Qiya chiziq bo‘laklarini chizish uchun Brezenxem algoritmi

Информация о документе

Цена	12000UZS
Размер	120.1KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Дипломные работы
Предмет	Информатика и ИТ

Qiya chiziq bo‘laklarini chizish uchun Brezenxem algoritmi

Купить

2 KIRISH
Algoritm – berilgan natijaga erishish uchun qilinishi kerak bo lgan aniqʻ
ko rsatmalar ketma-ketligi. Algoritm keng ma noda faqat kompyuterga oid atama
ʻ ʼ
bo lmay, balki unda berilgan ko rsatmalarni bajara oluvchi har qanday narsaga
ʻ ʻ
oiddir.
Algoritm — ma lum bir turga oid masalalarni yechishda ishlatiladigan
ʼ
amallarning muayyan tartibda bajarilishi haqidagi aniq qoida (dastur). Kibernetika
va matematikaning asosiy tushunchalaridan biri.
Algoritm so’zi Al – Xorazmiy nomining lotincha talaffuzidan kelib chiqqan
bo’lib. Muxammad Muso Al-Xorazmiyning X asrda yaratilgan qo’llanmasida
keltirilgan o’nlik sanoq sistemasida arifmetik amallarni bajarish qoidalari soddaligi
tufayli yevropada ham o’nlik sanoq sistemasi qo’llanishiga turtki bo’ldi. Bu
qoidalar tarjimasida xar bir qoida “Al-Xorazmiy aytadiki” deb boshlangan va bora-
bora talaffuz tufayli algoritm tarzida ifodalanib kelgan.
Hozirgi paytda algoritm sifatida biror masalani ishlash yoki biror ishni
bajarish uchun qilinishi kerak bo’lgan tartiblangan chekli sondagi aniq bir qiymatli
ko’rsatmalar ketma-ketligi tushiniladi. Algoritm tushunchasi keng ma’noda tahlil
qilish mumkin. Aslida programma ham algoritmning boshqa bir ko‘rinishi bo‘lib, u
insonning kompyuter bilan muloqotini qulayroq amalga oshirish uchun
mo‘ljallangan. Kompyuterda dasturlash bu – kompyuter mikroprotsessori uchun
turli buyruqlar berish, qachon, qayerda nimani o'zgartirish va nimalarni kiritish
yoki chiqarish haqida buyruqlar berishdir. Bresenxem algoritmi 1962 yilda Jek E.
Bresenxem tomonidan taklif qilingan va tekislikda nuqtalar bilan figuralarni
chizish uchun mo'ljallangan. Bu algoritm kompyuter grafikasida ekranda chiziqlar
chizish uchun keng qo'llaniladi. Algoritm ikki o'lchovli rastrning qaysi nuqtalarini
bo'yash kerakligini aniqlaydi.

3I.BOB Brezenxem algoritmi
1.1 Brezenxem algoritmi
Bresenham algoritmi nazorat vazifalarida, masalan, quvvat yoki aylanish
tezligini boshqarishda ham qo'llanilishi mumkin. Bunday holda, gorizontal o'q vaqt
o'qi bo'lib, belgilangan qiymat to'g'ri chiziqning moyillik burchagi koeffitsientini
o'rnatadi.
Agar fazo diskret bo'lmasa, nega Axilles toshbaqani quvib o'tadi? Agar fazo
diskret bo'lsa, zarralar Brezenxem algoritmini qanday amalga oshiradi?
Men uzoq vaqtdan beri butun olam va ayniqsa uning ish qonunlari nimani
anglatishi haqida o'yladim. Ba'zida bir xil Vikipediyadagi ba'zi jismoniy
hodisalarning tavsiflari hatto bu hududdan unchalik uzoq bo'lmagan odam uchun
ham tushunarsiz bo'lib qolishi uchun chalkash bo'lib qoladi. Bundan tashqari,
menga o'xshagan odamlarning omadi bo'lmadi - hech bo'lmaganda bu hududdan
juda uzoqda bo'lganlar. Biroq, dasturchi sifatida men deyarli har kuni bir oz
boshqacha tekislikka - algoritmlarga duch kelaman. Va bir kuni, konsolda
qandaydir 2D-fizikani amalga oshirish jarayonida men shunday deb o'yladim:
“Ammo olam, aslida, noma'lum o'lchamdagi bir xil konsol. Ushbu konsolning
ekranida chiziqli harakatlanish uchun zarralar Brezenxem algoritmini amalga
oshirmasligi kerak deb o'ylash uchun biron bir sabab bormi? Va hech qanday sabab
yo'qga o'xshaydi.
Umuman olganda, Bresenham algoritmi nima ekanligi, uning fizika bilan
qanday bog'lanishi va bu uning talqiniga qanday ta'sir qilishi mumkinligi bilan
qiziqqan har bir kishi - mushuk ostida xush kelibsiz. Ehtimol, siz u erda parallel
olamlar mavjudligining bilvosita tasdig'ini topasiz. Yoki hatto uyali olamlar.
Brezenxem algoritmi
Oddiy qilib aytganda, qutidagi daftar varag'iga bir katak qalinlikdagi chiziq
chizish uchun siz ketma-ket turgan katakchalarni bo'yashingiz kerak bo'ladi.
Aytaylik, daftar varag'i tekisligi kataklarda diskret bo'ladi, ya'ni siz qo'shni
hujayralarning ikkita qo'shni yarmini bo'yashingiz mumkin emas va siz 0,5 ofsetga
ega bo'lgan katakni bo'yadingiz deb ayta olmaysiz, chunki diskretlik bunday
harakatga yo'l qo'ymaslikdadir. . Shunday qilib, bir qatorda turgan kataklarni
ketma-ket bo'yash orqali siz kerakli uzunlikdagi segmentni olasiz. Keling, tasavvur
qilaylik, uni istalgan yo'nalishda 45 daraja aylantirishingiz kerak - endi siz
diagonal bo'ylab hujayralarni bo'yab qo'yasiz. Aslida, bu bizning miyamiz
tomonidan qo'llaniladigan ikkita oddiy funktsiyadir:
F(x)=0
va

4F(x)=x
Va endi tasavvur qiling-a, segmentni, masalan, yana 10 gradusga aylantirish kerak.
Keyin klassik bir hil chiziqli funktsiyani olamiz:
F(x)=x*tan(55)
Va bu funktsiyaning grafigini oddiy varaqda oddiy qalam bilan chizish har qanday
7-sinf o'quvchisi uchun qiyin emas. Biroq, hujayralarda diskret bo'lgan bizning
taxmin qilingan qog'oz varaqimizda nima qilish kerak? Axir, keyin chiziq
chizishda qaysi hujayralarni bo'yashni tanlash kerak bo'ladi. Bu erda Brezenxem
algoritmi yordamga keladi.
Ushbu agloritm Jek Bresenxem tomonidan 1962 yilda IBMda ishlaganida
ishlab chiqilgan. U hali ham ishlab chiqarish uskunalaridan tortib OpenGLgacha
bo'lgan ko'plab amaliy va tizim komplekslarida virtual grafikani amalga oshirish
uchun ishlatiladi. Ushbu algoritmdan foydalanib, ushbu to'g'ri chiziq joylashgan
tekislikning berilgan diskretlik darajasi uchun berilgan to'g'ri chiziq uchun eng mos
keladigan taxminiylikni hisoblash mumkin.
Umumiy holat uchun Javascriptni amalga oshirish
var draw = (x, y) => ( ... ); // nuqta chizish funksiyasi var bresenham = (xs,
ys) => ( // xs, ys massivlar va mos ravishda deltaX = xs - xs, deltaY = ys - ys, xato
= 0, deltaError = deltaY, y = ys ; uchun (x = xs; x<= xs; x++) { draw(x, y); error
+= deltaError; if ((2 * error) >= deltaX) ( y -= 1; xato -= deltaX; ); ); );
Endi bizni o'rab turgan makon hali ham diskret ekanligini tasavvur qiling. Va u
hech narsa, zarralar, tashuvchilar, Xiggs maydoni yoki boshqa biror narsa bilan
to'ldirilganmi, muhim emas - bo'sh joyning minimal miqdori haqida ma'lum bir
tushuncha mavjud, undan kam narsa bo'lishi mumkin emas. Va u nisbiymi yoki
nisbiylik nazariyasi unga nisbatan to'g'rimi, muhim emas - agar fazo egri bo'lsa, u
qayerda egri bo'lsa, u boshqa pozitsiyadan ko'rinadigan bo'lsa ham, diskret bo'ladi.
har qanday yo'nalishda o'sha minimal chegaraning o'zgarishi bo'ldi. Ushbu
farazdan ma'lum bo'ladiki, ma'lum bir hodisa yoki mavjudlik yoki qoida materiya
zarralari va o'zaro ta'sir tashuvchilarning har qanday harakati uchun Bresenham
algoritmini amalga oshirishi kerak. Bu ma'lum darajada mikrokosmosdagi
zarrachalar harakatining kvantlanishini tushuntiradi - ular kosmosning bir qismidan
boshqa bo'lakka "teleportsiz" chiziqli ravishda harakatlana olmaydilar, chunki
ma'lum bo'lishicha, fazo umuman diskret emas.
Kosmosning diskretligining yana bir bilvosita tasdig'i yuqorida aytilganlarga
asoslangan hukm bo'lishi mumkin: agar kuzatilayotgan miqyosning ma'lum bir
pasayishi bilan bu Evklid geometriyasi yordamida tasvirlash qobiliyatini yo'qotsa,
u holda minimal masofa aniqlanganda aniq bo'ladi. chegara engib o'tilgan bo'lsa,
mavzuni geometrik tasvirlash usuli hali ham bo'lishi kerak. Faraz qilaylik, bunday
geometriyada bir parallel chiziq dastlabki chiziqqa tegishli bo‘lmagan nuqtadan
o‘tuvchi bir nechta boshqa to‘g‘ri chiziqqa to‘g‘ri kelishi mumkin yoki bunday
geometriyada umuman parallel to‘g‘ri chiziq tushunchasi, hattoki, to‘g‘ri chiziq

5tushunchasi ham mavjud emas. umuman chiziqlar, lekin ob'ektning geometriyasini
tavsiflashning har qanday faraziy ifodalangan usuli minimal uzunlikdan kamroq
joy oladi. Va, siz bilganingizdek, ma'lum bo'lgan minimal chegarada bunday
geometriyani tasvirlay olishini da'vo qiladigan bitta nazariya mavjud. Bu string
nazariyasi. U mavjudligini taxmin qiladi nimadur , olimlar torlar yoki branes deb
atashadi, talqin va matematik modelga qarab darhol 10/11/26 o'lchamlarda.
Shaxsan menga bu taxminan shunday tuyuladi va so'zlarimni asoslash uchun men
siz bilan fikrlash tajribasini o'tkazaman: ikki o'lchovli tekislikda, geometriyasi
to'liq "Evklid" bilan, yuqorida aytib o'tilgan qoida ishlaydi: bitta orqali nuqtaga
berilgan chiziqqa parallel ravishda faqat bitta chiziq chizishingiz mumkin. Endi biz
ushbu qoidani uch o'lchamli fazoga o'tkazamiz va olamiz ikki undan kelib
chiqadigan yangi qoidalar:
Analog - bitta nuqta orqali siz berilganga parallel ravishda faqat bitta chiziq
chizishingiz mumkin
Berilgan chiziqdan ma'lum bir masofada cheksiz-X chiziqlar bo'lishi
mumkin va bu cheksizlik-X masofadan qat'i nazar, bu chiziqqa parallel bo'lgan
barcha chiziqlarning cheksizligi-Z dan Y marta kichikdir, bu erda Y taxminan
gapirganda, kosmosdagi chiziq qalinligining mumkin bo'lgan soni
Oddiy qilib aytganda, agar siz chiziqlarni qurishda o'lcham qo'shsangiz,
lekin chiziqlarning Evklid geometriyasi qoidalariga bo'ysunishini hisoblashda
o'lcham qo'shmasangiz, ikkita mumkin bo'lgan parallel chiziqlar o'rniga biz chiziq
atrofida mumkin bo'lgan chiziqlarning "silindrini" olamiz. markaz - asl chiziq.
Endi tasavvur qiling-a, biz Super Mario olamida yashayapmiz va bunday silindrni
o'zimizning ikki o'lchovli makonimizga loyihalashtirishga harakat qilyapmiz -
hisob-kitoblarga ko'ra, parallel chiziqlar bo'lishi mumkin emas, lekin kuzatishlarga
ko'ra, butun bir cheksizlik bor - X . Nima deb o'ylaymiz? To'g'ri, biz chiziqlarni
qurish uchun yana bitta o'lchovni kiritamiz, lekin biz uni chiziqlarning Evklid
geometriyasi qoidalariga bo'ysunishini hisoblash uchun qo'shmaymiz. Aslida,
bunday silindrning o'zimizning ikki o'lchovli fazoga proyeksiyasini ko'rganimizdan
so'ng, biz o'zimizning ikki o'lchovli dunyomizda simlar nazariyasini o'ylab
topamiz.

1.2-Parallel va uyali olamlar
Ma'lum bo'lishicha, osmon jismlarining xatti-harakatlarini atom modelida va
aksincha ko'rgan qadimgi faylasuflar, aytaylik, bu mutlaqo bema'nilik deb da'vo
qilganlardan ko'ra haqiqatdan unchalik uzoq bo'lmagan. Axir, agar siz o'zingizni
hamma narsadan ozod qilsangiz bilim va mantiqiy ravishda hukm qiling - nazariy
jihatdan, pastki chegara bizga tanish bo'lgan Evklid geometriyasining ishlashini
cheklash uchun biz o'ylab topgan fantastikadan boshqa narsa emas. Boshqacha
qilib aytganda, Plank uzunligidan kamroq bo'lgan hamma narsa, to'g'rirog'i,

6aytganda haqiqiy Plank uzunligi , Evklid geometriyasi usullari bilan oddiygina
hisoblab bo'lmaydi, lekin bu uning mavjud emasligini anglatmaydi! Ma'lum
bo'lishicha, har bir bran ko'p o'lchovlar to'plamidir va shunday bo'ldiki, Plank
uzunligidan noma'lum X gacha bo'lgan oraliqda haqiqat geometriyasi Evklid,
Plank uzunligidan past - masalan, Lobachevskiy geometriyasi yoki sharsimon.
geometriya yoki boshqasi, bizning parvozimizni hech qanday tarzda fantaziya
bilan cheklamasdan, ustunlik qiladi va X chegarasidan yuqori - masalan, dezarg'siz
va sferik geometriya. Tush ko'rish zararli emas - aytishingiz mumkinki, hatto
noyob kvant harakati uchun ham, chiziqli (bu hali ham mikrokosmos darajasida
kvantlangan) haqida gapirmasa ham, zarralar bo'shliq diskret bo'lsa, Bresenham
algoritmini amalga oshirishi kerak.
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, yo Axilles hech qachon toshbaqani
ushlay olmaydi, yoki biz Matritsada butun kuzatilishi mumkin bo'lgan olam va
ma'lum fizika bo'lamiz, ehtimol - haqiqatning mumkin bo'lgan xilma-xilligining
ulkan okeanida bir tomchi.
LCD displeyni har birini ajratib ko'rsatish mumkin bo'lgan diskret
elementlar (piksellar) matritsasi sifatida ko'rish mumkinligi sababli, segmentni bir
nuqtadan ikkinchisiga to'g'ridan-to'g'ri chizish mumkin emas. Berilgan segmentga
eng mos keladigan piksellarni aniqlash jarayoni rasterizatsiya deb ataladi. Tasvirni
bosqichma-bosqich ko'rsatish jarayoni bilan birlashtirilganda, u rastrli skanerlash
konvertatsiyasi deb nomlanadi. Gorizontal, vertikal va 45 ° eğimli uchun.
segmentlar, rastr elementlarni tanlash aniq. Boshqa har qanday yo'nalish uchun
kerakli piksellarni tanlash qiyinroq, bu 1-rasmda ko'rsatilgan.
1-rasm. Chiziq segmentlarining rastriga parchalanish.
Segmentlarni chizish algoritmlariga qo'yiladigan umumiy talablar
quyidagilardan iborat: Segmentlar to'g'ri ko'rinishi, berilgan nuqtalarda boshlanishi
va tugashi, segment bo'ylab yorqinligi doimiy bo'lishi va uzunlik va qiyalikka
bog'liq bo'lmasligi kerak, siz tezda chizishingiz kerak.
Butun segment bo'ylab doimiy yorqinlikka faqat gorizontal, vertikal va
eğimli 45 ° burchak ostida chizilgan holda erishiladi. Boshqa barcha yo'nalishlar
uchun rasterizatsiya, rasmda ko'rsatilganidek, notekis yorqinlikka olib keladi. bitta.
Ko'pgina chiziqli chizish algoritmlari hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun
bosqichma-bosqich algoritmdan foydalanadi.
1.3-Bresenhamning umumiy algoritmi.
Brezenxem algoritmini amalga oshirish to'liq bo'lishi uchun barcha oktantlarda
segmentlarni qayta ishlash kerak. Algoritmda segment joylashgan kvadrant sonini va
uning qiyaligini hisobga olgan holda modifikatsiya qilish oson. Nishabning mutlaq
qiymati 1 dan katta bo'lsa, da doimiy ravishda bittaga o'zgaradi va qiymatni o'zgartirish
yoki o'zgartirish to'g'risida qaror qabul qilish uchun Bresenham xatosi mezoni

$7ishlatiladi x . Doimiy o'zgaruvchan (+1 yoki -1 tomonidan) koordinatani tanlash kvadrantga bog'liq (6-rasm). Umumiy algoritmni quyidagicha shakllantirish mumkin: Bresenxemning umumlashtirilgan butun sonli kvadrant algoritmi (x1,y1) va (x2,y2) segmentning uchlari bir-biriga to'g'ri kelmaydi deb taxmin qilinadi. barcha o'zgaruvchilar butun sonlar sifatida ko'rib chiqiladi belgisi - manfiy, nol va musbat argument uchun mos ravishda -1, 0, 1 qaytaruvchi funksiya o'zgaruvchan ishga tushirish x = abs(x2 - x1) y = abs(y2 - y1) s1 = belgisi (x2-x1) s2 = belgisi (y2 - y1) segmentning qiyaligiga qarab x va y qiymatlarining almashinuvi agar y< x keyin oxiri agar ishga tushirish e yarim pikselga tuzatilgan asosiy halqa 1.4-Aylana hosil qilish uchun Bresenham algoritmi. Rasterda nafaqat chiziqli, balki boshqa, murakkabroq funktsiyalarni ham parchalash kerak. Konus kesimlari, ya'ni doiralar, ellipslar, parabolalar, giperbolalarning parchalanishi sezilarli miqdordagi ishlarga bag'ishlangan. Eng katta e'tibor, albatta, aylanaga beriladi. Eng samarali va tushunarli doira yaratish algoritmlaridan biri Bresenhamga bog'liq. Birinchidan, faqat aylananing sakkizdan birini yaratishingiz kerakligini unutmang. Uning qolgan qismlarini rasmda ko'rsatilganidek, ketma-ket aks ettirish orqali olish mumkin. 8. Agar birinchi oktant hosil bo'lsa (soat miliga teskari 0 dan 45 ° gacha), ikkinchi oktantni y \u003d x to'g'ri chiziq atrofida aks ettirish orqali olish mumkin, bu birgalikda birinchi kvadrantni beradi. Ikkinchi kvadrantda aylananing mos keladigan qismini olish uchun birinchi kvadrant x = 0 chizig'i atrofida aks ettiriladi. Yuqori yarim doira qurilishni yakunlash uchun y = 0 to'g'ri chiziqqa nisbatan aks ettiriladi. Shaklda. 8 da mos keladigan o'zgarishlarning ikki o'lchovli matritsalari$

8ko'rsatilgan. Algoritmni chiqarish uchun aylananing birinchi choragini ko'rib chiqing.
E'tibor bering, agar algoritm nuqtadan boshlangan bo'lsa x = 0, y = R, keyin birinchi
kvadrantda soat yo'nalishi bo'yicha aylana hosil qilganda da argumentlarning monoton
kamayuvchi funktsiyasidir Xuddi shunday, agar boshlang'ich nuqtasi
bo'lsa y= 0, X = R, keyin soat miliga teskari aylana hosil qilganda X argumentning
monoton kamayuvchi funktsiyasi bo'ladi y. Bizning holatda, avlod nuqtasida boshlanishi
bilan soat yo'nalishi bo'yicha tanlanadi X = 0, y = R. Aylananing markazi va boshlang'ich
nuqtasi aynan to'r nuqtalarida joylashgan deb taxmin qilinadi.
Doiradagi istalgan nuqta uchun soat yo'nalishi bo'yicha yaratilganda, aylanaga eng
yaqin keladigan keyingi pikselni tanlashning faqat uchta imkoniyati mavjud: gorizontal
o'ngga, diagonal pastga va o'ngga, vertikal pastga. Shaklda. 10 bu yo'nalishlar mos
ravishda m H, m D, m V bilan belgilanadi . Algoritm ushbu piksellardan biri va aylana
orasidagi masofaning kvadrati minimal bo'lgan pikselni tanlaydi, ya'ni minimal.
m H = |(x i + 1) 2 + (y i) 2 -R 2 |
m D = | |
m V = |(x i) 2 + (y i -1) 2 -R 2 |
Brezenxem segmenti algoritmida bo'lgani kabi, mos keladigan pikselni tanlash
uchun uning kattaligi emas, balki faqat xato belgisidan foydalanish maqsadga
muvofiqdir.
Gorizontal o'qda algoritmni tugatish uchun chegara o'zgaruvchisi nolga o'rnatiladi,
natijada birinchi kvadrantda aylana hosil bo'ladi. Agar oktantlardan faqat bittasi kerak
bo'lsa, ikkinchi oktantni Limit = belgilash orqali olish mumkin Butun son (R/sqrt(2)),
birinchisi esa - y = x to'g'ri chiziq atrofida ikkinchi oktantni aks ettirish orqal amalga
oshiriladi.

9II. BOB Bezier egri chizig'i uchun
geometrik algoritm
2.1 Yuzaki tavsif modellari. Analitik
model .
Analitik model - bu sirtni matematik formulalar bilan tavsiflash:
z = f(x,y) – funksiya yordamida tavsiflash,
F(x,y,z) = 0 - yashirin tenglama yordamida tavsiflash.
Ko'pincha sirt tavsifining parametrik shakli qo'llaniladi:
bu erda s va t ma'lum diapazonda o'zgaruvchan parametrlar bo'lib, Fx, Fy va Fz
funktsiyalari sirt shaklini aniqlaydi.
Afzallik Parametrik shakl noaniq funktsiyalarga mos keladigan sirtlarni va yopiq
sirtlarni tasvirlash qulayligida yotadi.
Parametrik tavsif shunday o'rnatilishi mumkinki, sirt aylantirilganda va
masshtablanganda formula sezilarli darajada o'zgarmaydi (murakkablanadi).
Afzalliklar modellar (CG pozitsiyasidan):
 sirtning har bir nuqtasining koordinatalarini, normallarni hisoblash qulayligi;
 juda murakkab shakllarni tavsiflash uchun kichik hajmdagi ma'lumotlar.
Kamchiliklari:
 kompyuterda sekin hisoblab chiqiladigan funktsiyalardan foydalangan holda tavsif
formulalarining murakkabligi, ko'rsatish operatsiyalari tezligini pasaytiradi;
 ko'p hollarda ushbu tavsif shaklini bevosita sirt tasviriga qo'llashning iloji yo'qligi -
sirt ko'pburchak shaklida ko'rsatiladi, uning tepalari va yuzlarining koordinatalari
displey jarayonida hisoblab chiqiladi, bu esa ko'rsatkich bilan solishtirganda tezlikni
pasaytiradi. poligonal tavsif modeli.
2.2 Yuzaki model "yagona panjara".

10Ushbu model sirtdagi alohida nuqtalarning koordinatalarini quyidagi tarzda
tavsiflaydi. Indekslari (i, j) bo'lgan har bir tarmoq tuguniga zij balandlik qiymati beriladi.
Indekslar (i, j) koordinatalarning ma'lum qiymatlariga (x, y) mos keladi. Tugunlar
orasidagi masofa bir xil - x o'qi bo'ylab dx, y o'qi bo'ylab dy. Aslida, bunday model ikki
o'lchovli massiv, rastr, matritsa bo'lib, ularning har bir elementi balandlik qiymatini
saqlaydi.
Har bir sirtni ushbu model bilan ifodalash mumkin emas. Har bir tugunda (i, j)
faqat bitta balandlik qiymati qayd etilsa, bu sirt bitta qiymatli z = f (x, y) funksiyasi bilan
tasvirlanganligini bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, bu har bir vertikal faqat bir marta
kesib o'tadigan sirt. Vertikal yuzlarni ham modellashtirish mumkin emas. Shuni ta'kidlash
kerakki, to'rni nafaqat Dekart koordinatalarida ko'rsatish mumkin. Masalan, bitta qiymatli
funktsiyali sharning sirtini tasvirlash uchun qutb koordinatalaridan foydalanish mumkin.
Yagona panjara yordamida ko'pincha er yuzasining relefi tasvirlanadi.
Yagona tarmoqning ijobiy xususiyatlari:
 sirtlarni tasvirlash qulayligi;
 oddiy interpolyatsiya orqali sirtdagi istalgan nuqtaning balandligini tezda aniqlash
qobiliyati.
Yagona tarmoqning kamchiliklari:
 panjara nuqtalarida balandlikning noaniq funktsiyasiga mos keladigan sirtlarni
modellash mumkin emas;
 murakkab sirtlarni tasvirlash uchun kompyuter xotirasi miqdori bilan cheklanishi
mumkin bo'lgan ko'p sonli tugunlar talab qilinadi.
Yuzaki model "bir xil bo'lmagan to'r".
Noto'g'ri to'r sirtni alohida nuqtalar to'plami ((x0, y0, z0), (x1, y1, z1), …, (xn – 1,
yn – 1, zn – 1) ko'rinishida tasvirlash modelidir. )) sirtga tegishli. Bu nuqtalarni, masalan,
muayyan asbob-uskunalar yordamida ob'ektning sirtini o'lchash natijasida olinishi
mumkin. Bunday modelni yuqorida muhokama qilingan ba'zi modellar uchun
umumlashma deb hisoblash mumkin. Masalan, vektorli ko'pburchak modeli va bir xil
to'rni bir xil bo'lmagan to'rning navlari deb hisoblash mumkin.
Bir-biri bilan mantiqiy bog'liq bo'lmagan nuqta qiymatlari to'plami ko'rinishidagi
sirt modelini ko'rib chiqing. Yo'naltiruvchi nuqtalarni belgilashning bir xil emasligi mos
yozuvlar nuqtalari bilan mos kelmaydigan boshqa sirt nuqtalari uchun koordinatalarni
aniqlashni qiyinlashtiradi. Fazoviy interpolyatsiyaning maxsus usullari talab qilinadi.
Ma'lum koordinatalardan (x, y) z koordinatasining qiymatini hisoblash vazifasi
bo'lsin. Buning uchun siz bir nechta eng yaqin nuqtalarni topishingiz kerak, so'ngra bu
nuqtalarning proyeksiyadagi (x, y) nisbiy o'rnidan kelib chiqqan holda z ning kerakli
qiymatini hisoblashingiz kerak. Yagona tarmoq uchun bu muammo juda oddiy hal
qilinadi - aslida hech qanday qidiruv yo'q, eng yaqin mos yozuvlar nuqtalarining
indekslari darhol hisoblanadi.

11Ikkinchi vazifa - sirtni ko'rsatish (vizual qilish). Bu muammoni bir necha usul
bilan hal qilish mumkin. Eng keng tarqalganlardan biri bu triangulyatsiya.
Triangulyatsiya jarayonini quyidagicha ifodalash mumkin:
 biz birinchi uchta nuqtani bir-biriga eng yaqin topamiz - biz bitta tekis uchburchak
yuzni olamiz;
 biz bu yuzga eng yaqin nuqtani topamiz va qo'shni yuzni hosil qilamiz va shunga
o'xshash bitta nuqta qolmaguncha.
Brezenxem algoritmi ikki o lchovli rastrning qaysi nuqtalari berilgan ikkita nuqtaʻ
orasidagi to g ri chiziqqa yaqinroq bo lishi uchun soyalanishi kerakligini aniqlaydigan
ʻ ʻ ʻ
algoritmdir.
Segment ikki nuqta - (x0, y0) va (x1, y1) o'rtasida chiziladi, bu erda bu juftliklar
mos ravishda ustun va qatorni o'z ichiga oladi, ularning raqamlari o'ngga va pastga ortadi.
Birinchidan, bizning chizig'imiz pastga va o'ngga tushadi va gorizontal masofa x1 - x0
vertikal masofa y1 - y0 dan kattaroqdir, ya'ni. chiziqning gorizontaldan qiyaligi 45 ° dan
kam. Bizning maqsadimiz x0 va x1 oralig'idagi har bir x ustun uchun qaysi qator y
chiziqqa eng yaqin ekanligini aniqlash va (x,y) nuqtani chizishdir.
Ikki nuqta orasidagi chiziqning umumiy formulasi:
Biz x ustunini bilganimiz uchun y qatori quyidagi qiymatni butun songa yaxlitlash
orqali olinadi:
Biroq, bu ifodaning aniq qiymatini hisoblashning hojati yo'q. Shuni ta'kidlash
kifoyaki, y y0 dan o'sadi va har bir qadam uchun biz x ga bitta qo'shamiz va y ga qiyalik
qiymatini qo'shamiz.
Buni oldindan hisoblash mumkin. Bundan tashqari, har bir qadamda biz ikkita
narsadan birini qilamiz: yo bir xil y ni saqlang yoki uni 1 ga oshiring.
Ikkalasidan qaysi birini tanlashni xato qiymatini kuzatish orqali hal qilish mumkin,
bu joriy y qiymati va joriy x uchun aniq y qiymati o'rtasidagi vertikal masofani anglatadi.
Qachonki biz x ni oshirsak, xato qiymatini yuqorida keltirilgan s qiyalik miqdoriga
oshiramiz. Agar xato 0,5 dan katta bo'lsa, chiziq keyingi y ga yaqinlashadi, shuning
uchun xato qiymatini 1 ga kamaytirgan holda y ni bir marta oshiramiz. Quyidagi
algoritmni amalga oshirishda plot(x,y) nuqta chizadi va abs raqamning mutlaq qiymatini
qaytaradi:
funktsiyasi chiziq (x0, x1, y0, y1)

12int deltax:= abs(x1 - x0)
int deltay:= abs(y1 - y0)
haqiqiy xato: = 0
haqiqiy deltaerr:= deltay / deltax
int y:= y0
uchun x dan x0 uchun x1
xato: = xato + deltaerr
agar xato >= 0,5
xato:= xato - 1.0
Segmentning boshida koordinatalar (X 1 ,Y 1) va oxiri (X 1 ,X 2) bo lsin.ʻ
Belgilamoq
Dx=(X 2 -X 1), dy=(Y 2 -Y 1) . Umumiylikni yo'qotmasdan, biz segmentning
boshlanishi koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri keladi va to'g'ri chiziq shaklga ega
deb taxmin qilamiz.
Qayerda. Biz boshlang'ich nuqtasi chap tomonda deb taxmin qilamiz. (i-1) -chi
pog'onada segmentning joriy nuqtasi P i -1 =(r,q) bo'lsin. Keyingi nuqtani tanlash S i yoki
T i farqning (s-t) belgisiga bog'liq. Agar (s-t)<0 , то P i =T i =(r+1,q) и тогда
X i +1 =i+1;Y i +1 =Y i , agar (s-t)≥0 bo lsa, P i =T i =(r+1,q+1) va keyin X i +1
ʻ
=i+ bir ; Y i +1 = Y i +1 ;
dx=(s-t)=2(rdy-qdx)+2dy –dx
dx=(s-t) ning ishorasi ayirma belgisi bilan mos kelgani uchun) d i =dx(s-t)
ifodaning ishorasini tekshiramiz. . r=X i -1 va q=Y i -1 bo‘lgani uchun
d i +1 = d i +2dy -2dx(y i -y i -1) .
Oldingi bosqichda bo'lsin d i<0 , тогда (y i -y i -1)=0 и d i +1 = d i +2dy . Если же
на предыдущем шаге d i ≥0 , тогда(y i -y i -1)=1 и d i +1 = d i +2dx(y i -y i -1)
D i ni qanday hisoblashni o'rganish qoladi. Chunki i=1 uchun
Protsedura Bresenham(x1,y1,x2,y2,Rang: integer);
dx,dy,incr1,incr2,d,x,y,xend: butun son;
dx:=ABS(x2-x1);

13dy:= Abs(y2-y1);
d:=2*dy-dx; (d ning boshlang'ich qiymati)
incr1:=2*dy; (d uchun o'sish<0}
incr2:=2*(dy-dx); (d>=0 uchun o'sish)
agar x1>x2 bo'lsa (pastki x qiymati bilan nuqtadan boshlab)
PutPixel(x,y,rang); (segmentning birinchi nuqtasi)
X esa<="" p="">
d:=d+incr1 (pastki nuqtani tanlang)
d:=d+incr2; (yuqori nuqtani tanlang, y o'sadi)
PutPixel(x,y,rang);
Algoritm segmentni ifodalash uchun optimal rastr koordinatalarini tanlaydi. Rastr
birligi sifatida Dx yoki Dy o'sishlarning kattarog'i tanlanadi. Ish paytida koordinatalardan
biri - x yoki y (nishabga qarab) - bittaga o'zgaradi. Boshqa koordinatani o'zgartirish (0
yoki 1 ga) segmentning haqiqiy holati va eng yaqin panjara koordinatalari orasidagi
masofaga bog'liq. Bu masofa xato.
Algoritm shunday tuzilganki, bu xatoning belgisini bilishgina talab qilinadi.
Shuning uchun rastr nuqtasi (1, 1) segmentning borishini (1, 0) nuqtadan yaxshiroq
yaqinlashtiradi. Nishab ½ dan kichik bo'lsa, buning aksi to'g'ri bo'ladi. ½ nishab uchun
afzal tanlov yo'q. Bunda algoritm nuqtani (1, 1) tanlaydi. Faqat xato belgisini tekshirish
maqsadga muvofiq bo'lganligi sababli, u dastlab -½ ga o'rnatiladi. Shunday qilib, agar
segment qiyaligi ½ dan katta yoki teng bo'lsa, keyingi pikseldagi xato miqdori e = -½ +
Dy/Dx sifatida hisoblanishi mumkin.
Bresenham algoritmini amalga oshirish to'liq bo'lishi uchun barcha oktantlarda
segmentlarni qayta ishlash kerak. Algoritmda segment yotadigan kvadrant sonini va
uning qiyaligini hisobga olgan holda buni qilish oson. Nishabning mutlaq qiymati 1 dan
katta bo'lsa, y doimiy ravishda bittaga o'zgaradi va x qiymatini o'zgartirish yoki
o'zgartirish to'g'risida qaror qabul qilish uchun Bresenham xato mezoni qo'llaniladi.
Doimiy o'zgaruvchan (+1 yoki -1) koordinatani tanlash kvadrantga bog'liq
var x,y,sy,sx,dx,dy,e,z,i: Integer;
o'zgartirish: mantiqiy;
boshlash
x:=x1; y:=y1;
dx:=abs(x2-x1); dy:=abs(y2-y1) ;
sx:=belgi(x2-x1); sy:=belgi(y2-y1);
e:= 2*dy-dx;
agar dy

$14boshqa boshlanadi z:=dx; dx:=dy; dy:=z; o'zgartirish: = rost oxiri; i:=1 uchun dx+dy boshlanadi agar dy< dx then begin agar o'zgartirilsa, y:=y+sy boshqa x:=x+sx; e:=e+2*dy; boshqa tugaydi o'zgartirilsa, x:=x+sx Aks holda y:=y+sy; e:=e-2*dx oxiri; Form1.Canvas.Pixels:=clblack; // masalan, chiqish nuqtasi oxiri; Raster chiziqli va boshqa ko'proq katlama funktsiyalarida joylashtirilishi kerak. Razkladannyukoníchnykh perízív, tobto kil, elípsív, parabola, giperbola, ishning ahamiyati tayinlandi. Eng katta hurmat, zrozumílo, biriktirilgan pay. Doira yaratish uchun eng samarali va tushunarli algoritmlardan biri Bresenhamdir. Kob uchun, qoziqning faqat sakkizdan birini hosil qilish kerakligi hurmatlidir. Reshta її qismlari oxirgi bitkoinlar tomonidan olib ketilishi mumkin. Agar birinchi oktant hosil bo'lsa (qarama-qarshi o'qning 0 dan 45 ° gacha), unda boshqa oktantni to'g'ri yo'nalishda oyna tasviri sifatida olish mumkin y \u003d x, bu birinchi kvadrantni umumiy holda beradi. Birinchi kvadrant to'g'ri ko'rinadi x = 0 qoziqning yuqori qismini boshqa kvadrantdan olib tashlash uchun. Yuqori chiziq ko'rinadigan darajada to'g'ri y = 0 tugatish uchun. Algoritmni ko'rish uchun markaz koordinatalar markazida joylashgan qoziqning birinchi choragini ko'rib chiqaylik. Hurmat bilan, robot x = 0, y = R nuqtadan boshlanadi, keyin birinchi kvadratdagi o'q orqasida doira hosil qilganda, argumentlarning monoton ravishda parchalanish funktsiyasi. Xuddi shunday, chiqish nuqtasi sifatida ê y \u003d 0, x \u003d\u003d R, keyin qarama-qarshi o'q x doirasini yaratishda biz y argumentining monoton ravishda parchalanadigan funktsiyasi bo'lamiz. Bizning holatda, avlod yil o'qi uchun x = 0, y = R nuqtalarida boshoq bilan tanlanadi. Kobning markazi va kob nuqtasi rastr nuqtalarida aniq qayta yozilishi muhimdir. Yil o'qidan keyin hosil qilish paytida raqamda berilgan nuqta bo'ladimi yoki yo'qmi, keyingi pikselni tanlashning faqat uchta imkoniyati mavjud, eng yaqin daraja aylana hisoblanadi: gorizontal o'ngga, diagonal pastga va o'ngga, vertikal pastga. Algoritm minimal kvadrati ushbu piksellardan biri va aylana o'rtasida bo'lgan pikselni tanlaydi Kundalik hayotda ko'pincha matematik tarzda tasvirlab bo'lmaydigan tasvirni (naqshlarni) kuzatish mumkin. Misol: qishda derazalar muzlaydi, siz rasmni tomosha qilishingiz mumkin. Bunday to'plamlar fraktal deyiladi. Fraktallar geometriyadagi taniqli raqamlarga o'xshamaydi va ular kompyuterda amalga oshirilishi mumkin bo'lgan ma'lum$

15algoritmlarga muvofiq qurilgan. Oddiy qilib aytganda, fraktal - bu asl shaklga qayta-
qayta qo'llaniladigan qandaydir o'zgarishlar natijasida paydo bo'lgan tasvir.
Fraktal geometriyaning birinchi g'oyalari 19-asrda paydo bo'lgan. Kantor oddiy rekursiv
protseduradan foydalanib, chiziqni bir-biriga bog'lanmagan nuqtalar to'plamiga
aylantirdi, keyinchalik u Kantor changi deb nomlandi. U chiziqni oldi va markaziy
uchinchi qismini olib tashladi va keyin qolgan segmentlar bilan xuddi shunday takrorladi.
Peano maxsus turdagi chiziq chizdi. Uni chizish uchun Peano quyidagi algoritmdan
foydalangan:
U to'g'ri chiziq oldi va uni asl chiziqdan uch barobar qisqaroq segmentlar bilan
almashtirdi. Keyin u har bir segment bilan bir xil harakatni takrorladi. Uning o'ziga
xosligi shundaki, u butun tekislikni to'ldiradi, ya'ni. tekislikdagi har bir nuqta uchun
Peano chizig'iga tegishli nuqtani topish mumkin.
Fraktal geometriyaning asoschisi hisoblanadi Benua Mandelbrot . Mandelbrot "fraktal"
tushunchasini kiritdi.
Fraktal - bu qismlardan tashkil topgan va qismlarga bo'linadigan geometrik figura,
ularning har biri butunning kichikroq nusxasi bo'ladi. Fraktallarning asosiy xususiyati
o'ziga o'xshashlikdir, ya'ni. fraktalning har qanday bo'lagi u yoki bu tarzda uning global
tuzilishini takrorlaydi. Fraktallar geometrik, algebraik, stokastik, takrorlangan funksiyalar
sistemasiga bo'linadi.
Kundalik hayotimizda biz doimo o'lchamlarga duch kelamiz. Biz yo'lning
uzunligini hisoblaymiz, kvartiraning maydonini aniqlaymiz va hokazo. Ushbu
kontseptsiya juda intuitiv tarzda aniq va aniq ko'rinib turibdiki, tushuntirishni talab
qilmaydi. Chiziqning o'lchami 1. Bu shuni anglatadiki, mos yozuvlar nuqtasini tanlab, biz
ushbu chiziqning istalgan nuqtasini 1 raqamdan foydalanib aniqlashimiz mumkin - ijobiy
yoki salbiy. Va bu barcha chiziqlar uchun amal qiladi - doira, kvadrat, parabola va
boshqalar.
2-o'lchov har qanday nuqtani ikkita raqam bilan aniq belgilashimiz mumkinligini
anglatadi. Ikki o'lchovli degani tekis degani deb o'ylamang. Sfera yuzasi ham ikki
o'lchovli (uni ikkita qiymat yordamida aniqlash mumkin - kenglik va uzunlik kabi
burchaklar).
Agar siz matematik nuqtai nazardan qarasangiz, u holda o'lcham quyidagicha
aniqlanadi: bir o'lchovli ob'ektlar uchun - ularning chiziqli o'lchamlarini ikki barobarga
oshirish o'lchamning (bu holda, uzunligi) ikki marta (2 ^ 1) oshishiga olib keladi.
2D ob'ektlar uchun chiziqli o'lchamlarni ikki baravar oshirish o'lchamning to'rt
marta (2 ^ 2) oshishiga olib keladi (masalan, to'rtburchaklar maydoni).
3 o'lchovli ob'ektlar uchun chiziqli o'lchamlarning ikki baravar ko'payishi
hajmning sakkiz marta oshishiga olib keladi (2 ^ 3) va hokazo.
geometrik fraktallar
Aynan shu fraktal bilan butun fraktallarning rivojlanish tarixi boshlandi. Ushbu
turdagi fraktallar oddiy geometrik konstruktsiyalar bilan olinadi. Odatda, geometrik
fraktallarni qurishda ular quyidagi algoritmga amal qiladi:

161. Segmentlar to'plami olinadi, ularning asosida fraktal quriladi.
2. Ushbu to'plamga ma'lum qoidalar qo'llaniladi, ular uni qandaydir geometrik shaklga
aylantiradi.
3. Ushbu raqamning har bir qismi uchun bir xil qoidalar to'plami qo'llaniladi. Har bir qadam
bilan raqam tobora murakkablashadi va agar biz cheksiz miqdordagi o'zgarishlarni
amalga oshirsak, biz geometrik fraktalni olamiz.
Geometrik fraktallarga misollar: Peano egri chizig'i, Kox qor parchasi, paporotnik
bargi, Sierpinski uchburchagi,
II.2-rasm. Qor parchasi Koch
II.3-rasm Varaq

172.3.Bresenxemning umumlashtirilgan
butun sonli kvadrant algoritmi
Algebraik fraktallar algebraik funktsiyalar asosida qurilganligi sababli o'z
nomini oldi. Algebraik fraktallarga quyidagilar kiradi: Mandelbrot to'plami, Julia
to'plami, Nyuton hovuzlari, biomorflar.
- Mandelbrot to'plami: Mandelbrot to'plami birinchi marta 1905 yilda Per Fatu
tomonidan tasvirlangan. Fatou shaklning rekursiv jarayonlarini o'rgangan
Murakkab tekislikdagi nuqtadan boshlab, ushbu formulani ularga ketma-ket
qo'llash orqali siz yangi nuqtalarni olishingiz mumkin. Nuqtalarning bunday ketma-
ketligi aylantirilganda orbita deb ataladi
Fatou ushbu transformatsiya ostidagi orbita juda murakkab va qiziqarli harakatni
ko'rsatishini aniqladi. Bunday o'zgarishlarning cheksiz soni mavjud - har bir qiymat
uchun bittadan. (Mandelbrot nomini oldi, chunki u birinchi bo'lib kompyuter yordamida
kerakli miqdordagi hisob-kitoblarni amalga oshirdi).
- Julia to'plami : Yuliya ratsional xaritalash to'plami -
boshlang'ich pozitsiyasining kichik buzilishlariga nisbatan yaqin atrofdagi dinamikasi
ma'lum ma'noda beqaror bo'lgan nuqtalar to'plami. Agar f - polinom, ular to'ldirilgan Julia
to'plamini ham ko'rib chiqadilar - cheksizlikka moyil bo'lmagan nuqtalar to'plami. Odatiy
Julia to'plami keyin uning chegarasi hisoblanadi.
- Nyuton hovuzlari: Fraktal chegaralari bo'lgan maydonlar chiziqli bo'lmagan
tenglamaning ildizlari taxminan Nyuton algoritmi tomonidan murakkab tekislikda
topilganda paydo bo'ladi (haqiqiy o'zgaruvchining funktsiyasi uchun Nyuton usuli odatda
deyiladi. tangens usuli , bu holda, murakkab tekislikka umumlashtiriladi).
Murakkab o'zgaruvchining funksiyasining nolini topish uchun Nyuton usulini
qo'llaymiz:
Dastlabki taxminiylikni tanlash alohida qiziqish uyg'otadi. Chunki funktsiya bir
nechta nolga ega bo'lishi mumkin, turli hollarda usul turli qiymatlarga yaqinlashishi
mumkin.
-biomorflar: z=z 3 +c formulasi bilan hisoblangan Julia to'plamining
qisqartirilgan shakli. Bu nom bir hujayrali organizmlar bilan o'xshashligi sababli
berilgan.
Stokastik fraktallar

18Ushbu turdagi fraktallarning tipik vakili plazma deb ataladigan narsadir.
Uning qurilishi uchun to'rtburchaklar olinadi va uning har bir burchagi uchun rang
aniqlanadi. Keyin to'rtburchakning markaziy nuqtasini toping va uni to'rtburchak
burchaklaridagi ranglarning o'rtacha arifmetik qiymatiga + ba'zi tasodifiy songa teng
rangga bo'yang. Bu tasodifiy raqam qanchalik katta bo'lsa, naqsh shunchalik yirtilgan
bo'ladi.
Tabiiy ob'ektlar ko'pincha fraktal shaklga ega. Ularni modellashtirish uchun
stokastik (tasodifiy) fraktallardan foydalanish mumkin. Stokastik fraktallarga misollar:
Braun harakatining tekislik va fazoda traektoriyasi;
Braun harakati traektoriyasining tekislikdagi chegarasi. 2001 yilda Louler,
Shramm va Verner Mandelbrotning uning o'lchami 4/3 ga teng degan taxminini
isbotladilar.
Schramm-Löwner evolyutsiyalari - bu Ising modeli va perkolatsiya kabi statistik
mexanikaning kritik ikki o'lchovli modellarida paydo bo'ladigan konformal invariant
fraktal egri chiziqlar.
tasodifiy fraktallarning har xil turlari, ya'ni rekursiv protsedura yordamida olingan
fraktallar, bunda har bir bosqichda tasodifiy parametr kiritiladi. Plazma kompyuter
grafikasida bunday fraktaldan foydalanishga misoldir.
Fraktal monotipi yoki stoxatipiya - tasviriy san'at yo'nalishi bo'lib, u tasodifiy
fraktal tasvirini olishdan iborat.
To'g'ri chiziqdan xulosa chiqarish algoritmi
Katod nurlari trubkasi (CRT) bitmap displeyining ekrani har biri yoritilishi
mumkin bo'lgan diskret elementlar (piksellar) matritsasi sifatida ko'rib chiqilishi
mumkinligi sababli, segmentni bir nuqtadan ikkinchisiga to'g'ridan-to'g'ri chizish mumkin
emas. Berilgan segmentga eng mos keladigan piksellarni aniqlash jarayoni rasterizatsiya
deb ataladi. Tasvirni bosqichma-bosqich ko'rsatish jarayoni bilan birlashtirilganda, u
rastrli skanerlash konvertatsiyasi deb nomlanadi. Gorizontal, vertikal va 45 ° eğimli
uchun. segmentlar, rastr elementlarni tanlash aniq. Boshqa har qanday yo'nalish uchun 1-
rasmda ko'rsatilganidek, kerakli piksellarni tanlash qiyinroq.
Segmentlarni chizish algoritmlariga qo'yiladigan umumiy talablar quyidagilardan
iborat: Segmentlar to'g'ri ko'rinishi, berilgan nuqtalarda boshlanishi va tugashi, segment
bo'ylab yorqinligi doimiy bo'lishi va uzunlik va qiyalikka bog'liq bo'lmasligi kerak, siz
tezda chizishingiz kerak.
Butun segment bo'ylab doimiy yorqinlikka faqat gorizontal, vertikal va eğimli 45 °
burchak ostida chizilgan holda erishiladi. Boshqa barcha yo'nalishlar uchun rasterizatsiya,
rasmda ko'rsatilganidek, notekis yorqinlikka olib keladi.

19(x1,y1) va (x2,y2) segmentning uchlari bir-biriga to'g'ri kelmaydi deb taxmin
qilinadi.
barcha o'zgaruvchilar butun sonlar sifatida ko'rib chiqiladi
belgisi - manfiy, nol va musbat argument uchun mos ravishda -1, 0, 1 qaytaruvchi
funksiya
o'zgaruvchan ishga tushirish
 x = abs(x2 - x1)
 y = abs(y2 - y1)
s1 = belgisi (x2-x1)
s2 = belgisi (y2 - y1)
segmentning qiyaligiga qarab  x va  y qiymatlarining almashinuvi
agar  y<  x keyin
oxiriagar
ishga tushirish  yarim pikselga tuzatildi
 = 2*  y -  x
asosiy halqa
uchun i = 1 uchun  x
Syujet (x,y)
esa (  =>0)
agar Almashtirish = 1 keyin
 =  - 2*  x
tugaydi
agar Almashtirish = 1 keyin
Rasterda nafaqat chiziqli, balki boshqa, murakkabroq funktsiyalarni ham
parchalash kerak. Konus kesimlari, ya'ni doiralar, ellipslar, parabolalar, giperbolalarning
parchalanishi sezilarli miqdordagi ishlarga bag'ishlangan. Eng katta e'tibor, albatta,
aylanaga beriladi. Eng samarali va tushunarli doira yaratish algoritmlaridan biri
Bresenhamga bog'liq. Birinchidan, faqat aylananing sakkizdan birini yaratishingiz
kerakligini unutmang. Uning qolgan qismlarini rasmda ko'rsatilganidek, ketma-ket aks

20ettirish orqali olish mumkin. 5.1. Agar birinchi oktant hosil bo'lsa (soat miliga teskari
yo'nalishda 0 dan 45 ° gacha), ikkinchi oktantni y = x to'g'ri chiziq atrofida aks ettirish
orqali olish mumkin, bu birgalikda birinchi kvadrantni beradi. Ikkinchi kvadrantda
aylananing mos keladigan qismini olish uchun birinchi kvadrant x = 0 chizig'i atrofida
aks ettiriladi. Yuqori yarim doira qurilishni yakunlash uchun y = 0 to'g'ri chiziqqa
nisbatan aks ettiriladi. Algoritmni chiqarish uchun aylananing birinchi choragini ko'rib
chiqing. E'tibor bering, agar algoritm nuqtadan boshlangan bo'lsa x = 0, y = R, keyin
birinchi kvadrantda soat yo'nalishi bo'yicha aylana hosil qilganda da argumentlarning
monoton kamayuvchi funktsiyasidir (5.2-rasm). Xuddi shunday, agar boshlang'ich
nuqtasi bo'lsa y= 0, X == R, keyin soat miliga teskari aylana hosil
qilganda X argumentning monoton kamayuvchi funktsiyasi bo'ladi y. Bizning holatda,
avlod nuqtasida boshlanishi bilan soat yo'nalishi bo'yicha tanlanadi X = 0, y =
R. Aylananing markazi va boshlang'ich nuqtasi aynan to'r nuqtalarida joylashgan deb
taxmin qilinadi.
Doiradagi istalgan nuqta uchun soat yo'nalishi bo'yicha yaratilganda, aylanaga eng
yaqin keladigan keyingi pikselni tanlashning faqat uchta imkoniyati mavjud: gorizontal
o'ngga, diagonal pastga va o'ngga, vertikal pastga. Shaklda. 5.3 ushbu yo'nalishlar mos
ravishda m H, m D, m V sifatida belgilanadi .

21 XULOSA
Algoritm – berilgan natijaga erishish uchun qilinishi kerak bo lgan aniqʻ
ko rsatmalar ketma-ketligi. Algoritm keng ma noda faqat kompyuterga oid atama
ʻ ʼ
bo lmay, balki unda berilgan ko rsatmalarni bajara oluvchi har qanday narsaga
ʻ ʻ
oiddir.
Algoritm — ma lum bir turga oid masalalarni yechishda ishlatiladigan
ʼ
amallarning muayyan tartibda bajarilishi haqidagi aniq qoida (dastur). Kibernetika
va matematikaning asosiy tushunchalaridan biri.
Algoritm so’zi Al – Xorazmiy nomining lotincha talaffuzidan kelib chiqqan
bo’lib. Muxammad Muso Al-Xorazmiyning X asrda yaratilgan qo’llanmasida
keltirilgan o’nlik sanoq sistemasida arifmetik amallarni bajarish qoidalari soddaligi
tufayli yevropada ham o’nlik sanoq sistemasi qo’llanishiga turtki bo’ldi. Bu
qoidalar tarjimasida xar bir qoida “Al-Xorazmiy aytadiki” deb boshlangan va bora-
bora talaffuz tufayli algoritm tarzida ifodalanib kelgan.
Hozirgi paytda algoritm sifatida biror masalani ishlash yoki biror ishni
bajarish uchun qilinishi kerak bo’lgan tartiblangan chekli sondagi aniq bir qiymatli
ko’rsatmalar ketma-ketligi tushiniladi. Algoritm tushunchasi keng ma’noda tahlil
qilish mumkin.
Aslida programma ham algoritmning boshqa bir ko‘rinishi bo‘lib, u
insonning kompyuter bilan muloqotini qulayroq amalga oshirish uchun
mo‘ljallangan. Kompyuterda dasturlash bu – kompyuter mikroprotsessori uchun
turli buyruqlar berish, qachon, qayerda nimani o'zgartirish va nimalarni kiritish
yoki chiqarish haqida buyruqlar berishdir.
Bresenxem algoritmi 1962 yilda Jek E. Bresenxem tomonidan taklif qilingan
va tekislikda nuqtalar bilan figuralarni chizish uchun mo'ljallangan. Bu algoritm
kompyuter grafikasida ekranda chiziqlar chizish uchun keng qo'llaniladi. Algoritm
ikki o'lchovli rastrning qaysi nuqtalarini bo'yash kerakligini aniqlaydi.

22Foydalanilgan adabiyotlar
1)ttps://optolov.ru/uz/dizajjn-dvuhkomnatnyh-kvartir/algoritm-brezenhema-
dlya-risovaniya-naklonnyh-otrezkov-bazovye.html
2. Холл М. Комбинаторика: перевод с английского. M.: Мир , 1970.-
424 с .
3. To‘rayev H.T., Azizov I. Matematik mantiq va diskret matematika.
1,2- jild. "Tafakkur-Bo‘stoni", Toshkent, 201l.
4. Ўзбекистон Республикасини янада ривожлантириш бўйича
ҳаракатлар стратегияси тўғрисида. Ўзбекистон Республикаси
Президентининг ПФ-4947- сон фармони. Тошкент, 2017 йил 7 феврал. 5.
Хасанов П.Ф., Исаев Р.И., Хасанов Х.П., Назарова М.Х. Ахмедова О.П.
Ахборотнинг криптографик муҳофазаси тарихи (Дастлабки ва формал
криптография даври) // Aloqa dunyosi. – Тошкент, 2005, №1 (4). – 32-37 -
бетлар.
6. Ахмедова О.П. Параметрлар алгебраси асосида носимметрик
криптотизимлар яратиш усули ва алгоритмлари // Номзодлик диссертация
иши, Тошкент-2007.
7. Бабаш А.В., Шанкин Г.П. История криптографии. Часть I. – Москва:
Лори Гелиос АРВ, 2002. – 240 с.
8. Бабаш А.В., Шанкин Г.П., Криптография – Москва: Лори Гелиос
АРВ, 2002. – 512 с.
9. Арипов М.М., Пудовченко Ю.Е. Основы криптологии – Ташкент:
2004. – 136 с.
10. Баричев С.Г., Серов Р.Е. Основы современной криптографии.
Учебное пособие. – Москва: Лори Горячая Линия - Телеком, 2002. – 152 с

$23ILOVA #include <bits/stdc++.h> using namespace std; // qator yaratish funksiyasi void bresenham(int x1, int y1, int x2, int y2) { int m_new = 2 * (y2 - y1); int slope_error_new = m_new - (x2 - x1); for (int x = x1, y = y1; x <= x2; x++) { cout << "(" << x << "," << y << ")\n"; // O'sish burchagiga qiyalik qo'shing slope_error_new += m_new; // Nishab xatosi chegaraga yetdi, vaqt // y ni oshiring va qiyalik xatosini yangilang. if (slope_error_new >= 0) { y++; slope_error_new -= 2 * (x2 - x1); } } } // Asosiy dastur qismi int main() { int x1 = 3, y1 = 2, x2 = 15, y2 = 5; // Funksiyaga murojat. bresenham(x1, y1, x2, y2);$

Qiya chiziq bo‘laklarini chizish uchun Brezenxem algoritmi

Купить

Похожие документы
3d-max dasturida obektlarni yaratish
Algoritm va ma’lumotlar strukturasi
3D-MAX dasturi haqida
3D Studio MAX dasturiga kirish. 3D Studio MAX dasturi haqida tushuncha
Adobe photoshop dasturida tasvirlarda ishlov berish,taqdimot yaratish

Информация о документе

Продавец

Qiya chiziq bo‘laklarini chizish uchun Brezenxem algoritmi

Похожие документы