Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 1.5MB
Покупки 0
Дата загрузки 07 Ноябрь 2026
Расширение docx
Раздел Дипломные работы
Предмет Педагогика

Продавец

Bohodir Jalolov

Uch o‘lchovli fazoda koshi-riman sistemasi yechimlari soha chegarasining bir qismida berilgan qiymati bo‘yicha davom ettirish

Купить
UCH O‘LCHOVLI FAZODA KOSHI-RIMAN SISTEMASI YECHIMLARI SOHA CHEGARASINING BIR QISMIDA BERILGAN QIYMATI BO’YICHA DAVOM ETTIRISH MUNDARIJA KIRISH ………………………………………………………………………….......4 I BOB. KOMPLEKS TEKISLIKDA BIR JINSLI BO‘LMAGAN KOSHI- RIMAN TENGLAMALARI SISTEMASI YECHIMI UCHUN KARLEMAN FORMULASI…………………………………………………………………….....8 § 1 .1. Birinchi tartibli chiziqli elliptik tenglamalar sistemasi uchun ikki va uch o‘lchamli fazoda matematik fizika va analizning korrekt va nokorrekt chegaraviy masalalari umumiy nazariyasidan ayrim tushuncha va ma’lumotlar ......................... .8 § 1.2. Kompleks tekislikda bir jinsli Koshi-Riman tenglamalari sistemasi uchun qo‘yilgan nokorrekt Koshi masalasini Karleman funksiyasi yordamida yechish.....12 § 1.3.Kompleks tekislikda bir jinsli bo’lmagan Koshi-Riman sistemasi yechimi uchun Koshining integral formulasi…… …………………. ……………..……….. 20 § 1.4. Burchak ko’rinishidagi sohada b ir jinsli bo’lmagan Koshi-Riman sistemasi uchun Karleman formulasi .......................................................................................2 4 Birinchi bob bo’yicha xulosa.....................................................................................2 9 II BOB. UCH O’LCHAMLI CHEGARALANGAN SOHADA KOSHI – RIMAN SISTEMASI UCHUN KOSHINING INTEGRAL FORMULASI VA NOKORREKT KOSHI MASALASINING QO’YILISHI………………..……30 § 2.1. Uch o’lchamli fazoda silliq vektor uchun Pompeyning integral formulasi………………………………………………………………………..…30 § 2.2. Uch o’lchamli fazoning chegaralangan sohasida golomorf vektor uchun Koshining umumlashgan integral formulasi……………..……………………….33 § 2.3. Uch o’lchovli f azoda Koshi – Riman sistemasi uchun Koshi masalasining qo’yilishi va Karleman matritsasi……………………………………….………..38 Ikkinchi bob bo’yicha xulosa....................................................................................42 III BOB. POTENSIAL VEKTORNI UCH O’LCHAMLI CHEGARA- LANGAN SOHADA SOHA CHEGARASINING BIR QISMIDA BERILGAN QIYMATI BO’YICHA TIKLASH....................................................................... 43 §3.1. Koshi–Riman sistemasi uchun qalpoqsimon sohada Koshi masalasining aniq yechimi ……………………………………………………………………..……43 1 §3.2. Potensial vektorni soha chegarasining bir qismida berilgan qiymati bo’yicha sohada tiklash ……………………………………………………………...…….47 Uchinchi bob bo’yicha xulosa...................................................................................57 Xulosa …………………………………………………………………………......58 Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati ……………………………………………..59 Kirish Magistrlik dissertatsiyasi mavzusining asoslanishi va uning dolzarbligi . Jahonda olib borilayotgan ko‘plab ilmiy va amaliy tadqiqotlarda bir qiymatli analitik funksiyalar, uning integral ko‘rinishi, aksariyat hollarda xususiy hosilali differensial tenglamalar va ular uchun qo’yilgan chegaraviy masalalar yechimi orqali ifodalanadi. Bunday masalalar asosan korrekt va korrekt bo‘lmagan chegaraviy masalalarni tadqiq qilishga keltiriladi. Uch o‘lchovli fazoda Koshi– Riman sistemasi uchun qo’yilgan Koshi masalasi maxsus ko‘rinishdagi sohalarda yetarli darajada to’liq yechilmaganligi sababli, ushbu nokorrekt masalalarga oid tadqiqotlarni rivojlantirishga alohida e’tibor qaratilmoqda. Uch o’lchamli fazodan olingan chegaralangan sohada Koshi-Riman tenglamalar sistemasi yechimi, ya’ni golomorf vektor uchun Koshining integral tasvir formulasini hosil qilish muhimdir. Koshi-Riman tenglamalar sistemasi uchun qo’yilgan Koshi masalasi nokorrektdir, ya‘ni masala yechimi mavjud, yagona ammo turg’un emas. Yechimning regulyarlik sohasida yaqqol ko’rinishda tasvirlash va yechimning mavjudlik kriteriyasini isbotlash masalalari alohida ahamiyat kasb etadi. Birinchi tartibli chiziqli xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasidan elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo’yilgan nokorrekt Koshi masalasini korrektlik sinfiga qadar davom ettirish va hosil qilingan shartli korrekt masalaning taqribiy yechimini topish gidrodinamika, geofizika, kvant fizikasi va shu kabi boshqa sohalardagi amaliy tadqiqotlarning obyektidir. Nokorrekt masalalarni yechishda regulyarlashgan yechimlar oilasi korrektlik sinfi kompaktga qadar toraytirilganda turg’un yechimni tadqiq qilishga asos sifatida xizmat qiladi. Uch o‘lchamli fazoda Koshi-Riman tenglamalari sistemasi o’zining amaliy 2 ahamiyati jihatidan ko‘plab masalalarni o‘rganishda boshlang‘ich ob’ekt sifatida muhim o’rin egallaydi. Koshi-Riman tenglamalari sistemasi yechimini topishda yechimning mavjudlik va yagonaligi, qo’yilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantirishini tekshirish muhimdir. Bu masala soha chegarasining bir qismida berilgan qiymati bo’yicha shu soha ichida yechimni tiklashdan iborat. Yechimning mavjudligini zaruriy va yetarli shartlari, ya’ni Fok-Kuni teoremasi Karleman funksiyasi (matrisasi) ni qurish usuli orqali isbotlanadi. Ushbu magistirlik dissertatsiyasida kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasining asosiy tushunchalaridan foydalangan holda matematik fizikaning nokorrekt masalalaridan hisoblangan uch o‘lchamli fazoda Koshi–Riman tenglamalar sistemasi uchun qo’yilgan nokorrekt Koshi masalasini regurlyarlashgan taqribiy yechimini qurish bilan ifodalanadi. Tadqiqotning ob’ekti va predmeti. Uch o‘lchamli fazoning chegaralangan sohasida Koshi–Riman tenglamalar sistemasi uchun qo’yilgan nokorrekt Koshi masalasining regurlyarlashgan taqribiy yechimini qurish tadqiqotning pridmeti hisoblanadi. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari. Magistrlik dissertatsiyasining maqsadi kompleks o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi kursining muhim tushunchasi asosida ikki o‘lchamli tekislikda bir jinsli bo‘lmagan Koshi–Riman tenglamalar sistemasi va uch o‘lchamli fazoning qalpoqsimon ko‘rinishidagi chegaralangan sohasida qaralayotgan Koshi masalasining aniq yechimi, ya’ni Karleman formulasi va regurlyarlashgan taqribiy yechimini topishdan iboratdir. Ushbu magistrlik dissertatsiyasining asosiy vazifasi: - uch o‘lchamli qalpoqsimon ko‘rinishdagi chegaralangan soha chegarasining bir qismida berilgan qiymatiga ko‘ra Koshi–Riman sistemasi yechimi, ya‘ni golomorf vektorni shu sohada tiklash; - uch o‘lchamli fazoda Koshi-Riman tenglamalari sistemasi yechimi uchun Koshining integral formulasini hosil qilish; - fundamental yechimlar matritsasining umumlashgan ko’rinishidan iborat bo‘lgan Karleman matritsasini qurishdan iboratdir. 3 Ilmiy yangiligi . Elliptik tenglamalar va ularning sistemalari, jumladan uch o‘lchamli fazoda Koshi-Riman tenglamalari sistemasi uchun chegaralangan sohalarda qo’yilgan Koshi masalasi korrekt bo’lmagan masalalar sinfiga kiradi. Ya’ni masala yechimining turg’unlik sharti buziladi. Bunday masalalarni yechish uchun korrektlik sinfini ajratish, ya’ni yechimlar sinfini kompakt to’plamgacha qisqartirish lozim. Natijada masala, shartli korrekt masala ga aylanadi . Shartli korrekt masalalarni yechishda integral formuladan foydalaniladi. Koshi masalasida, Koshi shartlari soha chegarasining bir qismida berilganligi sababli, chegaraning qolgan qismida fundamental yechimlar sistemasidan foydalanilib maxsus funksiya tuzishga to’g’ri keladi. Bunday funksiya qo’yilgan masala uchun Karleman funksiyasi hisoblanib, soha chegarasining Koshi shartlari berilmagan qismidagi integralning qiymatini cheksiz kichikka aylantirishini ta’minlaydi. Qaralayotgan sohalarda Karleman funksiyasini tuzish va bu orqali regulyarizatsiyalashgan yechimni olish, ishning yangiligi hisoblanadi. Tadqiqotning asosiy masalalari . U ch o‘lchamli qalpoqsimon ko‘rinishdagi chegaralangan soha chegarasining bir qismida berilgan qiymatiga ko‘ra Koshi– Riman sistemasi uchun Koshi masalasi tadqiqotning asosiy masalasi hisoblanadi. Bunda noma’lum funksiyani ma’lum bir shartlarni bajarganda uni aniqlash masalasi ya’ni, Koshi masalasining yechimini aniqlash va bu yechimning yagonaligi va turg’unligini ko’rsatishdan iborat. Tadqiqot mavzusi bo’yicha adabiyotlar sharxi (tahlili). Dissertatsiya ishini bajarish davomida zarur bo‘lgan ma‘lumotlardan foydalanish , asosiy ilmiy natijalarni olish jarayonida kerakli ma’lumotlar ni to‘plash, ilmiy natijalarni asosli bajarish va bilim ko‘nikmalarni kengaytirish maqsadida adabiyotlar ro‘yxat i da keltirilgan [ 1 ] – [ 15 ] adabiyotlardan batafsil foydalanildi. Elliptik tipdagi tenglamalar sistemasi uchun qo‘ylgan Koshi masalasi matematik fizikaning nokorrekt masalalari qatoriga kiradi. Respublikamizda, jumladan, Samarqand nokorrekt masalalar maktabining asoschisi professor SH. Yarmuxamedov [27], [28], [35] ishlarida asosiy natijalar olingan. Tekislikda umumlashgan analitik funksiyalarni davom ettirish va ko‘p o‘lchovli fazoda 4 elastiklik nazariyasi, Nave-Stoks tenglamalari sistemalari uchun Koshi masalasi T.Ishankulov [29], [41] umumlashgan Koshi – Riman va Moisil –Teodoresko sistemalari uchun E.N. Sattorov [42] tomonidan o‘rganilgan. - Tadqiqot da qo‘llanilgan metodikaning tavsifi . Tadqiqot ishida haqiqiy va kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi, sirt potensiali, xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasining asosiy usullaridan foydalanilgan. Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati. Magistrlik dissertasiyasining ilmiy ahamiyati uch o’zgaruvchili bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan Koshi-Riman tenglamalar sistemasi, birinchi tartibli chiziqli elliptik tenglamalar sistemasi uchun nokorrekt masalalarni yechishda foydalanish mumkinligi bilan izohlanadi. Olingan natijalarning amaliy ahamiyati birinchi tartibli chiziqli elliptik tenglamalar sistemasi uchun qo’yilgan nokorrekt Koshi masalalari bilan ifodalanuvchi geofizik kuzatuvlarni fizik jarayon va hodisalarning modellariga tadbiq etish bilan belgilanadi. Ish tuzilishining tavsifi. Magistrlik dissertasiyasi kirish, 3 ta bob, har bir bobda paragraflar, jami 9 ta, xulosa qismi va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Ushbu ish 63 matnli sahifadan tashkil topgan. Har bir bob paragraflarga ajratilgan va ular o’zining nomerlanish hamda belgilanishiga ega. 5 I BOB. KOMPLEKS TEKISLIKDA BIR JINSLI BO‘LMAGAN KOSHI-RIMAN TENGLAMALARI SISTEMASI YECHIMI UCHUN KARLEMAN FORMULASI § 1 .1. Birinchi tartibli chiziqli elliptik tenglamalar sistemasi uchun ikki va uch o‘lchamli fazoda matematik fizika va analizning korrekt va nokorrekt chegaraviy masalalari umumiy nazariyasidan ayrim tushuncha va ma’lumotlar Elliptik tenglamalar nazariyasida chegaraviy masalalarni o’rganish muhim rol o’ynaydi. Dirixle, Neyman va aralash masalalarni yechishda chegaraviy shart qaralayotgan soha chegarasining hamma joyida berilgan bo’lib, bu masalalar korrektdir (yechim mavjud, yagona va turg’un). Bu chegaraviy masalalar nazariyasi to’lasincha Ya.B.Lopatinskiy [16], I.G.Petrovskiy [17], L.Xermander [18], S.Agmon, A.Dugles va L.Nirenberg [19], [20] va boshqa ko’plab olimlar tomonidan o’rganilgan. Birinchi tartibli elliptik tenglamalar sistemasi nazariyasida Koshi-Riman tenglamali sistemasi o’zining qo’llanilish jihatidan ikkita sababdan muhim ahamiyat kasb etadi. Birinchidan, I.N.Vekua va L.Berslar tomonidan asosiy yaratilgan umumlashgan analitik funksiyalar nazariyasi ([1], 222-b.); ikkinchidan, G.K.Moisil va N.Teodoreskolar tomonidan Koshi tipidagi integralning [21] fazoviy o’xshashishi hosil qilingan. Koshi-Riman sistemasining umumlashgan holi uchun turli xil chegaraviy masalalarni yechish ustida A.V.Bitsadze [22]-[23], A.A.Dezin [12], [24], V.S.Vinogradov [25], [26], Sh.Yarmuhamedov [27], [28], T.Ishankulov [29], [41], 6 V.A.Polunin va A.P.Soldatov [30], [31], Э.Н.Сатторов [ 42 ] va boshqalar tomonidan bir qator tadqiqotlar olib borilgan. Aniq amaliy masalalarni yechishda soha chegarasining bir qismidagi chegaraviy qiymatlarni o’lchashning imkoniyati yo’q. Shuning uchun soha chegarasining bir qismida berilgan qiymati bo’yicha tadqiqot o’tkazish muhimdir. Hozirgi zamon elliptik tipdagi chegaraviy masalalarni o’rganishda Koshi masalasi, ya’ni elliptik tipdagi tenglamalar va ularning sistemasi yechimini soha chegarasining bir qismida berilgan qimati bo’yicha shu sohaga davom ettirish ustida olib borilayotgan tadqiqot ishlari alohida o’rin egallaydi. O’tgan asrning boshida fransus matematigi J.Adamar [ 1 2] tomonidan birinchi bor Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan Koshi masalasi nokorrekt ekanligi, ya’ni masala yechimi mavjud, yagona, turg’un emasligi ko’rsatilgan va bunday masalalarni qarash hech qanday fizik ahamiyatga ega emas deb izohlangan. Rus matematigi akademik A.N.Tixonov 1943 yilda nokorrekt masalalarni o’rganishning muhimligini ko’rsatdi va uni yechish mexanizmini ham ishlab chiqqan. Bugungi kunda nokorrekt masalalar doimiy o’rganish obyektiga aylandi va fizika, geofizika, tabbiyot, astronomiya va boshqa sohalarda [2], [ 3 ] keng qo’llanilmoqda. Elliptik tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasi bittadan ortiq bo’lmagan yechimga ega ([ 1 3], 58-b.). Biroq bu turg’un emas (nokorrektligi), ya’ni 1) ixtiyoriy berilganlar uchun yechim mavjud emas; 2) yechim Koshining berilganlaridan uzluksiz bog’liq emas. Kompleks bir o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi va ko’p o’zgaruvchili komplek analizda berilgan analitik (golomorf) funksiyalarni Koshining integral formulasi orqali ifodalsh muhim o’rin egallaydi. Chegarada berilgan qiymati bo’yicha shu sohaning ichki nuqtalarida bir qiymatli analitik (golomorf) funksiyani tiklash kabi kompleks o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasining klassik masalasini yechish imkonini beradi. Bu klassik masala bilan bir qatorda analitik davom ettirishning quyidagi chegaraviy masalasini qarash mumkin: Ω sohada birinchi tartibli chiziqli elliptik tenglamalar sistemasi yechimini S⊂∂Ω (o’lchovi noldan 7 farqli bo’lgan) to’plamda berilgan qiymati bo’yicha tiklash. Albatta, S to’plam qaralayotgan funksiyalar sinfi uchun yagonalik to’plami bo’lishi shart. Bu masalani yechish yo’nalishda birinchi natija 1926-yil T.Karleman [ 1 4] tomonidan Ω ⊂C maxsus ko’rinishdagi soha bo’lgan holda olingan. Xuddi shuningdek nokorrekt masalalar nazariyasining asosiy natijasi A.N.Tixonov [ 32 tomonidan olingan bo’lib, turg’un bo’lmagan masalalarni amaliyotda muhimligi ko’rsatilgan. Bunda mumkin bo’lgan yechimlar sinfi kompaktga qadar toraytirilsa, masalaning turg’un bo’lishi ko’rsatilgan. 1956-1962-yillar M.M.Lavrent’ev [ 4 ] , [ 33 ], Tixonov bo’yicha korrekt bo’lgan bir qator matematik fizika masalalari uchun korrektlik sinfini ajratish usulini taklif qildi va uni yechishda turg’unlik metodini ishlab chiqdi. Koshining berilganlarini aniq qiymatida Karleman funksiyasi va Koshining integral formulasi yordamida Koshi masalasining aniq yechimi, Karleman formulasi hosil qilinadi. Koshining berilganlarini taqribiy qiymatida Karleman funksiyasini qurish regulyarlashgan yechimni topish imkonini beradi. 1.1.1-ta’rif. [ 5 ] Masala korrekt qo’yilgan deyiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa: 1) masalaning yechimi mavjud; 2) masalaning yechimi yagona;3) yechim turg’un, ya’ni berlganlarni ozgina o’zgarishiga yechimni ham ozgina o’zgarishi mos kelsa. 1.1.2-ta’rif. [ 5 ] Masala nokorrekt qo’yilgan deyiladi, agar 1.1.1-ta’rifda keltirilgan korrektlik shartidan hech bo’lmaganda birortasi bajarilmasa. M.M.Lavrent’ev barcha nokorrekt masalalardan shartli-korrektlik sinfini ajratish g’oyasini ilgari surdi. Gilbert fazolari va fiksirlangan to’plam bo’lsin. orqali akslantirishda, ya’ni shundayki, to’plamnig aksini belgilaymiz. Ma’lumki 8 1.1.3-ta’rif. [3; с. 42] (shartli korrektlik, Tixonov bo’yicha korrektlik). masala M to’plamda shartli-korrekt deyiladi, agar va quyidagi shartlar bajarilsa: 1) tenglamani yechimi to’plamda yagona; 2) tenglama yechimining ixtiyoriy atrofi uchun shunday atrof mavjudki , ixtiyoriy ) ( ) ( M A f O f   da tenglamani yechimi saqlanadi (shartli turg’unlik) 1.1.4-ta’rif. [3; с. 42]. 1.1.3-ta’rifdagi to’plam masalaning korrektlik to’plami deyiladi. 1.1.1-eslatma [3; с.42]. masalaning korrektligini isbotlash uchun yechimni mavjudligi, yagonaligi va turg’unligi teoremalarini isbotlash zarur. masalaning shartli korrektligini isbotlash uchun , korrektlik to ’ plamini tanlash , shu to ’ plamda yechimni yagonaligi va berilganning kichik variatsiyasiga mos holda , yechimni korrektlik to ’ plamidan chiqib ketmaydigan shartli turg ’ unligini isbotlash zarur . 1.1.5- ta ’ rif . [ 3 ; с. 42]. metric fazoning to’plami da kompakt deyiladi, agar har qanday ketma-ketligidan dan olingan qandaydir elementga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo’lsa. Funksional analiz kursidan ma’lumki, fazoning - o’lchovli Yevklid fazosining to’plamning kompaktligini zaruriy va yetarli sharti uni chegaralanganligidir. fazodan olingan to’plamning kompaktligini yetarli sharti quyidagi teoremadan iborat. 1.1.1- teorema ( Арцела [ 6 ; 32-b.]). Agar dan olingan to’plamning funksiyalari tekis chegaralangan va tekis darajali uzluksiz, ya’ni o’zgarmas 9 son mavjudki, barcha va , hamda ixtiyoriy 0   uchun shunday 0   topiladiki , barcha barcha uchun har qanday ketma-ketlikdan  nz dan olingan da uzluksiz funksiyaga tekis yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratish mumkin tenglamani yechimi yagona va - sohaning qism to’plami bo’lsin. 1.1.5-ta’rif. [ 6 ; 42-b.]. E dan ga harakatlanuvchi chiziqli operatorlar oilasi to’plamda teglama uchun regularlashtiruvchi deyiladi, agar: 1) ixtiyoriy , о perator butun E aniqlangan va chegaralangan ; 2) barcha uchun . Agar E da yaqinlashish tekis bo’lsa, u holda R tekis regullashtiruvchi deyiladi. Regulyarizatsiya – qaralayotgan nokorrekt masalani yechish maqsadida shartga ma’lum bir qo’shimcha ma’lumotni qo’shish metodi . § 1 .2. Kompleks tekislikda bir jinsli Koshi-Riman sistemasi uchun qo‘yilgan nokorrekt Koshi masalasining Karleman funksiyasi yordamida yechish Ω soha C kompleks tekislikdan olingan bir bog’lamli soha bo’lib, chegarasi ∂Ω konturdan iborat bo’lsin. Bunda ∂ Ω = [ A ; B ] ∪ S , ya’ni haqiqiy o’qning [ A ; B ] kesmasi va haqiqiy o’qdan yuqorida joylashgan silliq yoy: S ⊂ { z : Imz > 0 } dan iborat. Ω sohada bir jinsli Koshi-Riman tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin ∂ f ( z) ∂ z = 0 . (1.2 . 1) 10 (1.2 . 1) tenglama yechimining Ω soha ichidagi qiymatlarini uning S yoydagi limitik qiymatlari orqali ifodalash masalasi Koshi-Riman tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasidan iborat bo’lib, kompleks o’zgaruvchining funksiyani Ω analitiklik sohasi chegarasining bir qismida berilgan qiymati bo’yicha shu sohaga davom ettirish masalasiga teng kuchlidir . f(z)|S = φ(z) ; (1.2.2) Masalaning qo’yilishi (Koshi masalasi). (1.2.1) Koshi-Riman tenglamalar sistemasining (1.2.2) shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping. 1926-yilda fransuz matematigi T.Karleman ([ 1 2], [ 1 4]) Ω burchak ko’rinishidagi sohaning bir qismida berilgan qiymatiga ko’ra analitik funksiyani shu sohaning bissektrisasida tiklash masalasini birinchi bor yechdi . S A B 1 –rasm Bir qiymatli analitik f ( z) = u ( x ; y ) + iv ( x ; y ) funksiya uchun (1.2.1) bir jinsli Koshi-Riman tenglamalar sistemasi quyidagicha ifodalanadi: ∂ f ∂z= 1 2[( ∂u ∂x− ∂v ∂y)+i( ∂u ∂y+∂v ∂x)]=0 . (1.2.1’) Tekislikda biror-bir chegaralangan Ω soha berilgan bo’lib, ∂Ω uning chegarasi va ∂Ω=[A;B]∪S,[A;B]∩S=∅ bo’lsin. S egri chiziq yoyida ( g(x,y);h(x,y)¿ funksiyalar jufti berilgan bo’lsin. Ω sohada Koshi-Riman tenglamalar sistemasining ( u ( x ; y ) ; v ( x ; y )) = ( g ( x ; y ) ; h ( x ; y ) ) (1.2.1”) shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi ya’ni, Koshi masalasini qaraymiz. Agar f(z)= u(x;y)+iv (x;y);φ(z)= g(x;y)+ih(x;y) ; z = x + iy , 11 belgilashlarni kiritsak, u holda Koshi masalasi quyidagi analitik davom ettirish masalasiga ekvivalent bo’ladi. Ω sohada analitik bo’lgan hamda f ( z ) = φ ( z ) ; z ∈ S shartni qanoatlantiradigan f ( z) funksiya topilsin. Agar S=∂Ω bo’lsa, analitik davom ettirish masalasining yechimi Koshining integral formulasi yordamida aniqlanadi f ( z) = 1 2 πi ∫ ∂ Ω❑ f ( ζ ) ζ − z dζ . (1.2.3) S ≠ ∂ Ω bo’lganda analitik davom ettirish masalasi Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasiga ekvivalent bo’ladi. Shuni ko’rsatamiz ([ 4 ]): S egri chiziq yoyidada u ( z ) garmonik funksiya va uning normal hosilasi ∂u(z) ∂n ning qiymatlari berilgan bo’lsin, ya’ni u ( z ) = g ( z) ; ∂ u ( z ) ∂ n = h ( z) ; z ∈ S . Quyidagi funksiyani qaraymiz: φ ( z) = g ( z) + i ∫ z 0z h ( z) ds + C 1 ; z ∈ ∂ Ω (1.2.4) bunda z0−S ning chetlaridan biri, С1−¿ o’zgarmas son. U holda φ ( z) funksiya Ω sohada analitik bo’lgan f(z)= u(z)+iv(z) funksiyaning chegaraviy qiymatidan iborat bo’ladi. Shunday qilib, S da u, ∂u ∂n funksiyalar ma’lum bo’lsa, S da f ( z ) analitik funksiyaning qiymati ma’lum deb hisoblash mumkin. S da f(z)= u(z)+iv(z) analitik funksiyaning qiymati berilgan bo’lsin, ya’ni u,v - garmonik funksiyalar. Koshi-Riman shartlaridan ∂ u ( z ) ∂ n = ∂ v ( z ) ∂ s ; z ∈ S (1.2.5) tenglik kelib chiqadi (bunda ∂v ∂sv funksiyadan S bo’ylab hosila). Shuning uchun f ( z ) va f ( z ) funksiyalardan S bo’ylab hosila olib ∂ u ( z ) ∂ n = 1 2 ∂ ∂ s ( f ( z) − f ( z ) ) ; z ∈ S ni olamiz. Bundan u ( x ; y ) funksiya uchun Koshining berilganlariga kelamiz. 12 Natijada S≠∂Ω bo’lsa, u holda analitik davom ettirish masalasi Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasiga teng kuchli. Demak, nokorrekt bo’ladi. Chegaralangan Ω sohada analitik, Ω yopiq sohada uzliksiz bo’lgan hamda |f(z)|≤C ;z∈Ω (1.2.6) shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to’plamini qaraymiz.Bu to’polamni M orqali belgilasak, Montel teoremasi ([ 6 ], [ 8 ]) (kompaktlik prinsipi) ga ko’ra M kompakt to’plam bo’ladi. Analitik funksiyalar uchun chegaraviy yagonalik teoremasiga ko’ra qaralayotgan analitik davom ettirish masalasi yechimi yagona bo’ladi. Agar masalaning yechimi mavjud va M to’plamga tegishli deb olsak, u holda A.N.Tixonov [ 6 ] teoremasiga ko’ra masala yechimi turg’un bo’ladi. Demak, M to’plamda analitik davom ettirish masalasi shartli korrekt bo’ladi. Qaralayotgan masala yechimining turg’unligi haqidagi tenglamani isbotlashdan oldin kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasidan ma’lumi bo’lgan garmonik o’lchov tushunchasinikiritamiz. 1.2.1-t a’rif ([2], [ 8 ], [ 9 ]): S chiziqning Ω sohaga nisbatan z nuqtadagi garmonik o’lchovi deb, S da birga teng, [ A ; B ] (1-rasm) da nolga teng bo’ladigan Ω sohada garmonik ω ( z ) funksiyaga aytiladi. 1.2.1-teorema [ 4 ]: Faraz qilaylik, f ( z ) funksiya Ω sohada regulyar analitik, Ω yopiq sohada uzluksiz bo’lib, (1.2.6) shartni va |f(z)|≤ε;z∈S (1.2.7) tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda | f ( z ) | ≤ ε ω ( z ) C 1 − ω ( z ) (1.2.8) tengsizlik o’rinlidir. Isbot: Quyidagi funksiyani qaraymiz φ ( z) = ln | f ( z ) | Ma’lumki, φ ( z) funksiya Ω sohaning f(z)≠0 shartni qanoatlantiradigan nuqtalarida regulyar, garmonik bo’ladi. 13 Agar z0∈Ω nutada f(z0)=0 (1.2.9) bo’lsa, u holda z → z 0 da φ → − ∞ intiladi. (1.2.6) va (1.2.7) tengsizliklardan φ ( z) ≤ lnε , z ∈ S ; φ ( z) ≤ lnC , z ∈ [ A ; B ] ; ❑ (1.2.10) tengsizliklarning o’rinli ekanligi kelib chiqadi. (1.1.10) formulalarga ko’ra ψ ( z) = ω ( z) lnε + [ 1 − ω ( z ) ] lnC funksiya uchun φ(z)≤ψ(z) terngsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan isbotlanishi talab etilgan (1.2.8) tengsizlik kelib chiqadi. Nokorrekt masalalarni tekshirishda yechimning yagonaligi va turg’unligi o’rnatilgandan keyingi bosqich regulyarizatsiyalovchi oila qurishdan iborat. Regulyarizatsiyalovchi oilani qurishning asosiy usullaridan biri Karleman funksiyasi metodi hisoblanadi. Karleman funksiyasi metodining tavsifiga o’tamiz. 1.2.2-ta’rif ([ 4 ]): S egri chiziqning Ω sohaga nisbatan Karleman funksiyasi deb, ikki kompleks o’zgaruvchilar va bitta haqiqiy o’zgaruchining quyidagi ikkita xossalarga ega bo’lgan G(z,ζ;σ) funksiyasiga aytiladi: 1) G ( z , ζ ; σ ) = 1 ζ − z + ~ G ( z , ζ ; σ ) bunda ~G(z,ζ;σ) – ζ o’zgaruvchining Ω sohada analitik funksiyasi; 2) G ( z , ζ ; σ ) funksiya ∫A B |G(z,ζ;σ)||dζ |≤α(σ) tengsizlikni qanoatlantiradi, bunda σ→ ∞ da α ( σ ) → 0 . Karleman funkisiyasi yordamida analitik davom ettirish masalasi regulyarizatsiyasini quramiz. Quyidagi operatorlar oilasini qaraymiz: S da aniqlangan har bir uzluksiz φ ( z ) funksiyaga Ω sohada aniqlangan φ a ( z ) = 1 2 π ∫ S❑ G ( z , ζ ; σ ) φ ( ζ ) dζ 14 formula bilan aniqlangan φ α( z ) analitik funksiya mos qo’yiladi. Bunday yo’l bilan aniqlangan operatorlar oilasi qaralayotgan analitik davom ettirish masalasi uchun regulyarizatsiyalovchi oilasi bo’lishini ko’rsatamiz. Haqiqattan har bir α > 0 uchun qaralayotgan operatorlar oilasi uzluksiz bo’ladi. Bundan tashqari ∫ ∂ Ω❑ ~ G ( z , ζ ; σ ) f ( ζ ) dζ = 0 tenglikdan f(z)= 1 2πi ∫S ❑ G(z,ζ;σ)f(ζ)dζ + 1 2πi ∫A B G (z,ζ;σ)f(ζ)dζ (1.2 .11 ) tenglikni hosil qilamiz. Karleman funksiyasi ta’rifiga ko’ra (1.2.11) ning o’ng tomonidagi ikkinchi qo’shiluvchi α → 0 da nolga intilishi kelib chiqadi. Bundan regulyarizatsiya ta’rifidagi ikkinchi sharti bajariladi. Ushbu regulyarizatsiya usulini (1.2.2) masala shartida berilgan φ ( z ) funkisiyaning taqribiy qiymati berilganda taqribiy yechimni topish masalasiga qo’llaymiz. Bizga S yoyda f ε ( z ) funksiya berilgan bo’lsin: | f ε ( z ) − φ ( z ) | ≤ ε ; z ∈ S (1.2.12) f αε ( z) orqali f αε ( z) = 1 2 πi ∫ S❑ G ( z , ζ ; σ ) f ε ( ζ ) dζ funksiyani belgilab, f ( z) − f αε = 1 2 πi ∫ S❑ G ( z , ζ ; σ ) ( φ ( ζ ) − f ε ( ζ ) ) dζ + 1 2 πi ∫ AB G ( z , ζ ; σ ) f ( ζ ) dζ ayirmani baholaymiz. (1.2.12) tengsizlik va Karleman funksiyasi ta’rifidan |∫A B G (z,ζ;σ)f(ζ)dζ |≤Cσ tengsizlik o’rinli ekanligi kelib chiqadi. 15 μ( z ; α ) = ∫ S❑ | G ( z , ζ ; σ )|| dζ | belgilash kiritib, (1.2.12) dan |f(z)− fαε(z)|≤εμ (z;σ)+Cα (σ);εμ (z;σ)=Cα (σ) . (1.2.1), (1.2.2) masalaning yechimini topish uchun quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi Karleman funksiyasini quramiz, ya’ni G (z,ζ;σ)= 1 ζ− ze−iσ(ζ−z);σ>0 1) G ( z , ζ ; σ ) = 1 ζ − z + iσ − ( iσ ) 2 1 2 ! ( ζ − z ) − … − G ( ζ , z ; σ ) , 2 ¿ ∫ AB | G ( ζ , z ; σ ) || dζ | ≤ e σ ( 0 − y ) ∫ AB | dζ ζ − z | = C e − σImz = α ( σ ) , | ℜ ( − i ( ξ + iη − x − iy ) ) | ; bu yerda C = ∫ AB | dζ ζ − z | . 1.2.2-teorema. Agar f ( z) ∈ A ( Ω ) ∩ C ( Ω ) bo’lib, f ( z) = φ ( z ) ; z ∈ S bo’lsa, u holda quyidagi ekvivalent Karleman formulasi o’rinli bo’ladi. Masala turg’un emasligini birinchi marta J.Adamar [ 1 2] ko’rsatgan. f ( z) = lim σ → ∞ 1 2 πi ∫ S❑ φ ( ζ ) ζ − z e − iσ ( ζ − z ) dζ , ( 1 .2 .13 ) f(z)= 1 2πi ∫S ❑ φ(ζ) ζ− zdζ − 1 2πi ∫0 ∞ e−iσz dσ ∫S ❑ e−iσζ φ(ζ)dζ .(1.2 .14 ) 1959-yil fizik olimlar V.A.Fok va F.M.Kunilar [3 6 ] Karleman formulasidan foydalanib, (1.2.1) tenglamaning (1.2.2) shartni qanoatlantiruvchi yechimining mavjudlik kriteriyasini isbotlagan. 1.2.3-teorema ( Fok-Kuni) [3 6 ]: Agar f(z)∈A(Ω)∩C(Ω) funksiya Koshi- Riman tenglamalar sistemasining yechimi bo’lib, S egri chiziq ustida Gyolder shartini qanoatlantiruvchi uzluksiz bo’lgan φ(z) ga teng bo’lsa, u holda quyidagi shart bajariladi 16 lim σ → ∞ J σ[ φ ] = 0 , (1.2.15) bunda J σ [ φ ] = | ∫ S❑ φ ( z ) e − iσζ dζ | ga teng. Agar φ ( z ) funksiya (1.2.15) shartni qanoatlantirsa, u holda Ω sohaning ichida analitik , S da φ ( z ) ga teng bo’lgan f ( z) funksiya mavjud bo’ladi, ya’ni Koshi-Riman tenglamalar sistemasining yechimi mavjud. Isbot . Zaruriyligi: f(z)e−iσ(z)= F(z) ekanligidan ∫∂Ω ❑ F (ζ)dζ =0;∫S ❑ φ(ζ)eiσζ dζ =−∫A B f(ξ)e−iσξ dξ (1.2 .16 ) ∫A B f(z)eiσx dx → 0;σ→ ∞(R− L) ( 1.2 .16 ) formulaning o’ng tomonidagi integral Riman –Lebeg teoremasi bo’yicha nolga intilgani uchun (1.2.16) formuladan (1.2.15) formulaga kelamiz. Yetarliligi: (1.2.15) shart bajarilsin, ya’ni f(z)= limσ→∞ 1 2πi ∫S ❑ φ(ζ) ζ− ze−iσ(ζ−z)dζ =0, e − Reiσ ( ζ − z ) ¿ z ∈ D = e σ ( η − y ) ¿ ζ ∈ Ω ≤ e σ ( h − y ) , yagonalik teoremasidan Imz >h , f2(z)≡ 0; z∈{Imz >0}¿Ω , f1(z)− f2(z)=φ(ζ);ζ∈S, f2(z)= limz→ζf2(z)= 0. Saxotskiy formulasidan f 1 ( z ) = φ ( ζ ) ; ζ ∈ S . Talab qilinayotgan f ( z ) funksiya sifatida f 1 ( z ) funksiyani olamiz.Teorema isbotlandi. § 1.3. Kompleks tekislikda bir jinsli bo’lmagan Koshi-Riman sistemasi yechimi uchun Koshining integral formulasi 17 K ompleks tekislikda chegaralangan bir bog’lamli Ω soha berilgan bo’lib, nuqta shu sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Shu sohada bir jinsli bo’lmagan Koshi –Riman tenglamalar sistemasini qaraymiz : (1.3.1) bu yerda uning haqiqiy qismi u ( x ; y ) va mavhum qismi v ( x ; y ) , ya’ni , funksiyamiz esa quyidagicha: (1.3.2) aniqlangan. Uning haqiqiy va mavhum qismlari mos ravishda: φ(x;y)= 2Reg (z);ψ(x;y)=2Img (z) ∂ f ∂ z esa: ∂ f ∂z= 1 2[( ∂u ∂x− ∂v ∂y)+i( ∂u ∂y+∂v ∂x)] (1.3.3) (1.2.2) va (1.3.2) ni (1.3.1) tenglamaga keltirib qo’yib quyidagi tenglikni hosil qilamiz: ( ∂ u ∂ x − ∂ v ∂ y ) + i ( ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x ) = φ ( x ; y ) + iψ ( x ; y ) . (1.3.4) Oxirgi tenglikning o’ng va chap tarafidagi ifodalar bir –biriga teng bo’lishi uchun ularning haqiqiy va mavhum qismlari bir-biriga teng bo’lishi kerak. Natijada quyidagi sistemani hosil qilamiz: 18 (1.3.5) (1.3.1) va (1.3.5) tenglamalar sistemasi bir-biriga ekvivalent. Agar bo’lsa, u holda (1.2.1) bir jinsli Koshi-Riman tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Bir jinsli bo’lmagan Koshi-Riman tenglamalar sistemasi yechimini yozishdan avval tashqi ko’paytma xossalarini keltiramiz ([ 10 ], 197-203 b.): 1 0 .20 . Kompleks tekislikda chegaralangan, bir bog’lamli sohada bir jinsli bo’lmagan Koshi-Riman tenglamalar sistemasining umumiy yechimi quyidagi formula orqali aniqlanadi: ( 1.3.6) bu yerda sohaning chegarasi. (1.3.6) formulaning o’ng tomonidagi integral (1.3.1) tenglamani qanoatlantiradi. Quyidagi teorema kuchga ega: 1.3.1-teorema [ 1 ] (Bir jinsli bo’lmagan Koshi-Riman sistemasi yechimining mavjudligi haqida) . Kompleks tekislikda bo’lakli silliq γ Jordan chizig’i bilan chegaralangan bir bog’lamli soha berilgan bo’lsin. va 19 bo’lsin. U holda (1.3.1) tenglamaning yechimi uchun quyidagi integral ko’rinish o’rinli: Teoremani isbot qilishdan oldin biz quyidagi lemmani isbot qilamiz. 1.3.1-lemma. Kompleks tekislikdagi soha 1.3.1 – teoremaning isbotida keltirilgan soha bo’lsin. U holda shu sohada quyidagi tenglik o’rinli: 1.3.1-lemmaning isboti: uchun sohadan markazi z nuqtada, radiusi r ga teng bo’lgan aylana olamiz va bu aylana bilan chegaralangan doirani ∆ ( z ; r ) deb belgilaymiz: deb quyidagicha ochiq sohani olamiz: . Bu sohaning chegarasi: bu yerda doiraning chegarasi. Bizga ma’lumki differensiallanuvchi F ( z ) funksiya uchun quyidagi tenglik o’rinli [36]: . Endi f ( ζ ) dζ ζ − z ifodaning differensialini topamiz [31]: d[f(ζ) 1 ζ− z]= ∂ ∂ζ(f(ζ) 1 ζ− z)dζ + ∂ ∂ζ(f(ζ) 1 ζ− z)dζ=[ ∂f ∂ζ 1 ζ− z− f(ζ) 1 (ζ− z)2]dζ +[ ∂f ∂ζ 1 ζ− z+ f ∂ ∂ζ 1 ζ− z]dζ= 1 ζ− z ∂ f ∂ζ dζ − 1 (ζ− z)2f(ζ)dζ +∂f ∂ζ dζ ζ− z. Demak, ∬ Ω r❑ d ( f ( ζ ) 1 ζ − z ) dζ = ∬ Ω❑ [ 1 ζ − z ∂ f ∂ ζ − f ( ζ ) ( ζ − z ) 2 ] dζ ⋀ dζ + ∬ Ω r❑ ∂ f ∂ ζ d ζ ⋀ dζ ζ − z chunki dζ ⋀ dζ = 0 . Shunday qilib quyidagini hosil qilamiz: 20 ∬ Ω r❑ d( f ( ζ ) 1 ζ − z ) dζ = ∬ Ω r❑ ∂ f ∂ ζ d ζ ⋀ dζ ζ − z 1.3.1-lemma isbot bo’ldi. 1.3.1 -teoremaning isboti: Yuqorida ko’rgan 1.3.1-lemmadan va Stoks formulasidan ([ 10 ], 246 − 249 b . ) ∫Ω ❑ dω = ∫∂Ω ❑ ω quyidagiga ega bo’lamiz: ∬Ωr ❑ ∂f ∂ζ dζ∧dζ ζ− z =∬Ωr ❑ d(f(ζ)dζ ζ− z)=∫∂Ω ❑ f(ζ) dζ ζ− z− ∫∂Ωr ❑ f(ζ)dζ ζ− z (1.3.7) tenglikda r → 0 da limitga o’tsak Ωr bo’yicha ikki karrali integral Ω bo’yicha ikki karrali integralga yaqinlashadi, ∂Ω bo’yicha olingan integral o’zgarmaydi. γr bo’yicha olingan integralni tekshirish uchun parametrlar kiritamiz: ζ= z+re¿ ;0≤t≤2π;dζ =rie¿dt ∫∂Ωr ❑ f(ζ) dζ ζ− z=∫0 2π f(z+re¿)ri e¿dt re¿ =∫0 2π f(z+re¿)idt . Oxirgi tenglikda r → 0 da limitga o’tsak quyidagini hosil qilamiz: lim r → 0 ∫ ∂ Ω r❑ f ( ζ ) dζ ζ − z = ∫ 02 π f ( z) idt = 2 πif ( z) . Demak, (1.3.7) tenglik quyidagi ko’rinishga keladi: ∬ Ω❑ ∂ f ∂ ζ d ζ ζ − z = ∫ ∂ Ω❑ f ( ζ ) dζ ζ − z − 2 πif ( z ) . Oxirgi ifoda teorema shartidagi integral ko’rinish f ( z) = 1 2 πi ∫ ∂ Ω❑ f ( ζ ) ζ − z + 1 2 πi ∬ Ω❑ g ( ζ ) ζ − z dζ ∧ d ζ , z ∈ Ω bilan ustma-ust tushadi. 1.3.1-teorema isbot bo’ldi. 1. 4 -§. Burchak ko’rinishidagi sohada b ir jinsli bo’lmagan Koshi-Riman sistemasi uchun Karleman formulasi - o’lchovli haqiqiy Evklid fazosi , 21 ,α2= s, τ= tg π 2ρ , τ1=sin π 2ρ , ρ>1 , ∂G ρ= {y:|y'|=τy 1,y1>0}, G = G ρ∪ ∂G ρ , ε,ε1,ε2 - yetarlicha kichik musbat o’zgarmas son, , , G ρ ε= G ρ ε∪ ∂G ρ ε , C - kompleks tekislik, ς= y1+iy 2 , - birlik sfera yzasi , Ωρ - tekislikdagiagi chegaralangan bir bog’lamli soha, chegarasi ∂Ωρ - ∂Gρ burchak chegarasi va Gρ burchakda yotuvchi S silliq sirt bo’lagidan tashkil topgan. ρ=1 limitik holat . Bu holda ∂Gρ - dagi tekislik va Gρ - yarim fazo , Ω1 - dagi chegaralangan bir bog ’ lamli soha , chegarasi tekislik qismi va yuqori yarim tekislikda yotuvchi S silliq yoydan tashkil topgan ; S0 - yoyning ichki qismi ( S0 - chegarasi olib tashlangan S yoy ). Hosil qilinadigan integral formula Mittag-Lefflerning butun funksiyasi orqali aniq ko’rinishda ifodalanadi. Shuning uchun unining asosiy xossalarini isbotsiz keltiramiz. To’la isboti bilan [11] keltirilgan. Mittag-Lefflerning butun funksiyasiquyidagi qator orqali ifodlanadi Eρ(w )= ∑ n=0 ∞ wn Г (1+n ρ ) , ρ>0 , w ∈C , E1(w)= ew , bu yerda Г - Eylerning gamma –funksiyasi. Hamma joyda ρ>1 deb faraz qilamiz. w kompleks tekislikda arg w kamaymaydigan yo’nalishi hamda arg w= − β , |w|≥1 nur, |w|=1 aylanani − β≤ arg w ≤ β yoyi va arg w= − β , |w|≥1 nurni γ=γ(1,β) , 0< β< π ρ , ρ>1 kontur orqali belgilaymiz. γ kontur C kompleks tekislikni mos holda bu konturdan chapda va o ’ ngda yotuvchi ikkita bir bog ’ lamli cheksiz Ω− va Ω+ sohalarga ajratadi . Faraz qilamiz π 2ρ<β<π ρ , ρ> 1 . 22 Bu shartlarda quyidagi integral tasvir o’rinli: E ρ(w )= ρexp (w ρ)+ψ ρ(w ) , w ∈Ω + , (1.4.1) Eρ(w )= ψρ(w ) , Eρ'(w )= ψρ'(w ) , w ∈Ω− , (1.4.2) bu yerda ψρ(w )= ρ 2πi ∫ γ exp (ζρ) ζ−w dς , ψρ '(w)= ρ 2πi ∫ γ exp (ζρ) (ζ−w)2dς . (1.4.3) w ning haqiqiy qiymatlarida Eρ(w) haqiqiy ekanligidan Re ψρ(w )= ψρ(w )+ψρ(w ) 2 = ρ 2πi ∫ γ exp (ζρ)(ζ− Re w ) (ζ− w )(ζ− w ) dζ , (1.4.4) Im ψ ρ(w )= ψ ρ(w )− ψ ρ(w ) 2i = ρIm w 2πi ∫ γ exp (ςρ) (ζ− w )(ς− w ) dζ . (1.2.5) Im ψρ '(w ) Im w = ρ 2πi ∫ γ 2exp (ζρ)(ζ− Re w ) (ζ− w )2(ζ− w )2 dζ (1.4.6) ega bo’lamiz. γ(1,β) konturni keyingi barcha aniqlashlarda β= π 2 ρ + ε2 2 , ρ>1 deb olamiz. Ma’lumki, agar , (1.4.7) bo’lsa, u holda w ∈Ω ρ va Eρ(w )= ψρ(w ) . Tk,p(w )= ρ 2πi ∫ γ ζρexp (ζρ)dζ (ζ− w)k(ζ− w)k , k=1,2,⋯ , p=0,1,⋯ belgilaymiz. π 2ρ +ε2≤|arg w|≤ π bo’lganda tengsizlik o’rinli 23 |Eρ(w )|≤ M 1 1+|w|, |Eρ '(w )|≤ M 2 1+|w|2 , |Tk,p(w)|≤ M 3 1+|w|2k , k=1,2,⋯ (2.4.8) bu yerda M 1 , M 2 , M 3 - w dan bog’liq bo’lmagan o’zgarmaslar. (1.4.2) formulada β= π 2 ρ + ε2 2 < π ρ , ρ>1 tanlaymiz. U holda Eρ(w )= ψρ(w ) , bu yerda ψρ(w) (1.4.3) dan aniqlanadi. Bunda cos (ρβ )<0 ekanligini bilgan holda integral yaqinlashadi: ∫ γ |ς|pexp [cos (ρβ |ζ|p)]|dς |<∞ , p=0,1,⋯ . (1.4.9) Yetarlicha katta |w|(w ∈Ω+,w ∈Ω−) min ς∈γ |ζ− w|≥|w|sin ε2 2 , min ς∈γ |ζ− w|≥|w|sin ε2 2 (1.4.10) ega bo’lamiz. (1.4.2) va 1 ζ− w =− 1 w + ζ w(ζ− w) , 1 ζ− w =− 1 w + ζ w(ζ− w) (1.4.11) yoyilmadan katta |w| uchun |Eρ(w)− Г−1(1− 1 ρ)1 w|≤ ρ 2πsin ε2 2 ⋅ 1 |w|2∫ γ |ζ|exp [cos (ρβ |ζ|p)]|dζ |≤ const |w|2 , Г−1(1− 1 ρ)= ρ 2πi ∫ γ exp (ζp)dζ hosil qilamiz. Bundan (1.4.8) birinchi tengsizligi kelib chiqadi.(1.4.10), (1.4.3)va 1 (ζ− w )2= 1 w 2− 2 ζ w 2(ζ− w ) + ζ2 w 2(ζ− w )2 Yoyilmadan katta |w| da yuqoridagiga o ’ xshash tengsizlikni hosil qilamiz |Eρ(w )− Г−1(1− 1 ρ ) 1 w2|≤ const |w|3 . (1.4.8) dan ikkinchi tengsizlik isbotlandi. k=1,2,⋯ uchun (1.4.11) dan 24 1 (ζ− w )k⋅ 1 (ζ− w)k= [ (− 1)k wk + ...+ ζk wk(ζ− w )k] ⋅ [ (− 1)k wk + ...+ ζk wk(ζ− w )k] = = 1 |w|2k+ − k |w|2k+1(ζ− w ) +...ega o’lamiz. Katta |w| yoyilmaning birinchi hadi asosiy hisoblanadi, shuning uchun (1.4.9) va (1.4.10) dan (1.4.8) ning uchinchi tengsizligi kelib chiqadi. 1.4.1 – teorema. Agar kompleks tekislikning sohasida funksiya (1.3.3) tenglamani, g(z)∈C1(),|f(ζ)|S=φ(ζ),ζ∈S (1.4.12) shartni qanoatlantirsin. U holda ixtiyoriy nuqta uchun quyidagi Karleman formulasi o’rinlidir f ( z) = 1 2 πi lim σ → ∞ ( ∫ S❑ E ρ [ σ ( ζ − z ) ] f ( ζ ) ζ − z dζ + ∬ ∂ Ω ρ❑ E ρ [ σ ( ζ − z ) ] g ( ζ ) ζ − z dζ ∧ d ζ ) , (1.4.13) σ -musbat parametr, sohadan olingan har bir kompaktda yaqinlashish tekis bajariladi. Isbot. Teoremaning shartiga ko’ra ixtiyoriy uchun Koshining integral formulasi o’rinli bu yerda sohadagi ixtiyoriy kompakt. uchun (1.4.8) tengsizlik o’rinli, bunda (kompaktdan gacha bo’lgan masofa dan kichik emas). Ushbu maqsadda ayirmani almashtiramiz 25 с hunki va hamda (1.4.7) shartni qanoatlantiradi: va uchun (1.4.8) tengsizlik o’rinli, bu yerda . Agar bo’lsa, u holda va (1.4.8) tengsizlik o’rinli bo’ladi. Endi Koshining integral formulasida ni cheksizga intiltiramiz. Bunda qism bo’yicha olingan integral yo’qoladi va (1.4.13) formulani hosil qilamiz. Teorema isbot bo’ldi . 1.4.1-natija. 1.4.1-teoremaning shartlarida quyidagi ekvivalent formulalar o’rinli (1.4.14) (1.4.15) Isboti. (1.4.16) tenglikdan kelib chiqadi, bu yerda (1.4.16) formulaning chap tomonidagi limitning mavjudligi o’ng tomondagi xosmas integralni mavjudligiga teng kuchli. (1.4.13) ko’rinishdagi Karleman 26 formulasi (1.3.1) sistema uchun ixtyoriy sohada garmonik o’lchov yordamida ilk bor G.M.Goluzin, V.I Krilov [37] lar tomonidan isbotlangan. Birinchi bob bo’yicha xulosa Dissertatsiyaning birinchi bobida nokorrekt masalalar nazariyasining rivojlash tarixi to’g’risidagi umumiy ma’lumotlar, korrektlik va shartli korrektlik ta’riflari keltirilgan. Tekislikda bir jinsli Koshi-Riman sistemasi uchun Koshi masalasi Karleman funksiyasi yordamida yechilgan. Bir jinsli bo’lmagan Koshi- Riman sistemasi uchun Koshining integral formulasi yordamida burchak ko’rinishidagi maxsus sohada Karleman formulasi hosil qilingan. 27 II BOB. UCH O’LCHAMLI CHEGARALANGAN SOHADA KOSHI – RIMAN SISTEMASI UCHUN KOSHINING INTEGRAL FORMULASI VA NOKORREKT KOSHI MASALASINING QO’YILISHI § 2.1. Uch o’lchamli fazoda silliq vektor uchun Pompeyning integral formulasiR3 uch o’lchamli haqiqiy o’zgaruvchining Yevklid fazosi bo’lib, y=(y1,y2,y3) , y'=(y1,y2) , x'=(x1,x2)∈R2 , α2=|y'− x'|= (y1− x1)2+(y2− x2)2 , r2=|y− x|2= α2+(y3− x3)2 , s=α2 , Ω - uch o’lchamli fazoda chegarasi chekli sondagi bo’lakli silliq sirtlardan tashkil topgan bir bog’lamli chegaralangan soha bo’lsin. 2.1.1-ta’rif. R3 − ¿ Yevklid fazosidagi S sirt silliq deyiladi, agar quyidagi shartlarni qanoatlantirsa: 1) bu sirt hamma yerda urinma tekislikka ega bo’lib nuqtadan-nuqtaga uzluksiz o’zgaradi; 2) shunday δ son mavjudki, istalgan y∈S nuqta uchun S sirtning C (δ,y),(0<δ<δ0) . Shar ichiga joylashgan S1qismi S sirtning y nuqtasidagi normaliga parallel har bir to’g’ri chiziq bilan bittadan ortiq bo’lmagan nuqtada kesishadi. S silliq sirt Lyapunov sirti deyiladi, agar quyidagi shart bajarilsa: 3) θ ≤ L | x − y | h bunda θ − S sirtning x va y nuqtalaridagi v x va v y birlik normallar orasidagi burchak, L va h- musbat sonlar bo’lib, 0<h≤1. 2.1.2-ta’rif. S sirt fazoda silliq deyiladi, agar: 1) S sirtning ixtiyoriy nuqtasida unga urinma tekislik o’tkazish mumkin, shunga o’xshash normal, bir nuqtadan boshqasiga o’tishda uzluksiz almashadi (sakrashsiz); 28 2) shunday fiksirlangan musbat δ0>0 mavjudki, S sirtda ixtiyoriy A nuqta uchun markazi A nuqtada, radiusi δ ( δ<δ0 ) quyidagi xossaga ega bo’lgan sferani o’tkazish mumkin: S sirtda A nuqtada o’tkazilgan ν normalga parallel bo’lgan Oδ(A) sferaning ichida yotgan barcha to’g’ri chiziqlar S sirtni faqat bir martagina kesib o’tadi. (2.1.2) formulani geofizika nuqtai-nazaridan hosil qilishni qaraymiz. Buning uchun quyidagi ta’riflarni kiritamiz. 2.1.3-ta’rif. Agar vektor maydon uchun Ω sohada , U (x)= − 1 4π∫ Ω q(y) |y− x| dy , (2.1.4) tasvir o’rinli bo’lsa, u holda potensial maydon deyiladi. 2.1.4-ta’rif. Agar vektor maydon uchun Ω sohada , , (2.1.5) tasvir o’rinli bo’lsa, u holda solenoidal maydon deyiladi. 1.2.12-ta’rif. Agar vektor maydon uchun Ω sohada bir vaqtning o’zida potensial va solenoidal bo’lsa, laplasli vektor maydon deyiladi , ( bo’lganda) . (2.1.6) Laplasli vektor maydonning dekart komponentalari garmonik funksiyalardir. Matematik analiz kursidan ma’lum bo’lgan quyidagi Stoks formulasi (2.1.7) o’rinli. U ( y ) funksiya Ω sohada garmonik va uning chegarasi ∂Ω gacha birinchi tartibli hosilasi bilan uzluksiz bo’lsin. Laplas tenglamasining fundamental yechimi berilgan bo’lsin. U holda Koshining integral formulasini uch o’lchamli o’xshashi o’rinli [7; 122-b.] 29 (2.1.8) Agar - chekli sohadagi potensial maydon , barcha manbalari dan tashqarida yotibdi , ya ’ ni - chegaragacha uzluksiz dagi laplas maydoni . Uholda ( 1 .2.4) da (2.1.9) Ko’rishimiz mumkinki, Laplas tenglamasining ixtiyoriy regulyar yechimi uchun (2.1.4) Koshining integral formulasining qiymati nolga teng. Demak, Laplas tenglamasining fundamental yechimiga ixtiyoriy regulyar yechimni qo’shganda ham (2.1.9) formula o’rinlidir. 30 § 2.2. Fazoda potensial vektor uchun Koshining umumlashgan integral formulasi Ω- chegarasi chekli sondagi bo’lakli-silliq sirtlardan tashkil topgan uch o’lchamli sohadan iborat bo’lib, - shu sohada berilgan, komponentalari Ω da birinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo’lsin . Quyidagi sistemani qaraymiz 2.2.1-ta’rif. [35]. Uch komponentli -vektor funksiya sohada potensial vektor deyiladi, agar ( ) skalyar funksiyalar shu sohada uzluksiz differensiallanuvchi va vektor ko’rinishdagi , (2.2.1) elliptik tenglamalar sistemasini qanoatlantirsa. Vektor analizdan ma’lum bo’lgan ushbu formulalardan div ⃗F(х)=∂F1(x) ∂x1 +∂F2(x) ∂x2 +∂F3(x) ∂x3 , rot ⃗F=¿ |i j k¿|| ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x3 ¿|¿ ¿ ¿¿ =(∂F3 ∂x2 −∂F2 ∂x3 )i+(∂F3 ∂x1 −∂F1 ∂x3 )j+(∂F2 ∂x1 −∂F1 ∂x2 )k. foydalanib ( 2.2.1) sistemani skalyar ko’rinishda quyidagicha ifodalash mumkin 31 , , , , (2.2. 1 ¿ ) bu yerda, - noma’lum vektor funksiya. Agar va bo’lsa, u holda (2.2.1*) sestema tekislikdagi Koshi- Riman sistemasiga aylanadi. Demak, (2,2.1*) sistema Koshi-Riman sistemasining fazodagi umumlashmasidir. uch o’lchovli yevklid fazosida chegaralangan soha bo’lib, uning bir bog’lamli chegarasi Liyapunov sirtidan iborat bo’lgan sirt bo’lsin, ya’ni . - sohada uzluksiz differensiallanuvchi va uning chegarasi gacha uzluksiz bo’lgan vektor- funksiya:⃗ F ( x 1 , x 2 , x 3 ) = F 1 ( x 1 , x 2 , x 3 )⃗ i + F 2 ( x 1 , x 2 , x 3 )⃗ j + F 3 ( x 1 , x 2 , x 3 )⃗ k , berilgan bo’lsin. Gauss-Ostrogradskiy formulasini ∬ S❑ ⃗ p⃗ n dω = ∭ Ω❑ ¿ ⃗ p dτ (2.2.2) quyidagi vektorlar uchun qo’llaymiz ⃗p1= 1 r3{[(y1− x1)F1−(y2− x2)F2−(y3− x3)F3]⃗i+[(y1− x1)F2+(y2− x2)F1]⃗j+[(y1− x1)F3+(y3− x3)F1]⃗k}, ⃗p2= 1 r3{[(y1− x1)F2+(y2− x2)F1]⃗i+[−(y1− x1)F1+(y2− x2)F2−(y3− x3)F3]⃗j+[(y2− x2)F3+(y3− x3)F2]⃗k}, ⃗p3= 1 r3{[(y1− x1)F3+(y3− x3)F1]⃗i+[(y2− x2)F3+(y3− x3)F2]⃗j+[−(y1− x1)F1−(y2− x2)F2+(y3− x3)F3]⃗k}. Agar hosil qilingan ayniyatlarni mos holda ⃗i,⃗j,⃗k ga ko’paytirib va qo’shsa, u holda (2.2.3) ×−¿ vektorial ko’paytma, matritsa quyidagi ko’rinishga ega: 32 , (2.2.4) bu yerda ⃗n=α⃗i+β⃗j+γ⃗k , (y¿¿1,y2,y3)¿ nuqtada Ω sohaga nisbatan ∂Ω sirtga tashqi normal. (2.2.3) formula bir o’zgaruvchili kompleks funksiyalar nazariyasidan ma’lum bo’lgan Pompey formulasining fazoviy o’xshashidir. sohada potensial vektor uchun Koshining umumlashgan integral formulasi o’rinli [23] (2.2.5) bu yerda (2.2.4) formuladan aniqlanadi, , – nuqtada tashqi normal vektorning yo'naltirivchi kosinuslari. Gaus-Ostrogradskiy formulasidan kelib chiqadiki, agar (2.2.4) formulada Laplas tenglamasining fundamental yechimiga shu tenglamaning regulyar yechimini qo’shganda ham (2.2.5) formula o’rinli bo’ladi. Bunga ko’ra quyidagi formulani hosil qilamiz (2.2.6) bu yerda 33 , (2.2.7) buda : , (2.2.8) , –ning haqiqiy qiymatlarida haqiqiyligidan elemantar almashtirish orqali ega bo ’ lamiz . Shunday qilib , (2.2.8) formulani quyidagi ko ’ rinishda ifodalashimiz mumkin . (2.2. 9 ) . 34 , bundan (2.2.8) dagi integral absolyut yaqinlashadi. Agar bo’lsa, u holda funksiya Laplas tenglamasining klassik ma’nodagi fundamental yechimidan iborat bo’ladi, ya’ni . (2.2.10) Ko’rsatishimiz mumkinki, , bu yerda , qaysiki . bu ayniyatni qo’llab xususiy holda Laplas tenglamasining klassik fundamental yechimi uchun ifodani hosil qilamiz. 35 § 2.3. Uch o’lchovli f azoda Koshi – Riman sistemasi uchun Koshi masalasining qo’yilishi va Karleman matritsasiΩ – R3 fazoda chegaralangan bir bog’lamli soha bo’lib, uning chegarasi : y3= 0 tekislikning kompakt bog’lamli qismi va y3≥ 0 yarim tekislikda yotuvchi Lyapunov silliq sirtining bo’lagidan iborat bo’lsin, , , to’rt komponentli vektor-funksiya shu sohada birinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lsin. - orqali sohada golomorf vektorlar sinfini belgilaymiz . 2.3.1-masala. (2.2.1) sistema yechimining chegaraviy qiymatlari S sirtda ma’lum bo’lsin: 2-rasm , . (2.3.1) Berilgan funksiyaga ko’ra sohada funksiyani tiklash talab qilinadi. Ma’lumki, Moisil-Teodeoresko sistemasi elliptik, elliptik tenglama va sistemalar uchun Koshi masalasi yechimi yagonadir [13]. Biroq bu masala korrekt emas, ya’ni 1) ixtiyoriy berilganlar uchun yechim mavjud emas; 2) yechim Koshining berilganlaridan uzluksiz bog’liq emas. Quyidagi Adamar misoliga [20] o’xshash misolda ko’rish mumkinki (2.2.5) sistema uchun Koshi masalasi turg’un emas. 2.3.1-misol. tekislikning dagi bo’lagi bo’lsin 36 , , , (2.3.2) . vektor-funksiya (2.2.5) sistemani Ω sohada qanoatlantirishini ko’rsatamiz , (2.3.3) . Bundan . Quyidagilarga ega bo’lamiz , , (2.3.3’) , 37 . Bundan , , . Shunday qilib, vektor funksiya butun sohada (2.2.1) tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi . Bundan tashqarix3=0 uchun , , . , bundan ⃗F(x1,x2,0)→ 0,k→ ∞ da. Biroq x1≠ 0,x2≠ 0 va x3>0 bo’lgan har bir x=(x1,x2,x3) nuqtada Shunday qilib, (2.2.1), (2.3.1) Koshi masalasining yechimi berilganning o’zgarishiga nisbatan turg’un emasligini ko’rsatdik. Asosiy maqsad giperbolik tenglamalar nazariyasida Koshi masalasi yechimi uchun B.Riman, V.Vol’ter, J.Adamarlar tomonidan olingan klassik formulalarga o’xshash aniq formulalarni hosil qilishdan iboratdir. Amaliy masalalarda S sirtda vektor-funksiyaning o’rniga δ>0 chetlanish bilan uning yaqinlashishi beriladi va bo’yicha soha nuqtalarida oldindan berilgan aniqlikda yechimni qurish talab etiladi. Masalaning yechimi turg’un emasligidan, taqribiy yechimni qurish mumkin emas. 38 Turg’un yechimni qurish uchun yechimlar sinfini toraytirish kerak [25], [26]. Bu odatda funksional fazolarda kompaktdir. Agar yechim tegishli bo’ladigan kompakt (kompaktni o’lchami) ni ifodalovchi son ma’lum bo’lsa, musbat parametrσ>0 dan bog’liq bo’lgan vektor-funksiyalar (regulyarizatsiya) oilasini qurish haqida so’z ketadi. M.M.Lavrent’evga [4] asoslanib Karleman funksiyasining ta’rifini keltiramiz: 2.3.1-ta’rif. (2.2.1), (2.3.1) masalaning Karleman matritsasi deb q uyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi 3  3 matritsaga aytiladi: 1) = + bu yerda  – musbat sonly parametr, matritsa y o’zgaruvchi bo’yicha butun sohada (2.2.1) tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi, –(2.2.1) tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari matritsasi; 2) ,   da  (  )  0, x  ; bu yerda, matritsaning Yevklid normasi , xususiy holda vektor uchun Quyidagi lemma Sh.Yarmuhamedov tomonidan isbotlangan [35]: 2.3.1-lemma. (2.2.9) formula bilan aniqlangan funksiya (2.3.4) ko’rinishda ifodalanadi, bu yerda – y , x ning barcha qiymatlarida aniqlangan va Laplas tenglamasini , , qanoatlantiruvchi funksiya, ∫ T(|Ф σ|+| ∂Ф σ ∂n |)dS y≤ C (Ω )σ exp (− σ x3 2) , bu yerda C (Ω ) – o’zgarmas. (2.2.1) sistema uchun ham shunga o’xshash lemma o’rinlidir. 39 2.3.2-lemma. (2.2.4) formula bilan aniqlangan matritsa (2.2.1), (2.3.1) masalaning Karleman matritsasi bo’ladi. Isbot . 2.3.1-lemma va 2.3.1-ta’rifdan kelib chiqadi. ekanligidan , ko ’ rishimiz mumkinki , matritsa (2.2.1) tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi , ya ’ niy o ’ zgaruvchi bo ’ yicha y= x nuqta ham kiritilganda regulyar yechim bo ’ ladi . (2.2.4) formuladan ko’rinadiki T ( y3= 0 ) da funksiya va uning gradienti σ→ ∞ da eksponensial tarzda barcha y1,y2 va x∈R3 , x3>0 nolga intiladi. Bundan (2.2.4) ga ko’ra matritsa σ→ ∞ da barcha y1,y2 va x∈R3 , x3>0 bo’lganda nolga intiladi. 2.3.1-ta’rifga ko’ra (2.2.4) formula bilan aniqlangan matritsa Ω soha va uning T qismi uchun Karleman matritsasidan iboratdir. Lemma isbot bo’ldi. Ikki nchi bob bo’yicha xulosa Ikkinchi bobda uch o’lchamli fazoda chegaralangan sohada potensial vektor uchun Pompey va Koshining integral formulalari o’rinli ekanligi ko’rsatilgan. Qalpoqsimon ko’rinishdagi chegaralangan soha chegarasining bir qismida berilgan qiymati bo’yicha sohaga davom ettirish masalasi, ya’ni Koshi masalasi qo’yilgan. Bunda Koshi masalasining nokorrekt, ya’ni turg’un emasligini ko’rsatuvchi Adamar misolining o’xshashi qurilgan. 40 III BOB. POTENSIAL VEKTORNI UCH O’LCHAMLI CHEGARALANGAN SOHADA SOHA CHEGARASINING BIR QISMIDA BERILGAN QIYMATI BO’YICHA TIKLASH §3.1. Koshi – Riman sistemasi uchun qalpoqsimon sohada Koshi masalasining aniq yechimiR3 fazoda chegaralangan bir bog’lamli Ω – sohaning chegarasi : y3= 0 tekislikning kompakt bog’lamli qismi va y3≥ 0 yarim tekislikda yotuvchi Lyapunov silliq sirtining bo’lagidan iborat bo’lsin, ya’ni . (2.2.1), (2.3.1) masalani yechishda foydalaniladigan Laplas tenglamasining umumlashgan fundamental yechimi , (2.2.9) , formulada K (w )= eσw 2 , aniq qiymatini olib, ushbu ko’rinishni oladi: 41 , (3.1.1) bu yerdaϕσ(y,x; u)= cos τ√u2+α2− (y3− x3)sin τ√u2+α2 √u2+α2 , τ= 2σy 3. (3.1.2) Faraz qilaylik, funksiya ∂Ω da chegaralangan , (3.1.3) - berilgan musbat son. Bu farazda Koshining integral formulasi o’rinlidir [8] . (3.1.4) Quyidagi belgilashni kiritamiz (3.1.5) 3.1.1-te о rema. Faraz qilaylik vektor-funksiya chegaraning T qismida (3.1.3) shartni qanoatlantirsin. U holda ixtiyoriy va σ>0 uchun |⃗ F ( x ) − ⃗ F σ ( x ) | ≤ BC ( σ ) exp ( − σ x 32 ) (3.1.6) tengsizlik o’rinlidir, bu yerda C ( σ ) = √ 7 √ π ( 2 + π 2 √ π + 1 √ σ ) . (3.1.7) Isbot. Koshining umumlashgan integral formulasi (3.1.4) dan ixtiyoriy uchun ⃗ F ( x ) − ⃗ F σ ( x ) = ⃗ J σ ( x ) ,⃗ J σ ( x ) = ∫ T❑ M σ ( y , x )⃗ F ( y ) d S y , (3.1.8) (3.1.3) shartdan 42 |⃗J σ ( x ) | ≤ B T σ ( x ) , , (3.1.9) 2.3.1-ta’rifga ko’ra (2.2.11) dan . (3.1.1), (3.1.2) formulalar bo’yicha , hisoblab qo’yamiz. U holda (3.1.9) tenglik bilan aniqlangan uchun , (3.1.10) U holda ( 3.1.9) tenglik bilan aniqlangan uchun 43 ( 3.1.11) hosil qilamiz. Integralda sohani fazo bilan almashtiramiz va hosil qilingan takroriy integralni butun bo’yicha olingan uch karrali integralga almashtiramiz . Oxirgi integralda sferik koordinatalar sistemasiga o’tamiz , . Natijada ushbu bahoga ega bo’lamiz U holda 44 , (3.1.11’) Bundan 3.1.1-teoremaning tasdig’i kelib chiqadi. 3.1.1-natija. Ixtiyoriy uchun (3.1.12) tenglik o’rinlidir, sohadan olingan kompaktda limit tekis bajariladi. §3.2. Potensial vektorni soha chegarasining bir qismida berilgan qiymati bo’yicha sohada tiklash Faraz qilaylik, qaralayotganΩ soha chegarasi ning y3≥ 0 yarim tekislikda yotuvchi Lyapunov silliq sirtining bo’lagidan iborat bo’lgan S sirt tenglama bilan berilgan bo’lsin, bu yerda - Lyapunov shartini qanoatlantiruvchi, bir qiymatli funksiya max T h= a , b= max [ 1+(dh dy 1 )2+( dh dy 2 )2 ] 1 2 . turg’unlik bahosini keltiramiz 3.2.1-te о rema. Faraz qilaylik chegaraning T qismida (3.1.3) shartni, qismida 45 (3.2.1) shartni qanoatlantirsin. U holda ixtiyoriy va σ>0 uchun (3.2.2) bu yerda musbat funksiya, Isbot. (3.1.4) formula va (3.1.3) tengsizlik, hamda (2.2.11’) , ( 3 . 2 . 1 ) formulalarga asosan (3.2.3) ega bo’lamiz (3.1.7) formuladan aniqlanadi. Endi Tengsizlikni qo ’ llab , (3.2.3) ni quyidagi ko ’ rinishda yozish mumkin (3.2.4) ekanligini inobatga olib va (3.1.1), (3.1.2), hamda , , 46 , ( 3 . 2 . 5 ) baholashlardan [39] ga asosan . ( 3 . 2 . 6 ) hosil qilamiz. (3.1.1) dan hosila uchun formulani keltiramiz , bu yerda , Endi ushbu tengsizliklarni hosil qilamiz , bu yerda 47 , , . (3.2.5) tengsizlikni qo’llab ni baholaymiz: 48 (3.2.7) (3.1.2) formuladan , , : hosilani hisoblaymiz . 49 (3.2.8) Endi J2 va J3 baholaymiz: 50 (3.2.9) Bu yerda quyidagi tengsizliklardan foydalanilgan 51 , (3.2.10) (3.2.7), (3.2.9), (3.2.10) ni (3.2.6) ga qo ’ yib quyidagi baholashni hosil qilamiz 52 (3.2.11) Ushbu tengsizliklarni inobatga olib (3.2.4), (3.2.5) va (3.2.11) dan hosil qilamiz, bu yerda shartdan tengsizlikni keltirib chiqaramiz ni tanlab chetlanish bilan tengsizlikni hosil qilamiz 3.2.1-teorema isbot bo’ldi. 53 Ssirtda funksiyaning o’rniga uni C(S) sinfdan olingan uzluksiz yaqinlashishi δ>0 chetlanish bilan berilganda taqribiy hisoblash imkoni bo’lgan natijani keltiramiz: . (3.2.12) (3.2.13) ni olamiz, bu yerda . 3.2.2-teorema. Faraz qilaylik vektor-funksiya sinfdan olingan bo’lib, (3.1.3) shartni qanoatlantirsin. U holda ixtiyoriy uchun , (3.2.14) bu yerda ψ (σ)= 3 π [2b√π( 1 √3σ + √σ)+ 2+a(1+3b)√πσ ] . (3.2.14’) Isbot. Ixtiyoriy x∈Ω uchun (3.1.4) Koshining integral formulasidan , hosil qilamiz, bu yerda Jσ(x) (3.1.8) formuladan aniqlanadi. (3.1.8) formuladan , (3.2.15) tengsizlik kelib chiqadi, bu yerda C (σ) (3.1.7) dan aniqlanadi. Teoremaning tasdig’i (3.2.4), (3.2.6) va (3.2.11) tengsizliklardan kelib chiqadi, , σ>0 , x3≥ 0 , (3.2.16) 54 Tengsizlikdan kelib chiqadi, bunda ψ(σ) (3.2.14’) dan aniqlanadi. Haqiqatdan, (3.2.16) dan bu yerda ψ(σ)≥C(σ) . σ ni chetlanish bilan tanlaymiz, u holda (3.2.14) tengsizlikni hosil qilamiz. (3.2.4) tengsizlikni qo’llab 3.2.2-teoremaning isbotini hosil qilamiz. 3.2.1-natija. Ixtiyoriy uchun sohadan olingan kompaktda tekis bajariladigan tenglik o’rinlidir. to’plamda aniqlanib qurilgan funksionalga Koshi masalasi yechimining M.M.Lavrent’ev bo’yicha regulyarizatsiyasi deyiladi, bu yerda , 0<δ≤ δ0 . Uchi nchi bob bo’yicha xulosa Dissertatsiyaning uchinchi bobida Koshi masalasining nokorrekt, ya’ni turg’un emasligini ko’rsatuvchi Adamar misolining o’xshashi qurilgan. Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan Koshi masalasini yechishdagi M.M.Lavrent’ev g’oyasi va Sh. Yarmuxamedov tomonidan maxsus sohalar uchun aniq ko’rinishda qurilgan Karleman funksiyasi asosida Karleman matritsasi qurilgan. Karleman matritsasi asosida regurlashgan yechim qurilgan. 55 Xulosa Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi fani o’zining ahamiyati jihatidan matematikaning barcha sohalarida asosiy o’rin egallaydi. Bu fanning haqiqiy o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi fanidan farqi ham Koshining integral teoremasi, Koshining integral formulasi, yagonalik teoremasi va analitik davom ettirish prinsipi kabi muhim tushunchalar fanning mohiyatini yanada orttiradi. Ushbu magistrlik dissertatsiyasida kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri hisoblangan umumlashgan analitik funksiya sohaga davom ettirish masalasi yechilgan. Bu ishning asosiy mohiyatini fazoda Koshi-Riman tenglamasi uchun qo’yilgan Koshi masalasi yechimini topish, ya’ni soha chegarasining bir qismida berilgan qiymati bo’yicha yechimni sohada tiklangan. Bunda akademik M.M.Lavrent’ev, Sh.Yarmuhamedovlarning g’oyasi 56 davom ettirilib Karleman matrisasi qurilgan va shu asosda Karleman formulasi, tekislikda bir jinsli bo’lmagan Koshi-Riman sistemasi uchun yechimning mavjudlik kritriyasi (Fok-Kuni teoremasi) isbotlangan. Xulosa qilib aytganda magistlik dissertatsiyasi ishidagi natijalar texnika, fizika, mexanika sohasidagi masalalarini yechishda keng qo’llaniladi va bu ishni kelgusida yanada kengroq sohada davom ettirish mumkin, dessirtatsiyadagi asosiy natijalar [39], [40] ishlarda chop ettirilgan. ADABIYOTLAR Ilmiy – nazariy adabiyotlar 1) Milliy nashrlar 1.Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Наука, 1988. –512 с. 2. Айзенберг Л.А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения. - Новосибирск, Наука, 1990, – 246 с. 3. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. –Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. – 457 с. 4. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Изд. СО АН СССР, Новосибирск, 1962. – 92 с. 57 5. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. – Новосибирск : НГУ, 1973. – 71 с. 6. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. –М.: Наука, 1979. – 285 с. 7. Жданов М.С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей. – М.: Наука, 1984. – 327 с. 8. Привалов И.И. “ Граничные свойства аналитических функций ” M .1950, – 337 с. 9. Лаврентьев М. А.,Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного: Учебное пособие для университетов. –М.:Наука, Гл.ред.физ.- мат.лит., 1987. – 688 с. 10. Зорич А. Математический анализ –2002., II т o м, – С.197-203. 11. Джарбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функции в комплексной области. М.Наука, 1966. – С.671. 12. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. – М.: Наука, 1980. II . Xorijiy nashrlar 13. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа, М.: Наука, 1978. – 352 с. 14. Берс А., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. – М.:Мир. 1966. – 351 с. 15. Carleman T. Les funstions quasi analytiques: – Paris, Gauthier – Villars, – 1926. – 115 p. II Maqola va tezislar 58 16. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. мат. журн. –1953. Т. 5, –№2. –С. 123-151. 17. Петровский И.Г. О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными // Успехи матем. наук. –1946. Т.1. – Вып. 3-4 (13-14). – С. 44- 18. Хермандер Л.Т. О регулярности решений граничных задач // Математика.–1960. Т . 4, –№4. – С . 37-73. 19. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions // II. Comm. Pure Appl.Math. – 1964. V. 17. – P. 35–92. 20. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions // I. Comm. Pure Appl.Math.–1964. V. 12. – P. 623-727. 21. Moisil Gr.C., Theodoresco N. Founctions holomorphes dansl’espase. Mathematica , –1931. V .5, 141, – P . 142-153. 22. Бицадзе А.В. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его приложения // Изв. АН СССР. Сер.матем. –1953. -17:6. – С.525-538. 23. Бицадзе А.В. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его применения // ДАН. АН СССР. –1953. – С.389-392. 24. Дезин А.А. Инвариантные дифференциальные операторы и граничные задачи // Труды МИАН СССР. –1962. Т. 68. –С. 3-88. 25. Виноградов В.С. Об одном аналоге системы Коши-Римана в четырехмерном пространстве // ДАН СССР. –1964. Т. 154. –№1. – С.16-19. 26. Виноградов В.С. Спинорные системы // Дифференциальные уравнения. – 1991. Т. –№1. –С. 22-29. 59 27. Ярмухамедов Ш., Абдукаримов А, Маликов З. Задача Коши для эллиптических систем первого порядка // ДРАН. –1992. Т. 323. –№1. – С. 266-268. 28. Ярмухамедов Ш. Об аналитическом продолжении голоморфного вектора по его граничным значениям на куске границы // Изв. АН Узбекской ССР. - 1980. - №6. – серия физико-математических наук. – С. 34-40. 29. Ишанкулов Т. Продолжение решения неоднородного уравнения Коши- Римана // Узбекский мате м атический журнал. – 2015. – №1. – С. 19-25. 30. Полунин В.А., Солдатов А.П. Трехмерный аналог интеграла типа Коши // Дифференциальные уравнения. –2011. Т. 47, –№3. –С.366-375. 31. Полунин В.А., Солдатов А.П. Задача Римана-Гильберта для системы Моисила-Теодореску в ограниченной области // Неклассические уравнения математической физики. Сб. науч. работ. Новосибирск: Изд-во: Инст.матем. – 2010. – С. 192-201. 32. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач.// Докл. АН СССР , – 1943. Т. 39, – №5. – С. 195-198. 33. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Изв.АН СССР, Сер. математика, – 1956. Т .20. – С . 819-842. 34. R.Mises Integral theorems in three -dimensional potential flow, Bull. Amer . Math . Soc ., vol . 50(1944), 599-611. 35. Ярмухамедов Ш. О задаче Коши для уравнения Лапласа // ДАН СССР. – Т.235. 1977. – №2, – С. 281-283. 36. Фок В.А.,Куни Ф.М. О введении «гасящей» функции в дисперсионные соотношения // Докл. АН СССР , –1959. T . 127. №6.– С.1195-1198. 37. Голузин Г.М., Крылов В.И. Обобщенная формула Карлемана и её приложение к аналитическому продолжение функций // Математический сборник 1933. Т.40. №2. –С. 144-149. 38. Ярмухамедов Ш. Представление гармонической функции в виде потенциалов и задача Коши // Математические заметки , 83 :5 (2008), 763–778 60 39. Сатторов Э.Н., Мардонов Дж.А., Темирова Д. Регуляризация решения задачи коши для лапласова поля в ограниченной области // Тезисы докладов международной научно-практической конференции «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий» Нукус, 2-3 мая 2023 г. 40. Сатторов Э.Н., Темирова Д. Регуляризация решения задачи Коши для лапласова поля в ограниченной области // ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ (Часть I) международной научно-практической конференции АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ФИЗИКИ, МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ Бухара, Узбекистан, 24-25 мая, 2023 год. С.242-243. III Dissertatsiya va avtoreferatlar 41. Ишанкулов Т. Аналитическое продолжение функций многих переменных и решений эллиптических систем: Дис. докт. физ.-мат. наук - Самарканд: СамГУ, – 2007 , – 165 с. 42. Сатторов Э.Н. Задача Коши для эллиптических систем первого порядка : Дис. докт. физ.-мат. наук - Самарканд: СамГУ, – 2018 , – 187 с. IV Internet saytlari 4 3 . WWW.INTUIT.RU ; http://www.mcmee.ru ; http://lib.mexmat.ru ; http://www.exponenta.ru .; www.lib.homelinex.org/math/ ; www.eknigu.com/lib/Mathematics/ ; www.eknigu.com/info/M_Mathematics/MC ; www.allmath.ru/highermath 61

Uch o‘lchovli fazoda koshi-riman sistemasi yechimlari soha chegarasining bir qismida berilgan qiymati bo‘yicha davom ettirish

Купить