Vektor tushunchasi va ular bilan bog‘liq tushunchalar - Педагогика - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	10000UZS
Размер	519.4KB
Покупки	0
Дата загрузки	06 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Педагогика

Vektor tushunchasi va ular bilan bog‘liq tushunchalar

Купить

1Vektor tushunchasi va ular bilan bog’liq tushunchalar
MUNDARIJA
KIRISH 3
I BOB. Vektor haqida umumiy tushuncha 11
1.1. Skalyar va vektor miqdorlar 11
1.2. Vektorlarning yig’indisi va ayirmasi. Vektorlarni songa ko’paytirish 12
1.3. Vektorlarning kollinearlik va komplanarlik shartlari………………………..…..14
1.4. Vektor proyeksiyasi…………………………………………………………..…16
II BOB. Vektorlar ustida amallar 20
2.1. Vektorlarning skalyar ko’paytmasi 20
2.2. Vektorlarning vektor ko’paytmasi 24
Xulosa 29
Foydalanilgan Adabiyotlar 34

2KIRISH
Kurs ishining dolzarbligi. O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining
2012-yil 28-maydagi ―Malakali kadrlar tayyorlash hamda o‘rta maxsus kasb-
hunar ta‘limi muaasalarini shunday kadrlar bilan ta‘minlash yanada
takomillashtirishga oid chora tadbirlar to‘g‘risida gi‖ qarori ta‘lim mazmunini
uning samaradorligini yanada yaxshilashga qaratilgan. Respublikamizda faoliyat
ko‘rsatayotgan o‘rta maxsus kasb-hunar kollejlari uchun tayyorlanayotgan
pedagog kadrlar sifatini tubdan yaxshilash, ta‘lim muassasalaridagi o‘quv
jarayonini zamonaviy talablar asosida qayta tashkil etish va tayyorlanayotgan
o‘rta bo‘gin mutaxasislari malakasining raqobatbardosh bo‘lishiga erishish
asosiy vazifalaridan biri bo‘lib hisoblanadi.
Ushbu vazifalarning samarali bajarilishining asosiy omili o‘quv
vositalaridir. Ta‘lim vositalari svilizatsiyaning ajralmas qismi umuminsoniy
madaniyatning muhum elementi hamda dunyoni ilmiy o‘rganish tilidir.
Shiddatli axboratlashuv jarayoni amalga oshib borayotgan hozirgi davrda
har bir soha kishisi zamon bilan ham nafas ravishda innovatsion
texnalogiyalarga, innovatsion vositalarga murojaat qilishiga to‘g‘ri kelmoqda
shu jumladan matematika fani ham bunday oqimdan chetda qolayotgani yo‘q.
O’zbekiston Respublikasi taraqqiyotida halqning boy ma‘naviy salohiyati va
umuminsoniy qadriyatlarga hamda hozirgi zamon madaniyati, iqtisodiyoti, ilmi,
texnikasi va texnologiyasining so’nggi yutuqlariga asoslangan mukammal ta‘lim
tizimini barpo etish dolzarb ahamiyatga ega. Ma‘lumki, kadrlar tayyorlash milliy
dasturida ilg’or pedagogik texnologiyalarni joriy qilish va o’zlashtirish zarurligi
ko’p marta takrorlanib yangi pedagogik va axborot texnologiyalardan
foydalanib, talabalarni o’qitishni jadallashtirish ko’zda tutilgan.Pedagogik
texnologiyaga UNESCO ning bergan ta‘rifini keltiramiz:

3―Pedagogik texnologiya – bu butun o’qitish va bilimlarni o’zlashtirish jarayonida
o’z oldiga ta‘lim shakllarini samaradorlashtirish vazifasini qo’yuvchi texnik hamda
shaxs resurslari va ularning o’zaro aloqasini hisobga olib, bilimlarni yaratish, qo’llash
va belgilashning tizimli usulidir. Bu ta‘rifdagi asosiy tushuncha ―tizimli usul bo’lib,‖
aynan tizimli yondashuv pedagogik texnologiyaning, o’qitishga boshqa
yondashuvlardan farqlanuvchi asosiy belgisi hisoblanadi. Ta‘lim maqsadlari, uning
mazmuni, o’qitish va ta‘lim berish usullari, nazorat va natijalarni baholashni o’zaro
bog’liklikda loyihalash-ko’pincha an‘anaviy o’quv jarayonida yetishmaydigan
narsadir.Jaxon pedagogika fani ilmiy – texnika taraqqiyoti ta‘sirini boshdan kechirib,
psixologiya, kibernetika, tizimlar nazariyasi, boshqaruv nazariyasi va boshqa fanlar
yutuqlarini birlashtirib, hozirgi davrda faol yangilanish innovatsiya jarayonlari
bosqichida turar ekan, inson imkoniyatlarini samarali rivojlantirish amaliyotiga boy
mahsul bermoqda. Pedagogik texnologiya usullari dastlab o’qitishning harakatini
namunaviy vaziyatdagi belgilangan qoida bo’yicha o’zlashtirish talab etiladigan
mahsuldor darajasi uchun ishlab chiqilgan. Mahsuldor ta‘lim har qanday ta‘limning
zaruriy tarkibiy qismi hisoblanib, u insoniyat jamg’argan tajribani aniq o’quv fani
doirasida o’zlashtirish bilan bog’liq. Ta‘lim oluvchilarda bilim va ko’nikmalarning
ma‘lum ―poydevori hosil qilingandan keyingina ta‘limning natijali va ijodiy
yondashish usullariga ko’chish mumkin.Pedagogik texnalogiya oqimi 70-80 yillarda
AQSh da yuzaga keldi va UNESCO kabi nufuzli tashkilot tomonidan tan olindi va
qo’llab – quvvatlandi va hozirgi kunda ko’pgina mamlakatlarda muvaffaqiyatli
o’zlashtirilmoqda. Ma‘lumki, tubdan farq qiluvchi uchta ta‘lim turlarini ajratish
mumkin. Bular: og’zaki- ko’rgazmali, texnologik va izlanuvchan- ijodiy ta‘lim turlari
hisoblanadi.

41. Og’zaki – ko’rgazmali an‘anaviy bo’lib, o’qituvchining axborot berishi,
talabalarning bilimlarni qabul qilishi, to’plashi va xotirasida saqlashi bilan
belgilanadi. Ta‘limda og’zaki-ko’rgazmali yondashuv juda katta tajribaga ega bo’lib,
qismlarga ajratib ishlab chiqilgan va ta‘lim tizimida ulkan xizmat ko’rsatdi.Jadal
suratlar bilan o’sib borayot-gan fan va texnika talablari, ta‘lim tizimidagi istlohatlar,
raqobotbardosh kadrlar tayyorlash, shaxsni rivojlantirish, uning ma‘lumot olish
istaklarini to’laroq qondirishga bo’lgan jamiyat ehtiyojlari o’qitish usullariga
yangicha yondashishni talab qilmoqda.
2. Ta‘limga texnologik yondashuvning umumiy tavsifnomasi qismlarga
ajratilmagan holda, ta‘limning juda oddiy mahsuldor darajasi sifati misolida qaraladi.
O’quv ishlari yuqori natijalarga erishishga qaratilgan bo’lib, yo’naltirilganlik,
mashg’ul bo’lish, musobaqalashish va o’zaro yordamlashish tushunchalari mavjud
bo’ladi.
3. Izlanuvchan yondashuvdagi maqsad, talabalarda muammoni hal etish,
yangi, oxirigacha tugallanmagan tajribani o’zlashtirish, ta‘sir etishning yangi
yo’llarini yaratish qobiliyatlarini, shaxsiy idrokni rivojlantirishdan iboratdir.
Izlanuvchan ta‘lim andozasining ta‘lim mazmuni, tabiat va jamiyat bilan o’zaro
ta‘siri natijasida shaxsda tadqiqotchilik va jadal ijodiy xarakterli faoliyat yo’li
boshlanadi.
O’quv jarayonining texnologik shakl modeli va uning amaliy tadbiqi yangilik
xususiyatiga ega bo’lib, an‘anaviy ta‘limni qayta shakllantiradi.
―Pedagogik texnologiya so’z birikmasi asosida ―Texnologiya,
―Texnologik jarayon tushunchasi yotadi. Bu tushuncha orqali sanoatda‖ tayyor
mahsulotni olish uchun bajariladigan ishlarning ketma – ketligi haqidagi hujjat,
ta‘limda esa fan bo’yicha uslubiy tadbirlar majmuasi tushuniladi. Pedagogik
texnologiyada asosiy yo’l aniq belgilan-gan maqsadlargaqaratilganlik, ta‘lim
oluvchi bilan muntazam o’zaro aloqani

5o’rnatish, pedagogik texnologiyaning falsafiy asosi hisoblangan ta‘lim oluvchining
xatti – harakati orqali o’qitishdir. O’zaro aloqa pedagogik texnologiya asosini tashkil
qilib, o’quv jarayonini to’liq qamrab olish kerak. Pedagogik texnologiyada nazarda
tutiladigan maqsadlarni qo’yish usuli, o’qitish maqsadlari o’quvchilar harakatida
ifodalanadigan va aniq ko’rinadigan hamda o’lchanadigan natijalar orqali belgilanadi.
Maqsadlar o’qituvchining faoliyatidan kelib chiqqan holda o’rgatish, tushuntirish,
ko’rsa-tish, aytib berish va hokazo atamalar orqali qo’yila-di. O’quvchining
harakatlarida ifodalanadigan vazifalar esa ta‘limining natijalarda ifodalanadi. Natija,
talabaning tugallangan xatti –harakatini ifodalovchi keltirib chiqaring, sanab o’ting,
so’zlab bering tanlang, ko’rsatib bering, hisoblang kabi atamalar bilan ifodalanishi
kerak.Shunday qilib, an‘anaviy o’quv jarayonlarida asosiy omil – bu pedagog va
uning faoliyati hisoblansa, pedagogik texnologiyada birinchi o’ringa o’qish
jarayonidagi o’quvchilarning faoliyati qo’yiladi. Har bir vazifa raqamlanib, u bitta
natijani ko’zlashi lozim. Har bir vazifani shunday qo’yish kerakki, u o’qituvchining
o’tadigan darsining bosqichlarini emas, balki, talabaning o’zini keyin qanday tutishi
kerakligiga ishora qilsin. Ma‘lumki, ilg’or texnologiyalarni qo’llashda asosiy e‘tibor
loyihalash bosqichiga qaratiladi, bunday tizimli yondoshuv asosida o’quv jarayonini
loyihalash, kutilayotgan natija shaklidagi o’quv maqsadlarini mumkin qadar
aniqlashtirish, rejalash- tirilgan o’quv maqsadlariga kafolatli erishishga undaydi. Biz
ushbu mavzuda matematika sohasi uchun innovatsion vositalar bilan tanishib
chiqamiz.
Bugun yurtimizda chuqur tarixiy asosga ega va zamonaviy taraqqiyot uchun juda
muhim fanlardan biri bo lgan matematikaga ham katta e tibor qaratilmoqda.ʻ ʼ
Muhammad Xorazmiy, Ahmad Farg oniy, Abu Rayhon Beruniy, Mirzo Ulug bek
ʻ ʻ
singari ulug ajdodlarimiz tamal toshini qo ygan bu fan so nggi yillarda o zining yangi
ʻ ʻ ʻ ʻ
rivojlanish bosqichiga kirdi, deb bemalol ayta olamiz.
Davlatimiz rahbarining 2017-yil 17-fevraldagi “Fanlar akademiyasi faoliyati, ilmiy -
tadqiqot ishlarini tashkil etish, boshqarish va moliyalashtirishni yana-da
takomillashtirish chora tadbirlari to g risida”gi qaroriga muvofiq O zbekiston Milliy
ʻ ʻ ʻ

6universiteti huzuridagi Matematika instituti Fanlar akademiyasi tarkibida qayta tashkil
etildi.
Ayni paytda Prezidentimizning 2019-yil 9-iyuldagi “Matematika ta limi va fanlariniʼ
yana-da rivojlantirishni davlat tomonidan qo llab
ʻ quvvatlash, shuningdek, O zbekis ton ʻ
Respublikasi Fanlar akademiyasining V.I.Romanovskiy nomidagi Matematika instituti
faoliyatini tubdan takomillashtirish chora tadbirlari to g risida”gi hamda 2020-yil 7-
ʻ ʻ
maydagi “Matematika sohasidagi ta lim sifatini oshirish va ilmiy tadqiqotlarni rivoj
ʼ
lantirish chora tadbirlari to g risida”gi qarorlari qabul qilindi. Ushbu qarorlar orqali
ʻ ʻ
matematika fani va ta limini rivojlantirish, xalqaro standartlarga moslashtirish uchun
ʼ
mavjud muammolarni bartaraf etish tizimi yaratib berildi. Masalan, matematika
bo yicha xalqaro konferensiyalarda, talabalar o rtasida o tkaziladigan xalqaro
ʻ ʻ ʻ
olimpiadalarda, seminar treninglarda ishtirok etish imkoniyati yaratildi. P rezidentimiz
tashabbusi bilan Matematika fani va ta limini rivojlantirishni qo llab-quvvatlash
ʼ ʻ
jamg armasi tashkil etildi. Jamg arma mablag lari hisobidan matematika sohasidagi
ʻ ʻ ʻ
olimlar va yosh tadqiqotchilarning xorijdagi xalqaro ilmiy amaliy tadbirlarda ishtiroki
ta minlanmoqda. Talabalarning matematika fani bo yicha xalqaro olimpiadalardagi
ʼ ʻ
ishtiroki qo llab
ʻ quvvatlanmoqda, matematika ta limi uchun zarur ilmiy va hisoblash ʼ
asbob uskunalarini xarid qilish dasturlari amalga oshirilmoqda.
Matematika ta lim yo nalishlarida ta lim olayotgan talabalar va tadqiqotchilar uchun
ʼ ʻ ʼ
akademik T.Sarimsoqov nomidagi stipendiya ta sis etildi. O zbekiston matematika
ʼ ʻ
jamiyatining xalqaro aloqalarini kengaytirish va Xalqaro matematiklar jamiyatiga
to laqonli a zo bo lishini ta minlash choralari ko rilmoqda.
ʻ ʼ ʻ ʼ ʻ
Yuqorida qayd etilgan hujjatlar orqali olimlarimiz uchun yana qator imkoniyatlar
yaratildi. Jumladan, 2020-yilda Matematika ins titutiga ilmiy darajalar berishda
mustaqillik berildi. Qoraqalpog iston Respublikasida, Buxoro, Namangan, Samarqand,
ʻ
Xorazm viloyatlarida institutning hududiy bo linmalari tashkil etildi. Hozirgi kunda bu
ʻ
bo linmalarda 22 fan doktori, 22 fan nomzodi va fizika
ʻ matematika fanlari bo yicha ʻ
falsafa doktori (PhD) faoliyat yuritmoqda. Bo linmalar viloyatlardagi universitetlar
ʻ
binolarida joylashgan bo lib, bu yoshlar va talabalar bilan ishlash va ularni matematika
ʻ
faniga qiziqtirish uchun juda qulaydir.

7Oxirgi uch yil davomida olimlarimizning maoshi deyarli 3 barobar oshdi. Matematika
inst ituti uchun yangi, zamonaviy, innovatsion bino qurildi. Bugun hamma narsamiz
bor! Endi zavq bilan ishlab, natija ko rsatishimiz lozim.ʻ
Ta kidlash kerakki, Matematika instituti o z faoliyati davomida mazkur fanni
ʼ ʻ
rivojlantirishga, yurtimiz uchun yuqori malakali kadrlar tayyorlashga sezilarli hissa
qo shdi va matematik tadqiqotlarning jahon darajasida e tirof etilgan markazlaridan
ʻ ʼ
biriga aylandi.
Hozir ham institut xodimlari qator yutuq va natijalarga erishmoqda. Institutda
funksional analiz, differensial tenglamalar, ehtimollar nazariyasi va algebra bo yicha
ʻ
ilmiy maktablar shakllandi hamda muvaffaqiyatli rivojlanmoqda.
Institut tarixi yutuqlarga boy. Xodimlarning ilmiy tadqiqotlari besh marta O zbekiston
ʻ
davlat mukofotiga sazovor bo lgan. 12 nafar taniqli olim O zbekiston Respublikasi
ʻ ʻ
Fanlar akademiyasining haqiqiy a zoligiga, ikki nafari esa nufuzli Jahon fanlar
ʼ
akademiyasi (TWAS) a zoligiga saylangan.
ʼ
Olimlarimizdan besh nafari TWASning yosh olimlar bo limi tanlovlarida g olib
ʻ ʻ
chiqqan. Olimlarimiz mehnatini chet ellik hamkasblar ham e tirof etmoqda. Masalan,
ʼ
institutimiz xodimi U.Roziqovning maqolasiga xorijning nufuzli jurnali keltirgan
taqrizda u “...one of the authors is a well known expert”, ya ni “juda taniqli ekspert...”,
ʼ
deb e tirof etilgan. Bunday e tiroflar o zbek matematiklarining ko piga nisbatan
ʼ ʼ ʻ ʻ
qo llanilgan. Aytmoqchimanki, bugungi kunda o zbekistonlik matematiklarning ilmiy
ʻ ʻ
maktablari o z mavqeini xalqaro darajada saqlab kelmoqda.
ʻ
2016-yil 30-dekabrda Prezidentimiz akademiklar bilan uchrashuvda ilm fanga e tiborni
ʼ
kuchaytirish davr talabi ekanini ta kidladi va bu borada amaliy ishga kirishildi.
ʼ
Dastavval, Fanlar akademiyasi haqiqiy a zolarini saylash tizimi qayta tiklandi.
ʼ
Xususan, Matematika instituti professorlari A.A zamov va S.Lakayev O zRFA haqiqiy
ʼ ʻ
a zosi (akademik) etib saylandi. 2017-yil O .Roziqov SpringerNature nashriyoti
ʼ ʻ
tomonidan “Springer Nature top Author” sertifikati bilan taqdirlandi. 2017-yilda
akademik Sh.Ayupov, K.Kudaybergenov, B.Omirov va O .Roziqov fan va texnika
ʻ
sohasidagi davlat mukofotiga loyiq topildi. “Scopus Award 2019” tanlovida Sh.Ayupov

8“Top researcher in Natural sciences” (“Tabiiy fanlar bo yicha yil tadqiqotchisi”) debʻ
e tirof etildi. 2020-yilda professor O .Roziqov Islom hamkorlik tashkilotining “Eng
ʼ ʻ
yaxshi ilmiy maqola” nominatsiyasi bo yicha xalqaro mukofotiga sazovor bo ldi.
ʻ ʻ
Dunyo reytingida dastlabki 300 talikka kirgan universitetlarda PhD ilmiy darajasiga ega
bo lgan institut xodimlaridan 2 nafariga OAK tomonidan to g ridan
ʻ ʻ ʻ to g ri fan doktori ʻ ʻ
(DSc) ilmiy darajasi berildi.
So nggi 5 yil davomida institutda matematika bo yicha 19 nafar falsafa doktori (PhD)
ʻ ʻ
va 18 nafar fan doktori ( DSc) tayyorlandi.
Institutda universitetlar, maktablar va akademik litseylarda ma ruzalar o qish va
ʼ ʻ
maxsus kurslar o tish, shuningdek, magistrlik dissertatsiyalariga rahbarlik qilish
ʻ
amaliyoti keng yo lga qo yilgan. Bugungi kunda ilmiy xodimlarning o rtacha yoshi 43
ʻ ʻ ʻ
yoshni, ilmiy darajali ilmiy xodimlar ulushi esa 87 foizni tashkil etmoqda.
O zbekistonda matematika fanini rivojlantirib, jahon standartlari darajasida saqlash
ʻ
bizning asosiy maqsadimiz. Biz dunyoda matematika sohasida bo layotgan ilmiy
ʻ
yangiliklarga munosib hissa qo shish uchun yetarli ilmiy salohiyatga egamiz. Ayniqsa,
ʻ
bu maqsadlarni amalga oshirish uchun safimizda yosh matematiklarning ko pligi va
ʻ
ular soni tobora oshib borayotgani bizga madad bo lmoqda.
ʻ
Kurs ishining maqsadi:
Innovatsion pedagogika asoslarini va innovatsion ta‘lim jarayonini , maktabda
matematikani o‘qitishning innovatsion vositalarini o‘rganishdan iborat.

9Kurs ishining obyekti:
O‘zbekistondagi barcha ta‘lim muassasalarida matematikani o‘qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti:
Innovatsion ta‘lim muhiti mazmuni, metodlari va innovatsion muhitni
shakllantiruvchi vositalar.
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir manba topish, axborotlarni tartiblash, rejani
shakllantirish;
2. Innovatsion pedagogik faoliyatni o‘rganish;
3. Innovatsion ta‘lim jarayoni, shakl, metod, vositalarini o‘rganish;
4. Innovatsion ta‘lim muhitini o‘rganish;
5. Matematikani o‘qitishning innovatsion muhitini o‘rganish;
6.O‘rganilgan ma‘lumotlar asosida xulosalar chiqarish;
7.Kurs ishini jihozlash, himoyaga tayyorlash;

10I BOB. Vektor haqida umumiy tushuncha
1.1. Skalyar va vektor miqdorlar
1-Ta’rif. Birlik tanlab olingan sistemada faqat sonlar bilan
xarakterlanuvchi miqdor skalyar deb ataladi.
Masalan, skalyar miqdorlarga jism massasi, uning hajmi, muxit temperaturasi
(harorati), chiziq uzunligi, sirt yuzi va hakozalar misol bo‘la oladi. Skalyar miqdor
qiymatlari musbat, manfiy, yoki nol haqiqiy sonlar bo‘lishi mumkin.
2-Ta’rif. Birlik tanlab olingan sistemada sonli qiymatlardan tashqari yana
yo‘nalishi bilan xarakterlanuvchi miqdor vektor deb ataladi.
Vektor miqdorlarga misol qilib kuch, tezlik, parallel ko‘chirish va hakozalarni
ko‘rsatish mumkin .
Vektorlar odatda lotin alifbosining quyuq kichik harflari bilan belgilanadi,
masalan ?????? , ?????? , ?????? , ?????? . Geometrik nuqtai nazardan fazoda yo‘nalgan kesma vektorni
ifodalaydi; bunda ?????? = AB kabi belgilanadi, bu yerda A nuqta- kesmaning
boshlang‘ich nuqtasini, B nuqta esa-kesmaning oxirgi nuqtasini ifodalaydi (1-
chizma). Bundan keyin bayonning ko‘rgazmaligi uchun vektorni yo‘nalgan kesma
sifatida qaraymiz.
Vektorning moduli (uzunligi) deb, yo‘nalishi hisobga olinmagan holdagi sonli
qiymati tushuniladi. ?????? = AB
vektorning moduli | ?????? | =
|AB | kabi belgilanadi.

Nol vektor deb, moduli nolga teng vektorga aytiladi va u 0 kabi belgilanadi. 0
vektorning yo‘nalishi ixtiyoriydir.
Ikki a va b vektorlar teng deyiladi, agar ular parallel to‘g‘ri chiziqda yoki bir
to‘g‘ri chiziqda yotib ularning uzunliklari va yo‘nalishlari bir xil bo‘lsa. Teng
vektorlarni farqlamaslikka kelishamiz va shunday qilib ozod vektor tushunchasini
kiritamiz, ya’ni vektor uzunligini va yo‘nalishini o‘zgartirmasdan parallel
ko‘chirish mumkin bo‘lsa uni ozod vektor deymiz. Ozod vektorni fazodagi
ixtiyoriy nuqtaga uzunligini va yo‘nalishini o‘zgartirmasdan parallel ko‘chirish
mumkmn. Xususan ozod vektorlarni boshlang‘ich nuqtasi umumiy bo‘lgan nuqtaga
parallel ko‘chirish mumkin.
3-ta’rif . Ikki a va b vektorlar kollinear deyiladi, agar ular bir to‘g‘ri chiziqda
yoki unga parallel to‘g‘ri chiziqlarda joylashgan bo‘lsa.
Ma’lumki nol vektorning yo‘nalishi ixtiyoriy bo‘lganligi sababli, nol vektor har
qanday vektorga kolleniardir. 1 - chizma A ?????? B

11 4-ta’rif . Uch a , b va c vektorlar komplanar deyiladi, agar ular bir tekislikda yoki
unga parallel tekisliklarda joylashgan bo‘lsa.
Quyidagi tasdiq o‘rinli: a , b va c vektorlar komplanar bo‘lishi uchun
vektorlarning boshlang‘ich nuqtalari bir nuqtaga keltirilganda ular bir tekislikda
yotishi yetarli va zarur.
4-ta’rifga ko‘ra uch vektorlardan bittasi nol vektor bo‘lsa, u holda ular
komplanardir.
1.2. Vektorlarnig yig‘indisi va ayirmasi. Vektorlarni songa ko‘paytirish
5-ta’rif . Bir nechta a,b,c,d vektorlarning yig‘indisi s=a+ b+c+d deb, yo‘nalishi
OM
ga va uzunligi | OM |
teng bo‘lgan vektorga aytiladi (2-chizma).

Xususiy holda kollinear bo‘lmagan ikki a va b vektorlarning yig‘indisi ?????? =
?????? + ?????? deb boshlang‘ich nuqtasi O nuqtada oxirgi nuqtasi M nuqtada bo‘lgan shu
vektorlarga yasalgan parallellogrammning diagonali vektori
OM ga aytiladi
(parallelogramm qoidasi, 3-chizma). 3-chizmadan ko‘rinib turibdiki, a , b va
ularning yig‘indisi ?????? = ?????? + ?????? uchburchakning tamonlarini tashkil qiladi.
Ma’lumki, uchburchakda har bir tamoning uzunligi qolgan ikki tamonlarining
uzunliklari yig‘indisidan kichik, shu sababli | ?????? + ?????? | ≤ | ?????? | + | ?????? | , ya’ni ikki
vektor yig‘indisining moduli vektorlar modullarining yig‘indisidan katta
bo‘lmaydi. Komplanar bo‘lmagan uchta a,b,c vektorlarning yig‘indisi s shu
vektorlarga yasalgan parallelopepedning diagonal vektori OM
ga teng
(parallelopeped qoidasi,
4-chizma).

12
Vektorlarni qo‘shish amali quyidagi xossalarga ega:
1°. ?????? + ?????? = ?????? + ?????? ( o‘rin almashtirish xossasi ), ya’ni vektorlarning yig‘indisi
vektorlarni qo‘shish tartibiga bog‘liq emas;
2°. ?????? + ( ?????? + ?????? ) = ( ?????? + ?????? ) + ?????? = ?????? + ?????? + ?????? ( guruhlash xossasi ).
Har bir ?????? = OA vektor uchun yo‘nalishi unga qarama-qarshi, uzunligi | ?????? | ga
bo‘lgan teng − ?????? = OA
vektor mavjud (5-chizma). Osonlik bilan ko‘rish mumkinki
parallelogramm qoidasiga ko‘ra ?????? + (− ?????? ) = ?????? , bu yerda 0 -nol vektor. Har qanday
a vektor va 0 -nol vektor uchun ?????? + ?????? = ?????? tenglik o‘rinli.
Ikki ?????? va ?????? vektorlarning ayirmasi deb ?????? + ?????? = ?????? shartni qanoatlantiruvchi
?????? (6-chizma) vektorga aytiladi. Ayirma amali uchun quyidagi qoida o‘rinli:
?????? − ?????? = ?????? + (− ?????? ) .

?????? = ?????? − ??????
???????????? ( ?????? < 0) ?????? ???????????? ( ?????? > 0)

b
??????
??????

6-chizma
7 - chizma

Qayd qilib o‘tamizki, ?????? va ?????? vektorlarga yasalgan parallelogrammdagi
(6chizma) ikkinchi diagonal ?????? − ?????? ayrma vektorga mos keladi.
4-ta’rif . vektorning k- skalyarga ko‘paytmasi ?????? = ???????????? = ???????????? vektorga aytiladi
(7-chizma).
Uning uzunligi | ?????? | = | ?????? || ?????? | | ga teng bo‘lib, yo‘nalishi esa quyidagicha
aniqlanadi:
1) agar ?????? > 0 bo’lsa, ?????? vektor yo’nalishi ?????? vektor yo’nalishi bilan
ustma-ust tushadi ;
2) agar ?????? < 0 bo’lsa, ?????? vektor yo’nalishi ?????? vektor yo’nalishi bilan
qarama-qarshi ;
3) agar ?????? = 0 bo’lsa, ?????? vektor yo’nalishi ixtiyoriy bo’ladi.
Vektorni skalyarga ko’paytirish amali quyidagi xossalarga ega:
1°. ( ?????? + ?????? ) ?????? = ???????????? + ???????????? ;
2°. ?????? ( ?????? + ?????? ) = ?????? ?????? + ?????? ??????
3°. ?????? ( ?????? ∙ ?????? ) = ( ?????? ∙ ?????? ) ??????
4°. 1 ∙ ?????? = ?????? , (− ?????? ) ?????? = − ?????? , ?????? ∙ ?????? = ?????? , ( ?????? , ?????? -skalyarlar).
?????? vektorni
1
k skalyarga ko’paytmasini vektorni ?????? skalyarga bo’linmasi kabi

13tushinish kerak, ya’ni a
k = 1
k ∙ a
1-misol . ( ?????? + ?????? ) + ( ?????? − ?????? ) = ?????? + ?????? + ( ?????? − ?????? ) = 2 ??????
2-misol . a + b − a
2 = a + 1
2( b − a ) = a + 1
2 b − 1
2 a = 1
2 a + 1
2 b = a + b
2 ;
a − b + a
2 = a − 1
2
( b + a ) = a − 1
2 b − 1
2 a = 1
2 a − 1
2 b = a − b
2 ;
Agar noldan farqli ?????? vektorni uning uzunligi |??????| ga bo ‘ lsak , u holda ?????? vektor
yo ‘ nalishidagi birlik ?????? vektorini hosil qilamiz , bu birlik vektor ort deyiladi :
?????? =
1
|a|∙a
Bu yerdan vektorning standart ko‘rinishiga ega bo‘lamiz: ?????? = | ?????? | ?????? . Vektor
noldan farqli bo‘lganda oxirgi formula har qanday ?????? uchun o‘rinli.
1.3. Vektorlarning kollinearlik va komplanarlik shartlari
Vektorlarni qo‘shish va skalyarga ko‘paytirish vektorlarning kollinearlik va
komplanarlik shartlari algebraik amallari yordamida vektorlarning kollinearlik
va komplanarlik shartlarini osongina ifodalash mumkin.
1-teorema . Ikki noldan farqli a va b vektorlari kollinear bo‘ladi, agar ular
faqat va faqat proporsional bo‘lsa, ya’ni shunday ?????? ≠ 0 skalyar mavjud bo‘lib,
?????? = ???????????? (1)
tenglik bajarilsa
Isbot. 1) Faraz qilaylik ?????? va ?????? vektorlari kollinear bo‘lsin, hamda mos
ravishda ?????? , ?????? ′ - ularning ortlari (8-chizma).
?????? ?????? ?????? ′
??????

??????
??????

?????? ′
??????

??????

?????? ′ ?????? ??????
?????? ??????
?????? ′ ??????

?????? ) ?????? )
8-chizma
Quyidagini standart shaklni yoza olamiz: ?????? = | ?????? | ?????? , ?????? = | ?????? | ?????? ′ . Ko‘rinib turibdiki, ′
= ± ?????? , bu yerda musbat ishora (+) ?????? va ?????? vektorlarning bir xil yo‘nalishini, manfiy
ishora (-) esa ?????? va ?????? vektorlarning qarama-qarshi yo‘nalishini ifodalaydi. Shunday
qilib,

14b = ±| b| e '
= ± | b|
|
a|(| a| e ) = ± | b|
|
a| a .
Bu yerda k = ±
| b|
|
a| deb olinsa (1) formula kelib chiqadi.
2) Agar (1) tenglik bajarilsa, u holda ?????? va ?????? vektorlari kollinearligi
to‘g‘ridan to‘g‘ri vektorni skalyarga ko‘paytirish amalidan kelib chiqadi. Teorema
to‘la isbotlandi.
2-Teorema . Uchta noldan farqli ?????? , ?????? ???????????? ?????? vektorlari komplanar bo‘lishi uchun
ulardan bittasi qolganlarining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo‘lishi, ya’ni
?????? = ?????? ?????? + ?????? ?????? (2)
tenglikning bajarilishi yetarli va zarur, bu yerda k,l- skalyarlar ( ?????? ≠ 0, ?????? ≠ 0 ).
Isbot. 1) Faraz qilaylik ?????? , ?????? ва ?????? vektorlari komplanar bo‘lsin. Unda
ularning boshlang‘ich nuqtalarini P tekislikdagi umumiy bo‘lgan O nuqtaga
keltiramiz (9-chizma).

??????
??????
?????? ??????

??????
??????
??????
?????? ??????

??????

??????
A
9-chizma

Avvalo bu vektorlarning har qanday jufti kollinear bo‘lmasin, masalan, ?????? va
?????? vektorlari kollinear emas. Ma’lumki ?????? vektorni ?????? va ?????? vektorlarga kollinear
bo‘lgan ??????
?????? va ??????
?????? vektorlarning yig‘indisi ko‘rinishda ifodalash mumkin, u holda
1teoremaga asosan ?????? = ??????
?????? + ??????
?????? = ?????? ?????? + ?????? ?????? , bu yerda ?????? , ?????? - skalyarlar miqdorlar.
Shunday qilib, a,b va c vektorlari komplanar bo‘lganda (2) shart o‘rinli.
Endi ?????? , ?????? , ?????? juft-jufti bilan kollinear bo‘lsin, u holda ?????? = ?????? ?????? + 0 ∙ ?????? . Bu
holda ham (2) shart o‘rinli.
Demak, (2) shart uchta noldan farqli ?????? , ?????? ва ?????? vektorlari komplanar
bo‘lishining zaruriy sharti ekan.

152) Endi (2) shart uchta noldan farqli a,b va c vektorlari komplanar
bo‘lishining yetarli sharti ekanini ko‘rsatamiz. 9-chizmaga ko‘ra ?????? =OA ?????? = OB ,
?????? =
OC bo‘lgani uchun ?????? ва ?????? vektorlarning chiziqli kombinasiyasidan iborat
bo‘lgan ?????? vektor ham ?????? , ?????? vektorlar yotgan tekislikda yotadi. Demak, ?????? , ?????? , ??????
vektorlari komplanar ekan. Boshqacha aytganda, (2) shart uchta noldan farqli
?????? , ?????? ва ?????? vektorlari komplanar bo‘lishining yetarli sharti ekan. Teorema isbotlandi.
3-misol. ?????? , ?????? + ?????? , ?????? − ?????? vektorlarning komplanarligini ko‘rsating.
Yehish. ?????? = 1
2
( ?????? + ?????? ) + 1
2 ( ?????? − ?????? ) bo‘lganligi uchun ular komplanar.
1.4. Vektor proyeksiyasi
To‘g‘ri chiziq o‘q deyiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa:
1. Boshlang‘ich nuqtasi berilsa;
2. O‘lchav (masshtab) birligi berilsa;
3. Yo‘nalishi berilsa.
Odata o‘qning yo‘nalishi strelka orqali ko‘rsatiladi, masalan О?????? . Bu yerda
О boshlang‘ich nuqta, ?????? esa to‘g‘ri chiziqning boshlang‘ich nuqtadan o‘ng
tomonida joylashgan ixtiyoriy nuqta.
5-ta’rif . ?????? nuqtaning ?????? o‘qdagi proyeksiyasi deb, ?????? nuqtadan o‘qqa
tushirilgan ???????????? ′ perpendikulyarning A' asosiga aytiladi (10-chizma).
Boshqacha qilib aytganda, ?????? nuqtaning ?????? o‘qdagi proyeksiyasi ?????? nuqtadan
o‘tib o‘qqa perpendikulyar bo‘lgan tekislikning kesishish nuqtasi ?????? ′ ga aytiladi.
6-ta’rif . ?????? o‘qqa nisbatan ?????? =
AB vektorning komponentasi (yasavchilari
yoki tuzuvchilari) deb, ?????? o‘qidagi ?????? ′ =
A'B' vektorga aytiladi, bu yerda ?????? ′ nuqta
?????? =
AB vektor boshlang‘ich nuqtasi ?????? ning ?????? o‘qidagi proyeksiyasi, ?????? ′ nuqta esa
?????? =
AB vektor oxirgi nuqtasi ?????? ning ?????? o‘qidagi proyeksiyasi (10-chizma).

??????
??????

??????
?????? ?????? ?????? ′ ?????? ′
?????? ′ ??????

10-chizma
7-ta’rif . ?????? vektorning ?????? o‘qidagi proyeksiyasi deb, ??????
?????? = ±|̅ A '
B '
| skalyarga
aytiladi. Bu yerda agar komponenta yo‘nalishi ?????? o‘qning yo‘nalishi bilan ustma-ust

16tushsa, u holda kompanenta moduli(uzunligi) plyus (+) ishora bilan, agar
komponenta yo‘nalishi ?????? o‘qning yo‘nalishi bilan qarama-qarshi bo‘lsa, unda
moduli(uzunligi) minus (-) ishora bilan olinadi.
Agar ?????? = ?????? bo‘lsa, u holda ??????
?????? = 0 . Qayd etamizki, agar ?????? - ?????? o‘qning birlik
vektori bo‘lsa, u holda ?????? ′ = ??????
?????? ?????? tenglik o‘rinli.
?????? vektorning ?????? o‘qdagi proyeksiyasi пр
?????? ?????? kabi ham belgilanadi.
3-teorema . ?????? vektorning ?????? o‘qdagi proyeksiyasi | ?????? | uzunlikni ?????? vektor bilan
?????? o‘q yo‘nalishi orasidagi burchak kosinusiga ko‘paytirilganiga teng, ya’ni
??????
?????? = пр
?????? ?????? = | ?????? | cos ?????? , ?????? = (^ a , l
) (3)
Isbot . ?????? =
OA - ozod vektor bo‘lganligi uchun, uning ?????? - boshlang‘ich
nuqtasi ?????? o‘qda yotadi (11-chizma).

??????

??????
??????

?????? ?????? ' ?????? ′ ??????

??????
?????? ?????? )

1) Agar ?????? vektor va ?????? o’q orasidagi ?????? burchak o’tkir bo’lsa, u
holda ?????? vektor komponentasi ?????? ′
=
OA ' ning yo’nalishi ?????? o’q yo’nalishi bilan
ustmaust tushadi (11 а - чизма ). Bu holda quyidagiga ega bo’lamiz
??????
?????? = пр
?????? ?????? = +| ?????? ?????? ′
| = | ?????? ?????? ′
| cos ?????? = | ?????? | cos ?????? .
2) Agar ?????? vektor va ?????? o’q orasidagi ?????? burchak o’tmas bo’lsa, u
holda ?????? vektor komponentasi ?????? ′
= OA '
ning yo’nalishi ?????? o’q yo’nalishi bilan
qarama-qarshi bo’ladi (11 б - чизма ). Bu holda quyidagiga ega bo’lamiz
??????
?????? = пр
?????? ?????? = −| ?????? ?????? ′
| = −| ?????? ?????? ′
| cos( ?????? − ?????? ) = | ?????? | cos ?????? .
3) Agar ?????? = π
2 bo’lsa, u holda (3) formula o’rinli, chunki bu holda
??????
?????? = 0 .
Teorema isbotlandi.
Bu teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1°. Vektorning o‘qdagi proyeksiyasi:
a) musbat, agar vektor bilan o‘q o‘tkir burchak hosil qilsa; 11 - chizma б ) ?????? − ?????? ??????
?????? ′
??????
?????? ?????? ?????? ′ ??????
??????
??????

17b) manfiy, agar burchak – o‘tmas bo‘lsa;
c) nolga teng, agar burchak to‘g‘ri bo‘lsa.
2°. Bitta o‘qdagi proyeksiyalari teng bo‘lgan vektorlar bir biriga teng
vektorlardir.
4-teorema . Bir nechta vektorlar yig‘indilarining o‘qdagi proyeksiyasi shu
o‘qdagi vektorlar proyeksiyalari yig‘indisiga teng.
Isbot . Faraz qilaylik, masalan, ?????? = ?????? + ?????? + ?????? c bo‘lsin, bu yerda ?????? = OA ,

?????? =AB , ?????? = BC , . Unda vektorlarni qo‘shish qoidasiga asosan ?????? = OC , (12-
chizma).

??????
?????? ??????

?????? ??????

??????

??????

??????
??????

?????? ′ ?????? ′ ?????? ′ ?????? ′
12-chizma

?????? , ?????? , ?????? , ?????? nuqtalarning ?????? o‘qidagi proyeksiyalarini mos ravishda ?????? ′, ?????? ′, ?????? ′,
?????? ′ belgilab va ?????? , ?????? , ?????? (12-chizma) vektorlar komponentalarining yo‘nalishlarini
hisobga olsak, quyidagiga ega bo‘lamiz
пр ?????? ?????? = +
| O '
C ' |
= + | O '
A ' |
+ | A '
B ' |
− |C'B'| = пр ?????? ?????? + пр ?????? ?????? + пр ?????? ?????? .
Teorema isbotlandi.
Isbotlangan teoremadan, yopiq vektor chiziqlarining proyeksiyasi har
qanday o‘qda nolga teng.
5-teorema . ?????? vektorni k skalyar songa ko‘paytmaning ?????? o‘qiga proyeksiyasi
vektor proyeksiyasini ana shu skalyarga ko‘paytirilganiga teng, ya’ni
пр
?????? ( ???????????? ) = ?????? ∙ пр
?????? ?????? (4)
(4 ) formula 3-teorema va vektorni skalyarga ko‘paytirishdan kelib chiqadi.
4 va 5- teoremalardan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. Vektorlarning chiziqli kombinasiyasi proyeksiyalari
proyeksiyalarning chiziqli kombinasiyasiga teng, ya’ni

18пр
?????? ( ???????????? + ???????????? ) = ?????? ∙ пр
?????? ?????? + ?????? ∙ пр
?????? ?????? (5)
4-misol. ?????? va ?????? vektorlar orasidagi burchak 120° va ularning modullari | ?????? |
= 3 , | ?????? | = 4 teng bo‘lsin . Ularning chiziqli kombinasiyasi ?????? = 2 ?????? + ?????? vektorning
berilgan ?????? va ?????? vektorlardagi proyeksiyalarini toping .
Yechish. (3) formulaga asosan :
пр
?????? ?????? = | ?????? | cos 0° = | ?????? | = 3 , пр
?????? ?????? = | ?????? | cos 120° = | ?????? |(− sin 30°) =
− | ?????? | = −2 ,
пр
?????? ?????? = | ?????? | cos120° = | ?????? |(−sin 30°) = − | ?????? | = − , пр
?????? ?????? =
| ?????? | cos 0° = | ?????? | = 4 .
Endi (5) formuladan foydalansak:
пр
?????? ?????? = 2 пр
?????? ?????? − 3
2 пр
?????? ?????? =2∙3− 3
2(−2)=6+3= 9 ,
пр
?????? ?????? = 2 пр
?????? ?????? − 3
2 пр
?????? ?????? =2
( − 3
2 ) − 3
2 ∙ 4 = − 3 − 6 = − 9
,
5-misol . ?????? =
OA , ?????? = OB , vektorlari berilgan va ?????? = OC , vektor esa ??????????????????
uchburchakning medianasi (13-chizma). ?????? vektorni ?????? va ?????? vektorlar bo‘yicha
yoying.

Yechish. Faraz qilaylik mos ravishda ??????
1 , ??????
1 nuqtalar ?????????????????? uchburchakdagi
???????????? va ???????????? tomonlarining o‘rtalari bo‘lsin. Unda ????????????
1 ????????????
1 parallelogrammdan
quyidagini hosil qilamiz:
OC
= ???????????? 1 + ???????????? 1 =
1
2OA + 1
2OB = 1
2(OA +OB )
Shunday qilib ?????? = 1
2 ( a + b )

13 - chizma ??????
??????
1 ?????? ???
??? 1 ??????
???
???
?????? ???
??? ???
???

19II BOB. Vektorlar ustida amallar
2.1 Vektorlarning skalyar ko’paytmasi
Orasidagi burchagi ?????? ga teng ikki ?????? va ?????? vektorlari berilgan.
11-ta’rif. Ikki ?????? va ?????? vektorlarning скаляр ko’paytmasi deb, bu vektorlar
uzunliklarimi ular orasidagi burchak cosinusiga ko’paytirilgan ( ?????? , ?????? ) songa
aytiladi, y’ni
( ?????? , ?????? ) = | ?????? || ?????? | cos ?????? . (1)
Ikki ?????? va ?????? vektorlarning скаляр ko’paytmasi ???????????? kabi ham belgilanadi.
Agar vektorning o’qdagi proeksiy tushunchasidan foydalansak, u holda
| ?????? | cos ?????? = пр
?????? ?????? , | ?????? | cos ?????? = пр
?????? ?????? . Unda (1) formulaga asosan
???????????? = | ?????? | пр
?????? ?????? = | ?????? | пр
?????? ?????? , (2)
y’ni, ikki vektorlarning skalyar ko’paytmasi ulardan birinig uzunligini, ikkinchi
vektorni birinchi vektor yo’nalishdagi o’qdagi proeksiysiga ko’paytirilganiga teng
(15-chizma).

??????

??????

??????

??????

15-chizma
Skalyr ko’paytmaning fizik ma’nosini tushuntramiz. ?????? kuch material nuqtani
to’g’ri chiziq bo’lab ?????? = MN ga siljitsin. Agar ?????? kuch bilan siljish vektori ??????
orasidagi burchak ?????? bo’lsa, u holda fizikadan ma’lumki ?????? ning ?????? siljitishda
bajargan ishi quyidagiga teng
1 6 - chizma ??????
??????
?????? ??????
??????

20?????? = | ?????? || ?????? | cos ?????? .
Unda (1) formulaga asosan
?????? = ( ?????? , ?????? ) . (3)
Shunday qilib, nuqtaga qo’yilgan kuchning to’gri chiziq bo’lab siljishda bajargan
ishi kuch vektori va shiljish vektorilarning skalyar ko’paytmasiga teng. Skalyr
ko’paytma quyidagi xossalarga ega:
1°. Ikki vektorning skalyr ko’paytmasi ko’paytirish tartibiga bog’liq emas (o’rin
almashtirish xossasi):
( ?????? , ?????? ) = ( ?????? , ?????? ) . (4)
(4) tenglik to’g’ridan to’g’ri (1) formuladan kelib chiqadi.
2°. Uch ?????? , ?????? , ?????? vertorlar uchun quyidagi tenglik o’rinli (taqsimot xossasi)
( ?????? + ?????? , ?????? ) = ( ?????? , ?????? ) + ( ?????? , ?????? ) . (5)
Haqiqatdan ham, vektorlarning proeksiysi xossalarini e’tiborga olsak, (2)
formulaga asosan, quyidagini h’osil qilamiz
( ?????? + ?????? , ?????? ) = пр
?????? ( ?????? + ?????? ) ∙ | ?????? | = ( пр
?????? ?????? + пр
?????? ?????? ) ∙ | ?????? | =
= пр
?????? ?????? ∙ | ?????? | + пр
?????? ?????? ∙ | ?????? | = ( ?????? , ?????? ) + ( ?????? , ?????? ).
3°. ?????? vektorning o’ziga skalyar ko’pytmasi ?????? 2
= ( ?????? , ?????? ) shu vector modulining
kvadratiga teng, y’ni ?????? 2
= | ?????? | 2
.
Haqiqatdan ham, ?????? 2
= ( ?????? , ?????? ) = | ?????? | ∙ | ?????? | cos 0 = | ?????? | 2
, chunki teng vektorlaar orasidagi
burchak nolga teng. Bu erdan vector moduli uchun
| ?????? | . (6)
formulani hosil qilamiz.
4°. Skalyr ko’paytuchini skalyar ko’paytma belgisidan tashqariga chqarish
mumkin, y’ni
( ???????????? , ?????? ) = ( ?????? , ???????????? ) = ?????? ( ?????? , ?????? ) . ( ?????? – skalyar) (7)
Bu xossani (1) dan osongina keltirib chiqarish mumkin.
5°. Vektorlar chiziqli kombinasiylarining ixtiyoriy vektorga skalyr ko’paytmasi bu
vektorlarning shu vectorga skalyar ko’paytmasining chiziqli kombinasiysiga teng,
y’ni
( ???????????? + ???????????? , ?????? ) = ?????? ( ?????? , ?????? ) + ?????? ( ?????? , ?????? ) . ( ?????? , ?????? − skalyarlar )
Osonlik bilan ko’rish mumkinki bu xossa 2° , 4° xossalarning natijasidir.
(1) formuladan nolga teng bo’lmagan ?????? va ?????? vektorlar orasidagi ?????? burchak
kosinisi quyidagiga teng
cosφ = ( a , b )|
a|| b| (8)

21(8) formuladan ?????? va ?????? vektorlarning perpendikulyar (ortogonal) bo’lishi uchun
faqat va faqat ( ?????? , ?????? ) = 0 shart bajarilishi kerak, y’ni boshqacha aytganda
( ?????? , ?????? ) = 0 shart bu vektorlarning perpendikulyar bo’lishining etarli va zaruriy sharti
ekan.
9-misol . ?????? va ?????? - birlik vektorlar orasidagi burchak ?????? = 30° bo’lsin.
( ?????? + ?????? ) 2
ni toping.
Echish. 1° − 3° xossalardan foydalansak quyidagini hosil qilamiz:
( ?????? + ?????? ) 2
= ( ?????? + ?????? , ?????? + ?????? ) = ( ?????? , ?????? ) + ( ?????? , ?????? ) + ( ?????? , ?????? ) + ( ?????? , ?????? )
.
10-misol . Berilgan: , ?????? va ?????? vektorlar orasidagi burchak
?????? = 135° ga teng. ( ?????? − ?????? ) 2
ni toping.
Echish. 1° − 3° xossalardan foydalansak quyidagini hosil qilamiz:
11-misol. ?????? nuqtaga ??????
1 va ??????
2 kuchlar qo’yilgan. Ular orasidagi burchak ?????? = 45°
va modullari | ??????
1 | = 10 , | ??????
2 | = 20 ga teng. Bu kuchlarga teng ta’sir etuvchu miqdorni
oping.
Echish. Teng ta’sir etuvchi kuch ?????? = ??????
1 + ??????
2 . Unda:
( ??????
1 + ??????
2 ) 2
= ( ??????
1 ) 2
+ 2( ??????
1 , ??????
2 ) + ( ??????
2 ) 2
= | ??????
1 | 2
+ 2| ??????
1 || ??????
2 | cos ?????? + | ??????
2 | 2
=
.
Shunday bqilib, | ?????? | .
?????? и ?????? vektorlari koordinatalar shakilda berilga:
?????? = ??????
?????? ?????? + ??????
?????? ?????? + ??????
?????? ?????? , ?????? = ??????
?????? ?????? + ??????
?????? ?????? + ??????
?????? ?????? , (9) bu
erda ?????? , ?????? , ?????? – ???????????? , ???????????? , ???????????? koordinata o’qlaridagi ortlar. Bu vektorlarni ko’phadlarni
ko’paytirgandek ko’paytiramiz va
( ?????? , ?????? ) = ( ?????? , ?????? ) = ( ?????? , ?????? ) = 0, ( ?????? , ?????? ) = ( ?????? , ?????? ) = ( ?????? , ?????? ) = 1 ,
munosobatlarni e’tiborga olsak, unda
( ?????? , ?????? ) = ??????
?????? ??????
?????? + ??????
?????? ??????
?????? + ??????
?????? ??????
?????? . (10)
Shunday qilib, vektorlarning skalyar ko’paytmasi, mos koordinatalar
ko’paytmalari yig’indisiga teng.

22 Agar (9) vektorlar orasidagi burchakni ?????? orqali belgilasak, unda (8) va (10) ga
asosan
cosφ = a
x b
x + a
y b
y + a
z b
z√
a
x2
+ a
y2
+ a
z2 √
b
x2
+ b
y2
+ b
z2 (11)
12-misol. ?????? = ?????? + ?????? + 2 ?????? , ?????? = ?????? − ?????? + 4 ?????? vektorlr berilgan . пр
?????? ?????? va пр
?????? ?????? larni
toping.
Echish. (2) formuladan
пр
a b = ( a , b )
|
a| , пр
b a = ( a , b ) |
b| .

(10) formulaga asosan
( ?????? , ?????? ) = 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) + 2 ∙ 4 = 8 .

?????? va ?????? vektorlarning uzunliklarini topamiz
| ?????? | , | ?????? | .
Shunday qilib, пр
?????? ?????? , пр
?????? ??????
13-misol. Yig’indini hisoblang ?????? = (2 ?????? − ?????? , ?????? ) + ( ?????? − 2 ?????? , ?????? ) + ( ?????? − 2 ?????? ) 2
.
Echish. (10) formuladan foydalansak:
(2 ?????? − ?????? , ?????? ) = (−1) ∙ 1 = −1 , ( ?????? − 2 ?????? , ?????? ) = (−2) ∙ 1 = −2 , ( ?????? −
2 ?????? ) 2
= ( ?????? − 2 ?????? , ?????? − 2 ?????? ) = 1 ∙ 1 + (−2) ∙ (−2) = 5 .
Shunday qilib, ?????? = −1 + (−2) + 5 = 2 .

3.2. Vektorlarning kollinearlik va ortogonallik shartlari
Ma’lumki, ?????? va ?????? vektorlarning kollinearlik sharti quyidagicha ifodalanadi
?????? = ???????????? , (12)
bu erda ?????? - skalyar. (9) shakilda berilgan vektorlar uchun (12) shart quyidagi
tengliklarga ekvivalent:
??????
?????? = ????????????
?????? , ??????
?????? = ????????????
?????? , ??????
?????? = ????????????
?????? yoki b
x
a
x = b
y
a
y = b
z
a
z
Shunday qilib, vektorlar kollinear bo’ladi qachonki, faqat va faqat mos
koordinatalari proporsiyonal bo’lsa .
?????? va ?????? vektorlarning perpendikulyarligi (ortogonalligi) bo’ladi, agar ular orasidagi
burchak ?????? = ??????
bo’lsa. Unda cos ?????? = 0 va bundan esa ( ?????? , ?????? ) = 0 . Demak, (9)
2
shakilda berilgan vektorlar uchun ortogonallik sharti quyidagicha ifodalanadi

23??????
?????? ??????
?????? + ??????
?????? ??????
?????? + ??????
?????? ??????
?????? = 0 .
Bu esa quyidagicha tushiniladi: ikki vector perpendikylyar bo’ladi qachonki, faqat
va faqat mos koordinatalar ko’paytmalari yig’indisi nolga teng bo’lsa.
14-misol. Quyidagi vektorlar orasidagi ?????? burchakni aniqlng
?????? = − ?????? + ?????? , ?????? = ?????? − 2 ?????? + 2 ?????? .
Yechish. Ma’lumki: ( ?????? , ?????? ) = (−1) ∙ 1 + 1 ∙ (−2) + 0 ∙ 2 = −1 − 2 = −3 ,
| ?????? | , | ?????? | cosφ = (a,b)
|a||b|=¿

Demak, ?????? = 135° .

2.2 Vektorlarning vektor ko’paytmasi
Boshlang’ich nuqtalari bir nuqtagaa keltrilgan uchta komplanar bo’lmagan ?????? , ?????? , ??????
vektorlar o’ng sistema tashkil qiladi deyiladi, agar ?????? vektor uchidan qaralganda ??????
vektordan ?????? vektorga qarab ?????? dan kichik burchakka burish saot strelkasiga teskari
yo’nalishda bo’lsa. Aks holda ular chap sistema tashkil qiladi. Agar komplanar
bo’lmagan ?????? , ?????? , ?????? vektorlardan ikkitasining o’rinlari almashtirilsa, u holda bu
uchlik orentatsiysini o’zgartiradi, y’ani o’ng sistema chap sistemaga aylanadi va
aksincha.
12-ta’rif. ?????? va ?????? vektorlarning vector ko’paytmasi deb shunday uchunch ??????
vektorga aytiladiki u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
1) ?????? vektoning модул i ?????? va ?????? vektorlaga ysalgan параллелограмм ning yuziga
teng, y’ani
| ?????? | = | ?????? | ∙ | ?????? | ∙ sin ?????? , (13)
bu yerda ?????? - ?????? va ?????? vektorlar orasidagi burchak (0 ≤ ?????? ≤ ?????? ) (1). 2) ?????? vektor
ko’paytirlayotgan vektorlarga perpendikulyar, y’ani ( ?????? , ?????? ) =( ?????? , ?????? ) = 0 ;
3) agar ?????? , ?????? vektorlari kollinear bo’lmasa, u holda ?????? , ?????? , ?????? lar o’ng uchlik hosil
qiladi.

??????

??????

??????
??????

24 17-chizma

Agar ?????? – vektor ?????? va ?????? vektorlarning vektor ko’paytmasi bo’lsa , u holda
?????? ≝ ?????? × ?????? .
Vector ko’paytmaning asosiy xossalarini keltiramiz.
1°. Vektor ko’paytmada ko’paytuvchilarning o’rinlari almashtirilsa vector
ko’paytma moduli o’zgarmasdan ishorasi teskariga o’zgaradi, y’ani
?????? × ?????? = −( ?????? × ?????? ) . (14)
Haqiqatdan, ?????? va ?????? vektorlar o’rinlari almashganda bu vektorlarga yasalgan
parallelogram yuzi o’zgarmaydi, y’ni | ?????? × ?????? | = | ?????? × ?????? | . Ammo ?????? , ?????? , ?????? × ??????
vektorlar chap uchlikni hosil qiladi. Shu sababli ?????? × ?????? vektorning yo’nalishi ?????? × ??????
( ?????? , ?????? - kollinear emas) vektorning yo’nalishiga qarama-qarshi. Agar ?????? , ?????? - kollinear
bo’lsa (14) tenglikning bajarilishi ko’rinib turibdi.
Shunday qilib, ikki vektorning vector ko’paytmasi o’rin almashtirish xossasiga
ega emas .
2°. Vektorning kvadrati nol-vektorga teng, y’ni ?????? × ?????? = 0 (bu – 1° xossaning
natijasidir).
3°. Skalyr ko’paytuchini vektor ko’paytma belgisidan tashqariga chqarish
mumkin, y’ni agar ?????? – скаляр bo’lsa, u holda
( ???????????? × ?????? ) = ( ?????? × ???????????? ) = ?????? ( ?????? × ?????? ) .
Bu xossa to’ridan-to’ri vektorni skalyrga ko’paytirish va vector ko;paytmaning
ta’rifidan kelib chiqadi. 4°. Har qanday ?????? , ?????? , ?????? vektorlar uchun
( ?????? + ?????? ) × ?????? = ( ?????? × ?????? ) + ( ?????? × ?????? ) , (15)
tenglik, y’ani taqsimot qonuni o’rinli
15-misol. ?????? − ?????? va ?????? + ?????? vektorlarning vector ko’paytmasini toping.
Echish. ( ?????? − ?????? ) × ( ?????? + ?????? ) = ( ?????? × ?????? ) − ( ?????? × ?????? ) + ( ?????? × ?????? ) − ( ?????? × ?????? ) = 0 +
( ?????? × ?????? ) + ( ?????? × ?????? ) + 0 = 2( ?????? × ?????? ) .
Bundan, xususiy holda |( ?????? − ?????? ) × ( ?????? + ?????? )| = 1
|( ?????? × ?????? )| ga ega bo’lamiz, y’ni
parallelogrammning diagonallariga yasalgan parallelogram yuzi berilgan
parallelogram yuzining ikkilanganiga teng.
Vector ko’paytma yordamida ikki ?????? va ?????? vektorlarning kollinearligining etarli va
zarur shartini osongina tekshirib ko’rish mumkinki: ?????? × ?????? = 0
16-misol. Agar ?????? va ?????? vektorlar orasidagi burchak ?????? = 30° va | ?????? | = | ?????? | = 2 bo’lsa,
?????? + 3 ?????? va 3 ?????? + ?????? vektorlarga yasalgan parallelogram yuzini hisoblang.
1

25 Echish. Vector ko’paytma ta’rifiga ko’ra :
( ?????? + 3 ?????? ) × (3 ?????? + ?????? ) = 3( ?????? × ?????? ) + ( ?????? × ?????? ) + 9( ?????? × ?????? ) + +3( ?????? × ?????? ) = 3 ∙
0 + ( ?????? × ?????? ) − 9( ?????? × ?????? ) + 3 ∙ 0 = −8( ?????? × ?????? ) . Demak,
parallelogram yuzini
?????? = 8|( ?????? × ?????? )| = 8 ∙ | ?????? | ∙ | ?????? | ∙ sin ?????? = 8 ∙ 2 ∙ 2 ∙ sin 30° = 16 .
?????? va ?????? vektorlari koordinatalari bilan (9) shakilda berilgan. Unda, vector
ko’paytma xosslaridan foydalansak quyidagiga ega bo’lamiz:
?????? × ?????? = [ ??????
?????? ??????
?????? ( ?????? × ?????? ) + ??????
?????? ??????
?????? ( ?????? × ?????? ) + ??????
?????? ??????
?????? ( ?????? × ?????? )] + [ ??????
?????? ??????
?????? ( ?????? × ?????? ) +
+ ??????
?????? ??????
?????? ( ?????? × ?????? ) + + ??????
?????? ??????
?????? ( ?????? × ?????? )] + +[ ??????
?????? ??????
?????? ( ?????? × ?????? ) + ??????
?????? ??????
?????? ( ?????? × ?????? ) + ??????
?????? ??????
?????? ( ?????? × ?????? )] .
(16)
Vector ko’paytma ta’rifidan, ?????? , ?????? , ?????? ortlar uchun quyidagi “ko’paytirish jadvali” ni
hosil qilamiz:
?????? × ?????? = 0 , ?????? × ?????? = 0 , ?????? × ?????? = 0 ,
?????? × ?????? = −( ?????? × ?????? ) = ?????? , ?????? × ?????? = −( ?????? × ?????? ) = ?????? , ?????? × ?????? = −( ?????? × ?????? ) = ?????? .

Bularni (16) formulada e’tiborga olsak quyidagi tenglikni hosil qilamiz
?????? × ?????? = ?????? ( ??????
?????? ??????
?????? − ??????
?????? ??????
?????? ) + ?????? ( ??????
?????? ??????
?????? − ??????
?????? ??????
?????? ) + ?????? ( ??????
?????? ??????
?????? − ??????
?????? ??????
?????? ).
Chziqli algebrada keng qo’llaniladigan ikkinchi tartibli determinant tushinchasidan
foydalansak oxirgi tenglikni quyidagicha yoza olamiz:
?????? × ?????? = ?????? |
ay az
by bz| + ?????? | a
x a
z
b
x b
z | + ?????? |
ax ay
bx by| (17)
(17) formulani eslashga oson bo’lishi uchun uni uchunchi tartibli
determinant ko’rinishida yozamiz
?????? × ?????? =
|
i j k
ax ay az
bx by bz|
(18)
(17) formuladan
|a×b|
2
= | a
y a
z
b
y b
z | 2
+ | a
x a
z
b
x b
z | 2
+ | a
x a
y
b
x b
y | 2
(19)
17-misol. ?????? = 3 ?????? − 2 ?????? , ?????? = 3 ?????? − 2 ?????? vektorlarga yasalgan uchburchak yuzini
toping.

26 Echish. Shartga ko’ra, ??????
?????? = 0, ??????
?????? = −2, ??????
?????? = 3 , ??????
?????? = 3, ??????
?????? = −2, ??????
?????? = 0 . Shuning
uchun (18) formulaga ko’ra:
?????? × ?????? = |
i j k
0 − 2 3
3 − 2 0|=i|
− 2 3
− 2 0|− j|
0 3
3 0|+k|
0 − 2
3 − 2|=6i+9j+6k.
| ?????? × ?????? | .
Demak, uchburchak yuzi: ?????? | ?????? × ?????? | .

3.4. Vektorlarning aralash ko’paytmasi

13-ta’rif. ?????? , ?????? va ?????? vektorlarning aralash (yoki vector-skalyr) kopaytmasi deb ( ??????
× ?????? ) ∙ ?????? songa aytiladi va u quyidagicha belgilanadi:
?????????????????? ≝ ( ?????? × ?????? ) ∙ ??????
Boshlang’ich nuqtalari umumiy bo’lgan ?????? , ?????? va ?????? vektorlarga yasalgan
parallelopipidni qaraymiz. Unda, ?????? va ?????? vektorlarga yasalgan parallelogrammning
yuzi | ?????? × ?????? | = | ?????? | ga teng, ya’ni bu yuza parallelopipidning asosini tashkil qiladi.
Parallelopipidning balandligi ?????? = ± пр
?????? ?????? = ±| ?????? | cos ?????? ga teng, bu erda ?????? va ?????? lar
orasidagi ?????? burchak o’tkir bo’lsa ?????? = ?????? × ?????? ning ishorasi musbat, ?????? burchak
o’tmas bo’lsa manfiy ishora olinadi.
Birinchi holda ?????? , ?????? , ?????? vektorlari o’ng uchlikni, ikkinch holda esa - chap
uchlikni hosil qiladi.
Skalyar ko’paytma ta’rifiga asosan
( ?????? × ?????? ) ∙ ?????? = ( ?????? , ?????? ) = | ?????? | пр
?????? ?????? = ±| ?????? | ?????? = ± ?????? ,
bunda ?????? – ?????? , ?????? , ?????? vektorlarga yasalgan parallelepiped hajmi .
Shunday qilib, ?????????????????? = ± ?????? , ya’ni uch vektorlarning aralash ko’paytmasi bu
vektorlarga yasalgan parallelepiped hajmi ?????? ga teng bo’lib, ishorasi “ + ” olinadi,
agar vektorlar o’ng uchlik hosil qilsa, ishorasi “-” olinadi agar vektorlar chap
uchlik hosil qilsa.
Aralash ko’paytma quyidagi xossalarha ega.
1°. Aralash ko’paytmada ko’paytuvchilarni davriy o’rin almashtirilsa uning
qiymati o’zgarmaydi, ya’ni
?????????????????? = ?????????????????? = ?????????????????? .
2°. Aralash ko’paytmada yonma-yon ko’paytuvchilarning o’rinlari almashtirilsa
uning ishorasi qarama+qarshi ishoraga almashadi, ya’ni

27?????????????????? = ?????????????????? = ?????????????????? = − ?????????????????? .
Aralash ko’paytma yordamida uch vektorning komplanarligining etarli va zarur
shartini yozamiz:
?????????????????? = ?????? .
Agar ?????? = ??????
?????? ?????? + ??????
?????? ?????? + ??????
?????? ?????? , ?????? = ??????
?????? ?????? + ??????
?????? ?????? + ??????
?????? ?????? , ?????? = с
?????? ?????? + с
?????? ?????? + с
?????? ?????? bo’lsa, u holda
vector va skalyr ko’paytmalarning koordinatalar shaklidan foydalanib, quyidagi
ifodani yoza olamiz:
?????????????????? = ( ?????? × ?????? ) ?????? = ?????? ( ?????? × ?????? ) = ( ??????
?????? ?????? + ??????
?????? ?????? + ??????
?????? ?????? ) |
i j k
bx by bz
cx cy cz| =
= ??????
??????
| b
y b
z
c
y c
z | − ??????
?????? |
bx az
cx bz| + ??????
?????? | b
x b
y
c
x c
y |
yoki
abc =
| a
x a
y a
z
b
x b
y b
z
c
x c
y c
z |
17-misol. ?????? = 3 ?????? + 4 ?????? , ?????? = −3 ?????? + ?????? , ?????? = 2 ?????? + 5 ?????? vektorlardan parallellopiped
ysang va uning hajmini hisoblang.
Echish. Shartga ko’ra ??????
?????? = 3, ??????
?????? = 4, ??????
?????? = 0 , ??????
?????? = 0, ??????
?????? = −3, ??????
?????? = 1 , ??????
?????? = 0,
??????
?????? = 2, ??????
?????? = 5 . U holda (20) formulaga asosan

abc =
| 3 4 0
0 − 3 1
0 2 5 | = 3 ∙ (−3) ∙ 5 + 4 ∙ 1 ∙ 0 + 0 ∙ 2 ∙ 0 − 0 ∙ (−3) ∙ 0 + 0 ∙ 4 ∙
5 − 3 ∙ 2 ∙ 1 = −45 − 6 = −51 .
Shunday qilib, parallellopiped hajmi ?????? = 51.

28Xulosa
Shiddat bilan o zgarayotgan bugungi zamonda kelajakni matematik asoslabʻ
qurish zarur. Chunki bugungi kunda atom bombadan ham xavfli, chegara bilmas
muammolar bor. Masalan, kibertahdid, axborot xavfsizligi, optimizatsiya, virus
tarqalishi xavfi (jumladan, bugungi kundagi koronovirus pandemiyasi) kabilar
shular jumlasidandir.
Bu zamonaviy muammolarni yechishda axborot texnologiyalari, dasturlash,
matematik modellashtirish va kimyo biologiya kabi sohalarni rivojlantirish juda
muhim. Bu sohalarning asosi esa, albatta, matematika!
Matematika fanining biologiya, fizika, kimyo, kompyuter texnologiyasi,
kriptografiya, musiqa, muhandislik, tibbiyot, adabiyot, iqtisodiyot va ijtimoiy
sohalarda qo llanish doirasi juda keng. Masalan, bugungi kunda kompyuter
ʻ
dasturchisi bo lishga qiziqish kuchaymoqda. Dasturlashning negizini esa
ʻ
matematika tashkil qiladi. Dastur matematik algoritmdir! Shunday ekan, matematik
bilimlarni puxta egallamay turib, dasturlash sohasida yetuk mutaxassis bo lish aslo
ʻ
mumkin emas.
Matematikaning ba zi nazariyalari insoniyatga misli ko rilmagan foyda olib keldi.
ʼ ʻ
Ba zi ommabop misollarni keltiraman. Lobachevskiy geometriyasiga asoslangan
ʼ
GPS navigator tizimi transportning optimal harakatini aniq ta minlab bermoqda.
ʼ
Markov zanjirlariga asos lanib qurilgan Google qidiruv dasturi insoniyat uchun

29katta imkoniyatlar yaratish bilan birga, das tur ijodkorlariga har daqiqada 37000
dollar daromad keltirmoqda. Matematika qonunlariga asoslanuvchi kriptografiya
axborotni kodlab, begonalardan sir saqlash uchun ishlatiladi.
Tibbiyotda lazer bilan davolash rivojlanib bormoqda. Masalan, buyrakdagi toshni
lazer orqali maydalaydigan tibbiy asbob ellipsning geometrik xossalariga
asoslangan.
Bugun ko pgina fanlar qatori matematika ham global hamkorlik asosidaʻ
rivojlanmoqda. Biz ham bu jarayondan chetda emasmiz. Institutimiz olimlari Bonn,
Boxum, Kembrij, Lids, Parij, Seul, Santyago de Kompostela universitetlari va
boshqa ilmiy markazlardagi hamkasblari bilan birgalikda qo shma ilmiy loyihalarni
ʻ
amalga oshirmoqda.
Ilmiy aloqalardan yuqori malakali kadrlar tayyorlashda samarali foydalanilmoqda.
Institutning yosh olimlari K.Masutova, X.Karimjonov, R.Turdiboyev va
Sh.Murodov Ispaniyaning Santyago de Kompostela universitetida dissertatsiyani
muvaffaqiyatli himoya qilib, falsafa doktori (PhD) ilmiy unvonini oldi.
IRES (Talabalar uchun xalqaro tadqiqot amaliyoti) loyihasi bo yicha 2017
ʻ 2019-
yillarda amerikalik 29 talaba yozgi ilmiy semestrni institutimizda o tkazdi. Ikkinchi
ʻ
O zbekiston — Amerika konferensiyasida bu talabalar ilmiy natijalari bo yicha
ʻ ʻ
ma ruza qildi va xorijning nufuzli jurnallarida bir qancha ilmiy maqolalar chop etdi.
ʼ
Institutimiz tashabbusi bilan AQSHning Kaliforniya universiteti, Malayziyaning
MARA texnologiyalar universiteti, Birlashgan Arab Amirliklari universiteti,
shuningdek, boshqa bir qancha xorijiy ta lim dargohlarida faoliyat yuritayotgan
ʼ
vatandoshlar bilan hamkorlikda yetakchi professor o qituvchilarning onlayn
ʻ
mahorat darslari o tkazildi.
ʻ
Matematikaning dolzarb masalalari bo yicha olingan natijalar asosida oxirgi 5 yilda
ʻ
institutda o tkazilgan ilmiy konferensiyalarning 11 ta to plami, olimlarimiz
ʻ ʻ
tomonidan 10 ta monografiya, shundan 7 tasi xorijiy nashriyotlarda nashr etildi.

30Prezidentimizning 2020-yil 7-maydagi “Matematika sohasidagi ta lim sifatiniʼ
oshirish va ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish chora t adbirlari to g risida”gi qarori
ʻ ʻ
yurtimizda matematika taraqqiyoti uchun mustahkam zamin hozirlaydigan muhim
hujjat bo ldi, deb bemalol ayta olamiz. Mazkur qaror asosida har bir tumanda
ʻ
matematika faniga ixtisoslashgan maktablar tashkil etiladigan bo ldi. Biz tegishli
ʻ
vazirlik va idoralar bilan hamkorlikda matematika fani bo yicha uzluksiz ta lim
ʻ ʼ
dasturlari majmuasini yaratdik. Endi esa darsliklardagi yondashuvni, metodikani
o zgartirishimiz lozim. Bu muammo yechimi uchun ham imkoniyat yaratib
ʻ
berilgan. Yuqoridagi qarorga ko ra, 2021-yil 1-sentyabrdan boshlab matematika
ʻ
fani bo yicha davlat ta lim muassasalarida qo llaniladigan darsliklar va o quv
ʻ ʼ ʻ ʻ
qo llanmalarni ishlab chiqishda majburiy tartibda institutimizning ekspert xulosasi
ʻ
olinadi. Buning uchun institutda matematika ta limi bo yicha o quv
ʼ ʻ ʻ uslubiy
materiallarni muvofiqlashtirish laboratoriyasi tashkil etildi.
Xalq ta limi vazirligi tasarrufidagi matematika faniga ixtisoslashtirilgan
ʼ
umumta lim maktablari direktori lavozimiga tavsiya etilgan nomzodlarning ish
ʼ
faoliyati tahlil qilinib, ular bilan onlayn suhbat natijasiga ko ra 32 nafar nomzod
ʻ
tasdiqlandi.
Aytish kerakki, Prezidentimiz tashabbusi bilan bugungi kunda yurtimizda
matematikaga ixtisoslashtirilgan maktablar faoliyat yuritayotgani, ularning
aksariyati viloyatlarda tashkil etilgani mamlakatimizda mazkur fanga yoshlarning
qiziqishini oshirish, istiqbolda zamonaviy talablarga javob bera oladigan yetuk
mutaxassislar tayyorlashga qaratilayotgan e tiborning amaliy ifodasidir. Mazkur
ʼ
maktablarning zamonaviy talablar asosida jihozlangani yaqin kelajakda yurtimiz bu
sohada ham katta yutuqlarga erishishiga ishonchimizni oshiradi.
Matematika murakkab fan bo lgani sababli o quvchilar orasida uni
ʻ ʻ
yoqtirmaydiganlar, matematika darsida zerikib o tiradiganlar ko pligini tan olish
ʻ ʻ
kerak. Buning asosiy sababi 5 sinfdan boshlab o tilayotgan matematik mavzular
ʻ
hayotdan, turmushimizdan ancha uzoqdek tuyul ishida bo lsa ajabmas.
ʻ
O quvchi va talabalarning aksariyati nima uchun turli matematik — abstrakt
ʻ
tushunchalarga boy ta lim olishi zaruriyatini bilishni xohlashadi. Nega shunday?
ʼ

31Yoki matematika rostdan ham shu qadar zerikarli va turmushimizda keraksiz
bo lgan tushunchalar asosiga qurilganmi? Bu kabi savollarga javoblarniʻ
O .Roziqov va N.Mamatovaning “Fan” nashriyotida chop etilgan “Matematika va
ʻ
turmush” ilmiy ommabop kitobidan topish mumkin. Bu kitob o quvchi va
ʻ
talabalarning matematikaga qiziqishini oshiradi. Barcha yoshdagi kitobxonlar
(matematikaga
aloqasi yo q soha vakillari ham) ushbu kitob orqali qiziqarli ma lumotlar oladi.
ʻ ʼ
Kitob yuqoridagi savollarga javob berish orqali bu fanning qudrati, go zalligi va
ʻ
kundalik turmushimizda biz uchratadigan barcha narsalarda o z aksini topganini
ʻ
ko rsatib beradi. Matematikani chuqur bilish talab etilmaydigan kasblar ham ko p.
ʻ ʻ
Demak, bunday kasblarning bo lajak egalariga matematikani o qitish ularning vaqti
ʻ ʻ
va davlat resurslarini bekorga yo qotishga olib kelmaydimi, degan tabiiy savol
ʻ
tug iladi. Yo q, bu hech qanday yo qotish emas. Chunki o quvchilar yoshligida bir
ʻ ʻ ʻ ʻ
kasbni tanlashda doim ikkilanadi. Har bir o quvchi kamida bir marta tanlagan kasb
ʻ
orzusini almashtiradi. Agar o quvchi oldin haydovchi (yoki aktyor) bo lishni orzu
ʻ ʻ
qilib, keyin maktabni bitirishiga oz qolganida muhandis (yoki kompyuter
dasturchisi) bo lishni orzu qila boshlasa
ʻ chi? Unda bu o quvchining matematikani ʻ
chuqurroq o rganishga vaqti qoladimi? Ba zi o quvchilar esa maktabni bitirgunicha
ʻ ʼ ʻ
qanday kasb egasi bo lishini bilmaydi. Bunday o quvchilarni yoshligidan biror
ʻ ʻ
kasbni tanlashga majburlash noo rin. Kasbga qiziqish ancha kech paydo bo lishi
ʻ ʻ
mumkin. Shu sababli o quvchilarga maktabda har bir fanning asoslarini yaxshi
ʻ
o rgatish shart. Qolaversa, maktabda matematikani yaxshi o rganib, kelajakda uni
ʻ ʻ
qo llamaydigan o quvchilar ham xafa bo lmasin. Chunki matematika kasbdan, ish
ʻ ʻ ʻ
joyidan tashqarida ham juda ko p kerak bo ladi. Davlatimiz rahbari Oliy Majlisga
ʻ ʻ
2019-yilgi Murojaatnomasida 2020-yilni “Ilm, ma rifat va raqamli iqtisodiyot yili”,
ʼ
deb e lon qilar ekan, buning zamirida mamlakatimiz ilm
ʼ fani rivojiga berilayotgan
katta e tibor mujassam edi. Prezidentimizning olimlar bilan uchrashuvida bir necha
ʼ
fan yo nalishini rivojlantirishga alohida e tibor qaratildi. Matematika ana shulardan
ʻ ʼ
biri sifatida belgilandi. Uchrashuvda Oliy va o rta maxsus ta lim vazirligiga
ʻ ʼ
matematikani o qitish soatlarini qayta ko rib chiqish topshirig i berildi.
ʻ ʻ ʻ
Yo nalishlar bo yicha dastur va darsliklar tuzish zarurligi ta kidlandi.
ʻ ʻ ʼ

32Ushbu vazifalar ijrosi doirasida Matematika instituti olimlari O zbekiston Milliyʻ
universiteti va Toshkent davlat texnika universitetidagi hamkasblari bilan o quv
ʻ
rejalar va matematika sohalariga oid fan das turlarini qaytadan ko rib chiqib,
ʻ
sohalarga yo naltirilgan holda davlat va xalqaro standartlarga moslashtirdi.
ʻ
Shuningdek, Oliy va o rta maxsus ta lim vazirligi, Xalq ta limi vazirligi bilan
ʻ ʼ ʼ
hamkorlikda “Matematika” yo nalishi bo yicha oliy ta lim muassasalari pedagog
ʻ ʻ ʼ
kadrlarini qayta tayyorlash va malakasini oshirish kursining o quv dasturi hamda
ʻ
xalq ta limi tizimidagi pedagog kadrlar uchun matematika fani o qituvchilarining
ʼ ʻ
malakasini oshirish kurslari tajribaviy o quv dasturi ishlab chiqilib, a maliyotga
ʻ
joriy etildi.
Xalq ta limi tizimida darsliklardan ko ra, qiyinroq muammo borki, bu — kadrlar
ʼ ʻ
masalasi. Matematikani o quvchilarga chuqur o rgatadigan o qituvchilar yetarli
ʻ ʻ ʻ
emas. Darsliklar bilan chegaralanib qolgan o qituvchilar yo q emas. O qituvchi
ʻ ʻ ʻ
dars o tishda ijodiy yondashishi, har bir matematik mavzuni hayotiy muammolar
ʻ
bilan bog lab o tishi, darslikdagi mavzuni o quvchilar o zlashtirish xususiyatini
ʻ ʻ ʻ ʻ
baholagan holda sinfga mos bayon qilishi zarur.
Boshqacha aytganda, mavzuning darslikdagi bayoni har bir sinfga mos ravishda
“mahalliylashtirilishi” kerak. Masalan, a lochi va matematik qobiliyatli
ʼ
o quvchilari ko p sinflarga mavzuning darslikdagi bayoni kamlik qilishi, aksincha,
ʻ ʻ
kuchsizroq sinflarda darslik bayoni qiyinlik tug dirishi mumkin.
ʻ Bunda o qituvchi ʻ
mahorati zarur bo ladi
ʻ .

33Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Н.Д.Додажонов, М.Ш.Жўраева. Геометрия. 1-қисм,
Тошкент.
«Ўқитувчи», 1996 й. (ўқув қўлланма)
2. X.X.Назаров, X.O.Oчиловa, Е.Г.Подгорнова. Геометриядан
масалалар тўплами. 1 ва 2 қисм. Тошкент «Ўқитувчи» 1993, 1997. (ўқув
қўлланма)
3. Baxvalov M. Analitik geometriyadan mashqlar to’plami. Toshkent
UzMU, 2006 y.
4.K.X. Aбдуллаев и другие Геометрия 1-часть. Тошкент, «Ўқитувчи»
2002й.
5.K.X. Aбдуллаев и другие. Сборник задач по геометрии. Тошкент,
“Ўқитувчи” 2004 г.
6. Mathematical Literacy for Humanists, Herbert Gintis, pp 75-76

34Elektron ta’lim resurslari
1. www /Ziyo. Net
2. http://www.pedagog.uz/
3. http://www.ziyonet.uz/
4. http://window.edu.ru/window/

Vektor tushunchasi va ular bilan bog‘liq tushunchalar

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish