Panjaradagi bir zarrachali sistema energiyasi taqsimotining sonli xarakteristikalari
![Modomiki, ∆k
k0
≪1 deb faraz qilinar ekan, unda bu taxmindan foydalanib integralni
soddalashtirishga o‘tiladi. Ushbu maqsadda ω
quyidagicha yoziladi:
ω = ħ k 2
2 m = ħ
2 m [ k
0 +
( k − k
0 ) ] 2
= ħ k 2
2 m + ħ k
0 ( k − k
0 )
m + ħ ( k − k
0 ) 2
2 m = ω
0 + ħ k
0 ( k − k
0 )
m + ħ ( k − k
0 ) 2
2 m
ω
ning bu ko‘rinishi uning
k atrofida yoyilgan Teylor qatoridir :
ω = ω
0
( k ) + ¿
ω0(k)=ω0 , ¿
, ( ∂ 2
ω
∂ k 2 )
k = k
0 = ħ
m . (2.1.13)
Quyidagiga e’tibor beraylik: biz ko‘rayotgan qatorda (
k−k0 ) ning ikkinchi
darajali hadi uning birinchi darajali hadiga nisbatan ancha kichik ekan:
|
∂ 2
ω
∂ k 2
( k − k
0 ) 2
∂ ω
∂ k
( k − k
0 )| = |
k− k0
2k0|=|
∆k
k0|≪1 .
Shuning uchun, ω
ni ifodalashda (2.1.13) formuladagi dastlabki ikkita had bilan
cheklansak bo‘ladi va quyidagi chiziqli ifoda olinadi:
ω=ω0(k)+¿ ( ∂ ω
∂ k ¿ ( k − k
0 ) . (2.1.14)
Agar (
k−k0 )=ξ kabi yangi o‘zgaruvchi kiritsak, unda ψ¿ ) quyidagi ko‘rinishda
bo‘ladi:
ψ(x,t)=C(k0)ei(ω0t−k0x)∫−∆k
∆k
ei(∂ω∂kt−x)ξdξ .
Dastlab ξ bo‘yicha oddiy integrallash natijasida
ψ ( x , t ) = 2 C ¿
) sin
{ [( ∂ ω
∂ k ) t − x ] ∆ k }
(
∂ ω
∂ k ) t − x e i ( ω
0 t − k
0 x )
= C ( x , t ) e i ( ω
0 t − k
0 x )
(2.1.15)
32](https://docx.uz/documents/04f8b8e4-bc10-4c24-9918-01d81d1e1718/page_32.png?v=1)
![ni olinadi. Sinus funksiya argumentidagi ∆k kichik bo‘lganligi sababli, c ( x , t )
funksiyani exp[ i ¿
] funksiyaga nisbatan sekin o‘zgaruvchi funksiya deb aytish
mumkin. Shuning uchun ?????? (x,t) ni
ω0 chastotali va k0 to‘lqin soniga teng bo‘lgan
deyarli monoxromatik to‘lqin deb qarash mumkin. Bunda c ( x , t )
to‘lqin
amplitudasi. Uni batafsil o‘rganib chiqaylik. c ( x , t )
quyidagi ko‘rinishga ega.
c(x,t)= 2∆ k sinα (x,t)
α(x,t) ,
bunda
α(x,t)=[x−(
∂ω
∂k)t]∆k .
Matemetika kursidan ma’lumki sin
α / α funksiya α = 0
nuqtada maksimum
qiymatga erishadi,
α = ± π da nolgacha tushadi, so‘ngra esa tez so‘nuvchi tebranma
funksiyaga aylanadi. Amplituda c ( x , t )
maksimumga erishgan koordinata x
0 ni
aniqlaylik. Bu nuqtani to‘lqin paketning markazi deb olaylik. To‘lqin paketning
markazi yuqorida aytilganlarga binoan quyidagi shartdan topilishi kerak:
α
( x , t ) = [ x − ( ∂ ω
∂ k ) t ] ∆ k = 0
.
Demak, x
0 =
( ∂ ω
∂ k ) t
kelib chiqadi. Bundan ko‘rinib turibdiki, paketning markazi
x
o‘qi bo‘ylab doimiy tezlik bilan harakatlanadi. Bu tezlik gruppaviy tezlik deb
ataladi va
v
gr =
( ∂ ω
∂ k )
0 (2.1.16)
formula orqali aniqlanadi. (2.1.11) ga asoslanib v
gr hisoblasak ,
v
gr = ħ k
m
0 ,
hamda p = ħ k
,
p= m0v ni eslasak, v -zarracha tezligi
33](https://docx.uz/documents/04f8b8e4-bc10-4c24-9918-01d81d1e1718/page_33.png?v=1)
![nazariyasida) muqarrar hodisaning ehtimolligini birga teng deb hisoblash
kelishilgan. Demak, bu kelishuvga binoan
∫| ψ ( r , t ) | 2
dV = 1
. (2.2.4)
Ushbu shart normallash sharti deb ataladi va bu shartni qanoatlantiruvchi
ψ
funksiya esa normallashgan funksiya hisoblanadi. Odatda, fizik jihatdan real
bo‘lgan sharoitlarda zarrachaning harakati doimo cheklangan sohada sodir bo‘ladi,
shuning uchun (2.2.4) integral yaqinlashuvchidir, bu vaziyatda esa normallash
shartini doimo amalga oshirish mumkin. Ammo juda ko‘p hollarda
ideallashtirilgan funksiyalardan foydalanish qulayroqdir, lekin ular uchun (2.2.3)
dagi integral uzoqlashadi va natijada normallash sharti bajarilmaydi. Misol qilib
de-Broyl yassi to‘lqinni olish mumkin:
ψ
( r , t ) = Aexp [ i
ħ ( pr − Et ) ]
.
Bu holda integralning uzoqlashishi aniqdir;
∫
| ψ ( r , t ) | 2
dV = | A | 2
∫ dV = ∞
.
Shuni aytish kerakki, de-Broyling yassi to‘lqini ideal aniq impulsga ega bo‘lgan
zarrachaga xos. Haqiqatda esa zarracha impulsi kichkina bo‘lsa ham noaniqlikka
ega. Lekin shunga qaramay, de-Broyl to‘lqini fazoda cheklanadi, ya’ni to‘lqin
paketiga aylanadi va integral yaqinlashadi.
2.3-§. Superpozitsiya prinsipi
Endi kvant nazariyasini tuzishda muhim ahamiyatga ega bo‘lgan bir masalani
hal qilishga o‘taylik. Optika kursidan ma’lumki, difraksiya va interferensiya
hodisalari to‘lqinlarning qo‘shilishi, ya’ni ularning superpozitsiyasi bilan
bog‘liqdir. Matematik jihatdan to‘lqinlarning qo‘shila olishligi bevosita Maksvell
tenglamalarining chiziqliligidan kelib chiqadi. Ma’lumki, tenglamaning chiziqliligi
quyidagi ma’noni anglatadi: agar tenglamaning qandaydir yechimlari mavjud
bo‘lsa, ularning istalgan chiziqli kombinatsiyasi ham shu tenglamaning yechimi
37](https://docx.uz/documents/04f8b8e4-bc10-4c24-9918-01d81d1e1718/page_37.png?v=1)
![Fizik to‘lqinlar o‘zi tarqalayotgan muhitning holatini (akustik to‘lqinlar,
suvdagi to‘lqinlar va hokazo), yoki qandaydir maydon holatini (elektromagnit
to‘lqinlar, gravitatsion to‘lqinlar) belgilaydi. Xo‘sh, de-Broyl to‘lqinlari esa
nimaning holatini belgilar ekan? Modomiki, de-Broyl to‘lqini ayrim zarrachaga
xos ekan, u faqat shu zarrachaning holatini aniqlashga munosibdir. Masalan, de-
Broyl yassi to‘lqini
Aexp [ i ( kr − ωt ) ]
aniq p= ħk impuis va E = ħ ω
energiyaga ega bo‘lgan zarracha holatiga mosdir.
Zarracha uchun superpozitsiya prinsipini qabul qilinishining o‘zi, zarrachalar holati
haqidagi klassik tushunchamizni o‘zgartirishga majbur qiladi. Masalan,
superpozitsiya prinsipiga asosan, tabiatda har xil energiya va impulsli de-Broyl
yassi to‘lqinlarining yig‘indisidan iborat bo‘lgan de-Broyl to‘lqiniga mos keluvchi
holat amalga oshishi mumkin:
Aexp [
i
ħ(pr − Et )]+Bexp [ i
ħ ( p '
r − E '
t ) ¿
.
Ahamiyat beraylik, zarrachaning bu holati endi aniq impuls va aniq energiyaga
ega emas. Klassik fizikaga asosan bunday bo‘lishi mutlaqo mumkin emas.
Haqiqatan ham, klassik fizikaga binoan zarracha vaqtning har qanday momentida
qandaydir aniq impuls va energiyaga ega. Ammo tajribalar bizni superpozitsiya
prinsipini tan olishni taqozo qilar ekan, u holda zarrachani klassik fizika uchun
yo‘q bo‘lgan bu holatlarini mavjudligini ham qabul qilish lozim. Ushbu
g‘ayritabiiy holni ilgariroq, ya’ni de-Broyl to‘lqinlarining ehtimoliy talqinini
ko‘rgan vaqtda anglash lozim edi. Yana bir marta de-Broyl yassi to‘lqinini diqqat
bilan ko‘rib chiqaylik
ψ
( r , t ) = ¿
Aexp [ i
ħ ( pr − Et ) ¿
.
Ushbu holatda, zarracha aniq impuls va energiyaga ega bo‘lsa ham, biz uning
koordinatalari haqida aniq bir ma’lumotga ega emasmiz. Haqiqatan ham, zarracha
bu holatda fazoning istalgan qismida bir xil topilish ehtimoliga egadir, chunki
39](https://docx.uz/documents/04f8b8e4-bc10-4c24-9918-01d81d1e1718/page_39.png?v=1)
f(n),
bu yerda
χ
A (n) =
{
1,n∈A
0,n∉A.
koordinataning ?????? holatdagi taqsimot funksiyasi F
ψ quyidagiga teng bo‘ladi:
Fψ ( λ ) ¿‖Eλψ‖2=(Eλψ ,Eλψ)=(Eλψ ,ψ)= ∑n∈Z
Eλψ(n)ψ(n)=∑n∈Z
χ¿ψ(n)ψ(n)=∑n≤λ
|ψ(n)|2 .
Xususan bu yerdan ?????? holatda zarrachani A ⊂ Z
to‘plamdan topish ehtimoli
Pψ ( ξ ∈ A) ¿∑n∈A
|ψ(n)|2
ga teng.
Zarracha koordinatasining ixtiyoriy ?????? ∈ ??????
2 (
Z ) holatdagi taqsimoti diskret
bo‘lib, uning taqsimot qonunini quyidagi jadval orqali berish mumkin.
ξ . . . -1 0 1 . . . n . . .
Pψ
. . . |
ψ ( − 1 )| 2 |
ψ ( 0 )| 2 |
ψ ( 1)| 2
. . . |
ψ ( n )| 2
. . .
Erkin harakatlanayotgan zarrachaning energiya operatori
^H quyidagicha aniqlanadi
(
^ H f ) ( n ) = − 1
2 m ( f ( n + 1 ) + f ( n − 1 ) − 2 f ( n ) )
. (3.1.1)
Bu yerda m − ¿
zarrachaning massasi. Energiya operatori
^H ning (3.1.1) tasviriga
koordinat tasvir deyiladi. Bu operator ??????
2 (
Z ) fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi
chiziqli chegaralangan operator bo‘ladi.
49](https://docx.uz/documents/04f8b8e4-bc10-4c24-9918-01d81d1e1718/page_49.png?v=1)
![Endi bu ??????
2 (Z ) fazoda siljishlar gruppasi deb ataluvchi ^U
s , s ∈ Z , unitar
operatorlar oilasini kiritamiz, bu operatorning f
funksiyaga ta’siri
¿
s f)(n)=f(n+s) s ∈
Z .
ko‘rinishida aniqlanadi. Bu operatorlar ko‘paytirishga nisbatan Abel gruppasini
tashkil qiladi. Ixtiyoriy s, t ∈ Z
lar uchun
^U
s ^U t ¿^U t ^U s ¿^U s+t ^ U
s¿
·
¿ ^ U
− s ¿ ( ^ U ¿ ¿ s ) − 1
¿
(3.1.2)
tengliklar o‘rinli. (3.1.2) tenglikdan
^U
s , s ∈ Z
operatorlarning unitar ekanligi kelib
chiqadi. Energiya operatori
^H ni ^U
s operatorlarning chiziqli kombinatsiyasi
ko‘rinishida ham tasvirlash mumkin.
^ H = − 1
2 m ¿
1 + ^U
-1 - 2^U
0 ) (3.1.3)
(3.1.2) va (3.1.3) tengliklardan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.
3.1.1-lemma . Ixtiyoriy s ∈
Z uchun ^U
s ^H ¿^H ^U
s tenglik o‘rinli. Boshqacha
aytganda barcha s ∈
Z lar uchun ^ U
s operator, energiya operatori ^H bilan o‘rin
almashinuvchidir.
(3.1.3) tenglik bilan aniqlangan energiya operatori
^ H
: ??????
2 ( Z ) → ??????
2 ( Z
), o‘z-o‘ziga
qo‘shma chegaralangan operator bo‘ladi.
^H energiya operatorining koordinat
tasviridan impuls tasviriga o‘tish Furye almashtirishi orqali amalga oshiriladi.
F:l
2 ( Z ) → L
2 [− π , π ] (
F ^ f )(p) ¿ 1
√
2 π ∑
n ∈ Z
^ f ( n ) e inp
Murakkab bo‘lmagan hisoblashlar ko‘rsatadiki istalgan s ∈ Z
uchun
(F
^U
s F -1
f)(p) ¿e−isp f(p) ¿ ¿
s f)(p)
tenglik o‘rinli. Energiya operatori H = F
^ H
F -1
ning impuls tasviri L2[−π,π] Hilbert
fazosida quyidagi formula yordamida aniqlanadi:
( H
1 f )( p ) = 1
m ( 1 − cosp ) f ( p ) , f ∈ L
2 [ − π , π ] .
50](https://docx.uz/documents/04f8b8e4-bc10-4c24-9918-01d81d1e1718/page_50.png?v=1)
![Ma’lumki
ψ
0+ ¿( p) = 1√
2 π ¿
{
ψ
n+ ¿ ( p) = 1√
π cos np ¿
, ψn
−¿(p)=1√πsin np¿ }, n ∈ N
sistema
L2[−π,π] fazoda ortonormal bazis tashkil qiladi.
3.1.1-ta’rif .
ψ0
+¿(p)= 1√2π¿ {
ψn
+¿(p)=1√πcos np¿ ,
ψn
−¿(p)=1√πsin np¿ }, n ∈N
bazis vektorlariga mos holatlarni trigonometrik bazis holatlar deb ataymiz.
Ma’lumki, uzluksiz u funksiyaga ko‘paytirish operatorining spektri u
funksiyaning qiymatlar sohasidan iborat bo‘ladi. Shunday ekan
H energiya
operatorining spektri
σ(H ) = [0, 2
m ] kesmadan iborat. Demak, energiyaning qabul
qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlari [0, 2
m ] kesmani tutash to‘ldiradi. Har bir λ ∈
[0, 2
m ] uchun A( λ ) to‘plamni kiritamiz:
A ( λ ) = { p ∈ [ − π , π ] : 1
m ( 1 − cos p ) ≤ λ } = [ − arccos ( 1 − λ m ) , arccos ( 1 − λ m ) ] .
Bu A ( λ )
to‘plamning indikatorini qaraymiz:
χ
A ( λ ) (p) ¿
{ 1 , p ∈ A ( λ )
0 , p ∉ A ( λ ) .
3.1.2-lemma . Energiya operatori H
biri yoyilmasidagi
Eλ spektral proyektorlar
quyidagicha bo‘ladi:
(
Eλf¿(p)=
{
0,λ<0
χA(λ)(p)f(p),0≤λ< 2
m
f(p),λ≥ 2
m
Masalan, 3.1.2-lemmadan energiyaning
ψn+¿¿ bazis holatdagi taqsimot funksiyasi
Fψn+¿¿
uchun quyidagi tenglik o‘rinli:
F
ψn+¿(λ)=
{
0,λ<0 1πarccos (1−λm)+sin(2narccos (1−λm)) 2nπ ,0≤λ<2m
1,λ≥2m
¿
.
51](https://docx.uz/documents/04f8b8e4-bc10-4c24-9918-01d81d1e1718/page_51.png?v=1)
![(3.2.3) ni hisoblashda integrallash jadvalidan foydalansak teorema isbotiga
kelamiz.
3.2.2-teorema . Zarracha energiyasining Sn−¿¿ , n ≥ 2 holatdagi dispersiyasi
D(
hSn−¿¿ ) = 1
n(3
4− 1
n)
ga teng.
3.3-§. Zarracha energiyasining bazis holatdagi sonli
harakteristikalari
Erkin harakatlanayotgan zarrachaning energiya operatori
^ H
2 quyidagicha
aniqlanadi
(
^ H
2 f ) ( n ) = 1
2 m ( f ( n + 1 ) + f ( n − 1 ) )
, f∈l2(Z) (3.3.1)
Bu yerda
m − zarracha massasi. (3.3.1) ifodaga energiya operatori ^ H
2 ning
koordinat tasviri deyiladi va bu operator o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli chegaralangan
operator bo‘ladi. Energiya operatorining koordinat tasviridan impuls tasviriga
o‘tish Furye almashtirishi orqali amalga oshiriladi:
F : l
2 ( Z ) → L
2 [ − π , π ] ( F
^ f ) ( p ) = 1
√
2 π ∑
n ∈ Z
^ f ( n ) e inp
Energiya operatori
H 2= F ^H 2F−1 ning impuls tasviri L2[−π,π] Hilbert fazosida
quyidagi formula yordamida aniqlanadi :
( H
2 f )( p ) = 1
m ( cosp ) f ( p ) , f ∈ L
2 [ − π , π ] .
Ma’lumki ,
ψ0
+¿(p)= 1√2π¿ {
ψn
+¿(p)=1√πcos np¿ ,
ψn
−¿(p)=1√πsin np¿ }, n∈N sistemalar L2[−π,π]
fazoda ortonormal bazis tashkil qiladi. Bu yerda
{ψ0+¿,ψn+¿,ψ¿¿n∈N¿¿¿ bazis vektorlariga mos
holatlar trigonometrik bazis, { ??????
n (p)},n ∈ Z bazis vektorlariga mos holatlar esa
kanonik bazis deb ataladi. Energiya operatori
H 2 ning spektri σ(H 2)=¿ [ − 1
m , 1
m ]
kesmadan iborat . Demak, energiyaning qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlari [
53](https://docx.uz/documents/04f8b8e4-bc10-4c24-9918-01d81d1e1718/page_53.png?v=1)
![−1
m, 1
m ] kesmani tutash to‘ldiradi. Har bir λ ∈ [
−1
m , 1
m ] uchun
A ( λ ) to‘plamni
kiritamiz:
A ( λ ) = { p ∈ [ − π , π ] : 1
m cosp ≤ λ } = [ − arccos λ m ; arccos λ m ] .
Bu A ( λ )
to‘plamning indikatorini qaraymiz:
χ
A ( λ ) (p) =
{
1,p∈A(λ)
0,p∉A(λ).
3.3.1-lemma . Energiya operatori
H 2 biri yoyilmasidagi Eλ spektral proyektorlar
quyidagicha bo‘ladi :
( E
λ f ¿
( p ) =
{ 0 , λ < − 1
m
χ
A
( λ)( p ) f ( p ) , − 1
m ≤ λ < 1
m
f
( p ) , λ ≥ 1
m
a
− ixtiyoriy kuzatiluvchan miqdor, A
unga mos o‘z-o‘ziga qo‘shma operator
bo‘lib,
D(A) uning aniqlanish sohasi. Kuzatiluvchan a miqdorning ?????? ∈ Ω holatda
o‘rta qiymati, boshqacha aytganda matematik kutilmasini
aψ orqali belgilaymiz.
O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorning spektral yoyilmasi haqidagi teoremaga ko‘ra
( A
?????? , ?????? ) ¿
∫
− ∞∞
λ d ( E
λ ψ , ψ )
o‘rinli , bu yerda
Eλ − A operator birining yoyilmasidan
olingan proyektor, E
λ 2
¿ E
λ (proyektorning xossasi) va
Eλ operatorlar o‘z-o‘ziga
qo‘shma bo‘lganligi uchun
(
Eλ ?????? , ?????? ) = ( E
λ 2
?????? , ?????? ) = ( E
λ ?????? , E
λ ?????? ) ¿‖Eλψ‖2
tengliklar bajariladi, shuning uchun
(A ?????? , ?????? )
¿∫−∞
∞
λd(Eλψ,Eλψ) =
∫
− ∞∞
λ d ( E
λ ψ , ψ ) =
∫
− ∞∞
λ d F
ψ ( λ )
54](https://docx.uz/documents/04f8b8e4-bc10-4c24-9918-01d81d1e1718/page_54.png?v=1)
![kelib chiqadi. Ehtimollar nazariyasi kursidan ma’lumki ∫−∞
∞
λd¿¿ integralning
qiymati taqsimot funksiyasi
Fψ(λ) bo‘lgan tasodifiy miqdorning matematik
kutilmasiga teng. Bu matematik kutilmani biz
aψ bilan belgilaymiz. f ( λ )
− haqiqiy
qiymatli, o‘lchovli va
d ( Eλψ ,ψ ) o‘lchov bo‘yicha deyarli chekli, masalan uzluksiz
funksiya bo‘lsin. U holda
f(A) o‘z-o‘ziga qo‘shma operator aniqlangan.
Kuzatiluvchan
a miqdor λ qiymatni qabul qilganda, f ( λ )
qiymatni qabul qiladigan
kuzatiluvchan miqdorni f ( a )
orqali belgilaymiz.
3.3.2-lemma . Agar ψ ∈ D ( f ( A ) )
bo‘lsa, u holda f ( a )
kuzatiluvchan miqdor ??????
holatda
[ f ( a ) ]
ψ = ( f ( A ) ψ , ψ )
o‘rta qiymatga ega.
Haqiqatan ham
Fψ(λ) − a kuzatiluvchan miqdorning ?????? holatdagi taqsimot
funksiyasi bo‘lsa, o‘rta qiymat formulasiga ko‘ra
∫−∞
∞
f(λ)dF ψ(λ)= ¿∫−∞
∞
f(λ)d(Eλψ ,ψ)=(f(A)ψ ,ψ)¿ (3.3.2)
tenglik o‘rinli. 3.3.2-lemmaga ko‘ra aytish mumkinki f ( a )
kuzatiluvchan miqdorga
mos keluvchi o‘z-o‘ziga qo‘shma operator
f(A) bilan ustma-ust tushadi. Faraz
qilaylik f ( λ ) = λ k
bo‘lsin, u holda
f(A)= Ak bo‘lib,
Akψ= ∫−∞
∞
λkdEλψ
bo‘ladi, 3.3.2 formulaga ko‘ra
( A k
ψ , ψ ) =
∫
− ∞∞
λ k
d ( E ¿ ¿ λ ψ , ψ ) =
∫
− ∞∞
λ k
d F
ψ λ ¿
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Ehtimollar nazariyasi kursidan ma’lumki bu ifoda
aψ tasodiy miqdorning k − ¿
tartibli boshlang‘ich momentidir. Demak quyidagi tasdiq o‘rinli.
55](https://docx.uz/documents/04f8b8e4-bc10-4c24-9918-01d81d1e1718/page_55.png?v=1)
![sistemada eng muhim fizik miqdorlardan biri bu energiya hisoblanadi. Bizga ikki
o‘lchamli panjara Z2 da erkin harakatlanayotgan kvant tipidagi zarrachaga mos
sistema berilgan bo‘lsin. Zarracha energiyasining qiymati tasodifiy miqdor bo‘lib,
bu tasodifiy miqdorni h
orqali, unga mos o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorni esa H
bilan belgilaymiz. Bir zarrachali sistemaga mos energiya operatori ??????
2 ( Z 2
) Hilbert
fazosida quyidagicha aniqlanadi:
^ H
0 = − 1
2 m ∆
1 − 1
2 m ∆
2
bu yerda m
zarrachaning massasi, ∆
1 = ∆ ⊗ I, va ∆
2 = I ⊗ ∆ bo‘lib, I − ??????
2 (
Z2 ) dagi
birlik operator, ∆ esa panjaradagi standart Laplas operatori, ya’ni
(∆
^ ψ ¿ ( x ) =
∑
j = 12
( ^ ψ( x + e
j ) + ^ ψ( x − e
j ) − 2 ^ ψ( x ) )
^ ψ ∈
??????
2 ( Z2 )
bu yerda e
1 = ( 1 , 0 ) , e
2 = ( 0 , 1 )
lar
Z2 panjaradagi birlik vektorlar. Energiya
operatorining koordinat tasviridan impuls tasviriga o‘tish Furye almashtirishi
orqali amalga oshiriladi:
F : ??????
2 ( Z 2
) → L2(T2),T=[−π,π] , ( F ^f¿(p)= 1
2π ∑n∈Z2
^f(n)ei(n1p1+n2p2)
H
energiya operatorining impuls tasviri Hilbert fazosi
L2(T2), da quyidagi formula
yordamida aniqlanadi:
(Hf )(p)= 1
m (2−cos p1−cos p2)f(p),f∈L2(T2)
Ma’lumki, φ
0 ( p ) = 1
2 π , φ
n ( p ) = 1
2 π e ¿
( p
1 + p
2 )
¿ , n ∈ Z
vektorlar L
2 ( T 2
)
fazoda
ortonormal sistema tashkil qiladi. φ
n holatlarning dastlabki 2 n + 1
tasining
yig‘indisidan tashkil topgan quyidagi holatlar ketma-ketligini qaraymiz:
Sn(p)= φ−n(p)+… +φ0(p)… +φn(p)
√2n+1
n ∈ Z
+ .
Istalgan
n∈Z+¿¿ butun son uchun ‖ S
n ‖ = 1
tenglikni bevosita tekshirib ko‘rish
mumkin. a
kuzatiluvchan miqdorning ?????? holatdagi o‘rta qiymati
aψ va dispersiyasi
D ¿¿
) uchun quyidagi tengliklar o‘rinli
58](https://docx.uz/documents/04f8b8e4-bc10-4c24-9918-01d81d1e1718/page_58.png?v=1)
Panjaradagi bir zarrachali sistema energiyasi taqsimotining sonli xarakteristikalari