To‘lqin tenglamasi uchun qo‘yilgan umumiy masalani chekli ayirmali usuli bilan yechish va algoritmini tuzish
![y ayirmali funktsiya uchun quyidagiga egamizu¯tt= Λ−(σ y+(1− 2σ )y+ σ y
¿
)y+ ϕ− , i= 0
,
bu erda
Λ− y=
yx− β1y
0,5 h
, ϕ−= ϕ+
μ1(t)
0,5 h
, ϕ= f.
Shunga o`xshash
u ¯t t = Λ
+
¿ ¿
,
bu yerda
Λ+= −
y¯x− β2y
0,5 h
, ϕ+= ϕ+
μ2(t)
0,5 h
, ϕ= f.
Bundan tashqari
∂u
∂x yoyilmada yanada yuqori tartibli hosilalarni
qo`llab
O (τ2+ h4) aniqlik bilan sxemalar hosil qilish mumkin.
To’lqin tenglamasini oshkor sxemada approksimatsiya
qilish
Endi masalani umumiyroq qo`yilishini qaraymiz.
¯D T= [0≤ x≤ 1 ]× [0≤ t≤ T ]
to`g`ri to`rtburchakda giperbolik tipli
tenglama uchun 1-chegaraviy masalani qaraymiz
∂2u
∂t2= Lu + f(x,t), Lu = ∂
∂ x(k(x,t)∂u
∂ x),
(x,t)∈ DT,
(8)
u(x,0)= u0(x),
∂u(x, 0)
∂t
= ¯u0(x),
(9)
u(0,t)= u1(t), u(1,t)= u2(t),
(10)
0<¯¯c1≤ k(x,t)≤ ¯¯c2,
bu erda
D T= (0≤ x≤ 1)× (0< t≤ T ].
Faraz qilaylik masala
¯DT da yagona uzluksiz va etarlicha hosilalar ga
ega bo`lgan echimga ega bo`lsin. k ( x , t ) (va f ( x , t ) o`ng taraf ot o`qqa](https://docx.uz/documents/8265c28d-5a50-412c-98eb-ab20e823529d/page_6.png?v=1)
![parallel chekli sondagi to`g`ri chiziqlarda 1- tur uzilishga ega bo`lishi
mumkin (qo`zg`almaydigan uzilishlar). Har bir chiziqdax= ξs, s= 1,2 ,...,s0
uzilishlarda qo`shmalik sharti bajariladi:
[u]= u(ξs+0,t)− u(ξs− 0,t)= 0¿}¿¿¿
. (11)
Endi (8)-(10) masala uchun bir jinsli ayirmali sxemalarni tuzishga
kelamiz.
¯^ω h= {xi,i= 0,1 ,...,I, x0= 0, xI= 1} to`r 0≤ x≤ 1 da ixtiyoriy
notekis to`r,
¯^ω τ= {tj= j⋅τ, j= 0,1,2 ,...,J} to`r 0≤ t≤ T da ixtiyoriy tekis
to`r,
¯ω hτ= ¯^ω h× ¯ω τ - to`r esa DT to`g`ri to`rtburchakda berilgan to`r
bo`lsin. Avvalo fiksirlangan
t∈ω τ da Lu+f operatorni
approksimatsiyalaymiz va
Λu + ϕ= (a(x ,t)u¯x)^x+ ϕ - ayirmali operatorga
keltiramiz.
Bularni quyidagicha almashtiramiz
∂2u
∂t2|t=tj~ u¯tt, Lu + F = Λ(tj)u
(σ1,σ2)
+ϕ
,
Bu erda
u(σ1,σ2)= σ1 u
^¿+(1− σ1− σ2)u+ σ2u
¿
,
¿
Λ (tj)u= (a(x,tj)u¯x)
^x^¿, u=uj, u
¿
= u j−1, ^u
^¿
= uj+1¿
¿
.
Quyidagi belgilashlarni eslaymiz
v¯x,i=
vi− vi−1
hi
,
vx,i=
vi+1− vi
hi+1
= v¯x,i+1, v^x,i=
vi+1− vi
ℏi
,
bu erda
ℏi= 0,5 (hi+hi+1),
Lv = d2v
dx 2 ,
(Lhv)i= 1
ℏi[
vi+1− vi
hi+1
−
vi− vi−1
hi ]−
= v¯x^x,i= v¯x^x
,
va bulardan quyidagi vaznli bir jinsli uch qatlamli sxemani hosil qilamiz
y¯tt= Λ (tj)y(σ1,σ2)+ ϕ
. (12)](https://docx.uz/documents/8265c28d-5a50-412c-98eb-ab20e823529d/page_7.png?v=1)
![3. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. (272-277
betlar)
4. Калиткин Н.Н. Численные методы М: Наука, 1978. (424-439
betlar )
5. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М: Наука,
1989. (283-286 betlar)
Ilova:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
a,b = map ( float , input ( "Koordinatalar oralig'ini kiriting: " ).split())
c,d = map ( float , input ( "Vaqt oralig'ini kiriting: " ).split())
h = float ( input ( "Nuqtalar oralig'i masofasini kiriting: " ))
tau = float ( input ( "Vaqt oralig'i masofasini kiriting: " ))
m = float ( input ( "O'tkazuvchanlikni kiriting: " ))
# n nuqtalar soni
n = int ((b-a)/h)
# k vaqtlar soni
k = int ((d-c)/tau)
l = np.empty((k+ 1 ,n+ 1 ))
# i ustun
i = 0
# j satr
j = 0
for i in range (n+ 1 ):
l[ 0 ][i] = 0](https://docx.uz/documents/8265c28d-5a50-412c-98eb-ab20e823529d/page_12.png?v=1)
![for j in range (k+ 1 ):
l[j][ 0 ] = 20
l[j][n] = 10
for j in range ( 1 ,k):
for i in range ( 1 ,n):
l[j+ 1 ][i] = (tau** 2 *m** 2 *(l[j][i+ 1 ] -2 *l[j][i]+l[j][i -1 ]))/(h*h)+ 2 *l[j][i]+l[j -1 ][i]
for j in range (k+ 1 ):
for i in range (n):
print (l[j][i],end= ' ' )
print ()
for j in range (k+ 1 ):
if j % 10 == 0 :
plt.plot(l[j][ 0 :n+ 1 ])](https://docx.uz/documents/8265c28d-5a50-412c-98eb-ab20e823529d/page_13.png?v=1)
To‘lqin tenglamasi uchun qo‘yilgan umumiy masalani chekli ayirmali usuli bilan yechish va algoritmini tuzish