va songa ko’paytirish odatdagi funksiyalarni
qo’shish va songa ko’paytirish kabi, ya’ni 1.1.3 misoldagidek kiritiladi. Hosil
bo’lgan fazo L
p ( T d
)
kabi belgilanadi.
Demak ,
Lp(Td) fazoning elementlari Td da aniqlangan va har bir o ’ zgaruvchisi
bo ’ yicha
2π davrga ega bo ’ lgan funksiyalardir .
Bu yerda ham ushbu fazo qo ’ shish va songa ko ’ paytirish amallariga
nisbatan yopiq : Agar
Ɐ f∈Td uchun integralning xossalariga ko ’ ra ∀ λ∈C uchun
λf ∈Lp(Td)
bo ’ ladi . ∀ f,g∈Lp(Td) uchun f+g∈Lp(Td) ekanligi esa Minkovskiyning
integral tengsizligidan kelib chiqadi. Nol element
Θ(x)≡0 kabi f ( x )
ga qarama-
qarshi element − f ( x )
kabi aniqlanadi. Demak, L
p ( T d
)
ham chiziqli fazo bo’ladi.
Bizga biror
V chiziqli fazo berilgan bo`lsin.

Ta'rif 1.1.1 Agar ( ⋅ , ⋅ ) : V × V → C
funksional ∀ x , y , z ∈ V
va∀ α∈C uchun
ushbu munosabatlarni qanoatlantirsa:
1.
(x,x)≥0,(x,x)=0⟷ x= 0 ;
2.
(αx ,y)=α(x,y) ;
3.
(x,y)=(y,x) ,
4.
(x+y,z)=(x,z)+(y,z) ;
u holda V
vektor fazo ichki (skalyar) ko’paytmali fazo deyiladi. ( ⋅ , ⋅ )

funksional esa ichki ko’paytma yoki skalyar ko’paytma deyiladi.
Misol 1.1.5
l2(Zd) da ichki ko’paytma quyidagicha kiritiladi:
(f,g)= ∑s∈Zd f(s)g(s).
Misol 1.1.6
L2(Td) da ichki ko’paytma quyidagicha kiritiladi:
( f , g ) =
∫
T d f ( x ) g ( x ) dx .

Ta`rif 1.1.2 Bizga V
chiziqli fazo va unda aniqlangan p funksional
berilgan bo`lsin. Agar
p:V → R akslantirish
1. p
( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ V
va p ( x ) = 0 ⟷ x = Θ
,
2. p
( αx ) = | α | p ( x ) , ∀ x ∈ V
va ∀ α∈C ,
3.
p(x+y)≤ p(x)+p(y),∀ x,y∈V
Munosabatlarni qanoatlantirsa, unga
V fazoda aniqlangan norma deyiladi .
Ta`rif 1.1.3 Norma aniqlangan fazolar normalangan fazolar deyiladi va
x∈V
element normasi ¿|x|∨¿ orqali belgilanadi.
Bitta chiziqli fazoni normaning aniqlanishiga ko’ra bir necha xil normalangan
fazolarga aylantirilishi mumkin.

Misol 1.1.7 L2(Td) fazoda normani quyidagicha kiritish mumkin:
∥ f∥2=√∫
Td ∨ f(x)¿2dx .

Teorema 1.1.1 Istalgan ichki ko`paytmali V fazo
||x||= √(x,x) norma
yordamida normalangan fazo bo`ladi.
Ushbu 1.1.1 teoremadan ichki ko`paytmali fazoda kiritilgan ichki
ko`paytmadan foydalanib, normani aniqlash mumkin ekanligi kelib chiqadi.
Normalangan fazolarda esa kiritilgan normadan foydalanib, ichki ko`paytmani
hosil qilish masalasi quydagi ayniyatga asoslanadi:
||
x + y || 2
+ || x − y || 2
= ( x + y , x + y ) + ( x − y , x − y ) = 2 ( x , x ) + 2 ( y , y ) = ¿
2||x||2+2||y||2
.
Bu tenglik parallelogramm ayniyati deyiladi.
Teorema 1.1.2 Normalangan fazoda ichki ko`paytmani berilgan norma
orqali kiritish uchun parallelogramm ayniyatining bajarilishi zarur va yetarli .
Bu holda ichki ko`paytma norma orqali quydagicha ifodalanadi:
Kompleks normalangan fazolar uchun
(
x , y ) = 1
4 {(|| x + y || 2
− || x − y || 2)
− i (|| x + iy || 2
− || x − iy || 2)}
Haqiqiy normalangan fazolar uchun
(
x , y ) = 1
4 (|| x + y || 2
− || x − y || 2)
Misol 1.1.8
Cn n>1 da normani

||z||=max1<k<n¿zk∨¿¿

kabi aniqlaymiz. Bu fazoda ichki ko`paytmani norma yordamida kiritib
bo`lmaydi. Haqiqatdan ham z ( 1 )
=( 1,0,0 , … , 0 ) va z ( 2 )
= ( 0 , i , 0 , … , 0 )
vektorlar uchun
parallelogramm tengligi bajarilmaydi, chunki
||
z ( 1 ) || 2
= 1 . ||
z ( 2 ) || 2
= 1 ||
z ( 1 )
+ z ( 2 ) || 2
= || z ( 1 )
− z ( 2 ) || 2
= 1
||z(1)+z(2)||2+||z(1)− z(2)||2= 2≠2(||z(1)||2+||z(2)||2)= 4
Ta`rif 1.1.4 Agar
{xn}n=1
∞ ⊂V ketma-ketliklar uchun ixtiyoriy ε>0 son
topilib, shunday n
0 = n
0 ( ε )
∈ mavjud bo`lib,
ℕ nⱯ >n0(ε) va p Ɐ ∈ uchun ℕ
||xn+p− xn||<ε
tengsizlik bajarilsa, u holda bu ketma-ketlik fundamental
ketma-ketlik deb ataladi.
Ta`rif 1.1.5 Agar
{xn}n=1
∞ ⊂V ketma-ketliklar uchun shunday x0∈V
element topilib,
limn→∞||xn− x0||= 0 munosabat bajarilsa, u holda { x
n }
ketma-
ketlik
n→ ∞ da x0 elementga yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.
Ta'rif 1.1.6 Agar
V fazodagi istalgan fundamental ketma-ketlik
yaqinlashuvchi bo’lsa, u to’la fazo deyiladi.
Odatda to’la normallangan fazolarni Banach fazolari deb ataladi. Q
Banach fazosi emas. Biroq ko’rsatish mumkinki,
R va C fazolar Banach fazolari
bo’ladi.
Ta'rif 1.1.7 Ichki ko’paytma kiritilgan va uning yordamida aniqlangan
normaga nisbatan to’la chiziqli normallangan fazo Hilbert fazolari
deyiladi.
Yuqorida aniqlangan R n
, C n
, l
2
( Z d )
, L
2 ( T d )
,
fazolar Hilbert fazolaridir.
Faraz qilaylik, H
1 va H
2 Hilbert fazolari bo‘lsin.
Ta`rif 1.1.8 Birinchi elementi
H 1 dan va ikkinchi elementi H 2 dan olingan,
mumkin bo‘lgan barcha juftliklar to‘plamini qaraymiz:

{ 〈 x , y 〉 : x ∈ H
1 , y ∈ H
2 } .
Bu to‘plamda qo‘shish va songa ko‘paytirish kompleks sonlarda aniqlanganidek
aniqlanadi: α〈x1,y1〉+β〈x2,y2〉=〈αx1+βx2,αy1+βy2〉.
Agar ichki ko‘paytmani
(〈x1,y1〉,〈x2,y2〉)=¿
kabi kiritsak, hosil bo‘lgan fazo Hilbert fazosi bo‘ladi va u H
1 va H
2 Hilbert
fazolarning to‘g‘ri yig‘indisi deyiladi hamda
H 1⊕H 2 kabi belgilanadi.
L
2 ( 2 )
(
T 2 )
− ¿
orqali T2 da kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar juftligini
belgilaymiz, ya`ni L
2 ( 2 )
(
T 2 )
= L
2 ( T 2 )
⊕ L
2 ( T 2
)
.
Misol 1.1.9 L
2 ( 2 )
(
T 2 )
da skalyar ko’paytma yuqoridagi ta`rifga asosan
quyidagicha kiritiladi.

( f , g ) = ( f
1 , g
1 ) + ( f
2 , g
2 )

Bunda
(fi,gi)=∫
T2 f(x)g(x)dx i=1,2.
Misol 1.1.10 L
2 ( 2 )
(
T 2 )
fazoda normani quydagicha kiritish mumkin.

∥ f∥L22=√(f,f)=√∫
T2 ∨ f1(x)¿2dx +∫
T2 ∨ f2(x)¿2dx .
1.2 Hilbert fazolarida chiziqli chegaralangan operatorlar.
Bizga
H 1 va H 2 Hilbert fazolari berilgan bo`lsin.
Ta`rif 1.2.1 . Agar
H 1 fazoning har bir elementiga H
2 fazoning yagona
elementi mos qo’yilgan bo’lsa, bu moslik operator deyiladi va
A:H 1⟶ H 2 yoki
y= Ax (x∈H 1y∈H 2)
kabi belgilanadi .

Umuman A
operator x ∈ H
1 ning hamma yerida aniqlangan bo`lishi shart
emas. Bu holda Ax mavjud va Ax∈H 2 bo`lgan barcha x∈H 1 lar to`plami
A
operatorning aniqlanish sohasi deyiladi va
D(A) bilan belgilanadi, ya`ni
D
( A ) = { x ∈ H
1 : Ax mavjud va A x ∈ H
2 }
Biror x ∈ D ( A )
uchun y = Ax
bajariladigan y ∈ H
2 lar to`plami A
operatorning
qiymatlar sohasi yoki tasviri deyiladi va
R(A) bilan belgilanadi.

R(A)={y∈H 2:∃x∈D (A),Ax = y}.
Misol uchun A : l
2 ⟶ l
2 , Ax = ( x
1 , 2 x
2 , ... , n x
n , ... )
operatorning aniqlanish sohasi butun fazoga teng emas. Chunki bu operator
x
0 =
( 1 , 1
2 , 1
3 , ... , 1
n , ... ) ∈ l
2
Vektorni
Ax0=(1,1,1 ,... ,1,...)
vektorga o’tkazadi va bu vektor l
2 fazoning elementi bo’lmaydi, ya’ni x
0 bu
operatorning aniqlanish sohasiga teng emas.
Agar
H 1 va H
2 lar chiziqli fazolar bo’lib, istalgan x ∈ H
1 va λ ∈ C
uchun
A(λx )= λAx
munosabat bajarilsa, A operator bir jinsli deyiladi. Agar istalgan
x , y ∈ H
1 uchun A ( x + y ) = Ax + Ay
munosabat bajarilsa, u holda A
operator additiv
deyiladi.
Ta'rif 1. 2.2 Bir jinsli additiv operator chiziqli operator deyiladi.
Demak biror operatorni chiziqlilikka tekshirish uchun uni additivlik va
bir jinslilikka tekshirish lozim. Chiziqli operatorning ta’rifiga ekvivalent
quyidagi ta’rifni ham keltirib o’tish foydadan xoli bo’lmaydi:

Ta'rif 1.2.3. Agar ixtiyoriy x,y∈H 1 va α,β∈C lar uchun
A(αx +βy )= αAx +βAy
Tenglik bajarilsa, u holda A
operator chiziqli deyiladi.
Lekin chiziqli operatorning aniqlanish sohasi chiziqli ko’pxillik bo’lishi
talab etiladi. Operatorning aniqlanish sohasi D ( A )
deb belgilanadi. R ( A )
deb esa A
operatorning qiymatlar to’plamini belgilaymiz:
R ( A ) = { y ∈ H
2 : ∃ x ∈ D ( A ) , Ax = y } .
Misol 1.2.1
A:l2(Zd)⟶ l2(Zd),(Af )(x)=v(x)f(x) operator chiziqli
operatordir. Bu operator
∥ Af ∥2= ∑x∈Zd ∨ v(x)f(x)¿2<∞
bo’ladigan f ∈ l
2 ( Z d
)
larda aniqlangan. Shuningdek, aniqlanish sohasi chiziqli
ko’pxillikdir, ya’ni agar f , g ∈ D ( A )
bo’lsa, kompleks sonning modulining
xossalariga asosan:
∥ A(αf +βg )∥2= ∑x∈Zd ∨ v(x)(αf (x)+βg (x))¿2=¿
¿
∑
x ∈ Z d ∨ αv ( x ) f ( x ) + βv ( x ) g ( x ) ¿ 2
≤
∑
x ∈ Z d ¿
≤ ∑x∈Zd 2(¿αv (x)f(x)¿2+¿βv (x)g(x)¿2)=2∥Af ∥2+2∥ Ag ∥2<∞ ,
ya’ni
αf +βg ∈D(A) . Shuningdek,
A ( αf + βg ) ( x ) = v ( x ) ( αf ( x ) + βg ( x ) ) = ¿

¿ αv ( x ) f ( x ) + βv ( x ) g ( x ) = α ( Af ) ( x ) + β ( Ag ) ( x ) ,
demak, A − ¿
chiziqli operator.
Misol 1. 2.2. Xuddi shunday usul bilan
A : L
2( T d )
⟶ L
2 ( T d )
, ( Af ) ( x ) = u ( x ) f ( x )
Operatorning aniqlanish sohasi
D(A)={f∈L2(Td):∥Af ∥2=∫
Td ∨u(x)f(x)¿2dx <∞}
ning chiziqli ko’pxillik ekanligi hamda
A operatorning chiziqli ekanligi isbot
qilinadi.
Misol 1.2.3. A : L
2
( T d )
⟶ L
2 ( T d )
, ( Af ) ( x ) =
∫
T d v ( x − y ) f ( y ) dy
integral
operatorni qaraymiz, bu yerda v ( ⋅ )
biror uzluksiz funksiya. Bu operatorning
aniqlanish sohasi D ( A ) = L
2 ( T d
)
. Chiziqli ekanligi esa integralning chiziqli
ekanligidan kelib chiqadi.
Chiziqli operatorlar uchun chegaralanganlik tushunchasi odatdagi
funksiyaning chegaralanganligi tushunchasidan biroz farq qiladi.
Faraz qilamiz,
H 1,H 2 lar Hilbert fazolari bo’lsin.
Ta'rif 1.2.4. Agar A : H
1 ⟶ H
2 operator
H 1 dagi istalgan chegaralangan
to’plamni
H 2 dagi chegaralangan to’plamga o’tkazsa, u chegaralangan operator
deyiladi.
Demak chegaralanmagan operator biror chegaralangan to’plamni
chegaralanmagan to’plamga o’tkazadi. Chiziqli operatorlar uchun chegaralanganlik
ta’rifini quyidagicha ham berish mumkin:

Ta'rif 1.2.5. H
1 va H
2 Hilbert fazolari va A : H
1 ⟶ H
2 chiziqli operator
bo’lsin. Agar biror M >0 son va istalgan x∈H 1 uchun
∥ Ax ∥H2≤M ∥ x∥H1
tengsizlik bajarilsa,
A chegaralangan operator deyiladi. Agar istalgan M soni
uchun shunday x
M ∈ H
1 element mavjud bo’lib, ∥ A x
M ∥
H
2 > M ∥ x
M ∥
H
1 munosabat
o’rinli bo’lsa,
A chegaralanmagan operator deyiladi.
Agar A
operator chegaralanmagan bo’lsa, uning normasi ∞
ga teng deb
qabul qilamiz.
Misol 1. 2.4. A : C n
⟶ C n
, Az = ( z
1 , 2 z
2 , ... , n z
n )
operatorni qaraylik.
∥ Az ∥ 2
=
∑
k = 1n
∨ k z
k ¿ 2
≤ n 2
∑
k = 1n
∨ z
k ¿ 2
= n 2
∥ z ∥ 2
munosabatga asosan
∥ Az ∥≤n∥ z∥ . Demak, ta’rifga asosan A
chegaralangan
operator.
Ta'rif 1.2.6.
H 1 va H
2 Hilbert fazolari va A:H 1⟶ H 2 chiziqli operator
bo’lsin. Istalgan
x∈H 1 uchun ∥ Ax ∥H2≤M ∥ x∥H1 munosabat bajariluvchi M >0
sonlarning aniq quyi chegarasi A
operatorning normasi deyiladi va u ∥ A ∥
kabi
belgilanadi.
Amalda operatorning normasini topishda quyidagi teoremadan ko’proq
foydalaniladi.
Teorema 1.2.1.
A:H 1⟶ H 2 chiziqli operatorning normasi uchun quyidagi
tengliklar o’rinli:
1.
∥ A∥=¿x≠0∥ Ax ∥H2
∥ x∥H1
;
2.
∥ A∥=¿∥ x∥H1<1∥ Ax ∥H2;

$3. ∥ A∥=¿∥ x∥H1=1∥ Ax ∥H2. Chiziqli chegaralangan operator xossalari: 10. Agar A:H 1⟶ H 2 va B : H 1 ⟶ H 2 chiziqli operatorlar chegaralangan bo`lsa, u holda ularning yig`indisi A+B operator ham chegaralangan va ‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖ bo`ladi. 20 . Agar A:H 1⟶ H 2 chiziqli operatorlar chegaralangan bo`lsa, u holda ∀ α∈C uchun αA operator ham chegaralangan. 30. Agar A : H 1 ⟶ H 2 va B : H 1 ⟶ H 2 chiziqli operatorlar chegaralangan bo`lsa, u holda AB va BA operator ham chegaralangan va ‖AB ‖≤‖A‖‖B‖ bo`ladi. Ta'rif 1.2.7. (Heine) X va Y normalangan fazolar va A:X ⟶ Y chiziqli operator bo’lsin. Agar x0∈X elementga intiluvchi ixtiyoriy { x n } ∈ X ketma-ketlik uchun {Axn}∈Y ketma-ketlik Ax0∈Y elementga intilsa, A operator x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar A operator X fazoning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa u butun fazoda uzluksiz deyiladi. Ma`lumki uzluksiz funksiya chegaralangan bo’ladi. Chiziqli operatorlar uchun esa uzluksizlik va chegaralanganlik tushunchalari ekvivalent. Teorema 1.2.2. H 1 va H 2 Hilbert fazolari va A:H 1⟶ H 2 chiziqli operator bo’lsin. Quyidagi tasdiqlar ekvivalent: 1. A operator 0 nuqtada uzluksiz ; 2. Aoperator butun X fazoda uzluksiz ; 3. Aoperator chegaralangan . Misol 1.2.5. l2(Zd) fazoda quyidagi opratorni aniqlaymiz: A:l2(Zd)⟶ l2(Zd),(Af )(x)= ^ε(x)^f(x),x∈Zd,^f∈l2(Zd),$ $bunda ^ ε ( x ) − Z d da aniqlangan biror funksiya. Ravshanki, A chiziqli operator. Bu operatorning aniqlanish sohasi D(A)={ ^f∈l2(Zd):∑ x∈Zd ∨ ^ε(x)^f(x)¿2<∞} to ’ plamdir . Quyidagi teorema o ’ rinli . Teorema 1.2.3. A operatorning aniqlanish sohasi butun l 2 ( Z d ) fazoga teng bo’lishi uchun ¿x∈Zd∨ ^ε(x)∨¿∞ bo’lishi zarur va yetarli. Misol 1.2.6. L2(Td) fazoda aniqlangan ko’paytirish operatorini qaraymiz: (Af )(x)=ε(x)f(x),f∈L2(Td),x∈Td, bunda ε(x)−Td da aniqlanga biror kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya. Ko’rinib turibdiki, A operator chiziqli. Uning aniqlanish sohasi D(A)={f∈L2(Td):∫ x∈Td ∨ ε(x)f(x)¿2dx <∞}. Quyidagi to’plamni kiritamiz: X n ( f ) = { x ∈ T d : ∨ f ( x ) ∨ ¿ n } , f ∈ L 2 ( T d ) , n ∈ N . Ta'rif 1.2.8. Agar biror n natural son uchun μ ( X n ( f ) ) = 0 bo’lsa, f∈L2(Td) funksiya muhim chegaralangan deyiladi, bu yerda μ ( M ) − M to’plamning Lebeg o’lchovi.$

Demak, muhim chegaralanmagan f∈L2(Td) funksiya uchun barcha natural n
larda
μ(Xn(f))>0 shart bajariladi.
Teorema 1.2.4
A operatorning aniqlanish sohasi butun L
2 ( T d
)
fazoga
teng bo’lishi uchun
ε(x) funksiyaning muhim chegaralangan bo’lishi yetarli
va zarur.
Misol 1.2.7
L2(Td) fazoda aniqlangan quyidagi operatorni qaraymiz:
( Af ) ( t ) =
∫
T d K ( t , x ) f ( x ) dx , f ∈ L
2 ( T d
) ,
bunda K ( t , x )
funksiya
Td×Td da aniqlangan biror o’lchovli kvadrati bilan
integrallanuvchi funksiya. Integralning chiziqliligidan, bu operator chiziqli. Agar
∫
∫
T d ∨ K ( t , x ) ¿ 2
dtdx < ∞
bo’lsa, u chegaralangan operator bo’ladi (Fubini teoremasi). Bunday operator
integral operator deb ataladi.
K (t,x) funksiya esa uning yadrosi deyiladi.
Misol 1.2.8 l
2 ( Z d
)
fazoni
L2(Td) fazoga akislantiruvchi F Fourier
akislantirishini qaraymiz.
( F
^ f ) ( x ) = 1
¿ ¿
Bunda
(x,s)=∑i=1
d
xisi . Bu operator chegaralangan.
Misol 1.2.9 Xuddi shunday,
L2(Td) fazoni l
2 ( Z d
)
fazoga akislantiruvchi
teskari Fourier akislantirishi
F−1 operatorni qaraymiz:
( F − 1
f ) ( s ) = 1
¿ ¿
Bunda ham
(s,x)=∑i=1
d
sixi . Bu operator ham chegaralangan.

1.3 Hilbert fazosida teskari operatorlar
H
1 va H
2 Hilbert fazolari bo’lsin. A
operator H
1 fazoda aniqlanib, H
2 fazoda
qabul qilsin, ya’ni A:H 1⟶ H 2 .
Ta'rif 1.3.1. Agar istalgan y ∈ R ( A )
uchun Ax = y
tenglama yagona
yechimga ega bo’lsa,
A operator teskarilanuvchan deyiladi. Agar A
teskarilanuvchan bo’lsa, har bir y ∈ R ( A )
ga Ax = y
tenglamaning yagona
yechimi x ∈ D ( A )
ni mos qo’yuvchi akslantirish
A operatorning teskarisi
deyiladi va
A−1 kabi belgilanadi.
Teorema 1.3.1 Agar chiziqli operator teskarilanuvchan bo’lsa, unga
teskari operator ham chiziqlidir.
Teorema 1.3.2
A:H 1⟶ H 2 chiziqli operator teskarilanuvchan bo’lishi
uchun Ax = 0
tenglama yagona
x=0 yechimga ega bo’lishi zarur va yetarli.
Teorema 1.3.3 (Teskari operatorlar haqida Banach teoremasi)
Faraz qilamiz, A − H
1 Hilbert fazosini H
2 Hilbert fazosiga o’zaro bir qiymatli
akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operator bo’lsin. U holda u
teskarilanuvchan va teskari operator
A−1 ham chegaralangan.
Ta'rif 1.3.2 Agar
A:X ⟶ Y teskarilanuvchan operator, R(A)=Y va teskari
A − 1
operator chegaralangan bo’lsa, u holda
A uzluksiz teskarilanuvchan deb
ataladi. Bundan keyin biz teskarilanuvchanlik va uzluksiz teskarilanuvchanlik
tushunchalari bir xil deb hisoblaymiz.
Teorema 1.3.4
A:H 1⟶ H 2 chiziqli operator bo’lsin. U holda A
teskarilanuvchan bo’lishi uchun R ( A ) = H
2 va shunday
m>0 soni topilib, ixtiyoriy
x ∈ H
1 uchun ∥ Ax ∥
H
2 ≥ m ∥ x ∥
H
1 munosabatlarning bajarilishi yetarli va zarur.
Lemma 1.3.1 Agar
A,B∈L(H ) operatorlar teskarilanuvchan bo’lsa, u
holda AB
ham teskarilanuvchan bo’ladi va ¿
tenglik o’rinli bo’ladi.

Misol 1.3.1 L2(Td) fazoda aniqlangan ko’paytirish operatorini
qaraymiz:
( Af ) ( x ) = ε ( x ) f ( x ) , f ∈ L
2 ( T d
) , x ∈ T d
,
bunda
ε(x)∈L2(Td) .

A− λI operatorni qaraymiz, bunda λ∈C va I−¿ ayniy operator. σ ( ε ) − ε
ning
qiymatlar sohasining yopig’i bo’lsin. Isbot qilamizki, agar λ ∈ C ¿ ( ε )
bo’lsa, A − λI
teskarilanuvchan. Haqiqatan,
ε(x)∈L2(Td) bo’lsa, shunday d>0 son topiladiki,
∀ x∈Td
uchun |λ− ε(x)|>d bo’ladi. U holda
∥ ( A − λI ) f ∥ 2
=
∫
T d ∨ ( ε ( t ) − λ ) f ( t ) ¿ 2
dt ≥ d 2
∫
T d ∨ f ( t ) ¿ 2
dt = d 2
∥ f ∥ 2
ekanidan 1.3.4 teoremaga asosan A − λI
teskarilanuvchan. Osongina ko’rsatish
mumkinki,
¿
Demak, teskari operator ham ko’paytirish operatori ekan.
∀ x ∈ T d
uchun
¿ λ − ε ( x ) ∨ ¿ d
ekanidan
1
ε(x)− λ funksiya muhim chegaralangan va yuqoridagi
teoremaga asosan
D ¿
Shuningdek,
∥ ¿
munosabatga ko’ra,
A− λI teskarilanuvchan. Shuni ko’rsatmoqchi edik.
1.4. Hilbert fazosida o`z-o`ziga qo`shma operatorlar va ularning
xossalari.

Ta'rif 4.1. H
Hilbert fazosida aniqlangan chegaralangan T
operator va∀ x,y∈H
uchun
( Tx , y ) = ( x , T ¿
y )
Tenglikni qanoatlantiruvchi
T¿ operator T operatorning Hilbert qo’shmasi
deyiladi. Bundan buyon operatorning qo’shmasi deganda uning Hilbert qo’sh-
masini tushunamiz.
Lemma 1.4.1 A : H ⟶ H , B : H ⟶ H
operatorlar berilgan bo’lsin. Agar
barcha
x,y∈H lar uchun ( Ax , y ) = ( Bx , y )
tenglik bajarilsa, u holda A= B
bo’ladi.
Teorema 1.4.1
A chiziqli operatorning qo’shmasi ham chiziqlidir.
Teorema 1.4.2
T:H ⟶ H operatorning qo’shmasi mavjud bo’lishi
uchun uning aniqlanish sohasi D ( T )
butun fazo
H da zich bo’lishi zarur va
yetarli. Agar bu shart bajarilsa, T ¿
operator quyidagicha aniqlanadi: y ∈ H
element
T¿ ning aniqlanish sohasiga tegishli bo’lishi uchun shunday y¿∈H mavjud
bo’lib istalgan x ∈ D ( T )
uchun
( Tx , y ) = ( x , y ¿
)
Tenglik bajarilishi yetarli va zarur. Bu holda
T¿y= y¿ .
Misol 4.1. Yuqorida qaralgan ushbu operatorning qo’shmasini topamiz:
A : l
2 ( Z d
) ⟶ l
2 ( Z d
) , ( A
^ f ) ( n ) = ^ v ( n ) ^ f ( n ) ,
bunda
^v funksiya
Z d
da chegaralangan.
( A
^ f , ^ g ) =
∑
n ∈ Z d ( A ^ f ) ( n ) ^ g ( n ) =
∑
n ∈ Z d ^ v ( n ) ^ f ( n ) ^ g ( n ) = ¿
∑
n ∈ Z d
^ f ( n ) ^ v ( n ) ^ g ( n ) =
∑
n ∈ Z d ^ f ( n ) ( A ¿ ^
g ) ( n ) = ( ^ f , A ¿ ^
g )

$munosabatlarga va oldingi teoremaga asosan (A¿^f)(n)= ^v(n)^f(n) kabi aniqlanadi. ^v chegaralangan funksiya ekanidan, D ( A ) = l 2 ( Z d ) . U holda esa D ( A ¿ ) = l 2 ( Z d ) . Ushbu misollardagi qo’shma operatorlarning aniqlanishi ham 1..1 teoremaga asoslanadi. Misol 1.4.2 A:L2(Td)⟶ L2(Td),(Af )(x)=ε(x)f(x),f∈L2(Td) operatorni qaraymiz , bunda ε(x)∈L2(Td) chegaralangan funksiya. Bu operatorning qo’shmasi (A¿f)(x)= ε(x)f(x) . Misol 1.4.3 A : L 2 ( T d ) ⟶ L 2 ( T d ) , ( Af ) ( x ) = ∫ T d K ( x , y ) f ( y ) , f ∈ L 2 ( T d ) integral operatorning qo’shmasi ham integral operator bo’ladi: ( A ¿ f ) ( x ) = ∫ T d K ( y , x ) f ( y ) , bu yerda K (x,y) funksiya ¿ da aniqlangan biror chegaralangan uzluksiz funksiya. 1.5. Hilbert fazosida kompakt operatorlar. Faraz qilamiz H - Hilbert fazosi M uning qism to`plami bo`lsin. Agar { Gαα∈A } to`plamlar H dagi ochiq to`plamlar sistemasi bo`lib, M to`plamning har bir elementi biror Gα to`plamga tegishli bo`lsa, u holda bu sisrema qoplama deb ataladi. Agar M to`plamning istalgan qoplamasidan chekli qoplama ajratib olish mumkin bo`lsa, u kompakt to`plam deyiladi. Agar M to`plamning ixtiyoriy cheksiz qismiy ketma-ketlikligi hech bo`lmaganda bitta limitik nuqtaga ega bo`lsa, M to`plam nisbiy kompakt deb ataladi. Faraz qilamiz, H 1,H 2−¿ Hilbert fazolari, A:H 1⟶ H 2 chiziqli chegaralangan operator bo’lsin.$

Ta'rif 1.5.1 Agar A
operator H
1 fazodagi ixtiyoriy chegaralangan
to’plamni H 2 fazodagi nisbiy kompakt to’plamga o’tkazsa, u kompakt operator
deyiladi.
Boshqacha aytganda,
H 1 fazodagi ixtiyoriy chegaralangan to’plamning operator
ta’siridagi aksi nisbiy kompakt bo’lsa, bu operator kompakt deyiladi.
Teorema 1.5.1. Agar
H 1 yoki H 2 chekli o’lchamli Hilbert fazosi bo’lsa, u
holda ixtiyoriy
A∈L(H1,H 2) operator kompaktdir.
Misol 1.5.1. H
1 , H
2 Hilbert fazolari bo’lsin. Yuqorida ko’rdikki,

A:H 1⟶ H 2 chiziqli operatorning qiymatlar sohasi R ( A )
chiziqli ko’pxillik bo’ladi.
Agar
R(A) fazo chekli o’lchamli bo’lsa, u holda A
operator chekli o’lchamli
operator deyiladi. Chekli o’lchamli fazolarda har qanday chegaralangan to’plam
nisbiy kompakt ekanidan ixtiyoriy chekli o’lchamli operator kompakt.
Misol 1.5.2. A : l
2 ( Z d
) ⟶ l
2 ( Z d
) , ( Af ) ( n ) = v ( n ) f ( n ) , f ∈ l
2 ( Z d
)
operatorni qaraymiz,
bunda
¿∨v∨ ¿∞ . v funksiya qanday shartlarni qanoatlantirsa, A operator kompakt
bo’lishini o’rganamiz.
Teorema 1.5.2
A operator kompakt bo’lishi uchun
lim
n → ∞ ¿
s ∈ Z d
, ∨ s ∨ ¿ n ∨ v ( s ) ∨ ¿ 0
bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot Yetarliligi. Faraz qilamiz,
lim
n → ∞ ¿
s ∈ Z d
, ∨ s ∨ ¿ n ∨ v ( s ) ∨ ¿ 0
tenglik bajarilsin. Biz birlik shar I
ning aksi nispiy kompakt ekanini ko’rsatsak,
yetarli. Ixtiyoriy
∀ ε>0 son olamiz. n
sonini ¿
s ∈ Z d
, ∨ s ∨ ¿ n ∨ v ( s ) ∨ ¿ ε / 2
bo’ladigan qilib
tanlaymiz. Har bir
f∈A(I) ga
f ¿
( s ) = ¿

elementni mos qo’yamiz. Barcha f¿ to’plamini I ¿
deb belgilaylik. Ko’rsatish
mumkinki, bu to’plam A ( I )
uchun
ε/2 to’r tashkil etadi. Haqiqatdan ham shartga
binoan
∥ f¿− Af ∥=√∑s∈Zd ∨(AF )(s)− f¿(s)¿2=√ ∑ s∈Zd,∨s∨¿n
∨ v(s)f(s)¿2≤
≤ ¿
s ∈ Z d
, ∨ s ∨ ¿ n { v ( s ) } ∥ f ∥ < ε / 2.
Aniqlanishiga ko’ra
I¿ chekli o’lchamli. U holda uning chekli ε/2 to’ri mavjud.
Bu to’r A ( I )
uchun ham chekli ε
to’rni hosil qiladi. Demak A ( I )
nisbiy kompakt.
Zarurligi. Aytaylik,
A kompakt bo’lsin. l 2
( Z d
)
dagi ONS ni qaraymiz:
ϕ
n ( s ) = ¿
Agar
lim
n → ∞ ∑
s ∈ Z d
, ∨ s ∨ ¿ n ∨ v ( s ) ∨ ≠ 0
bo’lsa, shunday
ε0>0 mavjudki, cheksiz ko’p s lar uchun
∑
s ∈ Z d
, ∨ s ∨ ¿ n ∨ v ( s ) ∨ ¿ ε
0
tengsizlik bajariladi. U holda o’sha shartni qanoatlantiruvchi
k≠n larda
∥ Aϕn− Aϕk∥=√¿v(n)¿2+¿v(k)¿2>ε0>0
munosabat o’rinli. Bu yerda { A ϕ
n }
sistema chegaralangan ketma-ketlik bo’lishiga
qaramay undan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratib bo’lmaydi degan
xulosaga kelamiz. Bu A
ning kompaktligiga zid. Teorema isbotlandi.
Misol 1.5.3. A : L
2 ( T d
) ⟶ L
2 ( T d
) , ( Af ) ( x ) = ε ( x ) f ( x ) , f ∈ L
2 ( T d
)
operator-ni
qaraymiz, bunda
ε(x)∈L2(Td) . Bu operator qanday ε larda kompakt bo’lishini
tekshiramiz.

Teorema 1.5.3 A
operator hech qanday ε(x)∈L2(Td)¿0}¿ uchun kompakt bo’la
olmaydi.
Teorema 1.5.4
A:L2(Td)⟶ L2(Td),(Af )(x)=∫
Td Qi(x−t)f(x)dx operator kompakt
bo`lishi uchun
∫
Td ∫
Td ¿Qi(x−t)¿2dtdx <∞ bo`lishi zarur va yetarli.
Misol 1.5.4 Yuqorida ko’rdikki, cheksiz o’lchamli Hilbert fazolarida birlik shar
nisbiy kompakt emas. Bu esa birlik operator I
ning kompakt emasligini ko’rsatadi.
Teorema 1.5.5
H Hilbert fazosi bo’lsin. Agar A kompakt , B chegaralangan
operator bo’lsa, u holda AB
va BA
operatorlar kompakt bo’ladi.
Bu teorema
A va B operatorlar har xil fazolarda aniqlanib, AB yoki BA mavjud
bo’lgan holda ham o’rinlidir.
Teorema 1.5.6
A chegaralangan chiziqli operator kompakt bo’lishi
uchun A ¿
A
operatorning kompakt bo’lishi yetarli va zarur.
Teorema 1.5.7
A chiziqli chegaralangan operator bo’lsin. A operator
kompakt bo’lishi uchun A ¿
operatorning kompakt bo’lishi yetarli va zarur.
1.6 Hilbert fazolarida aniqlangan operatorlarning spektri.

H - Hilbert fazosi, A:H ⟶ H biror chiziqli chegaralangan operator bo’lsin.
Ta'rif 1.6.1 Agar biror λ ∈ C
uchun A − λI
operator teskarilanuvchan bo’lsa,
u holda
λ soni A operatorning regulyar nuqtasi , Rλ(A)=¿ operator esa uning
rezolventasi deyiladi.

A operatorning barcha regulyar nuqtalari to’plami ρ ( A )
deb belgilanadi.
σ ( A ) = C ¿ ( A )
to’plam A
operatorning spektri deb ataladi. Demak spektr nuqtalari
quyidagilardan iborat bo’lishi mumkin:

1. A − λI
operator umuman teskarilanuvchan emas. Demak ( A − λI ) x = 0
tenglama nolmas yechimga ega. Bu holda λ soni A operatorning xos qiymati ,
nolmas x
esa xos vektori deyiladi.
2.
A− λI operatorning teskarisi mavjud, lekin chegaralanmagan. Bu holda
λ
soni A
operatorning uzluksiz spektriga tegishli deyiladi.
3.
A− λI operatorning teskarisi mavjud, chegaralangan, lekin ,A− λI ning
qiymatlar sohasi butun fazoga teng emas. Bu holda
λ soni qoldiq spektrga
tegishli deyiladi.
A
operatorning λ
xos qiymatiga mos keluvchi xos vektorlaridan hosil
qilingan fazoning o’lchami
λ xos qiymatning karraliligi deyiladi. Agar λ ning
karraliligi 1
ga teng bo’lsa, u oddiy xos qiymat , aks holda karrali xos
qiymat deb ataladi.
A operatorning chekli karrali xos qiymatlari to’plamini
diskrit spektr deb ataymiz va σ
disc ( A )
deb belgilaymiz. A
operatorning uzluksiz
spektrini
σcont (A) deb, qoldiq spektrini esa σres(A) deb belgilaymiz. Odatda
operatorning uzluksiz spektri va cheksiz karrali xos qiymatlari to’plami muhim
spektr deb ataladi va σ
ess
( A )
kabi belgilanadi. σ
ess ( A ) = σ ( A ) ¿
disc ( A )

Teorema 1.6.1 Ixtiyoriy chegaralangan A
operatorning spektri yopiq to’plam.
Lemma 1.6.1
A chegaralangan operator va ∥ A∥<1 bo’lsin. U holda I− λA
operator teskarilanuvchan.
Teoremaning isbotiga o’tamiz. Ixtiyoriy
λ0∈ ρ(A) ni qaraymiz. U holda quyidagi
munosabat o’rinli:
A− λI = A− λ0I−(λ− λ0)I=(A− λ0)¿
Endi λ
ni shunday tanlash mumkinki,
¿ λ − λ
0 ∨ ∥ R
λ
0 ( A ) ∥ < 1.

U holda lemmaga asosan I − ( λ − λ
0 ) R
λ
0 ( A )
teskarilanuvchan. λ0 ning
aniqlanishidan
A− λ0I teskarilanuvchan. U holda A− λI ham teskarilanuvchan
bo’ladi. Bu yerdan
λ0 o’zining biror atrofi bilan ρ ( A )
ga tegishli ekani, ya’ni
ning ochiq ekanini hosil qilamiz. Teorema isbotlandi.
Agar ¿ λ ∨ ¿ ∥ A ∥
bo’lsa,
∥λ−1A∥<1 bo’ladi. U holda A− λI =− λ(I− λ−1A)
ekanidan Lemmaga asosan − λ ( I − λ − 1
A )
va demak
A− λI teskarilanuvchan. Demak
bu holda λ ∈ ρ ( A )
. Shunday qilib chegaralangan A
operatorning spektri markazi
0
nuqtada bo’lgan
∥ A∥ radiusli doira ichida to’liq saqlanadi. Demak A
chegaralangan bo’lsa, ρ ( A )
chegaralanmagan.
Misol 1.6.1 Chekli o’lchamli fazolarda ixtiyoriy operator faqat diskrit
spektrga ega bo’ladi, ya’ni faqatgina xos qiymatlargagina ega.
Misol 1.6.2 A : l
2 ( Z d
) ⟶ l
2 ( Z d
) , ( Af ) ( n ) = v ( n ) f ( n ) , f ∈ l
2 ( Z d
)
operatorni qaraymiz,
bunda
v aynan nol bo’lmagan biror chegaralangan funksiya. M deb v ning
qiymatlari to’plamini belgilaymiz va
σ(A)= M bo’lishini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy
λ∈C¿M
ni qaraymiz. Bu to’plam ochiq va q = dist ( λ , M ) > 0
bo’ladi. Bu holda
∀ f∈l2(Zd)
uchun
∥ ( A − λI ) f ∥ 2
=
∑
x ∈ Z d ∨ v ( x ) − λ ¿ 2
∨ f ( x ) ¿ 2
≥ q 2
∑
x ∈ Z d ∨ f ( x ) ¿ 2
= q 2
∥ f ∥ 2
bo’lib, teoremaga asosan
A− λI teskarilanuvchan bo’ladi. Demak,
σ ( A ) ⊂ M
. Endi λ ∈ M
bo’lsin. Af = λI
tenglamani qaraymiz. Agar
λ∈M
bo’lsa, u holda bu tenglama nolmas yechimga ega bo’ladi. Misol uchun, biror
x
0 ∈ Z d
uchun
λ=v(x0) ni qarasak, u holda
f
x
0 ( x ) = ¿
funksiya bu tenglamaning yechimi bo’ladi. Bu yerdan z
ning xos qiymatligi va f
x
0
ning xos vektorligini topamiz. Demak λ ∈ σ ( A )
.

Endi λ∈M ¿ bo’lsin. U holda A − λI
operator teskarilanuvchan, ya’ni
Af = λf
tenglama yagona 0 yechimga ega va rezolventa
(Rλ(A)f)(x)= f(x)
v(x)− λ
kabi aniqlanadi.
λ∈M ¿ ekanidan har bir n∈N uchun shunday xn∈Zd topiladiki,
¿ v ( x
n ) − λ ∨ ¿ 1
n bo’ladi. Quyidagi funksiyalar ketma-ketligini aniqlaymiz
f
n ( x ) = ¿
U holda
∥Rλ(A)fn∥2= ∑
x∈Zd fn(x)
¿v(x)− λ¿2= fn(xn)
¿v(xn)− λ¿2>n2.
Demak R
λ ( A )
chegaralanmagan operator. Ta’rifga binoan λ ∈ σ
ess ( A )
. Demak
M ⊂σ(A)
. Bu yerdan M = σ ( A )
ekani kelib chiqadi.
H
Hilbert fazosi, A ∈ L ( A )
o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lsin. Quyidagi
belgilashlarni kiritamiz:
M = ¿
∥ x ∥ = 1 ( Ax , x ) , m = inf
∥ x ∥ = 1 ( Ax , x ) .
M
va m sonlari mos ravishda A
operatorning yuqori va quyi chegarasi deyiladi.
Teorema 1.6.2
∥ A∥= max {∨ m∨ ,∨ M ∨} .
Ma’lumki,
σ(A) ∥ A ∥
radiusli doira ichida saqlanar edi. O’z-o’ziga qo’shma
operatorlar uchun esa bu baholash yanada aniqroq.
Teorema 1.6.3
σ(A)⊂[m ,M ] . Shuningdek, m , M ∈ σ ( A )
.
Natija 1.7.1. Har qanday chegaralangan o’z-o’ziga qo’shma operatorning
spektri bo’sh emas.
Teorema 1.6.4
A o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lsin. λ soni A operator
uchun xos qiymat bo’lishi uchun
R(A− λI )≠H bo’lishi zarur va yetarli .

Natija 1.7.2. λ xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar fazosi R(A− λI ) ning
ortogonal to’ldiruvchisidan iborat.
O’z-o’ziga qo’shma operatorning spektrini quyidagicha tavsiflash ham
mumkin: agar
R(A− λI )≠R(A− λI ) bo’lsa, λ soni A operatornng uzluksiz spektriga
tegishli bo’ladi va agar
R(A− λI )≠H bo’lsa, λ soni A
operatorning nuqtali spektriga
tegishlidir.
Teorema 1.6.5 Faraz qilamiz, A − H
Hilbert fazosidagi o’z-o’ziga qo’shma
operator bo’lsin. U holda
A qoldiq spektrga ega emas.
H
Hilbert fazosi, A ∈ L ( H ) − ¿
o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lsin.
Teorema 1.6.6 Kompakt operatorning nolmas
z xos qiymatiga mos
keluvchi
Xλ xos fazosi chekli o’lchamli.
Teorema 1.6.7 Istalgan
δ>0 son uchun kompakt operator xos
qiymatlarining moduli δ
dan katta bo’lganlari soni chekli.
Bu teoremadan shuni xulosa qilamizki, kompakt operatorning xos
qiymatlarini moduli bo’yicha kamayish tartibida joylashtirish mumkin.
Natija 1.6.1 Kompakt operatorning xos qiymatlari to’plami noldan farqli
limitik nuqtaga ega emas.
Teorema 1.6.8 (Phillips) Agar
λ∈C soni A kompakt operatorning xos
qiymati bo’lsa, λ ∈ C
soni A ¿
ning xos qiymati bo’ladi.
Teorema 1.6.9
A va A¿ kompakt operatorlarning z va z xos qiymatlariga
mos keluvchi xos qism fazolarining o’lchamlari teng.
Teorema 1.6.10 A ∈ L ( H ) − ¿
kompakt operator bo’lsin. U holda
1. A
operatorning spektridagi noldan farqli ixtiyoriy nuqta xos qiymatdir;
2. Agar
H cheksiz o’lchamli bo’lsa, 0 soni operatorning spektriga tegishli.

Teorema 1.6.11 Agar A ≠ 0
o’z - o’ziga qo’shma va kompakt bo’lsa,
uning hech bo’lmaganda bitta nolmas xos qiymati bor.
1. 7 Unitar ekvivalent operatorlar.
H
1 va H
2 Hilbert fazolari bolsin.
Ta'rif 1.7.1 Agar U :H1⟶ H 2 akslantirish barcha x,y∈H 1 lar uchun
¿
munosabatni qanoatlantirsa va
D(U )= H1 , R(U )= H 2 bo’lsa, u holda u unitar
operator deyiladi.
Unitar operatorning quyidagi ekvivalent ta’rifi ham ishlatiladi.
Ta'rif 1.7.2 Agar U : H
1 ⟶ H
2 akslantirish barcha x ∈ H
1 lar uchun
∥ Ux ∥
H
2 = ∥ x ∥
H
1
munosabatni qanoatlantirsa va D ( U ) = H
1 ,
R(U )= H 2 bo’lsa, u holda u unitar
operator deyiladi.
Faraz qilamiz, A : H
1 ⟶ H
1 va B : H
2 ⟶ H
2 bo’lsin. Agar shunday U : H
1 ⟶ H
2
unitar operator topilib,
A = U − 1
BU tenglik bajarilsa,
A va B operator unitar
ekvivalent operatorlar deyiladi.
Teorema 1.7.1 Ixtiyoriy chegaralangan unitar ekvivalent operatorlarning
spektrlari, xususan muhim spektrlari, diskret spektrlari, qoldiq spektrlari ustma-
ust tushadi.
Misol 1.7.1
^ V : l
2 ( Z d )
⟶ l
2 ( Z d )
, ( ^ V ^ f ) ( n ) = ^ v ( n ) ^ f ( n ) , ^ f ∈ l
2 ( Z d
)
bunda ^v funksiya
chegaralangan, operatorni qaraymiz. Bu operator biror operatorga unitar
ekvivalent bo’ladimi? Unitar operator sifatida Fourier akslantirishini olamiz.
f = F
^ f = ¿

bo’lsin.(Vf )(x)=(F ^V F−1)(x)=(F ^V ^f)(x)=¿

¿ ¿
¿ ¿
Agar

¿
yaqinlashuvchi bo’lsa, bu biror
v:L2(Td)⟶ C funksiyani aniqlaydi, ya’ni ^ v
funksiyaning Fourier almashtirishiga bo’lamiz.
v ( x − t ) = ¿
kabi belgilash kiritsak, V
operator quyidagi ko’rinishga keladi:
( Vf ) ( x ) = ¿
Demak
l2(Zd) fazodagi ko’paytirish operatori L2(Td) fazodagi integral operatorga
unitar ekvivalent. Yuqoridagi 1.7.1 teoremaga asosan
σ(^V)=σ(V),σdisc (^V)=σdisc (V),σess(^V)=σess(V),σres(^V)=σres(V).

$BOB 2 . Olmos panjaradagi diskret Shredinger operatorining spektri. 2.1 Olmos panjaradagi diskr et Shredinger operatorining koordinata va implus ta`sviri . Quyidagi to’plamni kiritamiz: A2={v(n):v(n)=n1v1+n2v2n=(n1;n2),nϵZ2}, bu yerda v 1 = e 3 − e 1 = ( − 1 ; 0 ; 1 ) , v 2 = e 3 − e 1 = ( 0 ; − 1 ; 1 ) . 2.1.1 ta’rif. A2 to’plamga 2 o’lchamli olmos panjara deyiladi ( qarang [2]). Quyidagi to’plamni kiritamiz: Ω = A 2 ∪ ( p + A 2 ) , p = 1 3 ( v 2 − v 1 ) = 1 3 ( − 1 ; − 1 ; 2 ) . l2(Ω) - orqali Ω da kvadrati bilan jamlanuvchi ^ f( n) = ( ^ f 1 ( n) ,^ f 2 ( n ) ) funksiyalar juftligini belgilaymiz. Bu fazo Hilbert fazosi bo‘lib, skalyar ko’paytma quydagicha aniqlangan (^f,^g)= ∑vϵA2 3^f1(n)^g1(n)+ ∑vϵ(p+A2) 3^f2(n)^g2(n). T = ( − π ; π ] . L 2 ( 2 ) ( T 2 ) − ¿ T2 da aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi f ( x ) = ( f 1 ( x ) , f 2 ( x ) ) funksiyalar juftligining Hilbert fazosi bo`lsin. Bu yerda skalyar ko’paytma quydagicha aniqlangan (f,g)=(f1,g1)+(f2,g2) Bunda ( f i , g i ) = ∫ T 2 f i ( x ) g i ( x ) dx , i = 1,2. Quydagi F:l2(Ω )→ L2(2)(T2) unitar operatorni kiritamiz: F = ( F 0 0 F ) , (F ^f)(x)= √3 2π ∑n∈Z2 ei(x,s)^f(s).$