Vektor maydoni xossalari va Stoks, Gaus-Ostragradskiy formulalari - Педагогика - Дипломные работы

Информация о документе

Цена	12000UZS
Размер	1.2MB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Дипломные работы
Предмет	Педагогика

Vektor maydoni xossalari va Stoks, Gaus-Ostragradskiy formulalari

Купить

Mavzu: Vektor maydoni xossalari va Stoks, Gaus-Ostragradskiy
formulalari .
Reja:
.Kirish.Ⅰ
.Asosiy qism.
Ⅱ
1. Vektor maydon tushunchasi. Vektor maydonning divergensiyasi, fizik
ma'nosi. Ostrogradskiy teoremasi
2. Vektor maydon uyurmasi (rotori) va uning xossalari. Vektor maydonning
sirkulyasiyasi .
3. Stoks teoremasi.
.Xulosa.
Ⅲ
.Foydalanilgan adabiyotlar.
Ⅳ

Kirish

Matematikani o‘rganishning bevosita amaliy tatbiqlaridan tashqari yosh
mutaxasislami har taraflama rivojlangan komil inson qilib tarbiyalashda uning
alohida o'ringa ega ekanligi ta'kidlamasdan bo‘lmaydi. Tahliliy mulohaza,
mantiqiy mushohada, fazoviy tasavvur, abstrakt tafakkur inson faoliyatining
barcha sohasi uchun zarur qobilyatki, bular matematikani o'rganish jarayonida
shakllanib boradi.
Dekart tomonidan koordinatalar sistemasini kiritilishi matematika va uning
tatbiqlarida revolyusiya yasadi. Keyingi qadam vektor hisobning kiritilishi bo’ldi.
Ba'zi fizik masalalami yechish uchun esa murakkab miqdorlar - tenzorlar kerak
boMadi. Tenzor kattaliklar nisbiylik nazariyasi va differensial geometriyada keng
qoMlaniladi. Tenzor miqdorlar fizik jarayon xususiyatlarini invariantlari
yordamida aniqlashga yordam beradi. Invariantlar deb shunday bog’lanishlarga
aytiladiki, ular bir sistemadan boshqasiga o‘tganda o‘zgarmaydi. Maydonlar
nazariyasidagi har bir matematik amallar nazariy va amaliy jihatdan tushunarli
holda keltirilgan. Shuning uchun talabalar va fizik jarayonlar bilan mashg‘ul
bo’lgan mutaxassislar uchun ushbu darslik amaliy ishlariga yordam beradi. Darslik
ikki bob va ikki ilovadan tashkil topgan. Darslikning birunchi qismida skalyar va
vektor maydonlarga oid tushunchalar, maydonning amallariga tegishli ma’umotlar,
maydon amallarining egri chiziqli koordinatalardagi ifodalari keltirilgan. Tenzorga
oid bo’limda unga tegishli amallar to‘g‘ri dekart koordinatalar sistemasida bayon
qilingan. Har bir mavzular misoliar bilan bayon qilingan va mustaqil ishlash uchun
mashqlar berilgan. Darslikda ikkita ilova keltirilgan. Birinchi ilovada kursni
o'qitishda zarur bobga asosiy formulalar bayon qilingan. Hamma sohalarda
matematik qonuniyatga asoslangan zamonaviy kompyuterlaming muvaffaqiyat
bilan tatbiq etilishi hamda uning kundan-kunga rivojlanib borayotgani, yosh
mutaxasislarning tegishli sohalar masalalarining matematik modellarini tuza bilishi
va unda hisoblash texnikasini joriy etish vazifasini qo‘ymoqda. Ayniqsa, analitik
hisoblashlami amalga oshiradigan bir qancha zamonaviy paketlar ishlab chiqildi
(Mathematica, MathCad, Maple va h.k).
Biz mustaqil ishlarni bajarishda informatsion texnologiyalardan unumli
foydalanish va zamon talabiga mos keladigan niutaxassislarni tayyorlashni nazarda
tutib 2- ilovada maydon amallarini Maple tizimida bajarishga oid namunalar bilan
to’ldirdik. Har bir bob tegishli paragraflarga bo’lingan bo’lib, har bir paragraf
mavzuga taalluqli asosiy ta'riflar, tasdiqlar, teoremalami o‘z ichiga oladi,
shuningdek, ularning har biri an'anaviy misollami batafsil tahlil yordamida yechish
orqali namoyish qilingan.
Vektor maydon tushunchasi. Vektor maydonning divergensiyasi, fizik
ma'nosi. Ostrogradskiy teoremasi

Sirt orqali o‘tadigan vektor maydon oqimi. Uning tezliklar maydonidagi fizik
ma’nosi. Faraz qilaylik, Oxyz
fazoning V sohasida
⃗
a( M ) = P ( x , y , z )⃗ i + Q ( x , y , z )⃗ j + R ( x , y , z )⃗ k
vektor maydon berilgan bo‘lsin, bu yerda
P(x,y,z),Q (x,y,z),R(x,y,z)−¿ shu
sohada uzluksiz bo‘lgan funksiyalar.
Bu sohada orientirlangan
σ sirtni olamiz, uning har bir nuqtasida normalning
musbat yo‘nalishi
⃗
n
0 = cosα ∙ ⃗ i + cosβ ∙ ⃗ j + cosγ ∙ ⃗ k
birlik vektor orqali aniqlansin, bu yerda
α,β,γ−¿ normal ⃗ n
0 ning koordinatalar
o‘qlari bilan tashkil qilgan burchaklari.
Ta’rif.
⃗ a ( M )
vektorning σ sirt orqali o‘tuvchi П
oqimi deb quyidagi ikkinchi
tur integraliga aytiladi:
П =
∬
σ❑
P
( x , y , z ) dydz + Q ( x , y , z ) dzdx + R ( x , y , z ) dxdy ( 1 )
(8) formulani
П =∬σ
❑
[P(x,y,z)cosα +Q (x,y,z)cosβ +R(x,y,z)cosγ ]dσ
ko ‘rinishda yoki yanada soddaroq
П =
∬
σ❑
⃗
a ∙ ⃗ n
0 dσ ( 2 )
ko ‘rinishda yozish mumkin, chunki Pcosα + Qcosβ + Rcosγ =
⃗ a ∙ ⃗ n
0 .
Bu yerda dσ
ifoda σ
sirt yuzining elementi. (60) formula
⃗a vektorning П oqimini vektor yozuvida
ifodalaydi.
Vektor maydon oqimining fizik ma’nosini aniqlaymiz. Faraz qilaylik,
⃗ a ( M )
vektor oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonini σ
orqali aniqlasin. Bu tezlik
vektori har bir
M nuqtada suyuqlik zarrachasi intilayotgan yo ‘nalish, vektor
chiziqlari esa suyuqlikning oqim chiziqlari bo‘ladi. (8-chizma).

σ
sirt orqali vaqt birligi ichida oqib o ‘tadigan suyuqlik miqdorini hisoblaymiz.
Buning uchun sirtda
M nuqtani va sirtning dσ
elementini qayd qilamiz.
Vaqt birligida bu element orqali oqib o‘tgan suyuqlik miqdori asosi
dσ va
yasovchisi a
bo‘lgan silindrning hajmi bilan aniqlanadi. Bu silindrning balandligi
uning yasovchisini
⃗n0 normal birlik vektoriga proeksiyalash yo‘li bilan hosil
qilinadi. shuning uchun silindrning hajmi
⃗
a ∙ ⃗ n
0 ∙ dσ
kattalikka teng bo‘ladi. Vaqt birligi ichida butun σ
sirt bo‘yicha oqib o‘tgan
suyuqlikning to‘liq hajmi yoki suyuqlik miqdori
σ bo‘yicha integrallash natijasida
hosil bo‘ladi:
∬
σ❑
⃗
a ∙ ⃗ n
0 dσ .
Bu natijani formula bilan taqqoslab, bunday xulosa chiqaramiz:
σ sirt orqali
o‘tayotgan
⃗a tezlik vektori П
oqimi shu sirt orqali vaqt birligi ichida sirt
orientatsiyalangan yo‘nalishda oqib o‘tgan suyuqlik miqdoridir. Bektorlar
oqimining fizik ma’nosi ana shundan iborat.
σ sirt fazoning biror sohasini
chegaralovchi yopiq sirt bo‘lgan hol ayniqsa katta qiziqish o‘yg‘otadi. Bu holda
⃗n0
normal vektorini doim fazoning tashqi qismiga yo‘naltirishga shartlashib olamiz.
Normal tomoniga qarab harakat sirtning tegishli joyida suyuqlik
ω sohadan oqib
chiqishini anglatadi, normalning qarama-qarshi tomoniga qarab harakat esa
suyuqlik sirtning tegishli joyida shu sohaga oqib kirishini anglatadi.
σ yopiq sirt
bo‘yicha olingan integralning o‘zi esa
П =∯σ
❑
⃗a∙⃗n0dσ
ko ‘rinishda belgilanadi va
ω sirtdan oqib chiqayotgan suyuqlik bilan unga oqib
kirayotgan suyuqlik orasidagi farqni beradi. Bunda, agar П = 0
bo‘lsa, ω
sohaga
undan qancha suyuqlik oqib chiqib ketsa, shuncha suyuqlik oqib kiradi.

Agar П > 0
bo‘lsa, u holda ω
sohadan unga oqib kiradigan suyuqlikdan
ko‘proq suv oqib chiqadi.
Agar П < 0
bo‘lsa, bu hol qurdum (stok)lar borligini ko‘rsatadi, ya’ni
suyuqlik oqimdan uzoqlashadigan joylar borligini ko‘rsatadi (masalan, bug‘lanadi).
Shunday qilib,
∯σ
❑
⃗a∙⃗n0dσ
integral manbalarning va qurdumlarning umumiy quvvatini beradi.
Yopiq sirt bo‘yicha olingan sirt integrali (vektor maydon oqimi) hamda shu sirt
bilan chegaralangan fazoviy soha bo‘yicha olingan uch karrali integral orasidagi
bog‘lanishni aniqlaymiz.
Teorema. Agar
⃗
a( M ) = P ( x , y , z )⃗ i + Q ( x , y , z )⃗ j + R ( x , y , z ) ⃗ k
vektor maydon proeksiyalari ω
sohada o‘zining birinchi tartibli xususiy hosilasi
bilan birga uzluksiz bo‘lsa, u holda
σ yopiq sirt orqali ⃗a vektor oqimini shu sirt
bilan chegaralangan ω
hajm bo‘yicha uch karrali integralni quyidagi formula
bo‘yicha shakl almashtirish mumkin:
∯
σ❑
P
( x , y , z ) dydz + Q ( x , y , z ) dzdx + R ( x , y , z ) dxdy = ¿
¿
∭
ω❑
( ∂ P
∂ x + ∂ Q
∂ y + ∂ R
∂ z ) dxdydz , ( 3 )
bu yerda integrallash σ
sirtning tashqi tomoni bo‘yicha amalga oshiriladi (sirtga
o‘tkazilgan normal fazoning tashqi qismiga yo‘nalgan).formula Ostogradskiy
formulasi deyiladi.
Isboti. Faraz qilaylik
D soha –σ sirtning (va ω sohaning) Oxyz sirtdagi
proeksiyasi bo‘lsin, z = z
1 ( x , y )
va z = z
2 ( x , y )
esa shu sirtning
σ1 pastki va σ
2
yuqoridagi qismlarining tenglamasi bo‘lsin (10-chizma). Ushbu

∭
ω❑
∂ R
∂ z dxdydz
uch karrali integralni sirt integraliga almashtiramiz.
Buning uchun uni ikki karrali integralga keltiramiz va z bo‘yicha
integrallaymiz. Bundan:
∭
ω❑
∂ R
∂ z dxdydz =
∬
D❑
(
∫
z
1 ( x , y)z
2
( x , y)
∂ R
∂ z dz
) dxdy = ¿
∬
D❑ (
R ( x , y , z )|
z
1( x , y)z
2
( x , y ))
dxdy = ¿ ¿ ¿
¿
∬
D❑
R
( x , y , z
2 ( x , y )) dxdy −
∬
D❑
R ( x , y , z
1 ( x , y )) dxdy . ( 4 )
D
soha ham σ1 sirtning, ham σ
2 sirtning Oxyz
tekislikdagi proeksiyasi bo‘lgani
uchun (11) formuladagi ikki karrali integrallarni ularga teng bo‘lgan
∬σ
❑
R(x,y,z)dxdy =∬σxy
❑
R(x,y,z(x,y))dxdy
sirt integrallari bilan almashtirish mumkin. Natijada quyidagini hosil qilamiz:
∭ω
❑ ∂R
∂zdxdydz =∬σ2
❑
R(x,y,z)dxdy −∬σ1
❑
R(x,y,z)dxdy .
Ikkinchi qo‘shiluvchida
σ1 sirtning tashqi tomonini ichkisiga almashtirib,
quyidagini hosil qilamiz:
∭
ω❑
∂ R
∂ z dxdydz =
∬
σ
2❑
R
( x , y , z ) dxdy +
∬
σ
1❑
R ( x , y , z ) dxdy = ¿
¿
∯
σ❑
R ( x , y , z ) dxdy , ( 5 )
bu yerda
σ yopiq sirtning tashqi tomoni olinadi.
Quyidagi formulalar ham xuddi shunga o‘xshash hosil qilinadi:
∭
ω❑
∂ P
∂ x dxdydz =
∯
σ❑
P
( x , y , z ) dydz , ( 6 )

∭
ω❑
∂ Q
∂ y dxdydz =
∯
σ❑
Q( x , y , z ) dxdz , ( 7 )
(5), (6), (7) tengliklarni hadma-had qo‘shib, Ostrogradskiyning (3)
formulasiga kelamiz, shuni isbotlash talab qilingan edi. Bu formula teoremaning
shartini qanoatlantiruvchi sohalarga bo‘lish mumkin bo‘lgan istalgan ω
fazoviy
soha uchun to‘g‘ri bo‘ladi. Bu formula yordamida yopiq sirtlar bo‘yicha sirt
integrallarini hisoblash qulay bo‘ladi.
Oxyz
fazoning ω sohasida ⃗a(M )= P(x,y,z)⃗i+Q (x,y,z)⃗j+R(x,y,z)⃗k
vektor maydon berilgan bo‘lsin, unda
P(x,y,z),Q (x,y,z),R(x,y,z) funksiyalar
differensiallanuvchi funksiyalar.
Ta’rif.
⃗ a ( M )
vektor maydonning diverginsiyasi (uzoqlashuvchisi) deb M
nuqtaning skalyar maydoniga aytiladi, u ¿
⃗ a ( M )
ko‘rinishda yoiladi va
¿
⃗ a( M ) = ∂ P
∂ x + ∂ Q
∂ y + ∂ R
∂ z ( 8 )
formula bilan aniqlanadi, bu yerda xususiy hosilalar
M nuqtada hisoblanadi.
Divergensiyadan foydalanib, Ostogradskiyning (10) formulasini vektor
shaklida qayta yozish mumkin:
∯σ
❑
⃗a⃗n0dσ =∭ω
❑
¿⃗a(M )dω .(9)
Uni bunday ifodalash mumkin: yopiq sirt orqali o‘tuvchi (bu sirt tashqi
⃗n normali
yo‘nalishida orientirlangan)
⃗a vektor maydon oqimi shu sirt bilan chegaralangan
hajm bo‘yicha maydon divergensiyasidan olingan uch karrali integralga teng.
Divergensiyani hisoblashda quyidagi xossalardan foydalaniladi:
10.÷(⃗a(M )+⃗b(M ))=¿⃗a(M )+¿⃗b(M );
2 0
. divC ∙
⃗ a( M ) = C ∙ ÷ ⃗ a( M ) , bunda C − o ‘ zgarmas son
3 0
. divu
( M ) ∙⃗ a( M ) = u ( M ) ÷ ⃗ a( M ) + ⃗ a( M ) grad u ( M ) ,
bu yerda u
( M ) − ¿
skalyar maydonni aniqlovchi funksiya.

Vektor maydon uyurmasi (rotori) va uning xossalari. Vektor maydonning
sirkulyasiyasi .
Faraz qilaylik, Oxyz
fazoning ω
sohasida quyidagi vektor maydon berilgan bo‘lsin:⃗
a( M ) = P ( x , y , z )⃗ i + Q ( x , y , z )⃗ j + R ( x , y , z )⃗ k .
Ta’rif.
⃗ a ( M )
vektor maydonning uyurmasi (yoki rotori ) deb M nuqtaning
rot ⃗a(M )
bilan belgilanadigan va
rot
⃗ a( M ) = ( ∂ R
∂ y − ∂ Q
∂ z )⃗ i + ( ∂ P
∂ z − ∂ R
∂ x )⃗ j + ( ∂ Q
∂ x − ∂ P
∂ y )⃗ k ( 14 )
formula bilan aniqlanadigan vektor maydoniga aytiladi, bunda xususiy hosilalarni
M (x,y,z)
nuqtada topamiz.
Misol. Ushbu
⃗a(M )= z2⃗i+x2⃗j+y2⃗k
vektor maydonning uyurmasini toping.
Yechish.
P= z2,Q= x2,R= y2 ga egamiz. Xususiy hosilalarni topamiz:
∂ R
∂ y − ∂ Q
∂ z = 2 y , ∂ P
∂ z − ∂ R
∂ x = 2 z , ∂ Q
∂ x − ∂ P
∂ y = 2 x .
Demak,
rot
⃗ a = 2 y ⃗ i + 2 z ⃗ j + 2 x ⃗ k .

Uyurma tushunchasidan foydalanib, Stoks formulasini vektor shaklida qayta
yozish mumkin:
∮
L❑⃗
a d ⃗ r = ¿
∬
σ❑ ⃗
n ∙ rot ⃗ a dσ ( 15 ) ¿
va bunday ifodalash mumkin:
⃗a vektorning σ
sirtni chegaralovchi L
konturni
aylanib chiqishning musbat yo‘nalishi bo‘yicha sirkulyatsiyasi
rot ⃗a vektorning shu
sirt orqali o‘tadigan oqimiga teng.
Uyurmaning ta’rifidan foydalanib, quyidagi xossalarning to‘g‘ri ekaniga
ishonch hosil qilish mumkin:
10.rot (⃗a+⃗b)=rot ⃗a+rot ⃗b;
2 0
. rot
( C ⃗ a) = Crot ⃗ a ,
bunda C− ¿ o‘zgarmas skalyar;
3 0
. rot
( u ⃗ a) = u ∙ rot ⃗ a + ( grad u ) × ⃗ a ,
bunda u=u(M ) skalyar maydonni aniqlovchi
funksiya.
Uyurmaning invariant ta’rifi. Uyurmaning yuqorida berilgan ta’rifi koordinatalar
sistemasini tanlashga bog‘liq. Endi uyurmali maydonga invariant ta’rif beramiz.
Faraz qilaylik,
⃗ n − ¿
ixtiyoriy belgilangan birlik vektor va D esa M nuqtani o‘z
ichiga olgan
L chegarali yassi shakl bo‘lib, u ⃗n vektorga perpindikulyar bo‘lsin.
(20) Stoks formulasini
∮L
❑
⃗ad⃗r=∬D
❑
rot n⃗adσ
ko‘rinishda yozamiz, chunki
⃗n∙rot ⃗a= rot n⃗a (19-chizma).
19-chizma.
O‘rta qiymat haqidagi teoremaga muvofiq:
∮
L❑
⃗
a d ⃗ r = S ∙ rot
n ⃗ a( M
1 ) ,

bundan rot n⃗a(M 1)= 1
S∮L
❑
⃗ad⃗r, bu yerda S yuz − D
sohaning yuzi, M 1−¿ bu sohadagi
biror nuqta.
Oxirgi tenglikda
D sohani M nuqtaga tortib (yoki S → 0
da), limitga o‘tamiz,
bunda
M 1 nuqta M nuqtaga intiladi:
lim
M
1 → M rot
n
⃗ a( M
1 ) = lim
S → 0 1
S ∮
L❑ ⃗
a d ⃗ r
yoki
rot
n
⃗ a( M ) = lim
S → 0 1
S ∮
L❑ ⃗
a d ⃗ r = lim
S → 0 Ц
S .
Ta’rif. Vektor maydon uyurmasi deb, shunday vektorga aytiladiki, uning
biror yo‘nalishga bo‘lgan proeksiyasi shu yo‘nalishga perpindikulyar bo‘lgan D
yassi yuzning
L kontur bo‘yicha bektor maydon sirkulyatsiyasining S yuzning
kattaligiga nisbatiga teng, bunda yuzning o‘lchamlari nolga intiladi ( S → 0
),
yuzning o‘zi esa nuqtaga tortiladi.
Ostrogradskiy teoremasi.
S yopiq sirt orqali oqim S sirt bilan
chegaralangan
V soha bo’yicha olingan biror uch karrali integral yordamida
hisoblanishi mumkinligini ko’rsatamiz.
Teorema. Agar P
( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z )
funksiyalar V hajimli
chegaralangan yopiq sohada o’zlarning birinchi tartibli xususiy hosilalarni
bilan birgalikda uzluksiz bo’lsa,u holda
∬
S❑
¿ ¿
Formula o’rinli, bu yerda
Sshu V sohaning chegarasi, shu bilan birga oqim bu
sirtning tashqi tomoni bo’yicha olinadi.(ya’ni n
birlik normal vektor
V hajmdan
tashqari yo’nalgan).tenglik Ostrogradskiy formulasi deyiladi.
Isbot: Avval Oxyz
fazoda
S1:z= g(x,y),S2:z= h(x,y) [ bunda g ( x , y ) ≤ h ( x , y ) ]
sirtlar
hamda yasovchilari
Oz o’qqa parallel bo’lgsan S3
Silindrik V
sohani qaraymiz (13-rasm). S
3 silindrik sirtning yo’naltiruvchisi Oxy

tekislik σ
sohani chegaralab turgan L
egri chiziqdir.

∭V
❑ ∂R
∂zdV
integralni topamiz. Uch karrali integralni hisoblash formulasiga asosan
∭
V❑
∂ R
∂ z dV =
∬
σ❑
dσ
∫
g ( x , y )h ( x , y )
∂ R
∂ z dz
So’ngra
∫
g ( x , y )h ( x , y )
∂ R dz
∂ z = R ( x , y , z )
|
g ( x , y )h ( x , y )
= R ( x , y , h ( x , y )) − R ( x , y , g ( x , y )) ( 17 )
bo’ladi. R ( x , y , z ) k
vektorning S
2 sirtning tashqi tomoni
( cosγ > 0 )
orqali oqimini,
ya’ni ∬
S
2❑
R ( x , y , z ) cosγdS
ni qaraymiz.
S2 sirt tenglamasi z = h ( x , y )
ko’rinishda
cosγ >0
ekanligini hisobga olib,( 20 -rasmga qarang) va (89-formuladan foydalanib),
∬S2
❑
R(x,y,z)cosγdS =∬σ
❑
R¿¿
(18)
Ni hosil qilamiz.
∬S2
❑
R(x,y,z)cosγdS oqimni S1 sirtning pastki tomoni (cosγ <0)
bo’yicha hisoblab quyidagini hosil qilamiz:
∬
S
2❑
R ( x , y , z ) cosγdS = −
∬
σ❑
R ¿ ¿
(19)
munosabatlarni e’tiborga olsak ,
∭V
❑ ∂R
∂zdV =∬S2
❑
R(x,y,z)cosγdS +∬S2
❑
R(x,y,z)cosγdS
(20)
ga bo’lamiz .(7 8 ) tenglikning o’ng tomoniga S
2 silindrik sirtning tashqi tomoni
bo’yicha olingan
∬S2
❑
R(x,y,z)cosγdS integralni qo’shsak, bu tenglik

o’zgarmaydi.Silidrik sirtning ixtiyoriy nuqtasi uchun cosγ =cos 90 0 bo’lgani sababi
bu integral nolga teng.
Stoks formulasi.
Fazoning biror sohasida vektor maydon
⃗a(M )= P(x,y,z)⃗i+Q (x,y,z)⃗j+R(x,y,z)⃗k
vektor orqali hosil qilingan bo lsin. Bu sohada biror
ʻ L yopiq chiziqni olamiz.
Yopiq L kontur bo yicha chiziqli integral
ʻ vektor maydon sirkulyatsiyasi
deyiladi va C bilan belgilanadi, ya’ni
С=∮
L
⃗a⋅⃗dr =∮
L
P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz
. (30.1)
Agar
P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z)
funksiyalar o zlarining birinchi tartibli ʻ
xususiy hosilalari bilan birga S sohada uzluksiz bo lsa, u holda quyidagi formula
ʻ
o rinli bo ladi:
ʻ ʻ
∮
L
P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz =
=∬
S (
∂R
∂y
− ∂Q
∂z)dydz +(
∂P
∂z
− ∂R
∂x)dzdx +(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y)dxdy
(30.2)
Bu (30.2) tenglik Stoks formulasi deyiladi.
⃗a(M )
vekt о r mayd о nning uyurmasi (yoki rotori ) deb M nuqtaning rot { ⃗a(M)¿

bilan belgilanadigan va rot { ⃗a(M )=(
∂R
∂y− ∂Q
∂z)⋅⃗i+(
∂P
∂z− ∂R
∂x)⋅⃗j+(
∂Q
∂x− ∂P
∂y)⋅⃗k¿
(30.3)
formula bilan aniqlanadigan vektor maydoniga aytiladi, bunda xususiy hosilalarni
M nuqtada topiladi.
Uyurmaing formulasini determinant yordamida quyidagicha yozish mumkin:

rot { ⃗a(M)=|
⃗i ⃗j ⃗k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
|¿ . (30.4)
Uyurma tushunchasidan foydalanib, (30.2) Stoks formulasini vektor shaklida
yozish mumkin
∯
S
⃗a⋅d⃗r=∭
ω
⃗nrot { ⃗a(M)dω ¿
. (30.5)
Bundan,
⃗a(M )
vekt о r mayd о nning L yopiq chiziq bo yicha ʻ
sirkulyatsiyasi
⃗a(M )
vekt о r maydon uyurmasining shu yopiq chiziq bilan
chegaralangan S yopiq soha orqali o tuvchi oqimiga teng ekan.
ʻ
Agar
⃗a(M )
vektor maydonning har bir nuqtasida uyurmasi nolga teng
bo lsa, ya’ni
ʻ rot { ⃗a(M )=0¿
bo lsa, bunday vektor maydonga ʻ potensial (yoki
gradiyentli , yoki uyurmasiz ) maydon deyiladi.
Nuqtaviy zaryadlar kuchlanichining elektrostatik maydoni potensial
maydonga misol bo ladi.
ʻ
Potensial maydonning shu maydondagi ixtiyoriy yopiq chiziq bo yicha
ʻ
sirkulyatsiyasi nolga teng.

Potensial maydon biror bir u=u(x,y,z) skalyar funksiyaning gradiyentiga
teng, ya’ni
⃗a(M )= gradu . Bunday u=u(x,y,z) funksiya vektor maydon
potensiali ( yoki potensial funksiyasi ) deyiladi.
⃗a(M )= P(x,y,z)⃗i+Q (x,y,z)⃗j+R(x,y,z)⃗k
vekt о r mayd о nning
potensiali quyidagi formula yordamida topiladi:
u(x,y,z)= ∫
(x0,y0,z0)
(x,y,z)
P(x,y,z)dx +Q (x,y,z)dy +R(x,y,z)dz =
=∫
x0
x
P(x,y0,z0)dx +∫
y0
y
Q(x,y,z0)dy +∫
z0
z
R(x,y,z)dz
, (30.6)
bu yerda
(x0,y0,z0) tayinlangan nuqtaning koordinatalari, (x,y,z) esa ixtiyoriy
nuqta koordinatasidir.
Agar
⃗a(M )
vektor maydonning har bir nuqtasida divergensiyasi nolga teng
bo lsa, ya’ni
ʻ div { ⃗a(M )=0¿
bo lsa, bunday vektor maydonga ʻ solenoidli (yoki
naychasimon ) maydon deyiladi.
1-misol. Ushbu
⃗a(M )= y⃗i+z⃗j+x⃗k
vektor maydonning 2x−3y+4z−12 =0
tekislikning koordinata tekisliklari bilan kesishish chizig i bo yicha
ʻ ʻ
sirkulyatsiyasini hisoblang.
►L yopiq chiziq 1-shakldagi uchburchak konturi, ya’ni ABCA. Sirkulyatsiya
ta’rif bo yicha, (30.1)
ʻ ikkinchi tur egri chiziqli integral bilan ifodalanadi:
С = ∮
L
ydx +zdy +xdz

L yopiq chiziqni L= AB +BC +CA bo laklarga ajratib, chiziqli integralni uchta ʻ
integralning yig indisi shaklida ifodalab hisoblaymiz. Buning uchun har bir bo lak
ʻ ʻ
egri chiziqning parametrik tenglamasini tuzamiz.
1) AB chiziq tenglamasi:
y= 0,x= 6− 2t,z= t , t esa 0 dan 3gacha o zgaradi. ʻ
∫
AB
ydx + zdy + xdz = ∫
0
3
(6− 2t)dt = (6t− t2)3
0= 18 − 9= 9
2) BC chiziq tenglamasi:
x= 0, y= t,z= 3
4
t+3 ,
t esa 0 dan -4 gacha o zgaradi. ʻ
∫
BС
ydx +zdy + xdz = ∫
0
−4
(
3
4
t+3)dt = (
3
8
t2+3t)
−4
0 = 6− 12 = − 6
3) CA chiziq tenglamasi:
x= t,y= 2
3
t− 4,z= 0 ,
t esa 0 dan 6 gacha o zgaradi. ʻ
∫
СA
ydx + zdy + xdz =∫
0
6
(
2
3
t− 4)dt = (
1
3
t2− 4t)
6
0= 12 − 24 = − 12
Demak,
С=∮
L
ydx +zdy +xdz = 9− 6− 12 =− 9.
◄
1- shakl
2- misol . Ushbu
⃗a(M )= y⃗i+z⃗j+x⃗k
vektor maydonning 2x− 3y+4z−12 =0
tekislikning koordinata tekisliklari bilan kesishish chizig ʻ i bo ʻ yicha
sirkulyatsiyasini Stoks formulasi yordamida hisoblang .

► L yopiq chiziq 1- shakldagi uchburchak konturi , ya ’ ni ABCA . Berilishiga
ko ra, ʻ
P(x,y,z)= y,Q (x,y,z)= z,R(x,y,z)= x
,
rot { ⃗a(M )=|
⃗i ⃗j ⃗k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
y z x
|=(0−1)⃗i+(0−1)⃗j+(0−1)⃗k=−(⃗i+⃗j+⃗k).¿
С=∮
L
ydx +zdy +xdz =∬
S
⃗nrot { ⃗adS ¿
Bu yerda berilgan ABC uchburchak sirtini mos ravishda Oyz , Oxz , Oxy
tekisliklardagi proyeksiyalarini aniqlaymiz va sirt integralini ikki karrali integralga
olib kelib hisoblaymiz.
1)
∬
S
dydz = ∬
ΔBOC
dydz =∫
0
3
dz ∫
4z−12
3
0
dy =−∫
0
3
(
4z−12
3 )dz =−¿4
3∫
0
3
(z−3)dz =
=− 4
3
⋅
(z− 3)2
2
|
3
0
= 2
3
⋅9= 6
2)
∬
S
dzdx =− ∬
ΔAOB
dzdx =−∫
0
6
dx ∫
0
6−x
2
dz =−∫
0
6
(
6−x
2 )dx =− 1
2∫
0
6
(6− x)dx =
= 1
2
⋅
(6− x)2
2
|
6
0
=− 1
4
⋅36 =−9
3)
∬
S
dxdy = ∬
ΔAOC
xdxdy =∫
0
6
dx ∫
2x−12
3
0
dy =−∫
0
62x−12
3 dx =−(
x2
3−4x)|
6
0
=−12 +24 =12
Topilganlarni jamlab quyidagini aniqlaymiz:
С = − ∬
S
dydz +dzdx +dxdy = − (6− 9+12 )= − 9
.◄

Xulosa.
Bajargan kurs ishimdan shunday xulosaga keldimki vektor maydonda suyuqliklar
oqim tezligini va Bu tezlik vektori har bir nuqtada suyuqlik zarrachasi intilayotgan
yo‘nalishini, vektor chiziqlari esa suyuqlikning oqim chiziqlari bo‘lishini o’rganib
oldim. Vektor oqimini shu sirt bilan chegaralangan ω hajm bo‘yicha uch karrali
integral yordamida Ostogradskiy formulasini keltrib chiqarishni bilib oldim.
S
yopiq sirt orqali oqim
S sirt bilan chegaralangan V soha bo’yicha olingan biror uch

karrali integral yordamida hisoblanishi yuqoridagi yo’llar bilan mumkinligini bilip
o’rganib oldim. Vektor maydonning tekislikning koordinata tekisliklari bilan
kesishish chizig i bo yicha sirkulyatsiyasini Stoks formulasi yordamida aniqlashni ʻ ʻ
misollar yordamida aniqlashni o’rganip chiqdim.

Foydalanilgan adabiyotlar.
1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1983, Т. 1,2.
2. Ильюшин А.А. Механика сплошных сред. М.: Наука, 1971.
3. Механика сплошных сред в задачах. Т. I. Теория и задачи. М.: Московский
лицей, 1996, 396 с. Под ред. М.Э. Эглит.
4. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: 1974.
Qo’shimcha adabiyotlar
5. Маматкулов Ш. Тутуш мухит механикаси, 2002 й. (1 кием), укув кулланма.
6. Кочин Н.Е„ Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.1, 2
М., Физмат изд. 1963.
7. Акивис М.А. Тензорное исчисление. М.: Наука, 1983.
8. Тимошенко с.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1961.
9. Бегматов А. Тензор хисоб элементлари. ТошДУ, 2002. 88 стр.

10. Хамидов А.А., Исанов Ш.Р. Туташ мухит механикасидан маърузалар. Т.:
ТошДУ, 1994.
11. Прокопьев В.П., Нустров B.C., Гасилов Г.Л. Механика сплошной среды в
примерах и задачах. Учебное пособие. У.Г.У. Свердловск, 1979 г. Под ред.
12. Xudoynazarov X., Amirqulova F. Deformasiyalanuvchi muhit kinematikasi.
Ma’ruzalar matni. - Samarqand: SamDU nashri, 2005.
13. Mase G.T., Smelser R.E, Mase G.E. Continuum mechanics for engineers.
Third
edition. CRC press LLC. 1999.
Internet saytlari
1. http://www.edu.uz - ta’lim savti.
2. http://www.edu.ru - ta’lim savti.
3. http://www.intuit.ru - masofaviy ta’lim sayti.
4. http://www.exponenta.ru- ta’lim savti.
5. http://www.eqworld.ru - adabiyotlaming elektron varianti.

Vektor maydoni xossalari va Stoks, Gaus-Ostragradskiy formulalari

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish