Sonlar bilan belgilangan proektsiyalar haqida ma'lumot - Geometriya - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	12000UZS
Hajmi	36.8KB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	11 Mart 2024
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Geometriya

Sonlar bilan belgilangan proektsiyalar haqida ma'lumot

Sotib olish

O’zbekiston Respublikasi
Oliy ta’lim, fan va innovatsiya vazirligi
Andijon davlat universiteti
____________________ ta’lim yo’nalishi
___ guruh talabasi
__________ fanidan
KURS ISHI
Mavzu: Sonlar bilan belgilangan proektsiyalar
haqida ma’lumot
Kurs ishi rahbari: ________________

Mundarija
Kirish
I bob: Proyektsiya haqida umumiy ma’lumotlar
1.1 Proyeksiya tushunchasi
1.2 Proyektsiya turlari.
1.3 Ko’ordinat tizimlari va ularning xususiyatlari.
II bob: Sonlar bilan belgilangan proektsiyalarining amaliyoti.
2.1 O’zaro bog’lanishlar
2.2 Kartezian koordinat tizimida proyektsiyalar.
2.3 Polarni koorniat tizimida proyektsiyalar.
2

Kirish
Kirish qismda "Sonlar bilan belgilangan proektsiyalar" mavzusi haqida ko'p
umumiy ma'lumotlar berishingiz kerak. Bu ma'lumotlar quyidagi elementlarni o'z
ichiga olishni o'z ichiga oladi:
1. Proyektsiya tushunchasi: Proyektsiya, obyektni 2D yoki 3D xususiyatlarni
saqlab olish maqsadida 2D ekranda ko'rsatishni ifodalaydi. Bu qismda proyektsiya
tushunchasini va uning asosiy maqsadlarini tushuntirishingiz kerak.
2. Proyektsiyalar turlari: Proyektsiyalar turli ko'ordinat tizimlarida ifodalay
oladi. Bu qismda o'lgan ko'ordinat tizimi, og'riq ko'ordinat tizimi, polarni
ko'ordinat tizimi kabi proyektsiyalar turlarini tushuntirishingiz kerak. Har bir
tizimning xususiyatlari va qanday holatlarda ulardan foydalanish mumkinligini
ko'rsating.
3. Ko'ordinat tizimlari va ularning xususiyatlari: Bu qismda kartezian
ko'ordinat tizimi, polarni ko'ordinat tizimi, cilindr ko'ordinat tizimi, sfera
ko'ordinat tizimi kabi turli ko'ordinat tizimlarini tushuntirishingiz kerak. Har bir
tizimning xususiyatlari, uni qanday ko'rsatishning mo'ljallanganligi va
shakllantirish usullari haqida ma'lumot berishingiz kerak.
Muqaddima qismida "Sonlar bilan belgilangan proektsiyalar" mavzusi haqida
umumiy bir tushuncha berilishi lozim. Ushbu ma'lumotlar kurs ishingizning asosiy
qismlariga muvofiq dalillar va qismlarga aloqadorlik yaratishga yordam beradi.
Mavzuning dolzarbligi : Ushbu mavzu, mühim va dolzarbli bo'lgan bir
mavzudir. Sonlar bilan belgilangan proyektsiyalar, koordinat tizimlari, masofalar,
burchaklar va o'zgaruvchanlar, matematika, fizika, grafika, kompyuter grafikasi,
robotika va boshqa sohalar uchun asosiy tushunchalar hisoblanadi.
Bu mavzu, koordinat sistemalarini tushunish, obyektlarni joylashtirish,
o'zgaruvchanlar va koordinatlar orasidagi bog'lanishlarni tushunish, masofa va
burchakni hisoblash kabi muhim mantiqiy amallarni o'rgatadi.
3

Sonlar bilan belgilangan proyektsiyalar, 2D va 3D obyektlarni tasvirlashda,
geometrik modellarni yaratishda, koordinat sistemalarini tushunishda va
obyektlarning o'zgarishlarini izlashda qo'llaniladi.
Koordinat tizimlari, kartezian, polarni, o'lgan, og'riq, silindr va sfera tizimlari
kabi bir necha turdagi koordinat sistemalari, obyektlarni joylashtirish va ularga
bog'liqlikni aniqlashda foydalaniladi.
Masofalar va burchaklar, obyektlar orasidagi geometrik joylashuvni va
doirasini hisoblashda muhimdir. Burchaklar, obyektlar orasidagi orientatsiyani,
burchakli harakatni va bog'liq o'zgaruvchanlarni tushunishda qo'llaniladi.
O'zgaruvchanlar, obyektlar orasidagi aloqani ifodalaydi va ularga bog'liq
davlatlarni, animatsiyalarni, o'zgarishlarni va shakllarni tahrirlashda muhimdir.
Ushbu mavzu, bir nechta sohalarda, jumladan texnik sohalarda, ilmiy
sohalarda, kompyuter dasturlash sohasida, grafik dizaynda va ko'p xil muhitlarda
ishlatiladi.
Mavzuni tushunish, qo'llanish va tushunchalarni amaliyotga o'tkazish, aralash
va keng qo'llanuvchilarga qiziqarli imkoniyatlar yaratadi.
Kurs ishining maqsadi: Bu qismda kurs ishingizning maqsadi va talablari
aniqlanadi. Maqsadingiz, "Sonlar bilan belgilangan proektsiyalar" mavzusini
o'rganish va tushuntirish orqali o'quvchilarga tegishli ko'nikmalarni berishni o'z
ichiga oladi. Talablaringiz esa kursda qanday ma'lumotlarni o'rganish, qaysi
ko'nikmalarni o'rgatish va qanday imkoniyatlarni taqdim etishni bildiradi.
Kurs ishining vazifasi: Ushbu kurs ishining vazifasi, sonlar bilan belgilangan
proyektsiyalar haqida ma'lumotlar berish va ularning turlari, o'zgaruvchanlar bilan
bog'liqligi, koordinat tizimlari va ularning amaliyotlari haqida tushuncha berishdir.
Kurs ishida, sizga berilgan mavzular bo'yicha ushbu ma'lumotlarni
tushuntirish, tarjima qilish, izohni tushuntirish va ushbu ma'lumotlarni o'z
so'zlaringiz orqali bayon qilish talab qilinadi.
Siz proyektsiyalar, tizimlar, koordinatlar, masofalar, burchaklar va
o'zgaruvchanlar haqida ma'lumotlarni tushunishingiz, ularga misollar keltirishingiz
4

va ularning amaliyotlari va tartiblari haqida tushunchaga ega bo'lishingiz talab
qilinadi.
Shuningdek, sizdan foydalanuvchi tomonidan kelgan savollarga javoblar
berish va ko'rsatilgan mashqlarni bajaring. Bu orqali, sizning ko'rgan va
o'rganishda yordam olishingiz va qo'shimcha ma'lumotlar bilan kurs ishini
to'ldirishingiz talab qilinadi.
Kurs ishining hajmi: Ushbu kurs ishi 34 betdan iborat bo’lib 2 ta bobni o’z
ichiga oladi, kurs ishi kirish qism, xulosa va foydali adabiyotlar bandidan tashkil
topgan.
5

I bob: Proyektsiya haqida umumiy ma’lumotlar
Proyektsiya, bir obyektni 2D yoki 3D ekranda ko'rsatishning matematik tizimi
va amaliyoti hisoblanadi. Bu, obyektni o'lgan tizimda (masalan, 3D koordinat
sistemasi) aniqlangan ko'ordinatalar va ushbu ko'ordinatalar orqali uni 2D ekran
pleyadagi xususiyatlarga o'tkazishni ifodalaydi.
Proyektsiyalar ko'ordinat tizimlari bilan bir xil ravishda ishlayadi, lekin ularga
qo'yiladigan shartlar va odatiyliklar farqli bo'lishi mumkin. Proyektsiyalar,
obyektning uch o'lchamli xususiyatlarini (masalan, nuqta koordinatalari,
uzunliklar, burchaklar) ko'rsatish uchun ishlatiladi. Bu, grafik modelni ekranda
yashirishning va uning belgilangan tomonlarni aniqlashning muhim qismini tashkil
etadi.
Proyektsiyalar turlari mavjud bo'lib, ulardan ba'zilari quyidagi shakllarda
bo'lishi mumkin:
1. O'lgan ko'ordinat tizimi proyektsiyalari: Bu proyektsiyalar, kartezian
ko'ordinat sistemasi orqali obyektni 2D ekran pleyadagi koordinatalar bilan
tasvirlashda ishlatiladi. Ushbu proyektsiyalarda X, Y va Z koordinatalaridan
foydalaniladi.
2. Og'riq ko'ordinat tizimi proyektsiyalari: Bu proyektsiyalarda obyekt og'riq
ko'ordinat sistemasi bo'yicha tasvirlanadi. Obyektning burchaklari va masofasi
og'riq tizimda ifodalangan bo'lishi mumkin.
3. Polarni ko'ordinat tizimi proyektsiyalari: Ushbu proyektsiyalarda obyekt
polarni ko'ordinat sistemasi yordamida tasvirlanadi. Burchak va masofa bilan
ifodalangan obyektning radius va burchak ma'lumotlariga ega bo'lishi mumkin.
Proyektsiyalarning turli turlari foydalanuvchining talablari va obyektlarning
xususiyatlari bo'yicha o'zgarishi mumkin. Har bir proyektsiya turining o'z
xususiyatlari va yoki chegaralari mavjud bo'lishi mumkin. Bu turlardan
foydalanishga qo'yiladigan talablarga va muayyan proyektsiyalar ko'rsatish
6

usullariga qarab, obyektlarning 2D yoki 3D ekranlarda qanday ko'rsatilishi
kerakligi aniqlanadi.
1.1 Proyeksiya tushunchasi.
Proyektsiya, 3D obyektni 2D ekran pleyadagi (ekran, kagit, ekranga chizilgan
povestkalar, va boshqalar) yoki boshqa burchakda ko'rsatishning matematik
tizimidir. Bu, obyektni o'lgan tizim (masalan, 3D koordinat sistemasi) orqali
aniqlangan ko'ordinatalar va ushbu ko'ordinatalar orqali uni 2D ekran pleyadagi
xususiyatlarga o'tkazishni ifodalaydi.
Proyektsiya tushunchasi, obyektni asosiy xususiyatlarini (masalan, nuqta
koordinatalari, uzunliklar, burchaklar) 2D ekranda ifodalashni ta'riflaydi. Bu
tushuncha ko'rsatuvchilarni yaxshilash va obyektlarning tasvirlanishini
osonlashtirishga yordam beradi.
Proyektsiyalar 3D modellarni 2D ekranda ifodalashning turli usullarini o'z ichiga
oladi. Bunda obyektning 3D tashkiloti (nuqtalar, qatlamalar, to'g'ri chizgilar) 2D
ekran pleyadagi tashkil topishi uchun moslashtiriladi. Masalan, o'lgan ko'ordinat
tizimi proyektsiyalari, obyektni kartezian ko'ordinat sistemasi yordamida ekran
pleyadagi X va Y koordinatalar bilan tasvirlaydi.
Proyektsiyalarning turli turlari mavjud bo'lib, ulardan ba'zilari shundaydir:
1. O'lgan ko'ordinat tizimi proyektsiyalari: Bu proyektsiyalarda obyekt,
kartezian ko'ordinat sistemasi orqali ekran pleyadagi koordinatalar bilan
tasvirlanadi. Bu proyektsiyalarda X, Y va Z koordinatalaridan foydalaniladi.
2. Og'riq ko'ordinat tizimi proyektsiyalari: Ushbu proyektsiyalarda obyekt
og'riq ko'ordinat sistemasi bo'yicha tasvirlanadi. Obyektning burchaklari va
masofasi og'riq tizimda ifodalangan bo'lishi mumkin.
3. Polarni ko'ordinat tizimi proyektsiyalari: Bu proyektsiyalarda obyekt
polarni ko'ordinat sistemasi yordamida tasvirlanadi. Obyektning radius va burchak
ma'lumotlariga ega bo'lishi mumkin.
7

Proyektsiya tushunchasi, 3D obyektlarni 2D ekran pleyadagi yoki boshqa
burchakda ifodalashning asosiy matematik tizimini ta'riflaydi.
1.2 Proyektsiya turlari.
Proyektsiyalar turli ko'ordinat tizimlarida ifodalay oladi. Har bir proyektsiya
turining o'z xususiyatlari va ulardan qanday foydalanish mumkinligi mavjud.
Quyidagi proyektsiya turlari bilan tanishishingiz mumkin:
1. O'lgan ko'ordinat tizimi proyektsiyalari: Bu proyektsiyalar, kartezian
ko'ordinat sistemasi orqali obyektni 2D ekran pleyadagi koordinatalar bilan
tasvirlaydi. Ushbu proyektsiyalarda X, Y va Z koordinatalaridan foydalaniladi.
Misol uchun, ortogonal proyektsiya, ortografik proyektsiya va aksonometrik
proyektsiyalar bu turga kiradi.
2. Og'riq ko'ordinat tizimi proyektsiyalari: Bu proyektsiyalar, obyektni og'riq
ko'ordinat sistemasi orqali 2D ekran pleyadagi yoki boshqa burchakda tasvirlaydi.
Bu proyektsiyalarda obyektning burchak va masofalari ifodalangan bo'lishi
mumkin. Misol uchun, burchak proyektsiyalari, konisk proyektsiya va silindr
proyektsiyalar og'riq ko'ordinat tizimi proyektsiyalariga misol bo'lishi mumkin.
3. Polarni ko'ordinat tizimi proyektsiyalari: Ushbu proyektsiyalar, obyektni
polarni ko'ordinat sistemasi yordamida 2D ekran pleyadagi yoki boshqa burchakda
tasvirlaydi. Obyektning radius va burchak ma'lumotlariga ega bo'lishi mumkin.
Misol uchun, polarni proyektsiyalar va dairaviy proyektsiyalar bu turga kiradi.
Har bir proyektsiya turining o'z metodlari va shartlari mavjud bo'lishi
mumkin. Bu proyektsiya turlaridan foydalanishda obyektning xususiyatlari,
ko'rsatish usullari, o'lchamli ko'rsatuvchaning talablari va maqsadlari ham hisobga
olinishi kerak. Proyektsiyalar obyektlarni tasvirlash va ularning geometrik
xususiyatlari haqida ko'proq ma'lumot berish uchun turli proyektsiya turlarini
o'rganishingiz kerak.
8

O'lgan ko'ordinat tizimi
O'lgan ko'ordinat tizimi, proyektsiyalarni ifodalash uchun eng asosiy
ko'ordinat tizimlardan biridir. Ushbu tizimda, obyektlar 3D o'lchamdagi X, Y va Z
koordinatalar yordamida tasvirlanadi. O'lgan ko'ordinat tizimi proyektsiyalariga
quyidagi turli usullarda foydalaniladi:
1. Ortogonal proyektsiyalar: Ortogonal proyektsiyalar, obyektlarni o'lgan
ko'ordinat sistemasi yordamida X, Y va Z koordinatalar bilan ifodalaydi. Ular
obyektning uch o'lchamli tashkilini aniqlayadi. Ortogonal proyektsiyalar esa
obyektni barcha tomonlaridan to'g'ri ko'rsatadi. Bu tizimda, proyektsiyalar to'g'ri
burchaklar orqali ifodalangan.
2. Izometrik proyektsiyalar: Izometrik proyektsiyalar, obyektlarni o'lgan
ko'ordinat sistemasi yordamida X, Y va Z o'lchamlariga nisbatan ifodalaydi. Ular
obyektni o'lgan holatini saqlab qolish bilan birgalikda barcha burchaklarini to'g'ri
ko'rsatadi. Izometrik proyektsiyalarda, o'lchamlar tenglikning saqlanishini
ta'minlayadi.
3. Perspektiv proyektsiyalar: Perspektiv proyektsiyalar, obyektlarni o'lgan
ko'ordinat sistemasi yordamida X, Y va Z o'lchamlari va perspektiva prinsipi
yordamida ifodalaydi. Ular obyektni perspektiva burchaklari bilan tasvirlayadi va
3D effektni yaratadi. Perspektiv proyektsiyalar esa obyektga uzoqlik va masofa
ta'siri beradi.
O'lgan ko'ordinat tizimi proyektsiyalari, 3D obyektlarni 2D ekran pleyadagi
koordinatalar orqali tasvirlash imkonini beradi. Ular matematik asoslar orqali
obyektning xususiyatlari, pozitsiyasi va shaklini ifodalaydi. Bu proyektsiyalar,
inshoot, grafik modellash, arxitektura, texnik dizayn, kompyuter grafikasi va
boshqa sohalar uchun muhimdir.
9

Og'riq koordinat tizimi
Og'riq ko'ordinat tizimi, 3D proyektsiyalar uchun boshqa bir ko'ordinat tizimi
variantidir. Ushbu tizimda, obyektlar X, Y va Z o'lchamlarining o'rniga, og'riq yoki
kengligi, balandligi va burchaklari yordamida tasvirlanadi. Og'riq ko'ordinat tizimi
proyektsiyalarining bir nechta turini tasvirlashda foydalaniladi:
1. Og'riq proyektsiyalar: Og'riq proyektsiyalar, obyektlarni og'riq
koordinatalar orqali tasvirlaydi. Ular obyektni og'riq kenglik, balandlik va burchak
ma'lumotlari bilan ifodalaydi. Og'riq proyektsiyalarda, obyektning burchaklarini
o'lchab olish uchun keng qo'llaniladi.
2. Kenglik proyektsiyalar: Kenglik proyektsiyalar, obyektlarni og'riq
koordinatalar orqali tasvirlaydi, lekin 3D obyektlarni 2D ekran pleyadagi
o'lchamlarda ifodalaydi. Ular obyektni og'riq kenglik va balandlik ma'lumotlari
yordamida tasvirlayadi. Kenglik proyektsiyalarda, obyektlarning o'lchamlari
kenglik yoki balandlik orqali ko'rsatiladi.
Og'riq ko'ordinat tizimi proyektsiyalari, og'riq o'lchamning muhimligini va
obyektlarning o'lchamlari, burchaklari va boshqa xususiyatlari bilan bog'liq
ma'lumotlarni ifodalashda ishlatiladi. Ular fizika, matematika, inshoot, grafik
modellash, kompyuter grafikasi, arxitektura va texnik dizayn sohalarida muhimdir.
Og'riq proyektsiyalar, obyektlarni og'riq koordinatalar orqali tasvirlash imkonini
beradi va 3D effektlarni ifodalayadi.

Polarni ko'ordinat tizimi
Polarni koordinat tizimi, ko'ordinat sistemasi bo'lib, obyektlarni radius va
burchak ma'lumotlari yordamida ifodalaydi. Ushbu tizimda, obyektning
yo'nashuvining markaziy nuqtasiga qarab radius va burchak bilan tasvirlanadi.
Polarni koordinat tizimida quyidagi komponentlar mavjud:
10

1. Radius (r): Radius, obyektning markaziy nuqta bilan orasidagi masofani
ifodalaydi. Ushbu masofa obyektning yo'nashuvining markaziy nuqta bilan
orasidagi uzoqlikni anglatadi.
2. Burchak (θ): Burchak, polarni koordinat tizimida obyektning markaziy
nuqta bilan o'rtasidagi burchakni ifodalaydi. Burchaklar a'zolar, graduslar yoki
radiusning burchak masofasi sifatida ifodalana oladi.
Polarni koordinat tizimi proyektsiyalari, obyektlarni radius va burchak
ma'lumotlari bilan ifodalaydi. Ular shu ko'ordinat sistemasi asosida 2D pleyadagi
obyektlarni tasvirlashda ishlatiladi. Polarni proyektsiyalarda, obyektlarning radius
va burchak ma'lumotlariga asoslangan proyektsiyalar yaratiladi. Ular a'zo,
balandlik, balandlik kesishlari, to'rtburchaklarda va boshqa shakllarda ifodalana
oladi.
Polarni koordinat tizimi proyektsiyalari, polar koordinat sistemasi yordamida
obyektlarning geometrik xususiyatlarini tasvirlashda keng qo'llaniladi. Ular fizika,
matematika, elektronika, arxitektura, grafik modellash va boshqa sohalar uchun
muhimdir.
11

1.3 Ko’ordinat tizimlari va ularning xususiyatlari.
Proyektsiyalar turli ko'ordinat tizimlarida ifodalay oladi. Har bir proyektsiya
turining o'z xususiyatlari va ulardan qanday foydalanish mumkinligi mavjud.
Quyidagi proyektsiya turlari bilan tanishishingiz mumkin:
1. O'lgan ko'ordinat tizimi proyektsiyalari: Bu proyektsiyalar, kartezian
ko'ordinat sistemasi orqali obyektni 2D ekran pleyadagi koordinatalar bilan
tasvirlaydi. Ushbu proyektsiyalarda X, Y va Z koordinatalaridan foydalaniladi.
Misol uchun, ortogonal proyektsiya, ortografik proyektsiya va aksonometrik
proyektsiyalar bu turga kiradi.
2. Og'riq ko'ordinat tizimi proyektsiyalari: Bu proyektsiyalar, obyektni og'riq
ko'ordinat sistemasi orqali 2D ekran pleyadagi yoki boshqa burchakda tasvirlaydi.
Bu proyektsiyalarda obyektning burchak va masofalari ifodalangan bo'lishi
mumkin. Misol uchun, burchak proyektsiyalari, konisk proyektsiya va silindr
proyektsiyalar og'riq ko'ordinat tizimi proyektsiyalariga misol bo'lishi mumkin.
3. Polarni ko'ordinat tizimi proyektsiyalari: Ushbu proyektsiyalar, obyektni
polarni ko'ordinat sistemasi yordamida 2D ekran pleyadagi yoki boshqa burchakda
tasvirlaydi. Obyektning radius va burchak ma'lumotlariga ega bo'lishi mumkin.
Misol uchun, polarni proyektsiyalar va dairaviy proyektsiyalar bu turga kiradi.
Har bir proyektsiya turining o'z metodlari va shartlari mavjud bo'lishi
mumkin. Bu proyektsiya turlaridan foydalanishda obyektning xususiyatlari,
ko'rsatish usullari, o'lchamli ko'rsatuvchaning talablari va maqsadlari ham hisobga
olinishi kerak. Proyektsiyalar obyektlarni tasvirlash va ularning geometrik
xususiyatlari haqida ko'proq ma'lumot berish uchun turli proyektsiya turlarini
o'rganishingiz kerak.
12

Kartezian ko'ordinat tizimi
Kartezian ko'ordinat tizimi, matematikada va geometriyada juda keng
qo'llanadigan bir ko'ordinat tizimidir. Ushbu tizimda, 2D va 3D proyektsiyalar
obyektlarni X, Y va Z o'lchamlari yordamida ifodalaydi.
Kartezian ko'ordinat tizimida quyidagi komponentlar mavjud:
1. X o'qi: Bu o'q, tizimning asosiy o'qi bo'lib, obyektlarni kesib o'tadigan o'q
sifatida ifodalaydi. O'qning boshlang'ichi "0" nuqtasi deb nomlanadi.
2. Y o'qi: Y o'qi, X o'qiga ortib tushadi va uning bilan burchak bildiradi. Bu
o'qning boshlang'ichi ham X o'qining "0" nuqtasidan o'tiradi.
3. Z o'qi: Z o'qi, faqat 3D ko'ordinat tizimida mavjud bo'ladi va obyektlarni
uzayda balandlik yoki o'zgarishlarini ifodalaydi.
Kartezian ko'ordinat tizimida, obyektning pozitsiyasi va xususiyatlari to'g'ri
to'rtburchakning X, Y va Z koordinatalari yordamida tasvirlanadi. Bunda,
obyektning markaziy nuqtasi o'qi bilan kesib o'tadi va uchta o'lchamlar tomonidan
belgilanadi.
Kartezian ko'ordinat tizimi proyektsiyalari, obyektlarni X, Y va Z o'lchamlari
yordamida 2D va 3D pleyadagi ifodalaydi. Ular matematik, fizika, geometriya,
inshoot, grafik modellash, kompyuter grafikasi, arxitektura va boshqa sohalar
uchun muhimdir. Kartezian ko'ordinat tizimi, obyektlarning pozitsiyasini aniqlash,
qarshilik bilan ishlash, geometrik hisob-kitoblarni amalga oshirish va o'zaro
bog'lanishlarni tahlil qilish uchun asosiy qo'llaniladi.

Polarni ko'ordinat tizimi
13

Polarni ko'ordinat tizimi, ko'ordinat sistemasi bo'lib, obyektlarni radius va
burchak ma'lumotlari yordamida ifodalaydi. Ushbu tizimda, obyektning
yo'nashuvining markaziy nuqtasiga qarab radius va burchak bilan tasvirlanadi.
Polarni ko'ordinat tizimida quyidagi komponentlar mavjud:
1. Radius (r): Radius, obyektning markaziy nuqta bilan orasidagi masofani
ifodalaydi. Ushbu masofa obyektning yo'nashuvining markaziy nuqta bilan
orasidagi uzoqlikni anglatadi.
2. Burchak (θ): Burchak, polarni koordinat tizimida obyektning markaziy
nuqta bilan o'rtasidagi burchakni ifodalaydi. Burchaklar a'zolar, graduslar yoki
radiusning burchak masofasi sifatida ifodalana oladi.
Polarni ko'ordinat tizimi, aylana shaklida ifodalangan bo'lib, obyektlarni
radius va burchak bilan tasvirlaydi. Bunda, markaziy nuqta aylananing markazida
joylashgan bo'lib, obyektning radiusi uning markaziy nuqta bilan orasidagi
masofani, burchak esa obyektning aylananing burchagini anglatadi.
Polarni ko'ordinat tizimi proyektsiyalari, obyektlarni radius va burchak
ma'lumotlari bilan ifodalaydi. Ular shu ko'ordinat sistemasi asosida 2D pleyadagi
obyektlarni tasvirlashda ishlatiladi. Polarni proyektsiyalarda, obyektlarning radius
va burchak ma'lumotlariga asoslangan proyektsiyalar yaratiladi. Ular a'zo,
balandlik, balandlik kesishlari, to'rtburchaklarda va boshqa shakllarda ifodalana
oladi.
Polarni ko'ordinat tizimi proyektsiyalari, polar koordinat sistemasi yordamida
obyektlarning geometrik xususiyatlarini tasvirlashda keng qo'llaniladi. Ular fizika,
matematika, elektronika, arxitektura, grafik modellash va boshqa sohalar uchun
muhimdir.
S ilindr ko'ordinat tizimi
14

Silindr ko'ordinat tizimi, 3D obyektlarni silindr shaklida tasvirlashda
ishlatiladi. Ushbu tizimda obyektlar, radius, burchak va balandlik ma'lumotlari
yordamida ifodalaydi. Silindr ko'ordinat tizimida quyidagi komponentlar mavjud:
1. Radius (r): Radius, silindrdagi burchakning markaziy nuqta bilan orasidagi
masofasini ifodalaydi. Ushbu masofa obyektning burchak bo'yicha uzluksiz yoki
keskinlik bilan o'zgarishi mumkin.
2. Burchak (θ): Burchak, silindrdagi markaziy nuqta bilan o'rtasidagi
burchakni anglatadi. Burchaklar a'zolar, graduslar yoki radiusning burchak
masofasi sifatida ifodalana oladi.
3. Balandlik (z): Balandlik, silindrdagi obyektni uzayda yoki silindr bo'yicha
yuqori pastga o'zgarishi ifodalaydi. Ushbu o'lcham, obyektning silindr bo'yicha
konumini tasvir etadi.
Silindr ko'ordinat tizimi proyektsiyalari, obyektlarni radius, burchak va
balandlik ma'lumotlari bilan ifodalaydi. Ular silindr shaklida tasvirlanayotgan 3D
obyektlarni 2D ekran pleyadagi o'lchamlarda ifodalaydi. Silindr ko'ordinat tizimi
proyektsiyalari, silindr shaklida obyektlarni keng qo'llashda foydalaniladi. Ular
fizika, matematika, elektronika, grafik modellash, inshoot va boshqa sohalar uchun
muhimdir. Silindr ko'ordinat tizimi proyektsiyalari, silindr shaklida
tasvirlanayotgan obyektlarning xususiyatlari va geometrik hisob-kitoblarni
o'rganish va analiz qilishda ishlatiladi.
Sfera ko'ordinat tizimi
Sfera ko'ordinat tizimi, 3D obyektlarni sfera shaklida tasvirlashda ishlatiladi.
Ushbu tizimda obyektlar, radius, polar burchak (θ) va azimutal burchak (φ)
ma'lumotlari yordamida ifodalaydi. Sfera ko'ordinat tizimida quyidagi
komponentlar mavjud:
15

1. Radius (r): Radius, sferaning markaziy nuqta bilan obyekt orasidagi
masofasini ifodalaydi. Ushbu masofa obyektning sfera bo'yicha uzluksiz yoki
keskinlik bilan o'zgarishi mumkin.
2. Polar burchak (θ): Polar burchak, sferaning markaziy nuqta bilan obyekt
orasidagi burchakni ifodalaydi. Bu burchaklar a'zolar, graduslar yoki radiusning
burchak masofasi sifatida ifodalana oladi.
3. Azimutal burchak (φ): Azimutal burchak, sferaning markaziy nuqta bilan
obyekt orasidagi burchakni ifodalaydi. Bu burchaklar a'zolar, graduslar yoki
radiusning burchak masofasi sifatida ifodalana oladi.
Sfera ko'ordinat tizimi proyektsiyalari, obyektlarni radius, polar burchak va
azimutal burchak ma'lumotlari bilan ifodalaydi. Ular sfera shaklida
tasvirlanayotgan 3D obyektlarni 2D ekran pleyadagi o'lchamlarda ifodalaydi. Sfera
ko'ordinat tizimi proyektsiyalari, obyektlarning sfera bo'yicha konumini va
geometrik xususiyatlarni tasvirlashda foydalaniladi. Ular fizika, matematika,
astronomiya, grafik modellash, kompyuter grafikasi va boshqa sohalar uchun
muhimdir. Sfera ko'ordinat tizimi proyektsiyalari, obyektlarning sfera
koordinatalari yordamida qo'llaniladi va obyektlarning konfiguratsiyalarini,
oraliqlarini va boshqa sfera xususiyatlarni o'rganish va tahlil qilish imkonini
beradi.
16

II bob: Sonlar bilan belgilangan proektsiyalarining amaliyoti.
Sonlar bilan belgilangan proektsiyalar, matematik konseptlarni amaliyotga
o'tkazishda va grafik modellarni tasvirlashda foydalaniladi. Ularning amaliyoti
quyidagilarni o'z ichiga oladi:
1. Obyektlarni 2D ekran pleyadagi tasvirlash: Sonlar bilan belgilangan
proektsiyalar, 3D obyektlarni 2D ekran pleyadagi koordinatalar orqali tasvirlash
imkonini beradi. Bu, obyektlarni 2D shaklda ko'rishga yordam beradi, shuningdek,
ularga o'lchamli xususiyatlarni taqdim etadi.
2. Burchak va masofalarni belgilash: Proyektsiyalar, obyektning burchaklarini
va masofalarini belgilashda foydalaniladi. Burchak proyektsiyalari, obyektning
burchaklarini barcha o'lganlarga nisbatan ko'rsatish uchun ishlatiladi. Masofa
proyektsiyalari esa obyektning uzunligini, masofasini yoki orqaga qo'yilganlikni
belgilashda foydalaniladi.
3. Obyektlarning sohasini aniqlash: Sonlar bilan belgilangan proektsiyalar,
obyektning shakl va hajmini tasvirlash imkonini beradi. Bu, qo'llanma yoki ish
stoli kabi obyektlarning qaror qilingan o'lcham va hajmiga e'tibor berishda
ishlatiladi.
4. Muhim nuqtalarni aniqlash: Proyektsiyalar, obyektlarning muhim
nuqtalarini aniqlash uchun foydalaniladi. Bu, obyektdagi kritik nuqtalarni,
qo'llanma joylashuvi yoki montaj nuqtalarni belgilash uchun muhimdir.
5. Chizish va ish stoli: Sonlar bilan belgilangan proektsiyalar, chizish va ish
stoli kabi texnik jihatdan ajratilgan joylar va obyektlarni grafik shaklda
tasvirlashda ishlatiladi. Bu, chizishlar va ish stollarini barcha o'lganlarga nisbatan
to'g'ri ko'rsatish uchun muhimdir.
Sonlar bilan belgilangan proektsiyalar, matematik tizimlar orqali obyektlarni
grafik shaklda tasvirlash va ularning amaliyotini tushuntirishda foydalaniladi. Ular,
17

inshoot, arxiv, dizayn, mashinasozlik, arxitektura va boshqa sohalar uchun
muhimdir.
2.1 O’zaro bog’lanishlar
O'zaro bog'lanishlar, proyektsiyalar va ularning foydalanish sohasida muhim
bo'lgan bir nechta mavzularga aloqador bo'lishadi. Quyidagi o'zaro bog'lanishlar
o'rganish uchun foydali bo'lishi mumkin:
1. Matematika: Proyektsiyalar matematik asoslariga asoslangan bo'lib,
ko'ordinat tizimlari, geometriya, trigonometriya, vektorlar va boshqa matematik
konseptlari bilan bog'liqdir. Matematika bilishining muhimligi, proyektsiyalar va
ularning amaliyotini tushuntirish va tushunishga yordam beradi.
2. Grafik modellash va dizayn: Proyektsiyalar, grafik modellash va dizayn
sohasida keng qo'llaniladi. 3D obyektlarning 2D ekran pleyadagi tasvirlashida va
ularning xususiyatlari bilan ishlashda proyektsiyalar kritik ahamiyatga ega bo'ladi.
Bu sohaga qiziqish tug'dirgan dasturchilar, dizaynerlar va animatsiya ishlab
chiqaruvchilar uchun o'zaro bog'lanishlar muhimdir.
3. Inshoot va arxivlar: Inshoot sohasida proyektsiyalar va ularning amaliyoti,
bino, texnik qurilishlar, maxsus apparatlar, mashinasozlik, arxitektura va boshqa
sohalar uchun muhimdir. Proyektsiyalar, inshoot jarayonida obyektlarni tashkil
etish, o'lchash, chizish va ish stoli yaratishda foydalaniladi.
4. Mashinasozlik va avtomatlashtirish: Proyektsiyalar, mashinasozlik va
avtomatlashtirish sohasida jadval, skaner, robotlar, texnik vositalar va boshqa
avtomatik sistemalar yaratishda muhim rol o'ynaydi. Bu sohadagi spetsialistlar
proyektsiyalar bilan ishlash va ularni ma'lumotlar bilan integrlash qobiliyatiga ega
bo'lishadi.
5. Kompyuter grafikasi va o'yinlar: Kompyuter o'yinlari, animatsiya va virtual
realitet sohasida proyektsiyalar keng qo'llaniladi. O'yinlar va grafik modellar 3D
18

obyektlarni 2D ekran pleyadagi tasvirlashda va ulardagi xususiyatlarni ko'rsatishda
proyektsiyalar bilan ishlaydi.
O'zaro bog'lanishlar, proyektsiyalar va ularning amaliyoti bilan bir qatorda
foydalanishning ko'plab sohalarini o'z ichiga oladi. Ular matematika, dizayn,
inshoot, mashinasozlik, kompyuter grafiklar hisoblanadi.
Koordinat o'zgaruvchanlarini toppish
Koordinat o'zgaruvchanlari, bir ko'ordinat tizimida obyektlarning
pozitsiyasini ifodalayuvchi o'zgaruvchanlardir. O'zgaruvchanlar, obyektni
ko'ordinat tizimida joylashgan nuqta yoki markaziy nuqta bilan bog'lashish orqali
belgilanadi. Bu o'zgaruvchanlar tizimning axborot sistemasi yoki ma'lumotlar
bazasi orqali aniqlanadi. Quyidagi o'zgaruvchanlar ko'p ishlatiladi:
1. X koordinat o'zgaruvchani ifodalaydi va obyektni ko'ordinat tizimida X o'qi
bo'yicha joylashishini ta'minlayadi.
2. Y koordinat o'zgaruvchasi obyektni ko'ordinat tizimida Y o'qi bo'yicha
joylashishini ifodalaydi.
3. Z koordinat o'zgaruvchasi, faqat 3D ko'ordinat tizimida mavjud bo'ladi va
obyektni ko'ordinat tizimida Z o'qi bo'yicha joylashishini tasvirlaydi.
Bunday o'zgaruvchanlar, obyektning pozitsiyasini tushuntirish uchun ko'p
ulanadi va 2D yoki 3D obyektlarni ko'rsatishda foydalaniladi. O'zgaruvchanlar,
matematikda, fizikada, geometriyada, inshootda, kompyuter grafikasida va boshqa
sohalar uchun muhimdir. O'zgaruvchanlar yordamida obyektlarning
koordinatlarida o'zgarishlar aniqlanishi, ularga amal qilish, ularning oraliqlarini
topish, ularni ta'mirlash va boshqa amallar o'tkazish mumkin.

Koordinat tizimlaridan birini tanlash
Tanlangan ko'ordinat tizimi va uning tavsiflari bilan tanishib chiqamiz:
19

1. Kartezian ko'ordinat tizimi: Bu tizimda obyektlar X, Y va Z o'lchamlari
yordamida ifodalangan bo'ladi. Ushbu tizim matematika, geometriya, fizika va
kompyuter grafikasi sohalarida keng qo'llaniladi. Obyektlarning pozitsiyasini
aniqlash, geometrik hisob-kitoblar, o'zaro bog'lanishlarni tahlil qilish uchun ideal
tizimdir.
2. Polarni ko'ordinat tizimi: Bu tizimda obyektlar radius va burchak
ma'lumotlari yordamida tasvirlanadi. Ular matematika, fizika, elektronika va
geometriyada ishlatiladi. Polarni ko'ordinat tizimi, radius va burchak yordamida
obyektlarning pozitsiyasini aniqlash va polarni proyektsiyalarni yaratish uchun
foydalaniladi.
3. Silindr ko'ordinat tizimi: Bu tizimda obyektlar radius, burchak va balandlik
ma'lumotlari bilan ifodalaydi. Ular 3D obyektlarni silindr shaklida tasvirlashda
ishlatiladi. Silindr ko'ordinat tizimi, obyektlarning konfiguratsiyalarini va
geometrik xususiyatlarni tasvirlashda foydalaniladi.
4. Sfera ko'ordinat tizimi: Bu tizimda obyektlar radius, polar burchak va
azimutal burchak ma'lumotlari bilan tasvirlanadi. Ular 3D obyektlarni sfera
shaklida tasvirlashda ishlatiladi. Sfera ko'ordinat tizimi, obyektlarning sfera
bo'yicha konumini va geometrik xususiyatlarni tasvirlashda foydalaniladi.
Sizga qaysi tizimdan foydalanishni afzal ko'radigan bo'lsa, undan so'ngroq
so'rashib chiqishingiz mumkin. Bu, sizning keraklar va ishlash sohalariga bog'liq
bo'ladi.
Sonlarni proyektsiyalarga o'tkazish
Sonlarni proyektsiyalarga o ' tkazish uchun bir nechta usullar mavjud ,
shuningdek , xususiy proyektsiyalarning qoidalari va formulalari ham mavjud
bo ' ladi . Quyidagi eng ko ' p ishlatiladigan proyektsiyalarni ko ' rib chiqamiz :
20

1. Ortogonal proyektsiya : Bu proyektsiya turi , obyektni ko ' ordinat tizimidagi
parallel o ' lchamlarga o ' tkazadi . Bunda obyektning ortogonal proyektsiyasi, X, Y va
Z o'lchamlariga parallel ravishda ifodalangan bo'ladi.
2. Izometrik proyektsiya: Izometrik proyektsiya, obyektni barcha
o'lchamlariga o'xshash o'lcham miqdorlarini qo'lga kiritadi. Uning natijasida
obyektning gorizontal, vertikal va zamonaviy masofalari o'xshash o'lchamlarda
ifodalangan bo'ladi.
3. Perspektiv proyektsiya: Bu proyektsiya turi, obyektni 3D perspektivada
tasvirlashda foydalaniladi. Uning asosiy xususiyati, obyektning uzoqlashtikdagi
nuqtadan ko'zga ko'rinishi va 3D effektlarni ifodalashdir.
4. Ortogonal aksonometrik proyektsiya: Bu proyektsiya turi, obyektni X, Y va
Z o'lchamlari bo'yicha o'ziga xos o'lchamlar bilan ifodalaydi. Uning asosiy
xususiyati, obyektning uzunliklari va koordinatalari to'g'ri qaydalanishi va
o'lchamlarning yashirinmasi bilan tasvirlanishi.
5. Konik proyektsiya: Bu proyektsiya turi, obyektni konusning boshqa yuziga
proyektsiyalashda ishlatiladi. Uning asosiy xususiyati, obyektning uzunliklari va
koordinatalari o'zgarishsiz bo'lishi va konusning boshqa tomoni orqali
tasvirlanishi.
Bu proyektsiyalar va ularning formulalari va qoidalari har biri uchun o'zgacha
amaliyotlar va tushunchalar mavjud. Ularni to'g'ri amalga oshirish uchun ilgari
tajribaga va proyektsiyalash sohasidagi asosiy konseptlarga ega bo'lishingiz kerak.
21

2.2 Kartezian koordinat tizimida proyektsiyalar.
Kartezian koordinat tizimi, proyektsiyalar uchun juda mashhur va qulay
bo'lgan bir ko'ordinat tizimidir. Bu tizimda, 2D ekran pleyadagi, koordinat o'qi
yoki ko'ordinat sistemi yordamida tasvirlanadi. Kartezian koordinat tizimi
proyektsiyalariga quyidagi turli usullarda foydalaniladi:
1. Ortogonal proyektsiyalar: Ortogonal proyektsiyalar, obyektning kartezian
ko'ordinat sistemasi yordamida ekran pleyadagi X, Y va Z koordinatalar bilan
ifodalangan proyektsiyalardir. Ular obyektning uch o'lchamli tashkilini aniqlayadi.
Ortogonal proyektsiyalar esa obyektni barcha tomonlaridan to'g'ri ko'rsatadi.
Bunday proyektsiyalarga ortografik proyektsiyalar, aksionometrik proyektsiyalar
va boshqa turli usullar kiradi.
2. Izometrik proyektsiyalar: Izometrik proyektsiyalar, obyektni kartezian
ko'ordinat sistemasi yordamida ekran pleyadagi uchta burchakning birinchi
burchaklariga nisbatan ifodalaydi. Ular obyektni o'lgan holatini saqlab qolish bilan
birgalikda barcha burchaklarini to'g'ri ko'rsatadi. Izometrik proyektsiyalarga
isometric axonometric proyektsiyalar misol bo'lishi mumkin.
3. Dairaviy proyektsiyalar: Dairaviy proyektsiyalar, obyektni kartezian
ko'ordinat sistemasi yordamida dairaviy koordinatlar bilan tasvirlaydi. Ular
obyektni radius va burchak ma'lumotlariga asoslangan proyektsiyalardir. Dairaviy
proyektsiyalarga polar proyektsiyalar va dairaviy ortogonal proyektsiyalar misol
bo'lishi mumkin.
Kartezian koordinat tizimi proyektsiyalari, obyektlarni 2D ekran pleyadagi
koordinatalar orqali tasvirlash imkonini beradi. Ular matematik asoslar orqali
obyektning xususiyatlari, pozitsiyasi va shaklini ifodalaydi. Bu proyektsiyalar,
inshoot, grafik modellash, arxitektura, texnik dizayn va boshqa sohalar uchun
muhimdir.
22

X, y, z koordinatalarini o'zgartirish
X, Y, va Z koordinatalarini o'zgartirish uchun ularning qiymatlarini
o'zgartirish imkoniyatiga ega bo'lasiz. Bu koordinatalar obyektlarning pozitsiyasini
ko'rsatadi. Misol uchun, agar siz obyektning X koordinatasini o'zgartirishni
istasangiz, siz uni yangi bir qiymat bilan almashtirishingiz mumkin.
Buning uchun quyidagi amallarni bajaring:
1. X koordinatasini o'zgartirish: Obyektning X koordinatasini o'zgartirish
uchun, uni yangi bir qiymat bilan almashtiring. Masalan, agar siz X koordinatasini
5 dan 8 ga o'zgartirishni istasangiz, obyektni yangi X koordinatasi 8 bo'ladi.
2. Y koordinatasini o'zgartirish: Obyektning Y koordinatasini o'zgartirish
uchun, uni yangi bir qiymat bilan almashtiring. Misol uchun, Y koordinatasini 3
dan 6 ga o'zgartirishni istasangiz, obyektni yangi Y koordinatasi 6 bo'ladi.
3. Z koordinatasini o'zgartirish: Agar obyekt 3D ko'ordinat tizimida bo'lsa, Z
koordinatasini ham o'zgartirish imkoniyatingiz mavjud. Uni yangi bir qiymat bilan
almashtiring. Masalan, Z koordinatasini 2 dan 4 ga o'zgartirishni istasangiz,
obyektni yangi Z koordinatasi 4 bo'ladi.
Koordinatalarni o'zgartirishning natijaviy ta'siri obyektning yangi
pozitsiyasini aniqlovchi bo'ladi. Bu bilan birga obyektning proyektsiyalari va
o'zgarmasini ham o'zgartiradi. Amalga oshirilgan o'zgartirishlarni ko'rsatish uchun
o'zgaruvchanlarni yoki proyektsiyalarni qo'llashingiz mumkin.

Koordinatlar orasidagi masofani hisoblash
Koordinatlar orasidagi masofani hisoblash uchun bir nechta usullar mavjud,
shuningdek, 2D va 3D masofani hisoblash uchun xususiy formulalar ham mavjud
bo'ladi. Masofani hisoblashda eng ko'p ishlatiladigan usullardan ba'zilarini ko'rib
chiqamiz:
1. Duzmasofa formula: Duzmasofa formula, ikki nuqta orasidagi masofani
hisoblashda foydalaniladi. U formula orqali masofani hisoblash mumkin. Misol
23

uchun, ikki 2D nuqta A(x1, y1) va B(x2, y2) orasidagi masofani quyidagi formula
orqali hisoblash mumkin:
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Bu formula ikki nuqta orasidagi yuqori masofani aniqlaydi.
2. 3D masofa formula: Agar siz 3D koordinat tizimida masofani hisoblashni
istasangiz, unga to'g'ri keladigan formula ham mavjud. Masalan, ikki nuqta A(x1,
y1, z1) va B(x2, y2, z2) orasidagi masofani quyidagi formula orqali hisoblash
mumkin:
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
Bu formula ikki nuqta orasidagi masofani 3D koordinat tizimida aniqlaydi.
3. Python yordamida masofani hisoblash: Agar siz Python dasturlash tilidan
foydalanmoqchi bo'lsangiz, math modulini import qilib, masofa hisoblash uchun
sqrt va pow funktsiyalaridan foydalanishingiz mumkin. Masalan, ikki nuqta A(x1,
y1) va B(x2, y2) orasidagi masofani Python da quyidagi ko'rinishda hisoblash
mumkin:
import math
x1 = 2
y1 = 3
x2 = 5
y2 = 7
d = math.sqrt(math.pow(x2 - x1, 2) + math.pow(y2 - y1, 2))
print(d)
Bu kod natijada ikki nuqta orasidagi masofani chiqaradi.
Masofani hisoblashda ko'rsatilgan formulalardan foydalanish bilan, ikki nuqta
(yoki ikki obyekt) orasidagi masofani aniqlashingiz mumkin. Bu formulalar
matematik, geometriya, fizika, kompyuter grafikasi va boshqa sohalar uchun
asosiydir. Shuningdek, 3D obyektlarni, navigatsiyani, robotikani va boshqa muhim
amaliyotlar va loyihalarni amalga oshirishda ham foydalaniladi.
24

Koordinatlar orasidagi burchakni hisoblash
Koordinatlar orasidagi burchakni hisoblash uchun bir nechta usullar mavjud.
Burchakni hisoblashning qanday usuldan foydalanish kerakligi va qaysi koordinat
tizimida ishlash kerakligi, savolga qarab o'zgaradi. Quyidagi usullardan ba'zilarini
ko'rib chiqamiz:
1. Duzmasofa formula: Duzmasofa formula, ikki nuqta orasidagi burchakni
hisoblashda foydalaniladi. U formulalar orqali burchakni hisoblash mumkin. Misol
uchun, ikki 2D nuqta A(x1, y1) va B(x2, y2) orasidagi burchak quyidagi formula
orqali hisoblash mumkin:
theta = atan2(y2 - y1, x2 - x1)
Bu formula ikki nuqta orasidagi burchakni aniqlaydi.
2. Python yordamida burchakni hisoblash: Agar siz Python dasturlash tilidan
foydalanmoqchi bo'lsangiz, math modulini import qilib, burchakni hisoblash uchun
atan2 funktsiyasidan foydalanishingiz mumkin. Masalan, ikki nuqta A(x1, y1) va
B(x2, y2) orasidagi burchakni Python da quyidagi ko'rinishda hisoblash mumkin:
import math
x1 = 2
y1 = 3
x2 = 5
y2 = 7
theta = math.atan2(y2 - y1, x2 - x1)
25

print(theta)
Bu kod natijada ikki nuqta orasidagi burchakni chiqaradi.
Burchakni hisoblash formulalari trigonometriya asosida yaratilgan. Ular
matematik, geometriya, fizika, robotika va boshqa sohalar uchun asosiydir.
2.3 Polarni koorniat tizimida proyektsiyalar.
Polarni koordinat tizimi, proyektsiyalar uchun boshqa bir koordinat tizimi
variantidir. Ushbu tizimda, obyektlar polarni koordinatalar yordamida ifodalangan
bo'lishi mumkin. Polarni koordinat tizimi proyektsiyalarining bir nechta turini
tasvirlashda foydalaniladi:
1. Polarni proyektsiyalar: Polarni proyektsiyalar, obyektlarni polarni
koordinatalar orqali tasvirlaydi. Ular obyektni radius va burchak ma'lumotlariga
asoslangan proyektsiyalardir. Polarni proyektsiyalarda, obyektning burchaklarini
barcha o'lganlarga nisbatan ko'rsatish uchun ishlatiladi.
2. Dairaviy proyektsiyalar: Dairaviy proyektsiyalar, obyektlarni polarni
koordinatalar yordamida tasvirlaydi, lekin 3D obyektlarni 2D ekran pleyadagi
boshqa burchakda ifodalaydi. Ular obyektni dairaviy koordinatlar bilan
tasvirlayadi. Dairaviy proyektsiyalarda, obyektning radius va burchak ma'lumotlari
ishlatiladi.
Polarni koordinat tizimi proyektsiyalari, burchak va masofalarni ifodalashda
o'rnatilgan. Ular radius va burchak ma'lumotlarini foydalanish orqali obyektlarni
tasvirlashga imkon beradi. Polarni proyektsiyalar, polar koordinat sistemasi
yordamida obyektlarning geometrik xususiyatlarini tasvirlashda keng qo'llaniladi.
Bunday proyektsiyalar, fizika, matematika, elektronika, arxitektura, texnik dizayn
va boshqa sohalar uchun muhimdir.
26

Radiusni o'zgartirish
Radiusni o'zgartirish uchun shunday amallarni bajaring:
1. Doira yaratish: Shu radius bilan doira yaratish uchun o'zgaruvchiga yangi
radius qiymatini berishingiz mumkin. Misol uchun:
radius = 5 # Eski radius
yangi_radius = 8 # Yangi radius
# Radiusni o'zgartirish
radius = yangi_radius
Bu usul bilan doira obyekti yaratilgan radiusni yangi radius bilan
o'zgartiradi.
2. Grafik yoki chiziq ustida radiusni o'zgartirish: Agar siz radiusni chiziq,
grafik yoki boshqa bir ko'rsatkich ustida o'zgartirishni istasangiz, radiusni to'g'ri
tahrirlash kerak bo'ladi. Bu usul bilan doira shakli yoki boshqa shakllar o'zgaradi.
3. Matematik formulalardan foydalanish: Agar siz matematik formulalardan
foydalanmoqchi bo'lsangiz, doiraning radiusini o'zgartirish uchun doira
formulasidan foydalanishingiz mumkin. Misol uchun, doira yuzasi uchun formula
A = π * r^2 ni ishlatish orqali radiusni o'zgartirishingiz mumkin. Yangi radiusni
qo'yishingiz bilan formula natijasidagi yuza o'zgaradi.
4. Dastur yordamida o'zgartirish: Agar siz dastur yordamida radiusni
o'zgartirishni istasangiz, shuning uchun dastur yozish va radiusni o'zgartirish
mumkin. Bu usul sizning dastur yoki kod asosida radiusni o'zgartirishingizga
imkon beradi.
Radiusni o'zgartirish bilan doira shakli, hajmi, yuzasi va boshqa xususiyatlari
ham o'zgaradi. Shuningdek, doiraning proyektsiyalari va o'zgarmasini ham
o'zgartirishadi. Agar siz ko'rsatgan tizim yoki shaklga qarab radiusni
27

o'zgartirmoqchi bo'lsangiz, o'zgartirish uchun shuningga mos bo'lgan formulalarni
yoki amallarni bajaring.
Burchakni o'zgartirish
Burchakni o'zgartirish uchun quyidagi amallarni bajaring:
1. Burchakni o'zgartirish: Burchakni o'zgartirish uchun o'zgaruvchiga yangi
burchak qiymatini berishingiz mumkin. Misol uchun:
burchak = 45 # Eski burchak
yangi_burchak = 60 # Yangi burchak
# Burchakni o'zgartirish
burchak = yangi_burchak
Bu usul bilan burchak o'zgaruvchisi yangi burchak bilan o'zgartiriladi.
2. Grafik yoki chiziq ustida burchakni o'zgartirish: Agar siz burchakni chiziq,
grafik yoki boshqa bir ko'rsatkich ustida o'zgartirishni istasangiz, burchakni to'g'ri
tahrirlashingiz kerak bo'ladi. Bu usul bilan burchakni grafik yoki tizimda
o'zgartirishingiz mumkin.
3. Trigonometrik funksiyalardan foydalanish: Burchakni trigonometrik
funksiyalar yordamida o'zgartirishingiz mumkin. Masalan, sin, cos, tan
funksiyalardan foydalanib burchakni o'zgartirishingiz mumkin. Burchakdagi
o'zgaruvchanlarni trigonometrik funksiyalarga berib yangi burchak qiymatini
olishingiz mumkin.
4. Dastur yordamida o'zgartirish: Agar siz dastur yordamida burchakni
o'zgartirishni istasangiz, shuning uchun dastur yozish va burchakni
o'zgartirishingiz mumkin. Bu usul sizning dastur yoki kod asosida burchakni
o'zgartirishga imkon beradi.
28

Burchakni o'zgartirish bilan obyektning orientatsiyasi, ko'rsatkichlari,
proyektsiyalari va o'zgarmasi ham o'zgaradi. Burchakni o'zgartirish uchun sizning
tanlagan tizim yoki shaklga mos bo'lgan formulalarni yoki amallarni bajaring.
Koordinatlar orasidagi masofani hisoblash
Koordinatlar orasidagi masofani hisoblash uchun Pythagoras teoremasidan
foydalaniladi. Pythagoras teoremasiga asoslangan formula ikki nuqta (x1, y1) va
(x2, y2) orasidagi masofani hisoblashda quyidagicha bo'ladi:
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Bu formula ikki nuqta orasidagi yuqori masofani hisoblash uchun ishlatiladi.
x1 va y1 birinchi nuqta koordinatlari, x2 va y2 esa ikkinchi nuqta koordinatlari.
"sqrt" kvadrat ildiz (koeffitsientni hisoblash uchun) va "^2" kvadratga oshirish
amalini ifodalaydi.
Misol uchun, A(2, 3) va B(5, 7) nuqtalarining orasidagi masofani hisoblash
uchun quyidagi formulani ishlatamiz:
d = sqrt((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)
= sqrt(3^2 + 4^2)
= sqrt(9 + 16)
= sqrt(25)
= 5
Shu masala natijasida nuqtalar A va B orasidagi masofa 5 ga teng bo'ladi.

Azimut burchakni o'zgartirish
29

Azimut burchakni o'zgartirish sfera ko'ordinat tizimida nuqtaning yashil
meridianga nisbatan o'rnini ifodalaydi. Azimut burchak o'zgartirilganda, nuqta
sfera yuzasida boshqa bir konumga aylantiriladi.
Azimut burchakni o'zgartirish uchun quyidagi amallar bajarilishi mumkin:
1. Agar sizda sfera ko'ordinatlari (r, θ, φ) mavjud bo'lsa, azimut burchakni
o'zgartirish uchun θ ni almashtirishingiz kerak. θ ni o'zgartirish bilan nuqta sfera
yuzasida aylantiriladi.
2. Azimut burchakni o'zgartirishning eng oddiy usuli yuqoridagi formuladan
foydalanishdir. Misol uchun, agar siz θ ni m qadam o'zgartirishni istasangiz, uning
qiymatini θ' = θ + m * Δθ bilan hisoblay olasiz, bu yerda Δθ sifatida har bir
qadamda o'zgartiriladigan burchakni tanlash uchun qaror qilingan bir qiymat
bo'ladi.
3. Azimut burchakni o'zgartirish natijasida nuqta sfera yuzasida boshqa bir
konumga aylantiriladi. Ushbu aylantirishni amalga oshirish uchun sfera
ko'ordinatlari (r, θ', φ) xilma-xilliklarda yangilanadi.
Azimut burchakni o'zgartirish, nuqtaning sfera yuzasidagi o'rnini o'zgartiradi
va koordinatlarda yoshlar orqali ifodalaydi. Bu, astronomiya, navigatsiya,
kartografiya, robotika va boshqa sohalarda aylantirish, konumlarni o'zgartirish va
yo'l topish vazifalarini hal qilishda muhimdir.
30

Sfera ko'ordinat tizimida proyektsiyalar
Sfera ko'ordinat tizimida proyektsiyalar, bir nuqta sfera ko'ordinatlarini
kartezian ko'ordinatlarga o'tkazishga yordam beradi. Sfera ko'ordinat tizimi, radius
(r), azimuthal burchak (θ) va polar burchak (φ) olmakchun ushbu ko'ordinatlar
orqali nuqtaning joylashgan nuqta sfera yuzasida aniqlanadi.
Sfera ko'ordinat tizimida quyidagi proyektsiyalar qo'llaniladi:
1. Radius proyektsiyasi (r): Bu proyektsiya, nuqta sfera yuzasidan boshqa
nuqtalar gacha bo'lgan masofani ifodalaydi. Bu proyektsiya radiusning qiymatini
ifodalaydi va kartezian ko'ordinatlarda x, y, z koordinatalari bilan bir xil bo'ladi.
2. Azimuthal proyektsiya ( θ ): Bu proyektsiya, nuqta sfera yuzasining
meridianlar bo'yicha ko'rinadigan joylashuvi bilan ifodalaydi. Bu proyektsiya
burchakning qiymatini ifodalaydi va kartezian ko'ordinatlarda y koordinatasi bilan
bir xil bo'ladi.
3. Polar proyektsiya ( φ ): Bu proyektsiya, nuqta sfera yuzasining polardan
o'tkazilgan joylashuvi bilan ifodalaydi. Bu proyektsiya burchakning qiymatini
ifodalaydi va kartezian ko'ordinatlarda z koordinatasi bilan bir xil bo'ladi.
Sfera ko'ordinat tizimi va uning proyektsiyalari, fizika, astronomiya, robotika,
kartografiya, qurilmali o'qitish, virtual haqiqiyat (VR) va boshqa sohalarda
qo'llaniladi. Ushbu tizim va proyektsiyalar, nuqtaning joylashuvi va o'zgarishini
aniqlash, uzayda yo'l topish, tezlanish va burchaklarni hisoblash kabi vazifalarda
muhimdir.
Ushbu tizim va uning proyektsiyalarini tushuntirish uchun, sfera
geometriyasi, trigonometriya, vektor hisoblash, matrikslar va koordinat
transformatsiyalari bilan bog'liq tushunchalar ham ko'plab ishlatiladi. Bu
tushunchalarni o'rganib, amaliyotda qo'llab-quvvatlash, proyektsiyalarni hisoblash
va ulardan foydalanishni o'rganishingiz foydali bo'ladi.
31

Xulosa
Ushbu mavzu bo'yicha xulosa qilganimda, sonlar bilan belgilangan
proyektsiyalar va koordinat tizimlari, ko'p sohalarda kritik ahamiyatga ega bo'lgan
aspektlardir. Bu mavzuni o'rganish, matematik va geometriya asoslarini tushunish,
ularni amaliyotda qo'llash va ko'p sohalarda foydalanish uchun yordam beradi.
Koordinat tizimlari, ko'p o'lchovli geometrik obyektlarni tartibga solishda,
joylashtirishda va ularga bog'liqlikni tushuntirishda qo'llaniladi. Bu tizimlar,
kartezian, polarni, o'lgan, og'riq, silindr va sfera tizimlari kabi turli koordinat
sistemalarni o'z ichiga oladi.
Masofalar va burchaklar, obyektlar orasidagi geometrik joylashuvni, doirasini
va orientatsiyani hisoblashda muhimdir. Bu tushunchalar, fizika, robotika, grafika,
kompyuter grafikasi, navigatsiya, mühendislik va boshqa sohalarda foydalaniladi.
O'zgaruvchanlar, obyektlarning aloqasini, shakllarni, harakatlarni va
o'zgarishlarni ifodalaydi. Bu tushunchalar, animatsiyalarni yaratishda, model
yaratishda, hisobotlarni tahlil qilishda va boshqalar kabi ko'p sohalarda
foydalaniladi.
Ushbu kurs ishi, sizga koordinat sistemalarini, masofa va burchakni
hisoblashni, o'zgaruvchanlarni o'zgartirishni va amaliyotni o'rgatadi. Sizning
o'zgartirgan burchak, masofa, koordinatlar orasidagi masofa va burchaklar haqida
tushunchangiz o'sadi. Shuningdek, sizning matematik va geometriya bilimlaridagi
yetkinliklaringizni oshiradi.
Ushbu mavzu, koordinat sistemalarini tushunish, geometrik modellarni
yaratish, burchak va masofani hisoblash va obyektlarning o'zgaruvchanlarini tahlil
qilish kabi asosiy amaliyotlarni tushuntiradi. Ushbu tushunchalar, sizning texnik
sohalardagi ilmiy va amaliy faoliyatingiz uchun muhimdir.
Sizning yaxshi tushunishingiz va kurs ishini muvaffaqiyatli yakunlashingiz
umid qilinishiga muvaffaqiyatlar! Bu mavzu sizning matematika, geometriya va
32

qo'llanma sohalaridagi bilimlar va ko'nikmalar o'zlashtirishda sizga yordam berishi
kerak bo'ladi.
Umumiy ravishda, ushbu kurs ishi, sonlar bilan belgilangan proyektsiyalar va
koordinat tizimlari haqida tushunchalarni oshirish va ularni amaliyotda qo'llashga
yordam beradi. Bu, sizga matematikning muhim aspektlarini o'rganishga imkon
beradi va sizning amaliyotdagi bo'shliqlaringizni to'ldirishda yordam beradi.
33

Foydalanilgan adabiyotlar
1. Kompyuter grafikasi uchun matematika (Kompyuter fanlari bo'yicha
bakalavriat mavzulari) Jon Vins
2. Fletcher Dann va Ian Parberry tomonidan Grafika va o'yinlarni ishlab
chiqish uchun 3D Matematik Primer
3. Kompyuter grafikasi: printsiplar va amaliyot Jon F. Xyuz, Andris van Dam,
Jeyms D. Foley, Stiven K. Fayner, Kurt Akeley
4. Kompyuter grafikasi: piksellardan dasturlashtiriladigan grafik
qurilmalargacha, Devid X. Eberli
5. Kompyuter grafikasiga kirish: Fabio Ganovelli, Massimiliano Korsini,
Sumanta Pattanaik, Marko Di Benedetto tomonidan amaliy o'rganish yondashuvi
6. Devid F. Rojers va J. Alan Adams tomonidan kompyuter grafikasi uchun
protsessual elementlar
7. Kompyuter grafikasi: C tilidagi printsiplar va amaliyot Jeyms D. Foley,
Andris van Dam, Stiven K. Fayner, Jon F. Xyuz
8. Interaktiv kompyuter grafikasi: Edvard Anxel va Deyv Shrayner tomonidan
WebGL bilan yuqoridan pastga yondashuv
9. Kompyuter grafikasi asoslari Piter Shirli va Maykl Ashixmin
10. Tomas Akenine-Möller, Erik Xayns va Naty Xoffman tomonidan real
vaqtda renderlash
34

Sonlar bilan belgilangan proektsiyalar haqida ma'lumot

Sotib olish