Информация о документе

Цена 20000UZS
Размер 1.9MB
Покупки 4
Дата загрузки 13 Май 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Геометрия

Продавец

Abror Qamaraddinov

Дата регистрации 13 Май 2024

4 Продаж

To’liq va noto’liq tasvirlar

Купить
O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI NIZOMIY NOMIDAGI TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI “60110600 -MATEMATIKA VA INFORMATIKA” TA’LIM YO’NALISHI ,,Geometriya” fanidan KURS ISHI Mavzu : To’liq va noto’liq tasvirlar Bajardi : MI 204-guruh talabasi Kamaraddinov Abror Kurs ishi rahbari : Atamuradova Dilshoda Ravshanovna MUNDARIJA KIRISH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ASOSIY QISM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I BOB. To’liq va noto’liq tasvirlar 1.1. Asosiy tekislik usuli 1.2. Pozitsion masala II BOB. Yasashga doir masalalar 2.1. Yasashga doir masalalarni yechish usullari 2.2. Yasashga doir sodda masalalar 2.3. Tekislikda yasashga doir masalalar yechish bosqichlari XULOSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR VA ELEKTRON TA’LIM RESURSLARI RO’YXATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KIRISH Analitik geometriya kursida o’rganish metodlarining asosini koordinatalar metodi tashkil qiladi. Biz asosan figuralarni ularning tenglamalari yordamida o’rganamiz,ya’ni algebraik tenglamalarini o’rganish bilan shug’ullanamiz.Bu yerda algebraik metodlar asosiy rolni o’ynaydi. Biz asosan birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar bilan ish ko’ramiz. Analitik geometriya kursida o’rganiladigan geometrik figuralar sinfi unchalik kata bo’lmasa ham, birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar fan va texnikada juda kata rol o’ynaydi. Brinchi darajali algebraik tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar – to’g’ri chiziq va tekislikdir.Ushbu asosiy geometrik figuralar bilan biz elementar geometriya kursida tanishgan edik.Tekislikda ikkinchi tartibli tenglamalar ikkinchi tartibli chiziqlarni, fazoda esa ikkinchi tartibli sirtlarni aniqlaydi.Yuqoridagi misoldan ko’rinadiki, aylana ikkinchi tartibli chiziqdir. Fazoda ( x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 =0 tenglama bilan aniqlanuvchi nuqtalar to’plami esa sferadan iborat bo’lib, u ikkinchi tartibli sirtdir. Ushbu kurs ishi 4 ta bobdan iborat bo‘lib I bobda kirish, II bobda asosiy qism va ellipsoid va giperboloidlar,konus va uning kesimlari,paraboloid va silindrlar, keyin III bobda xulosa va IV bobda foydalanilgan adabiyotlar keltirilgan. I BOB. To’liq va noto’liq tasvirlar Asosiy tekislik usuli. Fazoviy figuralarning tasvirini yasash uchun N. F. Chetveruxin tomonidan taklif qilingan asosiy tekislik usuli deb ataluvchi metoddan foydalanamiz. Bu metod aksonometrik proyeksiyalash usulining bir turidir. Bu metod bilan tanishib chiqaylik. Fazoda birorta α' tekislikni ajratib, uni asosiy tekislik deb ataymiz. Biror yo’nalishni tanlab olib, A',B',C',… fazo nuqtalarini α' tekislikka parallel proyeksiyalab, α ' tekislikda A 1' , B 1' , C 1' , … nuqtalarni hosil qilamiz. Bu proyeksiyalash ichki proyeksiyalash deb ataladi (ichki proyeksiyalash markaziy proyeksiyalash ham bo’lishi mumkin). Keyin rasm (tasvir) tekisligi deb ataluvchi tekislik olib, A ' , B ' , C ' , … proyeksiyalarini, A'A1',B'B1',C'C1',… proyeksiyalovchi to’g’ri chiziqlarni biror yo’nalish bo’yicha biror tekislikka parallel proyeksiyalaymiz. Natijada, rasm tekisligida 8-chizmada ko’rsatilganidek tasvirlarga ega bo’lamiz. Bu yerda α tekislik α ' tekislikning, A , B , C , … nuqtalar A',B',C',… nuqtalarning, A1,B1,C1,… nuqtalar A 1' , B 1' , C 1' , … nuqtalarning, AA1,BB1,CC1,… to’g’ri chiziqlar proyeksiyalovchi A ' A 1' , B ' B 1' , C ' C 1' , … to’g’ri chiziqlarning tasvirlaridir. 8-chizma. A 1 , B 1 , C 1 , … nuqtalarning A , B , C , … nuqtalarning ikkinchi proyeksiyalari (tasvirlari) deb aytiladi, ba’zi hollarda A1,B1,C1,… nuqtalarni A,B,C ,… nuqtalarning asoslari deb ham aytiladi. Agar fazodagi birorta A' nuqtaning rasm tekisligidagi tasviri A va uning ikkinchi proyeksiyasi A 1 berilsa, nuqta rasm tekisligida berilgan deb aytiladi va A ( A 1 ) ko’rinishda yoziladi. Fazoda ikkita nuqtasi bilan aniqlangan A'B'=a' to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin. Agar rasm tekisligida A ( A ) va B ( B ) ( AB = a , A 1 B 1 = a 1 ) lar berilgan bo’lsa, to’g’ri chiziq rasm tekisligida berilgan deb aytiladi va a(a1) ko’rinishda yoziladi. Ixtiyoriy tekislik bir to’g’ri chiziqda yotmaydiga uchta A',B',C' nuqtalarning berilishi bilan, yoki kesishadigan a',b' to’g’ri chiziqlarning berilishi bilan, yoki parallel p',q' to’g’ri chiziqlarning berilishi bilan aniqlanadi ( p ' ≠ q ' ) (9-chizma). 9-chizma. Agar tekislikni aniqlovchi elementlarning rasm tekisligidagi tasvirlari va ikkinchi proyeksiyalari berilgan bo’lsa, tekislik rasm tekisligida berilgan deyiladi va β ( β 1 ) ko’rinishda yoziladi. Agar p' va q ' parallel bo’lsa, ularning p va q tasvirlari va ikkinchi proyeksiyalari p1 va q1 ham parallel bo’ladi (9-chizma). Agar l ' va m' to’g’ri chiziqlar ayqash bo’lsa, ularning tasviri 10-chizmada ko’rsatilganidek bo’ladi. 10-chizma. Fazodagi F 1' , F 2' figuralarning rasm tekisligida F1,F2 tasvirlari berilgan bo’lsin. F 1' , F 2' figuralarning kesishish nuqtasining tasvirlarini yasash masalasi pozitsion masala deb aytiladi. Bunday masalalar asosiy tekislik yoki aksonometrik metod yordamida oson yechiladi. Agar figuraning har bir nuqtasi rasm tekisligida berilgan bo’lsa, u holda bu figura tasvirini to’liq tasvir deb aytiladi. Aks holda noto’liq tasvir deyiladi. To’liq tasvir ta’rifidan quyidagi natijalar kelib chiqadi: 1) yassi figuralarning tasviri hamma vaqt to’liq; 2) agar tasvirning hamma elementlari aniqlangan bo’lsa, tasvir to’liq bo’ladi; 3) to’liq tasvirning ixtiyoriy ikki tekisligini asosiy tekisliklar deb olish mumkin. Endi to’liq tasvirlarda pozitsion masalalarni yechishga o’tamiz: 1-masala. AB to’g’ri chiziqning α tekislik bilan kesishgan nuqtasini yasang. AB to’g’ri chiziq bilan uning A1B1 proyeksiyasi kesishgan O nuqta izlangan nuqta bo’ladi (11-chizma). 11-chizma. 2-masala. ABC tekislikning α tekislik bilan kesishgan chizig’ini ( ABC tekislikning α tekislikdagi izini) yasang. Bu masalani yechish birinchi masalaga keltiriladi. AB ∩ A1B1=O1 , AC ∩ A 1 C 1 = O 2 nuqtalar yasab, izlangan O1O2 to’g’ri chiziqni topamiz (12-chizma). 12-chizma. 3-masala. ABC va MNP tekisliklarning kesishgan chizig’ini yasang. Tekisliklarning kesishgan to’g’ri chizig’ini yasash uchun bu tekisliklarga tegishi ikkita T , R nuqtalarni yasash yetarli. Asosiy tekislikdagi A1 nuqta orqali B1C1 , M 1 P 1 , M 1N1 to’g’ri chiziqlarni mos ravishda 4 1 , 5 1 , 6 1 nuqtalarda kesadigan to’g’ri chiziqni o’tkazamiz. Bu nuqtalar mos ravishda BC , MP , MN to’g’ri chiziqlarda yotuvchi 4, 5, 6 nuqtalarning asoslaridir. A 4 va 56 to’g’ri chiziqlar T nuqtada kesishadi (chunki u to’g’ri chiziqlar AA1 va 661 to’g’ri chiziqlar yordamida aniqlangan tekislikda yotadi). T nuqta ABC va MNP tekisliklarning har ikkalasida yotadi. Shunga o’xshash R nuqtani topamiz. TR izlangan to’g’ri chiziq (13-chizma). 13-chizma. 4-masala. ABC tekislik bilan MN to’g’ri chiziqning kesishish nuqtasini yasang. 1 1 , 2 2 – nuqtalar mos ravishda AB , AC to’g’ri chiziqlarda yotuvchi 1 va 2 nuqtalarning asoslari. MN va 12 to’g’ri chiziqlar M M 1 , N N1 to’g’ri chiziqlar bilan aniqlangan proyeksiyalovchi tekislikda yotadi, ular izlangan O nuqtada kesishadi. Uning asosi O1 nuqta M 1N1 to’g’ri chiziqda yotadi (14-chizma). 14-chizma. Shunday qilib barcha pozitsion masalalar bir qiymatli yechiladi. Rasm tekisligida fazoviy figura elementlarining tasviri va ikkinchi proyeksiyasining (asosining) berilishi sharti yetarli shart bo’lib qolmasdan, zaruriy shart ham ekanligini ko’rish qiyin emas. Fazoviy figuralarda kesimlarni yasash Markaziy proyeksiyalash. Yevklid fazosida α tekislik va shu tekislikdan tashqarida yotgan A ' nuqta berilgan deb faraz qilaylik (1-chizma). A' dan farqli ixtiyoriy S ( S ∉ α ) nuqtani tanlab olib, uni A ' nuqta bilan tutashtiramiz, hosil bo’lgan SA' to’g’ri chiziqning α tekislik bilan kesishgan nuqtasini A 0 bilan belgilaylik. A 0 nuqtani fazodagi A' nuqtaning α (proyeksiya) tekislikdagfi markaziy proyeksiyasi, S nuqta proyeksiyalar markazi, SA' chiziqni proyeksiyalovchi to’g’ri chiziq, α tekislikni esa proyeksiyalar tekisligi deyiladi. Yuqoridagi usul bilan F' figuraning α tekislikdagi F 0 proyeksiyasini yasaganimizdan keyin, uni o’xshash almashtirib, F' figuraning α tekislikdagi F tasvirini hosil qilamiz. Ba’zi hollarda o’xshash almashtirishga zaruruyat tug’ilmaydi, u holda F' figuraning α tekislikdagi proyeksiyasi uning tasviri bo’ladi. 1-chizma. Figura proyeksiyasining ko’rinishi proyeksiyalar tekisligining proyeksiyalar markaziga nisbatan joylanishiga bog’liqdir. Markaziy proyeksiyalashda kishi ko’zining ko’rish nurlari proyeksi-yalovchi nurlarga mos kelganligi sababli tasvir yaqqol ko’rinadi. Markaziy proyeksiyalar bo’yicha figuraning haqiqiy shakli va o’lchamlarini aniqlash qiyin va noqulay. Shuning uchun bu usuldan ko’pgina yirik inshootlarning umumiy ko’rinishlarini tasvirlashda foydalaniladi. Markaziy proyeksiyalash usuli bilan yasalgan tasvir proyektiva va bu usul bilan shug’ullanuvchi fan ham perspektiva deb ataladi va u chizma geometriyaning maxsus bo’limidan biri hisoblanadi. Parallel proyeksiyalash. Parallel proyeksiyalashni markaziy proyeksiyalashning xususiy holi deb qarash mumkin. Bunda, proyeksiyalash markazi S biror M 'N ' to’g’ri chiziq yo’nalishi bo’yicha harakatlanib, proyeksiyalar tekisligidan cheksiz uzoqlashgan deb faraz qilamiz (2-chizma). Bu yerda M 'N ' chiziq proyeksiyalash yo’nalishi deyiladi. 2-chizma. Fazoda olingan biror F' figurani α tekislikka proyeksiyalash uchun F' figuraning har bir nutasi orqali M ' N ' yo’nalishga parallel qilib proyeksiyalovchi to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziqlarning α tekislik bilan kesishgan F 0 nuqtalar to’plami F ' figuraning α tekislikdagi parallel proyeksiyasi deb ataladi. Agar F0 figuraning o’xshash almashtirsak, F' figuraning α tekislikdagi F tasviri hosil bo’ladi. Parallel proyeksiyaning ko’rinishi va o’lchamlarining o’zgarishi faqat proyeksiyalar tekisligining proyeksiyalash yo’nalishiga nisbatan qanday joylanishiga bog’liq. Proyeksiyalovchi to’g’ri chiziqlarning proyeksiyalar tekisligiga nisbatan qanday yo’nalishda bo’lishiga qarab, parallel proyeksiyalash qiyshiq burchakli va to’g’ri burchakli bo’ladi. Agar proyeksiyalash yo’nalishi proyeksiyalar tekisligi bilan o’tkir burchak tashkil qilsa, bunday parallel proyeksiyalash qiyshiq burchakli burchakli deb aytiladi. Agar proyeksiyalash yo’nalishi proyeksiyalar tekisligi bilan to’g’ri burchak tashkil qilsa, bunday parallel proyeksiyalash to’g’ri burchakli yoki orthogonal priyeksiyalash deyiladi. Bunday proyeksiyalashda proyeksiyalash yo’nalishi ko’ratilmaydi, chunki bir nuqtadan tekislikka faqat bitta perpendicular to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin. Figuraning parallel proyeksiyalashdagi tasviri asosan quyidagicha hosil qilinadi: 1) berilgan fazoviy figuraning barcha nuqtalari berilgan yo’nalishda α tekislikka proyeksiyalanadi; 2) proyeksiya tekisligida hosil qilingan figura o’xshash almashtiriladi. Bu ikki qadamni bajargandan keyin berilgan fazoviy figuraning tasviri hosil etiladi. Bundan ko’riadiki, tasvirdagi har bir nuqta umuman olganda, originaldagi mos nuqtaning proyeksiyasi bo’lmaydi. Ikkinchi qadam bizga kerakli o’lchamlardagi chizmani hosil qiishga imkon beradi. Ba’zi hollarda ikkinchi qadamni bajarishga zaruriyat tug’ilmaydi, u holda F' figuraning α tekislikdagi proyeksiyasi uning tasviri bo’ladi. Umuman aytganda, ikkinchi qadam ishning mohiyatini o’zgartirmaydi. Parallel proyeksiyalash usuli hosil qilingan tasvir to’g’ri, ya’ni originalga munosib va yetarlicha ko’rgazmalidir. Bunday tasvir, markaziy proyeksiyalash usuli bilan hosi qilingan tasvirga nisbatan soddaroq yasaladi. Shuning uchun maktabda o’qitiladigan geometriya kursi bo’yicha tasvirni yasashda parallel proyeksiyalash usulidan foydalaniladi. Ikki tekislikning perspektiv-affin mosligi. s to’g’ri chiziq bo’yicha kesishuvchi ikkita α' , α tekisliklar va bu tekisliklarni kesuvchi l yo’nalish berilgan bo’lsin. Parallel proyeksiyalash usuli bilan α' , α tekisliklar nuqtalari orasida bir qiymatli moslik o’rnatamiz(3- chizma). Bunday moslikni perspektiv-affin mosligi yoki jinsdosh moslik deyiladi. Bu moslikda ixtiyoriy ikkita mos A' , A nuqtalarni birlashtiruvchito’g’ri chiziqlar l yo’nalishga parallel bo’ladi. 3-chizma. Endi perspektiv-affin mosligining xossalari bilan tanishib chiqaylik. (Buni parallel proyeksiyalash xossalari deb ham yuritiladi.) Avvalo, ikkita tekislikning kesishgan chizig’ining har bir nuqtasi bunday moslikda o’z-o’ziga o’tishini eslatib o’tishimiz lozim. 1. Perspektiv-affin mosligida kollinear nuqtalar yana kollinear nuqtalarga o’tadi. 2. Agar A nuqta a to’g’ri chiziqda yotsa, bu nuqta va shu to’g’ri chiziq bir-biriga insident deyiladi. Nuqta va tekislikning, to’g’ri chiziq va tekislikning insidentligi shunga o’xshash aniqlanadi. 2. Perspektiv-affin mosligida nuqta va to’g’ri chiziqing insidentligi saqlanadi. 3. Perspektiv-afin mosligida parallel to’g’ri chiziqlar yana parallel to’g’ri chiziqlarga o’tadi(3-chizma). 4. Perspektiv-affin moslikda uchta nuqtaning oddiy nisbati saqlanadi. Haqiqatan ham, α tekislikdagi kollinear uchta A , B , C nuqtaga α ' tekislikda A' , B' , C ' nuqtalar mos keladi. AA ' , BB ' , CC ' proyeksiyalovchi to’g’ri chiziqlar parallel, shuning uchun ushbu tenglikni tuza olamiz AC CB = A ' C ' C ' B ' , ( ABC ) = ( A ' B ' C ' ) . Tekislikdagi perspektiv-affin almashtirish. Tekisliklardan birini s to’g’ri chiziq atrifida aylantiraylik, aylanayotgan tekislik qanday vaziyatda bo’lishidan qat’iy nazar proyeksiyalovchi AA ' , BB ' , CC ' to’g’ri chiziqlar parallelligicha qolaveradi. Jumladan α , α' tekisliklar ustma-ust tushgan holda ham (4-chizma). Bu holda α tekislikni α ' tekislikka perspektiv akslantirishni bitta α= α' tekislik nuqtalarini o’z-o’ziga akslantirish deb qarash mumkin. Bunday perspektiv-affin akslantirishni perspektiv-affin almashtirish deb aytiladi. s to’g’ri chiziqni almashtirish o’qi deb yuritiladi. Bu hol tasvirlash matodlarini o’rganishda muhim ahamiyatga ega. Tekislikni perspektiv-affin almashtirish bir juft mos ( A , A ' ) nuqtalarning va s o’qning berilishi bilan to’la aniqlanadi. 4-chizma. 5-chizma. Haqiqatan ham, bizga bir juft (A,A') nuqtalar va s o’q berilgan bo’lsin (A∉s,A'∉s) . U holda tekislikka qarashli ixtiyoriy B nuqtaning obrazini yasashimiz mumkin(5-chizma). Buning uchun AB to’g’ri chiziqni o’tkazib, uning s to’g’ri chiziq bilan kesishgan nuqtasini X bilan belgilaylik, AX to’g’ri chiziqning obrazi A ' X to’g’ri chiziqdir. Izlangan nuqta A ' X va B nuqta orqali AA ' to’g’ri chizig’iga parallel qilib o’tkazilgan g to’g’ri chiziqda yotishi shart. Demak, B nuqtaga jinsdosh B ' nuqta g to’g’ri chiziq bilan A ' X to’g’ri chiziqning kesishgan nuqtasi bo’ladi. Ikkita jinsdosh figuralardan har birini ikkinchisidan parallel proyeksiyaash usuli bilan hosil qilingan deb qarash mumkin. Sirkul va chizg`ich yordamida yasash aksiomalari Konstruktiv geometriya . Nuqtalarning har qanday to`plami figura deb atalishi ma`lum. Ma`lum talablarga javob beruvchi figurani bir yoki bir nechta yasash qurollari ( chizg`ich, sirkul, chizmachilik uchburchagi va boshqalar) yordamida yasashni talab etgan masala konstruktiv masala deyiladi. Chizg`ich, sirkul, uchburchakli chizg`ich va transporter yordamida yechiladigan tekislikdagi har qanday konstruktiv masalalarni faqat sirkul va chizg`ich vositasida yechish mumkin. Shuning uchun boshqa yasash qurollarining qolganlaridan foydalanmasa ham bo`ladi. Konstruktiv geometriya aksiomalari. Konstruktiv geometriyada geometric figurani “yasash” deganda uning barcha elementlarini topishni tushuniladi. Geometriyaning yasashga doir asosiy talablarni tegishli aksiomalar orqali ifoda qilinadi. Konstruktiv geometriya masalalarini ixtiyoriy qurollar vositasida yechishda quyidagi aksiomalar o`rinli deb qabul qilinadi. 1. Berilgan, F 1 F 2 . . . .Fk figuralarning har biri yasalgan. Bu yerda “berilgan figura” va “figura aniqlangan” tushunchalarini ajratib yubormaslik kerak. Agar biror”figura berildi”deb aytilsa, bu figura tasvirlangan, chizilgan, ya`ni yasalgan deb tushunish kerak. Agar biror “figura aniqlangan” deb aytilsa, bu ibora orqali figuraning o`zi berilmagan bo`lib, faqat figuraning vaziyatini aniqlaydigan elementlar berilgan degan ma`noni tushunmoq kerak. Masalan, to`g`ri chiziqning ikki nuqtasi berilgan bo`lsa, bu nuqtalarni birlashtiradigan yagona to`g`ri chiziq mavjud, ya`nib u to`g`ri chiziq o`zining ikki nuqtasi bilan aniqlangan, biroq bu to`g`ri chiziq o`zining ikki nuqtasi bilan aniqlangan, biroq bu to`g`ri chiziq yasalmagan(chizimagan) uni yasash kerak. 2. Ikkita figura yasalgan bo`lsa, u holda bu figuralarning birlashmasi ham yasalgan . 3. Ikkita F 1 va F 2 yasalgan bo`lib, ularning kesishmasi bo`sh bo`lmasa, ularning F1∩ F2 kesishmasi yasalgan bo`ladi. 4. Agar F 1 va F 2 figuralar yasalgan va F 1 ≠ F 2 bo`lsa F 1 / ¿ F 2 figura yasalgan bo`ladi. 5. Agar F figura yasalgan bo`lsa bu figuraga qarashli nuqtani yasash mumkin. Biz Yevklid tekisligiga taalluqli yasashga doir masalalar bilangina shug`ullanamiz. Tekislikda yasashga doir masalalarni yechishda yasash qurollaridan odatda chizg`ich va sirkul ishlatiladi. Yasashga doir masalalarni chizg`ich va sirkul yordamida yechishda chizma praktikasida qo`llaniladigan chizg`ich va sirkul emas, balki abstract chizg`ich hamda sirkul e`tiborga olinadi. Bu qurollarning konsttruktiv imkoniyatlari quyidagi ikkita aksioma orqali ifoda qilinadi. 6. Agar A, B nuqtalar (A ≠ B) belgilangan bo`lsa, AB nurni yasash mumkin. 7. Agar O nuqta va AB kesma yasalgan bo`lsa markazi O nuqtada va radiusi r=AB bo`lgan aylanani chizish mumkin. Bu aylanani S(o,r)ko`rinishida belgilaymiz. Tekislikda yasashga doir masalalar yechish bosqichlari Tekislikda yasashga oid masalalarni sirkul va chizg`ich yordamida yechishda geometrik tushuncha, xossa va xususiyatlarga tayanib ish ko`ruvchi to`g`irlash, geometrik o`rinlar, simmetriya, parallel ko`chirish, o`xshashlik yoki geometriya inversiya hamda algebraik tushuncha, xossa va xususiyatlarga tayanib ish ko`ruvchi algebraik metodlardan foydalaniladi. Yasashga oid geometrik masalalarni yechish jarayoni qaysi metod bilan amalga oshirilishidan qat`iy nazar, u bir qancha bosqichlarda bajariladi va tekislikda yasashga oid masalalarni yechish bosqichlari deb yuritiladi. Bular, tahlil, yasash va isbot va tekshirish bosqichlari bo`lib, har bir bosqich masala yechish jarayonida ma`lum bir maqsadni amalga oshirishni nazarda tutadi. Tahlil bosqichi: masala yechishning eng muhim, ijodiy bosqichi bo`lib bunda yasalishi lozim bo`lgan F figura, masala talablariga mumkin qadar to`la javob beradigan darajada taxminan chizib olinadi. Tahlil rasmida masala shartida berilganlar bor yo`qligi aniqlanadi, agar ular rasmda aks etmagan bo`lsa qo`shimcha chizib olinadi. Natijada asosiy ya`ni yasalishi lozim bo`lgan figura bilan hamjihatlikda bo`lgan bir qancha yordamchi figuralar hosil bo`ladi. Yordamchi figuralarda masala shartida berilganlar bilan bir qatorda, izlangan ya`ni yasalishi lozim bo`lgan asosiy figuraning nuqtalari ham joylashadi. Shu tariqa berilganlar va izlanganlar orasidagi bog`lanishlarni o`rnatish natijasida asosiy figurani yasash imkoniyatlari axtariladi va aniqlanadi. Yasash mumkin bo`lgan yordamchi figura orqali izlangan figurani yasashga o`tiladi. Yasash bosqichi: tahlil bosqichida aniqlanganlarni amaliy jihatdan bajarilishini nazarda tutadi. Bunda yasalishi mumkin bo`lgan yordamchi figuralar yasash vositalari yordamida yasaladi va ular orqali yasalishi lozim bo`lgan asosiy figuraning nuqtalari va elementlari yasab olinadi. Isbot bosqichi: masla yechimining sinash bosqichi bo`lib tahlil bosqichida taxminan chizib olingan asosiy figura bilan yasash bosqichida yasalgan figuraning masala shrtlariga javob berishi isbotlanadi. Tekshirish bosqichi: masala yechishning yakunlash bosqichi hisoblanib, unda masala shartida belgilanganlarga asosan figura yasash mumkinmu?, agar mumkin bo`lmasa berilganlarni qanday tasnlash lozim qanday hollarda yechim mavjud, berilganlarga asoslanib nechta yechimga ega ekanligi aniqlanadi. 3. Yasashga doir masalalarni yechish usullari va yasashga doir sodda masalalar Odatda yasashga doir geometrik masalalarni yechishda masala yechilishini osonlashtirish va to`la yechimni ta`minlash maqsadida yuritiladigan muhokama aniq bir umumiy sxemada olib boriladi. Bu sxema quyidagi 4 ta bosqichdan iborat: ANALIZ. Analiz konstruktiv masalalarni yechishning dastlabki tayyorlov bosqichidir. Bu bosqichning asosiy vazifasi masalani yechilishi oldindan ma`lum bo`lgan masalalarga ajratish va ularning yechilishi tartibini aniqlashdan iborat. Bundan tashqari, masala yechildi deb faraz qilinib, izlangan va berilgan figuralar masala talabiga mumkin qadar to`laroq javob beradigan tarzda taxminan chizib qo`yiladi. So`ngra kerakli geometrik faktlardan foydalanib, so`raglan va berilgan figura orasidagi bog`lanishlar aniqlanadi va figuraning qaysi elementni qay tartibda yasash mumkinligi belgilanadi. Shunday qilib, izlangan figuraning yasash plani tuziladi. So`ralgan va berilgan figura elementlari orasidagi bog`lanishni topishni osonlashtirish uchun odatda yordamchi figuradan foydalaniladi. Yordamchi figura shunday bo`lishi kerakki, uni berilganlarga asosan yasash va undan izlangan figuraga o`tish mumkin bo`lsin. YASASH. Masalada so`raglan figurani toppish uchun kerak bo`lgan asosiy yasashlar ketma- ketligi analiz bosqichida tuzilgan plan asosida, chizg`ich va sirkul yordamida hosil qilinadi. Isbot. Bu bosqichda yasalgan figura masalada izlangan figura ekanligi isbot qilinadi, ya`ni uning masalada berilgan barcha shartlarga javob berishi isbotlanadi. Isbotlash yasashda bajarilgan ishlarga ve tegishli geometriya teoremalariga asoslanadi. TEKSHIRISH. Yasashga doir masalalarni to`la yechish uchun quyidagi savollarni oydinlashtirish kerak: 1. Masalada berilgan elementlarni ixtiyoriy tanlab olganda ham masala yechimga ega bo`ladimi, agar berilgan elementlar ixtiyoriy tanlab olinganda masala yechimga ega bo`lmasa, u holda qanqanday tanlab olganda masala yechimga ega bo`ladi, qanday hollarda yechimga ega bo`lmaydi? 2. Berilgan elementlar imkoniyati boricha tanlab olinganda masala nechta yechimga ega bo`ladi? Bu savollarga javob berish uchun yasashning borishini tekshirish kerak. Bu degan so`z, yasash bosqichida bajarilgan eng sodda va asosiy yasashlarni birin- ketin yana bir bor tekshirish kerak hamda bu masalalarni hamma vaqt yechish mumkinmi, yechish mumkin bo`lsa, nechta yechim borligini aniqlash kerak. Yasashga doir masalalarni bosqichlab yechish masalani to`g`ri yechishning garovidir. Lekin shuni sedan chiqarmaslik kerakki, har qanday masalani yechishda ham bu to`rtta bosqichga qat`iy roiya qilish shart emas. Masalaning og`ir yengilligiga, soda- murakkabligiga qarab, bu bosqichlarning ba`zilariga to`xtalmasdan ketish ham mumkin. 1- Masala : Bir kateti va ikkinchi katetiga o`tkazilgan medianasi berilgan to`g`ri burchakli uchburchak yasang. ANALIZ. Izlanuvchi uchburchak topildi deb faraz qilib, uni taxminan chizib qo`yaylik. 3.1 chizmadagi ABC- izlanuvchan ucburchak va uning berilgan elementlari BC=α BD=m va burchak C= 90 0 bo`lsin. Bu uchburchakni yasash uchun uning A, B va C uchlarini toppish kerak. BC= α tomoni berilgani uchun uning B va C uchlari ma`lum. A uchi uchburchak AC va AB tomonlarning kesishish nuqtasi bo`lsa ham bu tomonlar noma`lum bo`lgani uchun ular yordamida A nuqtani bevosita topib bo`lmaydi. Shuning uchun to`g`ri burchakli uchburchak BCD ni qaraymiz. Uning BC kateti, BD gipotenuzasi va burchak C= 90 0 berilgani uchun uni yasash mumkin. Berilishiga ko`ra BD kesma median abo`lgani uchun, AD=CD. Shunung uchun uchburchak BCD ning CD kateti davomida unga teng kesma olib, A nuqtani olish mumkin. So`ngra A va B nuqtalarni tutshtirsak, uchburchak ABC hosil bo`ladi. 3.1-Chizma. Demak, masala shartida berilganlar bo`yicha to`g`ri burchakli uchburchak BCD ni yasab uning yordamida izlanuvchi uchburchak ABC ga o`tish mumkin ekan. Masala yechishda foydalanilgan uchburchak BCD yordamchi figura bo`ladi. Yechimning yasash, isbotlash va tekshirish bosqichlari o`z- o`zidan ravshan bo`lgani uchun ular ustida to`xtashga ehtiyoj yo`q. 2-Masala: Parallelogramni uning bir uchidan chiquvchi ikki to`g`ri chiziq bilan uchiga tengdosh bo`lakka bo`ling. ANALIZ. Berilgan parallelogram ABCD va masalaning talabiga javob beruvchi to`g`ri chiziqlar AX va AY (2.2 chizma) deb faraz qilaylik ( X va Y to`g`ri chiziqlarning parallelogram tomonlari bilan kesishish nuqtalari). Masala shartiga muvofiq△ AB X yuzi =□AXC Yyuzi = △ BY D yuzi Yoki S1 = S 2 = S 3 (1) Izlanuvchi to`g`ri chiziqlarni topish uchun X va Y nuqtalarni topish kifoya. Bu nuqtalarni topishda ularning parallelogram tomonlarida yotishidan va AC dioganal parallellogrammni ikkita teng uchburchakka bo`lishidan foydalanamiz. 3.2– Chizma. Chizmadan: △ ABCyuzi = △ AD C yuzi yoki S1 + S4 = S3 + S5 (2) Bundan (1) ga asosan S4 = S5 S4 + S5 = S2 bo`lgani uchun: S4 = 1 2 S2 = 1 2 S 1 (3) S5 = 1 2 S 2 = 1 2 S 3 (4) Parallellogrammning A uchidan BC- tomoniga o`tkazilgan balandlikni h bilan belgilab, uchburchaklar yuzlari uchun quyidagi ifodalarni yoza olamiz: S1 = 1 2 BX ∙ h ; S4 = 1 2 CX ∙ h . Bu ifodalarni S4 = 1 2 S1 tenglikka qo`ysak: 1 2 CX ∙ h = 1 2 ( 1 2 BX ∙ h ) Bundan esa: CX = 1 2 BX. (5) Xuddi shu yo`l bilan CY = 1 2 DY ekanligi aniqlanadi. Bulardan quyidagilar ma`lum bo`ladi: CX = 1 3 BC, CY = 1 3 CD (6) 2.3-chizma Demak, izlanuvchi to`g`ri chiziqlarni aniqlashda yordam beruvchi X va Y nuqtalarni topish uchun berilgan parallellogrammning CB va CD tomonlarini teng uch bo`lakka bo`lish kerak. Bundagi X va Y nuqtalar yordamchi figura bo`ladi. YASASH. Berilgan ABCD parallellogramning CB va CD tomonlarini har birini teng uch bo`lakka bo`lamiz. C uchidan boshlab hisoblanganda tomonning uchdan bir bo`lagini ko`rsatuvchi nuqtalar izlangan X va Y nuqtalar bo`ladi. So`ngra parallellogramning A uchini topilgan X va Y nuqtalar bilan tutashtiramiz; AX va AY to`g`ri chiziqlar parallellogrammni izlangan tengdosh bo`laklarga bo`ladi. ISBOT. Yasashga ko`ra quyidagilar ma`lum: BM = MX = XC; DN = NY = YC. Budan: BX = 2 XC, DY = 2 YC. (7) (7)dan ABX uchburchakning yuzi S1 AXC uchburchakning yuzi S4 dan ikki marta katta. ADY uchburchakning yuzi S 3 esa AYC uchurburchakning yuzi S5 dan ikki marta katta ekanligi ravshan: S1 = 2 S4 S 3 = 2 S5 . (8) Parallelogramning AC dioganali uni teng ikki uchburchakka bo`lishini e`tiborga olib, quyidagilarni yoza olamiz: △ AB Cyuzi = △ AD C yuzi Bundan; S1 + S4 = S 3 + S5 (9) Agar S1 va S5 ning (8) dagi qiymatlarini (9) ga qo`ysak, quyidagi tenglikka ega bo`lamiz: 2 S4 + S4 = 2 S5 + S5 ; 3 S4 = 3 S5 Bundan: S 4 = S 5 (10) Bundan tashqari, (8) dan S1 = 2 S4 S3 = 2 S5 va (10) dan S4 = S5 bo`lgani uchun S1 = S 3 (11) Chizmadan esa S4 + S5 = S2 (8) va (11) da S 4 = S 5 = 1 2 S1 = 1 2 S 3 Demak, S1 = S 2 = S 3 TEKSHIRISH. Berilgan parallellogrammning shakli va kattaligi har qanday bo`lsa ham bu masala yechimga ega bo`ladi, chunki parallellogrammning tomonlarini hamma vaqt teng uch bo`lakka bo`lish mumkin va tomonning uchdan bit bo`lagini ko`rsatuvchi nuqta bitta bo`lgani uchun yechim ham bitta bo`ladi. 3-Masala : Uch tomoni berilgan uchburchak yasang . ANALIZ. Masala yechildi deb faraz qilib, izlangan uchburchakni taxminan chizib qo`yamiz. (3.4 chizma) Bunda BC = a, AC = b, AB = c. Agar, a kesma yasalsa uning B va C uchlari ABC uchburchakning ikki uchi bo`ladi. Endi uchinchi A uchining qayerda yotishini aniqlash qoladi. Buning uchun A nuqtaning quyidagi ikki xossasiga e`tabor qilamiz: 1) A nuqta B nuqtadan berilgan c masofada yotadi, demak, u B nuqtani markaz qilib c kesmaga teng radius bilan chizilgan aylanada yotar ekan, 3.4-chizma 3.5-chizma 2) Ikkinchi tomondan shu A nuqta C nuqtadan berilgan b masofada yotadi, demak, u C markazdan b kesmaga teng radius bilan chizilgan aylanada yotar ekan, 3) Shunday qilib, uchburchakning izlangan A uchi bu ikki aylana yoylarining kesishish nuqtasi bo`ladi. YASASH. Ixtiyoriy MN to`g`ri chiziqda berilgan tomonlardan biriga masalan, a kesmaga teng qilib, BC kesma ajratamiz (3.5 chizma). Bu kesmaning B uchini markaz qilib c ga teng radius bilan va C uchini markaz qilib, b ga teng radius bilan ikkita yoy chizamiz. Bu yoylar kesishgan A( yoki A1 ) nuqtani B va C nuqtalar bilan tutashtirsak, talab etilgan ABC uchburchak hosil bo`ladi. ISBOT. Yasashga ko`ra, BC = a AC= b va AB = c bo`lgani uchun ABC uchburchak masalaning talabiga javob beradi. TEKSHIRISH. Berilgan kesmalar b – c ¿ a ¿ b + c munosabatda bo`lgandagina uchburchak yasash mumkin. Yasash natijasida ikkita ABC va A 1 BC uchburchak hosil bo`lsada, bular o`zaro teng bo`lgani uchun masalaning javobi sifatida bulardan bittasi olinadi. Eslatma: Yasashni b yoki c tomondan boshlasa ham yuqoridagi kabi uchburchaklar hosil bo`ladi. 3-masala: Berilgan burchakni teng ikkiga bo`ling, ya`ni burchakning bissektrisasini chizing. ANALIZ. NOM burchakni teng ikkiga bo`luvchi OP nur topildi deb faraz qilaylik. 3.6 - chizma 3.7- chizma Bu farazga binoan quyidagi tengliklar to`g`rib o`ladi: ∠ MOP = ∠ NOP = ∠NOM 2 (1) OP nurning ixtiyoriy C nuqtasidan berilgan burchakning tomonlariga perpendikulyar o`tkazaylik.(3.7. chizma) CA ⊥ OM va CB ⊥ ON. (2) (A va B nuqtalar – burchak tomonlari bilan perpendikulyarning kesishish nuqtalari). Hosil bo`lgan ikkita to`g`ri burchakli OAC va OBC uchburchaklar o`zaro teng, chunki ularda OC gipotenuza umumiy va farazimizga binoan bittadan o`tkir burchaklari o`zaro teng ( ∠ 1= ∠ 2). Shuning uchun: OA= OB va AC= BC (3) Demak, A va B nuqtalar berilgan burchakning O uchidan teng uzoqlikda, C nuqta esa AB kesmaning o`rta perpendikulyarida yotadi. C nuqtaning bu xossasidan OP nurni yasash yo`li ma`lum bo`ladi. C nuqta OP nurning ixtiyoriy nuqtasi bo`lgani uchun quyidagi xulosaga kelamiz burchakning bissektrisasidagi nuqta shu burchak tomonlaridan teng masofada yotadi (to`g`ri teorema). YASASH. 1) berilgan burchakning O uchini markaz qilib, ixtiyoriy radius bilan yoy chiziladi(4.1 chizma). bu yoy burchak tomonlarini A va B nuqtalarda kesib o`tadi. 2) AB kesmani teng ikkiga bo`lish uchun uning o`rta perpendikulyarida yotuvchi C va C, nuqtalar topiladi. 3) C va C, nuqtalardan to`g`ri chiziq o`tkaziladi. Eslatma: Odatda bunda aytilgan ikki nuqtadan birini topib, uni berilgan burchakning O uchi bilan tutashtirib, izlanuvchi bissektrisa hosil qilinadi. To`g`irlash metodi . Bir to`g`ri chiziqda yotmagan kesmalarning, masalan siniq chiziq bo`g`inlarining algebrai k yig`indisiga teng kesma yasash, ke smalarni to`g`irlash deb ataladi. To`g`irlashdan foydalanib masala yechish yasashda to`g`irlash metodi deyiladi. To`g`irlash metodi bilan masala yechishda yuqorida ko`rilgan bosqichlab yechish usulidan to`la foydalaniladi. Yasashga doir masaladagi ma`lum elementlar qatorida izlangan figura chiziqli noma`lum elementlarning yig`indisi yoki ayirmasi berilgan bo`lsa, bunday masala to`g`irlash metodi bilan oson yechiladi. 4-masala: Asosi unga yopishgan bir burchagi va yon tomonlarining ayirmasi berilgan uchburchak yasang. Bu masalani yechishda quyidagi ikki holni qaraymiz. I. Asosidagi burchaklarini kichigi berilgan hol. II. Asosidagi burchaklardan kattasi berilgan hol. Birinchi hol. ANALIZ. Izlangan uchburchak 3.8 - chizmadagi ABC uchburchak deb faraz qilinadi. Berilgan r kesmani (ayirmani) bu uchburchakda ko`rsatish uchun uning AC tomoni ustiga (A uchidsn boshlab) AB=AD tomonini qo`yamiz, bunda AC-AB=AC-AD=DC=r hosil bo`ladi. 3.8 -chizma 3.9 -chizma D nuqtani B nuqta bilan tutashtirishdan hosil bo`lgan BCD uchburchakning yordamchi figura bo`la olishini isbot qilamiz. Berilgan BC=a, CD=r tomonlar va ular orasidagi C burchak bo`yicha BCD ucburchak yasash mumkin. Bu BCD uchburchak yordamida izlanuvchi ABC uchburchakni yasash mumkin; buning uchun ABC uchburchakning A uchini toppish kerak. A nuqta ayni vaqtda teng yonli BAD uchburchakning uchidir. Bu uchburchakning uchini toppish uchun BD kesmaning o`rta perpendikulyari (MN) ni chizib, uni CD ning davomi bilan kesishtiramiz; topilgan A nuqtani B nuqta bilan tutashtirsak, izlanuvchi ABC uchburchak hosil bo`ladi. YASASH. Analizda tuzilgan plan bo`yicha yasasak 3.9 -chizmadagi ABC uchburchak hosil bo`ladi (yasash tartibi chizmada raqamlar bilan ko`rsatilgan). ISBOT. 3.9-chizmada yasalgan ABC uchburchak masalaning talabiga javob beradi, chunki yasalishicha BC=α ∠ ACB= ∠ C= α bo`lib, AB=AD, ya`ni AC-AB=AC- AD=DC=r. TEKSHIRISH. Izlanuvchi ABC uchburchakning mavjud bo`lish bo`lmasligi A uchining mavjudligiga bog`liqdir. A nuqtaning mavjudligi esa BD kesmaning o`rta perpendikulyari MN to`g`ri chiziq bilan CD kesma davomining kesishish yoki kesishmasligiga bog`liq; bu esa ABC uchburchakning B uchidan AC tomoniga BH perpendikulyar tushirishdan hosil bo`lgan to`g`ri burchakli BHC uchburchakning CH kateti bilan CD=r kesmaning hamda r bilan α kesmning nisbiy qiymatlariga bog`liqdir. To`g`ri burchakli uchburchakning CH= αcos C munosabatni yozib, quyidagi xollarni qaraymiz. 3.10-chizma 1) Agar 3.9 -chizmadagi kabi CD < CH, ya`ni r < αcos C bo`lsa, MN o`rta perpendikulyar CD ning davomi bilan biror nuqtada kesishib, izlangan A nuqtani hosil qiladi; bu ikki to`g`ri chiziqning kesishuvini to`g`ri burchakli BHD uchburchakdagi BDH burchakningo`tkir burchak bo`lishi bilan asoslash mumkin. Demak, bu holda masala yechiladi va bitta uchburchak hosil bo`ladi. 2) Agar, CD=CH, ya`ni αcos C bo`lsa, BD tomon BH bo`ladi. Shuning uchun MN o`rta perpendikulyar bilan CD tomonining davomi o`zaro kesishmaydi; demak, bu holda masala yechimga ega bo`lmaydi. 3) Agar 3.10- chizmadagi singari CH<CD<CB, ya`ni αcos C <r<a bo`lsa, BD kesmaning o`rta perpendikulyari bo`lgan MN to`g`ri chiziq CD kesmaning C uchidan nariga o`tkazilgan davomi bilan kesishib A nuqtani hosil qiladi. Lekin bu A nuqtani B nuqta bilan tutashtirgandan keyin hosil bo`ladigan ABC uchburchakda r=CD=AD - AC = AB – AC=c – b bo`lsada, ∠ ACB≠α dir, ya`ni masalaning bitta talabiga javob bersada, uning ikkinchi talabiga javob bera olmaydi. Shuning uchun bu holda ham masala yechimga ega bo`lmaydi. 4) Agar r > α bo`lsa, uchburchak hosil bo`lmaydi, chunki bus hart uchburchakning mavjudlik shartiga to`g`ri kelmaydi. Ikkinchi hol. ANALIZ. Izlanuvchi uchburchak topildi deb faraz qilib, taxminan 3.8- chizmadagi ABC uchburchakni chizib qo`yaylik. Bunda berilganlardan AC-AB= b-c=r kesmani chizmada ko`rsatish uchun(birinchi holdagi singari) AB tomonni AC tomon ustiga uning A uchidan boshlab qo`ysak, AC-AB=AC-AD=DC=r hosil bo`ladi. 3.11- chizma Lekin D nuqtani B nuqta bilan tutashtirishdan hosil bo`ladigan BCD uchburchak yordamicha figura bo`la olmaydi, chunki uni faqat Bc va CD tomonlar bo`yicha yasab bo`lmaydi. Shuning uchun r kesmani chizmada masalaning birinchi holidagidan boshqacharoq yo`l bilan ko`rsatamiz. Uchburchakning AC (uzun) tomonini uning AB(qisqa) tomoni ustiga A nuqtadan boshlab qo`yamiz. Bundan AB tomon davomida BD1 =A D1 - AB=AC-AB=r kesma hosil bo`ladi; uning D 1 uchini C nuqta bilan tutashtirishdan hosil bo`lgan BC D1 uchburchakning yordamchi figura bo`lish yoki bo`lmasligini aniqlaylik: BC= α , B D1 =r tomonlari va CB D 1 = 180 0 - α bo`yicha bu uchburchakni yasash mumkin; berilganlarga tayanib yasalishi mumkin bo`lgan keying uchburchakdan izlanuvchi ABC uchburchakka o`tish ham mumkin. Haqiqatdan, izlanuvchi uchburchakning A uchini teng yonli CA D1 uchburchakning uchi sifatida toppish mumkin. A nuqta shu teng yonli uchburchakning asosi bo`lgan C D1 ning MN o`rta perpendikulyarida yotadi. Ikkinchi tomondan y D1 B tomon davomida yotadi. Demak, A nuqtani bu ikki ma`lum to`g`ri chiziqning kesishish nuqtasi sifatida topib, uni C nuqta bilan tutashtirgandan keyin ABC ucburchak hosil bo`ladi. 3.12-chizma Yasash va isbotlanishni birinchi holdagi kabi bajarib, izlanuvchi uchburchakning hosil bo`lishi r<a shartdan boshqa yana α burchakka ham bog`liq ekanligidan quyidagi hollarni qaraymiz. TEKSHIRISH. 1. 90 0 <α < 180 0 bo`lganda quyidagicha uch holdan biri bo`lishi mumkin. a) Agar 3.9 chizmadagi singari yordamchi BC D1 uchburchak to`g`ri burchakli bo`lmasa MN o`rta perpendikulyar D1 B kesma davomi bilan kesishib masalaning talabiga javob beruvchi ABC uchburchak albatta hosil bo`ladi b) Yordamchi BC D1 uchburchak to`g`ri burchakli bo`lsa MN o`rta perpendikulyar B D1 kesmaga parallel bo`lib, izlangan A nuqtani hosil qilmaydi.(3.13-chizma) 3.13-chizma 3.14-chizma c) Yordamchi BCD1 uchburchakning C D1 B burchagi o`tmas burchak bo`lsa MN o`rta perpendikulyar B D1 kesma ning D 1 uchidan nariga o`tkazilgan davomi bilan biror A nuqtada kesishadi. Lekin bu A nuqtani C nuqta bilan tutashtirishdan hosil bo`lgan ABC uchburchak masaladagi talablardan biriga javob bermaydi.(3.14-chizma), chunki uning B burchagi berilgan α o`tmas burchakka teng emas. Demak, masala yechimga ega bo`lishi uchun berilgan α shunday o`tmas burchak bo`lishi kerakki, unga suyanib yordamchi BC D1 uchburchakni yasaganda uning, D 1 burchagi o`tkir bo`lsin. 3.15-chizma 3.16-chizma D nuqtani B nuqta bilan tutashtirishdan hosil bo`lgan BCD uchburchakning yordamchi figura bo`la olishini isbot qilamiz. Berilgan BC=a, CD=r tomonlar va ular orasidagi C burchak bo`yicha BCD ucburchak yasash mumkin. Bu BCD uchburchak yordamida izlanuvchi ABC uchburchakni yasash mumkin; buning uchun ABC uchburchakning A uchini toppish kerak. A nuqta ayni vaqtda teng yonli BAD uchburchakning uchidir. Bu uchburchakning uchini toppish uchun BD kesmaning o`rta perpendikulyari (MN) ni chizib, uni CD ning davomi bilan kesishtiramiz; topilgan A nuqtani B nuqta bilan tutashtirsak, izlanuvchi ABC uchburchak hosil bo`ladi. YASASH. Analizda tuzilgan plan bo`yicha yasasak 3.16 chizmadagi ABC uchburchak hosil bo`ladi (yasash tartibi chizmada raqamlar bilan ko`rsatilgan). ISBOT. 3.16 chizmada yasalgan ABC uchburchak masalaning talabiga javob beradi, chunki yasalishicha BC=α ∠ ACB= ∠ C= α bo`lib, AB=AD, ya`ni AC-AB=AC- AD=DC=r. TEKSHIRISH. Izlanuvchi ABC uchburchakning mavjud bo`lish bo`lmasligi A uchining mavjudligiga bog`liqdir. A nuqtaning mavjudligi esa BD kesmaning o`rta perpendikulyari MN to`g`ri chiziq bilan CD kesma davomining kesishish yoki kesishmasligiga bog`liq; bu esa ABC uchburchakning B uchidan AC tomoniga BH perpendikulyar tushirishdan hosil bo`lgan to`g`ri burchakli BHC uchburchakning CH kateti bilan CD=r kesmaning hamda r bilan α kesmning nisbiy qiymatlariga bog`liqdir. To`g`ri burchakli uchburchakning CH= αcos C munosabatni yozib, quyidagi xollarni qaraymiz. 3.17-chizma 5) Agar 3.16 chizmadagi kabi CD < CH, ya`ni r < αcos C bo`lsa, MN o`rta perpendikulyar CD ning davomi bilan biror nuqtada kesishib, izlangan A nuqtani hosil qiladi; bu ikki to`g`ri chiziqning kesishuvini to`g`ri burchakli BHD uchburchakdagi BDH burchakningo`tkir burchak bo`lishi bilan asoslash mumkin. Demak, bu holda masala yechiladi va bitta uchburchak hosil bo`ladi. 6) Agar, CD=CH, ya`ni αcos C bo`lsa, BD tomon BH bo`ladi. Shuning uchun MN o`rta perpendikulyar bilan CD tomonining davomi o`zaro kesishmaydi; demak, bu holda masala yechimga ega bo`lmaydi. 7) Agar 3.17 chizmadagi singari CH<CD<CB, ya`ni αcos C <r<a bo`lsa, BD kesmaning o`rta perpendikulyari bo`lgan MN to`g`ri chiziq CD kesmaning C uchidan nariga o`tkazilgan davomi bilan kesishib A nuqtani hosil qiladi. Lekin bu A nuqtani B nuqta bilan tutashtirgandan keyin hosil bo`ladigan ABC uchburchakda r=CD=AD - AC = AB – AC=c – b bo`lsada, ∠ ACB≠α dir, ya`ni masalaning bitta talabiga javob bersada, uning ikkinchi talabiga javob bera olmaydi. Shuning uchun bu holda ham masala yechimga ega bo`lmaydi. 8) Agar r > α bo`lsa, uchburchak hosil bo`lmaydi, chunki bus hart uchburchakning mavjudlik shartiga to`g`ri kelmaydi. Ikkinchi hol. ANALIZ. Izlanuvchi uchburchak topildi deb faraz qilib, taxminan 3.15 chizmadagi ABC uchburchakni chizib qo`yaylik. Bunda berilganlardan AC-AB= b-c=r kesmani chizmada ko`rsatish uchun(birinchi holdagi singari) AB tomonni AC tomon ustiga uning A uchidan boshlab qo`ysak, AC-AB=AC-AD=DC=r hosil bo`ladi. 3.18- chizma Lekin D nuqtani B nuqta bilan tutashtirishdan hosil bo`ladigan BCD uchburchak yordamicha figura bo`la olmaydi, chunki uni faqat BC va CD tomonlar bo`yicha yasab bo`lmaydi. Shuning uchun r kesmani chizmada masalaning birinchi holidagidan boshqacharoq yo`l bilan ko`rsatamiz. Uchburchakning AC(uzun) tomonini uning AB(qisqa) tomoni ustiga A nuqtadan boshlab qo`yamiz. Bundan AB tomon davomida BD1 =A D1 - AB=AC-AB=r kesma hosil bo`ladi; uning D 1 uchini C nuqta bilan tutashtirishdan hosil bo`lgan BC D 1 uchburchakning yordamchi figura bo`lish yoki bo`lmasligini aniqlaylik: BC= α , B D1 =r tomonlari va CB D1 = 180 0 -α bo`yicha bu uchburchakni yasash mumkin; berilganlarga tayanib yasalishi mumkin bo`lgan keying uchburchakdan izlanuvchi ABC uchburchakka o`tish ham mumkin. Kubning turli kesimlarini yasash. Kubning kesimlarini yasashni quyidagi masalalar yordamida ko’rib chiqamiz: 1. ABCD A1B1C1D1 – kub berilgan. Uning qirralarida yotuvchi M ,P,K nuqtalaridan o’tuvchi kesimini yasang. Yechim. Kubning A1A , D1C1 , C1C qirralarida M ,P,K nuqtalarni belgilab olamiz. Kubning bitta yog’ida yotgan P va K nuqtalari orqali to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziq DC to’g’ri chiziq bilan T1 nuqtada, D D1 to’g’ri chiziq bilan T2 nuqtada kesishadi. M va T 2 nuqtalar bitta tekislikka tegishli nuqtalar, ular orqali to’g’ri chiziq o’tkazamiz. M T2 to’g’ri chiziq A1D1 bilan H nuqtada, AD to’g’ri chiziq bilan T 3 nuqtada kesishadi. T 1 va T 3 nuqtalar bitta tekislikka tegishli nuqtalardir. Ular orqali to’g’ri chiziq o’tkazamiz. T1T3 to’g’ri chiziq AB bilan F nuqtada, BC bilan R nuqtada kesishadi. KR , FM va HP nuqtalarni birlashtirsak biz izlagan MHPKRF kesim hosil bo’ladi. Yuqorida bajargan ishlarimiz ketma- ketligini quyidagicha yozish mumkin: 1. PK ; 8. T1T3∩ AB = F ; 2. PK ∩ DC = T 1 ; 9. T1T3∩ BC = R ; 3. PK ∩ D D1=T2 ; 10. KR ; 4. T 2 M ; 11. FM ; 5. T2M ∩ A1D1= H ; 12. HP ; 6. T2M ∩ AD =T3 ; 13. MHPKRF . 7. T1T3 ; 2. ABCD A'B'C'D' kubning AA' , BB' va C C' yon qirralarida yotuvchi MNP nuqtalari berilgan. Kubning MNP tekislik bilan kesishishi natijasida hosil bo’ladigan kesimni yasang. Yechim. 1. MN ; 6. T 1 T 2 ∩ AD = Y ; 2. MN ∩ AB =T1 ; 7. T1T2∩ DC = X ; 3. NP ; 8. MY ; 4. NP ∩ BC =T2 ; 9. PX ; 5. T 1 T 2 ; 10. MNPXY . Prizmalarda kesimlar yasash. Prizmalarning turli kesimlarini yasashni quyidagi masalalar yordamida ko’rib chiqamiz: 1. Besh burchakli prizma bilan prizma qirralarida yotuvchi A , B , C nuqtalar orqali aniqlangan tekislik kesimini yasang. Birinchi usul. Asosiy tekislik sifatida prizma asosini, ichki proyeksiyalash deb prizma qirralariga parallel proyeksiyalashni olsak, shu bilan tasvirning to’liqligi ta’minlanadi. Kesimni yasash uchun ABC tekislik bilan prizma ikki qirrasining kesishgan X ,Y nuqtalarini toppish kifoya (36-chizma). Bu nuqtalarning ikkinchi proyeksiyalari (asosari) X 1 , Y 1 nuqtalardan iborat. A 1 C 1 , B 1 X 1 to’g’ri chiziqlar K 1 nuqtada kesishadi. K1 nuqtadan proyeksiyalovchi to’g’ri chiziq o’tkazsak, bu to’g’ri chiziq ABC tekislikni K nuqtada kesadi, BK to’g’ri chiziq prizma qirrasi bilan izlanagan X nuqtada kesishadi. Shu usul bilan N nuqtani yasaymiz (chizmada ko’rsatilgan). XN to’g’ri chiziq prizma qirrasini izlangan Y nuqtada kesadi. Izlangan kesim – beshburchakdir. Ikkinchi usul. Kesuvchi tekislikning asos tekisligidagi izidan (ya’ni kesishish chizig’idan) faoydalanib masalani yechish, ko’p hollarda kesim yasashni osonlashtiradi. Ikkinchi masaladan foydalanib, kesuvchi tekislikning PQ izini topamiz (37- chizma). Prizmaning X1X2C2C1 yog’ining asos tekislikdagi X1C1 izi PQ to’g’ri chiziq bilan N nuqtada kesishadi. NC to’g’ri chiziq X 1 X 2 qirra bilan izlangan X nuqtada kesishadi. Shunga o’xshash Y nuqtani ham topamiz. Agar kesuvchi tekislikni aniqlovchi nuqtalarni prizma yoqlarida olsak, kesimni yasash ko’rib o’tilgan usullardan farq qilmaydi. Foydalanilgan adabiyotlar 1. С. Л. Атанасян, В. Г. Покровский, А. В. Ушаков Геометрия (2-часть) Учебное пособие для вузов.- М.: “БИНОМ. Лаборатория знаний”, 2015. 2. N . D . Dadajonov , R . Yunusmetov , T . Abdullaev , Geometriya 2- qism . Toshkent « O ’ qituvchi » 1996 y . 3. X . X . Nazarov , X . O . Ochilova , Ye . G . Podgornova . Geometriyadan masalalar to ’ plami . 2 qism . Toshkent « O ’ qituvchi » 1993, 1997 y . 4. A . Y . Narmanov , A . S . SHaripov Geometriya asoslari . T.Universitet, 2004 y.

geometriya darsi uchun “To’liq va noto’liq tasvirlar” mavzusida kurs ishi. Umid qilamanki yaxshi natija olib beradi

Купить