Shartli ekstrеmumga qo‘yilgan variatsion masalalar
![1.1. Masalaning qo`yilishi . Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi joizy(x)=(y1(x),...,yn(x))
vektor funksiyalar to’plami M ni qaraymiz:
a)
yi(x) funksiyalar [x0,x1] kesmada aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi
bo’lsin, ya’ni
yi(x)∈C1[x0,x1],i=1,n,x0,x1 - berilgan;
b)
yi(x) funksiyalar
yi(x0)=yi0,yi(x1)=yi1,i=1,n (1)
chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin, ya’ni
yi(x) egri chiziqlarning har biri
mahkamlangan (qo’zg’almas) chegara nuqtalardan o’tadi,
yi0,yi1,i=1,n , berilgan
sonlar;
c)
yi(x) funktsiyalar barcha x∈[x0,x1] lar uchun
ϕj(x,y1(x),...,yn(x))=0,j=1,m,m<n , (2)
chekli bog’lanishlarni qanoatlantiradi., bunda
yj(x,y1,y2...,yn),j=1,m funksiyalar
barcha o’zgaruvchilari bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchidir.
(2) tenglamalar o’zaro bog’lanmagan, ya’ni
rang ¿(
∂ϕ1
∂y1
.....
∂ϕ1
∂yn
¿
)
(................¿)¿
¿
¿
,
hamda (2) bog’lanishlar (1) chegaraviy shartlarga muvofiqlashtirilgan.
Oxirgi jumlaning ma’nosi shundan iboratki, chegaraviy nuqtalar (2)
tenglamalarni
x= x0 va x= x1 bo’lganda qanoatlantirishi shart.
M to’plamda
J[y1,y2,...,yn]=∫
x0
x1
F(x,y1,...,yn,y1',y2',...,yn')dx (3)
funksional berilgan, bu yerda
F(x,y1,...,yn,y1',y2',...,yn') funksiya o’zining barcha
argumentlari bo’yicha ikkinchi tartibgacha uzluksiz xususiy hosilalarga ega, deb
faraz qilinadi.](https://docx.uz/documents/672d7971-ee2c-49a9-88df-f9a9d9d83a7f/page_2.png?v=1)
![M to’plamga tegishli joiz y(x) vektor funksiyalar ichida shunday
y∗(x)=(y1∗(x),...,yn∗(x))1
vektor funksiyani topish kerakki, unda (3) funktsional
ekstremumga erishsin, ya’ni
J[y1∗(x),y2∗(x),...,yn∗(x)]= extry(x)∈M∫
x0
x1
F(x,y1,...,yn,y1',y2',...,yn')dx
(4)
bo’lsin.
Qo’yilgan masala, funksionallarning shartli ekstremumini topish haqidagi
masalalar sirasiga kiradi.
1.2. Masala yechimini izlash tartibi (sxemasi). Sxema ekstremumning
zaruriy sharti, birinchi variatsiyaning ekstremum beruvchi funksiyada nolga
tengligiga, ya’ni
δJ =0 shartga tayanadi.
Ma’lumki, (4) masala, bir o’zgaruvchili bir necha funksiyalarga bog’liq
funksionalning ekstremumi haqidagi masaladan (4-ma’ruzaga q.) faqat (2) chekli
bog’lanishlar mavjudligi bilan farq qiladi. Shuning uchun, funksionalning birinchi
variatsiyasi uchun,
δJ =∫x0
x1
∑i=1
n
[Fyi− d
dx Fyi]δyi(x)dx (5)
ifodadan foydalanamiz.
Modomiki,
yi(x) funksiyalar (2) chekli bog’lanishlarni qanoatlantirishlari shart
ekan,
δϕi=∑
i=1
n
[
∂ϕj
∂yi
]|y∗(x)δy i(x)=0,j=1,m , (6)
bu yerda
y∗(x) - funksional ekstremumga erishadigan egri chiziq bo’lib, δy j
variatsiya
x ning [x0,x1] oraliqda tanlangan qiymatida hisoblangan.
Shunday qilib,
δyi(x) variatsiyalarning faqat n−m tasini ixtiyoriy deb hisoblash
mumkin (masalan,
δym+1(x),...,δyn(x) larni), qolganlari esa, (6) shartlardan aniqlanadi.
Endi (6) tenglamalarning har birini qandaydir
λj(x) funksiyaga hadma-had
ko'paytirib va
x0 dan x1 gacha bo'lgan chegaralarda integrallab,](https://docx.uz/documents/672d7971-ee2c-49a9-88df-f9a9d9d83a7f/page_3.png?v=1)
![∫
x0
x1
λj(x)∑i=1
n ∂ϕj
∂yi
δyi(x)dx =0, j=1,m (7)
munosabatlarni olamiz.
(5) va (7) munosabatlarni hadma-had qo'shsak,
∫x0
x1
∑i=1
n
[Fyi+∑j=1
m
λj(x)∂ϕj
∂yi
− d
dx Fyi']δy i(x)dx =0 (8)
hosil bo'ladi.
Agar
F¿(x,y,y')=F(x,y,y')+∑j=1
m
λj(x)ϕj(x,y) (9)
belgilashni kiritsak, bunda
F¿(x,y,y') - Lagranj funksiyasi , λj(x),j=1,m - Lagranj
ko'paytuvchilari deb ataladi, oxirgi tenglamani,
∫x0
x1
∑i=1
n
[Fyi¿− d
dx Fyi'¿]δy i(x)dx =0 (10)
ko'rinishda yozish mumkin.
m ta λ1(x),...,λm(x) ko'paytuvchilarni shunday tanlaylikki, ular y¿(x) egri
chiziq bilan birga
m ta
Fyi¿− d
dx Fyi'¿=0, i=1,m (11)
Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantirsin.
Bunday qilishning imkoniyati bor, chunki (11) sistema, (9) belgilashni
hisobga olganda,
Fyi+∑
j=1
m
λj(x)
∂ϕj
∂yi
− d
dx Fyi'=0, i= 1,m
ko'rinishni oladi.
Ravshanki, (11) sistema
λj(x) larga nisbatan chiziqli va uning determinanti
noldan farqli (masalaning qo'yilishidagi c) bandga ko'ra), demak, u
λ1(x),...,λm(x)
yechimga ega.](https://docx.uz/documents/672d7971-ee2c-49a9-88df-f9a9d9d83a7f/page_4.png?v=1)
![λ1(x),...,λm(x) ko’paytuvchilar yuqoridagidek tanlanganda, (10) shart,
quyidagi,
∫x0
x1
∑i=m+1
n
[Fyi¿− d
dx Fyi'¿]δy i(x)dx =0 (12)
ko’rinishni oladi, bunda
δym+1(x),...,δyn(x) variatsiyalar o’zaro bog’lanmagan. U
holda, variatsion hisobning masalasiga asosan (uni qo’llash uchun
variatsiyalarning navbat bilan bittasini ixtiyoriy deb, qolganlarini nolga teng deb
olish mumkin),
Fyi¿− d
dx Fyi'¿=0, i=m+1,..n (13)
munosabatlarga ega bo’lamiz.
Nihoyat, (11) va (13) larni hisobga olib,
y¿(x) egri chiziq va Lagranj
ko’paytuvchilari
Fyi¿− d
dx Fyi'¿=0, i=1,n (14)
Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantirishi zarur degan xulosa qilish mumkin.
Shunday qilib,
2n ta (1) chegaraviy shartlarni hisobga olgan holda, n+m ta
(14) va (2) tenglamalardan
y∗(x)=(y1∗(x),...,yn∗(x))1 vektor funksiya va
λ1(x),...,λm(x)
Lagranj ko’paytuvchilari topiladi.
Bayon qilingan natijani quyidagicha ifodalaymiz.
1-t e o r e m a((4) masalada ekstremumning zaruriy sharti). Agar (1)
cheegaraviy shartlarni va (2) chekli bog’lanishlarni qanoatlantiruvchi
y∗(x)=(y1∗(x),...,yn∗(x))1
vector funksiyada, bunda
yi(x)∈C1[x0,x1],i=1,n,
(3) funktsional ekstremumga erishsa , y1∗(x),...,yn∗(x)
funksiyalar.
J¿[y1,...,yn]=∫x0
x1
F¿(x,y1,...,yn,y1',...,yn')dx=∫
x0
x1
[F(x,y1,...,yn,y1',...,yn')+∑j=1
m
λj(x)ϕj(x,y1,...,yn)]dx
funksional uchun tuzilgan](https://docx.uz/documents/672d7971-ee2c-49a9-88df-f9a9d9d83a7f/page_5.png?v=1)
![Fyi¿− d
dx Fyi'¿=0, i=1,n
Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantiradi.
Izohlar.
1. 1- teoremaga asosan, shartli ekstremumga qo ' yilagan (4) masalani yechish
bog ' lanishlar qatnashmaganda
J¿[y1,...,yn] funksionalning ekstremumini
tekshirishga keltiriladi.
2. Bog'lanishlardan qutilishning keltirilgan usuli, funksiyalarning shartli
ekstremumini topishdagi Lagranj ko'paytuvchilari usuliga o’xshashdir.
3. (2) bog'lanishlar mexanikada golonom bog'lanishlar deyiladi.
4. Umumiy holda
F¿(x,y,y)=F(x,y,y)+∑j=1
m
λj(x)ϕj(x,y)
umumlashgan Lagranj funksiyasidan foydalaniladi. Bunda
λ0(x)≡0 va
λ0(x)≠0
hollar alohida qaraladi.
1.3. (4) masalada shartli ekstremumning zaruriy shartini qo'llash
algoritmi.
1.
F¿¿(x,y,y)= F(x,y,y)+∑j=1
m
λj(x)ϕj(x,y)
Lagranj funksiyasini tuzish,
λ1(x),...,λm(x) - Lagranj ko'paytuvchilari.
2. (14) Eyler tenglamalari sistemasi va (2) bog'lanishlar shartlarini yozish:
Fyi¿− d
dx Fyi'¿=0, i=1,n
ϕj(x,y1,...,yn)=0, j=1,m
3.Eyler tenglamalari sistemasining
yi(x)=yi(x,c1,c2,...,c2n),i=1,n
umumiy yechimini va
λ1(x),...,λm(x) Lagranj ko'paytuvchilari uchun ifodalarni
topish.
4.
c1,c2,...,c2n o'zgarmaslarni
yi0=yi(x0,c1,c2,...,c2n),i=1,n](https://docx.uz/documents/672d7971-ee2c-49a9-88df-f9a9d9d83a7f/page_6.png?v=1)
![yi1=yi(x0,c1,c2,...,c2n),i=1,nchegaraviy shartlardantopish va
y∗(x)=(y1∗(x),...,yn∗(x))1 ekstremal uchun ifoda
yozish (ekstremalni yozish).
1-misol . Ushbu
J[y1,y2]=∫
0
π/2
[y12+y22− y
1'2− y2'2]dx
Funksionalning
y1(0)=1.y2(0)=−1,y1(π
2)=1,y2(π
2)=1
chegaraviy shartlarni va
y1− y2− 2cos x=0
bog’lanishlarni qanoatlantiradigan ekstremalini toping.
Y e ch i l i sh i. 1. Lagranj funksiyasini tuzamiz. Modomiki,
F= y12+y22− y1'2− y2'2,y1(x,y)= y1− y2−2cos x,m=1
ekan,
F¿= F+λ1(x)y1(x,y)= y12+y22− y1'2− y2'2+λ1(x)[y1− y2− 2cos x]
bo’ladi.
2.Eyler tenglamalari sitemasi va bog’lanishlar tenglamasini yozamiz.
Buning uchun,
Fy1¿=2y1+λ1(x),Fy1'¿=−2y1', d
dx Fy1'¿=−2y1'',
Fy1¿=2y1− λ1(x),Fy2'¿=−2y1', d
dx Fy2'¿=−2y1'',
ifodalardan foydalansak, quyidagi
Fyi¿− d
dx Fyi'¿=2y1+λ1(x)+2y1''= 0
Fy2i¿− d
dx Fy2'¿=2y2+λ1(x)+2y2''=0
y1− y2− 2cos x=0
munosabatlarni hosil qilamiz.
3.Sistemaning umumiy yechimini topamiz. Sistemaning birinchi ikkita
tenglamasini hadma- had qo’shib,](https://docx.uz/documents/672d7971-ee2c-49a9-88df-f9a9d9d83a7f/page_7.png?v=1)
![Bu faktni masalani yechishdan oldin tekshirish lozim. Shunday qilib,
masaladay1¿(x)= sin x+cos x,y2¿(x)=sin x−cos x
ekstremal topildi.
2. Differensial bog’lanishli variatsion masalalar.
2.1. Masalaning qo’yilishi . Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi joiz
y(x)=(y1(x),...,yn(x))'
vector- funksiyalar to’plami m ni qaraymiz:
a)
yi(x) funksiyalar [x0,x1] kesmada aniqlangan va uzluksiz
differensiallanuvchi bo’lsin, ya’ni
yi(x)∈C1[x0,x1],i=1,n,x0,x1 lar berilgan;
b)
yi(x) funksiyalar,
yi(x0)= yi0, yi(x1)= yi1,i=1,n (15)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, bunda
yi0,yi1,i=1,n sonlar berilgan, ya’ni
egri chiziqlarning har biri ikkita mahkamlangan(qo’zg’olmas) chegara nuqtalardan
o’tadi;
c)
yi(x) funksiyalar barcha x∈[x0,x1] lar uchun
ϕj(x,y1,...,yn,y1',...,yn')=0, j=1,m;m<n (16)
differensial bog’lanishlarni qanoatlantiradi, bunda,
ϕj(x,y1,...,yn,y1',...,yn')
funksiyalar barcha o’zgaruvchilari bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchidir.
Bundan tashqari, (16) tenglamalar o’zaro bog’lanmagan, ya’ni
rang ¿(
∂ϕ1
∂y1
.....
∂ϕ1
∂yn
¿
)
(................¿)¿
¿
¿
M to’plamda
J[y1,y2,...,yn]=∫
x0
x1
F(x,y1,...,yn,y1',y2',...,yn')dx (17)](https://docx.uz/documents/672d7971-ee2c-49a9-88df-f9a9d9d83a7f/page_9.png?v=1)
![funksional berilgan, bu yerda F(x,y1,...,yn,y1',y2',...,yn') funksiya o’zining barcha
argumentlari bo’yicha ikkinchi tartibigacha (birinchi va ikkinchi tartibli) uzluksiz
xususiy hosilalarga ega deb faraz qilinadi.
M to’plamga tegishli joiz y(x) vector funksiyalar ichida shunday
y∗(x)=(y1∗(x),...,yn∗(x))1
vector funksiyani topish kerakki, unda (17) funksional
ekstremumga erishsin, ya’ni
J[y1∗(x),y2∗(x),...,yn∗(x)]= extry(x)∈M∫
x0
x1
F(x,y1,...,yn,y1',y2',...,yn')dx
(18)
bo'lsin.
Bu masala - Lagranj masalasi deb ataladi.
2.2. Masala yechimini izlash tartibi (sxemasi).
Sxema ekstremumning zaruriy sharti, birinchi variatsiyaning ekstremum
beruvchi funksiyada nolga tengligiga, ya’ni
δJ =0 shartga tayanadi. (18)
masalaning (4) masaladan asosiy farqi shundaki, undagi (16) bog’lanishlar
tenglamalarida hosilalar qatnashmoqda.
Bu yerda ham, xuddi (4) masaladagi kabi, funktsionalning birinchi variatsiyasi
ifodasi
δJ =∫x0
x1
∑i=1
n
[Fyi− d
dx Fyi]δy i(x)dx (19)
ko’rinishda bo’ladi, bunda (16) differrensial bog’lanishlar qatnashganligidan,
δyi(x)
variatsiyalar ixtiyoriy bo’la olmaydi. Shu sababli, bu bosqichda variatsion
hisobning asosiy lemmasini qo’llash mumkin emas.
δyi(x) variasiyalar orasidagi bog’lanishlar (16) tenglamalarni x∈[x0,x1] ning
belgilangan (tanlangan) qiymatlarida variatsiyalash orqali topiladi:
δϕi=∑i=1
n
[∂ϕj
∂yi
]|y∗(x)δy i(x)+∑i=1
n
[∂ϕj
∂yi'
]|δy i'(x)=0,j=1,m , (20)
bu yerda xususiy hosilalar (17) funksional ekstremumga erishadigan
y∗(x) egri
chiziqda hisoblanadi.](https://docx.uz/documents/672d7971-ee2c-49a9-88df-f9a9d9d83a7f/page_10.png?v=1)
![(20) tenglamalarning har birini hadma-had hozircha noma’lum bo’lgan λj(x)
ko’paytuvchiga ko’paytiramiz va
x0 dan x1 gacha bo’lgan oraliqda integrallab,
∫
x0
x1
λj(x)∑i=1
n ∂ϕj
∂yi
δy i(x)dx +∫x0
x1
λj(x)∑i=1
n ∂ϕj
∂yi'δyi'(x)dx =0, j=1,m (21)
m unosabatlarni hosil qilamiz.
(21) munosabatlardagi ikkinchi integralning har bir qo’shiluvchisini bo’laklab
integrallab va
δy i(0)=δy i(x1)=0,i=1,m ekanligini hisobga olib (chunki chegaralar
qo’zg’almas),
∫
x 0
x 1
∑i = 1
n
¿ ¿ ¿ ¿ (22)
bo’lishini ko’ramiz.
Endi (22) va
δJ ning (19) ifodasidagi δJ =0 shartlarni qo’shib,
∫x 0
x 1
∑i = 1
n
¿ ¿ ¿ ¿ (23)
tenglamani hosil qilamiz. Agar
F¿¿(x,y,y')=F(x,y,y')+∑j=1
m
λj(x)ϕj(x,y,y') (24)
belgilashni kiritsak, bunda
F¿(x,y,y') - Lagranj funktsiyasi deyiladi, (23) tenglama,
∫x0
x1
∑i=1
n
[Fyi− d
dx Fyi'¿]δy i(x)dx =0,
(25)
ko'rinishda yoziladi.
m ta λ1(x),...,λm(x) ko'paytuvchilarni shunday tanlaymizki, ular y¿(x) egri chiziq
bilan birga
m ta
Fyi¿− d
dx Fyi'¿=0, i=1,m (26)
Eyler tenglamasini qanoatlantirsin.](https://docx.uz/documents/672d7971-ee2c-49a9-88df-f9a9d9d83a7f/page_11.png?v=1)
![Agar tenglamalarni kengaytirilgan holda yozsak, ular λ1(x),...,λm(x) larga
nisbatan chiziqli differrensial tenglamalar sistemasidan iborat bo’ladi va
masalaning qo'yilishidagi c) bandga asosan, yechimga ega.
Lagranj ko'paytuvchilari yuqoridagi usul bilan tanlanganda (25) shart
∫
x0
x1
∑i=m+1
n
[Fyi¿− d
dx Fyi'¿]δy i(x)dx =0 (27)
ko'rinishni oladi, bunda
δym+1(x),...,δyn(x) variatsiyalar (o'zaro) bog'lanmagan.
Oxirgi tenglikda
δym+1(x),...,δyn(x) variatsiyalardan bittasini ixtiyoriy,
qolganlarini nolga teng deb olib, hamda variatsion hisobning asosiy lemmasini
tadbiq qilib,
Fyi¿− d
dx Fyi'¿=0, i=m+1,n (28)
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
(26) va (28) larni hisobga olib,
y¿(x) egri chiziq va Lagranj ko'paytuvchilari
Fyi¿− d
dx Fyi'¿=0, i=1,n (29)
Eyler tenglamalari sitemasini qanoatlantirishi zarur degan xulosa qilishimiz
mumkin.
Shunday qilib,
n+m ta (29) va (16) tenglamalar va ta (15) chegaraviy
shartlardan
y∗(x)=(y1∗(x),...,yn∗(x))1
vector- funksiya va
λ1(x),...,λm(x) Lagranj ko’paytuvchilari topiladi.
2-te o r e m a ((18) masalada ekstremumning zaruriy shartlari). Agar (15)
chegaraviy shartlar va (16) differensial bog’lanishlarni qanoatlantiruvchi
y∗(x)=(y1∗(x),...,yn∗(x))1
vector funksiyada (17) funksional ekstremumga erishsa,
y1∗(x),...,yn∗(x)
funksiyalar,
J¿[y1,...,yn]=∫
x0
x1
F¿(x,y1,...,yn,y1',...,yn')dx =
=
∫x0
x1
[F(x,y1,...,yn,y1',...,yn')+∑j=1
m
λj(x)yj(x,y1,...,yn,y1',...,yn')]dx](https://docx.uz/documents/672d7971-ee2c-49a9-88df-f9a9d9d83a7f/page_12.png?v=1)
![funksional uchun tuzilgan, Fyi¿− d
dx Fyi'¿=0, i=1,n
Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantiradi.
Izohlar 1. 2-teoremaga asosan, shartli ekstremumga qo’yilgan (18) masalani
yechish - bog’lanishlar qatnashmaganda
J¿[y1,...,yn] funksionalning ekstremumini
tekshirishga keltiriladi.
2. Mexanikada (16) ko’rinishdagi bog’lanishlar golonom bo’lmagan
bog’lanishlar deyiladi.
3. Umumiy holda umumlashgan Lagranj funksiyasidan foydalaniladi.
2.3. (18) masalada ekstremumning zaruriy shartini qo’llash algoritmi.
1.
F¿(x,y,y')=F(x,y,y')+∑j=1
m
λj(x)yj(x,y,y')
Lagranj funksiyasini tuzish, bunda
λ1(x),...,λm(x) - Lagranj ko’paytuvchilari.
2. (29) Eyler tenglamalari sistemasi va (16) bog’lanishlar tenglamalarini
yozish:
Fyi¿− d
dx Fyi'¿=0, i=1,n
ϕj(x,y1,...,yn,y1',...,yn')=0, j=1,m
3. Eyler tenglamalari sistemasining
yi(x)=yi(x,c1,c2,...,c2n),i=1,n
umumiy yechimini hamda
λ1(x),...,λm(x) Lagranj ko’paytuvchilari uchun ifodalarni
topish.
4.
c1,c2,...,c2n o’zgarmaslarni
yi0=yi(x0,c1,c2,...,c2n),i=1,n
,
yi1=yi(x0,c1,c2,...,c2n),i=1,n
chegaraviy shartlardan topish va
y∗(x)=(y1∗(x),...,yn∗(x))1 ekstremal uchun ifoda
(ekstremalni) yozish.
2-misol . Ushbu
J[y1,y2]=∫
0
1
[y12+y22− y1'− y
2'2]dx](https://docx.uz/documents/672d7971-ee2c-49a9-88df-f9a9d9d83a7f/page_13.png?v=1)
![funksionalning y1(0)=2,y2(0)=0,y1(1)=2ch 1,y2(1)=2sh 1
chegaraviy shartlarni va
y1'− y2=0
differensial boglanishni qanoatlantruvchi ekstremalini toping.
E c h i l i sh i . 1.Lagranj funksiyasini tuzamiz:
F(x,y,y')= y1'2+y2'2,Y1(x,y,y')= y1'− y2,m=1
bo’lganligidan,
F¿(x,y,y')= y1'2+y2'2+λ1(x)[y1'− y2].
.
2.Eyler tenglamalari sestimasini va boglanishlar tenglamasini yozamiz;
F y1¿= 0,,Fy¿= 2y1''+λ1(x),d
dx F y¿= 2y''1+λ1(x)
F
¿y2=− λ1(x),Fy¿= 2y2'', d
dx F
¿y21= 2y2''
ekanligini hisobga olsak,
¿
¿
¿ ¿
¿
¿
bo’ladi.
3. Hosil qilingan sistemaning umumiy echilishini topamiz.Sistemaning
daslabki ikkita tenglamalaridan,
λ1(x)=−2y2'',λ1'(x)=−2y''',2y2''=− λ'1(x)=2y2'''
ekanligini olamiz, uchinchi tenglamadan esa,
y '1= y2,y1''= y2'
bo’lishi kelib chiqadi. U holda,
2y1''=2y2'= 2y2''' yoki y2'''− y2'=0
bo’ladi. Oxirgi tenglamaning
λ3− λ=0,,λ(x2−1)= 0 xarakteristik tenglamasi
λ1=1,x2=−1,λ3=0
ildizlarga ega, shuning uchun,](https://docx.uz/documents/672d7971-ee2c-49a9-88df-f9a9d9d83a7f/page_14.png?v=1)
Shartli ekstrеmumga qo‘yilgan variatsion masalalar