Tekislikda koordinatalar metodi. Tekislikda koordinatalar usuli - Geometriya - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	10000UZS
Hajmi	1.3MB
Xaridlar	2
Yuklab olingan sana	19 May 2024
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Geometriya

Sotuvchi

Shohrux Ismoilov

Ro'yxatga olish sanasi 18 May 2024

10 Sotish

Tekislikda koordinatalar metodi. Tekislikda koordinatalar usuli

Sotib olish

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM , FAN VA INNOVATSIYALAR
VAZIRLIGI
BERDAQ NOMIDAGI QORAQALPOQ DAVLAT UNIVERSITETI
MATEMATIKA fakulteti
FUNKSIONAL ANALIZ, ALGEBRA VA GEOMETRIYA kafedrasi
“ 60540100-Matematika ” ta’lim yo’nalishining
“1”- kurs talabasi Ismoilov Shohruxning
ANALITIK GEOMETRIYADAN
KURS ISHI
Mavzu : Tekislikda koordinatalar metodi
Qabul qildi : Aymurzaeva G.
Bajardi : Ismoilov Shohrux
No’kis 2024
1

MUNDARIJA
KIRISH…………………………………………………………………...4
1. TEKISLIKDA VA FAZODA KOORDINATALAR
SISTEMASI…………………………………………………………...5
1.1.Tekislikda affin koordinatalar sistemasi…………………………..5
1.2.Fazoda affin koordinatalar sistemasi……………………………...7
1.3.Kesmani berilgan nisbatda bo’lish………………………………..11
2. DEKART KOORDINATALAR SISTEMASI………………………13
2.1. Dekart koordinatalar sistemasi.....................................................13
2.2. Dekart koordinatalar sistemasini almashtirish……………….....20
2.3. To’g’ri chiziq tenglamalari……………………………………...24
3. QUTB KOORDINATALAR SISTEMASI........................................26
3.1. Tekislikda qutb koordinatalar sistemasi........................................26
3.2. Fazoda qutb koordinatalar sistemasi..........................................28
4. XULOSA………………………………………………………………31
5. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR………………………………32

2

KIRISH
Analitik geometriya kursida o'rganish metodlarining asosini koordinatalar
metodi tashkil qiladi. Biz husasan tekislikda va fazoda koordinatalar sistemasini
o'rganamiz, ya’ni ularning turlarini ,joylashuv tartibini o'rganish bilan
shugullanamiz. Bu yerda algebraik metodlar asosiy rolni o'ynaydi.
Hozirgi vaqtda analitik geometriyaning uslublari fan, texnika va
iqtisodiyotning turli-tuman masalalarini hal qilishda keng qo’llanilmoqda.
Xalq xo’jalligining barcha sohalarida kompyuterlarning va matematik
usullarning yalpi qo’llanilishi munosabati bilan bu usullarning ahamiyati
yanada ortdi.
Kurs ishim bo’limlardan iborat bo’lib ularda “Tekislikda affin
koordinatalar sistemasi”, “Fazoda affin koordinatalar sistemasi” , “Kesmani
berilgan nisbatta bo’lish” ,“Tekislik va fazoda to’rtburchak koordinatalar
sistemasi” , “Ikki vector orasidagi burchak” , “Vektor ko’patma” , “Skalyar
ko’paytma” , “Tekislikda va fazoda qutb koordinatalar sistemasi” mavzulari
batafsil bayon etilgan.
4

5TEKISLIKDA VA FAZODA KOORDINATALAR SISTEMASI
V tóplamda kamida bitta vektor e1≠ 0 bólsin. U holda V tóplam x1e1
kórinishidagi barcha vektorlarni óz ichiga oladi, bu erda
x1 har qanday haqiqiy
sondir. Agar butun V tóplami ushbu vektorlar tomonidan tugatilgan bólsa u
holda bu tóplam
e1 vektorga tógri keladigan barcha vektorlardan iborat bir
ólchovli kóp qirrali hisoblanadi. Faraz qilaylik V tóplamda kollinear bólmagan
e1,e2
vektori mavjud. U holda V tóplam x
1 e
1 + x
2 e
2 kórinishidagi barcha
vektorlar uchun ham , kollinear bólmagan e
1 , e
2 tekislikka komplanar barcha
vektorlarni ham óz ichiga oladi.
Agar V tóplamda
e1,e2 vektorlar juftligiga komplanar bólmagan kamida
bitta e
3 vektori bólsa, u holda V óz ichiga uchkarrali komplanar bólmagan
e1,e2,e3
vektorlar va shunga kóra shaklning istalgan vektorini óz ichiga oladi.

u = x1e1+x2e2+x3e3
TEKISLIKDA AFFIN KOORDINATALAR SISTEMASI.
Affin koordinatalar sistemasida
O nuqta (koordinata boshi ) va óz aro
kolinear bólmagan e
1 =
⃗OE 1 va e
2 = ⃗OE 2 vektorlar berilgan. Bu erda e
1 birinchi e1 ,
ikkinchi
e2 birlik vektorlar); e1 va e2 vektorlari O nuqtada kesishgan ikkita óqni
aniqlaydi -birinchi va ikinchi koordinata óqlari. Birinchi óq absissa óqi yoki
OX
óqi deb ham ataladi. Ikkinchisi esa berilgan koordinatalar tizimining
ordinata óqi yoki
OY óqidir. Koordinatalar sistemasining ózi O e1e2
yoki Oxy
bilan belgilanadi.

6M tekislikning qaysidir nuqtasi bólsin , M nuqtaning birinchi va ikkinchi
koordinata óqlaridagi proyekciyalarini M
x va M
y bilan belgilaymiz. (har bir
óqdagi proyekciyalar boshqa óq bóylab olinadi)
⃗O M x va ⃗O M y vektorlari M
nuqtaning ( algebrik qismi.) mos ravishda birinchi va ikinchi koordinatalari
(absissa va ordinatalari) bilan beriladi.
Har qanday x , y
sonlar juftligi yagona
M nuqtasini aniqlaydi. Bu erda
x
-birinchi , y -ikkinchi koordinata. M nuqta x,y koordinatalari bilan
quydagicha belgilanadi: M
( x
,
y ). O e1e2 koordinata tizimi tekislikdagi barcha
vektorlar tóplamining
e1e2 asosini óz ichiga oladi. Ixtiyoriy u vektorning
koordinatalari u
vektorning O e
1 e
2
kordinatalar sistemasiga nisbatan
koordinatalari deyiladi .
ular vektor va koordinalarining kelib chiqishini tanlashga bogliq emas .
Koordinatalari x , y
bólgan u
vektor quydagicha yoziladi : u
=
{ x , y }
; keyin
u
=x e1 +x e2
x
=0 sharti
y óqi bilan kollinear vektorlarni , y
=0 sharti esa absissa óqlari bilan
kollinear vektorlarni harakterlaydi. Shubhasiz berilgan koordinatalar
sistemasidagi istalgan M
nuqtaning koordinatalari ushbu koordinatalar
sistemasidagi
⃗OM vektorining koordinatalari hisoblanadi. Ikki ⃗AB va ⃗CD
vektorlari teng bóladi, agar ularning mos keladigan koordinatalari teng bo'lsa.

8.Agar A= ( x
1 , y
1 ) , B= ( x
2 , y
2 ) , ⃗ AB
vektorning x , y
koordinatalari uchun
x
= x2− x1
,y= y2− y2 .

Fazoda affin koordinatalar sistemasi.
Quydagi aytilganlarning barchasi fazoga ham tegishli. Fazodagi affin
koordinatalar sistemasi
O ( koordinata boshi ) nuqta va bu nuqtada
qóllaniladigan uchta komplanar bólmagan birlik vektorlari e
1 , e
2 ,
e3 , (c- rasm )
malum tartibda berilgan (
e1 - birinchi, e2 - ikkinchi, e3 - uchinchi).Bu
vektorlarning har biri O
koordinatasidan o'tuvchi o'qni belgilaydi, uning birlik
vektori; bu o'qlar birinchi, ikkinchi va uchinchi koordinata o'qlari yoki mos
ravishda Ox
o'qi (abtsissa o'qi) O
y o'qi (ordinata o'qi) va Oz
o'qi (aplikata o'qi)
deb ataladi. , (ammo kamdan-kam qo'llaniladi) .Shunday qilib
Ox va Oy óqlari
Oxy
koordinatalar tekisligini aniqlaydi yoki O
e1e2 , va hokazo. Berilgan
vektorning birinchi, ikkinchi, uchinchi koordinatalari
e1 ,e2 ,e3 bazisga nisbatan
uning mos keladigan koordinatalari, ya’ni tasvirdagi mos koeffitsientlardir
u =x
e1 +y e2 +z e3 .

9
Ular mos ravishda e
1 ,e2 , e
3 vektorlari bilan aniqlangan vektor va o'qlar
proyeksiyalarining algebraik qiymatlariga teng (har bir o'qdagi proyeksiyalar
boshqa ikkita o'qdan tekislik bo'ylab olinadi). Vektor koordinatalari O
nuqtaning
koordinatalariga bog liq emas.
ʻ M nuqtaning koordinatalari tarifga kóra ⃗OM
vektorning koordinatalari (d- rasm) Agar M
x , M
y , M
z nuqtaning proyekciyalari ,
ux
= ⃗ O M
x , uy = ⃗O M y , uz = ⃗ O M
z .
⃗OM vektorning koordinata óqlaridagi
proyekciyalari , keyin
M nuqtaning x,y,z koordinatalari ⃗O M x= ux , ⃗ O M
y = u
y ,
⃗
O M
z = uz vektorlarning algebrik qiymatlari . Keyin
ux= xe1
, uy =y e2
, u
z =z e3
,
⃗OM
=u= xe1 ,+y e2+¿
, z e3 (1)
Berilgan koordinata o'qiga kollinear vektorlar boshqa ikkita o'qga mos
keladigan koordinatalarining nolga tengligi bilan ifodalanadi. Biz allaqachon
bilamizki, vektorlarni qo'shganda, ularning mos koordinatalari qo'shiladi va
vektorni va 2 raqamiga ga ko'paytirganda, vektorning har bir koordinatasi 2 ga
ko'paytiriladi. Bu yerdan kelib chiqadiki , agar ularning birining koordinatalari
ikkinchisining koordinatalariga proporsional bólsagina , kolinear bóladi.
x,y,z
sonlarning har bir tartiblangan uchligi fazoning
M nuqtasini óziga hos tarizda
aniqlaydi. Bu
M nuqtani topish uchun O nuqtaga x e1 +y e2 +z e3 = ⃗OM , vektorini
biriktirish kerek , yáni
xe1 = ⃗ O M
x , ye2 = ⃗O M y , z e3 = ⃗ O M
z , vektorlarni ustiga
qurilgan parallelepiped dioganalini olish kerak.

x,y,z koordinatalari bilan
quyidagicha belgilanadi:
M = ( x,y,z ).
M
nuqta koordinatalarining ta'rifiga
ko'ra,
⃗OM vektori uning oxiri M nuqta
bilan bir xil koordinatalarga ega.
Umuman olganda, agar A=(
x1 ,y1 ,z1 ) va
B=(
x2 , y
2 , z
2 ) bólsa u holda ⃗ AB
vektori
koordinatalari
x = x2 -x1
,
y = y2 - y1 , z =
z2− z1
holda topiladi.
Fazoda yoki tekislikda affin koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta
bazis va bitta nuqta tanlanadi. Agar bazis va О nuqta berilgan bo'lsa,
vektorning bazisdagi koordinatalari M nuqtaning affin
koordinatalari deyiladi.
1 -ta’rif. Berilgan , bazis uchun

tengliklar bajarilsa, ortonormal bazis deyiladi.
2-ta ’rif. Ortonormal bazis yordamida berilgan koordinatalar sistemasi
to‘giri burchakli yoki dekart koordinatalar sistemasi deb ataladi.

Teorema. Dekart koordinatalar sistemasida
vektoming berilgan bazisdagi koordinatalari, uning
koordinatalar о ‘qlariga tushirilgan proeksiyalari bilan
ustma-ust tushadi.
Isbot . Bizga ortonormal bazis
berilgan bo‘lsa, ularning boshlarini О nuqtaga joylashtirib OXYZ koordintalar
sistemasini kiritaylik. Agar
10

bo‘lsa, vektoming boshini koordinata boshiga joylashtirib, uning oxirini
M bilan belgilaymiz. Agar M nuqtaning koordinata o'qlariga ortogonal
proeksiyalarini А , В , С harflari bilan belgilasak
tengliklarni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan , , kesmalarning
kattaliklari mos ravishda x, y, z sonlariga teng bo‘lgani uchun ,
munosabatlarni hosil qilamiz.
1-Natija
Isbot. Bizga L o‘q berilgan bo'lsin: shunday OXYZ koordinatalar sistemasi
kiritamizki, OX koordinata o‘qi L bilan ustma-ust tushsin. Agar

bo‘lsa, teoremaga ko‘ra va ,
tengliklami hosil qilamiz. Lekin vektorlarni qo'shganda ularning
koordinatalari
mos ravishda qo‘shilgani uchun munosabatni olamiz.

Tekislikda qutb koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta О
nuqtani va bu nuqtadan o‘tuvchi o‘qni tanlab olamiz. Tanlangan nuqtani qutb
boshi, o‘qni esa qutb o‘qi deb ataymiz va uni L bilan belgilaymiz. Tekislikda
berilgan ixtiyoriy O nuqtadan farqli M nuqta uchun p bilan masofani, ( p
bilan esa L bilan OM nur orasidagi burchakni belgilaymiz. Bu kattaliklar M
nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va ko'rinishda belgilanadi.
Tekislikning О nuqtadan farqli nuqtalari bilan qutb koordinatalari
o‘rtasidagi moslik o‘zaro bir qiymatli bo‘lishi uchun va kattaliklar uchun
11

quyidagi chegara qo'yiladi: 0< ρ <+∞ , Agar D ekart
koordinatalar sistemasini quyidagi rasmdagidek kiritsak,
,
bog'lanishlarni olamiz.Berilgan M nuqtaning Dekart koordinatalari ma’lum
bo'lsa, uning qutb koordinatalarini topish uchun

formula bo‘yicha birinchi qutb koordinatani topamiz.Ikinchi qutb
koordinatani topish uchun M nuqtaning qaysi chorakda joylashganligini bilishimiz
kerak va
,
tengliklardan foydalanishimiz kerak.
Kesmani berilgan nisbatta bo’lish. Fazoda yoki tekislikda d chiziq va
unga yónaltirilgan AB kesma berilgan bólsin . Hech bólmaganda bittasi nolga
teng bólmagan ikkita ixtiyoriy
α va β
haqiyqiy sonlar berilgan. Tarifga kóra M
nuqta AB kesmani
α : β nisbatda bóladi, agar
⃗AM
: ⃗
MB = α:β
Lemma. Tekislikda (mos ravishda fazoda) ikkita d' va d chiziq (mos ravishda
tekislik) berilgan bo'lsin. d, d' chiziqlarining birortasiga parallel emas.
M, d' to'g'rida ixtiyoriy uchta A,B,M nuqta bilan belgilangan bo'lsin.U holda
12

⃗A´M ´
⃗M ´B´= ⃗AM
⃗MBUshbu lemmaning isbotini mashq sifatida o'quvchiga qoldiramiz. Agar
A,B,M
nuqtalarning abtsissalar o‘qidagi proyeksiyalarini
Ax,M x,Bx bilan belgilasak, shu
lemmadan darhol shunday xulosa chiqadi:
⃗
AM
: ⃗MB = α : β
= ⃗ A
x M
x : ⃗M xBx =( A
x M
x ):( M xBx ).
Lekin (x óqi bóyicha ) bizda (
AxM x )=x- x1
, ( M xBx )= x2 -x1 ,
Shuning uchun ( x − x
1 )
( x − x
2 ) =
α
β
v a bu erdan x
ni topsak x
= α x
2 + β x
1
α + β bo’ladi va analitik k o’rinishda
y= α y
1 + β y
2
α + β , z= α z
1 + β z
2
α + β
α + β = 0
, ya'ni α : β = − 1
holidan tashqari barcha hollarda to'g'ri chiziqning ma'lum
bir
M = ( x,y,z ) nuqtasini beradi (biz yagona noto'g'ri, yoki "cheksiz" nuyu olib
tashlandi", ).
α= β uchun M
nuqta ⃗ AB
kesmaning o'rta nuqtasi bo'ladi va kesmaning
o'rta nuqtasi koordinatalari uchun biz quyidagi formulalarni olamiz:
x
=
x1+x2
2 , y
= y
1 + y
2
2 , z
= z
1 + z
2
2 . (3)
Agar
α+β≠0 va β ≠ 0 bo'lsa, unda α
β = γ
formulalaridan kelib chiqib yozishimiz
mumkin .
x
= x
1 + λ x
2
1 + λ , y = y
1 + λ y
2
1 + λ , z = z1+λz2
1+λ . (4)
Misol . va B(4; -14) nuqtalar bilan chegaralangan kesma va
nuqtalar orqali uchta teng bodakka bo‘lingan. C va D nuqtalaming
koordinatalarini toping.
13

C nuqta AB kesmani nisbatda bo'ladi. Binobarin formulaga
ko‘ra:

Shunday qilib, .
D nuqta AB kesmani nisbatda bo‘ladi. Bu yerdan

Demak, D (3; —8)
DEKART KOORDINATALAR SISTEMASI
Tekislikdagi va fazodagi dekart koordinatalar tizimi. To'g'ri burchakli
koordinatalar tizimini tekislikda yoki fazoda o'rnatish,birinchi navbatda, barcha
kesmalarning uzunliklari (tekislik yoki fazoda) o'lchanadigan ma'lum bir uzunlik
birligi tanlanganligin nazarda tutadi. Bunday uzunlik birligini masshtab deb
ataymiz; uni bir marta tanlanishini hisobga olib, uzunligi 1 ga teng bo'lgan har
qanday vektorni birlik vektor deb ataymiz. Masshtab tanlangandan so'ng
to'rtburchaklar koordinatalar sistemasi. (umumiy affin sistemaning maxsus holati
sifatida) birlik vektorlarni (tekislikda e1 , va e2 ; fazoda e1 , e2 , e3 ,) o‘zaro
perpendikulyar bo‘lishi talabi bilan aniqlanadi. Izoh. Ushbu kichik bo'limning
qolgan qismida biz koordinatalar tizimini to'rtburchaklar deb hisoblaymiz. Barcha
proyeksiyalar ham to'rtburchaklar shaklida qabul qilinadi.
14

u
={ x ; y }
vektor berilgan bólsin. Vektorni koordinatalarning boshiga biriktiramiz:
u
= ⃗OM
⃗
OM
vektorning uzunligini | u|
= |⃗ OM |
bilan ifodalanadi. M nuqtaning koordinatalar
ildizlariga proyeksiyalarini M
x ,
M
y bilan belgilab, bizda x
= ( O M
x ),
y = (O M
y ) va
(Pifagor teoremasi bo’yicha)
|⃗OM |2
= ⃗|
O M
x | 2
+ ⃗|
O M
y | 2
|u|2=⃗|OM |2
=
x 2
+ y 2
.
Huddi shunday vektor uchun fazoda
u = { x , y , z }
uchun |
u| 2
= x 2
+ y 2
+ z 2
vektor uzunligi
kvadrati uning koordinatalari kvadratlari yi
gWindisiga teng. Bu to'g'ridan-to'g'ri ikki
nuqta orasidagi masofa (
M 1,M 2 ) formulasini nazarda tutadi ; M 1 ( x1,y1
, ), M 2 (
x2,y2
). Aynan
⃗
M
1 M
2 = { x
2 − x
1 , y
2 − y
1 } ,
ρ¿
)= |⃗ M
1 M
2 | = + √( x
2 − x
1 ) 2
+ ( y
2 − y
1 ) 2
.
Huddi shunday nuqtala uchun fazoda
M 1 ( x
1 , y
1 , z
1 ) M 2 (x2 , y
2 , z
2 ). orasidagi masofa :
ρ¿
)= |⃗M 1,M 2| = + √(
x
2 − x
1 ) 2
+ ( y
2 − y
1 ) 2
+ ( z
2 − z
1 ) 2 .
Tekislikda to'rtburchaklar koordinatalar
sistemasi berilgan bo'lsin. Bu tekislikda
markazi C = ¿
va radiusi r
bo'lgan aylanani
15

ko'rib chiqaylik . Bu aylana tekislikning barcha M ( x , y ) nuqtalari to'plami bo'lib,
ularning
C nuqtadan M ( x , y ) gacha masofasi r ga teng bo'ladi. Boshqacha
aytganda,
M ( x , y ) aylanamizda yotishi zarur va etarli.

ρ ( C ,M ) = r yani
√
( x − a ) 2
+ ( y − b ) 2
= r
(5) r > ¿
0 bólgani uchun (5) tenglamaga ekvivalent bóladi.

(x−a)2 + ( y − b ) 2
= r 2
(6).
(6) tenglama markazi
C=(a,b) va radiusi r
bo'lgan aylana tenglamasi deb ataladi.
Fazoda esa markazi C = ( a , b , c )
va radiusi
r bo'lgan sharda (sferik sirt) M = ( x . y , z )
nuqtalari to'plami bo'lib , C
ularning C
nuqtadan M ( x . y , z )
gacha masofasi r
ga
teng bo'ladi. Shuning uchun tenglama
(x−a)2
+
( y − b ) 2
+ ( z − c ) 2
= r 2
(7)
uchun zarur va yetarli shartni ifodalaydi. (7) tenglama markazi
C=(a,b,c) va
radiusi
r bo'lgan shar tenglamasidir. M ( x . y , z )
nuqta bizning sharimizda yotadi.
Misol . Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan: A(-1; 2), B(4;7), C(0;3).
Uning tomonlari uzunliklarini toping. Yechish: Tekislikda ikki nuqta orasidagi
masofani topish formulasidan foydalanib yechamiz.

.
Javob : , ,
Dekart koordinata tizimi o'zining asosiy nuqtasi deb ataladigan nuqtada
kesishgan ikkita perpendikulyar chiziqdan iborat. Ushbu chiziqlar odatda x o'qi
(gorizontal) va y o'qi (vertikal) sifatida belgilanadi. Ularning kesishgan nuqtasi (0,0)
sifatida belgilanadi va boshqa barcha nuqtalar o'lchanadigan mos yozuvlar nuqtasi
bo'lib xizmat qiladi.
16

Tekislikdagi istalgan nuqtaning koordinatalari tartiblangan juftliklar (x, y)
sifatida ifodalanadi, bu erda 'x' y o'qidan gorizontal masofani (musbat o'ngga,
salbiy chapga) va 'y' vertikalni ifodalaydi. x o'qidan masofa (musbat yuqoriga,
manfiy pastga). Masalan, (4, 3) nuqta koordinata boshidan 4 birlik o'ngda va 3
birlik yuqorida joylashgan nuqtani bildiradi.

Agar to’g’ri chiziqda koordinatalar boshi deb ataluvchi O nuqta, musbat
yo’nalish va uzunlik birligi tanlab olingan bo’lsa, u holda to’g’ri chiziqda Dekart
koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi.
Gorizontal to’g’ri chiziq Ox bilan belgilanadi va abssissalar o’qi deyiladi;
vertikal to’g’ri chiziq Oy bilan belgilanadi va ordinatalar o’qi deyiladi. Abssissalar
o’qini va ordinatalar o’qini koordinatalar o’qlari, ularning kesishish nuqtasini
koordinatalar boshi deyiladi. Koordinatalar boshi har bir o’qdagi nol sonini
tasvirlaydi.
Abssissalar o’qida musbat sonlar O nuqtadan o’ngda joylashgan nuqtalar
bilan, manfiy sonlar esa O nuqtadan chapda joylashgan nuqtalar bilan ifodalanadi.
Ordinatalar o’qida musbat sonlar O nuqtadan yuqorida joylashgan nuqtalar orqali,
manfiy sonlar esa O nuqtadan pastda joylashgan nuqtalar bilan ifodalaniladi.
Yo’nalishlar va uzunlik birligi tanlangan ikkita o’zaro perpendikular to’g’ri
chiziq tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini hosil qiladi. Yoki bu
koordinatalar sistemasi XVII asrning taniqli matematigi Rene Dekart nomi bilan
ham ataladi. Koordinatalar sistemasi tanlangan tekislik koordinata tekisligi
deyiladi. Koordinata o’qlari tashkil qilgan to’g’ri burchaklar koordinata
burchaklari yoki kvadrantlar deyiladi va 1-rasmdagi kabi raqamlanadi.
Aytaylik, M koordinata tekisligining ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. M
nuqtadan abssissalar o’qiga perpendikular tushiramiz.
17

Shu perpendikularning asosi M nuqtaning absissasi deb ataladigan biror x
sonni tasvirlaydi. M nuqtadan ordinatalar o’qiga perpendikular tushirsak, bu
perpendikularning asosi M nuqtasining ordinatasi deb ataluvchi biror y sonni
tasvirlaydi.
M nuqtadan abssissasi va ordinatasi M nuqtaning koordinatalari deyiladi.
yozuv M nuqta x abssissaga va y ordinataga ega ekanini bildiradi. Bu
holda M nuqta koordinatalarga ega deb ham aytiladi. Masalan, M(3; 5)
yozuvda 3 soni — abssissa, 5 soni — ordinata.
Nuqtalarning koordinatalarini yozishda sonlarning tartibi muhim
ahamiyatga ega. Masalan, M
1 (1; 2) va M
2 (2; 1) nuqtalar tekislikdagi har xil
nuqtalardir .

Agar o’qda biror bazis tanlangan bo’lsa, u holda o’qdagi har bir vektorga
to’la aniqlangan bitta son mos keltiriladi va bu son vektorning bazis bo’yicha
yoyilmasining koeffitsientidan iborat bo’ladi.
l o’qda yotgan vektor shu o’qda tanlangan bazis bilan
kollinear bo’ladi. Vektorlarning kollinear bo’lish shartidan
18

= (1)
Munosabatni yoza olamiz. (1) dagi x sonni odatda vektorning
koordinatasi deyiladi. Agar x son vektorning koordinatasi bo’lsa, uning M(x)
ko’rinishidagi yozuvi ham shu ma’noni anglatadi, shu bilan birga x son M
nuqtaning koordinatasi degan ma’noni anglatadi.
Agar tekislikda koordinatalar boshi deb ataluvchi nuqta, o’zaro
perpendikular to’g’ri chiziqlar, ularda musbat yo’nalish hamda uzunlik birligi
(umuman olganda hamma yo’nalishda har xil) tanlangan bo’lsa, tekislikda Dekart
koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi. O’qlar mos ravishda abssissalar o’qi,
ordinatalar o’qi (aplikatalar o’qi) deb yuritiladi. Tegishli o’qlar koordinata o’qlari
deyiladi. Faraz qilaylik, tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin
(uni qisqacha xOy Sistema deb ham yuritiladi) va vektor koordinatalar boshi O
nuqtadan chiqqan bo’lsin .

Ta’rif. vektorning sistemadagi koordinatalari deb uning
koordinata o’qlaridagi proeksiyalariga aytiladi, ya’ni

Ta’rifga ko’ra x, y sonlar vektorning xOy sistemadagi koordinatalaridir;
x sonni vektorning abssissasi, y ni esa uning ordinatasi deyiladi. Koordinatalari
x , y dan iborat vektor simvoli bilan belgilanadi. Koordinatalar
sistemasini
endi koordinata o’qlaridagi , , birlik vektorlar bilan ko’rsatib o’tamiz.
19

Agar vektor koordinatalar boshidan chiqib, uning
koordinatalari x, y bo’lsa, A nuqtaning koordinatalari ham shu sonlardan iborat
bo’ladi. Bu ravshan vector A nuqtaning radius-vektori deyiladi. Shunday
qilib, A nuqtaning to’g’ri burchakli sistemadagi koordinatalari shu nuqta radius-
vektorining koordinatalariga tengdir. vektorni o’qlardagi birlik
vektorlarning yo’nalishlari bo’yicha yoyish mumkin:

Ammo , bunda A
1 , A
2 lar A nuqtaning sistema
o’qlaridagi proyeksiyasidir. Demak,

Teorema. Agar xOy sistemada bo’lsa,
bo’ladi.

Isbot. Teoremani isbotlash uchun ikki vektor yig’indisining proyeksiyasi haqidagi
xossadan foydalanamiz:

Teorema. Agar xOy sistemada AB vektor boshining koordinatalari { x
1, y
1 } va
oxirining koordinatalari { x
2, y
2 } bo’lsa, AB vektorning koordinatalari { x
1 -x
2, y
1 –
y
2 } bo’ladi

Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini almashtirish
Orientasiya: Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burilish yo‘nalishi soat
strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, bu vektorlar o‘ng ikkilik, aks holda
chap ikkilik tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifatida biror ikkilik tanlansa, biz
20

orientatsiya tanlab olingan deb hisoblaymiz. Bizga va ortonormal
bazislar berilgan bo'lsin. Bu bazislar yordamida kiritilgan Dekart koordinatalar
sistemasilarini mos ravishda O xy va O 'x'y' bilan belgilaylik. Nuqtaning “eski” va
“yangi” koordinatalari orasidagi bog'lanishni topamiz. “Yangi” koordinatalar
sistemasi markazining “eski” koordinata sistemasidagi koordinatalarini (a, b) bilan
belgilaylik.

Tekislikda M nuqta berilgan bo‘lib,uning Oxy va O 'x'y'
sistemalardagi koordinatalari mos ravishda (x ,y ) va {x',y') juftliklardan iborat
bo'lsin.
Biz quyidagi tengliklarga ega bo`lamiz:

, ,
Har bir vektorni bazis orqali ifodalash mumkinligi uchun
(1)
munosabatlarni hosil qilamiz. Bu ifodalarni
= ' + , =
21

tengliklarga qo‘yib
=
tenglikni hosil qilamiz.
Bazis vektorlari chiziqli erkli oilani tashkil etganligi uchun
yuqoridagi munosabatdan
x = a
11 x'+a
12 y'+a
y=a
21 x'+a
22 y'+b (2)
formulalami olamiz. Endi a
ij koeffitsientlarni topish uchun ikkita holni
qaraymiz.
Birinchi hol: va bazislar bir xil orientatsiyaga ega:
Bu holda agar bilan va vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, va
' vektorlar orasidagi burchak ham ga teng bo‘ladi. Yuqoridagi (1) tengliklarning
har ikkalasini va vektorlarga skalyar ko‘paytirib,

formulalarni olamiz. Agar va bazislar har xil
orientatsiyaga ega bo‘lsa, va vektorlar orasidagi burchak ga teng
bo'ladi. Bu holda (1) tengliklarning har birini va vektorlarga skalyar
ko'paytirib , , , formulalarni
hosil qilamiz. Bu formulalarni (2) formulalarga qo‘yib, mos ravishda quyidagi
ikkita formulalarni olamiz:

Bu holda o’tish determinanti uchun
22

tenglik o'rinli.
Ikkinchi holda bazislaming orientatsiyalari har xil va koordinatalarni
almashtirish formulalari :

ko‘rinishda bo'ladi.
Bu holda o‘tish determinanti uchun '

tenglik o‘rinli bo'ladi. Demak, koordinatalar sistemesini
almashtirganimizda o‘tish matritsasining determinanti musbat bo‘lsa, oriyentatsiya
o'zgarm aydi. Agar o‘tish matritsasining determinanti manfiy bo‘lsa, oriyentatsiya
qarama- qarshi oriyentatsiyaga o‘zgaradi.
To’g’ri chiziq tenglamalar
Ta’rif. Berilgan koordinatalar sistemasida chiziqning tenglamasi deb, shunday
ikki nomalumli

tenglamaga aytiladiki, shu chiziqda yotuvchi har qanday nuqtaning x va y
koordinatalari uni qanoatlantiradi. Bu chiziqqa tegishli bo’lmagan hech bir
nuqtaning koordinatalari uni qanoatlantirimaydi.
Biror koordinata sitemasida berilgan tenglama bilan aniqlanuvchi
chiziq, koordinatalari shu tenglamani qanoatlantiradigan tekislik nuqtalarining
geometrik o’rni bo’ladi.
Dekart koordinatalar sistemasida biror l
to’g’ri chiziq berilgan bo’lib va
lar shu to’g’ri chiziqga nisbatan
23

simmetrik bo’lgan nuqtalar bo’lsin. Bunday holda to’g’ri chiziq ustidagi
istalgan A(x, y) nuqta bu nuqtalardan baravar uzoqlikda yotadi va aksincha
A
1 va A
2 nuqtalardan baravar uzoqlikda yotgan A nuqta to’g’ri chiziqga tegishli
bo’ladi. bo ’ lganidan to ’ g ’ ri chiziq tenglamasi uchun
quyidagiga ega bo ’ lamiz .

tenglamaning hamma hadlarini chap tomonga o’tkazib,

Bundan ;
;
;
tenglamaga ega bo’lamiz.
Teorema. Har qanday to’g’ri chiziq ko’rinishdagi tenglama
bilan ifodalanadi, bunda a, b, c – o’zgarmas sonlar. tenglama
to’gri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi .
To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi . Tenglamasi
ko’rinishda berilgan to’g’ri chiziq b≠0 deb y ga nisbatan
yechamiz.
yoki , .
24

Bu tenglama to’g’ri chiziqning burchak koeffisentli tenglamasi deyiladi.
А
1 (х
1 , у
1 ), А
2 (х
2 , у
2 ) to’g’ri chiziqdagi ikkita nuqta bo’lsin

Bundan tenglamadagi k koeffisent ( k = tg a ) to ’ g ’ ri chiziqning burchak
koeffisenti , r esa to ’ g ’ ri chiziqning Oy o ’ qdan ajratgan kesmasi . Bu holda to’g’ri
chiziq Oy o’qni (0, r) nuqtada kesadi.
Misol. Koordinatalar boshidan o'tuvchi va Oy o‘qi bilan 60 0
burchak tashkil
etuvchi to‘g‘ri chiziqning tenglamasini tuzing.
Qaralayotgan to‘g‘ri chiziq koordinatalar boshidan o‘tganligi uchun
tenglamasini

ko'rinishda qidiramiz. Burchak koetfitsiyent bo'lgani
uchun tenglamani hosil qilamiz.
25

Tekislikda qutb koordinatalar sistemasi.
Tekislikda O
nuqtani tayinlaymiz va uni boshi yoki qutbi deb ataymiz. l - O
nuqta orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'lsin. Bu to'g'ri chiziqqa parallel biror nolmas
⃗
e
vektorni tanlab, l to'g'ri chiziqda orientatsiya kiritamiz. ⃗ e
vektor bilan bir xil
yo'nalgan va boshi
O nuqtada bo'lgan nurni qutb o'qi deb ataymiz.
l
to’g’ri chiziq tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi, ulardan birini (pastkisini)
manfiy, ikkinchisini (yuqorisini) esa musbat deb ataymiz. Endi tekislikning
ixtiyoriy
M nuqtasi uchun uning qutb koordinatalarini mumkin, ya'ni:
1) M
nuqtadan O
nuqtagacha bo'lgan r
masofa;
2)
M nuqtaning ⃗OM radius vektorining qutb o'qidan og'ish burchagi φ . r soni M
nuqtaning qutb radiusi deb ataladi. O
nuqtadan farqli ixtiyoriy nuqtaning qutb
radiusi musbat.
O nuqta uchun u nolga teng.
φ
burchak
M nuqtaning qutb burchagi deb ataladi. Qutb burchak tekislikning
nuqtasidan boshqa barcha nuqtalari uchun aniqlangan. Musbat yarim tekislik
nuqtalari uchun, jumladan,
l to'g'ri chiziq nuqtalari uchun ham qutb burchak [0, π
]
kesmadagi qiymatlarni qabul qiladi. Manfiy yarim tekislik nuqtalari uchun qutb
burchak
( − π ; 0 )
intervaldan qiymatlar qabul qiladi .
26

Demak, nuqtaning qutb koordinatalari bu qutb radiusi va qutb
burchagidir.Yuqorida tavsiflangan M
, M ≠ 0 nuqtaga uning qutb koordinatalari ( r
, φ
)
juftlikni mos qo'yuvchi akslantirishni qutb o'qi va musbat yarim tekislik bilan
aniqlanuvchi O
koordinatalar sistemasi deb ataladi. Tekisliklarda musbat yarim
tekislikni tanlash o rniga aylanishning musbat yo'nalishini tanlash
ʻ
mumkin.Tabiiyki, φ
qutb burchagi [0, 2)yarim intervaldagi qiymatlarni qabul qiladi

Agar tekislikda qutb koordinatalar sistemasi
¿φ berilgan bo lsa, u holda u ʻ
bo yicha to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi ham aniqlanishi tabiiydir. Bu
ʻ
koordinatalar sistemasining boshi qutb koordinatalar sistemasining boshi bilan
ustma-ust tushadi, abstsissalarning musbat yarim o'qi esa musbat yarim tekislikda
yotadi. Shunday qilib, hosil qilingan Oxy
to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasini
¿φ
qutb koordinatalar sistemasi bilan aniqlangan sistema deb ataymiz.
27

Aksincha, agar Oxy to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan bo'lsa,
u holda berilgan to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasining koordinata boshini
saqlab hamda qutb o'qi abstsissalar musbat yarim o'qi bilan ustma-ust tushishini
talab qilib, musbat yarim tekislik esa ordinatalari musbat nuqtalardan tashkil
topidi. Ixtiyoriy
M nuqtaning ( x,y ) to'g'ri burchakli koordinatalarini, uning ( r ,φ )
qutb koordinatalari bilan bog'lovchi formulalar o rinlidir:
ʻ
C= ¿
,
r=√x2+y2
sin φ= y
r= y
√x2+y2
cos φ= x
y= x
√x2+y2}
Fazoda qutb koordinatalar sistemasi .
Uni aniqlash uchun quydagi elementlar talab qilinadi :
1
° . Unda tanlangan qutb koordinatalar sistemasiga (keyingi o’rinlarda asosiy dep
yuritiladi)
O nuqtaning kelib chiqishi Ox qutb yarim o’qi (musbat yo’nalishi bilan
⃗
OE
) fazodagi barcha kesmalarning o’lchamlari uchun yagona masshtab sifatida
olinadi.
2
° .Asosiy tekislikkga perpendikulyar to‘g’ri chiziq Oz bo‘yicha tanlanganda uning
ikki vektoridan biri musbat bo’ladi. (bu bizga ushbu chiziqda kelib chiqishi
O
bo‘lgan koordinatalar tizimini ochib beradi) Asosiy tekislik bo‘shliqni ikki yarim
qismga ajratadi. Endi (fazoning har bir
M nuqtasi uchun Oz to‘g’ri chiziqda
28

yotmagan ) uning koordinatalari berilgan qutb koordinatalar sistemasida
aniqlangan ,xususan :
a) ρ
M nuqtaning qutb radiusi , yani |⃗ OM |
vektorning uzunligi ;bizda har doim
ρ > 0 ;

M =0 nuqta uchun ρ = 0 ;
b) φ
burchagi bu tekislikda berilgan qutb koordinata sistemasiga nisbatan M
nuqtaning koordinata boshiga ortoganal proekciyasi , M
0 uchun qutb
burchagi uzunligi 0 ≤ φ < 2 π
;
c)
M nuqtaning φ
kengligi - ⃗ OM
vektori va uning ⃗ O M
0 proekciyasi orsidagi
burchak bo’ladi , musbat hisoblangan bosh tekislikka , 0 ≤ φ < π
2 , musbat
yarim fazoning M
nuqtalari uchun va o’rinli va − π
2 ≤ φ ≤ 0
manfiy yarim
nuqtalar uchun o’rinli bo’ladi.
Fazodagi bir xil qutbli koordinatalar tizimi har bir M
nuqtaning koordinatalarini
yoki asosiy tekislikdan M
nuqtagacha bo’lgan balandlikni , yani M
1 nuqtaning
koordinatasini (ortoganal) aniqlash imkonini beradi.
Qutbli koordinatalar
tizimi unda ko'rsatilgan qutb
sistemasi tomonidan asosiy
tekislikda hosil qilingan Oxy
tekisligini va Oz
o'qidan iborat
to'rtburchaklar sistemani
belgilaydi.
Fazodagi ρ , φ , ψ ,
qutb
koordinatalarini va x , y , z
to’rtburchak koordinatalarini
29

bog’lovchi quydagi munosabatlar qiyinchiliksiz o’rnatiladi.x
= ρcos ψcos φ,
y
= ρcos ψsin φ
z
= ρsin ψ
Bu formulalar
x,y,z ni ρ,φ,ψ , teskari ifodalash imkonini beradi. M nuqtaning
silindrsimon va to’rtburchak koordinatalari o’rtasidagi munasabatlarga kelsak , bu
ikkala sistemada
z bir xil bo’lib , silindrsimon sistemaning φ , r o’rtasidagi va
to’rtburchaklar sistemasining
x,y raqamlari bizga quydagi formulalar orqali
allaqachon ma’lum bo’lgan.
x
= rcos φ , y = rsin φ .
XULOSA
Xulosa qilib aytadigan bo’lsak .Tekislikda va fazoda koordinatalar
sistemasi mavzusi bo’yicha juda ko’p ma’lumotlarga ega bo’ldik.
Bu kurs ishining maqsadi bo’limlardan iborat bo’lib ularda “Tekislikda
affin koordinatalar sistemasi”, “Fazoda affin koordinatalar sistemasi” , “Kesmani
berilgan nisbatta bo’lish” ,“Tekislik va fazoda to’rtburchak koordinatalar
sistemasi” , “Ikki vector orasidagi burchak” , “Vektor ko’patma” , “Skalyar
ko’paytma” , “Tekislikda va fazoda qutb koordinatalar sistemasi” mavzulari
batafsil bayon etilgan edi. Bu maqsadga erishish uchun oldindan bir qator
vazifalar belgilandi.Tekislikda va fazoda koordinatalar sistemasi mavzusini
yortib berishda asosan teoremalar, formulalar , chizilmalar metodidan
foydalandim.Ayrim teoremalarga asoslanib ularning isbotini ham keltirib
o’tganman.

30

FOYDALANGAN ADABIYOTLAR
1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -
М.: Наука, Главная редакция физико-ма тематической литературы, 1979, 512
с.
2. M . Dosanov , D . X . Turdiboyev , H . R . Umarovlar tarjimasi " Chiziqli algebra va
analitik geometriya elementlari ", o ' quv qo ' llanma 308 sahifa , Guliston 2021 y .
3. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. Учебное пособие/
Н. В. Ефимов М.: Физматлит., 2005. 326 с
4 .Погорелов А.В. Аналитическая геометрия/ А.В. Погорелов - М.:
Наука,1968. - 567 с
5. A. Narmanov “ Analitik geometriya kursi “ -2006
31

Tekislikda koordinatalar metodi. Tekislikda koordinatalar usuli

Sotib olish