Tengsizliklarni isbotlashning ba’zi usullari
![35. Haqiqiy a, b, c >0 sonlar uchun 6a 2
+4b 2
+5c 2
≥
5ab+7ac+3bc tengsizlikni
isbotlang.
36. Haqiqiy a, b, c >0 sonlar uchburchak tomonlari bo’lsa 1
b+c−a+¿ 1
a+c−b+¿
1
b + a − c ≥
1
b + 1
c + 1
a tengsizlikni isbotlang.
37. Haqiqiy a, b, c, d>0 sonlar abcd=1 shartni qanoatnlantirsa
a 2
+b 2
+c 2
+d 2
+ab+bc+ca+da+db+dc
≥10 tengsizlikni isbotlang.
39 ] Haqiqiy a, b, c >0 sonlar uchun (a+ 1
b − 1
) (b+ 1
c − 1
) (c+
1
a−1 ) ≤ ( 1 + abc
2
√ abc ) 3
tengsizlikni isbotlang.
40. Haqiqiy a, b, c >0 sonlar a+b+c=1 shartni qanoatlantirsa (1+
1
a ) (1+ 1
b ) (1+ 1
c )
≥ 64
tengsizlikni isbotlang.
41. Haqiqiy a
1 , a
2 ,… a
n >0 sonlar uchun a
1
a
2 + a
2
a
3 +…. + a
n − 1
a
1
≥n tengsizlikni
isbotlang.
42. Haqiqiy a, b, c, d ,e >0 sonlar uchun ( a
b ¿ ¿ 4
+ ¿
tengsizlikni isbotlang.
43. Haqiqiy a, b, c >0 sonlar uchun 1
a + 1
b + 1
c ≥ 1
√
ab + 1 √
bc + 1 √
ca tengsizlikni
isbotlang.
41](https://docx.uz/documents/0298dd4d-d343-456f-a8a7-652f8b9bd132/page_41.png?v=1)
![44. Haqiqiy a
1 , a
2 ,… a
n >0 sonlar uchun a
1 k
+ … + a
n k
n ≥ ( a
1 + … + a
n
n ) k
tengsizlikni
isbotlang.
45. Haqiqiy a
1 , a
2 ,… a
n , b
1 , b
2 ,… b
n >0 sonlar uchun √ a
1 + a
2 + … + a
n
√b1+b2+… +bn≥√a1b1+√a2b2+… √anbn
tengsizlikni isbotlang.
46. Haqiqiy a, b, c >0 sonlar uchun
∑ a2
(a+b)(a+c) ≥ 3
4 tengsizlikni isbotlang.
47. Haqiqiy a, b, c, k >0 sonlar uchun a
b + b
c + c
a ≥ a + k
b + k + b + k
c + k + c + k
a + k tengsizlikni
isbotlang.
48. Haqiqiy a, b, c, d>0 sonlar uchun a 2
b + b 2
c + c 2
d + d 2
a ≥ a + b + c + d
tengsizlikni
isbotlang.
49 Haqiqiy a, b, c >0 sonlar uchun
∑ (2a
b+c)
23≥3 tengsizlikni isbotlang.
50. Haqiqiy a, b, c >0 sonlar abc=8 shartni qanoatlantirsa
∑ a2
√(1+a3)(1+b3)
≥4
3
tengsizlikni isbotlang.
51. [ Cauchy-Schvarz ineqality] Haqiqiy a
1 , a
2 ,… a
n , b
1 , b
2 ,… b
n sonlar uchun (
a12+a22+… +an2¿(b12+b22+… +bn2)≥(a1b1+a2b2+… +anbn)2
tengsizlikni isbotlang.
42](https://docx.uz/documents/0298dd4d-d343-456f-a8a7-652f8b9bd132/page_42.png?v=1)
![52. [AM-GM inequality] Haqiqiy a
1 , a
2 ,… a
n≥0 sonlar uchun a1+a2+… +an
n ≥n√a1… an
tengsizlikni isbotlang.
53. Haqiqiy a
1 , a
2 ,… a
n , b
1 , b
2 ,… b
n >0 sonlar uchun
∑i=1
n ai
bi2≥ 1
a1+..+an
(∑i=1
n ai
bi
)
2
tengsizlikni isbotlang.
55. Haqiqiy a, b, c >1 sonlar 1
a + 1
b + 1
c = 1
shartni qanoatlsntirsa
√ a + b + c
≥
√
a − 1 + √ b − 1 + √ c − 1
tengsizlikni isbotlang.
56. Haqiqiy a, b, c, d >0 sonlar uchun
a
b+c+ b
c+d+ c
d+a+ d
a+b≥2 tengsizlikni
isbotlang.
57. Haqiqiy 1>a, b, c >0 sonlar uchun
3√abc +3√(1−a)(1− b)(1−c) ≤1 tengsizlikni
isbotlang.
58. Haqiqiy a, b, c >0 sonlar uchun
a
√a2+8bc
+¿ b
√b2+8ac
+¿ c
√
c 2
+ 8 ba ≥ 1
tengsizlikni isbotlang.
59. Haqiqiy a, b, c >0 sonlar a+b+c=1 shartni qanoatlantirsa 1
≥24 abc +a3+b3+c3
tengsizlikni isbotlang.
60. Haqiqiy a, b, c >0 sonlar uchun
a2
27 + b2
64 + c2
125 ≥(a+b+c)2
63 tengsizlikni isbotlang.
43](https://docx.uz/documents/0298dd4d-d343-456f-a8a7-652f8b9bd132/page_43.png?v=1)
Tengsizliklarni isbotlashning ba’zi usullari