Styuart teoremasi va uning tadbiqi - Педагогика - Рефераты

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	96.6KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	Педагогика

Styuart teoremasi va uning tadbiqi

Купить

Mavzu: Styuart teoremasi va uning tadbiqi.
Reja:
1. Styuart teoremasi va uning isboti.
2. Styuart teoremasining uchburchak balandligi uchun tadbiqi.
3. Styuart teoremasining uchburchak medianasi uchun tadbiqi.
4. Styuart teoremasi orqali Geron formulasini isbotlash.
5. Styuart teoremasining uchburchak bissektrisasi uchun tadbiqi.
6. Styuart teoremasini misollarda qo’llanilishi.
7. Styuart teoremasiga doir mustaqil yechish uchun misollar.
8. Foydalanilgan adabiyotlar.

Styuart teoremasi va uning isboti
Teorema (Stuart) . Agar ABC uchburchakning BC tomonida ichki D nuqta olingan
bo‘lsa,
AB 2
∙ DC + AC 2
∙ BD − AD 2
∙ BC = BC ∙ BD ∙ DC
tenglik bajariladi.

1-chizma
Isboti. ∆ ABC
ning A uchidan AK ⊥ BC
to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz (1- chizma). K nuqta
D va C nuqtalar orasida yotadi, deb faraz qilamiz. Ikkita to‘g‘ri burchakli ∆AKC va
∆ADK
ni qaraymiz va Pifagor teoremasiga ko‘ra ∆ AKC
dan AC 2= AK 2+KC 2 ; ∆ ADK
dan
AK 2= AD 2− DK 2 munosabatlarni olamiz. Ulardan
AC 2
= AD 2
+ KC 2
− DK 2
= AD 2
+ ( KC + DK ) ( KC − DK ) yoki,
AC 2
= AD 2
+ DC
( KC − DK ) = AD 2
+ DC ( DC − 2 DK ) ,
AC 2= AD 2+DC 2−2DC ∙DK
bo‘ladi.
To‘g‘ri burchakli ∆ ABK
va
∆ADK dan AB 2= AK 2+BK 2 va AK 2= AD 2− DK 2
munosabatlarni olamiz. Ulardan,
AB 2
= AD 2
+ BK 2
− DK 2
= AD 2
+
( BK − DK )( BK + DK )
bo‘lishi kelib chiqadi.
BK − DK = BD ,BK = BD +DA ekanligini hisobga olsak,
AB 2
= AD 2
+ BD
( BD + DK ) = AD 2
+ BD 2
+ 2 BD ∙ DK bo‘ladi. Endi
AC 2
uchun hosil qilingan
ifodani
BD ga,
AB 2
uchun olingan ifodani DC ga ko‘paytirib, hosil qilingan ifodalarni
qo‘shamiz:
AC 2
∙ BD + AB 2
∙ DC = AD 2
(
BD + DC ) + DC 2
∙ BD + BD 2
∙ DC = AD 2
∙ BC + DC 2
∙ BD + BD 2
∙ DC = AD 2
∙ BC + DC ∙ BD ( DC + BD ) = AD 2
∙ BC + BD ∙ DC ∙ BC ,
ya’ni bundan talab qilingan tenglik olinadi.
Stuart teoremasidan foydalanib, uchburchak medianasi, balandligi, bissektrisasi
uzunliklarini hisoblaymiz.
Styuart teoremasining uchburchak medianasi uchun tadbiqi.

∆ABCda AD
mediana va AK
balandlik o‘tkazilgan bo‘lsin (2-chizma). Kesmalar
uzunliklari uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
AB =c,AC =b,BC =a,AD =ma .
AD
mediana bo‘lganligidan
BD = DC = a
2 .
Endi ∆ ABC
uchun Stuart teoremasini yozamiz:
AC 2
∙ BD + AB 2
∙ DC = AD 2
∙ BC + DC ∙ BD ∙ BC
yoki
b 2
∙ a
2 + c 2
∙ a
2 = m
a2
∙ a + a 2
4 ∙ a .
Bu tenglikning ikkala tomonini
a ga qisqartiramiz: b 2
+ c 2
2 = m
a2
+ a 2
4 .
Bundan
m
a2
= b 2
+ c 2
2 − a 2
4 , m
a = 1
2
√ 2 b 2
+ 2 c 2
− a 2
ifodani olamiz.
Yuqoridagiga o‘xshash, m
b , m
c medianalar uchun ushbu ifodalarni olamiz:
mb= 1
2√2a2+2c2−b2,mc= 1
2√2a2+2b2− c2
.

Styuart teoremasining uchburchak balandligi uchun tadbiqi.
Berilgan
∆ABC ning tomonlari AB =c,BC = a,AC =b bo‘lsin (3-chizma). Unda
AK ⊥BC
balandlik o‘tkazamiz. Agar ∠ B=90 ° bo‘lsa, to‘g‘ri burchakli ABK va
ACK
uchburchaklardan
b2= AK 2+KC 2,AK 2= c2− BK 2 ifodalarni topamiz. Ulardan

b2= c2− BK 2+¿ ,

b2= a2+c2−2a∙BK bo‘ladi. Bundan BK = a 2
+ c 2
− b 2
2 a kelib chiqadi. Olingan
ifodani AK
uchun yuqorida olingan ifodaga keltirib qo‘yamiz:
AK 2
= c 2
− BK 2
= c 2
−
( a 2
+ c 2
− b 2 ) 2
4 a 2 =
( c − a 2
+ c 2
− b 2
2 a )( c + a 2
+ c 2
− b 2
2 a ) =
( 2 ac − a 2
− c 2
+ b 2 )(
2 ac + a 2
+ c 2
− b 2 )
4 a 2 = ( b 2
− ( a − c ) 2)((
a + c ) 2
− b 2 )
4 a 2 .
Bundan, AK 2
= ( b − a + c ) ( b + a − c ) ( a + c − b ) ( a + b + c )
4 a 2 bo‘ladi. a + b + c = 2 p
deb belgilab,
qolgan ko‘paytuvchilarni p orqali ifodalaymiz:
b + c − a = a + b + c − 2 a = 2 p − 2 a = 2
( p − a ) ,
a+c−b= 2(p−b),a+b− c=2(p− c).
Natijada AK
balandlik uchun
AK 2
= 16 p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )
4 a 2
va
AK = ha= 2
a√p(p− a)(p−b)(p−c)
ifodani olamiz.
Qolgan h
b va h
c balandliklar uchun ham, yuqoridagiga o‘xshash,
h
b = 2
b
√ p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) , h
c = 2
c √ p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )
formulalarni hosil qilamiz.
Styuart teoremasi orqali Geron formulasini isbotlash.
Agar
∆ABC ning uchta tomoni ham ma’lum, ya’ni AB = c, AC = b, BC = a
bo‘lsa(4-chizma), uchburchakning yuzi
S =
√ p ( p − a )( p − b )( p − c )
formula yordamida topiladi va bu formula Geron formulasi deyiladi, bu yerda p
yarim perimeter.
Isbot: ∆ ABC
ning
BC tomoniga A uchidan balandlik tushiramiz. Bizga
ma’lumki, uchburchak yuzini topish formulasi:
S = 1
2 a ∙ h
a .
Biz yuqorida uchburchak balandligini topish
formulasi h
a = 2
a
√ p ( p − a )( p − b )( p − c )
ni Styuart

teoremasidan foydalanib keltirib chiqardik. Ushbu formulani S = 1
2 a ∙ h
a ga ha ni
o’rniga keltirib qo’ysak,
S = 1
2 a ∙ 2
a
√ p ( p − a )( p − b )( p − c ) = √ p ( p − a )( p − b )( p − c )
formula ya,ni Geron formulasi hosil bo’ladi.
Styuart teoremasining uchburchak bissektrisasi uchun tadbiqi.
Uchburchak burchagi bissektrisasining ba’zi xossalarini ko‘rib o‘tamiz.
1-teorema . Burchak bissektrisasining nuqtalari burchak tomonlaridan teng
uzoqlikda yotadi.
Isbot:
AD to‘g‘ri chiziq BAC burchakning
bissektrisasi, ya’ni
∠ BAD = ∠ DAC bo‘lsin (5-chizma).
AD
bissektrisada ixtiyoriy K nuqtani olib, bu nuqtadan
burchakning tomonlariga
KN ⊥ AC, KM ⊥ AB
perpendikularlar tushiramiz. Hosil qilingan to‘g‘ri
burchakli
AKM va AKN uchburchaklarda gipotenuza
umumiy va
∠ MAK, ∠ KAN o‘tkir burchaklar teng
bo‘lgani uchun, ular o‘zaro teng bo‘ladi:
KMA =
KNA
. Teng uchburchaklarda teng burchaklar qarshisida
teng tomonlar yotadi. Shuning uchun,
KM =KN
. Teorema isbotlandi.
2-teorema . Uchburchak ichki burchagining bissektrisasi qarshisidagi tomonni unga
yopishgan tomonlarga proporsional qismlarga bo‘ladi .
Isbot:
AD kesma ∆ABC ichki ∠ A = α burchagining bissektrisasi bo‘lsin, ya’ni
∠ BAD = ∠ DAC =
α
2 (6-chizma). CD
AC = BD
AB bo‘lishini isbotlash kerak.
Uchburchakning
B va C uchlaridan AD to‘g‘ri chiziqqa perpendikularlar
tushiramiz:
BE ⊥ AD, CF ⊥ AD . U vaqtda ABE va ACF lar to‘g‘ri burchakli va
ularda
∠ BAF = ∠ CAF bo‘lganligidan, ular o‘xshash bo‘ladi, ya’ni ∆ABE
∆ACF
. Bundan AC
CF = AB
BE (a)
kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan,
∆CFD va ∆BDE lar to‘g‘ri
burchakli va vertikal burchaklar bo‘lgani uchun

∠ BDE= ∠ CDF tenglik o‘rinli, demak, uchburchaklar o‘xshashdir, ya’ni ∆CFD ∆
BDE
. Bundan
CF
BE = CD
BD yoki CF
CD = BE
BD (b)
kelib chiqadi. Hosil qilingan (a), (b) tengliklarni taqqoslab, talab qilingan
AC
CD = AB
DB
tenglikni hosil qilamiz. Teorema isbotlandi.
Endi uchburchak bissektrisalarini hisoblash formulalarini keltirib chiqaramiz.
Tomonlari
AB = c, BC = a, AC = b bo‘lgan ∆ABC da AD bissektrisani o‘tkazamiz
(7-chizma) va uning
la uzunligini a, b, c orqali ifodalaymiz. Uchburchak ichki
burchagi bissektrisasining xossasiga ko‘ra BD
DC = AB
AC . Bu qiymatlarni Stuart
teoremasidagi
AC 2∙BD +AB 2∙DC = AD 2∙BC +DC ∙BD ∙BC
ifodaga keltirib qo‘yamiz. :
la2= bc (b+c)
b+c − a2∙b∙c
(b+c)2= bc ((b+c)2−a2)
(b+c)2
yoki
la= √bc ¿¿¿
ifodaga ega bo‘lamiz. Agar yuqoridagi kabi
, a + b + c = 2p deb belgilasak ,
b +c–a=a+b+c–2a=2p–2a=2(p–a)
bo‘ladi.
U holda oxirgi formula
l
a = 2
√ bc
b + c √ p ( p − a )
ko‘rinishni oladi.
Yuqoridagiga o‘xshash amallar bajarib,
b= 2√ac
a+c √p(p− b),lc= 2√ba
b+a √p(p−c)
formulalarni ham isbotlash mumkin.
Styuart teoremasini misollarda qo’llanilishi.
1-misol. Uchburchakning asosi 15 ga teng. Bu asosga tegishli balandlik va
mediana mos ravishda 11 1
5 va 1
2
√ 505
ga teng. Boshqa tomonlari topilsin.
Yechish :

Styuart teoremasidan foydalanamiz:
m
a2
∙ a = b 2
∙ a
2 + c 2
∙ a
2 − a
2 ∙ a
2 ∙ a
,
m
a2
∙ 15 = b 2
∙ 15
2 + c 2
∙ 15
2 − 15
2 ∙ 15
2 ∙ 15,
m
a2
= b 2
2 + c 2
2 − 15 2
4 ,
1
4∙505 = b2
2+c2
2− 15 2
4 ,
505 = 2b2+2c2−225 ,
2b2+2c2=730 ,
b2+c2=365 ,
b2=365 −c2,
x =
√ m
a2
− h
a2
= √ 505
4 − 3136
25 = √ 81
100 = 9
10 ,
KB = x + 15
2 = 9
10 + 15
2 ,
c =
√ h
a2
+ DB 2
= √ 56 2
25 + 33 2
25 = √ 169 = 13 ,
b=√365 − c2,=√365 −169 = √196 =14.
Javob : 13, 14
2-misol.
ABC uchburchakda A burchak B burchakdan ikki marta kata , b va c
tomonlari berilgan a tomonni toping.
Yechish:

Sinuslar teoremasiga ko’ra:{
l
x
sinα = c
sin ( 2 π − 2 α )
b
sinα = x
sin ( 2 α ) → l
x
c = − b
c , l
x = − bc
x .
Styuart teoremasidan foydalanamiz:
l
x2
∙ x = l
x ∙ b 2
+
( x − l
x ) c 2
− l
x ( x − l
x ) ∙ x ,
lx2∙x=lx∙b2+xc2−lx∙c2− lx∙x2+lx2∙x,
lx∙b2+xc2−lx∙c2− lx∙x2=0,
− bc
x ∙ b 2
+ x c 2
+ bc
x ∙ c 2
+ bc
x ∙ x 2
= 0 ,
− b 3
+ xc 2
+ bc 2
+ bx 2
= 0 ,
x 2
(
b + c ) = b 3
− bc 2
,
x 2
= b
( b 2
− c 2 )
b + c = b ( b − c ) ,
x =
√ b ( b − c )
.
Javob: x =
√ b ( b − c )
Styuart teoremasiga doir mustaqil yechish uchun misollar
1. 4 m
a2
= 2 b 2
+ 2 c 2
− a 2
munosabatni isbot qiling.
2. To’g’ri burchakning bissektrisasi gipotenuzani p va q kesmalarga bo’ladi.
gipotenuzaga tushirilgan balandligi topilsin. (javob: pq ( p + q )
√
p 2
+ q 2 )

3. To’g’ri burchakning bissektrisasi gipotenuzani p va q kesmalarga bo’ladi.
To’g’ri burchakli uchburchakning katetlari topilsin.
(javob: p ( p + q )√
p 2
+ q 2 , q ( p + q ) √
p 2
+ q 2 )
4. To’g’ri burchakning bissektrisasi gipotenuzani p va q kesmalarga bo’ladi.
To’g’ri burchakning bissektrisasi topilsin. (javob: pq
√ 2
√
p 2
+ q 2 )
5.
l1a= 2
b−a√bc (p−b)(p−c) isbotlang. l
1 a tashqi burchakka chizilgan
bissektritsa uzunligi.
6. Uchburchak A burchagi bissektrisasining shu burchak tomonlaridan
biridagi proyeksiyasini toping.
(javob: x = 2 p ( p − a )
b + c )
7. Uchburchakda AB=c, AC=b va BC=a, BC tomonda E nuqta BE=m va
EC=n bo’ladigan qilib olingan, AE ning uzunligini toping.
(javob:
x =
√ mb 2
+ nc 2
− mna
a )

Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Obid Karimiy . Planimetriyadan xisoblashga va isbotlashga doir tanlangan
masalalar. Tashkent-1965.
2. I. Isroilov, Z. Pashayev. Geometriya 1-qism ( akademik litsey uchun darslik)
Tashkent-2010.

Styuart teoremasi va uning tadbiqi

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish