Optimal boshqaruv masalasining qo‘yilishi. Pontryaginning maksimum prinsipi
![1.Optimal boshqarish masalasining qo’yilishi. Avvalo optimal boshqarish
amaliy masalalaridan birini keltiramiz:
v
0 boshlang’ich tezlikka ega bo’lgan birlik massali material nuqtani modul
bo’yicha birdan oshmaydigan kuch ta’sirida gorizontal to’g’ri chiziq bo’ylab A
nuqtadan B nuqtaga shunday ko’chirish talab qilinadiki, bunda material nuqta B
nuqtaga v
1 tezlik bilan eng qisqa vaqtda yetib kelsin.
Qo’yilgan masala tez harakat bo’yicha optimal boshqarish masalasidan iborat.
Uning matematik modelini tuzamiz.
Ox o’qda A( α ) va B ( β ) nuqtalarni olaylik. Material nuqta t=t
0 boshlang’ich
vaqtda A nuqtada, t=t
1 (t
1 >t
0 ) vaqtda esa B nuqtada bo’lsin.
T= t
1 -t
0 material nuqtaning ko’chish vaqtidan iborat.
x=x(t)- material nuqtaning t vaqtda bosib o’tgan yo’li, u=u(t) material nuqtaga t
vaqt momentida ta’sir etayotgan kuch miqdori bo’lsin.
U vaqtda ˙x= dx
dt
= v - material nuqtaning tezligi, ¨x= d2x
dt 2= a material
nuqtaning tezlanishi bo’ladi.
Nyutonning ikkinchi qonuniga ko’ra mα=u tenglik o’rinli, bu yerda m –
material nuqtaning massasi
m= 1,a= ¨x ekanligini hisobga olsak,
¨x= u (1)
tenglamaga ega bo’lamiz. Masalaning qo’yilishiga ko’ra,
x(t0)=α, ˙x(t0)=v0¿}¿¿¿ (2)
shartlar kelib chiqadi. Bundan tashqari, u(t) kuchga
|u(t)≤t,t∈[t0,t1]| (3)
boshqarish funksiyasi (qisqacha, boshqaruv) deyiladi. Odatda u, bo’lakli-uzluksiz
funksiyalar sinfidan deb qaraladi. Bunday funksiyalar joyiz boshqaruvlar sinfini
tashkil etadi.
Shunday qilib, qo’yilgan masalaning matematik modeli quyidagicha:](https://docx.uz/documents/c37dadf7-4adf-4b85-9f6f-94dcc0f59e2a/page_2.png?v=1)
![shunday |u¿(t),t∈[t0,t1
¿]| joyiz boshqaruvni topish talab qilinadiki, (1) tenglamaning
unga mos keluvchi x *
(t ) yechimi (2) shartlarni qanoatlantirsin va bunda ko’chish
vaqti
T=t1
¿−t0 minimal bo’lsin. x1= x,x2= ˙x o’zgaruvchilarni kiritib, bu
masalani
T(u)=t
1
−t
0
→min,¿}˙x
1
=x
2
,˙x
2
=u,¿}x
1
(t
0
)=u,x
1
(t
1
)=β,¿}x
2
(t
0
)=v
0
,x
2
(t
1
)=v
1
,¿}¿¿¿ (4)
ko’rinishda yozish mumkin.
(4) masala geometrik tilda {x
1 ,x
2 } tekislikda shunday
x¿(t)={x1¿(t),x2¿(t)}
trayektoriyani qurishni bildiradiki, u eng qisqa
T¿=t1
¿− t0 vaqtda A= {α,v0}
nuqtadan
B={β,v1} nuqtaga ko’chib o’tadi.
Endi optimal boshqarish masalasining umumiy qo’yilishiga o’tamiz. [3,5,6].
Biror boshqariluvchi obyekt (jarayon)
˙xi= fi(x1,...,xn,u1,...,um,t),i=1,n (5)
differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan bo’lsin, bu yerda t-vaqt, x
1 ,…,x
n -
obyektning faza koordinatalari, u
1 ,…, u
m -boshqarish parametrlari. Obyektning
holati vektori x=(x
1 ,…,x
n ), boshqarish vektori u=(u
1 ,…,u
m ) va f=(f
1 ,…,f
n ) vektor
yordamida (5) sistemani 0 x
2
x A(,v
0 )
x(t)
B(,v
1 )
0 x
2
x x
n
x(t)x
(t)
x
n+1](https://docx.uz/documents/c37dadf7-4adf-4b85-9f6f-94dcc0f59e2a/page_3.png?v=1)
![˙x= f(x,u,t) (6)
vektorli differensial tenglama ko’rinishida yozamiz.
(6)
boshqariluvchi
obyektning faza
koordinatalari
x=x(t)
ko’rinishdagi t
vaqtning biror [t
0 ,t
1 ] oraliqdagi funksiyasi sifatida aniqlanishi uchun boshlang’ich
t
0 vaqtda boshlang’ich x(t
0 )=x 0
shartni va boshqarish parametrlarini t vaqtning
u=u(t) funksiyasi ko’rinishida aniqlash kerak.
U vaqtda x=x(t) faza koordinatalari
˙x(t)= f{x(t),u(t),t},t0≤t≤t1¿}¿¿¿ (7)
Koshi masalasining yechimi sifatida aniqlanadi. u(t) boshqaruv ma’lum
uzluksizlik shartlarini qanoatlantirishi zarur. Ko’pgina amaliy masalalarda
boshqarishlar sifatida bo’lakli–uzluksiz funksiyalar olinadi. Ba’zi amaliy
masalalarda u(t) ning uzluksizligi, ba’zan esa u(t) ning bo’lakli-silliqligi talab
qilinadi. Nazariy tadqiqotlarda boshqarishlarning kengroq sinflari, masalan
chegaralangan o’lchovli funksiyalar fazosi yoki
Lpm[t0,t1] fazolar qaraladi.
Biz quyidagi asosan bo’lakli-uzluksiz boshqarishlar sinfidan foydalanamiz.
Shunday qilib, biror
x0∈Rn nuqta va u=u(t) bo’lakli uzluksiz boshqarish
berilgan bo’lsin. U vaqtda (7) Koshi masalasining yechimi x=x(t) deb,
x(t)=∫
t0
t
f(x(τ),u(τ),τ)dτ +x0, t0≤t≤t1 (8)
tenglamaning uzluksiz yechimini tushunamiz.
Bu yechimni x(t,x 0
,u) deb belgilaymiz. x(t
0 ,x 0
,u)- obyekt trayektoriyasining
chap uchi, x(t
1 ,x 0
,u) - trayektoriyaning o’ng uchi deyiladi.
x
B x A V
0 V
1
u](https://docx.uz/documents/c37dadf7-4adf-4b85-9f6f-94dcc0f59e2a/page_4.png?v=1)
![Agar fi(x,u,t),i=1,n funksiyalar barcha x∈Rn,u∈Rm,t∈[t0,t1] bo’yicha
o’zining
fixj(x,u,t), xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsa, (8) tenglamaning
x(t
0 )=x 0
shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud va yagonadir.
Biror V
R m
to’plam berilgan bo’lsin. Shu V to’plamdan qiymatlar qabul
qiluvchi
u=u(t), t∈[t0,t1] bo’lakli-uzluksiz boshqaruvlarni joyiz boshqaruvlar
deb ataymiz va bunday boshqarishlar to’plamini U deb belgilaymiz.
Boshqarish masalalarida boshqarish parametrlari bilan bir qatorda obyektning
faza koordinitalariga ham cheklashlar qo’yiladi. Bunday cheklashlar
x(t)= x(t,x0,u)∈G (t), t0≤ t≤ t1 (9)
ko’rinishda yoziladi, bu yerda
G(t)⊂Rn (9) ko’rinishdagi cheklashlarga faza
cheklashlari deyiladi.
Trayektoriyaning chap va o’ng uchlari qanoatlantirishi zarur bo’lgan shartlar
haqida ham to’xtalib o’tamiz. Faraz qilaylik,
S0(t0)⊂Rn va S1(t1)⊂Rn to’plamlar
berilgan bo’lsin. U vaqtda trayektoriyaning uchiga qo’yilgan shartlar
x(t0)∈S0(t0), x(t1)∈S1(t1), (10)
kabi yoziladi.
S0(t0) va S1(t1) to’plamlar, odatda
S0(t0)={y:y∈G0(t0),hi(y,t0)≤0,i=1,...,m0,hi(y,t0)=0,i=m0+1,...,ξ0}, (11)
S1(t1)={x:x∈G(t),gi(x,t1)≤0,i=1,...,m1,gi(x,t1)=0,i=m2+1,...,ξ1},
(12)
shaklda beriladi, bu yerda
hi(y,t0) , gi(x,t1) ma’lum funksiyalar.
θ0⊂R1,θ1⊂R1 to’plamlar berilgan, inf θ0<sup θ1 bo’lsin.
t0∈θ0,t1∈θ1, u=u(t)
-joyiz boshqaruv, x(t,x0,u) unga mos joyiz trayektoriya
bo’lsin. Har bir shunday joyiz
(x0,u,x,t0,t1) da aniqlangan
J(x0,u,x,t0,t1)=∫
t0
t1
f0(x(t),u(t)t)dt +g0(x0,x(t1),t0,t1) (13)
funksionalni qaraymiz.
J¿= inf J(x0,u,x,t0,t1)](https://docx.uz/documents/c37dadf7-4adf-4b85-9f6f-94dcc0f59e2a/page_5.png?v=1)
![u=u(t) joyiz boshqaruv, x(t)=x(t,u,x 0
) unga mos joyiz trayektoriya, [t
0 ,t
1 ]
oraliqda aniqlangan bo’lsin. (u(t),x(t)),(t
0 ≤t≤t
1 ) juftlikka mos ravishdaψ=ψ(t)=(ψ1(t),...,ψn(t)),
o’zgaruvchilarga nisbatan
˙ψ1(t)=
∂H (x,u,t,ψ(t),a0)
∂x1
|u=u(t)
x=x(t)=
¿a0f0xi(x(t),u(t),t)−∑
j=1
n
ψj(t)fjxi(x(t),u(t),t),(t0¿t≤t1) (19)
sistemani qaraymiz. Unga qo’shma sistema deyiladi. (19) qo’shma sistemani
vektor shaklda
˙ψ(t)=− Hx(x(t),u(t),t,ψ(t),a0),t0≤t≤t1 (20)
kabi yozish mumkin, bu yerda
H x=(Hx1,...,H xn)
Agar (6) sistema x,u ga nisbatan chiziqli, ya’ni
˙x(t)= A(t)x(t)+B(t)u(t)+f(t),(t0≤t≤t1)
ko’rinishda bo’lsa,
H (x,u,t,ψ,a0)=− a0f0(x,u,t)+ψ'(A(t)+B(t)u+ f(t)) va (20)
qo’shma sistema
˙ψ(t)=a0f0x(x(t),u(t),t)−A'(t)ψ(t),(t0≤t≤t1)
kabi bo’ladi, bu yerda ‘- transponirlash belgisi.
(20) qo’shma sistema –chiziqli differensial tenglamalar sistemasidan iborat
bo’lib, u
ψ(t0)=ψ0 boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimga ega.
1-teorema. Agar
(x(t),u(t)),t0≤t≤t1 (16)-(17) masalaning yechimi bo’lsa,
shunday
a0,a1,...,an sonlar va ψ(t)=(ψ1(t),...,ψn(t)),t0≤t≤t1 vektor-funksiya
mavjud bo’ladiki, quyidagilar bajariladi:
1)
a=(a0a1,...,an)≠0,a0≥0,...,ak≥0;
2)
ψ(t) funksiya - (20) qo’shma sistemaning (x(t),u(t)) ga mos keluvchi
yechimidan iborat;
3) u(t) optimal boshqarishning barcha t
[t
0 ,t
1 ] uzluksizlik nuqtalarida
H(x(t),u,t,ψ(t),a0)
funksiya u=(u
1 ,…,u
m ) o’zgaruvchi bo’yicha V to’plamda aniq
yuqori chegarasiga u=u(t) bo’lganda erishadi, ya’ni](https://docx.uz/documents/c37dadf7-4adf-4b85-9f6f-94dcc0f59e2a/page_8.png?v=1)
![‖a‖2=∑i=0
S
ai2=1 (36)
deb olish mumkin. Agar a
0 >0 ekanligi ma’lum bo’lsa, (36) shart o’rniga a
0 =1 deb
olish ham mumkin. (22),(23),(34),(36) tenglamalar sistemasini yechganda
a0≥0,a1≥0,...,ak≥0, gi(x(t1),t0,t1)≤ 0, i=1,...,k (37)
shartlarning bajarilishi hisobga olinadi. Shunday qilib, maksimum prinsipi asosida
(32) maksimum shartidan, (33) tenglamalar sistemasi va (22),(23),(34),(36),(37)
shartlardan iborat maxsus chegaraviy masalaga ega bo’ldik. Bu masalaga
maksimum prinsipining chegaraviy masalasi deyiladi.
Agar x(t) ,
ψ(t),a1,a2,...,as, ,- maksimum prinsipining chegaraviy masalasi
yechimidan iborat bo’lsa, ularni (31) ga qo’yib,
u(t)=u(x(t),t,ψ(t),a0) t0≤t≤t1 (38)
funksiyani hosil qilamiz. Agar bu funksiya [t
0 ,t
1 ] oraliqda bo’lakli-uzluksiz bo’lsa,
u optimalikka shubhali boshqarish bo’ladi. Agar optimal boshqarish masalasining
yechimi mavjud va maksimum prinsipi chegaraviy masalasi yagona yechimga ega
bo’lsa, (38) bo’lakli-uzluksiz funksiya optimal boshqaruvdan iborat bo’ladi.
1-misol.
J(u)=∫
t0
t1
(u2(t)+x2(t))dt → inf
˙x(t)=u(t),0≤t≤t1¿}¿¿¿
Bu yerda t
1 >0 vaqt momenti berilgan, boshqar uv lar to’plami V = R 1
.Bu masala
sodda bo’lib, uning yechimi
(u(t)≡0,x(t)≡0),(0≤t≤t1) juftlikdan iborat. Shu
yechimni maksimum prinsipi (1-teorema) dan foydalanib topish mumkin.
Haqiqatan ham, Gamilton-Pontryagin funksiyasi
H (x,u,t,ψ,a0)=− a0(u2+x2)+ψu
yordamida qo’shma sistemani yozamiz:
˙ψ(t)=− Hx=2a0x
Agar a
0 =0 bo’lsa, H =ψ u funksiya V = R 1
to’plamda yuqori chegarasiga
faqat ψ=0 bo’lganda erishadi. Ammo a
0 = ψ =0 shart maksimum prinsipiga
ziddir. Demak, a
0 >0 . U vaqtda a
0 =1 deb hisoblash mumkin. Bu holda](https://docx.uz/documents/c37dadf7-4adf-4b85-9f6f-94dcc0f59e2a/page_12.png?v=1)
Optimal boshqaruv masalasining qo‘yilishi. Pontryaginning maksimum prinsipi