Qovushoq kuchlanish tenzori. Stoks va Nyuton suyuqliklari - Педагогика - Рефераты

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	118.1KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	Педагогика

Qovushoq kuchlanish tenzori. Stoks va Nyuton suyuqliklari

Купить

MAVZU: Qovushoq kuchlanish tenzori. Stoks va Nyuto n suyuqliklari
Reja:
1. Elastik jisimlar va qovushoq suyuqlik.
2. Guk va Nav'e - Stoks qonunlari.
3. Muhitning anizotropiya, izotropiya va girotropiya xossalari.
4. Girotrop muhit uchun Guk va Nav'e-Stoks qonunlari.
5. Yung moduli, Puasson koeffisienti va qovushoqlik koeffisienti.

Tayanch iboralar: elastik jism, qovushoq suyuqlik, kuchlanish, deformasiya,
anizotropiya, izotropiya, qirotropiya, deformasiya tenzori,
Puasson koeffisienti, Yung moduli, Lame koeffisientlari.
1. Elastik jisimlar va qovushoq suyuqlik
Quyida biz tutash muhitning boshqa xususiy modellari ni qarab chiqamiz,
bular: chiziqli elastik jism va chiziqli qovushoq suyuqlik modeli . Bu modellarni
parallel ravishda qaraymiz, sababi ularni kiritish usullari formal ravishda o'xshash.
Aslida bu ikki model ikkita har hil turdagi real muhitlarni ifodalaydi.
Elastik jism deb shunday muhitga aytiladiki unda pki kuchlanish tenzori
komponentasi har bir zarrachada
εij deformasiya tenzori komponentalari, gij
metrik tenzor komponentalari,
T temperatura va boshqa fizik-ximik
parametrlarning funksiyasidan iborat bo'ladi, ya'ni
pij= fij(εαβ,gαβ ,T,X ,..,Xn).
(16.1)
Qovushoq suyuqlik deb shunday muhitga aytiladiki unda kuchlanish tenzori
komponentasi
pij=− pg ij+τij
(16.2)
ko'rinishda tasvirlanadi, shu bilan birga
p= p(ρ,T,χ1,...,χn),
τij=ϕij(eαβ,gαβ,T,χ1,...,χn),
(16.3)
bu yerda
eαβ - deformasiya tezliklari komponentalari. Bu paragrafda biz fij ning
εαβ
va gαβ lardan va ϕαβ ning eαβ , gαβ lardan bog'liqliklarini o'rganib chiqamiz
va shuning uchun T va
χi parametrlarni hisobga olmaymiz.
2. Guk va Nav'e - Stoks qonunlari
fij(εαβ ,gαβ ,T ,χi)
va ϕij(ℓαβ ,gαβ ,T ,χi) funsiyalarning konkret ko'rinishi
elastik va qovushoq muhitning har xil konkret modellari uchun har xil bo'ladi.
Tajribalar shuni ko'rsatadiki, kuchlanish va deformasiyalar qattiq jismlarda ,
masalan, metallarda, oddiy sharoitlarda (unchalik katta bo'lmagan temperatura va
kuchlanishlarda) bir biri bilan Guk qonuni deb ataluvchi qonun bilan bog'langan .
Qovushoq kuchlanish va deformasiya tezliklari ko'pgina suyiq muhitlarda ,
masalan suv va havoda Nav'e-Stoks qonuni bilan o'zaro bog'langan . Bu
qonunlarni (Guk qonuni uchun quyida kirilgan) quyidagi farazlar yordamida
kiritish mumkin.
Faraz qilaylik
fij funksiyalar εαβ lar bo'yicha Teylor qatoriga yoyilgan
bo'lsin va kuchlanishlar bo'lmaganda
(pij=0) , deformasiyalar ham bo'lmasin
(εαβ= 0)
hamda teskarisi o'rinli bo'lsin.
Bunday farazlarda
pij= fij(εαβ ,gαβ )= Aijαβ εαβ+....

bo'ladi, bu yerda Aijαβ koeffisientlar T va χi larga bog'liq bo'lishi mumkin. Agarda
deformasiyalar kichik bo'lsa, u holda
pij ni qatorga yoyganda faqat chiziqli
hadlarni qoldirish mumkin va bu holda
pij= Aijαβ εαβ
(16.4)
bo'ladi.
Xuddi shunday farazlarni
ϕij funksiyalar uchun qilib quyidagi tenglikka
kelamiz:
τij= Bijαβ eαβ
. (16.5)
(16.4) munosanatlar Guk qonuni deyiladi, (16.5) esa Nav'e - Stoks qonuni
yoki N'yuton qovushoqligining umumlashgan qonuni deyiladi. ( 16 .4) va ( 16 .5)
larni biz mos ravishda
εαβ va eαβ larni kichik deb hosil qildik. Ammo, takidlash
kerakki, xususan, Nav'e-Stoks qonuni suv, havo va ba'zi bir boshqa suyuqliklar
uchun deformasiya tezliklari tenzorlari kichik bo'lmagan holda ham qo'llanilishi
mumkin. Umumiy termodinamik munosabatlardan kelib chiqadiki, Guk qonuni
faqat kichik deformasiyalar uchun taqribiy qonun sifatida o'rinli.
Guk qonuniga yoki umumiyroq bo'lgan (16.1) qonunga bo'ysinuvchi tutash
muhitlar ni holatini o'rganadigan tutash muhit mexanikasining bo'limi elastiklik
nazariyasi deyiladi. Nav'e-Stoks yoki umiyroq (16.2) - (16.3) qonunlarga
bo'ysinuvchi tutash muhit harakati qaralayotgan bo'lim - qovushoq suyuqlik
harakati nazariyasi deyiladi.
(16.4) va (16.5) tengliklardagi
Aijαβ va Bijαβ lar to’rtinchi rang tenzor
komponentalaridan iborat. Ular berilgan tutash muhitning fizik
harakteristikalaridan iborat.
4-rang tenzor 3 4
= 81 ta komponentiga ega , ammo kuchlanish tenzorining
(klassik holda) simmetriyaligidan, hamda deformasiya va deformasiya tezliklari
tenzorlarining simmetrik ligidan
Aijαβ va Bijαβ larning komponentalaridan faqat 36
tasigina qoladi.
3. Muhitning anizotropiya, izotropiya va girotropiya xossalari
Izotrop muhit deb barcha yo'nalishlar bo’yicha xususiyatlari bir xil bo'lgan
muhitga aytiladi. Agarda muhit xususiyatlari har xil yo'nalishlar bo'yicha har xil
yo'nalgan bo'lsa, u holda muhit anizotrop deyiladi. Anizotrop muhitlar har xil
tipdagi simmetriyalarga ega.
Simmetriyalik xossasining aniqroq matematik ta'rifini beramiz, xususan,
izotropiya uchun. Muhit fizik va mexanik xususiyalarini ba'zi bir tenzorlar va
tenzor tenglamalar yordamida ifodalash mumkin. Masalan, agarda Guk qonuni
bajarilayotgan bo'lsa, elastik xususiyat va xossalar
Aijαβ tenzor yordamida
beriladi. Muhit simmetriyaga ega deyiladi, agarda shunday koordinatalarni
almashtirish gruppasi mavjud bo'lsaki, muhitning xossalarini ifodalovchi tenzor
komponentalari bu gruppaga taaluqli almashtirishlarda o'zgarmasa. Xususan muhit

izotrop deyiladi, agarda uning xususiyatlarini aniqlovchi tenzor komponentalari
ixtiyoriy ortoqonal almashtirishlarda o'zgarmasa. Ortogonal almashtirishlarnigij
'= gαβ
∂xα ∂xβ
∂yi∂ yj= gij
metrik tenzor komponentalari o'zgarmasdan qoladigan almashtirish sifatida
aniqlash mumkin.
To'liq ortogonal gruppa aylanma almashtirishlariga (almashtirish determinanti
+ 1 ga teng) hamda teskari (oyna) akslantirish bilan birgalikdagi aylanma
almashtirishga (determinanti - 1 ga teng) ega.
Agarda muhit xossalari faqat aylanish gruppasiga nisbatan invariant bo'lib,
teskari akslantirishga nisbattan invariant bo'lmasa, muhit girotrop deyiladi.
Endi biz Guk qonuniga bo'ysinuvchi elastik jismlar uchun izotropik
(girotropik) xususiyatlari nimani anglatilishini chuqurroq o'rganib chiqamiz.
Bunday tutash muhitning biror bir nuqtasida ayni paytda ikkita dekart
koordinatalar sistemasini olamiz. Bittasi
x1,x2,x3 va ikkinchisi birinchisiga
nisbatan burilishdan hosil bo'lgan, uni
y1,y2y3 deb olamiz. x1,x2,x3 sistemada
qaralayotgan tenzor komponentalarini shtrixsiz harflar bilan
y1,y2y3 sistemada
mos ravishda shtrixli harflar bilan belgilaymiz. Ayonki,
A'ijαβ= дy i
дx p⋅дy j
дx q⋅дy α
дx λ⋅дy β
дx μ⋅Apqλμ
. (16.6)
Guk qonunini
x1,x2,x3 sistemada yozishda Aijαβ koeffisientlardan, y1,y2y3
sistemada
A'ijαβ koeffisientlardan foydalanamiz. Har xil xi va yi sistemalarda bir
xil ko’rinishga ega bo'lgan tutash muhitning ikkita deformasiyalangan holatini
qaraymiz, ya'ni
εij= ε'ij
.
Ayonki, izotrop muhitda bu holda kuchlanganlik holat ham
xi va yi
sistemalarda bir xil tartibga ega. Agarda
A'ijαβ= Aijαβ , ya'ni Guk qonunida
koeffisientlar bir xil bo'lsa, u holda
pij=p'ij . Tutash muhit bu holda izoprop yoki
girotrop bo'ladi. Tajriba natijalariga ko'ra har xil yo'nalishlarda muhit xossalari har
xil bo'lgan anizotrop muhitlarga misol qilib molekyla yoki atomlari to'g'ri tartibda
joylashgan kristallik muhitni, tolali materiallarni qarash mumkin.
Izotrop muhitga masalan suv va amorf tuzilishga ega boshqa muhitlar hamda
xaotik ravishda joylashgan mayda elementar kristallardan iborat bo'lgan muhitlar
kiradi.
4. Girotrop muhit uchun Guk va Nav'e-Stoks qonunlari
Endi izotrop va girotrop jismlar uchun umumiy 81 ta
Aijαβ tenzor
komponentalaridan (ularning hammasi noldan farqli bo'lishi mumkin) faqat ikkitasi
erkli ekanligini ko’rsatamiz.
εij deformatsiya tenzori bosh yo'nalishi bo'ylab

koordinata o'qlarini yo'naltiramiz. Ayonki, bu holda Guk qonuniga faqat Aijαα
ko'rinishdagi koeffisientlar kiradi.
i≠ j da Aijαα= 0 ekanligini isbotlaymiz.
Haqiqatan, tanlangan koordinatalar sistemasining i - chi o'qiga nisbatan 180 0
ga
burish natijasida biz yangi koordinatalar sistemasini hosil qilamiz. Bu yangi
sistemada i - chi o'q oldingi holatda qoladi, qolgan ikki o'q esa o'z yo'nalishlarini
teskarisiga o'zgartiradi va tenzor komponentalarini (16.6) almashtirish qoidasiga
ko'ra biz
i≠ j da hamda ixtiyoriy α larda
A'ijαα=− Aijαα
ga ega bo'lamiz, ammo agar muhit izotrop yoki girotrop bo'lsa, u holda
A'ijαα= Aijαα
va, demak i≠ j da A'ijαα= 0 . Bundan esa i≠ j da bu koordinatalar
sistemasida
pij= 0 tengligidan deformasiya tenzori va kuchlanish tenzori bosh
o'qlari Guk qonuniga bo'ysinuvchi izotrop hamda girotrop muhitlarda mos tushadi.
Guk qonunining formulalarida bosh o'qlarda 81 ta
Aijαβ koeffitsientlarda faqat
9 ta
Aijαα koeffitsientlar ahamiyatga ega.
Muhitning qirotropik xususiyatiga o'qlarning nomerlash tartibi ahamiyatli
emas va shuning uchun
A1111 = A2222 = A3333 = 2μ+λ,
A1122 = A1133 = A2233 = λ,
Aiiαα = Aαα ii
bu yerda
2μ+λ va λ lar yuqoridagi A tenzorning ikkita har xil, noldan farqli
komponentalari uchun yangi belgilashlar kiritilgan.
Barcha keltirilgan farazlarni Nav'e-Stoks qonuniga bo'ysinuvchi girotrop va
izotrop muhitlar uchun ham keltirish mumkin va Nav'e-Stoks qonuniga
bo'ysinuvchi qirotrop muhit uchun deformasiya tezligi tenzori bosh o'qlari
kuchlanish tenzori bosh o'qlari bilan mos tushadi,
Bijαβ koeffisientlar esa λ1 va μ1
orqali ifodalanadi.
Endi izotrop muhit uchun
pij= Aijαβ εαβ
(16.7)
Guk qonuni deformasiya tenzori va kuchlanish tenzorining bosh o'qlarida
quyidagi ko'rinishga ega bo’ladi
p1= λ(ε1+ε2+ε3)+2με 1,
p2= λ(ε1+ε2+ε3)+2με 2,
p3= λ(ε1+ε2+ε3)+2με 3,
( 16 .8)
bu yerdagi
λ va μ lar Lame koeffisientlari deyiladi.
Xuddi shunday izotrop muhit uchun Nav'e-Stoks qonuni deformasiya
tezliklari tenzori va kuchlanish tenzorining bosh o'qlarida quyidagicha yoziladi:
τ1=λ1(e1+e2+e3)+2μ1e1,
τ2= λ1(e1+e2+e3)+2μ1e2,
τ3=λ1(e1+e2+e3)+2μ1e3.
( 16 .9)
( 16 .8) formulalar quyidagi invariant tenzor ko'rinishda yozilishlari mumkin:

pij= λI 1(ε)gij+2με ij,(16.10)
yoki
pij= λI 1(ε)gij+2μg iαgjβεαβ
(16.11)
Bu shakllar ixtiyoriy koordinatalar sistemasida o'rinli va shuning uchun (16.10)
formulalar ixtiyoriy egri chziqli koordinatalar sistemasida izotrop muhit uchun
Guk qonunini ifodalaydi.
( 16 .11) dan osongina
Aijαβ koeffisientlar uchun ixtiyoriy egri chiziqli
koordinatalar sistemasida ifodasini hosil qilish mumkin
Aijαβ = λg ijgαβ + μ(giα⋅g jβ+ giβ⋅g jα).
(16.12)
Xuddi shunday farazlarni Nav'e-Stoks qonuniga qo'llab, izotrop muhit uchun
ixtiyoriy egri chiziqli koordinatalar sistemasida Nav'e-Stoks qonuni ning quyidagi
ko’rinishini hosil qilamiz
τij= λ1I1(e)gij+2μ1eij
(16.13)
yoki
τij= λ1I1(e)gij+2μ1giαgjβeαβ
. (16.14)
(16.10) ga ko'ra ixtiyoriy egri chiziqli koordinatalar sistemasida izotrop qovushoq
suyuqlik uchun kuchlanish va deformasiya tezligi tenzori komponentalari
orasidagi quyidagi munosabat larni hosil qilamiz:
pij=−pg ij+λ1gijdiv ⃗v+2μ1giαgjβeαβ
. ( 16 .15)
Dekart koordinatalar sistemasida izotrop muhit uchun Guk qonuni quyidagi
ko'rinishga ega
pii= λI 1(e)+2με ii
( 16 .16)
va i
 j da
pij=2με ij,
Nav'e - Stoks qonuni esa
pii=− p+λ1div ⃗v+μ1
дv i
дx i
va i
 j da
pij=2μ1eij=μ1(
дv i
дx j+дv j
дx i)
(16.17)
ko'rinishga ega.
5. Yung moduli, Puasson koeffisienti va qovushoqlik koeffisienti
Lame kofisientlari
λ va μ lar o'rniga elastiklik nazariyasida materialning
quyidagi xarakteristikalari kiritilgan:
Yung moduli
E= μ(3λ+μ)
λ+μ
va Puasson koeffitsienti

v= λ
2(λ+μ).
Qovushoq suyuqlik harakati nazariyasida qovushoqlikning dinamik
koeffitsienti
μ= μ1 va kinimatik koeffitsienti ν'= μ/ρ , hamda 2 - qovushoqlik
koeffitsienti
ξ= λ1+2
3μ
kiritilgan, keyinchalik
λ1 - Lame koeffitsientini qovushoq suyuqlik harakatida λ
orqali belgilaymiz.
Guk va Nav'e-Stoks qonunlari T=const,

i = const da izotrop elastik muhit va
qovushoq siqiladigan suyuqliklar uchun harakat tenglamalari sistemasini
to'ldirishga imkon beradi.
Jadval ?????
Mustaqil ishlar uchun savollar:
1. Elastik jism deb nimaga aytiladi?
2. Qovushoq suyuqlik ta’rifini bering.
3. Chiziqli elastik jism uchun Guk qonunini yozing.
4. Guk qonuniga bo’ysinuvchi muhitni o’rganuvchi fan qanday atiladi?
5. Nav’e – Stoks qonuni nimadan iborat va u suyuqlikning qanday parametrlari
orasidagi bog’lanishni ifodalaydi?
6. Nav’e – Stoks qonuniga bo’ysinuvchi suyuqliklar holatini o’rganuvchi fan
nomini ayting.
7. Guk va Nav’e – Stoks qonunida qatnashuvchi tenzor nechanchi rangga ega va
uning nechta komponentasi mavjud.
8. Izotrop muhit deb nimaga aytiladi?
9. Anizotrop muhit ta’rifini bering va misollar keltiring.
10. Qanday muhit simmetriyaga ega?
11. To’lqin orthogonal gruppa nimaga teng?
12. Qachon muhit girotrop deyiladi?
13. Izotrop muhitlarga misollar keltiring.
14. Izotrop va girotrop muhitlar uchun
Aijαβ tenzor komponentalaridan nechtasi
erkli bo’ladi? Izotrop muhit uchun ular qanday belgilanadi.
15. Izotrop muhit uchun Guk qonuni va Nav’e – Stoks qonunlari yozing?
16. Yung moduli, Puasson koeffisient va qovushoqlik koeffisienti Lame
koeffisientlari orqali qanday ifodalangan.
Adabiyotlar.
1. Седов Л.И. Механика спл o шной среды. М.: «Наука», 1983, Том I ,
стр. 162 – 172.

Qovushoq kuchlanish tenzori. Stoks va Nyuton suyuqliklari

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish