Информация о документе

Цена 2000UZS
Размер 212.0KB
Покупки 0
Дата загрузки 07 Ноябрь 2026
Расширение docx
Раздел Рефераты
Предмет Педагогика

Продавец

Bohodir Jalolov

Xarakterestik funksiya tarifi va uning xossalari.Uzluksiz moslik xaqidagi teoremalar

Купить
Mavzu: Xarakterestik funksiya tarifi va uning xossalari.Uzluksiz moslik xaqidagi teoremalar. Reja. 1. Xarakteristik funksiya va uning xossalari. 2. Xarakteristik funksiya orqali taqsimot funksiyani ifodalash formulasi. 3. Funksiyaning uzluksizligi . 4. Uzluksiz funksiyaning xossalari. 5. Uzluksiz funksiyalarga doir teoremalar.   Xarakteristik funksiya va uning xossalari   ehtimollik fazosida     tasodifiy  miqdor  berilgan  bo’lsin. Ta’rif.   Tasodifiy  miqdorning   xarakteristik funksiyasi   deb   haqiqiy  o’zgaruvchining  ushbu  funksiyasiga  aytiladi:                                                 (1) bu  yerda     t -haqiqiy  son,     esa     ning  taqsimot   funksiyasi.  Agar     tasodifiy  miqdorning     zichlik     funksiyasi     mavjud  bo’lsa,     u holda bo’ladi,     bu  esa     funksiya  Fur’e     almashtirishning     o’zidir. Umuman  olganda,     xarakteristik  funksiya     taqsimot   funksiyaning     Fur’e-Stilt’es     almashtirishdir. Ushbu                                                                                     tengsizlikdan     ixtiyoriy     tasodifiy   miqdorning     xarakteristik     funksiyasi   mavjudligi   kelib   chiqadi .                   Bog ’ liq     bo ’ lmagan     tasodifiy   miqdorlar     yig ’ indisining     xossalarini   o ’ rganishda     xarakteristik     funksiyalar     metodi     juda   qulay     metodlardan     biri   hisoblanadi . Xarakteristik funksiyaning xossalari. 1.                         Ihtiyoriy     tasodifiy     miqdor     uchun       va   barcha     t   lar  uchun   . 2.           Darhaqiqat,     3.           Agar     o’zaro    bog’liq     bo’lmagan     tasodifiy     miqdorlar bo’lsa,     u holda         yig’indining     xarakteristik   funksiyasi             ga  teng.                   Isbot. 4.                 xarakteristik  funksiya     da  tekis     uzluksizdir. Isbot. Bu   yerda   berilgan     uchun   N   ni   tanlash     hisobiga     qilish   mumkin ,     so ’ ngra     ni   shunday     tanlashimiz   mumkinki ,       bo ’ ladi , natijada           5.           bu  year  funksiya  ustidagi  chiziqcha   kompleks  qo’shmani  bildiradi.  Bu  xossaning  isboti                                                                             tenglikdan  kelib  chiqadi. 6.                                 Poya teoremasi .   Faraz  qilaylik,   funksiya   quyidagi  shartlarni  qanoatlantirsin: a)           b)           uzluksiz,  juft  va  botiq,  u xolda       biror  taqsimot   funksiyaning     xarakteristik     funksiyasi     bo’ladi. Bu  teoremani  isbotini  keltirmaymiz. 7.           Agar     bo’lsa,     xarakteristik  funksiya     n- tartibli     uzluksiz  hosilaga  ega  va  quyidagi  tengliklar  o’rinli:                          bu  yerda     da   va  barcha   t   larda                   Isbot.     Quyidagi     ifodani     qaraymiz:                   Ma’lumki,     hamda     shartga  ko’ra     da                     U  holda     majorant     yaqinlashish     haqidagi     teoremag  a binoan                   mavjud  va           ifodaga  teng,  shuning  uchun Shunga  o’xshash,                                       tengsizlikdan  foydalanib,       formula  isbotlanadi,     hamda     dan     kelib  chiqadi.                     ni  isbotlash  uchun  Teylor  formulasidan  foydalanamiz,     u  holda  haqiqiy     y   lar  uchun Shuning  uchun Bu yerda     va   -tasodifiy  miqdorlar  va   Endi                                                                   hamda   Funksiya  uchun  majorant     yaqinlashish     haqidagi     teoremani  e’tiborga  olsak,     Shunday  qilib,     ga   asosan     kelib  chiqadi.                   Endi  ko’p  ishlatiladigan  taqsimot  funksiyalarning   xarakteristik  funksiyalarini  hisoblaylik.                   1-misol .  Agar  bir  ehtimol  blan   bo’lsa,   bo’ladi.                   2-misol .  Faraz  qilaylik,     tasodifiy  miqdor     uchun     bo’lsin,  u  xolda                     3- misol .  O’zaro  bog’liq  bo’lmagan  bir  xil   taqsimlangan     tasodifiy  miqdorlar  ketma-ketligi   berilgan  bo’lsin  va Quyidagi   yig ’ indini     tuzamiz .   U   holda   3-   xossaga   ko ’ ra Agar  normallashtirilgan     va  markazlashtirilgan Tasodifiy  miqdorni     olsak,     u holda  2-xossaga  asosan 4-misol .   Faraz qilaylik,     standart     N (0,1)  normal  qonun   bo’yicha  taqsimlangan  bo’lsin.     U  xolda Agar     tasodifiy  miqdor       normal  qonun  bo’yicha   taqsimlangan  bo’lsa,     u holda     2-xossaga  asosan Buni     o ’ zingiz     mustaqil     isbotlashga     urinib     ko ’ ring .   Xarakteristik funksiya orqali taqsimot funksiyani ifodalash formulasi                   Har  bir  tasodifiy  miqdor  uchun  unga  mos  xarakteristik  funksiya mavjudligini     avvalgi     paragrafda     ko’rdik.  Turli  taqsimot     funksiyalarga  turli  xarakteristik     funksiyalar  mos     keladi     hamda   taqsimot  funksiya  xarakteristik  funksiya  orqali     bir  qiymatli   aniqlanadi.                   Teorema .  Agar   funksiyalar  mos  ravishda     tasodifiy miqdorning     xarakteristik     va     taqsimot     funksiyalari     bo’lsa     hamda     va         funksiyaning  uzluksiz  nuqtalari     bo’lsa,  u holda                                                                                   Bu teoremadan  quyidagi  atijani  isbotlash  mumkin:  agar     absolyut  integrallanuvchi     bo’lsa,  u holda     mavjud,  uzluksiz, chegaralangan  va     Isbot.   Quyidagi  integralni  hisoblaymiz: Agar  integral  ostidagi  funksiyalarning     oraliqda   chegaralanganini     e’tiborga  olsak, Matematik  analiz  kursidan  ma’lumki,                                                                                                                   Ushbu                                                                                                                               ifoda   c   bo’yicha  tekis  chegaralangandir.  Demak, Bevosita     ishonch     hosil  qilish  mumkinki,     va     lar  uchun Natijada                                                           Shu  bilan  birga     dan  va   funksiyaning  juftligidan Agar     va       nuqtalarni     funksiyaning     uzluksiz     nuqtalari   ekanligini   e ’ tiborga   olsak ,  oxirgi   tenglikdan                                                               ifoda  hosil  bo’ladi.  Agar   integralni ko ’ rinishda   ifodalash   mumkinligini   e ’ tiborga   olsak ,   ,     lardan   va   oxirgi   tenglikdan   teorema   isboti   kelib   chiqadi .                   Natija. Yagonalilik teoremasi . Taqsimot  funksiya     o’z     xarakteristik  funksiyasi  orqali  bir  qiymatli  aniqlanadi.   Agar     ayirma     da     funksiyani  bir  qiymatli   aniqlashini     e’tiborga  olsak,  u holda  yuqoridagi  teoremadan   natijaning  isboti  kelib  chiqadi.                   Xarakteristik  funksiyalardan  foydalanib,  normal  qonuning   quyidagi  muhim  xossasini  keltiramiz.  Normal  qonun  bo’yicha   taqsimlangan  bog’liq  bolmagan     va     tasodifiy  miqdorlarning   yig’indisi  yana  normal  taqsimotga  ega  bo’ladi.                   Xaqiqatdan  ham,  bog’liq  bo’lmagan     va   tasodifiy  miqdorlar   mos  ravishda     va   parametrlar  bo’yicha  taqsimlangan   bo’lsa,  u holda     yig’indining  xarakteristik  funksiyasi: Demak,   yig’indi parametrli    normal  taqsimotga  ega.                   Aksincha,     va     xarakteristik  funksiyalar  uchun bo ’ lsa ,   u   holda       bo ’ lishligini       G .   Karmer   isbotlagan ,   ya ’ ni   o ’ zaro   bog ’ liq   bo ’ lmagan     va     tasodifiy   miqdorlar   yig ’ indisi     normal   qonun   bo ’ yicha   taqsimlangan   bo ’ lsa ,   u   holda   qo ’ shiluvchilarning     har   biri   ham   normal   qonun   bo ’ yicha   taqsimlangan   bo ’ ladi .                     parametrli     Puasson  qonuni  bo’yicha  taqsimlangan  tasodifiy   miqdor  berilgan  bo’lsin.  Uning     xarakteristik     funksiyasi  quyidagiga   teng:                   Endi   o ’ zaro   bog ’ liq   bo ’ lmagan     va     tasodifiy   miqdorlar   mos   ravishda     va     parametrli   Puasson   qonuni   bo ’ yicha   taqsimlangan   bo ’ lsin .     Ular  yig’indisining     xarakteristik     funksiyasi  quyidagiga   teng: Demak,     tasodifiy  miqdor     parametrli  Puasson  qonuni   bo’yicha  taqsimlangan  bo’ladi.                 Funksiyaning uzluksizligi   Fаrаz  qilаylik,   bizgа   Х   sоhаdа   аniqlаngаn   y=f(x) funksiya bеrilgаn  bo`lsin.  Аgаr   y=f(x)   funksiyaning  аrgumеnti   х=х 0   nuqtаdа аniqlаngаn  bo`lib,  ungа  birоr    х оrttirmа  bеrsаk,  u hоldа  shu  nuqtаgа mоs  kеlgаn  funksiyaning  оrttirmаsi  hаm   y+  y=f(x 0 +  x)   bo`ladi. Bizgа   bеrilgаn   funksiyani   x=x 0   nuqtаdаgi    x   оrttirmаsigа   mоs kеlgаn    y   оrttirmаni  tоpаdigаn  bo`lsak,  y=f(x 0 +  x)-f(x) bo`ladi. Tа’rif. y=f(x)   funksiyaning  аrgumеnti   x  x 0   dа  funksiyaning  o`zi shu   nuqtаdаgi   uning   хususiy   qiymаtigа   intilsа, ya’ni   f(x)  f(x 0 )   bo`lsa,   u hоldа   y=f(x)   funksiyasi   Х   to`plаmni   x=x 0   nuqtаsidа   uzluksiz   dеyilаdi vа  limit   quyidagicha   yozilаdi. f(x)=f(x 0 ) Tа’rifdаn   ko`rinаdiki,   y=f(x)   funksiya   birоr   x=x 0   dа   uzluksiz bo`lishi  uchun  quyidаgi  shаrtlаr  bаjаrilishi  kеrаk: 1.   y=f(x)   funksiya   x=x 0   nuqtаdа  аniqlаngаn 2. y=f(x)   funksiyaning   x=x 0   nuqtаdаgi  limit  qiymаti  mаvjud   f(x) 3.   y=f(x)   funksiyaning   x=x 0   dаgi   limit   qiymаti   uning   shu nuqtаdаgi  хususiy  qiymаtigа  tеng  , ya’ni   f(x)=f(x 0 ) Yuqоridа   аytib   o`tilgаn   uchtа   shаrt bаjаrilgаndа   y=f(x) funksiya   x=x 0   nuqtаdа   uzluksiz   funksiya dеyilаdi,   аks   hоldа   esа   y=f(x) funksiya   x=x 0   nuqtаdа   uzulishgа egа dеyilаdi. Misоl . y=2x+1           funksiyasini   x=2 nuqtаdаgi   uzluksizligi ko`rsаtilsin Yechish . (2x+1)=5; f(2)=5 Uzluksizlik  tushunchаsigа      vа      tilidа   quyidаgi   tа’rif bеrilgаn.                                                     1-ta’rif (Koshi ta’rifi).       >     0  son  uchun  shunday    =    (  )>0 son   topilsaki,   funksiya   argumenti   x   ning   | x - x 0 |<    tengsizlikni qanoatlantiruvchi   barcha   qiymatlarida   | f ( x )- f ( x 0 )|<    tengsizlik bajarilsa,   f (x)  funksiya  x 0   nuqtada  uzluksiz  deyiladi,     f(x)=f(x 0 ). 1-misol .   Ushbu   f ( x )=   funksiyaning   x 0 =5  nuqtada  uzluksiz ekanini  ko ` rsating. Yechish.         >   0  son  olib,  bu      songa  ko`ra    >0  soni    = 4    bo`lsin  deb  qaralsa,  u holda  | x -5|<      bo`lganda bu  esa  qurilayotgan  funksiyaning   x 0 =5  nuqtada  uzluksiz  ekanini bildiradi. 2-ta’rif (Geyne ta’rifi).   Agar   X   to`plamning   elementlaridan tuzilgan  va   x 0   ga  intiluvchi  har  qanday  { x n }  ketma-ketlik  olinganda ham  funksiya  qiymatlaridan  tuzilgan  mos  { f ( x n )}  ketma-ketlik hamma  vaqt  yagona   f ( x 0 )  ga  intilsa,   f ( x )  funksiya   x 0   nuqtada  uzluksiz deb  ataladi. Agar     munosabat   o`rinli   bo`lsa, ushbu   munosabat  ham  o`rinli  bo`ladi. Odatda   x - x 0   ayirma   argument   orttirmasi,   f ( x )- f ( x 0 )   esa funksiyaning   x 0   nuqtadagi   orttirmasi   deyiladi.   Ular   mos ravishda    x   va    y   (  f ( x 0 ))   kabi   belgilanadi,   ya’ni:    x = x - x 0 ,    y =  f ( x 0 )= f ( x )- f ( x 0 ). Demak,   x = x 0 +  x ,    y = f ( x 0 +  x )- f ( x )   natijada,     munosabat     ko`rinishga  ega  bo’ladi. Shunday  qilib,   f ( x )   funksiyaning   x 0   nuqtada   uzluksizligi   bu nuqtada  argumentning  cheksiz  kichik  orttirmasiga  funksiyaning  ham cheksiz  kichik  orttirmasi  mos  kelishi  sifatida  ham  ta’riflanishi mumkin. T а ’rif . y=f(x)   funksiyasining   а rgum е nt   о rttirm а si    x  0   d а   ung а   m о s   k е luvchi   funksiya   о rttirm а si    y  0   bo`lsa,   u h о ld а   y=f(x)   funksiya   x=x 0   da   uzluksiz   d е yil а di   v а  y=0   kabi yozil а di.             x=x 0 +  x,  x=x-x 0 ,  y=f(x 0 +  x)-f(x 0 ),  y=f(x)- f(x 0 )  y= (f(x 0 +  x)-f(x 0 ))= (f(x 0 +x- х 0 )-f(x 0 ))= (f(x)- f(x 0 ))=0 Mis о llar 1)   y=2x+1 funksiyaning  uzluksizligi  ko`rs а tilsin. y+  y=2(x+  x)+1, ayirmani topamiz  y=2x+2  x+1-2x-1,  y=2  x  y= 2  x =0 2)   y=x 3 y+  y=(x+  x) 3  y=x 3 +3x 2  x+3x(  x) 2 +  x 3  y=x 3 +3x 2  x+3x  x 2 +  x 3 - x 3  y=  x(3x 2 +3x  x+  x 2 )                  y= (3x 2 +3x  x+  x 2 )  x=0. 3)   f ( x )=cos x   funksiyaning    x 0  R   nuqtada   uzluksiz   bo`lishini ko`rsating. Yechish .  x 0  R   nuqtani   olib   unga    x   orttirma   beraylik. Natijada   f ( x )=cos x   ham   ushbu    y =cos( x 0 +  x )-cos x 0   orttirmaga   ega bo`lib,va  - <  x <      bo`lganda |  y |  =  |cos( x 0 +  x )  - cos x 0 |= munosabatga  ega  bo`lamiz.  Bundan  esa    x  0  da    y  0  bo`lishi  kelib chiqadi. Aytaylik,   y = f ( x )  funksiya   x  R   to`plamda   aniqlangan bo`lib,   x 0 ( x 0  X )  to`plamning  (o’ng  va  chap)  limit  nuqtasi  bo`lsin. Bunda   x  x 0   da   f ( x )  funksiya  uchun  quyidagi  uch  holdan  bittasigina bajariladi: 1)                               chekli   f ( x 0 -0),   f ( x 0 +0)  chap  va  o`ng  limitlar  mavjud  va f ( x 0 -0)= f ( x 0 +0)= f ( x 0 )  tenglik  o`rinli.  Bu  holda   f ( x )  funksiya   x = x 0   da uzluksiz  bo`ladi; 2)   f ( x 0 -0),   f ( x 0 +0)  lar  mavjud,  lekin   f ( x 0 -0)= f ( x 0 +0)= f ( x 0 )  tengliklar bajarilmaydi,  u  holda   f ( x )  x = x 0   nuqtada  bir  tur  uzilishga  ega deyiladi; 3)   f ( x 0 -0),   f ( x 0 +0)  larning  birortasi  cheksiz  yoki  mavjud  emas.   Bu holda  x 0   nuqtada  2 tur  uzilishga  ega  deyiladi; 4)   f ( x 0 -0)= f ( x 0 +0)  f ( x 0 )  bo`lsa  bunday  uzilish,  bartaraf  qilish mumkin  bo`lgan  uzilish  deyiladi. Misol .  Ushbu   f ( x )=[ x ]  funksiyaning   x 0 =2  nuqtada  birinchi  tur uzulishga  ega  ekanligini  ko`rsating. Yechish .   Demak,   [ x ]=1,     =2 Bundan  esa  berilgan  funksiyaning   x 0 =2  nuqtada  birinchi  tur uzulishga  ega  ekanligi  kelib  chiqadi. Uzluksiz funksiyaning xossalari   Berilgan   f ( x )   va   q ( x )   funksiyalar   X   to`plamda   aniqlangan bo`lib,   x 0  X   nuqta   X   to`plamning  limit  nuqtasi  bo`lsin. 1-teorema .  Agar   f ( x )  va   q ( x )  funksiyalar   x 0   nuqtada  uzluksiz bo`lsa   u   holda   f ( x )  q ( x ),     f ( x )  q ( x ),     : ( q ( x )  0),    x  X funksiyalar  ham   x 0   nuqtada  uzluksiz  bo’ladi. 1-misol .   Ushbu   f ( x )=3 x 3 +sin 2 x   funksiyaning   x = R   da  uzluksizligini ko`rsating. Yechish .  ( x )= x ,   q ( x )=sin x   funksiyalar   R   uzluksiz.   Bunda   f ( x ) funksiyani   f ( x )=3  x  x  x +sin x  sin x   ko`rinishda  yozamiz,  u  holda uzluksiz   funksiyalar   ustidagi   arifmetik   amallarga   ko`ra,   f ( x ) funksiyaning  R  da  uzluksizligi  kelib  chiqadi. 2-teorema .   Agar   y=f(x)   funksiya   [a,b]   kesmada  uzluksiz  bo`lsa, u  holda [a;b] kesmada  funksiya  o`zining  eng  kichik  va  eng  katta qiymatiga  erishadi,  ya’ni     shunday     nuqtalar  mavjudki, barcha   lar   uchun     va     tengsizliklar o`rinli  bo`ladi. Funksiyani   qiymatini   y=f(x)   funksiyaning   [a,b]   kesmadagi eng  katta  qiymati  deb,     ni  esa  eng  kichik  qiymati  deb  ataymiz. Bu  teorema  qisqacha  bunday  ifodalanadi:                         kesmada  uzluksiz funksiya  hech  bo`lmaganda  bir  marta  eng  katta   M   qiymatga  va  eng kichik   m   qiymatga  erishadi.         3-teorema .   Agar   y=f(x)   funksiya   [a,b]   kesmada  uzluksiz bo`lib,  bu  kesmaning  uchlarida  turli  ishorali  qiymatlarni  qabul  qilsa, u  holda   [a,b] kesmada  hech  bo`lmaganda  shunday  bir x=c nuqta topiladiki,  bu  nuqtada  funksiya  nolga  aylanadi: f(c)=0; a<c<b . Misol. funksiya  berilgan.  Bu  funksiya  [1;  2]  kesmada uzluksiz.   Demak,  bu   kesmada   nolga  aylanadigan  nuqta mavjud.  Haqiqatdan  ham     da   y=0 4-Teorema . y=f(x)   funksiya  [a,b]  kesmada  aniqlangan  va uzluksiz  bo`lsin.  Agar  kesmaning  uchlarida  funksiya  teng bo`lmagan f(a)=A, f(b)=B qiymatlarni qabul  qilsa,  u holda funksiya A   va   B   sonlar  orasidagi  barcha  qiymatlarni  qabul  qiladi.  U holda  A< <B shartni  qanoatlantiradigan  ixtiyoriy     son  uchun kamida  bitta  c  [a;b]  nuqta  mavjudki,  unda     tenglik  to`g`ri bo`ladi. 3-teorema  bu  teoremaning  xususiy  holi,  chunki   A va   B lar  turli ishoralarga  ega  bo`lsa,  u holda     ni  o‘rnida  O  ni  olish  mumkin. Uzluksiz funksiyalarga doir teoremalar   1.     x 0   nuqtaning  yetarli  kichik  atrofida  funksiya  chegaralangan bo`ladi. 2.  Agar   f ( x 0 )  0  bo`lsa,   x 0   nuqtaning  yetarli  kichik  atrofida   f ( x ) o’z  ishorasini  saqlaydi. Aytaylik,   y = f ( x )   funksiya   X   to`plamda   va   z =  ( y ) funksiya   Y   to`plamda  aniqlangan  bo`lib,  ular  yordamida   z =  ( f ( x )) murakkab  funksiya  tuzilgan  bo`lsin. Teorema (murakkab funksiya uzluksizligi haqida).   Agar   f ( x ) funksiya   x 0   nuqtada,   z =  ( y )  funksiya   x 0   ga  mos  kelgan   f ( x 0 )  nuqtada uzluksiz  bo`lsa   z =  ( f ( x ))  funksiya     x 0   nuqtada  uzluksiz  bo`ladi. Teorema (Boltsano-Koshining 1-teoremasi) .   Agar   f ( x )  funksiya [ a ,   b ]   segmentda   aniqlangan   va   uzluksiz   bo`lib, segmentning   a   va   b   nuqtalarida  har  xil  ishorali  qiymatlarga  ega bo`lsa,  u  holda  shunday   c   ( a < c < b )  nuqta  topiladiki,  u  nuqtada funksiya  0 ga  aylanadi,     f ( c )=0. Teorema (Veyershtrassning 1-teoremasi).   Agar   f ( x )   funksiya [ a ,b]  segmentda  aniqlangan  va  uzluksiz  bo`lsa,  u  holda  shu segmentda  chegaralangan  bo`ladi. Teorema (Veyershtrassning 2-teoremasi). Agar   f ( x )  funksiya [ a ,   b ]  segmentda  aniqlangan  va  uzluksiz  bo`lsa,  funksiya  shu segmentda  o`zining  aniq  yuqori  hamda  aniq  quyi  chegaralariga erishadi. Misol.   Ushbu   f ( x )=   funksiyani  uzluksizlikka  tekshiring Y echish.   Ma’lumki,     bundan  foydalanib,     x =0   nuqtada   funksiya   aniqlanmagan   bo`lib,   ,     munosabatlar  o`rinlidir,  bu  esa  ta’rifga  ko’ra   x =0 nuqta   f ( x )  funksiya  uchun  2 tur  uzilish  nuqtasi  ekanligini  bildiradi.  

Xarakterestik funksiya tarifi va uning xossalari.Uzluksiz moslik xaqidagi teoremalar

Купить