Sonli funksiyalar. Natural son bo‘luvchilari soni va yig‘indisi
![Sonli funksiyalar
S o n n i n g b u t u n q i s m i
x sonning butun qismi , ya’ni [ x ] qo’sh tengsizlik bilan [x]≤ x≤ [x]+1 yoki
x− 1<[x]≤ x
; yoki x= [x]+α ,0≤ α≤ 1 tenglik bilan aniqlanadi va
ant’ye funksiya deyiladi.
Agar x
1 va x
2 sonlardan birortasi butun bo’lsa,
[ x
1 + x
2 ] = [ x
1 ] + [ x
2 ]
o’rinli bo’ladi.
[
x
m ]= [
[x]
m ]
o’rinli bo’ladi.
m ! ko’paytmaning kanonik yoyilmasiga p tub son
[
m
p ]+[
m
p2]+...+[
m
pS]
darajada keladi, bu yerda S son
pS≤ m < pS+1 tengsizlikdan aniqlanadi.
1-m i s o l.
3− 2cos 90 π
181 sonning butun qismini toping.
Yechish. a Z va x kasr son uchun [ a – x ] = a + [- x ] formula o’rinli. Bu
formulani qo’llab
[3− 2cos 90 π
181 ]= 3+[− 2cos 90 π
181 ]= 3+(− 1)= 2
ni hosil qilamiz.
2-m i s o l.
[
x+ y
n ] ni [
x
n]+[
y
n] yoki [
x
n ]+[
y
n ]+1 ga tengligini isbotlang.
Yechish.
x+ y
n
= [
x
n ]+ α+[
y
n ]+ β](https://docx.uz/documents/fec44328-1dc5-4d70-9c12-e01c01b0bf7e/page_2.png?v=1)
![bo’lib, bu yerda 0≤ α<1, 0≤ β<1 . Demak,
[
x+ y
n ]= [
x
n ]+[
y
n ]+ [α+ β ] .
0≤ α + β< 2
bo’lganligi sababli [α+ β] 0 yoki 1 ga teng bo’ladi.
n dan katta bo’lmagan va p
1 , p
2 ,..., p
k tub sonlar bilan o’zaro tub bo’lgan
sonlar sonini quyidagi formula bilan hisoblash mumkin:
B(n;p1,p2,...,pk)= [n]− [
n
p1]− ....− [
n
pk]+[
n
p1p2]+....+
+[
n
pk−1pk]− [
n
p1p2p3]− ....− [
n
pk−2pk−1pk]+....+(− 1)k
[
n
p1p2....pk].
3-m i s o l. 180 dan katta bo’lsagan va 5, 7, 11 larga bo’linmaydigan sonlar
sonini toping.
Yechish. n = 180 va p
1 = 5, p
2 = 7, p
3 = 11 lar uchun
B (180 ;5,7,11 )= [180 ]− [
180
5 ]− [
180
7 ]− [
180
11 ]+[
180
5⋅7 ]+[
180
5⋅11 ]+
+[
180
7⋅11 ]− [
180
5⋅7⋅11 ]= 180 − 36 − 25 − 16 +5+3+ 2− 0= 113
.
4-m i s o l. 2002! son nechta 0 bilan tugaydi.
Yechish. Misol yechimi 2002! Ning kanoniy yoyilmasiga 5 nechanchi daraja
bilan kirishini aniqlash masalasiga keltiriladi:
[
2002
5 ]+[
2002
25 ]+[
2002
125 ]+[
2002
625 ]+[
2002
3125 ]=
= 400 +80 +16 + 3+0= 499 .
Demak, 2002! son 499 ta 0 bilan tugaydi.
5-m i s o l. (2 m )!! ning kanonik yoyilmasiga p tub son nechanchi darajada
kirishini aniqlang.
Yechish. (2 m )!! = m ! 2 m
bo’lganligi sababli p = 2 ga teng bo’lsa,](https://docx.uz/documents/fec44328-1dc5-4d70-9c12-e01c01b0bf7e/page_3.png?v=1)
![m +∑
i=1
k
[
m
2i],2k≤ m <2k+1 .
p > 2 bo’lsa,
∑
i=1
s
[
m
pi], ps≤ m < ps+1
ga teng bo’ladi.
H a q i q i y s o n n i n g k a s r q i s m i
Haqiqiy x sonning kasr qismi { x } quyidagi formula bilan aniqlanadi: { x } = x
– [ x ].
6-m i s o l. {-4,35} ni toping.
Yechish. {-4,35} = –4,35 – (–5) = 0,65.
N a t u r a l s o n n i n g b o’ l u v ch i l a r
s o n i v a u l a r y i g’ i n d i s i
Ixtiyoriy natural a son uchun ( a ) va S ( a ) funksiyalar mos ravishda a
sonning natural bo’luvchilari soni va ularni yig’indisini ifodalaydi. Bu funksiyalar
uchun quyidagi formulalar o’rinli:
∏
p|12
(
1−
1
p )
=
(
1−
1
2 )(
1−
1
3 )
=
1
2
⋅
2
3
=
2
6
=
1
3
bu yerda
a= p1
α1p2
α2...pn
αn= ∏i=1
n
pi
αi− a sonning kanonik yoyilmasi.
Bu funksiyalar multiplikativ, ya’ni agar ( a,b ) = 1 lar uchun](https://docx.uz/documents/fec44328-1dc5-4d70-9c12-e01c01b0bf7e/page_4.png?v=1)
![4-m i s o l. a = 72 uchun Gauss formulasini to’g’riligini ko’rsating:∑
d/a
ϕ(d)= a
.
Yechish. Gauss formulasi
∑
d/a
ϕ(d)= a da a = 72 deb olamiz: a = 72 = 2 3
3 2
. 72 ning barcha bo’luvchilari:
(1 + 2 + 2 2
+ 2 3
)(1 + 3 + 3 2
).
∑d/72
ϕ(d)= [ϕ(1)+ϕ(2)+ϕ(22)+ϕ(23)][ϕ(1)+ϕ(3)+ϕ(32)]=
=
(1+1+ 2+ 4)(1+ 2+6)= 8⋅9= 72 = a.
5-m i s o l. ( x ) = p – 1 tenglamani yeching.
Yechish. x = r
y deb olamiz, bu yerda ( y, r ) = 1.
r - 1
( y ) = 1, bundan = 1 va ( y ) = 1. Demak, r = 2 da tenglama yagona x =
2 (chunki bu holda y = 1); r > 2 da tenglama ikkita: x = r ; 2 r yechimga ega.
6-m i s o l. Eyler funksiyasining xossalaridan foydalanib tub sonlar soni
cheksiz ko’pligini isbotlang.
Yechish. r
1 , r
2 ,…,r
k – barcha tub sonlar bo’lsin, u holda
a = r
1
r
2 …r
k son uchun (a) = (r
1 – 1) (r
2 – 1)…(r
k – 1) bo’ladi. Boshqa
tomondan
(a)= 1, chunki ixtiyoriy birdan farqli va a dan katta bo’lmagan son
oddiy bo’luvchiga ega va bu bo’luvchi r
i lardan birortasiga teng, shu sababli bu son
a bilan o’zaro tub bo’la olmaydi. Demak, (r
1 – 1 )(r
2 – 1 )…(r
k – 1 )= 1, lekin bu tenglik
k = 2 dan boshlab o’rinli emas, (2-1)(3-1) > 1 hosil qilingan qarama-qarshilik tub
sonlar soni cheksizligini bildiradi.
M y o b i u s f u n k s i ya s i
Barcha natural sonlar uchun aniqlangan
μ(a)=¿{1, агар a=1¿{(−1)
k
,агар a= р
1
р
2
...р
k
, р
i
≠ р
j
i≠ j¿¿¿¿](https://docx.uz/documents/fec44328-1dc5-4d70-9c12-e01c01b0bf7e/page_8.png?v=1)
![Yechish. 18 ning bo’luvchilari: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Bundan ∑
d|18
μ(d)= μ(1)+ μ(2)+ μ(3)+ μ(6)+ μ(9)+ μ(18 )=
¿1+(− 1)+(− 1)+1+0+0= 0
.
3-m i s o l.
∑
d|a
μ(d)
d
= ∏
p|a(1− 1
p) formula to’g’riligini a=12 uchun
tekshiring.
Yechish. 12 ning bo’luvchilari: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bundan
∑
d|a
μ(d)
d
= μ(1)
1
+ μ(2)
2
+ μ(3)
3
+ μ(4)
4
+ μ(6)
6
+ μ(12 )
12
=
¿1− 1
2
− 1
3
+0+1
6
+0= 1
3
.
∏
p|12 (1− 1
p)= (1− 1
2)(1− 1
3)= 1
2
⋅2
3
= 2
6
= 1
3
.
M A S H Q L A R
1. Toping:
a ) [− 2,7 ]; b ) [2 + 3√ 987 ];c ) [
7 − √ 21
2 ];d ) [
10
3 + √ 3 ];
e ) [1 ,(3 )+ 2 tg π
4 ]; f ) [3+ sin 13 π
7 ];g ) [2− lg 2512 ];
h ) [2− lg abcd ];i) [√ 30 + 3√ 10 ]; j) [1− ln 50 ].
2. Barcha haqiqiy x va y lar uchun [ x + y ] [ x ] +[ y ] to’g’riligini isbotlang.
3. [ ax ] = m tenglamani yechimini toping, bu yerda a 0, x R .
4. m ning qanday butun musbat qiymati uchun
[12,4 m ] = 86 tenglik o’rinli bo’ladi.](https://docx.uz/documents/fec44328-1dc5-4d70-9c12-e01c01b0bf7e/page_10.png?v=1)
![5. Agar p > 2 tub son bo’lsa, [
р
4] ning qiymati
p−1
4 yoki
p− 3
4 ga
tengligini isbotlang.
6. a sonni m ga bo’lganda qoldiq r bo’lsa,
[
a
m ]= a− r
m tenglikni isbotlang.
7. Agar m toq son bo’lsa,
[
m
2 ]= m− 1
2 ni isbotlang.
8 . Tenglamani yeching:
a)[x2]= 2 ; b)[3 x2− x]= x+1;
c)[x]= 3
4
x;d )[x2]= x.
9. 10 6
va 10 7
sonlar orasida 786 ga karrali bo’lgan nechta natural son bor?
10. 1000 kichik natural sonlardan nechtasi 5 va 7 ga bo’linadi?
11. 100 dan katta bo’lmagan natural sonlardan nechtasi 36 bilan o’aro tub?
12. 1000! ning kanonik yoyilmasida 11 nechanchi darajada keladi?
13. 1964! soni nechta nol bilan tugaydi?
14. 2311 dan oshmaydiganva 5, 7, 13, 17 larga bo’linmaydigan butun
musbat sonlar soni nechta?
15. Nayti kolichestvo sel ы x polojiteln ы x chisel, ne prevosxodya щ ix 110 i
vzaimno prost ы x s chislom 36.
16. 12317 dan katta bo’lmagan va 1575 bilan o’zaro tub bo’lgan butun
musbat sonlar sonini toping.
17. 1000 dan katta bo’lmagan va 363 bilan o’zaro tub bo’lgan butun
musbat sonlar sonini toping.
18. r n
! ning kanonik yoyilmasiga p tub son nechanchi darajada keladi?
19. Sonlarni kanonik yoyilmasini toping:
a) 10! ; b ) 15! ; c) 20! ; d ) 25! ; e ) 30! .
20.
20 !
10 ! 10 ! ni kanonik yoyilmaini toping.
21. ning shunday eng katta qiymatini topingki, bunda](https://docx.uz/documents/fec44328-1dc5-4d70-9c12-e01c01b0bf7e/page_11.png?v=1)
![N = 101 ⋅102 ...1000
7α − butun son bo’lsin.
22. (2 m +1)!! ning kanonik yoyilmasida p tub son nechanchi darajada
bo’lishini aniqlang.
23.
a≤ x≤ b ,0≤ y≤ f(x), egri chiziqli trapesiyada butun koordinatali
nuqtalar soni nechta? Bu yerda a va b – natural sonlar; f (x) – berilgan kesmada
uzluksiz va nomanfiy funksiya.
24. x 2
+ y 2
= 6,5 2
doirada nechta butun koordinatali nuqta bor?
25. Agar ( a , 4) = 1 bo’lsa,
[
a
4]+[
2a
4 ]+[
3a
4 ]= 3(a− 1)
2
tenglik to’g’riligini isbtolang.
26. Agar ( a, m ) = 1, m 2, a 2 bo’lsa,
[
a
m ]+[
2a
m ]+...+[
(m − 1)a
m ]= (m − 1)(a− 1)
2
tenglik to’g’riligini isbotlang.
27 . x ning qanday qiymatlarida
[x]− 2[
x
2]= 1 tenglik o’rinli.
28 .
[
x
m ]= [
x
m − 1] tenglamani yeching, bu yerda m = 2, 3, 4...
29 . Qanday shartlar bajarilganda [ ax 2
+ bx + c ] = d tenglama yechimga ega
bo’ladi, bu yerda a 0, d Z .
30 . Toping:
a){2,6 }; b){
8
3}; c){7}; d){− 2 1
2} .
31 . Berilgan sonlarni natural bo’luvchilari va ular yig’indisini toping:
a ) 375 ; b ) 720 ; c ) 957 ; d ) 988 ; e ) 990 ; f ) 1200.
32 . Berilgan sonlarning barcha bo’luvchilarini toping:
a ) 360 ; b ) 375.
33 . S ( m ) = 2 m – 1 sharti qanoatlantiruvchi natural m sonlar cheksiz
ko’pligini isbotlang.](https://docx.uz/documents/fec44328-1dc5-4d70-9c12-e01c01b0bf7e/page_12.png?v=1)
Sonli funksiyalar. Natural son bo‘luvchilari soni va yig‘indisi