Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 140.0KB
Покупки 0
Дата загрузки 07 Ноябрь 2026
Расширение docx
Раздел Дипломные работы
Предмет Педагогика

Продавец

Bohodir Jalolov

Panjaradagi ikki bozonli sistemaga mos schӧdinger operatorining xos qiymatlari

Купить
PANJARADAGI IKKI BOZONLI SISTEMAGA MOS SCH Ӧ DINGER OPERATORINING XOS QIYMATLARI MUNDARIJA Kirish………………………………………………...……………… 3 1-BOB Funksional analizning ba’zi muhim elementlari ……………..... 1.1 Evklid fazolari ………….…….…………………… 1.2 Hilbert fazolari …………………….…………………………………. 1.3 Hilbert fazosida chiziqli operatorlar …………………………………. 1.4 Teskari va Qo‘shma operatorlar……………………..…………… 1.5 O‘z - o‘ziga qo‘shma operator xossalari …………………………... 1.6 Musbat va Kompakt operatorlar ……………………………............. 1.7 Hilbert fazosida aniqlangan operator spektri …………………… 1.8 Unitar ekvivalent operatorlar…………..………………………… 2-BOB Panjaradagi ikki zarrachali sistemaga mos diskret Schr ¨ O dinger operatori ……… …………….............................................…..……... 2 .1 Koordina tasviri va Impuls tasviri................................................. 2 .2 Asosiy natijalar bayoni va isboti.…………………………………… Xulosa……………………………………………………………….. Foydalanilgan adabiyotlar ………………………………….……… Kirish Masalaning qo‘yilishi. Bir o‘lchamli panjara Z da vμ , μϵR potensial yordamida tasvirlashuvchi ikkita bir xil bozonlar sistemasiga mos ^H μ(k)= ^H 0(k)+^Vμ Schr ӧ dinger operatorining k = 0 ∈ T uchun σess(^H ¿¿μ)(0)¿ muhim spektridan tashqaridagi xos qiymatlarining aniq sonini va joylashgan o’rnini ta’sir energiyasi μ ϵ R parametrga bog’liq ravishda topishga doir teoremalarni isbotlash. Mavzuning dolzarbligi. Bir va ikki zarrachali diskret Schr ӧ dinger operatorlarining spektral xossalari keyingi yillarda faol o’rganilmoqda (masalan [32-44] larni qaraymiz) Panjaradagi Schrödinger operatorlari uchun xos qiymatlarning mavjudligi va xos qiymatlar o’rnining kontakt va qo’shni tugunlarda juft-jufti bilan o’zaro ta’sirlashuvchi potentsialga bog’liqligi [33,41,44] da keltirilgan. d≥1 o’lchamli panjarada juft-jufti bilan qisqa masofada tasirlashuvchi ixtiyoriy ikki zarrachali sistemaga mos ikki zarrachali Schr ӧ dinger operatori uchun xos qiymatning mavjudlik shartlari dispersion funksiyalarning keng sinfi uchun [5,42,43] da ko’rsatilgan. Ishning maqsad va vazifalari. Bitiruv malakaviy ishning asosiy maqsadi Bir o‘lchamli panjara Z da vμ , μ ϵ R potensial yordamida tasvirlashuvchi ikkita bir xil bozonlar sistemasiga mos ^H μ(k)= ^H 0(k)+^Vμ Schr ӧ dinger operatorining k = 0 ∈ T uchun σess(^H ¿¿μ)(0)¿ muhim spektridan tashqaridagi xos qiymatlarining aniq sonini va joylashgan o’rnini ta’sir energiyasi μϵR parametrga bog’liq ravishda topish. Ilmiy yangiligi . Bir o‘lchamli panjara Z da vμ , μϵR potensial yordamida tasvirlashuvchi ikkita bir xil bozonlar sistemasiga mos ^ H μ ( k ) = ^ H 0 ( k ) + ^ V μ Schr ӧ dinger operatorining k=0∈T uchun σ ess ( ^ H ¿ ¿ μ ) ( 0 ) ¿ muhim spektridan tashqaridagi xos qiymatlarining aniq sonini va joylashgan o’rnini ta’sir energiyasi μϵR parametrga bog’liq ravishda topishga doir teoremalar isbotlangan. Tatqiqot usullari. Matematika fizika va funksional analiz usullaridan foydalanildi. Mavzuning o‘rganilish darajasi. Atom va molekulyar hamda qattiq jismlar fizikasi, kvant maydonlar nazariyasining asosiy masalalari Shredinger operatorlarini o‘rganishga qaratilgan. Bu sohada olingan natijalar to‘g‘risida ko‘plab ma’lumotlar matematik fizikaning “ensiklopediyasi” – M.Rid va B.Saymonning to‘rt tomli kitobida keltirilgan. Panjaradagi zarrachalar sistemasiga mos Schr ӧ dinger operatorlari o‘tgan asrning to‘qsoninchi yillarida D.S.Mattis, A.I.Mogilner tomonidan qaralib boshlandi va unga oid tadqiqotlar jadal rivojlandi. Panjaradagi Schr ӧ dinger operatorlarini matematik ma’noda tadqiq etishda uzluksiz Schr ӧ dinger operatorlaridagi kabi muammolar uchraydi. Ya’ni, dastlab bir, ikki zarrachali va hokazo ko‘p zarrachali operatorlarni o‘rganish talab etiladi. Ma’lumki, ikki zarrachali Schr ӧ dinger operatorlarida o‘zaro ta’sir konstantasi kichrayishi natijasida bog‘langan holat energiyasi uzluksiz spektr chekkasiga yaqinlashadi va ta’sir konstantasining chekli qiymatida chegara bilan ustma-ust tushadi. Bu bo‘sag‘aviy qiymatga bog‘langan holat yoki virtual holat mos kelishini aniqlash masalasi bilan Dj.Raux, B. Saymon, M. Klauz va S.N.Laqayevlar shug‘ullangan. Ishning tuzilishi. Bitiruv malakaviy ishiga kirish, ikkita bob, xulosa va adabiyotlar ro’yxatidan tashkil topgan. Kirish qismida masalaning qo’yilishi, qo‘yilgan masalaning dolzarbligi va olingan natijalarning ilmiy yangiligi asoslangan. Birinchi bobda asosiy natijalarni olishda zarur bo’lgan tushuncha, ta’rif va teoremalar, jumladan chiziqli fazo, ichki ko‘paytmali fazo, Hilbert fazolari hamda, Hilbert fazolarida aniqlangan chiziqli, chegaralangan, o’z-o’ziga qo’shma operatorlarning ba’zi xossalari keltirilgan. Ikkinchi bobda bir o‘lchamli panjara Z da vμ , μϵR potensial yordamida tasvirlashuvchi ikkita bir xil bozonlar sistemasiga mos diskret Schr ӧ dinger operatorining koordinata va impuls ko’rinishlari keltirilgan, hamda uning l 2 , e ( Z ) Hilbert fazosida chiziqli ,chegaralangan, o’z-o’ziga qo’shma operator ekanligi va ^H μ(0) operatorning muhim spektri, ^H μ(0) operatorga mos Fredgolm determinanti va muhim spektridan tashqaridagi xos qiymatlarining aniq soni va joylashgan o’rnini ta’sir energiyasi μϵ R parametrga bog’liq ravishda topishga doir teoremalar isbotlangan . I BOB. Funksional analizning ba’zi muhim elementlari Bu bobda ichki ko‘paytmali vektor fazolar , to‘la normallangan fazolar , Hilbert fazosida aniqlangan chiziqli chegaralangan operatorlar ta’rifi va xossalari , Hilbert fazosida o‘ziga – o‘zi qo‘shma va teskari operator tushunchsi , o‘z – o‘ziga qo‘shma operatorlarning xossalari , kompakt operator ta’rifi va xossalari , Hilbert fazosida aniqlangan operatorlarning spektri o‘rganilgan va ularga misollar qurilgan. 1.1 Evklid fazolari Faraz qilamiz, V to‘plamda elementlarni qo‘shish va kompleks (haqiqiy) songa ko‘paytirish amallari kiritilgan bo‘lsin. Agar V to‘plamda kiritilgan qo‘shish amali uchun ushbu • Yopiqlik: ∀ x,y∈V uchun, x+y∈V , • Kommutativlik: ∀ x,y∈V uchun, x + y = y + x , • Assotsiativlik: ∀ x,y,z∈V uchun, ( x + y ) + z = x + ( y + z ) , • Neytral yoki nol element mavjudligi: ∃ Θ ∈ V : ∀ x ∈ V , x + Θ = Θ + x = x , • Qarama-qarshi element mavjudligi: ∀ x∈V uchun ∃ x∈V:x+(− x)=Θ , va ko‘paytirish amali uchun • Yopiqlik: ∀ α ∈ C ( R ) va ∀ x∈V uchun αx ∈V , • Assotsiativlik: ∀ α,β∈C (R) va ∀ x ∈ V uchun α ( βx ) = ( αβ ) x , • 1x= x,∀ x∈V , • ( α + β ) x = αx + βx , ∀ α , β ∈ C ( R ) va ∀ x ∈ V , • α(x+y)= αx +αy ,∀ α∈C(R) va ∀ x,y∈V munosabatlar bajarilsa, V to‘plam vektor fazo yoki chiziqli fazo deb ataladi. Sonlar maydonining kompleks C yoki R haqiqiy bo‘lishiga qarab, vektor fazolar mos ravishda kompleks yoki haqiqiy vektor fazolar(chiziqli fazo) deb yuritiladi. Misol 1.1. Z1−¿ butun sonlar to‘plami yordamida Zd= ya'∋ ¿ dmarta Z1xZ1x…….Z1 ⏟ ¿ , uning d marta o‘z-o‘ziga Dekart ko‘paytmasini aniqlaymiz. Bu to‘plamga d o‘lchamli butun qiymatli panjara deyiladi. Demak : Z d = { s = ( s 1 , s 2 … … s d ) : s k ∈ Z 1 , k = 1,2 … .. d } . Z d panjarada s elementning moduli deb |s|=∑k=1 d |sk| songa aytiladi. Quyidagi shartni qanoatlantiruvchi barcha f:Zd→ C funksiyalar fazosini qaraymiz: ∑ s ∈ d ∨ f ( s ) ¿ d < ∞ , Ushbu fazoda qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarini quyidagicha kiritamiz: 1. ∀ f,g uchun ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) ; 2. ∀ λ∈C va f uchun ( λf ) ( x ) = λf ( x ) . Nol element Θ ( x ) ≡ 0. f ( ⋅ ) ga qarama-qarshi element − f ( ⋅ ) kabi aniqlanadi. Hosil bo‘lgan fazo lp(Zd) kabi belgilanadi va chiziqli fazo bo‘ladi. Darhaqiqat, agar f ∈ l p ¿ ) bo‘lsa, yaqinlashuvchi qatorning xossalariga binoan ixtiyoriy λ∈C uchun λf ∈lp(Zd) bo‘ladi. ∀ f , g ∈ l p ( Z d ) uchun f+g∈lp(Zd) ekanligi Minkovskiy tengsizligiga asoslanadi. Demak lp(Zd) fazo qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan yopiq. ▲ Misol 1.2. Faraz qilamiz, T1=¿ bo‘lsin. T1 da qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarini haqiqiy sonlarni 2π modul bo‘yicha qo‘shish va songa ko‘paytirish sifatida kiritamiz, masalan π 2+π= 3π 2 = −π 2 (mod 2π), 6 ⋅ π 5 = 2 π − 4 π 5 = − 4 π 5 ( mod 2 π ) . Ushbu to‘plam bir o‘lchamli tor deb ataladi. Td bilan d o‘lchamli tor, ya’ni : T d = . d martaT 1 x T 1 x … … . T 1 ⏟ ni belgilaymiz . d o‘lchamli tor Td da aniqlangan, Har ma’nosida o‘lchovga ega va ∫ Td ∨ f(q)¿pdq <∞ shartni qanoatlantiruvchi barcha f:Td→ C funksiyalarning chiziqli fazosini qaraymiz, bunda integralda o‘lchov har ma’nosida olinadi . Elementlarni qo‘shish va songa ko‘paytirish odatdagi funksiyalarni qo‘shish va songa ko‘paytirish kabi bo‘ladi. Hosil bo‘lgan fazo L p ( T d ) kabi belgilanadi. Demak, bu fazoning elementlari R d da aniqlangan va har bir o‘zgaruvchisi bo‘yicha 2π davrga ega bo‘lgan funksiyalardir. Bu yerda ham ushbu fazo qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan yopiq: agar f∈Td bo‘lsa, integralning xossalariga ko‘ra ixtiyoriy ∀ λ∈C uchun λf ∈ L p ( T d ) bo‘ladi. ∀ f , g ∈ L p ( T d ) uchun f + g ∈ L p ( T d ) ekanligi esa Minkovskiyning integral tengsizligidan kelib chiqadi. Nol element Θ(x)≡0 kabi , f(⋅) ga qarama- qarshi element − f ( ⋅ ) kabi aniqlanadi. Demak, L p ¿ ham chiziqli fazo bo‘ladi. V chiziqli fazo bo‘lsin. Agar p:V → C akslantirish 1. p(x)≥0,∀ x∈V va p(x)=0⟷ x=0 2. p(αx )=|α|p(x),∀ x∈V va ∀ α∈C 3 . p ( x + y ) ≤ p ( x ) + p ( y ) , ∀ x , y ∈ V munosabatlarni qanoatlantirsa, unga V fazoda aniqlangan norma deyiladi. Norma aniqlangan fazolar normalangan fazolar deyiladi. Bitta chiziqli fazo normaning aniqlanishiga ko‘ra bir necha xil normalangan fazolarga aylantirilishi mumkin. Odatda norma ∥⋅∥ kabi belgilanadi. Misol 1.3 l∞∞¿ fazolarda normani ∥ f∥ = ¿ f ¿ ¿ funksional yordamida kiritish mumkin. Misol 1.4. lp(Zd) fazoda norma ∥ f∥p= p √∑x∈Z2 ∨ f(x)¿p kabi kiritiladi. Misol 1.5. Lp(Td),p>0 fazoda normani quyidagicha kiritish mumkin: ∥ f ∥ p = p √ ∫ T d ∨ f ( q ) ¿ p dq V chiziqli fazo bo‘lsin. Ta'rif 1.1. Agar (⋅,⋅):V ×V → C funksional ∀ x , y , z ∈ V va ∀ α∈C uchun ushbu munosabatlarni qanoatlantirsa: • ( x , x ) ≥ 0 , ( x , x ) = 0 ⟷ x = 0 ; • (x+y,z)=(x,z)+(y,z) ; •(αx ,y)=α(x,y) ; • (x,y)=(y,x) , u holda V vektor fazo ichki(skalyar) ko‘paytmali fazo deyiladi. (⋅,⋅) funksional esa ichki ko‘paytma yoki skalyar ko‘paytma deyiladi. Misol 1.6. R n da (x,y)=∑k=1 n xkyk funksional ichki ko‘paytmani aniqlaydi. Misol 1.7. C n da ( x , y ) = ∑ k = 1n x k y k funksional ichki ko‘paytmani aniqlaydi. Misol 1.8. l 2 ( Z d ) da ichki ko‘paytma quyidagicha kiritiladi: ( f , g ) = ∑ s ∈ Z 2 f ( s ) g ( s ) . Misol 1.9. L2(Td) da ichki ko‘paytma quyidagicha kiritiladi: ( f , g ) = ∫ T d f ( p ) g ( p ) dp . Izoh 1.1. Agar Td da Har o‘lchovidan boshqa biror sanoqli-additiv μ o‘lchov kiritilgan bo‘lsa, hosil bo‘lgan fazo L 2 ( T d , d μ ) kabi belgilanadi. Ichki ko‘paytma kiritilgan fazolarda x va y elementlar uchun ( x , y ) = 0 tenglik bajarilsa, ular ortogonal elementlar deyiladi. Agar V ichki ko‘paytmali fazoda {xα}⊂V vektorlar sistemasi (xα,xα)=1 va (xα,xβ)= 0,α≠β munosabatlarni qanoatlantirsa, u holda bu sistema ortogonal normalangan sistema (qisqacha ONS) deyiladi. Ushbu belgilashni kiritamiz: : ∥ x ∥ = √ ( x , x ) . Teorema 1.1.1 (Pythagoras teoremasi) .Faraz qilamiz, { x n } n = 1N ⊂ V ichki ko’paytmali V fazodagi ONS bo’lsin.U holda istalgan x uchun ∥ x ∥ 2 = ∑ n = 1N |( x , x n )| 2 + ‖ x − ∑ n = 1N ( x , x n ) x n ‖ 2 tenglk o’rinli. Isbot 1. x ∋ quyidagic h a yozib olamiz :x=∑n=1 N (x,xn)xn+(x−∑n=1 N (x,xn)xn)= y+z. Ichki ko’paytmaning xossalari va sistemaning ONS ekanidan (y,z)=¿ ya’ni y va z o’zaro ortogonal ekanini ko’ramiz.Shuning uchun ∥ x ∥ 2 = ( x , x ) = ( y + z , y + z ) = ( y , y ) + ( z , z ) = ∥ y ∥ 2 + ∥ z ∥ 2 { xn}n=1N ONS ekanidan ( y , y ) = ∑ n = 1N |( x , x n )| 2 tenglikni hosil qilamiz.Teorema isbotlandi. Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi. Natija 1.1.1(Bessel tengsizligi) Faraz qilamiz {xn}n=1N ⊂V ONS bo’lsin. U holda istalgan x ∈ V uchun ∥ x ∥ 2 ≥ ∑ n = 1N |( x , x n )| 2 tengsizlik o’rinli. Natija 1.1.2 (Schwartz tengsizligi) Ichki ko‘paytmali fazodagi istalgan x va y vektorlar uchun ¿(x,y)∨≤∥ x∥∥ y∥ tengsizlik o‘rinli. Bu yerda : ∥ x ∥ = √ ( x , x ) . Isbot 2 Agar y= 0 bo‘lsa tenglik o‘rinli , aks holda y/∥ y∥ vektor ortonormal sistema hosil qiladi. Bessel tengsizligiga binoan ∥x∥2≥∨(x,y/∥ y∥)¿2= ¿(x,y)¿2 ∥ y∥2 . Bu yerdan ¿ ( x , y ) ∨ ≤ ∥ x ∥ ∥ y ∥ . Teorema 1.1.2 Istalgan ichki ko‘paytmali V fazo ∥ x ∥ = √ ( x , x ) norma yordamida normalangan fazo bo‘ladi. Isbot 3 Ichki ko’paytmaning xossalaridan normaning 1-2 shartlari bajarilishi kelib chiqadi. 3-shartning bajarilishini isbotlaymiz. Aytaylik, x,y∈V . U holda Schwartz tengsizligiga ko’ra: ∥ x + y ∥ 2 = ( x + y , x + y ) = ( x , x ) + ( x , y ) + ( y , x ) + ( y , y ) = ( x , x ) + 2 ℜ ( x , y ) + ( y , y ) ≤ ( x , x ) + 2 ∨ ( x , y ) ∨ + ( y , y ) ≤ ( x , x ) + 2 ¿ Demak, ∥x+y∥≤∥x∥+∥ y∥. Ushbu teoremadan ichki ko’paytmali fazoda kiritilgan ichki ko’paytmadan foydalanib, normani aniqlash mumkin ekanligi kelib chiqadi. Normalangan fazolarda esa kiritilgan normadan foydalanib, ichki ko’paytmani aniqlash masalasi quyidagi ayniyatga asoslanadi: ∥x+y∥2+∥x− y∥2=(x+y,x+y)+(x− y,x− y)= ¿ (1.1.1) ¿ 2 ( x , x ) + 2 ( y , y ) = 2 ∥ x ∥ 2 + 2 ∥ y ∥ 2 . Bu tenglik parallelogramm ayniyati deyiladi. Teorema 1.1.3. Normallangan fazoda ichki ko‘paytmani norma orqali kiritish uchun paralelogramm ayniyatining bajarilishi zarur va yetarli; bu holda ichki ko‘paytma norma orqali quyidagicha aniqlanadi: Kompleks normallangan fazo uchun ( x , y ) = 1 4 { (‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 ) − i ( ‖ x + iy ‖ 2 − ‖ x − iy ‖ 2 ) } Haqiqiy normallangan fazo uchun ( x , y ) = 1 4 {‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 } Faraz qilamiz, V normalangan vektor fazo bo‘lsin. Ta'rif 1.1.2. Agar { x n } n = 1∞ ⊂ V ketma-ketlik uchun Koshi sharti bajarilsa, yani ∀ ε>0 uchun ∃n0∈N mavjud bo‘lib, ∀ n,m>n0 lar uchun ∥xn− xm∥<ε tengsizlik bajarilsa, u holda bu ketma-ketlik fundamental ketma-ketlik yoki Cauchiy ketma-ketligi deb ataladi. Yuqorida zikr etilgan Koshi ketma-ketligi ta’rifi quyidagi ta’rifga ekvi- valentdir: ∀ ε>0 ∃n0∈N mavjud bo‘lib, ∀ n > n 0 va ∀ p ∈ N uchun ∥ x n + p − x n ∥ < ε munosabat bajarilsa {xn} ketma-ketlik Cauchiy ketma-ketligi deyiladi. Ta'rif 1.1.3. Agar { x n } ketma-ketlik uchun shunday x 0 ∈ H element topilib, lim n → ∞ ∥ x n − x 0 ∥ = 0 munosabat bajarilsa, bu ketma-ketlik x 0 elementga yaqinlashuvchi (yoki oddiygina yaqinlashuvchi ) ketma-ketlik deyiladi. Ta'rif 1.1.4. Agar V fazodagi istalgan fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u to‘la fazo deyiladi. Odatda to‘la normallangan fazolarni Banax fazolari deb ataydilar. Q Banax fazosi emas. Biroq ko‘rsatish mumkinki, R va C fazolar Banax fazolari bo‘ladi. 1.2 Hilbert fazolari Ta'rif 1.2.1. Ichki ko‘paytma kiritilgan va uning yordamida aniqlangan normaga nisbatan to‘la chiziqli normallangan fazo Hilbert fazolari deyiladi. Yuqorida aniqlangan Rn,Cn,l2(Z2),L2(T2) fazolar Hilbert fazolaridir. 1.2.1 Hilbert fazosida qism to’plamlar Faraz qilamiz, H - Hilbert fazosi bo‘lsin. Ushbu B(x0,r)={x∈H :∥x− x0∥<r} to‘plam H dagi markazi x 0 nuqtada va radiusi r ga teng bo‘lgan ochiq shar deyiladi. Xuddi shunday B[x0,r]={x∈H :∥x− x0∥≤r} to‘plam H dagi markazi x0 nuqtada va radiusi r ga teng bo‘lgan yopiq shar deyiladi. x 0 ∈ H nuqtaning atrofi deganda markazi shu nuqtada bo‘lgan ixtiyoriy ochiq sharni tushunamiz. x0∈H nuqtaning ε atrofi deganda esa B(x0,ε) sharni tushunamiz. Ta'rif 1.2.2. Agar M ⊂ H to‘plam biror B(x0,r) sharda saqlansa, u chegaralangan to‘plam deyiladi. Ta'rif 1.2.3. M to‘plam H ning biror qism to‘plami bo‘lsin. Agar har bir x∈M nuqta biror atrofi bilan M ga tegishli bo‘lsa, bu to‘plam H fazoda ochiq to‘plam deyiladi. Agar x 0 ∈ H nuqtaning istalgan atrofida M ning biror elementi mavjud bo‘lsa, u holda bu nuqta M ning urinish nuqtasi deyiladi. M to‘plamning barcha urinish nuqtalari to‘plami uning yopig‘i deb ataladi va [ M ] kabi belgilanadi. Tushunarliki,M ⊂[M ] . Ta'rif 1.2.4. Agar M =[M ] bo‘lsa, M yopiq to‘plam deyiladi. Faraz qilamiz, H −¿ Hilbert fazosi, M va N uning qism to‘plamlari bo‘lsin. Agar M ⊂[N ] munosabat bajarilsa, N to‘plam M da zich deyiladi. Misol uchun irratsional sonlar to‘plami ratsional sonlar to‘plamida zich. Xususan, agar M =[H ] bo‘lsa, M to‘plam H da zich deyiladi. Agar M to‘plam H dagi birorta ham sharda zich bo‘lmasa bu to‘plam H ning hech qayerida zich emas deyiladi. Misol uchun butun sonlar to‘plami Z1 haqiqiy sonlar fazosi R1 ning hech qayerida zich emas. Ta'rif 1.2.5. Agar Hilbert fazosida hamma yerda zich sanoqli to‘plam mavjud bo‘lsa, u separabel Hilbert fazosi deyiladi. Misol 1.2.1. L 2 ( T 2 ) separabel Hilbert fazosi bo‘ladi. Bu fazoda qiymatlari to‘plami chekli yoki sanoqli bo‘lgan kompleks qiymatli funksiyalar to‘plami zich. Haqiqatan ham haqiqiy qiymatli g(x) funksiya uchun barcha x∈T2 larda g ( x ) − 1 n ≤ [ ng ( x ) ] n ≤ g ( x ) va demak lim n → ∞ [ ng ( x ) ] n = g ( x ) munosabatlar bajariladi, bunda [q]−q ning butun qismi. Endi agar istalgan f∈L2(Td) uchun f n ( x ) = [ nRef ( x ) ] n + i [ nImf ( x ) ] n ketma-ketlikni aniqlasak, bu ketma-ketlikning qiymatlari to‘plami chekli yoki sanoqli va shuningdek, fn(x)→ f(x), n→ ∞ . Qiymatlari chekli yoki sanoqli bo‘lgan funksiyalar odatda sodda funksiyalar deyiladi. Sodda funksiyalar esa sanoqlidir. Demak, L 2 ( T d ) separabel Hilbert fazosi bo‘ladi. Misol 1.2.2. l 2 ( Z d ) ham Hilbert fazosidir. Bu fazoda ushbu to‘plamni aniqlaymiz: P n = { ^ f ∈ l 2 ( Z d ) : ^ f ( s ) = 0 , agar ∨ s ∨ ¿ n } , bunda n chekli natural son. U =¿n∈N ,n<∞ Pnbo‘lsin. Tushunarliki, U l 2 ( Z 2 ) da zich. Chunki ixtiyoriy ε>0 va istalgan ^ f ∈ l 2 ( Z 2 ) uchun shunday n0∈N mavjudki, ∀ n>N larda ∑ s∈Z2,∨s∨¿n ¿^f(s)¿2<ε munosabat bajariladi. Bundan foydalanib, ^ f n ( s ) = ¿ funksiyalar ketma-ketligini qursak, u holda ^ f n ∈ U va limn→∞∥ ^fn− ^f∥= 0 , ya’ni U ning l 2 ( Z 2 ) da zichligi kelib chiqadi. Agar U q deb U dagi ratsional qiymatli funksiyalar to‘plamini belgilasak, unda U q to‘plam U da va demak, l 2 ( Z d ) da zich. U q to‘plam sanoqli ekanligidan l 2 ( Z d ) ning separabel ekanligi kelib chiqadi. Misol 1.2.3. Faraz qilaylik, H 1 va H 2 Hilbert fazolari bo‘lsin. Birinchi elementi H 1 dan va ikkinchi elementi H 2 dan olingan, mumkin bo‘lgan barcha juftliklar to‘plamini qaraymiz: { 〈 x , y 〉 : x ∈ H 1 , y ∈ H 2 } . Bu to‘plamda qo‘shish va songa ko‘paytirish kompleks sonlarda aniqlanganidek aniqlanadi: α〈x1,y1〉+β〈x2,y2〉=〈αx1+βx2,αy1+βy2〉. Agar ichki ko‘paytmani (〈x1,y1〉,〈x2,y2〉)=¿ kabi kiritsak, hosil bo‘lgan fazo Hilbert fazosi bo‘ladi va u H 1 va H 2 Hilbert fazolarning to‘g‘ri yig‘indisi deyiladi hamda H 1⊕H 2 kabi belgilanadi. Izoh 1.2.1 Bu ta’rifdan chekli yoki sanoqli sondagi Hilbert fazolarining to’g’ri yig’indisini kiritishda ham foydalanish mumkin. 1.2.2.Chekli va cheksiz o’lchamli Hilbert fazolari Chiziqli fazoning o’lchami odatda unda mavjud bo’lgan chiziqli bog’lanmagan elementlarning maksimal soni bilan aniqlanadi. Agar biror n∈N uchun V chiziqli fazoda n ta chiziqli erkli vektor topilib, istalgan n + 1 ta vektor chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda bu fazoni n o’lchamli chiziqli fazo deymiz. Agar istalgan natural n uchun V da n ta chiziqli erkli vektor mavjud bo’lsa, bu vektor fazo cheksiz o’lchamli deyiladi. Misol uchun Cn fazo n o’lchamli (chekli o’lchamli) Hilbert fazosi, L 2 ( T ) esa cheksiz o’lchamli chunki unda {1,cos t,sin t,cos 2t,sin 2t,… } vektorlar sistemasi chiziqli bog’lanmagan. Ma’lumki, n o’lchamli fazoda ixtiyoriy chiziqli bog’lanmagan n ta vektor yordamida shu fazoning bazisini qurish mumkin. Bunda bazis deganda shunday vektorlar sistemasi tushuniladiki, sistema chiziqli erkli va fazoning istalgan elementini shu sistema elementlarining chiziqli kombinatsiyasi sifatida ifodalanadi. Cheksiz o’lchamli Hilbert fazolari ham bunday xossaga egami? Quyida shu savolga javob beramiz. Teorema 2.1 (Gram-Schmidtning ortogonallashtirish jarayoni) Faraz qilamiz, f 1 , f 2 , … , f n , … (1.2.1) H Hilbert fazosidagi chiziqli bog’lanmagan(erkli) elementlar sistemasi bo’lsin. U holda H da shunday ϕ1,ϕ2,… ,ϕn,… (1.2.2) sistema topiladiki, u ushbu munosabatlarni qanoatlantiradi: 1. (1.2.2) sistema ortonormal; 2. har bir ϕn vektor ushbu f1,f2,… ,fn vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat: ϕn=an1f1+an2f2+… +ann fn,ann≠0; 3. har bir fn vektor ushbu ϕ1,ϕ2,… ,ϕn vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat: fn= bn1ϕ1+bn2ϕ2+… +bnnϕn,bnn≠0; bu yerda a nk va b nk , k=1,2 ,… ,n lar haqiqiy sonlar. (1.2.2) ning har bir elementi 1-3 shartlar asosida ±1 ko’paytuvchi aniqligida bir qiymatli aniqlanadi. (1.2.1) sistemadan (1.2.2) sistemaga o’tish Shmidtning ortogonallashtirish jarayoni deyiladi. Ravshanki, bu sistemalar yordamida hosil qilgan (sistemalardan tug’ilgan) fazolar ustma-ust tushadi. Shuning uchun ular bir vaqtda to’la yoki to’la emas. Separabel va separabel bo’lmagan Hilbert fazolarinig farqi nimada? Bunga ushbu teorema oydinlik kiritadi. Teorema 1.2.2 Har qanday separabel H Hilbert fazosida chekli yoki sanoqli ortogonal normalangan bazis (ONB) mavjud. Bu teorema Shmidtning ortogonallashtirish haqidagi teoremasining natijasidir. Haqiqatan ham agar ψ1,ψ2,… sistema H da zich sanoqli to’plam bo’lsa, u holda bu sistemadan to’la sistemani ajratib olish mumkin. Buning uchun ψ n vektorlar orasida ψi, i<n elementlarning chiziqli kombinatsiyasi shaklida yozish mumkin bo’lganlarini chiqarib tashlash kifoya. Hosil qilingan sistemani ortogonallashtirib, to’la ONS ga ega bo’lamiz. Aslida istalgan Hilbert fazosida ONB mavjud. Lekin separabel Hilbert fazolarida bu ONB elementlari soni chekli yoki sanoqli bo’ladi. Faraz qilamiz { x n } vektorlar sistemasi H separabel Hilbert fazosidagi biror ONS bo’lsin. Bessel tengsizligiga ko’ra ∀ x∈H uchun ∥ x ∥ 2 ≥ ∑ n ∨ ( x , x n ) ¿ 2 . cn=(x,xn) deb belgilash kiritamiz. Ushbu c1,c2,… ,cn,… sonlar x elementning {xn} sistema bo’yicha Fourier koeffitsiyentlari deyiladi. Bessel tengsizligiga ko’ra, ushbu ∑n ¿cn¿2(1.2 .3) yig’indi chekli. Ta'rif 1.2.6 Agar {xn} sistemani o’zida saqlovchi eng kichik qism fazo H ga teng bo’lsa, u holda { x n } sistema to’la deyiladi. Misol uchun { e ∫ ¿ } n ∈ Z 1 ¿ sistema L 2 ( T 1 ) da to’la sistema bo’ladi. Ta'rif 1.2.7 Agar ∀ x∈H uchun ∥ x ∥ 2 = ∑ n ∨ ( x , x n ) ¿ 2 (1.2.4) tenglik bajarilsa, u holda {xn} sistema yopiq deyiladi. (2.4) tenglik esa Parseval– Steklov tengligi deyiladi. Yopiq va to’la sistemalar orasida quyidagicha bog’lanish bor: Teorema 1.2.3 Separabel Hilbert fazosida har qanday to’la ortogonal normalangan sistema yopiq va aksincha har qanday yopiq ortogonal normalangan sistema to’la. Yuqorida ko’rdikki, separabel Hilbert fazosining istalgan elementining Fourier koeffitsiyentlaridan tuzilgan (2.3) qator yaqinlashuvchi. Bu tasdiqning teskarisi ham o’rinli ekanini ushbu teorema ko’rsatadi: Teorema 1.2.4 (Lemmasi) Faraz qilamiz, {ϕn} sistema H separabel Hilbert fazosidagi ONB bo’lsin va { c n } ketma-ketlik uchun ushbu ∑ n ∨ c n ¿ 2 < ∞ (1.2.5) shart bajarilsin. U holda yagona f ∈ H mavjudki, ck=(f,ϕk) va ∑n ∨ cn¿2=(f,f)= ∥ f∥2 tengliklar bajariladi. Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi. Natija 1.2.1 Separabel Hilbert fazosi H da biror { x n } ortonormal sistema to’la bo’lishi uchun H fazoda uning hamma elementlariga ortogonal bo’lgan elementning faqat nol bo’lishi yetarli va zarur. Hilbert fazolarida bazislarga misollar keltiramiz. Misol 1.2.4 L 2 ( T d ) fazoda ϕn(x)= 1 ¿¿ ortonormal sistema bazis tashkil qiladi. Ixtiyoriy f(x)∈L2(Td) funksiyaning ushbu bazisdagi Fourier koeffitsiyentlari quyidagicha hisoblanadi: ^ f ( n ) = 1 ¿ ¿ Misol 1.2.5 l 2 ( Z d ) fazoda quyidagi ϕs(n)= ¿ (1.2.6) funksiyalardan iborat ONS bazis tashkil qiladi. 1.2.3. Hilbert fazosining qism fazosi Faraz qilamiz, H Hilbert fazosi va M −¿ uning biror qism to’plami bo’lsin. Agar M to’plam H da kiritilgan qo’shish, songa ko’paytirish va ichki ko’paytmaga nisbatan Hilbert fazosini hosil qilsa, u H ning qism fazosi deyiladi. Biz bundan buyon qism fazo deganda faqat yopiq qism fazolarni tushunamiz. Misol 1.2.6 L2(Td) da f ( x ) = f ( − x ) munosabatni qanoatlantiruvchi barcha funksiyalar to’plami bu fazoda yopiq qism fazoni tashkil qiladi. Biz uni juft funksiyalar fazosi deb ataymiz va L2c(Td) deb belgilaymiz. Xuddi shunday, toq funksiyalar to’plami L2o(Td)={f∈L2(Td):f(x)=− f(− x)} ham L2(Td) da qism fazo hosil qiladi. Misol 1.2.7 L 2 ( T d ) da biror L ∈ T d uchun f ( x ) = f ( L − x ) munosabatni qanoatlantiruvchi barcha funksiyalar to’plami ham bu fazoda yopiq qism fazoni tashkil qiladi. Biz uni L2(Td) fazodagi L − ¿ juft funksiyalar fazosi deb ataymiz va L 2 , Lc ( T d ) deb belgilaymiz. Xuddi shunday, L−¿ toq funksiyalar to’plami L2,Lo (Td)={f∈L2(Td):f(x)=− f(L− x)} ham L2(Td) da qism fazo hosil qiladi. Misol 1.2.8 l2(Zd)(L2(Td)) da o’zgaruvchilarni o’rnini almashtirishga nisbatan invariant funksiyalar fazosini l2sym (Zd)(L2sym (Td)) deb belgilaymiz. Ko’rsatish mumkinki, bu fazo ham qism fazodir. Bu fazoning elementiga misol sifatida L2(T3) da f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = e i x 1 + e i x 2 + e i x 3 funksiyani olishimiz mumkin. Misol 1.2.9 Xuddi shunday, l2(Zd)(L2(Td)) da antisimmetrik funksiyalar, ya’ni o’zgaruvchilari o’rnini almashtirish juft inversiyaga ega bo’lganda qiymati o’zgarmas, toq bo’lganda esa ishorasi teskariga almashinuvchi funksiyalar fazosini l2anti (Zd)(L2anti (Td)) deb belgilaymiz. Ko’rsatish mumkinki, bu fazo ham qism fazodir. L2(T2) da f(x1,x2)= eix1− eix2 funksiyani olishimiz mumkin. Bu funksiya uchun f ( x 1 , x 2 ) = − f ( x 2 , x 1 ) munosabat bajariladi. 1.4.Teskari va Qo’shma operatorlar H 1 va H 2 Hilbert fazolari bo‘lsin. A operator H 1 fazoda aniqlanib, H 2 fazoda qiymatlar qabul qilsin, ya’ni A:H 1⟶ H 2 . Ta'rif 1.4.1. Agar istalgan y ∈ R ( A ) uchun Ax = y tenglama yagona yechimga ega bo‘lsa, A operator teskarilanuvchan deyiladi. Agar A teskarilanuvchan bo‘lsa, har bir y ∈ R ( A ) ga Ax = y tenglamaning yagona yechimi x ∈ D ( A ) ni mos qo‘yuvchi akslantirish A operatorning teskarisi deyiladi va A−1 kabi belgilanadi. Teorema 1.4.1. Agar chiziqli operator teskarilanuvchan bo‘lsa, unga teskari operator ham chiziqlidir. Teorema 1.4.2. A:H 1⟶ H 2 chiziqli operator teskarilanuvchan bo‘lishi uchun Ax = 0 tenglama yagona x=0 yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarli. Teorema 1.4.3. (Teskari operatorlar haqida Banach teoremasi) Faraz qilamiz, A− H 1 Hilbert fazosini H 2 Hilbert fazosiga o‘zaro bir qiymatli akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operator bo‘lsin. U holda u teskarilanuvchan va teskari operator A−1 ham chegaralangan. Ta'rif 1.4.2. Agar A:X ⟶ Y teskarilanuvchan operator, R(A)=Y va teskari A − 1 operator chegaralangan bo‘lsa, u holda A uzluksiz teskarilanuvchan deb ataladi. Bundan keyin biz teskarilanuvchanlik va uzluksiz teskarilanuvchanlik tushunchalari bir xil deb hisoblaymiz. Teorema 1.4.4. A:H 1⟶ H 2 chiziqli operator bo‘lsin. U holda A teskarilanuvchan bo‘lishi uchun R ( A ) = H 2 va shunday m>0 soni topilib, ixtiyoriy x ∈ H 1 uchun ∥ Ax ∥ H 2 ≥ m ∥ x ∥ H 1 munosabatlarning bajarilishi yetarli va zarur. Teorema 1.4.5. A ∈ L ( H ) operator uchun ∥ A∥<1 tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, A − I operator teskarilanuvchan bo‘ladi va ∥¿ va ∥I−¿ baholar o‘rinli. Lemma 1.4.1. Agar A,B∈L(H ) operatorlar teskarilanuvchan bo‘lsa, u holda AB ham teskarilanuvchan bo‘ladi va ¿ tenglik o‘rinli bo‘ladi. Misol 1.4.1. L 2 ( T d ) fazoda aniqlangan ko‘paytirish operatorini qaraymiz: ( Af ) ( x ) = ε ( x ) f ( x ) , f ∈ L 2 ( T d ) , x ∈ T d , bunda ε(x)∈L2(Td) . A− zI operatorni qaraymiz, bunda z∈C va I−¿ ayniy operator. σ(ε)− ε ning qiymatlar sohasining yopig‘i bo‘lsin. Isbot qilamizki, agar z ∈ C ¿ ( ε ) bo‘lsa, A− zI teskarilanuvchan. Haqiqatan, ε ( x ) ∈ L 2 ( T d ) bo‘lsa, shunday d>0 son topiladiki, ∀ x ∈ T d uchun ¿ z − ε ( x ) ∨ ¿ d bo‘ladi. U holda ∥(A− zI )f∥2=∫ Td ∨(ε(t)− z)f(t)¿2dt ≥d2∫ Td ∨ f(t)¿2dt =d2∥ f∥2 ekanidan 1.4.4 teoremaga asosan A− zI teskarilanuvchan. Osongina ko‘rsatish mumkinki, ¿ Demak, teskari operator ham ko‘paytirish operatori ekan. ∀ x∈Td uchun ¿ z − ε ( x ) ∨ ¿ d ekanidan 1 ε ( x ) − z funksiya muhim chegaralangan va yuqoridagi teoremaga asosan D ¿ Shuningdek, ∥¿ munosabatga ko‘ra, A− zI teskarilanuvchan. Shuni ko‘rsatmoqchi edik. Qo‘shma operatorlar Ta'rif 1.4.3. H Hilbert fazosida aniqlangan chegaralangan T operator va ∀ x , y ∈ H uchun ( Tx , y ) = ( x , T ¿ y ) tenglikni qanoatlantiruvchi T ¿ operator T operatorning Hilbert qo‘shmasi deyiladi. Bundan buyon operatorning qo‘shmasi deganda uning Hilbert qo‘shmasini tushunamiz. Lemma 1.4.2. A:H ⟶ H ,B:H ⟶ H operatorlar berilgan bo‘lsin. Agar barcha x , y ∈ H lar uchun ( Ax , y ) = ( Bx , y ) tenglik bajarilsa, u holda A = B bo‘ladi. Tasdiq 1.4.2. A chiziqli operatorning qo‘shmasi ham chiziqlidir. Teorema 1.4.6. T:H ⟶ H operatorning qo‘shmasi mavjud bo‘lishi uchun uning aniqlanish sohasi D ( T ) butun fazo H da zich bo‘lishi zarur va yetarli. Agar bu shart bajarilsa, T ¿ operator quyidagicha aniqlanadi: y∈H element T ¿ ning aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lishi uchun shunday y¿∈H mavjud bo‘lib istalgan x ∈ D ( T ) uchun ( Tx , y ) = ( x , y ¿ ) tenglik bajarilishi yetarli va zarur. Bu holda T¿y= y¿ . Misol 1.4.3. Yuqorida qaralgan ushbu operatorning qo‘shmasini topamiz: A : l 2 ( Z 2 ) ⟶ l 2 ( Z 2 ) , ( A ^ f ) ( n ) = ^ v ( n ) ^ f ( n ) , bunda ^v funksiya Z2 da chegaralangan. (A^f,^g)= ∑n∈Z2 (A^f)(n)^g(n)= ∑n∈Z2 ^v(n)^f(n)^g(n)= ∑n∈Z2 ^f(n)^v(n)^g(n)= ∑n∈Z2 ^f(n)(A¿^g)(n)=(^f,A¿^g) munosabatlarga va oldingi teoremaga asosan (A¿^f)(n)= ^v(n)^f(n) kabi aniqlanadi. ^v chegaralangan funksiya ekanidan, D ( A ) = l 2 ( Z 2 ) . U holda esa D ( A ¿ ) = l 2 ( Z 2 ) . Ushbu misollardagi qo’shma operatorlarning aniqlanishi ham 1.5.1 teoremaga asoslanadi. Misol 1.4.4. A:L2(Td)⟶ L2(Td),(Af )(x)=ε(x)f(x),f∈L2(Td) operatorni qaraymiz, bunda ε(x)∈L2(Td) chegaralangan funksiya. Bu operatorning qo’shmasi ( A ¿ f ) ( x ) = ε ( x ) f ( x ) . Misol 1.4.5 . A:L2(Td)→ L2(Td),(Af )(x)=∫ TdK (x,y)f(y),f∈L2(Td) integral operatorning qo’shmasi ham integral operator bo’ladi: ( A ∗ f ) = ∫ T d K ( y , x ) f ( y ) , bu yerda K(x,y) funksiya ( T ¿ ¿ d ) 2 ¿ da aniqlangan biror chegaralangan uzluksiz funksiya. Ta'rif 1.4.4 Agar A ∈ L ( H ) operator barcha x,y∈H lar uchun ( Ax , y ) = ( x , Ay ) munosabatni qanoatlantirsa, u o’z-o’ziga qo’shma operator deyiladi. Misol 1.4.6. A:l2(Zd)⟶ l2(Zd),(A^f)(n)= ^v(n)^f(n) , operator qanday ^v funksiyalar uchun o’z-o’ziga qo’shma bo’lisini topamiz, bunda ^v chegaralangan. 1.5.1 misolga ko’ra (A¿^f)(n)= ^v(n)^f(n) . Endi A= A¿ ekanidan ^ v ( n ) = ^ v ( n ) , ∀ n∈Zd kelib chiqadi. Demak A o’z-o’ziga qo’shma bo’lishi uchun ^v chegaralangan funksiya haqiqiy qiymatli funksiya bo’lishi yetarli va zarur. Misol 1.4.7. Xuddi shunday A:L2(Td)⟶ L2(Td),(Af )(x)=ε(x)f(x),f∈L2(Td) operator o’z-o’ziga qo’shma bo’lishi uchun ε(x) funksiyaning haqiqiy qiymatli funksiya bo’lishi yetarli va zarur, bunda ε ( x ) ∈ L 2 ( T d ) chegaralangan funksiya. Misol 1.4.8 Chegaralangan K ( x , y ) yadroli integral operator o’z-o’ziga qo’shma bo’lishi uchun K (x,y)= K (y,x) bo’lishi yetarli va zarur. Teorema 1.4.7. A− H Hilbert fazosida aniqlangan chiziqli operator va D ( A ) = H bo’lsin. Agar biror B chiziqli operator D ( B ) = H va ∀ x , y ∈ H uchun (Ax ,y)=(x,By ) munosabatlarni qanoatlantirsa, A operator chegaralangan. 1.5 . O‘z - o‘ziga qo‘shma operator xossalari Ta'rif 1.5.1. A , B ∈ L ( H ) − ¿ o’z-o’ziga qo’shma operatorlar, α,β− ¿ haqiqiy sonlar bo’lsin. U holda α A + β B ham H dagi o’z-o’ziga qo’shma operator Teorema 1.5.1 Agar A= A¿ bo’lsa, ixtiyoriy x∈H uchun (Ax ,x) haqiqiy son bo’ladi. Darhaqiqat, teorema shartiga va ichki ko’paytmaning xossalariga binoan (Ax ,x)=(x,A¿x)=(x,Ax )=(Ax ,x) va demak, ( Ax , x ) ∈ R . Teorema 1.5.2 Agar A operator o’z-o’ziga qo’shma bo’lsa, u holda ∥ A ∥ = ¿ ∥ x ∥ ≤ 1 ∨ ( Ax , x ) ∨ . Bu teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi. Natija 1.5.1. A o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lsin. U holda barcha x ∈ H lar uchun ( Ax , x ) = 0 bo’lishi uchun A=0 bo’lishi zarur va yetarli. Natija 1.5.2. A o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lsin. U holda barcha x , y ∈ H lar uchun ( Ax , y ) = 1 4 { ( A ( x + y ) , x + y ) + ( A ( x − y ) , x − y ) } − ¿ − 1 4 i { ( A ( x + iy ) , x + iy ) + ( A ( x − iy ) , x − iy ) } tenglik bajariladi. Quyidagi teorema o’z-o’ziga qo’shma operatorlar va haqiqiy qiymatli kvadratik formalar orasidagi munosabatni ifodalaydi. Teorema 1.5.2 H −¿ kompleks Hilbert fazosi bo’lsin. Agar ixtiyoriy x∈H da ( Ax , x ) haqiqiy qiymatli bo’lsa, u holda A − ¿ o’z-o’ziga qo’shma operator bo’ladi. Shuni aytib o’tamizki, A operator haqiqiy Hilbert fazolarida aniqlangan bo’lsa, umumiy holda, ( Ax , x ) = 0 ekanligidan A ning o’z-o’ziga qo’shmaligi va A=0 ekanligi kelib chiqmaydi. 1.6. Musbat va Kompakt operatorlar H Hilbert fazosi, A ∈ L ( H ) bo’lsin. 1.6.3 teoremaga ko’ra (Ax ,x) kvadratik forma haqiqiy qiymatlar qabul qiladi. Bundan foydalanib, musbat operator tushunchasini kiritish mumkin. Ta'rif 1.6.1 Agar 1) A= A¿ , 2) ∀ x∈H uchun (Ax ,x)≥0 munosabatlar o’rinli bo’lsa, A operator nomanfiy operator deyiladi. Agar A nomanfiy operator va barcha 0≠x∈H uchun ( Ax , x ) > 0 bo’lsa, A musbat operator deyiladi. Teorema 1.6.1 AB ∈ L ( H ) − ¿ nomanfiy operatorlar, α,β nomanfiy sonlar bo’lsa, u holda αA+βB operator ham nomanfiydir. Bu teoremaning isboti skalyar ko’paytmaning xossalari va nomanfiy operatorning ta’rifidan kelib chiqadi: ( ( αA + βB ) x , x ) = α ( Ax , x ) + β ( Bx , x ) ≥ 0. Lemma 1.6.1 A nomanfiy operator bo’lsin. U holda quyidagi umumlashgan Cauchy-Bunyakovskiy tengsizligi o’rinli : ¿(Ax ,y)∨≤√(Ax ,x)√(Ay ,y). Misol 1.6.1 A : l 2 ( Z d ) ⟶ l 2 ( Z d ) , ( A ^ f ) ( n ) = ^ v ( n ) ^ f ( n ) , operator musbat bo’lishi uchun ^v haqiqiy qiymatli va ∀ n ∈ Z d da ^ v ( n ) > 0 bo’lishi yetarli va zarur. Darhaqiqat agar biror ^ v ( n 0 ) < 0 uchun, fn0(n)=¿ funksiya uchun ( A f n 0 , f n 0 ) = ^ v ( n 0 ) < 0 munosabat bajariladi. Bu A musbat emasligini ko’rsatadi. Misol 1.6.2 A:L2(Td)⟶ L2(Td),(Af )(x)=ε(x)f(x),f∈L2(Td),ε(x)∈L2(Td) operator musbat bo’lishi uchun ε funksiyaning deyarli haqiqiy qiymatli va nomanfiy bo’lishi yetarli va zarur. Haqiqatan ham agar biror X ⊂T nolmas o’lchovli to’plam uchun ε ( x ) < 0 bo’lsa, f1(x)=¿ funksiya uchun ( A f 1 , f 1 ) = ∫ T d ε ( x ) f 1 ( x ) f 1 ( x ) dx = ∫ X ε ( x ) dx < 0 tengsizlik bajariladi. Bu esa A musbat emasligini ko’rsatadi. Kompakt operatorlar Faraz qilamiz, H 1,H 2−¿ Hilbert fazolari, A : H 1 ⟶ H 2 chiziqli chegaralangan operator bo‘lsin. Ta'rif 1.6.2. Agar A operator H 1 fazodagi ixtiyoriy chegaralangan to‘plam- ni H 2 fazodagi nisbiy kompakt to‘plamga o‘tkazsa, u kompakt operator deyiladi. Boshqacha aytganda, H 1 fazodagi ixtiyoriy chegaralangan to‘plamning operator ta’siridagi aksi nisbiy kompakt bo‘lsa, bu operator kompakt deyiladi. Teorema 1.6.2. Agar H 1 yoki H 2 chekli o‘lchamli Hilbert fazosi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy A ∈ L ( H 1 , H 2 ) operator kompaktdir. Misol 1.6.3. H 1,H 2 Hilbert fazolari bo‘lsin. Yuqorida ko‘rdikki, A:H 1⟶ H 2 chiziqli operatorning qiymatlar sohasi R ( A ) chiziqli ko‘pxillik bo‘ladi. Agar R(A) fazo chekli o‘lchamli bo‘lsa, u holda A operator chekli o‘lchamli operator deyiladi. Chekli o‘lchamli fazolarda har qanday chegaralangan to‘p-lam nisbiy kompakt ekanidan ixtiyoriy chekli o‘lchamli operator kompakt. Misol 1.6.4. A:l2(Zd)⟶ l2(Zd),(Af )(n)= v(n)f(n),f∈l2(Zd) operatorni qaraymiz, bunda ¿∨v∨ ¿∞ . v funksiya qanday shartlarni qanoatlantirsa, A operator kompakt bo‘lishini o‘rganamiz. Teorema 1.6.3. A operator kompakt bo‘lishi uchun lim n → ∞ ¿ s ∈ Z d , ∨ s ∨ ¿ n ∨ v ( s ) ∨ ¿ 0 bo‘lishi yetarli va zarur. Isbot Yetarliligi. Faraz qilamiz, lim n → ∞ s up s ∈ Z d , ∨ s ∨ ¿ n ∨ v ( s ) ∨ ¿ 0 tenglik bajarilsin. Biz birlik shar I ning aksi nispiy kompakt ekanini ko‘rsatsak, yetarli. Ixtiyoriy ∀ ε>0 son olamiz. n sonini ¿ s ∈ Z d , ∨ s ∨ ¿ n ∨ v ( s ) ∨ ¿ ε / 2 bo‘ladigan qilib tanlaymiz. Har bir f∈A(I) ga f ¿ ( s ) = ¿ elementni mos qo‘yamiz. Barcha f¿ to‘plamini I¿ deb belgilaylik. Ko‘rsatish mumkinki, bu to‘plam A ( I ) uchun ε / 2 to‘r tashkil etadi. Haqiqatdan ham shartga binoan ∥ f¿− Af ∥=√∑s∈Zd ∨(AF )(s)− f¿(s)¿2=√ ∑ s∈Zd,∨s∨¿n ∨ v(s)f(s)¿2≤ ≤ ¿ s ∈ Z d , ∨ s ∨ ¿ n { v ( s ) } ∥ f ∥ < ε / 2. Aniqlanishiga ko‘ra I¿ chekli o‘lchamli. U holda uning chekli ε/2 to‘ri mavjud. Bu to‘r A ( I ) uchun ham chekli ε to‘rni hosil qiladi. Demak A ( I ) nisbiy kompakt. Zarurligi. Aytaylik, A kompakt bo‘lsin. l 2 ( Z d ) dagi ONS ni qaraymiz: ϕ n ( s ) = ¿ Agar lim n → ∞ ∑ s ∈ Z d , ∨ s ∨ ¿ n ∨ v ( s ) ∨ ≠ 0 bo‘lsa, shunday ε0>0 mavjudki, cheksiz ko‘p s lar uchun ∑ s ∈ Z d , ∨ s ∨ ¿ n ∨ v ( s ) ∨ ¿ ε 0 tengsizlik bajariladi. U holda o‘sha shartni qanoatlantiruvchi k≠n larda ∥ Aϕn− Aϕk∥=√¿v(n)¿2+¿v(k)¿2>ε0>0 munosabat o‘rinli. Bu yerda { A ϕ n } sistema chegaralangan ketma-ketlik bo‘lishiga qaramay undan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratib bo‘l-maydi degan xulosaga kelamiz. Bu A ning kompaktligiga zid. Teorema isbotlandi. Misol 1.6.5. A:L2(Td)⟶ L2(Td),(Af )(x)=ε(x)f(x),f∈L2(Td) operatorni qaraymiz, bunda ε(x)∈L2(Td) . Bu operator qanday ε larda kompakt bo‘lishini tekshiramiz. Teorema 1.6.4. A operator hech qanday ε(x)∈L2(Td)¿0}¿ uchun kompakt bo‘la olmaydi. Misol 1.6.6. Yuqorida ko‘rdikki, cheksiz o‘lchamli Hilbert fazolarida birlik shar nisbiy kompakt emas. Bu esa birlik operator I ning kompakt emasligini ko‘rsatadi. Teorema 1.6.5. H Hilbert fazosi bo‘lsin. Agar A kompakt, B chegaralangan operator bo‘lsa, u holda AB va BA operatorlar kompakt bo‘ladi. Bu teorema A va B operatorlar har xil fazolarda aniqlanib, AB yoki BA mavjud bo‘lgan holda ham o‘rinlidir. Natija 1.6.1 Cheksiz o‘lchamli fazolarda har qanday chegaralangan kompakt operator chegaralangan teskariga ega bo‘la olmaydi. Teorema 1.6.6. A chegaralangan chiziqli operator kompakt bo‘lishi uchun A¿A operatorning kompakt bo‘lishi yetarli va zarur. Natija 1.6.2. A chiziqli, chegaralangan operator bo‘lsin. Agar A ¿ A kompakt bo‘lsa, u holda AA¿ ham kompaktdir. Natija 1.6.3. Musbat kompakt operatorning kvadrat ildizi ham kompaktdir. Darhaqiqat, A musbat ekanligidan A 1 / 2 mavjud va A 1 / 2 = ¿ . Lemmaga asosan A = A 1 / 2 ¿ kompakt. 1.8.5 teoremaga ko‘ra esa A 1 / 2 ham kompakt. Teorema 1.6.7. A chiziqli chegaralangan operator bo‘lsin. A operator kompakt bo‘lishi uchun A ¿ operatorning kompakt bo‘lishi yetarli va zarur. 1.7. Hilbert fazosida aniqlangan operator spektri H – Hilbert fazosi, A : H ⟶ H biror chiziqli chegaralangan operator bo‘lsin. Ta'rif 1. Agar biror z∈C uchun A− zI operator teskarilanuvchan bo‘lsa, u holda z soni A operatorning regulyar nuqtasi , R z ( A ) = ¿ operator esa uning rezolventasi deyiladi. A operatorning barcha regulyar nuqtalari to‘plami ρ ( A ) deb belgilanadi. σ ( A ) = C ¿ ( A ) to‘plam A operatorning spektri deb ataladi. Demak spektr nuqtalari quyidagilardan iborat bo‘lishi mumkin: 1. A − zI operator umuman teskarilanuvchan emas. Demak ( A − zI ) x = 0 tenglama nolmas yechimga ega. Bu holda z soni A operatorning xos qiymati , nolmas x esa xos vektori deyiladi. 2. A− zI operatorning teskarisi mavjud, lekin chegaralanmagan. Bu holda z soni A operatorning uzluksiz spektriga tegishli deyiladi. 3. A− zI operatorning teskarisi mavjud, chegaralangan, lekin A− zI ning qiymatlar sohasi butun fazoga teng emas. Bu holda z soni qoldiq spektrga tegishli deyiladi. A operatorning z xos qiymatiga mos keluvchi xos vektorlaridan hosil qilingan fazoning o‘lchami z xos qiymatning karraliligi deyiladi. Agar z ning karraliligi 1 ga teng bo‘lsa, u oddiy xos qiymat , aks holda karrali xos qiymat deb ataladi. A operatorning chekli karrali xos qiymatlari to‘plamini diskret spektr deb ataymiz va σ disc ( A ) deb belgilaymiz. A operatorning uzluksiz spektrini σcont (A) deb, qoldiq spektrini esa σres(A) deb belgilaymiz. Odatda operatorning uzluksiz spektri va cheksiz karrali xos qiymatlari to‘plami muhim spektr deb ataladi va σ ees ( A ) kabi belgilanadi. Teorema 1. Ixtiyoriy chegaralangan A operatorning spektri yopiq to‘plam. Lemma 1. A chegaralangan operator va ∥ A∥<1 bo‘lsin. U holda I− A operator teskarilanuvchan. Teoremaning isbotiga o‘tamiz. Ixtiyoriy z0∈ρ(A) ni qaraymiz. U holda q uyidagi munosabat o‘rinli: A − zI = A − z 0 I − ( z − z 0 ) I = ( A − z 0 ) ( I − ( z − z 0 ) R z 0 ( A ) ) . Endi z ni shunday tanlash mumkinki, ¿ z − z 0 ∨ ∥ R z 0 ( A ) ∥ < 1. U holda lemmaga asosan I−(z− z0)Rz0(A) teskarilanuvchan. z0 ning aniqlanishidan A − z 0 I teskarilanuvchan. U holda A − zI ham teskarilanuvchan bo‘ladi. Bu yerdan z0 o‘zining biror atrofi bilan ρ ( A ) ga tegishli ekani, ya’ni ning ochiq ekanini hosil qilamiz. Teorema isbotlandi. Agar ¿z∨¿∥A∥ bo‘lsa, ∥z−1A∥<1 bo‘ladi. U holda A− zI =− z(I− z−1A) ekanidan lemmaga asosan − z(I− z−1A) va demak A − zI teskarilanuvchan. Demak bu holda z∈ρ(A) . Shunday qilib chegaralangan A operatorning spektri markazi 0 nuqtada bo‘lgan ∥ A∥ radiusli doira ichida to‘liq saqlanadi. Demak A chegaralangan bo‘lsa, ρ ( A ) chegaralanmagan. Misol 1. A:l2(Z2)⟶ l2(Z2),(Af )(n)= v(n)f(n),f∈l2(Z2) operatorni qaraymiz, bunda v aynan nol bo‘lmagan biror chegaralangan funksiya. M deb v ning qiymatlari to‘plamini belgilaymiz va σ(A)= M bo‘lishini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy z ∈ C ¿ M ni qaraymiz. Bu to‘plam ochiq va q = dist ( z , M ) > 0 bo‘ladi. Bu holda ∀ f∈l2(Zd) uchun ∥(A− zI )f∥2= ∑x∈Z2 ∨ v(x)− z¿2∨ f(x)¿2≥q2∑x∈Z2 ∨ f(x)¿2=q2∥ f∥2 bo‘lib, 1.4.4 teoremaga asosan A− zI teskarilanuvchan bo‘ladi. Demak, σ ( A ) ⊂ M . Endi z∈M bo‘lsin. Af = zI tenglamani qaraymiz. Agar z∈M bo‘lsa, u holda bu tenglama nolmas yechimga ega bo‘ladi. Misol uchun, biror x 0 ∈ Z 2 uchun z=v(x0) ni qarasak, u holda f x 0 ( x ) = ¿ funksiya bu tenglamaning yechimi bo‘ladi. Bu yerdan z ning xos qiymatligi va f x 0 ning xos vektorligini topamiz. Demak z ∈ σ ( A ) . Endi z∈M ¿ bo‘lsin. U holda A− zI operator teskarilanuvchan, ya’ni Af = zf tenglama yagona 0 yechimga ega va rezolventa ( R z ( A ) f ) ( x ) = f ( x ) v ( x ) − z kabi aniqlanadi. z∈M ¿ ekanidan har bir n∈N uchun shunday xn∈Zd topiladiki, ¿ v ( x n ) − z ∨ ¿ 1 n bo‘ladi. Quyidagi funksiyalar ketma-ketligini aniqlaymiz fn(x)=¿ U holda ∥Rz(A)fn∥2= ∑ x∈Z2 fn(x) ¿v(x)− z¿2= fn(xn) ¿v(xn)− z¿2>n2. Demak Rz(A) chegaralanmagan operator. Ta’rifga binoan z∈σess(A) . Demak M ⊂σ(A) . Bu yerdan M = σ ( A ) ekani kelib chiqadi. O’z-o’ziga qo’shma operatorning spektri H Hilbert fazosi, A ∈ L ( A ) o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: M = ¿ ∥ x ∥ = 1 ( Ax , x ) , m = inf ∥ x ∥ = 1 ( Ax , x ) . M va m sonlari mos ravishda A operatorning yuqori va quyi chegarasi deyiladi. Teorema 1. ∥ A∥= max {∨ m∨ ,∨ M ∨} . Ma’lumki, σ ( A ) ∥ A ∥ radiusli doira ichida saqlanar edi. O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar uchun esa bu baholash yanada aniqroq. Teorema 2. σ(A)⊂[m ,M ] . Shuningdek, m , M ∈ σ ( A ) . Natija 1.4. Har qanday chegaralangan o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorning spektri bo‘sh emas. Teorema 3. O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari ortogonal. Teorema 4. A o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lsin. z soni A operator uchun xos qiymat bo‘lishi uchun R(A− zI )≠H bo‘lishi yetarli va zarur. Natija 1.5. z xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar fazosi R ( A − zI ) ning ortogonal to‘ldiruvchisidan iborat O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorning spektrini quyidagicha tavsiflash ham mumkin: agar R(A− zI )≠R(A− zI ) bo‘lsa, z soni A operatornng uzluksiz v μλ spektriga tegishli bo‘ladi. Va agar R(A− zI )≠H bo‘lsa, z soni A operatorning nuqtali spektriga tegishlidir. Teorema 5. Faraz qilamiz, A ∈ L ( H ) − ¿ o‘z-o‘ziga qo‘shma operator, M − H ning biror qism fazosi. Agar A(M )⊂M bo‘lsa, u holda σ H ( A ) = σ M ( A ) ∪ σ M ⊥ ( A ) . Bu yerda σX(A)A:X ⟶ X operatorning spektri. Teorema 6. Faraz qilamiz, A − H Hilbert fazosidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lsin. U holda A qoldiq spektrga ega emas. H Hilbert fazosi, A ∈ L ( H ) − ¿ o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lsin. Teorema 7. Kompakt operatorning nolmas z xos qiymatiga mos keluvchi Xz xos fazosi chekli o‘lchamli. Teorema 8. Istalgan δ>0 son uchun kompakt operator xos qiymatlarining moduli δ dan katta bo‘lganlari soni chekli. Bu teoremadan shuni xulosa qilamizki, kompakt operatorning xos qiymatlarini moduli bo‘yicha kamayish tartibida joylashtirish mumkin. Natija 1.6. Kompakt operatorning xos qiymatlari to‘plami noldan farqli limitik nuqtaga ega emas. Teorema 9. (Phillips). Agar z∈C soni A kompakt operatorning xos qiymati bo‘lsa, z ∈ C soni A ¿ ning xos qiymati bo‘ladi. Teorema 10. A va A¿ kompakt operatorlarning z va z xos qiymatlariga mos keluvchi xos qism fazolarining o‘lchamlari teng. Teorema 11. A ∈ L ( H ) − ¿ kompakt operator bo‘lsin. U holda • A operatorning spektridagi noldan farqli ixtiyoriy nuqta xos qiymatdir; • Agar H cheksiz o‘lchamli bo‘lsa, 0 soni operatorning spektriga tegishli. Teorema 12. Agar A ≠ 0 o‘z - o‘ziga qo‘shma va kompakt bo‘lsa, uning hech bo‘lmaganda bitta nolmas xos qiymati bor. Teorema 13. (Hilbert-Shmidt). H Hilbert fazosidagi har qanday o‘z-o‘ziga qo‘shma kompakt A operator uchun uning nolmas zn xos qiymatlariga mos keluvchi ψ n xos vektorlaridan tuzilgan shunday ONS mavjudki, ixtiyoriy x ∈ H ni yagona ravishda x = ∑ k c k ψ k + x ' kabi ifodalash mumkin, bunda x ' ∈ KerA , ya’ni A x ' = 0 . Bu holda Ax =∑k ckzkψk. Agar ψn sistema cheksiz bo‘lsa, lim n → ∞ z n = 0. 1.8 Unitar ekvivalent operatorlar H 1 va H 2 Hilbert fazolari bolsin. Ta'rif 8.1 Agar U :H1⟶ H 2 akslantirish barcha x,y∈H 1 lar uchun ¿ munosabatni qanoatlantirsa va D(U )= H1 , R(U )= H 2 bo’lsa, u holda u unitar operator deyiladi. Unitar operatorning quyidagi ekvivalent ta’rifi ham ishlatiladi. Ta'rif 8.2 Agar U : H 1 ⟶ H 2 akslantirish barcha x ∈ H 1 lar uchun ∥ Ux ∥ H 2 = ∥ x ∥ H 1 munosabatni qanoatlantirsa va D ( U ) = H 1 , R(U )= H 2 bo’lsa, u holda u unitar operator deyiladi. Faraz qilamiz, A : H 1 ⟶ H 1 va B : H 2 ⟶ H 2 bo’lsin. Agar shunday U : H 1 ⟶ H 2 unitar operator topilib, A = U − 1 BU tenglik bajarilsa, A va B operator unitar ekvivalent operatorlar deyiladi. Teorema 8.1 Ixtiyoriy chegaralangan unitar ekvivalent operatorlarning spektrlari, xususan muhim spektrlari, diskret spektrlari, qoldiq spektrlari ustma-ust tushadi. Misol 8.1 ^V :l2(Zd)⟶ l2(Zd),(^V ^f)(n)= ^v(n)^f(n),^f∈l2(Zd) bunda ^v funksiya chegaralangan, operatorni qaraymiz. Bu operator biror operatorga unitar ekvivalent bo’ladimi? Unitar operator sifatida Fourier akslantirishini olamiz. f = F ^ f = ¿ bo’lsin. ( Vf ) ( p ) = ( F ^ V F − 1 ) ( p ) = ( F ^ V ^ f ) ( p ) = ¿ Ag ar ¿ yaqinlashuvchi bo’lsa, bu biror v:L2(Td)⟶ C funksiyani aniqlaydi, ya’ni ^ v funksiyaning Fourier almashtirishiga bo’lamiz. v ( p − q ) = ¿ kabi belgilash kiritsak, V operator quyidagi ko’rinishga keladi: ( Vf ) ( p ) = ¿ Demak l2(Zd) fazodagi ko’paytirish operatori L2(Td) fazodagi integral operatorga unitar ekvivalent. Yuqoridagi teoremaga asosan σ(^V)=σ(V),σdisc (^V)=σdisc (V),σess(^V)=σess(V),σres(^V)=σres(V). BOB 2 PANJARADAGI IKKI ZARRACHALI SISTEMAGA MOS DISKRET SCHÖDINGER OPERATORI. 2.1.1. Koordinata tasviri Faraz qilaylik Z − ¿ bir o‘lchovli panjara va l 2 ( Z ) kvadrati bilan jamlanuvchi funksiyalarning Hilbert fazosi hamda l2,e(Z) kvadrati bilan jamlanuvchi juft funksiyalarning qism fazosi bo’lsin. Ikkita bir xil bozonlar sistemasiga mos diskerit Schr Ö dinger operatori ^ H μ ( k ) ning koordinata tasviri l 2,e ( Z ) fazoda quyidagicha aniqlangan : ^H μ(k)= ^H 0(k)+^Vμ,μ∈R,k∈T ,(2.1 .1 ) (k=0) hol uchun bu yerda (^ H 0 ( 0 )^ f)( x ) = ∑ s ∈ Z ^ E 0 ( x − s )^ f( s) ,^ f ∈ l 2 , e ( Z ) ,( 2.1 .2 ) hamda ^E0(x)= 2^E(x),x∈Z(2.1 .3) va ^ ε( ∙) quyidagicha ^ε(s)= { 1,|s|=0, −1 2 ,|s|=1, 0,|s|>1. (2.1 .4) Bu yerda ^Vμ operator ^vμ(x) funksiyaga ko’paytirish operatori sifatida aniqlangan ,ya’ni (^V μ^f)(x)= ^vμ(x)^f(x),(2.1 .5 ) ^vμ(∙) funksiya quyidagicha ^ v μ ( s) = { μ , | s| = 0 , μ 2 , | s| = 1 , 0 , | s| > 1. ( 2.1 .6 ) Lemma 2.1.1. ^ H μ ( 0) operator , l 2 , e ( Z ) da chiziqli ,chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo’shma operatordir. Isbot. 1) ^H μ(0) operator chiziqli operator ,ya’ni ∀ α , β є C va ∀ ^f,^g∈l2,e(Z) lar uchun (^ H μ ( 0 )( α ^ f + β ^ g))( x ) = ∑ s ∈ Z ^ E 0 ( x − s )( α ^ f + β ^ g)( s) + ^ v μ ( x )( α ^ f + β ^ g)( x ) = α ( ∑ s ∈ Z ^ E 0 ( x − s )^ f( s) + ^ v μ ( x )^ f( x )) + β ( ∑ s ∈ Z ^ E 0 ( x − s )^ g( s) + ^ v μ ( x )^ g( x )) = α ^ H μ ( 0)^ f( x ) + β ^ H μ ( 0)^ g( x ) Tenglik o’rinli. 2) Endi bu operatorni chegaralanganlikka tekshiramiz.Dastlab quyidagi tengsizlikni isbotlaymiz.Agar K ( ∙) , l p ( Z ) , 1 ≤ p ≤ ∞ va g∈l1(Z) bo’lsa, u holda (K∗g)(x)≔∑y∈Z K (x− y)g(y),lp(Z) fazoda yotadi hamda quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi: ‖ K ∗ g ‖ p ≤ ‖ K ‖ p ‖ g ‖ 1 , ( 2.1 .7 ) Faraz qilaylik 1≤ p<∞ bo’lsin. U holda, || K ∗ g || p = ( ∑ x ∈ Z |( K ∗ g )( x )| p) 1 p = ( ∑ x ∈ Z | ∑ y ∈ Z K ( x − y ) g ( y )| p) 1 p ≤ ∑ y ∈ Z ( ∑ x ∈ Z | K ( x − y )| p| g ( y )| p) 1 p = ∑ y ∈ Z | g ( y )|( ∑ x ∈ Z | K ( x − y )| p) 1 p = || K || p|| g || 1 . ¿ ∨ ^ H μ ( 0 )^ f ∨ ¿ l 2 ( Z) = ( ∑ x ∈ Z |^ H μ ( 0 )^ f( x )| 2) 1 2 = ( ∑ x ∈ Z | ∑ s ∈ Z ^ E 0 ( x − s )^ f( s)| 2) 1 2 ≤ ( ∑ x ∈ Z (| ∑ s ∈ Z ^ E 0 ( x − s )^ f( s)|) 2) 1 2 x− s= t almashtirishni kiritamiz. Bundan quyidagiga kelamiz: (∑x∈Z(|∑t∈Z ^E0(t)^f(x−t)|) 2 ) 12≤∑t∈Z(∑x∈Z|^E0(t)|2|^f(x−t)|2 ) 12=∑t∈Z|^E0(t)|(∑x∈Z |^f(x−t)|2 ) 12=¿∨ ^E0∨ ¿l1(Z)¿∨ ^f∨¿l2(Z) ¿∨ ^H μ(0)^f∨¿2= ∑x∈Z|^vμ(x)^f(x)|2 ^ v ∈ l 1 ( Z ) ekanligidan ^v funksiya Z da chegaralangan bo’ladi,ya’ni ∃ M > 0 , ∀ x ∈ Z → |^ v( x )| < M bo’ladi ,u holda ‖^H μ(0)^f‖2≤M 2∑x∈Z |^f(x)|2=¿M 2‖^f‖l2(Z) 2 ¿Bundan ^H μ(0) operatorning chegaralanganligi kelib chiqadi . 3) ^ H μ ( 0) operatorni o’z o’ziga qo’shma operator ekanligini ko’rsatamiz. ∀ f , g ∈ l 2 ( Z ) bo’lsin. U holda (^H μ(0)^f,^g)l2(Z)=∑s∈Z(^H μ(0)^f)^g(x)=¿∑x∈Z(∑s∈Z ^ε0(x− s)^f(s)+^v(x)^f(x))^g(x)=∑x∈Z∑s∈Z ^ε0(x− s)^f(s)^g(x)+∑x∈Z ^v(x)^f(x)^g(x)=¿¿ bu yerda birinchi qo’shiluvchida x va s joylarini almashtiramiz ∑x∈Z ^f(x)∑s∈Z ^E0(x− s)^g(s)+∑x∈Z ^f(x)^vμ(x)^^g(x)= ¿∑x∈Z ^f(x)∑s∈Z ^E0(x− s)^g(s)+^vμ(x)^g(x)=(^f,^H μ(0)^g)¿ tenglikka asosan ^ H μ ( 0) o’z-o’ziga qo’shma operator ekan. 2.1 .2 Impuls tasviri Faraz qilaylik , T , bir-o’lchamli tor bo’lsin, ya’ni ¿ – qarama-qarshi chegaralari bitta nuqtani ifodalovchi kub, va L 2 ( T ) , T da kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalarning Hilbert fazosi bo’lsin hamda L 2 , e ( T ) , T da kvadrati bilan integrallanuvchi juft funksiyalarning qism fazosi bo’lsin. Faraz, qilaylik, F:l2,e(Z)→ L2,e(T),(F ^f)(p)= 1 (2π) 12 ∑x∈Z ei(p,x)^f(x) Odatdagi Fourier almashtirishi va F−1 uning teskarisi bo’lsin: F − 1 : L 2 , e ( T ) → l 2 , e ( Z ) , ( F ¿ ¿ − 1 f ) ( x ) = 1 ( 2 π ) 1 2 ∫ T e − i ( p , x ) f ( p ) η ( dp ) . ¿ Fur’e almashtirishi yordamida mahkamlangan 0 ∈ T uchun H μ(0)= F ^H μ(0)F−1 Schr ¨o dinger operatorining L2,e(T), fazoda impuls tasvirini quyidagicha aniqlaymiz: H μ ( 0 ) = H 0 ( 0 ) + V μ ( 2.1 .1 ) Bu yerda , H 0(0)≔F ^H μ(0)F−1 operator funksiyaga ko’paytirish operatori sifatida aniqlanadi: ( H 0( 0) f ¿ ( p ) = ε 0 ( p ) f ( p ) , f ∈ L 2 , e ( T ) bu yerda ε 0 ( p ) = 2 ¿ ) Integral operator Vμ:= F ^VμF−1 quyidagicha aniqlanadi : ( V μ f )( p ) = μ 2 π ( ∫ T f ( t) dt + ∫ T cos p cos t f ( t) dt ) , f ∈ L 2 , e ( T ) . Yuqoridagi H 0 ( 0) ≔ F ^ H 0 ( 0 ) F − 1 operatorni quyidagicha hosil qilamiz: H 0 ( f )( p ) = ( F ^ H 0 ( 0) F − 1 f )( p ) = ¿ 1 √ 2 π ∑ s ∈ Z e i ( p , s )(^ H 0 ( 0 )^ f)( s) = ¿ 1 √ 2 π ∑ s ∈ Z e i ( p , s ) ∑ s ∈ Z ε 0 ( s − x )^ f( x ) = 2 √ 2 π ∑ s ∈ Z e ips ^ E( s − x )^ f( x ) = ¿ 1 √ 2 π ∑ s ∈ Z e ips [ 2 ^ f( s) − ^ f( s + 1 ) − ^ f( s − 1 )] = ¿ 2 √ 2 π ∑ s ∈ Z e ips ^ f( s) − ¿ 1 √ 2 π ∑ s ∈ Z e ips ^ f( s + 1 ) − 1 √ 2 π ∑ s ∈ Z e ips ^ f( s − 1 ) = 2 f ( p ) − 1 √ 2 π ∑ s ∈ Z e ipz ^ f( z) e − ip − 1 √ 2 π ∑ s ∈ Z e ipt ^ f( t) e ip = ¿ 2 f ( p ) − f ( p )( e − ip + e ip ) = 2 f ( p ) − 2 cosp f ( p ) = 2 ( 1 − cosp ) f ( p ) = E 0 ( p ) f ( p ) . ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Demak H 0(f)(0)= E0(p)f(p) ko’paytirish operatori bo’lar ekan. Yuqoridagi Vμ:= F ^VμF−1 operatorni quyidagicha hosil qilamiz: (V¿¿μ f)(p)=(F ^VμF−1f)(p)=(F ^V μF−1^f)(p)= 1 √2π∑s∈Z eips ^vμ(s)^f(s)= 1 √2π μ^f(0)+ 1 √2π(eipμ 2 ^f(1)+e−ipμ 2 ^f(−1))= μ 1 √2π 1 √2π∫T e−iq0f(q)dq + 1 √2π μ 2eip 1 √2π∫T e−iqf(q)dq + 1 √2π μ 2e−ip 1 √2π∫T eiqf(q)dq = μ 2π∫T f(q)dq +μ 2 1 2π∫T ei(p−q)f(q)dq + μ 2 1 2π∫T e−i(p−q)f(q)dq = μ 2π∫T f(q)dq + μ 2π∫T (ei(p−q)+e−i(p−q))f(q)dq = μ 2π∫T f(q)dq + μ 2π∫T (cosp cosq +sinpsinq )f(q)dq =¿¿¿ ∫ T sinp sinq dq = 0 dan foydalansak, ( V ¿ ¿ μ f ) ( p ) = μ 2 π ∫ T ( 1 + cosp cosq ) f ( q ) dq ¿ Operatorga ega bo‘lamiz. H μ ( 0) operatorning xos qiymatlari soni va ularning joylashgan o’rni 2.1.3. H μ(0¿,0∈T) operatorning muhim spektri . H 0(0) ,0∈T operator T da aniqlangan uzluksiz haqiqiy qiymatli E0(p) funksiyaga ko’paytirish operatori bo’lganligi uchun uning spektri faqat muhim spektrdan iborat bo’ladi: σ(H 0(0))= σess (H 0(0))=¿ bu yerda E min( 0) ≔ E 0 q ∈ T dmin ( q ) = 2 ( 1 − cos q 2 ) ≥ 0 , E max ( 0) ≔ E 0 q ∈ T dmax ( q ) = 2 ( 1 + cos q 2 ) ≤ 4. Qo’zg’alish operatori Vμ ning rangi ko’pi bilan ikkiga teng bo’lganligi uchun Weyl teoremasiga ko’ra H μ(0) operatorning σess(H ¿¿μ(0))¿ muhim spektori H 0 ( 0) operatorning σ ess ( H 0 ( 0) ) muhim spektori bilan ustma-ust tushadi,ya’ni: σ ess ¿ 2.1.4. H μ(0),0ϵT operatorga mos Fredgolm determinant. Ixtiyoriy μ∈R va 0 ϵ T , uchun L 2 , e ( T ) da Birman-Schuinger operatorini quyidagicha aniqlaymiz B μ ( 0 , z ) = − V μ R 0 ( 0 , z ) ,( 2.4 .1 ) bu yerda R0(0,z)=(H 0(0)− zI )−1 ya’ni H 0(0) operatorning z ϵ C / [ 0,4 ] nuqtadagi rezolventasi. Quyidagi tenglamani qaraylik ( B ¿ ¿ μ ( 0 , z ) ψ ) ( p ) = ψ ( p ) ¿ Berilganlarga ko’ra V μ R 0 ( 0 , z ) ψ = − ψ ( 2.4 .2 ) Operator aniqlanishiga ko’ra tenglamani quyidagi ko’rinishda yozamiz μ 2 π ∫ T ( 1 + cosp cost ) ψ ( t ) ε 0 ( t) − z dt = − ψ ( p ) . ( 2.4 .3 ) ψ ϵ L 2 , e ( T ) ning Fur’e qatori quyidagicha aniqlangan ψ ( p ) = a 0 + ∑ n = 1∞ a n cos np , bu yerda an= 1 π∫−π π φ(t)cos nt dt Furye koeffisenti.Natijalarni (2.4.3.) tenglikdagi ψ ning o’rniga qo’yib quyidagilarni hosil qilamiz; μ 2 π ∫ T 1 + cos p cos t ε 0( t) − z [ a 0 + ∑ n = 1∞ a n cos n t ] dt = − a 0 − ∑ n = 1∞ a n cos np , yanada soddalashtirsak quyidagi ko’rinishga keladi: μ a 0 2 π ∫ T 1 + cos p cos t ε 0 ( t) − z dt + μ 2 π ∑ n = 1∞ a n [ ∫ T cos nt ε 0 ( t) − z dt + cosp ∫ T cost cosnt ε 0 ( t) − z dt ¿ = a 0 − ∑ n = 1∞ a n cos np , ¿ Tenglamaning chap tomoni uchun {1,cos p} bazis. Shuning uchun n=1 dan boshqa koeffitsentlarni e’tiborsiz qoldirish mumkin va tenglama quyidagi ko’rinishga keladi: a0¿ Soddalik uchun quyidagi belgilashlarni kiritaylik a (0,z), b(0,z) va c(o,z) a ( 0 , z ) ≔ 1 2 π ∫ T dt ε 0 ( t) − z b ( 0 , z ) ≔ 1 2 π ∫ T cost dt ε 0 ( t) − z (0,z)= c ( 0 , z ) ≔ 1 2 π ∫ T cos 2 t ε 0 ( t) − z dt , z C ϵ / ⌈ 0,4 ⌉ 1 va cosp larning chiziqli bog’langan ekanligini hisobga olsak , a0 va a1 noma’lum koeffitsentlar uchun quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz { a0(1+μa (0,z))+a1μb (0,z)=o a0μb(0,z)+a1(1+μc(0,z))=0 (2.4 .4) Ixtiyoriy μϵR uchun Bμ(0,z) operatorga mos determinantni quyidagicha aniqlaymiz: D ( μ , 0 , z ) = | 1 + μa ( 0 , z ) μb ( 0 , z ) μ b ( 0 , z ) 1 + μ c ( 0 , z )|( 2.4 .5 ) Quyidagi lemma D ( μ , 0 , z ) determinantning nollari va H μ ( 0) operatorning xos qiymatlari orasidagi bog’liqlikni ifodalaydi. Lemma 3.2.1. Ixtiyoriy ,μϵR uchun zϵC/[0,4 ] soni H μ ( 0) operatorning xos qiymati bo’lishi uchun D(μ,0,z)=0 (2.4.6) bo’lishi zarur va yetarli . Isbot.Zaruriyligi. Faraz qilaylik,ixtiyoriy μϵR uchun zϵC/[0,4 ] soni H μ ( 0) operatorning xos qiymati bo’lsin,ya’ni H μ ( 0) f = zf tenglama L ❑ 2 , e ∈ ( T ) fazoda noldan farqli yechimga ega bo’lsin, U holda quyidagi munosabatlar o’rinli : ε0(p)f(p)+ μ 2π∫T (1+cosp cosq )f(q)dq = zf (p) (ε0(p)− z)f(p)= − μ 2π∫T f(q)dq − μcosp 2π ∫T cos q f(q)dq , ( ε ¿ ¿ 0 ( p ) − z ) f ( p ) = − μ C 1 − μ cosp C 2 ¿ , bu yerda C1= 1 2π∫T f(q)dq C 2 = 1 2 π ∫ T cosq f ( q) dq Yuqoridagi tengliklardan quyidagiga ega bo’lamiz: f(p)= − μC1− μC2cosp , ε0(p)− z Ushbu funksiya z ϵ C / [ 0,4 ] xos qiymatga mos xos funksiya bo’ladi. C 1 ≠ 0 va C 2 ≠ 0 ekanligidan quyidagilar kelib chiqadi: C1= 1 2π∫T f(q)dq =¿ 1 2π∫T − μC1− μC2cosq ε0(p)− z dq = − μC 1 2π ∫T dq ε0(p)− z−¿μC2 2π ∫T cosq , ε0(p)− zdq ¿¿ bundan quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz: C1¿ C 1( 1 + μa ( 0 , z )) + μ C 2 b ( 0 , z ) = 0. ( 2.4 .7 ) C2 ning aniqlanishiga ko’ra quyidagilarga ega bo’lamiz: C2= 1 2π∫T cosq f(q)dq = 1 2π∫T cosq − μC 1− μcosq C2 ε0(p)− z dq =− μC 1 2π ∫T cosq , ε0(p)− zdq − μC2 2π ∫T co s2q ε0(p)− zdq . Yuqoridagi tenglikga ekvivalent bo’lgan quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz: μC 1 2π ∫T cosq , ε0(p)− zdq +¿C2¿¿ μC 1b(0,z)+C2(1+μc(0,z))=0(2.4 .8) (2.4.7) va (2.4.8) tengliklardan quyidagi sistemaga ega bo’lamiz: { C 1 ( 1 + μa ( 0 , z )) + μ C 2 b ( 0 , z ) = 0. μC 1 b ( 0 , z ) + C 2 ( 1 + μ c ( 0 , z )) = 0 Yuqoridagi tenglamalar sistemasida C 1 va C 2 lar noldan farqli yechimlar bo’lishi uchun uning asosiy determinant nolga teng bo’lishi zarur va yetarli,ya’ni D ( μ , 0 , z ) = | 1 + μa ( 0 , z ) μb ( 0 , z ) μ b ( 0 , z ) 1 + μ c ( 0 , z ) | =0 (2.4.9) Bu yerda (1+ μa ( 0 , z ) ( 1 + μ c ( 0 , z ) ¿ - μ b 2 ( 0 , z ) = 0 ekanligi kelib chiqadi. Yetarliligi. Faraz qilaylik, zϵC/[0,4 ] soni uchun D( μ,0,z¿= 0 (2.4.10) tenglik bajarilsin. U holda ,shunday f ( p ) = − μC 1 − μ C 2 cosp ε 0 ( p ) − z ≠ 0 funksiyani tanlaymizki, bu funksiya berilgan H μ(0)operatorning z xos qiymatiga mos xos funksiyasi bo’ladimi? Ushbu savolga javob beramiz. (H ¿¿μ(0)− z)f=0=¿¿ (ε0(p)− z)f(p)+ μ 2π∫T f(q)dq +μcosp 2π ∫T cosq f(q)dq =0=¿ (ε¿¿0(p)− z)− μC 1− μC2cosp ε0(p)− z + μ 2π∫T − μC 1− μC2cosq ε0(p)− z dq +¿μcosp 2π ∫T cosq − μC 1− μC2cosq ε0(p)− z dq =0=¿¿¿ − μC 1− μC2cosp − μ2C1 2π ∫T dq ε0(p)− z− μ2C2 2π ∫T cosq ε0(p)− zdq − μ2C1cosp 2π ∫T cosq ε0(p)− zdq − μ2C2cosp 2π ∫T co s2q ε0(p)− zdq =0Yuqoridagi belgilashlarni hisobga olsak ,oxirgi tenglik quyidagi ko’rinishga keladi: − μC 1− μC2cosp − μ2C1a(0,z)− μ2C2b(0,z) − μ2C1cospb (0,z)− μ2C2cospc (0,z)=0. Bu tenglikni quyidagicha tasvirlashimiz mumkin. − μC 1(1+μa (0,z))− μ2C2b(0,z)−¿ − μ C 2 cosp ( 1 + μc ( 0 , z )) − μ 2 C 1 cospb ( 0 , z ) = 0 Bundan quyidagini hosil qilamiz: − μ [ C 1 ( 1 + μa ( 0 , z )) + μ C 2 b ( 0 , z )] − ¿ − μcosp [C2(1+μc (0,z))+μC1b(0,z)]=0 U holda yuqoridagi tenglamadan quyidagi sistemani hosil qilamiz. { C 1 ( 1 + μa ( 0 , z )) + μ C 2 b ( 0 , z ) = 0. C 1 μb ( 0 , z ) + C 2 ( 1 + μ c ( 0 , z )) = 0 Bu yerda C 1 ≠ 0 va C 2 ≠ 0 ekanligidan D(μ,0,z)=0 ga kelamiz. Demak z soni H μ(0) operator uchun xos qiymat bo’lar ekan va unga mos xos funksiya f(p)= − μ(C¿¿1+C2cosp ) ε0(p)− z ¿ ko’rinishda bo’lar ekan. 2. 1.5. D ( μ , 0 , z ) determinantning nollari soni va joylashgan o’rni. Quyidagi lemmalar a,b,c funksiyalar va D ( μ , 0 , z ) determinantning aniqlanishini to’g’ridan to’g’ri natijasidir. Lemma 2.5.1 Ixtiyoriy μ Rϵ va z ϵ C / [ 0,4 ] uchun D ( μ , 0 , z ) funksiya quyidagicha ifodalanadi. D(μ,0,z)=(1+μa (0,z))¿ Lemma 2.5.2. Ixtiyoriy 0 ∈ T uchun a ( 0 ; ∙ ) , b ( 0 ; ∙ ) , c ( 0 ; ∙ ) funksiyalar . i. C/[0,4 ] da regulyar bo’ladi. ii. (4,+∞) oraliqda manfiy va monoton o ’ suvchi bo ’ ladi . iii. (− ∞ ,0) oraliqda musbat va monoton o ’ suvchi bo ’ ladi . Isbot : (I) Ixtiyoriy 0∈T uchun a(0;∙),b(0;∙),c(0;∙) funksiyalarning C/[0,4 ] da regulyarligi bu funksiyalarning berilishidan ko’rinib turubdi. (II) Berilgan a(0,z)≔ 1 2π∫T dt ε0(t)− z b ( 0 , z ) ≔ 1 2 π ∫ T cost dt ε 0 ( t) − z c(0,z)≔ 1 2π∫T cos 2t ε0(t)− zdt funksiyalar zϵ(4,+∞)bo'lganligi uchun ushbu oraliqda manfiy bo'ladi . Ixtiyoriy 0 ∈ T uchun a ( 0 ; ∙ ) , b ( 0 ; ∙ ) , c ( 0 ; ∙ ) funksiyalarning z bo’yicha hosilalaridan ko’rinadiki, ushbu funksiyalar ( 4 , + ∞ ) oraliqda monoton o’suvchi bo’ladi. (III) Berilgan a(0,z)≔ 1 2π∫T dt ε0(t)− z b( 0 , z ) ≔ 1 2 π ∫ T cost dt ε 0 ( t) − z c(0,z)≔ 1 2π∫T cos 2t ε0(t)− zdt funksiyalar zϵ(−∞ ,0)bo'lganligi uchun ushbu oraliqda musbat bo'ladi . Ixtiyoriy 0∈T uchun a ( 0 ; ∙ ) , b ( 0 ; ∙ ) , c ( 0 ; ∙ ) funksiyalarning z bo’yicha hosilalaridan ko’rinadiki, ushbu funksiyalar ( − ∞ , 0 ) oraliqda monoton o’suvchi bo’ladi. Lemma 2.5.3. a(0;∙),b(0;∙),c(0;∙) funksiyalar uchun 0 nuqtaning chapida assimtotik yoyilmalarni quyidagicha olamiz: a ( 0 , z ) = 1 2 ¿ b ( 0 , z ) = 1 2 ¿ c ( 0 , z ) = 1 2 ¿ hamda 4 nuqtaning o’ngida quyidagicha a(0,z)= 1 2¿ b ( 0 , z ) = 1 2 ¿ c ( 0 , z ) = − 1 2 ¿ Shuningdek, ixtiyoriy μϵR lar uchun lim z → ± ∞ D ( μ , 0 , z ) = 1 ega bo’lamiz. Isbot: a ( 0 , z ) ≔ 1 2 π ∫ T dt 2 ( 1 − cosq ) − z = 1 2 π ∫ T dt 2 − 2 cosq + m ( 0 ) − z bu yerda m(0) =0 Yuqoridagi tenglikdan quyidagilarni hosil qilamiz: a( 0 , z ) ≔ 1 2 π ∫ T dt 2 ( 1 − cosq ) − z = 1 2 π 1 2 ∫ T dt ( 1 − cosq ) − z 2 = ¿ Bu ifodadan A = 1 − z 2 > 1 deb belgilash olsak ,quyidagilarga ega bo’lamiz: ¿ > 1 2 π 1 2 ∫ T dt A − cosq Quyidagicha almashtirish olamiz: t=eiq , dt = i e iq dq dq = dt ¿ cosq = t 2 + 1 2 t | t| = | e iq | = 1 Bu almashtirishlarni hisobga olsak,yuqoridagi integral quyidagi ko’rinishga keladi: ¿> 1 2π 1 2 ∫|t|=1 dt ¿(A− t2+1 2t ) = 1 4π ∫|t|=1 2dt i(2At −t2−1) =¿− 1 2πi ∫|t|=1 dt (t2− 2At +1) =¿¿ Yuqoridagi integral ostidagi ifodaning maxrajidagi ko’phadning nollarini topsak, t1= A−√A2−1 , t 2 = A + √ A 2 − 1 |t1|>1 Tengliklarga ega bo’lamiz.Bundan kelib chiqadiki, yuqoridagi integral quyidagi ko’rinishga keladi: ∫| t| = 1 dt ( t − t 1 ) ( t − t 2 ) = 2 π i t = t 1res f ( t) = 2 πi ( t − t 1 ) f ( t) = 1 ( t − t 1 ) ( t − t 2 ) , t = t 1res f ( t) = t → t 1lim ¿ ( t − t 1 ) f( t) = t → t 1lim ¿ 1 ( t − t 2 ) = 1 ( t 1 − t 2 ) ¿ ¿ ¿> −1 2πi ∗2πi (A−√A2−1)−(A+√A2−1) = 1 2√A2−1 = 1 2(√A−1)¿¿ A ni joyiga belgilash kiritganimizni qo’yib soddalashtiramiz, va quyidagiga ega bo’lamiz. ¿ > 1 (√ − z ) (√ 4 − z ) ga teng bo’lar ekan. Endi quyidagi ifodani hisoblaymiz: 1 (√4− z)= f(x) deb olsak ,berilgan funksiyani Teylor qatoriga yoyib hisoblaymiz: f(x)= f(x0)fI(x0) 1! (x− x0)+ fII(x0) 2! ¿ f ( x ) = 1 ( √ 4 − z ) 1 2 + 1 2 ∗ 1 8 1 ! z = 1 2 + 1 2 ∗ 3 2 ∗ 1 32 2 ! z 2 + … + (√ 4 − z ) n n ! ¿ ga teng deb olamiz. Demak, z↗ 0 da quyidagiga ega bo’lamiz: a ( 0 , z ) = 1 2 ¿ Endi ikkinchi z↗ 0 da asimptotikasini hisoblaymiz. b(0,z)≔ 1 2π∫T cosq dq ε0(q)− z=¿ 1 2π∫T cosq dq 2(1− cosq )− z= 1 4π∫T cosq (1−cosq )− z 2 dq = 1 2π∫T cosq dq 2(1− cosq )− z=¿¿ Bu ifodadan A = 1 − z 2 > 1 deb belgilash olsak ,quyidagilarga ega bo’lamiz:¿> 1 4π∫T cosq A− cosq dq = −1 4π∫T A− cosq − A A− cosq dq = −1 4π∫T(1− A A− cosq )dq =¿− 1 4π∫T dq + A 4π∫T 1 A− cosq dq =¿− 1 2+ A 4π∫T 1 A− cosq dq ¿¿ Endi yuqoridagi a ( 0 , z ) dagidek integralga kelib qoldik huddi oldingidek hisoblanadi va oxirida quyidagiga kelamiz: ¿>−1 2 + A 4π[ 1 2(− z) −12+0(1)]= −1 2 +(1− z 2)[ 1 2(− z) −12+0(1)]= −1 2 +(1− z 2)[ 1 2(− z) −12+0(1)]= −1 2 +1 2(− z) −12− 1 4∙z(− z) −12+0(1)= −1 2 +1 2(− z) −12+0(1) Bundan kelib chiqadiki, b ( 0 , z ) = 1 2 ¿ Endi quyidagini hisoblaymiz: c ( 0 , z ) = 1 2 π ∫ T cos 2 q ε 0 ( q) − z dq = 1 2 π ∫ T cos 2 q 2 ( 1 − cosq ) − z dq = 1 4 π ∫ T cos 2 q ( 1 − cosq ) − z 2 dq = 1 4 π ∫ T cos 2 q A − cosq dq = − 1 4 π ∫ T A 2 − cos 2 q − A 2 A − cosq dq = − 1 4 π ∫ T ( A + cosq ) dq + A 2 4 π ∫ T 1 A − cosq dq = − A 4 π ∫ T dq − 1 4 π ∫ T cosq dq + A 2 4 π ∫ T 1 A − cosq dq = − A 2 + A 2 4 π ∫ T 1 A − cosq dq Endi yana integral ostidagi ifodani hisoblashimiz uchun a(o,z) ifodadan foydalanamiz: ⇒ − A 2+A2¿ Demak,quyidagiga ega bo’lamiz: c ( 0 , z ) = 1 2 ¿ a(0;∙),b(0;∙),c(0;∙) integrallarni z ↘ M ( 0) da asimptotikalari yuqoridagilarga o’xshash hosil qilinadi. Yuqoridagi munosabatlardan quyidagi natija to’g’ridan –to’g’ri natija kelib chiqadi. Natija 2.5.1 . Har bir μ uchun quyidagi assimtotikalar o’rinli : (I) (2.4.9) formulaga a( 0 ; ∙ ) , b ( 0 ; ∙ ) , c ( 0 ; ∙ ) yoyilmalarni qo’yib quyidagiga ega bo’lamiz: D (μ,0,z)= 1 8C−12 −¿(μ,0)(−z)−12+18C0−¿(μ,0)+o(1),asz↗0,¿¿ bu yerda C−12 −¿(μ,0)=μ2+6μ¿ C0−¿(μ,0)=μ2+2μ−8.¿ (II) D ( μ , 0 , z ) = 1 8 C − 1 2+ ¿ ( μ , 0 )( z − 4 ) − 1 2 + 1 8 C 0+ ¿ ( μ , 0) + o( 1) , as z ↘ 4 , ¿ ¿ bunda C − 1 2+ ¿ ( μ , 0 ) = μ 2 − 6 μ ¿ C 0+ ¿ ( μ , 0 ) = − μ 2 + 2 μ − 8. ¿ Quyidagi μ∈Ruchun H μ0(0)va H 0μ(0) operatorlarning xos qiymatlari mavjudligi va ularning joylashgan o’rni uchun bazi natijalarni keltirib o’tamiz. 2.2 Asosiy natijalar bayoni va ularning isbotlari. Natija 2.5.1 da aniqlangan C − 1 2− ¿ ( μ , 0 ) = 0 C − 1 2+ ¿ ( μ , 0) = 0 ¿ ¿ nuqtalar o’qni bir nechta qismlarga ajratadi (Fig .3.1.) Biz bu qismlarni quyidagicha belgilab olamiz: __________________________ G2+¿=μ∈R:μ>6¿ G 1+ ¿ = μ ∈ R : 0 < μ < 6 ¿ G0+¿=μ∈R:μ<0¿ va G2−¿=μ∈R:μ←6¿ G 1− ¿ = μ ∈ R : − 6 < μ < 0 ¿G0−¿=μ∈R:μ>0¿ Quyidagi teorema barcha μ∈R larda H μ ( 0) operatorning xos qiymatlari va ularning joylashgan o’rnini ifodalaydi. Teorema: 2.2.1. (I) Ixtiyoriy μ ∈ G 20 = G 2− ¿ ¿ da H μ ( 0) operatorning (− ∞ ,0) da quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita z 1 ( μ ) va z2(μ) xos qiymatlari mavjud z1(μ)<ζmin−¿(μ)≤ζmax−¿(μ)<0.¿¿ (II) Ixtiyoriy μ ∈ G 10 = G 1− ¿ ∩ G 0+ ¿ ¿ ¿ da H μ(0) operatorning ( − ∞ , 0 ) da yotuvchi yagona z1(μ) xos qiymati mavjud. (III) Ixtiyoriy μ ∈ G 11 = G 1− ¿ ∩ G 1+ ¿ ¿ ¿ da H μ(0) operatorning z1(μ)<Emin (0) va z 2 ( μ ) > E max ( 0 ) shartni qanoatlantiruvchi ikkita xos qiymati mavjud. (IV) Ixtiyoriy μ∈G01=G0−¿∩G1+¿¿¿ da H μ(0) operatorning (4,+∞) da yotuvchi yagona z1(μ,0) xos qiymat mavjud . (V) Ixtiyoriy μ∈G02= G2+¿¿ da H μ(0) operatorning quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita z1(μ,0) va z2(μ,0) xos qiymatlari mavjud ε max ( 0 ) < z 2 ( μ ) < ζ min+ ¿ ( μ) ≤ ζ max+ ¿ ( μ) < z 1 ( μ ) . ¿ ¿ Isbot: (I) Faraz qilaylik ,( μ ¿ ∈ G 20 = G 2− ¿ ¿ bo’lsin, u holda μ<0 bo’lganligi uchun D ¿ ¿ va D ¿¿ bo’ladi. Bundan tashqari ixtiyoriy μ∈R lar uchun D ( μ , 0 , z ) = 1 z → ± ∞lim ¿ ¿ bo’lganligi uchun quyidagi xulosalarga ega bo’lamiz. Yuqoridagilardan hamda D( μ , 0 , z ) funksiyaning ( − ∞ , 0 ) oraliqda uzluksizligidan va monotonligidan shunday z 1 ( μ ) ∈ ¿ mavjudki, D ( μ , 0 , z 1 ( μ , 0 )) = 0 bo’ladi. Shuning bilan birgalikda D (μ,0,z)=+∞. z↗ εmin lim ¿¿ bo’lganligi uchun shunday z 2 ( μ ) ∈ ¿ soni mavjudki, D ( μ , 0 , z 2 ( μ , 0 )) = 0 bo’ladi. Bulardan kelib chiqadiki, H μ(0) operatorning (− ∞ ,0) oraliqda quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita z1(μ,0) va z2(μ,0) xos qiymatlari mavjud ekan z 1 ( μ , 0 ) < ζ min− ¿ ( μ , 0 ) ≤ ζ max− ¿ ( μ) < z 2( μ , 0) < ε min ( 0) . ¿ ¿ Teoremaning qolgan qismlari yuqoridagiga o’xshash isbotlanadi. Quyidagilar k=π va barcha μ ∈ R 2 bo’lganda teoremaning natijasi. Natija 2.2.1. k=π∈T da ixtiyoriy μ ∈ R 2 , uchun H μ ( 0) operatorning ikkita z1= :z1(μ,0) va z2=:z2(μ,0) xos qiymatlari mavjud va quyidagi xossalar o’rinli (I) z 1 > z 2 > ε max ( π ) agar, μ > 0 b o ' lsa , (II) z 1 > ε max ( π ) va z 2 < ε min ( π ) agar μ > 0 , b o ' lsa (III) z1<εmin (π)va z2>εmax (π)agar μ<0,bo'lsa (IV) z1<z2<εmin (π) agar, μ < 0 b o ' lsa . Xulosa Ushbu bitiruv malakaviy ishida bir o‘lchamli panjara Z da vμ , μϵR potensial yordamida tasvirlashuvchi ikkita bir xil bozonlar sistemasiga mos ^H μ(k) = ^H 0(k) + ^Vμ Schr ӧ dinger operatorining k = 0 ∈ T uchun σess(^H ¿¿μ)(0)¿ muhim spektridan tashqaridagi xos qiymatlarining aniq soni va joylashgan o’rnini ta’sir energiyasi μ ϵ R parametrga bog’liq ravishda topishga doir teoremalar isbotlangan. Bitiruv malakaviy ish natijalarini olishda funsional analiz,matematik analiz,kompleks o’zgaruvchining funksiyalari nazariyasi,chiziqli operatorlar spektral nazariyasi fanlari metodlaridan,hamda Birman-Schwinger printsipidan foydalanilgan. Ushbu bitiruv malakaviy ishdan olingan natijalar ilmiy xarakterga ega bo’lib, bu natijalar Schrödinger operatorlarining spektral nazariyasiga qo’shilgan hissa bo’ladi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. J.I. Abdullayev, S.N. Lakaev. Asymptotics of the discrete Spectrum of the three-particle Schrödinger difference operator on a lattice // Theor. and Math. Phys. 136 :3, 231–245 (2003). 2. S Albeverio, R.Hoegh-Krohn, and T.T. Wu. A class of exactly solvable three body quantum mechanical problems and universal low energy behavior // Phys. Lett. A 83 , 105-109 (1971) 3. S. Albeverio, F. Gesztesy, and R. Hoegh-Krohn. The law energy expansion in non-relativistic scattering theory // Ann. Inst. H.Poincare Sect. A (N.S.) 37 , 1-28(1982) 4. S.Albeverio, S.N. Lakaev and Z.I. Muminov. Schrödinger operators on lattices // The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics. Ann. Henri Poincare. 5 , (2004), 743-772. 5. S. Albeverio, S.N. Lakaev, K.A. Makarov and Z.I.Muminov. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians on lattices // Commun. Math. Phys. 262 , 91-115 (2006). 6. D. C. Mattis. The few-body problem on lattice // Rev.Modern Phys. 58 (1986), No. 2, 361-379. 7. S. Albeverio, S.N. Lakaev, Z.I. Muminov. On the number of eigenvalues of a model operator associated to a system of three-particles on lattices // Russ. J. Math. Phys. 14 (2007), no. 4, 377–387. 8. S. Albeverio, S.N. Lakaev, Z.I. Muminov. On the structure of the essential spectrum for the three-particle Schroedinger operators on lattices // Math. Nachr. 280 (2007), no.7, 699–716. 9. S. Albeverio, S.N. Lakaev, A.M. Khalkhujaev. Number of eigenvalues of the three-particle Schrödinger operators on lattices // Markov Proc. Relat. Fields. 18 :3, 387–420 (2012). 10. V. Bach, W. de Siqueira Pedra, S. Lakaev: Bounds on the Discrete Spectrum of Lattice Schrödinger Operators // Preprint mp-arc 10-143,43 pp.(2011) 11. V. Bach, W. de Siqueira Pedra, S.N. Lakaev. Bounds on the discrete spectrum of lattice Schrödinger operators // J. Math. Phys. 59 :2, 022109 (2017). 12. R. Blankenbecker et al. The bound states of a weakly coupled long-range one-dimensional quantum Hamiltonians // Annals of Physics, 108 (1977), 69–78. 13. I. Bloch. Ultracold quantum gases in optical lattices // Nat. Phys. 1 (2005), 23–30. 14. M. Sh. Birman, M. Solomiak. Spectral theory of selfadjoint operators in Hilbert space // Dordrecht: D.Reidel P.C.–1987. 15. P.A. Faria Da Veiga, L. Ioriatti, M. O’Carroll: Energy-momentum spectrum of some two-particle lattice Schrödinger Hamiltonians // Phys. Rev. E 66 :3 (2002), 016130. 16. G. M. Graf and D. Schenker. 2 -magnon scattering in the Heisenberg model // Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Theor. 67 , 91–107 (1997). 17. W. Hofstetter et al. High-temperature superfluidity of fermionic atoms in optical lattices // Phys. Rev. Lett. 89 (2002), 220407. 18. M. Lewenstein et al. Atomic Bose-Fermi mixtures in an optical lattice // Phys. Rev. Lett. 92 (2004), 050401 19. M.-S. Heo, T.T. Wang, C.A. Christensen, T.M. Rvachov, D.A. Cotta, J.- H. Choi, Y.-R. Lee, W. Ketterle. Formation of ultracold fermionic NaLi Feshbach molecules // Phys. Rev. A 86 (2012), 021602. 20. V. Hoang, D. Hundertmark, J. Richter, S. Vugalter. Quantitative bounds versus existence of weakly coupled bound states for Schrödinger type operators // arXiv:1610.09891v2 [math-ph], 22 May (2017). 21. F. Hiroshima, Z. Muminov, U. Kuljanov. Threshold of discrete Schrödinger operators with delta-potentials on N -dimensional lattice // Linear and Multilinear Algebra (2020). 22. D. Jaksch, C. Bruder, J. Cirac, C.W. Gardiner, P. Zoller. Cold bosonic atoms in optical lattices // Phys. Rev. Lett. 81 (1998), 3108–3111. 23. D. Jaksch, P. Zoller. The cold atom Hubbard toolbox // Ann. Phys. 315 (2005), 52–79. 24. A. Jensen and T. Kato. Spectral properties of Schrödinger operators and time decay of the wave functions // Duke Math. J.–1979. –Vol.46. –P. 583-611. 25. Sh.Yu. Kholmatov, S.N. Lakaev, F. Almuratov. Bound states of discrete Schrödinger operators on one and two dimensional lattices // Submitted, arXiv:2007.04035 (2020). 26. M. Klaus. On the bound state of Schrödinger operators in one dimension // Ann. Phys. 108 :2, (1977), 288-300. 27. M. Klaus, B. Simon: Coupling constant thresholds in non-relativistic quantum mechanics. I. Short range two body case // Ann. Phys. 130 (1980), 251– 281. 28. Kondratiev Yu. G. and R. A. Minlos R. A.: One-particle subspaces in the stochastic XY model.// J. Statist. Phys. 87 :3-4, 613–642 (1997). 29. S.N. Lakaev. Bound states and resonances of N -particle discrete Schrödinger operator // Theor. and Math. Phys., 91(1), 1992, 51–65. 30. S.N. Lakaev. The Efimov effect in a system of three identical quantum particles // Funct. Anal. Appl. 27 :3, 166–175 (1993). 31. S.N.Lakaev, Sh.M. Tilavova: Merging of eigenvalues and resonances of a two-particle Schrödinger operator // Theoret.and Math. Phys., 101 :2, 1320 -1331, (1994) 32. S. N. Lakaev and A. M. Khalkhuzhaev: Spectrum of the two-particle Schrödinger operator on a lattice // Theor. and Math. Phys., 155 (2),(2008),754– 765. 33. S.N. Lakaev, I.N. Bozorov. The number of bound states of a one-particle Hamiltonian on a three-dimensional lattice // Theoret. and Math. Phys. 158 :3 (2009), 360–376. 34. S. N. Lakaev and A. M. Khalkhuzhaev. The number of eigenvalues of the two-particle discrete Schrödinger operator // Theor. and Math. Phys., 158 (2), (2009),220–231. 35. S.N. Lakaev, Sh.Yu. Kholmatov: Asymptotics of eigenvalues of two- particle Schrödinger operators on lattices with zero-range interaction // J. Phys. A: Math. Theor. 44 (2011). 36. S.N.Lakaev. Threshold effects for the two and three particle Discrete Schrödinger Operators on lattices // Proceedings of The International Training and Seminars on Mathematics,p.160-166,(2011) 37. S.N.Lakaev, Sh.Yu. Holmatov. Asymptotics of Eigenvalues of a two- particle Schrödinger operators on lattices with zero range interaction // J. Phys. A: Math. Theor. 44 (2011), 135304,19 pp. 38. S.N. Lakaev, A.M. Khalkhuzhaev, Sh.S. Lakaev. Asymptotic behavior of an eigenvalue of the two-particle discrete Schrödinger operator // Theor. and Math. Phys. 171 :3, (2012), 800–811. 39. S.N. Lakaev, Sh.Yu. Kholmatov. Asymptotics of the eigenvalues of a discrete Schrödinger operator with zero-range potential // Izvestiya Math. 76 :6, (2012), 946–966. 40. S. N. Lakaev, Sh. U. Alladustov. Positivity of eigenvalues of the two- particle Schrödinger operator on a lattice // Theor. and Math. Phys., 178 :3 (2014), 390–402. 41. S.N. Lakaev, E. Özdemir. The existence and location of eigenvalues of the one particle Hamiltonians on lattices // Hacettepe J. Math. Stat. 45 (2016), 1693–1703. 42. S.N. Lakaev, A.T. Boltaev. Threshold phenomena in the spectrum of the two-particle Schrödinger operators on a lattice // Theor. and Math. Phys., 198 :3 (2019), 363–375 43. S. N. Lakaev, S. Kh. Abdukhakimov: Threshold effects in a two-fermion system on an optical lattice // Theor. and Math. Phys., 203 (2020), 251–268. 44. S. N. Lakaev, Sh. Yu. Kholmatov, Sh. I. Khamidov, Bose-Hubbard models with on-site and nearest-neighbor interactions: Exactly solvable case // J. Phys. A: Math. Theor. 54 (2021) 245201. 45. M. Lewenstein, A. Sanpera, V. Ahufinger. Ultracold Atoms in Optical Lattices: Simulating Quantum Many-body Systems // Oxford University Press, Oxford, 2012. 46. D. Mattis: The few-body problem on a lattice // Rev. Mod. Phys. 58 (1986), 361–379. 47. R.A. Minlos, Y.M. Suhov. On the spectrum of the generator of an infinite system of interacting diffusions // Comm. Math. Phys. 206 , 463–489 (1999). 48. A. Mogilner. Hamiltonians in solid-state physics as multi-particle discrete Schrödinger operators: Problems and results // Advances in Societ Math. 5 (1991), 139–194. 49. C. Ospelkaus, S. Ospelkaus, L. Humbert, P. Ernst, K. Sengstock, K. Bongs: Ultracold heteronuclear molecules in a 3d optical lattice // Phys.Rev. Lett. 97 (2006). 50. Yu.N. Ovchinnikov, and I.M. Sigal. Number of bound states of three particle systems and Efimov’s effect // Ann.Physics. 123 , 274-295 (1989) 51. Rauch J. Perturbation theory for eigenvalues and resonances of Schrödinger Hamiltonians // J. Funct. Anal. 35 , 304–315 (1980). 52. M. Reed and B. Simon. Methods of modern mathematical physics. I: Functional Analysis // Academic Press, New York, 1979. 53. M. Reed and B. Simon. Methods of modern mathematical physics. II: Fourier Analysis, Self-adjointness Academic Press // New York, 1979. 54. M. Reed and B. Simon. Methods of modern mathematical physics. III: Scattering theory // Academic Press, New York, 1979. 55. M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematical physics. IV: Analysis of Operators, Academic Press // New York, 1979. 56. B. Simon. The bound state of weakly coupled Schrödinger operators in one and two dimensions // Ann. Phys. 97 (1976), 279–288. 57. B. Simon: Notes on infinite determinants of Hilbert space operators // Advances in Math. 24 (1977), 244-273. 58. A.V. Sobolev. The Efimov effect. Discrete spectrum asymptotics // Commun. Math. Phys. 156 :1, 127-168 (1993). 59. H. Tamura. The Efimov effect of three-body Schrödinger operators: Asymptotics for the number of negative eigenvalues // Nagoya Math. J. 130 , 55-83 (1993) 60. K. Winkler, G. Thalhammer, F. Lang, R. Grimm, J. Hecker Denschlag, A.J. Daley, A. Kantian, H.P. Büchler, P. Zoller. Repulsively bound atom pairs in an optical lattice // Nature 441 (2006), 853–856. 61. D. R. Yafaev. The virtual level of the Schrödinger equation. J. Soviet // Math., 11 , 501–510 (1979). 62. D.R. Yafaev. On the theory of the discrete spectrum of the three-particle Schrödinger operator // Math. USSR-Sb. 94(136) :4(8), 567–593 (1974). 63. J.J. Zirbel, K.-K. Ni, S. Ospelkaus, T.L. Nicholson, M.L. Olsen, P.S. Julienne, C.E. Wieman, J. Ye, D.S. Jin. Heteronuclear molecules in an optical dipole trap // Phys. Rev. A 78 (2008). 64. E. A. Zhizhina. Two-particle spectrum of the generator for stochastic model of planar rotators at high temperatures // J. Statist. Phys. 91 , 343–368 (1998).

Panjaradagi ikki bozonli sistemaga mos schӧdinger operatorining xos qiymatlari

Купить