Информация о документе

Цена 2000UZS
Размер 758.6KB
Покупки 0
Дата загрузки 07 Ноябрь 2026
Расширение docx
Раздел Рефераты
Предмет Педагогика

Продавец

Bohodir Jalolov

Superpozitsiya prinsipi. Sen-Venan masalasi chozilish; buralish. Sof egilish. Egilish. Tekis elastiklik

Купить
. Superpozitsiya prinsipi. Sen-Venan masalasi: chozilish; buralish. Sof egilish. Egilish. Tekis elastiklik . Eyri kuchlanish funksiyasi Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari O‘tgan boblarda elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari chiqarildi. Bu tenglamalar yopiq sistemani tashkil etadi va jismga ta’sir etgan tashqi kuchlarni hisobga olgan holda uning kuchlangan-deformatsialangan holatini aniqlashga imkon beradi. Bu tenglamalarni uch turga bo‘ladilar: geometrik, statik (dinamik) va fizik tenglamalar. 1 0 . Geometrik tenglamalar. Elastik jismning deformatsialangan holati deformatsia tenzori εij= εij(xk) komponentalari, yoki ui= ui(xk) ko‘chishlar bilan to‘lqin aniqlanadi. Deformatsia tenzori komponentalari va ko‘chishlar o‘zaro Koshining differensial munosabatlari bilan bog‘langan: εij= 1 2(ui,j+uj,i) (5.1) hamda Gen-Venanning differensial munosabatlari bilan o‘zaro bog‘langan: εik,jℓ+εjℓ,ik− εiℓ,jk− εjk,iℓ= 0. (5.2) Ma’lumki, bu munosabatlar deformatsialarning uzviylik tenglamasi deb ham yuritiladi. 2 0 . Statik (dinamik) tenglamalar. Elastik jismning kuchlanganlik holati kuchlanish tenzorining σij= σij(xk) oltita komponentasi bilan to‘liq aniqlanadi. Ushbu komponentalar uchta muvozanat differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak: σij,j+ρ fi= 0 . (5.3) Agar jism harakatda bo‘lsa, simmetrik kuchlanish tenzorining olti komponentasi uchta harakat differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak: σij,j+ ρf i= ρд2ui дt 2 . (5.4) Ushbu (5.3) - tenglamalar statik, (5.4) - tenglamalar dinamik tenglamalar deb yuritiladi. 3 0 . Fizik tenglamalar. Kuchlanish tenzorining σij komponentalari deformatsiya tenzorining εij komponentalari bilan Guk qonuni vositasida bog‘langan σij= λθδ ij+2με ij (5.5) yoki ui ko‘chish komponentalari bilan σij= λθδ ij+μ(ui,j+uj,i) (5.6) ko‘rinishda bog‘langan. Bu yerda θ= εii= ui,i= div ⃗u . Ba’zi hollarda Guk qonunini (5.5) ga teskari shaklda, ya’ni εij larga nisbatan yechilgan ko‘rinishda ishlatishga to‘g‘ri kelishi mumkin: εij= 1 E [(1+v)σij− vδ ij∑ ] , (5.7) bu yerda: ∑ = σii= σ11+σ22+σ33 . Yuqorida sanab o‘tilgan (5.1) - (5.3), (5.5), (5.7) formulalar elastiklik nazariyasi statik masalalarining asosiy tenglamalari deb yuritiladi. Elastiklik nazariyasi dinamik masalalarining asosiy tenglamalari deb (5.1) - (5.2), (5.4) (5.5) va (5.7) tenglamalarga aytiladi. § 5.2. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari Chiziqli-elastik jismning holatini uning V hajmining ichki nuqtalarida aniqlovchi asosiy tenglamalarga uning S sirtidagi shartlarni qo‘shish kerak. Bu shartlar chegaraviy shartlar deyiladi va ular tashqi berilgan Fi sirt kuchlari bilan yoki jism sirti nuqtalarining berilgan ui|S ko‘chishlari bilan aniqlanadi. Chegaraviy shartlarning berilishiga qarab elastiklik nazariyasining uch asosiy masalalarini bir-biridan farqlaydilar. 1 0 . Birinchi tur asosiy masala. Birinchi tur asosiy masalada fi massaviy va Fi sirt kuchlari jismning butun sirtida berilganda jism egallagan V hajmning ichki nuqtalarida kuchlanish tenzori komponentalari σij(xk) larni hamda V - hajmning ichki nuqtalari va jism S sirti nuqtalarida ko‘chish vektorining ui(xk) komponentalarini aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy shartlar: σijnj|s= Fi (5.8) ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda Fi - sirt kuchi ⃗F ning komponentalari; nj−S sirtning qaralayotgan nuqtasida tashqi normali bo‘yicha yo‘nalgan birlik ⃗n vektori komponentalari. Bu holda izlanayotgan to‘qqiz noma’lumlar (oltita σij kuchlanishlar va uchta ui ko‘chishlar) (5.3) yoki (5.4), (5.5) tenglamalarni, hamda (5.8) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. 2 0 . Ikkinchi tur asosiy masala. Ikkinchi tur asosiy masalada fi massaviy kuchlar va jismning S sirtida ui(xk)|s ko‘chishlar ma’lum bo‘lganda, jism egallangan V hajm ichidagi nuqtalarda ui(xk) ko‘chishlarni va kuchlanish tenzori komponentalari σij(xk) larni aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy shartlar ui= ui|s (5.9) ko‘rinishida bo‘ladi. Izlanuvchi ui(xk) va σij(xk) funksiyalar (5.3) yoki (5.4), (5.5) hamda (5.9) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. 3 0 . Uchinchi tur asosiy masala. Chegaraviy shartlar aralash xarakterga ega bo‘lishlari mumkin. Birinchi tur asosiy masalada jismning butun sirtida kuchlanishlar, ikkinchi tur asosiy masalada jismning butun sirtida ko‘chishlar beriladi. Shunday masalalar ham uchrashi mumkinki. Bunda jism sirtining ma’lum qismida kuchlanishlar, qolgan qismida esa ko‘chishlar berilishi mumkin. bunday holda masala aralash masala deyiladi. Faraz qilaylik, jism S sirtining Sσ qismida kuchlanishlar, Su qismida esa ko‘chishlar berilgan bo‘lsin. Tabiiyki, s= sσ+ su . Uchinchi tur asosiy masalada jism sirtining Sσ qismida berilgan tashqi sirt kuchlari - Fi, va qolgan su qismida berilgan ui(xk)|su ko‘chishlar, hamda umumiy holda, berilgan fi massaviy kuchlar bo‘yicha jism egallagan V sohaning ichki nuqtalarida ui(xj) ko‘chishlarni hamda σij(xj) kuchlanishlarni aniqlash talab etiladi. Izlanayotgan to‘qqiz noma’lum funksiyalar bu holda (5.3) yoki (5.4), (5.5) tenglamalarni hamda σijnj|Sσ= F i ui|Su= ui (5.10) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. Yuqoridagi uch asosiy masaladan tashqari, elastiklik nazariyasining to‘g‘ri va teskari masalalarini ham farqlaydilar. Elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasida yuqorida keltirilgan uch asosiy masaladan birini tashqi kuchlar berilgan holda yechish, ya’ni jismning kuchlangan - deformatsialangan holatini aniqlovchi ui(xk) va σij(xk) funksialarni jism egallagan V sohaning ichki nuqtalari uchun aniqlash talab etiladi. Ammo ta’kidlash lozimki, elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasini yechish juda katta matematik qiyinchiliklarga olib keladi. Elastiklik nazariyasining teskari masalasida ui=ui(xk) ko‘chishlar yoki σij= σij(xk) kuchlanishlar uzluksiz funksiyalar sifatida beriladi. Asosiy (5.1) (5.2), (5.3) yoki (5.4) hamda (5.5) tenglamalardan qolgan funksiyalar va berilgan ui ko‘chishlarni yoki kuchlanishlarni yuzaga keltiruvchi tashqi kuchlarni aniqlash talab etiladi. Teskari masalani yechish to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan ancha oson kechadi. Agar bunda ko‘chishlar berilgan bo‘lsa masala nisbatan juda oson yechiladi. σij kuchlanishlar berilgan holda ui ko‘chishlarni aniqlash uchun (5.1) tenglamalarni integrallashga to‘g‘ri keladi va σij kuchlanishlarni (4.2) uzviylik tenglamalari qanoatlanadigan qilib berishga to‘g‘ri keladi. Lekin baribir bunday masalani yechish to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan oson. Sodda masalalar. O‘tgan IV va V boblar doirasida kuchlanish tenzorini aniqlash masalasi statik aniqmas masala ekanligi ta’kidlangan edi. Boshqacha aytganda, berilgan tashqi kuchlar bo‘yicha elastik jism nuqtalaridagi σij kuchlanishlarni aniqlash uchun σij,j+ρf i= 0. (6.1) muvozanat tenglamalari yetarli emas. Shuning uchun deformatsiyalarning (5.2) uzviylik tenglamasini jalb qilishga to‘g‘ri keladi. Bundan keyin biz shu maqsadda (5.2) tenglamalarni ularga deformatsiyalar o‘rniga kuchlanishlarni (5.7) tenglamalar bo‘yicha qo‘yib almashtiramiz. Endi σij kuchlanishlar chiziqli bo‘lgan xususiy holni, ya’ni ular jism nuqtasi koordinatalarining birinchi darajali funksiyalari bo‘lgan yoki o‘zgarmas bo‘lgan holni qaraymiz. Deformatsiyalar va kuchlanishlar orasidagi (5.7) formulalar asosida deformatsiyalarning ikkinchi tartibli hosilalari doimo kuchlanishlar ikkinchi tartibli hosilalarining chiziqli funksiyalari bo‘lishligini ko‘rish qiyin emas, masalan: д2ε11 дx 22 =1 E [ д2σ11 дx 22 −v( д2σ22 дx 22 +д2σ33 дx 32 )]; д2σ23 дx 1дx 3 =1 μ д2σ23 дx 1дx 3 va h.k. Biz qarayotgan holda hamma σij kuchlanishlar xi koordinatalarning chiziqli funksiyalari bo‘lganliklari uchun, deformatsialarning hamma ikkinchi tartibli hosilalari nolga aylanadi. Demak, (5.97) ning hamma shartlari bu holda aynan qanoatlantiriladi. Faqat (6.1) muvozanat tenglamalarini va jism sirtida pnj= σijnj (6.2) shartlarnigina qanoatlantirish qoladi. Bu yerda pnj normali ⃗n bo‘lgan maydonchadagi kuchlanish vektori (II bob) komponentalari; nj - shu normalning yo‘naltiruvchi kosinuslari. Qaralgan turdagi masalalar elastiklik nazariyasining sodda masalalari deb ataladi. Ushbu bob doirasida biz shunday masalalardan bir nechtasi bilan tanishamiz. § 6.2. Sen-Venan prinsipi. Uzun prizmatik bruslarning egilishi va buralishi haqidagi tadqiqotlarida Sen- Venan 1855-yilda o‘zining mashhur prinsipini e’lon qildi: “ Prizmaning uchlarida kuchlarning qo‘yilish va taqsimot usulining uning qolgan qismlarida vujudga keluvchi effektlarga ta’siri bo‘lmaydi, ya’ni qo‘yilgan kuchlarni har doim xuddi o‘zlaridek bosh moment va teng ta’sir etuvchisiga ega bo‘lgan statik ekvivalent kuchlar bilan almashtirish mumkin. ” Bunday prinsipning paydo bo‘lishiga quyidagi muammo sabab o‘lgan. Elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasini yechishda konkret chegaraviy shartlarni qanoatlantirish zaruriyati munosabati bilan katta matematik qiyinchiliklar yuzaga keladi. Shu bilan birga, fizik xarakterdagi mulohazalardan amalda jism s sirtining sirt kuchlari taqsimoti berilgan deb hisoblanuvchi ba’zi si qismlarida sirt kuchlarining aniq taqsimotini amalga oshirish mumkin bo‘lmaydi. Juda ko‘p masalalarda sirt kuchlari faqat umumiy holdagina, yoki bosh vektor va bosh momentlar sifatidagina ma’lum, sirt kuchlarining taqsimot qonuni esa faqat taqriban ma’lum yoki umuman ma’lum emas. Shunday qilib, elastiklik nazariyasi chegaraviy masalalarini yechishda matematik qiyinchiliklardan tashqari, chegaraviy shartlarni aniq ifodalash (formulirovka) muammosi ham paydo bo‘ladi. Bu qiyinchiliklar yuqoridagi Sen-Venan prinsipi asosida ancha kamayadi. Sen-Venan prinsipini boshqacharoq qilib quyidagicha ifodalash foydali: “Agar jism sirtining uncha katta bo‘lmagan qismiga bosh vektori va bosh momenti nolga teng kuchlar sistemasi qo‘yilgan bo‘lsa, u holda bunday kuchlar sistemasi, kuchlar qo‘yilgan qismdan uzoqlashib borish bilan juda tez kamayuvchi mahalliy (lokal) kuchlangan-deformatsialangan holatni vujudga keltiriladi”. Xuddi shu prinsip Sen-Veanandan o‘ttiz yil keyin 1885-yilda Bussinesk tomonidan ham taklif etilgan. Bussinesk o‘z prinsipini quyidagicha ifodalagan: “Elastik jismga qo‘yilgan muvozanatlashgan tashqi kuchlar sistemasi, sistemaning kuchlari qo‘yilgan nuqtalar biror sferaning ichida yotgan holda, sferadan hisobga olmaslik mumkin bo‘lgan, lekin sfera radiusiga nisbatan yetarli darajada katta masofalardagina, deformatsiyalarni yuzaga keltiradi”. Sen-Venan prinsipini isbotlash uchun Bussinesk, to‘plangan kuchlar tekis chegarasiga perpendikulyar yo‘nalishda qo‘yilgan yarim cheksiz jismni qaragan. Sen-Venanning o‘zi esa bu prinsipni tasdiqlovchi o‘zining kauchukdan yasalgan sterjen bilan o‘tkazgan tajribalarini keltiradi. Lekin ta’kidlash lozimki, shu kungacha Sen-Venan prinsipining qat’iy isboti yo‘q. Ikki teng va qarama-qarshi yo‘nalgan kuchlarning kauchuk sterjenga ta’sir qilib, amalda faqat mahalliy deformatsiani yuzaga keltirishi va sterjenning qolgan qismlari amalda deformatsialanmasligi misoli 6.1- rasimda keltirilgan. Elastiklik nazariyasi masalalarini yechishda Sen-Venan prinsipiga tez-tez murojaat qiladilar. Tashqi yuk qo‘yilgan joyda kuchlanish tenzorini aniqlash masalasi elastiklik nazariyasining alohida masala-larini tashkil etadi va kontakt masalalari yoki mahalliy kuchlanishlarni aniqlash masalalari deb ataladi. Ikkita statik ekvivalent kuchlar sistemasi. 6.2-chizmada keltirilgan: birinchisi yarim cheksiz plastinka tekis chegarasiga perpendikulyar ravishda ta’sir etuvchi ⃗p to‘plangan kuch ko‘rinishida; ikkinchisiteng ta’sir etuvchi plastinka tekis sirtiga perpendikulyar yo‘nalgan ⃗p kuchiga teng, lekin yarimsilindrik sirt bo‘yicha tekis taqsimlangan kuch ko‘rinishida. Kuchlar qo‘yilgan nuqtalardan etarli uzoqlikdagi nuqtalarda kuchlanish tenzori har ikkala holda ham amalda bir xil bo‘ladi. Konsol balkaning, kuchlanish tenzori kuchlarning qo‘yilish usuliga bo‘g‘liq bo‘lgan sohalari. 6.3-ramda keltirilgan va shtrixlangan holda tasvirlangan. Sen-Venan prinsipi chegaraviy shartlarni integral qanoatlantirishga, ya’ni sirt kuchlari taqsimlanishining konkret qonunini emas, balki ularning bosh vektori va bosh momentini qanoatlantirishga imkon beradi. Aytilganlardan ko‘rinadiki, Sen-Venan prinsipi asosida chegaraviy shartlarni ancha yumshatish mumkin: elastik jismning uncha katta bo‘lmagan qismiga qo‘yilgan berilgan kuchlar sistemasi boshqa masalani yechish uchun qulay bo‘lgan, va jism sirtining oldingi kuchlar qo‘yilgan qismiga qo‘yilgan, statik ekvivalent kuchlar sistemasi bilan almashtiriladi. § 6.3. Elastik masalalarni yechish metodlari. Elastiklik to‘g‘ri masalasini ko‘chishlarda yoki kuchlanishlarda yechish ancha murakkab xususiy hosilali differensial tenglamalarni integrallashni talab etadi va 6.1-chizma. 6.1-chizma. 6.3-chizma. 6.2-chizma. ish ko‘pincha juda katta matematik qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Shuning uchun ham to‘g‘ri masalalarni yechishda taqribiy metodlardan foydalanadilar. Bunday metodlarga misol sifatida to‘rlar metodi, variatsion masalalarning to‘g‘ri metodlari (Rits, Bubnov-Galerkin, Kantorovish-Vlasov, Treffts metodlari), chekli elementlar metodi, chegaraviy elementlar metodi va hokazolar. Ba’zi hollarda masalaning yechimini Sen-Venanning yarimteskari metodi deb ataluvchi metod bilan effektiv ravishda hal qilish mumkin. 1 0 . Sen-Venan yarimteskari metodi. Bu metodning mohiyati konkret masalani yechishda, masalan kuchlanishlarda, masalaning fizik xarakteridan kelib chiqqan holda, kuchlanish tenzorining ba’zi komponentalarini beradilar va (5.55), (5.56) - Beltrami-Mitchellning uzviylik shartlari bajarilganda, (5.8) - chegaraviy shartlarda qolgan komponentalarni (6.1) muvozanat tenglamalaridan aniqlaydilar. Shunday hollar ham bo‘lishi mumkinki, bunda kuchlanish tenzorining ba’zi komponentalari to‘g‘risida qilingan farazlar muvozanat tenglamalari yoki chegaraviy shartlarga, yoki bo‘lmasa Beltrami-Mitchell uzviylik tenglamalariga qarama-qarshi bo‘ladi. Bunday hollarda σij(xk) kuchlanish komponentalari to‘g‘risida boshqa farazlar, masalan o‘xshash masalalarning ma‘lum yechimlaridan foydalangan holda, qilishga to‘g‘ri keladi. Shu ma’noda Sen-Venan yarimteskari metodi mukammal emas. Ammo, kuchlanishlar to‘g‘risida, yoki agar masala ko‘chishlarda yechilayotgan bo‘lsa, ko‘chishlar to‘g‘risida qilingan farazlar muvozanat tenglamalari, chegaqaviy shartlar va uzviylik tenglamalariga qarama- qarshi kelmasa, olingan yechimlar aniq bo‘lib, yagonalik haqidagi teoremaga asosan bir qiymatli bo‘ladi. 2 0 . Superpozitsiya metodi. Ushbu metod ui bir qiymatli kichik ko‘chishlari |ui,j|≤ δ, δ<< 1. (6.3) shartni qanoatlantiruvchi chiziqli - elastik jism uchun o‘rinli bo‘ladi. Faraz qilaylik chiziqli - elastik jism (6.3) shartlar bajarilganda ikki xil yuklanish holatida bo‘lsin. Birinchi holatda jism σij '|Sσ= Fi' va ui '|Su= ui '(s) chegaraviy shartlarda fi ' - massaviy kuchlar ta’siri ostida, ikkinchi holatda σij ''nj|Sσ= Fi'' va ui ''|Su=ui ''(s) chegaraviy shartlarda fi '' - massaviy kuchlar ta’siri ostida bo‘lsin. U holda superpozitsiya metodiga asosan ui= ui '+ ui '',σij= σij '+ σij '' (6.4) funksiyalar, ushbu jism σijnj|Sσ= Fi'+Fi'' va ui|Su= ui '(s)+ui ''(s) (6.5) chegaraviy shartlarda fi= fi '+ fi ''massaviy kuchlar ta’siri ostida bo‘lganidagi masalaning yechimini aniqlaydi. Yuqoridagi metodlarni amaliy masalalarni yechishda qo‘llashga doir masalalarni quyida va keyinga boblarda keltiramiz. § 6.4. Jismning har tomonlama tekis siqilishi. Shakli ixtiyoriy va ichki bo‘shliqlari bo‘lmagan jism sirtiga tekis p bosim qo‘yilgan bo‘lsin, massaviy kuchlar esa bo‘lmasin. Bu holda jism har tomonlama siqiladi. Shuning uchun jismning hamma nuqtalari bir xil kuchlanganlik holatida bo‘ladi va bu kuchlanganlik holati σij=− pδ ij sharsimon tenzor bilan aniqlanadi, ya’ni σ11= σ22= σ33=− p; σ12= σ23= σ31= 0, (6.6) deb faraz qilish mumkin. Haqiqatan ham, (5.97) Beltrami tenglamalari va (6.1) muvozanat tenglama-larini (6.6) kuchlanishlar aynan qanoatlantiradi. Chegaraviy (5.8) shartlar esa σ11n1=− pn 1;σ22n2=− pn 2; σ33n3=− pn 3. (6.7) ko‘rinishni oladi va masala shartiga mos keladi. Demak, jismning berilgan yuklanishida (6.6) yechim aniq yechimdan iborat bo‘ladi. Endi εij= 1 E[(1+v)σij−vδ ij∑ ] (6.8) formulaga asoslanib εij larni aniqlaymiz ε11= 1 E[(1+v)σ11−v⋅∑ ]= 1 E[−(1+v)p+3pv ]=−1−2v E p; xuddi shunday ε22= ε33=−1− 2v E p; ε12=ε23=ε31= o. (6.8) Faraz qilaylik jismning koordinatalar boshi bilan ustma-ust tushuvchi (agar boshqa nuqta qaraladigan bo‘lsa, umumiylikni kamaytirmasdan, koordinat boshini shu nuqtaga ko‘chirish mumkin) nuqtasi bikr ko‘chishlarga ega bo‘lmasin. U holda bu nuqta uchun x1= x2= x3= 0 bo‘lganda ui0= 0 va ui,j 0 =0 (6.9) u holda II bobda keltirilgan u1,1 = ε11; u2,2 = ε22; u3,3 = ε33; ui,j=ui,j 0 +∫ 0 x1 (εij,1+εi1,j− εj1,i)|x2=x3=0dx 1+ (6.10) +∫ 0 x2 (εij,2+εi2,j− εj2,i)|x3=0dx 2+∫ 0 x3 (εij,3+εi3,j− εj3,i)dx 3 formulalarga asosan u1,1 =u2,2 =u3,3=− 1− 2v E p; (6.11) u1,2 = u1,2 0 +∫ 0 x1 (ε12 ,1+ε11,2− ε21 ,1)|x2=x3=0dx 1+ +∫ 0 x2 (ε12,2+ε21,2− ε22,1)|x3=0dx 2+ +∫ 0 x3 (ε12,3+ε13,2− ε23,1)dx 3=0 chunki (6.8) ga asosan εij,k=0 va εi^i,k=0, chunki εi^i=cos nt . xuddi shunga o‘xshash u1,2 = u1,3 = u2,1 = u2,3 = u3,1 = u3,2 = 0. (6.12) Olingan (6.11) va (6.12)natijalarga ko‘ra bizga II - bobdan ma’lum ui= ui0+∫ 0 x1 |x2=x3=0dx 1+∫ 0 x2 (ui,2)|x3=0dx 2+∫ 0 x3 (ui,3)dx 3 (6.13) formulaga asosan ixtiyoriy nuqta ko‘chishlarini aniqlaymiz:u1= u1 0+∫ 0 x1 (u1,1 )|x2=x3=0dx 1+∫ 0 x2 (ui,2)|x3=0dx 2+ +∫ 0 x3 (ui,3)dx 3=−∫ 0 x1 1−2v E p⋅dx 1=− 1−v E px 1. Xuddi shunday u1=−1−2v E x1;u2=−1−2v E x2;u3=−1−2v E x3; (6.14) Endi (6.14) ning tenglamalarini mos ravishda ⃗э1,⃗э2,⃗э3 bazis vektorlariga ko‘paytirib qo‘shib hamda ⃗r=xi⃗эi ekanligini hisobga olib, ⃗u=− 1−2v E p⃗r ifodaga ega bo‘lamiz. Ushbu oxirgi formuladan ko‘rinadiki, jism ixtiyoriy nuqtasining ko‘chishi shu nuqtaning ⃗r radius-vektori yo‘nalishida sodir bo‘ladi. § 6.5. Prizmatik brusning o‘qi bo‘ylab cho‘zilishi. Uzunligi ixtiyoriy shaklli ko‘ndalang kesimining eng katta chiziqli o‘lchamidan ancha katta bo‘lgan prizmatik brusni qaraymiz (6.4). Brusning uzunligini ℓ bilan belgilaymiz va prizmatik brus ko‘ndalang kesimining shakli ixtiyoriy ekanligini yana bir marta ta’kidlaymiz. x 2 M(x k ) o x 3 6.4-chizma. O Koordinatalar boshini brus chap uchining og‘irlik markazi uctiga qo‘yamiz vax3 o‘qini brus o‘qi bo‘ylab yo‘naltiramiz. Brusning yon sirtlariga sirt kuchlari ta’sir etmaydi. Brusning uchlariga tekis taqsimlangan F3= σ (F1= F2)= 0 sirt kuchlari qo‘yilgan bo‘lib, ular brusni p=σs , bu yerda s - brus ko‘ndalang kesimining yuzasi, teng ta’sir etuvchi kuch bilan yechamiz. Buning uchun brusning ixtiyoriy M (xk) nuqtasida kuchlanishlar uchun quyidagi qiymatlarni qabul qilamiz: σ11= σ22= σ23= σ31= σ12= 0; σ33= a+bx 3, (6.15) bu yerda a,b - aniqlanishi kerak bo‘lgan o‘zgarmaslardir. Kuchlanish tenzori σij komponentalarining qabul qilingan qiymatlari (5.97) Beltrami tenglamalarining hammasini qanoatlantiradi va (6.1) muvozanat tenglamalarining birinchi ikkita tenglamasini qanoatlantiradi. uchunchi tenglama esa ∂σ33 ∂x3 = b=0, ya’ni σ33= a (6.16) bo‘lganda qanoatlantiriladi.Elastiklik nazariyasining birinchi tur asosiy masalasining σij⋅nj|S= Fi (6.17) chegaraviy shartlari qanday bajarilishini tekshiramiz. Brusning yon sirti ixtiyoriy nuqtasi uchun n3=0, va demak, brusning yon sirtida chegaraviy shartlar a ning ixtiyoriy qiymati uchun bajariladi, ya’ni σijnj|Syon =0 tenglik bajariladi. Brus chap va o‘ng uchlari nuqtalari uchun n1= 0; n2= 0 va n3=∓1. Shuning uchun brus uchlaridagi chegaraviy shartlar: σ11⋅n1+σ12⋅n2+σ13⋅n3= 0 (F 1= 0) σ21⋅n1+σ22⋅n2+σ23⋅n3= 0 (F 2= 0) σ31⋅n1+σ32⋅n2+σ33⋅n3= ∓ σ (F 3= p s ) ko‘rinishni oladilar. Bu yerdan ko‘rinadiki, birinchi ikkita shart aynan qanoatlantiriladi. Uchinchisidan esa σ33= a= σ= p s ekanligini topamiz. Shunday qilib, a= p s va b=0. (6.18) Guk qonunining (5.7) ifodasidan ε11= ε22=− v E σ, σ33= 1 E σ, ε12= ε23= ε31= 0. (6.19) Faraz qilaylik, jismning boshi bilan ustma-ust tushuv- chi nuqtasining atrofi bikr ko‘chishga ega bo‘lmasin, ya’ni x1= x2= x3= 0 bo‘lganda ui 0= 0 va ui,j 0 =0 . U holda Koshi formulalariga asosan u1,1 = ε11=− v E σ; u2,2 =ε12=− v E σ; u3,3 =ε33= v E σ. va (6.10) formulaga asosan u1,2 = u1,3 = u2,1 = u3,3 = u3,1 = u3,2 = 0. Endi ui,j larning topilgan qiymatlarini (6.13) formulaga qo‘yib M (xk) nuqtaning ko‘chishlarini topamiz u1=− v E σx 1; u2=− v E σx 2; u3= v E σx 3; Bu yerdan (oxirgi formuladan) ko‘rinadiki, ko‘ndalang kesimning x3 koordinatalari bir xil bo‘lgan nuqtalarining ko‘chishlari bir xil bo‘ladi, boshqacha aytganda brusning ko‘ndalang kesimlari teksligicha qoladilar. Bu xulosa materiallar qarshilida ushbu masala qaralayotganda boshlang‘ich (tekis kesimlar qipotezasi) qabul qilingan gipotesadir. Xuddi shu oxirgi formuladan x3=ℓ bo‘lganda butun brusning qanchaga cho‘zilishini topish qiyin emas: Δℓ =u3(ℓ)= σℓ E = pℓ EF (6.20) Bu esa materiallar qarshiligi kursida ushbu masala yechimidan iborat edi. Shunday qilib, elastiklik nazariyasi asosiy tenglamalarini yechishdan olingan natijalar qaralayotgan masalaning aniq yechimidan iborat bo‘lib, materiallar qarshiligi kursidan ma’lum bo‘lgan yechim bilan bir xil bo‘ladi. Shu bilan birga bu yechimlar aniq bo‘ladi, agar brusni cho‘zuvchi kuchlar uning uchlari bo‘yicha tekis taqsimlangan bo‘lsa. Lekin Sen-Venan prinsipiga asosan bu yechimni cho‘zuvchi p kuchlar boshqacha qo‘yilganda (masalan, to‘plangan kuch holida) ham aniq deb hisoblash mumkin. § 6.6. Prizmatik brusning o‘z og‘irligi ta’sirida cho‘zilishi. Vertikal joylashgan prizmatik brusning uzunligi ℓ va yuqori uchi bilan mahkamlangan va o‘z og‘irligi ta’siri ostida bo‘lsin. Koordinatalar boshini brusning pastki uchi og‘irlik markazida joylashtiramiz. Demak, brusga faqat f1= f2=0,f3=−g (6.21) massaviy kuchlar hamda mahkamlangan balandki uchida yig‘indisi brusning ρgℓs og‘irligiga teng bo‘lgan reaktiv sirt kuchlari ta’sir etadi, bu yerda s - brus ko‘ndalang kesimining yuzasi. Muvozanat differensial (6.1) tenglamalari hamda Beltrami-Mitchell uzviylik shartlari (bu holda f3≠0 bo‘lganligi uchun (5.97) Beltrami tenglamalarini ishlatib bo‘lmaydi) shartlarini σij kuchlanishlarning, brusning ixtiyoriy M (xk) nuqtasi uchun, quyidagi qiymatlari qanoatlantiradi: σ11= σ22= σ12= ¿σ23= σ31= 0, σ33= ρgx 3. (6.22) Brusning yon sirtlari va pastki uchida (x3=0,n3=−1), sirt kuchlari bo‘lmaganidan, (6.17) chegaraviy shartlarning qanoatlantirishini ko‘rish qiyin emas. Brusning yuqori uchida (x3=ℓ, n3=±1) σ33n3= F3 (bu yerda σ33= ρgℓs s = ρgℓ ), chegaraviy shart ρgℓ = F3 (6.23) ko‘rinishni oladi, ya’ni (6.22) yechim masalaning aniq yechimidan iborat bo‘ladi, agar brusning yuqoridagi mahkamlangan uchidagi brusning og‘irligini muvozanatlovchi sirt kuchlari tekis taqsimlangan bo‘lsa. Ammo olingan natija, Sen-Venan prinsipiga asosan, x3 o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan teng ta’sir etuvchisi ρgℓs bo‘lgan reaktiv sirt kuchlari taqsimoti boshqacha (tekismas) bo‘lgan holda ham aniq yechimga juda yaqin bo‘lgan natijadan iboratdir. Guk qonunining (6.8) ifodasiga ko‘ra deformatsia-larni ε11= ε22= − v E ρgx 3; ε33= 1 E ρgx 3; ε12 = ε23= ε31= 0. (6.24) topamiz. M 0 M(x k ) O x 2 x 1 t x 2 x 3 x 3 = c x 1 x 1 6.5-chizma. Brusning yuqori uchi shunday mahkamlangan bo‘lsinki, bunda uchning og‘irlik markazi bilan ustma-ust tushuvchi M 0(0,0 ,ℓ) nuqtasi atrofining ko‘chishlari va burilishi nolga teng, ya’ni bu nuqta atrofi ko‘chmaydi va burilmaydi deb hisoblaymiz. U holda x1= x2= 0,x3= ℓ bo‘lganda ui=0 va ui,j=0. (6.25) Koshining differensial munosabatlari va (6.10) formulalarga asosan integrallash boshlang‘ich nuqtasini M 0(0,0 ,ℓ) nuqtada deb olib, u1,1 =u2,2 =−v E ρgx 3; u3,3= ρg E x3; u1,2 =0;u1,3=−v E ρgx 1; u2,1 =0; (6.26) u2,3=− v E ρgx 2; u3,1 = v E ρgx 1; u3,2 = v E ρgx 2. ifodalarga ega bo‘lamiz. Bu ifodalar asosida (6.13) formulalarda integrallashni M 0(0,0 ,ℓ) nuqtadan boshlab bajarib M (xk) ixtiyoriy nuqta ko‘chishlariga ega bo‘lamiz: u1=− vρg E x1x3; u2=− vρg E x2x3; u3= ρg 2E [x32+v(x12+x22)−ℓ2]; (6.27) oxirgi formuladan x1= x2=0 bo‘lganda, u3=− ρg 2E (ℓ2− x32), (6.28) ya’ni x3 o‘qining nuqtalari faqat vertikal ko‘chishlarga ega. Ixtiyoriy M (xk) nuqta radial yo‘nalishda undan x3 o‘qigacha bo‘lgan r masofaga proporsional ravishda ko‘chadi, ammo aylanma θ yo‘nalishida ko‘chmaydi, chunki (6.5-chizma) ur=u1cos α+u2sin α=−vρg E rx 3, uθ=u2cos α−u1sin α=0. (6.29) Bu yerdan shunday xulosa chiqarish mumkin: "deformatsiyagacha x3 o‘qiga parallel bo‘lgan "tola" (nuqtalarning geometrik o‘rni), deformatsiadan keyin bu o‘qqa r masofaga proporsional ravishda og‘adi. Deformatsiyadan keyin ko‘ndalang kesimlar qiyshayib aylanish paraboloidi sirti shaklini oladi. Masalan, x3=a kesimning nuqtalari deformatsiadan keyin quyidagi paraboloid sirti nuqtalarining koordinataga ega bo‘ladi: x31= a+u3= a= ρg 2E [v(x12+x22)− (ℓ2− a2)]. (6.30) Bu sirt brusning hamma bo‘ylama tolalariga perpendikulyar bo‘ladi. Bu tolalar deformatsiadan keyin x3 o‘qi ga og‘adi. Ushbu faktor burchak deformatsialari ε12,ε13 va ε23 larning bo‘lmasligiga mos keladi. Keltirilgan xulosalar (6.6- chizmada) sxematik tarzda tasvirlangan. Chizmada shtrix chiziqlar bilan brusning deformatsiyadan keyingi shakli tasvirlangan. x 2 x 2 M M v x 3 h x 1 c b a) b) 6.6-chizma o § 6.7. Prizmatik brusning o‘z og‘irligi va o‘qi bo‘ylab qo‘yilgan kuch ta’sirida cho‘zilishi. Yuqorida qaralgan sodda masalalar Sen-Venan yarimteskari metodini qo‘llashga doir edi. Endi superpozitsia metodini qo‘llashga doir quyidagi masalani qarab chiqamiz: "Uzunligi ℓ bo‘lgan prizmatik brus o‘zining yuqori uchi bilan mahkamlangan va o‘zining og‘irlik kuchi, hamda erkin uchiga qo‘yilgan va brus o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan ⃗p kuchi ta’siri ortida cho‘ziladi. Brusning kuchlangan- deformatsialangan holati aniqlansin". Koordinatalar boshini brusning yuqori uchining og‘irlik markazida joylashtiramiz va x3 o‘qini brus o‘qi bo‘ylab pastga yo‘naltiramiz. Sen-Venan prinsipi asosida ⃗p kuchni unga statik ekvivalent, intensivligi σ= p s ( s - brus ko‘ndalang kesimi yuzasi) ga teng bo‘lgan va brusning pastki uchi bo‘ylab tekis taqsimlangan kuch bilan almashtiramiz. U holda masala chiziqli bo‘lganligi uchun uning yechimi 6.5- va 6.6-§ larda keltirilgan masalalar yechimlarining yig‘indisiga teng bo‘ladi. Demak, superpozitsiya metodiga ko‘ra masalaning quyidagi yechimini olamiz: 1 0 . ε11=ε22=−v E (σ+ρgx 3); ε33=1 E (σ+ρgx 3); ε12=ε23=ε31=0 (6.31) 2 0 . u1=− v E x1(ρgx 3); u2=− v E x2(σ+ρgx 3); u3=− 1 E {σx 3+ ρg 2 [x32+v(x12+x22)− ℓ2]}. (6.32) Bunda kuchlanishlar uchun quyidagi qiymatlar qabul qilinadi: σ11= σ22= σ12= σ23= σ31= 0, σ33= σ+ρgx 3. § 6.8. O‘zgarmas kesimli to‘g‘ri brusning sof egilishi. Koordinat sistemasining boshini brus chap uchining og‘irlik markaziga qo‘yamiz. Brusning o‘qi bo‘ylab x3 o‘qini yo‘naltiramiz, x1 va x2 o‘qlarini esa ko‘ndalang kesimning bosh o‘qlari bo‘ylab yo‘naltiramiz (6.6-chizma). Brusning uchlariga miqdorlari teng va qarama-qarshi yo‘nalgan M momentlar x20x3 tekisligida ta’sir qiladi. Materiallar qarshiligi kursidan ma’lumki, brusning bunday yuklanishi sof egilish deyiladi va brusning ixriyoriy K (xk) neqtasidagi kuchlanish tenzorining σij komponentalari σ11= σ22= σ12= σ23= σ31= 0, σ33= E ρ x2 (6.33) ga teng. Bu yerda ρ - brus egilgan o‘qining egrilik radiusi. Xuddi yuqoridagi masalalarda bo‘lgani kabi, (6.33) yechim elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalarini qanoatlantishlarini, ya’ni bu yechim aniq yoki aniq emasligini tekshiramiz. Massaviy kuchlar hisobga olinmaydi. U holda Beltrami-Metchell va muvozanat tenglamalari to‘g‘ridan-to‘g‘ri tekshirish yo‘li bilan qanoatlantirishlarini ko‘rish qiyin emas. Chegaraviy (6.17) shartlar esa (6.33) ni hisobga olganda F1=0, F2=0, F3=σ33n3 (6.34) ko‘rinishni oladi. Brusning yon sirtlari sirt kuchlaridan xoli bo‘lsa, brusning yon sirtida n3=0 bo‘lganligi uchun, (6.34) chegaraviy shartlar aynan qanoatlantiriladi va bu narsa masala shartiga mos keladi. Brusning chap va o‘ng uchlari uchun n3=±1 va demak, F 3= ± σ33= ± E ρ x2. (6.35) ya’ni, brus uchlaridagi M momentlarga keltiriluvchi sirt kuchlari ko‘ndalang kesimda xuddi σ33 kabi taqsimlangan bo‘lishlari kerak. Brusning ko‘ndalang kesimidagi eguvchi moment μx1= M =∬ S σ33x2dx 1dx 2= E ρ∬ S x2 2dx 1dx 2= EI x1 ρ (6.36) ga teng. Bu yerda Ix1 - brus ko‘ndalang kesimining x1 bosh o‘qiga inersiya momenti. (6.36) dan: 1 ρ = M EI x1 . (6.37) Endi (6.33) ni (6.8) ga qo‘yib, ε11= ε22=− v E σ33=− v ρ x2, ε33= 1 E σ33= 1 ρ x2, ε12= ε23= ε31= 0. (6.38) Faraz qilaylik О (о,о,о) nuqtaning atrofi bikr ko‘chishlarga ega bo‘lmasin. U holda, xuddi yuqoridagi kabi, ixtiyoriy К (хк) nuqtaning ko‘chishlari quyidagi tengliklar bilan aniqlanadi: u1=−v ρx1x2,u2=− 1 2ρ[x3 2−v(x1 2−x2 2)],u3=1 ρx2x3. (6.39) Brus o‘qi ustidagi nuqtalar uchun (x1= x2= 0) u1=0,u3=0,u2=− x32 2ρ=− M 2EI x1 x32. (6.40) Oxirgi tenglik brus egilgan o‘qining tenglamasidan iboratdir (elastik chiziq deb ham yuritiladi). Brusning biror х3=а kesimini qaraymiz. Deformatsiadan keyin bu kesim nuqtalari х31= а+а⋅ε33= а(1+ х2 ρ ) (6.41) tekislikda joylashadi, ya’ni ko‘ndalang kesim sof egilishda tekisligicha qoladi va uning х3 o‘qiga og‘ish burchagining tangensi tg ϑ= dx 2 dx 3 1= ρ a= E Ma Jx1, (6.42) chunki (6.41) ga ko‘ra dx 3 1= a⋅1 ρ⋅dx 2 Elastik (6.40) chiziqning х3=а bo‘lgandagi burchak koeffitsienti tg α= du 2 dx 3 |x3=a=− μa/(EI x1). (6.43) (6.42) va (6.43) lardantg α⋅tg ϑ=− 1. Bundan elastik chiziq deformatsiadan keyingi ko‘ndalang kesimga perpendikular ekanligi ko‘rinadi. Boshqacha aytganda sof egilishda brusning ko‘ndalang kesimlari elastik chiziqqa perpendikulyar tekis kesimlarga o‘tadi. Egilishgacha brusning х3=а ko‘ndalang kesimida b va h tomonlari х1 va х2 o‘qlariga parallel bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak ajratilgan deb tasavvur qilamiz (6.6- chizma). Egilishdan keyin, bu to‘g‘ri to‘rtburchak х1=± b 2 , tomonlari, to‘g‘ri chiziqligicha qolganlari holda x11=± b 2+u1=± b 2 (1− vx 2 ρ ) bo‘lib, 6.6-chizmada ko‘rsatilgandek buriladi. To‘g‘ri to‘rtburchakning qolgan ikkita х2=± h 2 tomonlari parabola yoylariga aylanadi: x21=± h 2+u2=± h 2− 1 2ρ [a2− v(x12− h2 4 )]. Doiraviy prizmatik brusning buralishi . Faraz qilaylik , doiraviy prizmatik brusning chetki ko ‘ ndalang kesimlarida momentlarining qiymatlari teng ishoralari ega qarama - qarshi bo ‘ lgan juft kuchlar ta ’ sir etsinlar . Bu holda brus buralib deformatsialanadi. Brusning yon sirti sirt kuchlaridan xoli (Fi=0) va massaviy kuchlar yo‘q (fi=0) . Aniqlik uchun x3 o‘qini brusning o‘qi bo‘ylab yo‘naltiramiz (6.7-chizma). Materiallar qarshiligi kursida masalaning elementlar yechimini olish uchun quyidagi farazlar kiritiladi: 1) Brusning ko‘ndalang kesimlari deformatsia jarayonida tekisligicha qoladilar; 2) Ko‘ndalang kesimlar orasidagi deformatsiagacha bo‘lgan masofalar o‘zgarmasdan qoladi; 3) Ko‘ndalang kesimlar deformatsia natijasida bir-birlariga nisbatan buriladilar va ularning radiuslari o‘zgarmaydilar. Agar shu farazlarni to‘g‘ri deb hisoblasak, brusning biror ko‘ndalang kesimi ixtiyoriy nuqtasining ko‘chish vektori komponentalari u1=− τx2x3, u2=τx1x3, u3= 0. (6.44) formulalar bilan aniqlanadi. Bu yerda- τ brusning uzunlik Birligidagi o‘zgarmas buralish burchagi. x 2 x 2 K(x k ) -M M M x 1 x 3 - u 1 - u 2 x 1 6.7-chizma. Qabul qilingan (6.44) yechim elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalarini qanoatlantirishini tekshiramiz. Koshining defferensial bog‘lanishlaridan:ε11= ∂u1 ∂x1 =0 ,ε22= 0,ε33= 0,ε12=0 , ε23=1 2( ∂u2 ∂x3 + ∂u3 ∂x2)=1 2 τх1, ε31=1 2( ∂u3 ∂x1 + ∂u1 ∂x3)=−1 2 τ х2. θ= ε11+ε22+ε33=0. (6.45) Agar (6.45) Sen-Venan shartlariga uzviylik tenglamalari qo‘yilsa, ular aynan bajariladi. Bundan tashqari, massaviy kuchlarning nolga tengligi (6.46) hisobga olinsa, A. Lame tenglamalarining ham qanoatlantirilishini ko‘rish qiyin emas. Endi (6.45) ifodalar asosida Guk qonuniga ko‘ra σ11=σ22=σ33=σ12=0 , σ23= μ τx1,σ31= μ τx2 (6.47) formulalarga ega bo‘lamiz. Bu yerdan ko‘rinadiki, brusning istalgan ko‘ndalang kesimiga faqat ikkita σ23 va σ31 kuchlanishlar ta’sir qiladi. Brus yon sirtida n3=0 ekanligini hisobga olib, (6.47) formulalarni xuddi 6.5-§ dagi kabi (6.17) chegaraviy shartlarga qoyib, hamda Fi=0 ekanligidan Pnj=0 ga ega bo‘lamiz. Bu yerda ⃗Pn -normali ⃗n bo‘lgan maydonchadagi kuchlanish vektori. Demak, brusning yon sirti kuchlanishlardan xoli bo‘lishi kerak. Bu farq haqiqatan ham o‘rinli. Brusning chap va o‘ng chetki ko‘ndalang kesimlarida n1= n2=0 ,n3=±1 . U holda (6.47) ni yana Pnj=σijni ifodaga yana bir marta qo‘yib, (6.44) yechimga mos keluvchi sirt kuchlarini topamiz: Pn1=∓ μτx2, Pn2=±μτx1, Pn3=0. (6.48) Shunday qilib, (6.44) yechim quyidagi xulosaga olib keladi: brusning chetki ko‘ndalang kesimlarida (6.47) qonuniyat bo‘yicha taqsimlangan faqat urinma kuchlanishlargina ta’sir etishlari kerak. Bu kuchlar- ning doira (ko‘ndalang kesim) markaziga nisbatan hisoblangan bosh momenti (М ) va bosh vektori (R) lar quyidagicha aniqlanadi: R1=∬ s Pn1ds=−μτ∬ s x2ds , R21=∬ s Pn2ds = μ τ∬ s x1ds , L=∬ s (Pn2x1− Pn1x2)ds = μ τ∬ s (x1 2+x2 2)ds .Ammo x1 va x2 o‘qlari koordinatalar boshi bo‘lgan doira markazidan o‘tganliklari uchun doira yuzasining statik momentlari nolga teng bo‘ladi, ya’ni ∬ s x2ds=∬ s x1ds=0. bundan tashqari I0=∬ s (x12+x22)ds =∬ s r2⋅π dr 2= π r4 2 - doira yuzining qutb inersiya momenti bo‘lgani uchun R1= R2=0 , L= μ τI0 (6.49) formulaga ega bo‘lamiz. Ushbu formulalarda r -doira radiusi, R1,R2 -bosh vektor R ning x1 va x2 o‘qlaridagi proyeksiyalari. Brusning chetlarida tashqi kuchlarni (6.47) qonun asosida qo‘yish amalda deyarli mimkin emas. Lekin Sen-Venan prinsipi asosida (6.47) yechimni aniq deb hisoblash mumkin, agar statik ekvivalentlik shartlariga rioya qilingan bo‘lsa. Ya’ni τ -o‘zgarmasni shunday tanlaymizki (bu mumkin), bunda qo‘yilgan kuchlar juftining M momenti chetki kesimlardan biriga teng ta’sir etuvchi L momentga teng bo‘lsin, ya’ni L0= μ τI0= M bundan τ= M μ I0 (6.50) Bu esa doiraviy prizmatik brusning buralishidagi Guk qonunidan iboratdir. ELASTIKLIK NAZARIYASINING TEKIS MASALASI Umumiy holda elastiklik nazariyasining fazoviy masalasi xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi. Yuqoridagi boblarda ko‘rdikki, bu differensial tenglamalar ancha murakkabdir. Lekin amaliy masalalarning shunday bir sinfi mavjudki, bu masalalar uchun ba’zi farazlar yordamida differensial tenglamalarning asosiy sistemasi ancha soddalashtiriladi. Amaliy masalalarning ushbu sinfi – elastiklik nazariyasining tekis masalalari degan umumiy nom bilan yuritiladi va o‘z ichiga tekis deformatsiya va tekis kuchlangan holatni oladi. § 7.1. Tekis deformatsiya. Chetki kesimlari x3 o‘qiga perpendikuylar bo‘lgan prizmatik yoki silindrik jismni qaraymiz (7.1-chizma). Jismning uchlari shunday mahkamlanganki, bunda ularning nuqtalari o‘z tekisliklarida erkin harakat qiladi, x3 o‘qi yo‘nalishida ko‘chishlarga ega emas deb faraz qilamiz. Jismning yon sirtlariga qo‘yilgan tashqi kuchlar x3 o‘qining normal bo‘ylab yo‘nalgan va jism uzunligi bo‘ylab tekis taqsimlangan. Jism ko‘ndalang kesimlari tekisliklarida ular o‘zaro muvozanatlashgan kuchlar sistemasini tashkil etadi. Ko‘rsatilgan chegaralanishlarda deformatsiya natijasida jismning ko‘ndalang kesimlari tekisligicha qoladi va ularning nuqtalari x3 o‘qi bo‘ylab ko‘cha olmaydi. Shunday qilib tekis deformatsiya jism nuqtalarining x3 o‘qiga perpendikular tekisliklardagina ko‘cha olishlari bilan xarakterlanadi: u1= u1(x1,x2);u2=u2(x1,x2); u3=0. (7.1) Agar qaralayotgan holda jismning chetki uchlari tekisligicha qolgan holda x3 o‘qi yo‘nalishida ilgarilanma harakatlana olsa, u holda (7.1) dan farqli ravishda u3 ko‘chish nolga teng bo‘lmasdan x3 koordinataga bog‘liq ravishda (bikr ko‘chish aniqligida) chiziqli qonun bo‘yicha o‘zgaradi, ya’ni u1= u1(x1,x2),u2=u2(x1,x2), u3=cx 3 (7.2) Jismning bunday deformatsiyalangan holati umumlashgan tekis deformatsiya deyiladi. Tekis deformatsiya holati odatda x3 o‘qi yo‘nalishida juda katta uzunlikka ega bo‘lgan jismlarda yuzaga keladi. Tekis deformatsiyaga misol sifatida suvning gidrostatik bosimi ostidagi hamda o‘z og‘irlik kuchi ta’siri ostidagi to’sin devor yoki to‘g‘onni keltirish mumkin. (7.2 - chizma). Agar to‘g‘onning uchlari bikr mahkamlangan deb hisoblansa, to‘g‘onning hamma kesimlari, shu jumladan uchlaridagi ham, tekis deformatsiya holatida bo‘ladi. Agar to‘g‘onning uchlari mahkamlanmagan deb hisoblansa, to‘g‘onning x3 o‘qi yo‘nalishida ko‘chishlariga uning asosi bilan asosga tegib turgan yer sirti (to‘gonning tubi) orasidagi ishqalanish natijasida yuzaga keluvchi siljish bog‘lanishlari to‘sqinlik qiladi. Bu holda Sen-Venan prinsipiga asosan tekis deformatsia holatida to‘g‘onning uchlaridan yetarli uzoqlikdagi kesimlari bo‘ladilar. Faraz qilaylik, tekis deformatsiya holatidagi jism uchun (7.1) munosabatlar berilgan bo‘lsin. U holda Koshining olti differensial bog‘lanishlaridan faqat uchtasi qoladi: x 2 x 1 7.1-chizma. O x 3 z y x 7.2-chizma. O ε11= дu 1 дx 1 , ε22= дu 2 дx 2 , 2ε12= дu 1 дx 2 + дu 2 дx 1 , (7.3) qolgan uchtasi nolga aylanadi ε33=ε23=ε31= 0. Guk qonunining deformatsialarga nisbatan yechi gan ko‘rinishi ε11= 1− v2 E (σ11− v 1− vσ22), ε12= 1 μσ12 , ε22= 1−v2 E (σ22− v 1−vσ11). (7.4) kabi bo‘ladi. Deformatsialarning olti uzviylik tenglamalaridan faqatgina bittasi qoladi д2ε11 дx 22+д2ε22 дx 12=2 д2ε12 дx 1дx 2 , (7.5) qolganlari esa aynan qanoatlantiriladilar. Tekis deformatsianing (7.1) munosabatlaridan hamda Guk qonunidan σij= λθ 1δij+μ(ui,j+uj,i), bu erda θ1= ui,i=u1,1 +u2,2 , (7.6) kelib chiqib kuchlanish tenzori komponentalari uchun quyidagi ifodalarga ega bo‘lamiz: σ11= λθ 1+2μu 1,1 , σ12= μ(u1,2 +u2,1 ), σ22= λθ 1+2μu 2,2 , σ23=0, σ33= λθ 1,σ31=0 (7.7) Bu yerda kuchlanish tenzorining komponentalari ham, xuddi ko‘chishlar kabi, x3 koordinataga bog‘liq bo‘lmaydi. Yuqoridagi (7.7) ifodalarning birinchi ikkitasidan σ11+σ22= 2λθ 1+2μ(u1,1 +u2,2 )= 2(λ+μ)θ1= λθ 1 v u holda σ33= λθ 1= v(σ11+σ22). (7.8) Muvozanat (….) differensial tenglamalari tekis deformatsiya holatida quyidagi ko‘rinishni oladi σ11,1+σ12,2+ρf 1=0, σ21,1+σ22,2+ρf 2=0. (7.9) Qaralayotgan jismning yon sirtlaridagi (…) chegaraviy shartlar uning ko‘ndalang kesimining L konturidagi shartlarga keltiriladi: σ11n1+σ12n2=F1, σ21n1+σ22n2=F2. (7.10) Jism uchlaridagi chegaraviy shartlar ularning mahkamlanishlari jism uchlari va ko‘ndalang kesimlarida σ33=σ33(x1,x2) kuchlanishlarning yuzaga kelishiga olib keladi. Xuddi ana shu kuchlanishlarning mavjudligi jismning tekis deformatsiya holatining asosiy sababchisidir. Jism uchlaridagi zo‘riqishlar umumiy holda bo‘ylama kuchgaN=∬ S σ33dS =v∬ S (σ11+σ22)dx 1dx 2 (7.11) hamda x1 va x2 bosh markasiy o‘qlarga nisbatan momentlarga M x1=∬ S x2σ33dS =v∬ S (σ11+σ22)x2dx 1dx 2, M x2=∬ S x1σ33dS =v∬ S (σ11+σ22)x1dx 1dx 2. (7.12) keltiriladi. § 7.2. Kuchlanishlar funksiasi. Tekis deformatsia haqidagi kuchlanishlardagi masalani yechish σ11=σ11(x1,x2), σ22=σ22(x1,x2) va σ12=σ12(x1,x2) funksialarni aniqlashga keltiriladi. Ushbu funksialar (7.9) muvozanat tenglamalari, chegaraviy shartlar va uzviylik tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak. Bir jinsli muvozanat tenglamalarini qaraymiz: σ11,1+σ12,2=0, σ21,1+σ22,2= 0, (7.13) ya’ni massaviy kuchlarni nolga teng f1= f2=0 deb hisoblaymiz. To‘g‘ridan-to‘g‘ri o‘rniga qo‘yish yo‘li bilan, agar σ11= Φ ,22; σ22= Φ ,11; σ12=− Φ ,12 , (7.14) deb qabul qilinsa, muvozanat tenglamalarining qanoatlantirilishini topish mumkin. Kiritilgan Φ=Φ(x1,x2) funksia kuchlanishlar funksiyasi yoki Eri funksiasi deb ataladi. Kiritilgan (7.14) funksiyalarni (7.8) ga qo‘yamiz: σ33= v(σ11+σ22)= v(Φ ,22+Φ ,11)= ¿v( д2Φ дx 12 +д2Φ дx 22 )= v∇ 2Φ u holda ∑=σ11+σ22+σ33=(1+v)׿¿×(σ11+σ22)=(1+v)∇ 2 Φ (7.16) Olingan (7.16) tenglikni Beltrami tenglamalariga qo‘yib quyidagi uchta munosabatga ega bo‘lamiz ∇2Φ,22+(∇2Φ),11=0,∇2Φ,11+(∇2Φ),22=0, v2∇2∇2Φ=0. (7.17) Beltrami tenglamalaridan oxirgi uchtasi aynan qanoatlantiriladi. Bu yerda ∇2Φ,22=(∇2Φ),22 va ∇ 2Φ,11=(∇2Φ),11 bo ‘ lganligi uchun (7.17) ning har uchala tenglamasi bitta ∇2∇ 2Φ=0 tenglamaga keltiriladi. Demak, ∇ 2∇ 2Φ= д4Φ дx 14+2 д4Φ дx 12дx 22+д4Φ дx 24=0.(7.18) Ushbu (7.18) tenglama bigarmonik tenglama deb, uni qanoatlantiruvchi Φ(x1,x2) funksiya esa – bigarmonik funksiya deb ataladi. Yuqorida ko‘ndalang kesim chegarasini (konturini) L bilan belgiladik. Shuni hisobga olsak kesim chetidagi ixtiyoriy nuqta uchun yo‘naltiruvchi kosinuslar n1= dx 2 dL va n2=− dx 1 dL (7.19) kabi aniqlanadi. Endi (7.14) va (7.19) larni (7.10) chegaraviy shartlarga qo‘yib, L konturda Φ kuchlanish funksiyasi uchun chegaraviy shartlarni keltirib chiqaramiz: д2Φ дx 22 dx 2 dL + д2Φ дx 1дx 2 dx 1 dL = F1, − д2Φ дx 1дx 2 ⋅ dx 2 dL − д2Φ дx 12 dx 1 dL = F2 yoki bu tengliklarni L chiziq bo‘yicha hosila ko‘rinishida soddaroq ko‘rinishda yozish mumkin: d dL ( дΦ дx 2)= F1, d dL ( дΦ дx 1)=− F2. (7.20) Shunday qilib , tekis deformatsia haqidagi masala jism ko ‘ ndalang kesimining L konturida (7.20) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi bigarmonik kuchlanishlar funksiyasini aniqlashga keltiriladi . § 7.3. Tekis kuchlangan holat. Faraz qilaylik , uchlari mahkamlanmagan silindrik jismning (7.1- chizma ) yon sirtiga normal yo ‘ nalishida o ‘ zaro muvozanatlashgan sirt kuchlari (F3=0) qo ‘ yilgan bo ‘ lsin . Massaviy kuchlarning bor yo‘ki yo‘qligi masalani yechish xarakteriga xalaqit bermaydi, shuning uchun ularni nolga teng deb hisoblaymiz. Jism tekis kuchlangan holatda deyiladi, agar uning hamma ko‘ndalang kesimlarida σ33= σ32= σ31= 0 (7.21) bo‘lsa. Tekis kuchlangan holat ba’zan ikki o‘qli kuchlangan holat deb ham yuritiladi. Kuchlanish tenzorining qolgan noldan farqli uchta konponentasi (7.13) bir jinsli muvozanat tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak. Tekis kuchlangan holatda tekis deformatsiadan farqli o‘laroq, u1,u2,u3 ko‘chishlar va σ11,σ22,σ12=σ21 kuchlanishlar x3 koordinataga bog‘liq bo‘ladi. Ya’ni tekis kuchlangan holat haqidagi masala uch o‘lchovli masala bo‘ladi. Yuqorida tavsiflangan tekis kuchlangan holatni jismning yon sirtiga qo‘yilgan va jism o‘rta kesimiga nisbatan simmetrik holda x3 koordinataga kvadratik qonun bo‘yicha bog‘liq bo‘lgan F1 va F2 sirt kuchlari amalga oshirishlarini isbotlash mumkin. Tekis kuchlangan holatda Guk qonuni tenglamalari:σ11= λθ +2μ u1,1 ,σ12= μ(u1,2 +u2,1 ), σ22= λθ +2 μ u2,1 ,σ23= μ(u2,3 +u3,2 )= 0, σ33= λθ +2μ u3,3 ,σ31= μ(u3,1 +u1,3 )= 0, (7.22) bu yerda θ= u1,1 +u2,2 +u3,3 . (7.23) Ikkinchi tomondan θ= θ1+u3,3 ,θ1= θ1,1 +u2,2 bo‘lganligi uchun (7.22) ning uchinchi ifodasidan λθ1+λu3,3 +2 μ u3,3 = 0 yoki bundan u3,3=− λθ 1 λ+2μ. (7.24) U holda θ= θ1− λθ 1 λ+2μ= 2μθ 1 λ+2μ. (7.25) Quyidagicha belgilash kiritamiz: λ¿= 2μλ λ+2μ= 1− 2v 1− v λ= vE (1+v)(1−v) . (7.26) U holda Guk qonuni quyidagi ko‘rinishga keladi: σ11= λ¿θ1+2μu 1,1 , σ22= λ¿θ1+2μu 1,1 , σ12= μ(u1,2 +u2,1 ). (7.27) Guk qonunining olingan (7.27) munosabatlari tekis deformatsia holatidagi (7.7) munosabatlar bilan shaklan bir xildir: agar (7.7) da Lamening λ koeffitsiyentini (7.26) tenglik bilan aniqlanuvchi λ¿ o‘zgarmas bilan almashtirilsa, (7.27) munosabatlarni olish mumkin. Shu bilan bir qatorda, tekis kuchlangan holat, yuqorida ta’kidlanganidek, tekis deformatsiadan farqli ravishda uch o‘lchovlidir. Chunki tekis deformatsiada kuchlanish va ko‘chishlar tekis deformatsiyada x3 koordinataga bog‘liq bo‘lmaydi. Lekin jism chetlari orasidagi masofa uning ko‘ndalang kesimi o‘lchamlariga nisbatan juda kichik bo‘lganda, ya’ni jism plastinkadan iborat bo‘lganida (7.3-chizma), kuchlanishlarning x3 koordinataga bog‘liqligini hisobga olmaslik mumkin bo‘ladi. Chunki bunday holatda x3 koordinataning o‘zgarish oralig‘i juda kichik. Xuddi ana shu faktorga asosan Faylon tekis kuchlangan holatni umum-lashtirib, yupqa plastina holida masalani ikki o‘lchovli masalaga keltirish imkonini beradi. Faylon nuqtayi nazariga ko‘ra kuchlanishlar va ko‘chishlarning plastinaning kichik qalinligi bo‘yicha qiymatlarini bilish ularning har bir nuqtadagi qiymatlarini bilish bilan ekvivalentdir. Endi 7.3–chizmada tasvirlangan, qalinligi 2h ga teng yupqa plastinani qaraymiz. Ox 1x2 koordinat tekisligini plastina o‘rta tekisligi bilan ustma-ust qo‘yamiz. Plastina o‘zining o‘rta tekisligiga nisbatan simmetrik ravishda F1 va F2 sirt kuchlari bilan ko‘ndalang kesim konturi bo‘ylab yuklangan bo‘lsin. Plastinaning bunday yuklanishida, uning ichki nuqtalarida kuchlanish tenzori va ko‘chish vektori komponentalari, umuman olganda, nolga teng bo‘lmaydi va uchta bir jinsli (massaviy kuchlar nolga teng deb hisob-lanadi: f1= f2= f3=0 ) muvozanat tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak σ11,1+σ12,2+σ13,3=0, σ21,1+σ22,2+σ23,3=0, σ31,1+σ32,2+σ33,3=0. (7.28) Ammo, yuklanish shartiga ko‘ra plastinaning chetki tekisliklarida, ya’ni (x1,x2,+h) va (x1,x2,−h) tekisliklarining hamma nuqtalarida σ33|x3=±h= 0, σ32|x3=±h=0,σ31|x3=±h=0 (7.29) kuchlanishlar nolga teng bo‘lishlari kerak. Endi σ33(x1,x2,x3) funksiyani x1 va x2 larning fiksirlangan qiymatlarida x3 koordinataning darajalari bo‘yicha x3=h nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz σ33(x1,x2,x3)=σ33(x1,x2)|h+ +σ33,3(x1,x2)|h⋅(x3−h)+ +1 2σ33,33(x1,x2)|h⋅(x3−h)2+.... Bu yerdan (7.29) ni hisobga olgan holda σ33(x1,x2,x3)= 1 2σ33,33(x1,x2)|h⋅(x3−h)2+... . Demak, yupqa plastina uchun σ33 komponenta juda kichik va uni yetarli darajadagi yaqinlashish aniqligida plastinaning hamma nuqtalarida nolga teng deb hisoblash mumkin, ya’ni σ33=0. (7.30) Kuchlanish tenzorining qolgan komponentalarini plastinaning qalinligi bo‘yicha o‘rtalashtiramiz, ya’ni σij0= 1 2h∫ −h h σijdx 3 . (7.31) Shartga ko‘ra plastina o‘zining o‘rta tekisligiga nisbatan simmetrik ravishda yuklangan. U holda σ11,σ22 va σ12 kuchlanishlar - x3 koordinataga nisbatan juft funksialardir, σ23 va σ31 kuchlanishlar esa toq funksialardir. Bundan σ23 va σ31 kuchlanishlarning o‘rta qiymatlari nolga tengligi chiqadi, ya’ni x 2 L o‘rta tekislik x 1 x 3 2h 7.3-chizma. O σ310= σ230= 0.(7.32) Shunday qilib, kuchlanish tenzorining σij komponentalarini ularning σij 0 o‘rta qiymatlari bilan almashtirganda, kuchlanish tenzorining faqat uchta σ110,σ220 va σ120 komponentalarigina noldan farqli bo‘ladi va x3 koordinataga bog‘liq bo‘lmaydi. Boshqacha aytganda, kuchlanish tenzori komponentalari plastina qalinligi bo‘yicha o‘rtalashtirilganda plastina taqriban (deyarli) tekis kuchlangan holatda bo‘ladi. Ana shu holat umumlashgan tekis kuchlangan holat deyiladi. Kuchlanish tenzorining σij 0 o‘rta qiymatlaridan foydalanilganda σ33= σ320= σ310= 0 bo‘lganligi uchun (7.28) muvozanat tenglamalari σ11,1 0 +σ12,2 0 =0, σ21,1 0 +σ22,2 0 = 0 (7.33) ko‘rinishni oladi. Guk qonuni munosabatlari esa quyidagicha bo‘ladi: σ11 0= λ¿θ1 0+2μ u1,1 0 , σ22 0= λ¿θ1 0+2μ u2,2 0 , σ12 0= μ (u1,2 0 +u2,1 0 ), (7.34) bu yerda λ¿ - (7.26) tengliklar bilan aniqlanuvchi o‘zgarmaslar; θ01= u1,1 0+u2,2 0; ui,j 0 = дu i 0 дx j = 1 2h д дx j ∫ −h +h uidx 3,(i=1,2 ; j=1,2 ). (7.35) Xuddi tekis deformatsiadagidek σij 0 kuchlanishlar x3 koordinataga bog‘liq bo‘lmaganlari uchun (7.34) muvozanat tenglamalari uchun ham kuchlanish (Eri) funksiasini kiritish mumkin, ya’ni σ11 0= Φ ,22 , σ22 0= Φ ,11 , σ12 0= Φ ,12 (7.36) σij 0 kuchlanishlar Beltrami shartlariga bo‘ysunishlari zarur. Demak, Eri funksiasi bigarmonik funksiya bo‘lishi, ya‘ni (7.18) tenglamani qanoatlantirishi kerak. Plastinaning L konturida Ф (x 1 ,x 2 ) funksiya uchun chegaraviy shartlar quyidagi tengliklar bilan ifodalanadi: σ110dx 2 dL −σ120dx 1 dL = d dL Ф ,2= F10, σ210dx 2 dL −σ220dx 1 dL =− d dL Ф ,1= F20, (7.37) bu yerda F i 0= 1 2h ∫ −h h F idx 3(i= 1,2 ) . Tekis deformatsiya haqidagi masalaning asosiy tenglamalarini umumlashgan tekis kuchlangan holat haqidagi masalaning asosiy tenglamalari bilan solishtirish ko‘rsatadiki, bu ikki masala matematik jihatdan bir xildir. Birinchi masala asosiy tenglamalarida ishtirok etuvchi ui va σij(i,j=1,2 ) komponentalarni ularning (7.31) formulalar bilan aniqlanuvchi o‘rta qiymatlari bilan almashtirib hamda λ - Lame koeffitsientini (9.26) formula bilan aniqlanuvchi λ¿ o‘zgarmas bilan almashtirib ikkinchi masalaning asosiy tenglamalarini olamiz. Ushbu mohiyati har xil bo‘lgan ikki masala bitta bigarmonik chegaraviy masalaga keltiriladiki, u elastiklik nazariyasining tekis masalasi deyiladi. Yuqoridagi ikki masala uchun Guk qonuni munosabatlarini yana bir marta yozib taqqoslash ishini amalga oshiramiz. Tekis kuchlangan holat uchun: ∑ = σ11 + σ22 ;ε12 = 1+v E σ12 ; ε11 = 1 E (σ11− vσ 22 );ε22 = 1 E (σ22 − vσ 11 ). (7.38) Tekis deformatsia holati uchun: ∑ = σ11+σ22+σ33= (1+v)(σ11+σ22); ε12= 1+v' E ' σ12 ; ε11= 1 E '(σ11− v'σ22); ε22= 1 E ' (σ22− v'σ11), (7.39) bu yerda E'= E 1−v2, v'= v 1−v= v¿ 1−2v; v¿= v 1+v. (7.40) Guk qonuni formulalarining tekis kuchlangan holat uchun (9.38) ifodasi va tekis deformatsia uchun (9.40) ifodalarini mos ravishda quyidagi ko‘rinishlarga keltirish mumkin: ε11= 1 2μ [(1− v¿)σ11− v¿σ22], ε12= 1 2μ σ12 ,ε22= 1 2μ [(1− v¿)σ22− v¿σ11]. (7.41) va ε11= 1 2μ[(1− v)σ11− vσ 22], ε12= 1 2μ σ12 ,ε22= 1 2μ[(1−v)σ22−vσ 11]. (7.42) Paragrafning oxirida L konturda tashqi kuchlar emas, balki ko‘chishlar berilganda tekis masala asosiy tenglamalarini keltiramiz. Bu holda chegaraviy shartlar quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: ui¿|L= ui(s)(i= 1,2 ). (7.43) Muvozanat tenglamalari sifatida Lame tenglamalari qabul qilinadi va quyidagi ko‘rinishda foydalaniladi: a) tekis deformatsia uchu n: ∇2ui+ 1 1−2νθ1,i=0,(i=1,2 ); (7.44) b) tekis kuchlangan holat uchun: ∇2ui0+ 1 1−2ν¿θ1,i0=0, (i= 1,2). (7.45) Bundan keyingi paragraflarda amaliy tekis masalalar va ularni yechish usullari bilan tanishamiz . Yuqorida qaralgan tenglamalardan ko‘rinadiki, tekis masala holida asosiy munosobatlar nisbatan qisqa shaklda yoziladi. Shu sababli tekis masalalar qaralayotganda yozuvning tenzor «tili» dan, an’anaviy ko‘rinishga o‘tgan ma’qul. Shu nuqtayi - nazardan bundan keyingi masalalarni yechishni to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalari sistemasining ox 1x2x3 belgilanishidan an’anaviy oxyz belgilashlarida yoritamiz.

Superpozitsiya prinsipi. Sen-Venan masalasi chozilish; buralish. Sof egilish. Egilish. Tekis elastiklik

Купить