Xususiyatlari uzluksiz bo‘lmagan sterjenda to‘lqin tarqalishi - Педагогика - Дипломные работы

Информация о документе

Цена	12000UZS
Размер	1.4MB
Покупки	0
Дата загрузки	06 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Дипломные работы
Предмет	Педагогика

Xususiyatlari uzluksiz bo‘lmagan sterjenda to‘lqin tarqalishi

Купить

XUSUSIYATLARI UZLUKSIZ BO’LMAGAN STERJENDA TO’LQIN
TARQALISHI
MUNDARIJA
KIRISH …………………………………………..……………….............
3
I-Bob. Asosiy tushunchlar ......……… …………………………………... 5
1.1-§. Mexanik
to’lqinlar ……………………………………………… 5
1.2-§. Ko’ndalang va bo’ylama to’lqinlar……………………………… 7
1.3-§. Statsionar va nostatsionar to’lqinlar …… ......................... .. ...........
9
1.4-§. Skalyar , Vektor potensiallar hamda bo’ylama va ko’ndalang
to’lqinlar tezliklari……………………... 15
1.5 -§. Bir o ’ lchamli to ’ lqin harakati va bir o ’ lchamli yassi to ’ lqinlar ….
18
II-Bob. Mexanik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenlarda to’lqin
tarqalishi bo’yicha masalaning qo’yilishi va yechilishi
24
2 .1-§. Zarba ta’sirida sterjenning siqilishi................................................
24
2 . 2 -§. Sterjenning bo’ylama tebranish tenglamasi va uning
yechimi……
27
2 . 3 -§. Chegaraviy shartlar
31
2 . 4 -§. Mexanik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenda to’ l qin
tarqalishi va shunga doir masala yechish
35
ASOSIY XULOSALAR.............................................................................
40

ADABIYOTLAR RO’YXATI....................................................................
41
Kirish
Mavzuning dolzarbligi. Biz bilamizki texnikada yoki qurilish sohalarida
ko’ndalang kesimlari va materiallarining xususiyatlari turlicha bo’lgan
sterjenlardan keng miqyosda qo’llaniladi. Bu sterjenlar o’z navbatida turli ta’sirlar
va kuchlar ostida bo’ladi. Sterjenlarning ta’sirlarga qarshi turib berish
imkoniyatlarini hisoblash juda muhim hisoblanadi. Bizga qiziq masaladan biri bu
sterjenga ta’sir etgan kuch natijasida sterjenning o’zida tebranishlar hosil bo’lib bu
tebranishlar o’zaro uzlukisiz bo’lmagan pog’onali sterjenlarda qanday xarakterni
ko’rsatishini aniqlashdir. Chunki bunday sterjenlar ma’lum vazifani bajarayotgan
paytida unda hosil bo’lgan tebranish to’lqinlari sterjen bo’ylab tarqalishi va
qaytishi natijasida boshqa uskunalarga salbiy ta’sir eta ollishi yoki etolmasligini
baholash muhandis va konstruktorlar uchun muhimdir.
Masalaning qo’yilishi. Yuqorida ta’kidlab o’tganimdek , bitiruv malakaviy
ishimda mexanik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenlarda to’lqin tarqalishini
o’rganish masalasi qo’yilgan.
Ishning maqsadi va vazifalari. Mazkur bitiruv malakaviy ishining asosiy
maqsadi xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan pog’onali sterjenlarda to’lqin tarqalishi ,
sinishi va qaytishini o’rganish asosiy maqsad qilib qo’yilgan. Bundan tashqari bir
pog’onali va bir nechta pog’onali sterjenlarda to’lqin tarqalishini Maple dasturi
yordamida hisoblash vazifasi belgilangan.
Ishning ilmiy tadqiqot usuli. Turli xususiyatli ketma-ket ulangan
s terjen larda to’lqinning qaytishi va sinish hollari yuz beradi. Bunday sterjenlarning
hamma nuqtalarida muvozanat va birgalik tenglamalari to’lqinlarning qaytish va
sinishi bilan birgalikda bajariladi. Ya’ni pog’onali sterjenda to’qin tarqalayotganda
to’lqin bir sterjendan ikkinchi sterjenga o’tish mobaynida to’lqin qaytishi hamda
ikkichinchi sterjenda ham ayrim parametrlarini o’zgartirib tarqalishi mumkin u
holda bularning hamamsini uzviylik tenglamsiga qo’yib tekshirish lozim.

Ishning ilmiy ahamiyati. Bitiruv malakaviy ishida o’rganib chiqilganlardan
masalanining qoyilishini yanada mukammallashtirib, ya’ni qoshimcha mexanik
xususiyatlarni hisobga olib va to’lqin tarqalishining boshqa ko’rinishidagi
masalalarni yechishda foydalanish mumkin.
Ishning amaliy ahamiyati. Hozirgi zamon texnikasi, qurilish, yer osti va
yer usti inshoatlari, aviatsiya, kemasozlik, burg’ulash ishlarida pog’onali
sterjenlardan keng foydalaniladi. Mexanik xussusiyatlari uzluksizbo’gan
sterjenlarning bir necha qismlardan iboratligi hisoblashlarda bir qancha matematik
qiyinchiliklar tug’diradi. Hisoblashlarga EHMni jalb qilish konstruksiya
geometrik shakl va o’lchamlarining optimal variantini tanlash bilan birga natijalar
aniqligi va materialning chidamliligini baholashda vaqtni tejaydi hamda
samaralidir.
Ishining tuzilishi. Ushbu bitiruv malakaviy ishi .... betdan iborat bo’lib,
kirish, 2 ta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan tashkil topgan.
Olingan natijalarlarning qisqacha mazmuni. Bitiruv malakaviy ishining
kirish qismida ishning predmeti, va dolzarbligi tavsiflashga atroflicha to’xtalib
o’tilgan. Ishning predmeti ko’rsatilgan va shu asosda uning ob’yekti
aniqlashtirilgan.
Bitiruv malakaviy ishining birinchi bobida mexanik to’lqinlar haqida batafsil
ma’lumotlar keltirilgan hamda tahlil qilib chiqilgan.
Ikkinchi bobda mexamik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenda to’lqin
tarqalishi masalasi qo’yilgan hamda yechilgan va xulosalar berilgan.

I-Bob. ASOSIY TUSHUNCHALAR
1.1-§.Mexanik to’lqinlar
Modda yoki maydonning fazoda vaqt davomidagi har qanday tarqalishi
to’lqinlar deyiladi. Masalan gazlar yoki suyuqliklardagi tovush to’lqinlari shu
muhitlarda bosim tebranishlarining tarqalishidir. Elektromagnit to’lqinlar –
elektromagnit maydoni kuchlanganligi E va induksiyasi B larning fazoda
tarqaluvchi tebranishlaridir.
Elastik muhitda tarqaluvchi mexanik qo’zg’olishlar (zichlik, deformasiya)
elastik to’lqinlar deyiladi. Muhitda ushbu qo’zg’olishlarni paydo qiluvchi jismlar
to’lqinlar manbai deyiladi (tebranuvchi kamertonlar, musiqa asboblarining torlari
va h.k.).
Elastik muhitda kuchsiz qo’zg’olishlar tarqalaotgan hol, ya’ni ularga mos
keluvchi muhit deformasiyalari kichik amplitudalarga ega bo’lgan holda elastik
to’lqinlar tovush to’lqinlari yoki a kustic to’lqinlar deyiladi.
Muhitning bir xil fazalarda tebranuvchi nuqtalarning o’rni to’lqin sirti yoki
to’lqin fronti deyiladi. To’lqin frontidagi har xil nuqtalarning tebranish fazalari
vaqtning qaralayotgan paytida bitta qiymatga ega bo’ladilar.
Har bir nuqtasidagi urinmasi to’lqinning tarqalish yo’nalishi bilan ustma-ust
tushuvchi to’g’ri chiziq nur deyiladi. Bir jinsli izotrop muhitda nur to’lqin frontiga
perpendikular bo’lgan to’g’ri chiziqdan iboratdir va to’lqin energiyasining
ko’chish yo’nalishi bilan ustma-ust tushadi.
Tekis to’lqinning to’lqin frontlari to’lqin tarqalish yo’nalishiga perpendikular
bo’lgan tekisliklardan iboratdir. Bu holda nurlar to’lqin tarqalish tezligi yo’nalishi
bilan ustma-ust tushuvchi parallel to’g’ri chiziqlardan iboratdir. Bunday to’lqinlar
yassi sterjenning suvda tebranishlari natijasida olinishi mumkin. Tekis to’lqin
frontlari va nurlar 1 – chizma da aks ettirilgan. Sferik to’lqinnig to’lqin sfrontlari
sferalardan iboratdir. Bunday to’lqinlar to’lqin manbai nuqtavi (nuqta) bo’lgan
holda paydo bo’ladilar. Sferik to’lqinda nurlar markazi to’lqin manbai joylashgan
nuqtada bo’lgan sferalarning radiuslari bo’ylab markazdan yo’nalgandir (2 -
chizma).

1.1.1 - chizma.
Shuni alohida ta’kidlash lozimki muhitdagi elastik to’lqinlarning uning
zarrachalarining boshqa istalgan tartibli harakatlaridan farqi shundaki, to’lqinlar
tarqalishi muhit moddasining bir joydan boshqa joyga katta masofalarga ko’chishi
bilan bo’g’liq emas.
1.1.2 – chizma.
1.2-§. Ko’ndalang va bo’ylama to’lqinlar.
Agar muhitning zarrachalari to’lqin tarqalishi yyo’nalishiga perpendikular
yyo’nalishlarga tebransalar Bunday to’lqin ko’ndalang to’lqin deyiladi. Masalan
bir uchi mahkamlangan va ikkinchi uchi tebranma harakatga keltirilgan ip bo’ylab
ko’ndalang to’lqin tarqaladi (3-chizma)

1.2.1 – chizma
Bunday tebranishda ipning har bir uchastkasi o’zining o’zgarmas muvozanat
holati atrofida to’lqin tarqalishi yo’nalishiga perpendikular yo’nalishda tebranma
harakat qiladi.
Agar muhit zarrachalarining tebranishlari to’lqin tarqalishi yo’nalishida
sodir bo’lsa, Bunday to’lqin bo’ylama to’lqin deyiladi. Agar uzun spiralsimon
prujinaning bir uchini mahkamlab ikkinchi uchiga davri tashqi kuch ta’sir ettirilsa
bo’ylama to’lqin vujudga keladi. Bunday elastik to’lqin prujinaning ketma-ket
siqilish va cho’zilishlarining prujina bo’ylab tarqalishidan iboratdir.
1.2.2 – chizma
Ma’lumki gazlar va suyuqliklar o’zlarining shakl o’zgarishlariga qarshilik
ko’rsatmadilar, ya’ni shakli elastiklik xususiatlari o’q. Lekin ularning hajmi
elastikliklari mavjud, ya’ni ular hajm o’zgarishlariga qarshilik ko’rsatadilar. Ko’p
suyuqliklar umuman siqilmadigan, ya’ni hajmlari o’zgarmadigan bo’lishadi.
Shundan kelib chiqgan holda gaz va suyuqliklarda ko’ndalang
to’lqinlarning tarqalishi mumkin emas degan xulosaga kelish mumkin. Qattiq
jismlarda esa ko’ndalang ham bo’ylama to’lqinlar tarqalishi mumkin. Ko’p
hollarda ko’ndalang to’lqinlar – siljish to’lqinlari, bo’ylama to’lqinlar esa – hajmiy
to’lqinlar deb ham yuritiladi. Ba’zi hollarda bo’ylama to’lqinlar siqish to’lqinlari
deb ham uritiladi.

To’lqin sirti ixtiyoriy nuqtasining vaqt birligi ichida o’tgan masofaga son
jihatidan teng bo’lgan fizik miqdor to’lqin tarqalish tezligi (fazaviy tezlik) deyiladi.
Tezlik vektori ⃗v to’lqin sirtining normali bo’yicha to’lqin tarqalish yo’nalishi
bo’ylab yo’nalgan va agar muhit bir jinsli va izotrop bo’lsa, uning yo’nalishi
nurning yo’nalishi bilan ustma – ust tushadi.
Bir xil faza bilan tebranuvchi ikkita eng yaqin nuqtalar orasidagi masofa
to’lqin uzunligi deyiladi va
 harfi orqali belgilanadi. Bu nuqtalar bir-birlaridan
faza bo’yicha
 = 2  ga siljiganlar. To’lqin uzunligi
λ=vt
(1.2.1)
formula bilan hisoblanishi mumkin. To’lqin uzunligi to’lqinlar manbaining
tebranishlar chastotasi bilan quyidagicha bog’langan
λ= v
ν
= 2πv
ω
,
(1.2.2)
bu yerda v - to’lqinlarning tarqalish tezligi;
v= 1
T - manbadagi tebranishlar
chastotasi;  - doiraviy chastota; T – tebranishlar davri.
Tebranuvchi to’lqin manbai energiyaga ega. To’lqin tarqalishi jarayonida
muhitning to’lqin etib kelgan har bir nuqtasi tebranadi va demak energiyaga ega.
Muhitning amplitudasi A va doiraviy chastotasi
 bo’lgan to’lqin tarqalaotgan
biror V hajmidagi mavjud o’rtacha energia
¯W = 1
2mω 2A2
(1.2.3)
ga teng. Bu yerda m – muhitning ajratilgan V hajmining massasi.
To’lqin energiyasining o’qtacha zichligi deb muhitning birlik hajmida
to’plangan energiyasiga atiladi, ya’ni
¯ω =
¯W
V
= 1
2
ργ ω
2 A2
. (1.2.4)
Ushbu
I=ω⋅v= 1
2 ρvω 2A2
(1.2.5)

ifodaga to’lqin intensivligi deyiladi.
1.3-§. Stasionar to’lqinlar va Nostasionar to’lqinlar
To’g’ri burchakli x,y,z dekart koordinatalarti sistemasida 0x o’qi bo’ylab
tarqalaotgan to’lqin kompleks shaklda quyidagicha oziladi.u= v(y,z)e−iq(x−ct)
, (1.3.1)
bu yerda t – vaqt, u – muhit harakati parametri (ko’chish, zichlik va h.k.), v -
to’lqin amplitudasi, q – to’lqin soni, qc =
 doiraviy yoki fazavi chastota.
Darajadagi – q ( x - ct ) miqdor to’lqin fazasi deyiladi. Faza o’zining doiraviy
qiymatini o’zgartirmadigan nuqta 0x o’qi bo’ylab c tezlik bilan harakatlanadi:
−q(x−ct )= cos t, dx
dt = c= ω
q
. (1.3.2)
Ushbu c tezlik – fazavi tezlik deyiladi. To’lqin uzunligi L va T – davr
L= 2π
q , T= 2π
qc = 2π
ω
(1.3.3)
ifodalar bilan aniqlanadilar.
Fazavi tezlik to’lqinli jarayonning tabiatiga bog’liq ravishda o’zgarmas
miqdor bo’lishi yoki to’lqin sonining funksiyasi, va demak, to’lqin uzunligining
funksiyasi bo’lishi mumkin. Shunda mos ravishda to’lqin birinchi holda disperssiz
(oilmagan, ajralmagan, buzilmagan), ikkinchi holda – dispersli to’lqin deyiladi.
Har xil uzunlik va chastotalarga ega bo’lgan va bir onalish bo’ylab ko’chaotgan
ikki to’lqinning qo’shilishi natijasini qarab chiqamiz. Agar ikkala to’lqinning ham
fazavi tezliklari bir xil bo’lsalar, yig’indi to’lqinning shakli tarqalish jarayonida
saqlanib qoladi va 0x o’qi bo’ylab xuddi o’sha fazavi tezlik bilan ko’chadi. Agar,
boshlang’ich to’lqinlarning fazavi tezliklari har xil bo’lsalar, ularning harakati
natijasida bir-biriga nisbatan vaziyatlari (jolashishlari) o’zgaradi, va demak,
yig’indi to’lqinning shakli ham o’zgaradi.
Yuqorida keltirilgan yupuvchi (1.3.1) to’lqinni Bundayn keyin progressiv
to’lqin deb atamiz. Muhitda to’lqin harakatini vujudga keltirgan qo’zg’olishni
to’lqin soni q va fazavi chastota
 larning qiymatlari har xil bo’lgan ko’rinishdagi
progressiv to’lqinlar qatoriga yoyish mumkin.

Faraz qilaylik to’lqinlar x o’qining musbat yo’nalishi bo’yicha tarqalaotgan
bo’lsin. Agar hamma to’lqinlarning fazavi tezliklari bir xil bo’lsa, ya’ni to’lqinlar
disperssiz bo’lsalar, u holda ular hammasi birgalikda harakatlanadilar va
boshlang’ich qo’zg’olish (impuls) muhitda tarqalishi davomida o’zining shaklini
saqlab qoladi.
Agar tarqaluvchi to’lqinlarning fazavi tezliklari har xil bo’lsalar, u holda
ularning ba’zilari orqada qoladi, boshqalari esa ilgarilab ketadilar va boshlang’ich
qo’zg’olishning shakli uning minutda tarqalishi davomida o’zgarib yoki buzilib
boradi. Demak, dispersli to’lqinlarda qo’zgolish shakli uning tarqalish jarayonida
o’zgaradi.
Dispersli to’lqin harakatida guruh tezligi tushunchasi muxim ahamiyatga
ega. Shunda tezlik bilan to’lqin chaqirgan harakat energiyasi tarqaladi. Faraz
qilaylik biror nuqtada dispersli to’lqinlar fazalari bir-biriga juda yaqin bo’lsinlar. U
holda bu nuqtada to’lqin bir-birini kuchatiradilar va qo’zg’olish amplitudasi eng
katta bo’ladi. Kelvinning stasionar fazalar uslubiga ko’ra tarqalish jarayonida bir-
birini kuchatiruvchi to’lqinlar vaqtning t paytida fazaning stasionarligi shartini
qanoatlantirishlari kerak:d
dq [q(x−c(q)⋅t)]=0,
(1.3.4)
bu yyerdan guruh tezligi aniqlanadi
c¿= x
t= c+q⋅dc
dq
. (1.3.5)
(1.3.5) formuladan ko’rinadiki disperssiz to’lqinning guruh tezligi to’lqinning
fazavi tezligiga teng bo’ladi, yoki
c¿= c chunki disperessiz to’lqinning fazavi
tezligi c = const va
dc
dq =0 bo’ladi.
Faraz qilaylik ikkita progressiv to’lqinlarning amplitudasi bir xil, to’lqin
uzunliklari esa bir-biriga cheksiz yyaqin bo’lsin
U1=asin (qx −ωt ),U 2= asin [(q+δq )x−(ω+δω )t]
, (1.3.6)

bu yerda δq , δω - cheksiz kichik miqdorlar. Ushbu ikki to’lqinning qo’shilishi
natijasida munitda paydo bo’ladigan qo’zg’olishni qarab chiqamiz. Bu
to’lqinlarning birinchisi
u1 eltuvchi ( несущая ) to’lqin deyiladi. yig’indi to’lqinning
amplitudasi, chastotasi va to’lqin uzunligini topamiz:
U =U 1+U 2=asin (qx − ωt )+asin [(q+δq )x−(ω+δω )t]=
¿a⋅2⋅sin [(q+δq
2 )x−(ω+δω
2 )t]⋅cos 1
2(δq ⋅x−δω ⋅t).
Bu ifodadagi sinusning argumentidagi cheksiz kichik miqdorlar
(
δq
2
,va δω
2 )
ni tashlab uborsak
u=u1+u2= Asin (qx − ωt )
(1.3.7)
ifodaga ega bo’lamiz. Bu yerda
A= 2acos 1
2(x⋅δq −t⋅δω )
. (1.3.8)
Ushbu A miqdor (1.3.7) to’lqinning amplitudasi. Odatda (1.3.7) to’lqin
o’zgaruvchan amplitudali eltuvchi to’lqin deb atadilar. Shunda qilib ikki
progressiv to’lqin yig’indisini o’zgaruvchi amplitudali progrussiv to’lqin sifatida
qarash mumkin. Yuqoridagi (1.3.8) fornulaga asosan A – amplitudaning o’zi ham
δω
δq
tezlik bilan harakatlanuvchi progressiv to’lqindan iboratdir, ya’ni
dω
dq = d(qc )
dq =c+q⋅dc
dq = c.
(1.3.9)
Bu tezlik (1.3.5) formula bilan aniqlangan guruh tezligi bilan bir xildir. Demak,
gurih tezligi (1.3.7) eltuvchi to’lqin amplitudasi o’zgarishlarining tarqalish
tezligidan iboratdir.
Nostatsionar to’lqinlar. Yuqorida keltirilgan ta’rifdan ko’rinadiki
qo’zg’olishlarning muhitda tarqalishi nostasionar masalalarini tadqiq qilish (o’tish
jarayoning tadqiq qilish) chegaravi shartlar bilan bir qatorda boshlang’ich
shartlarni ham hisobga olishga to’g’ri kelishi bilan qiinlashadi. O’tish jarayoni
jarayoni masalalarining echimlarini Furye integrali ordamida dispers to’lqinlar

majmuasi sifatida tasvirlash mumkin. Ammo yechimni bunday qurish boshlang’ich
va chegaravi shartlarni qanoatlantirishda katta qiyinchiliklarga olib keladi. Bu
qiyinchilikning sababi quyidagicha: siqiluvchi muhitda vujudga kelgan impuls
biror chegaralangan vaqt davomida muhit egallagan fazoning chekli qismiga
tarqaladi, ikkinchi tomondan dispers to’lqinlar majmuasiga kiruvchi to’lqin
uzunligi cheksiz katta to’lqinlarning fazavi tezligi ham cheksiz katta bo’ladi.
Natijada nomutanosiblik paydo bo’ladi va olingan echimlar to’lqin tarqalishning
haqiqi jarayonini tavsiflamadilar. Shuning uchun har xil muhitlarda
qo’zg’olishlarning tarqalishi haqidagi nostasionar masalalarni echishda stasionar
to’lqinlardan foydalanmagan ma’qul.
Faraz qilaylik vaqtning t=0 paytida fazoning siqiluvchi muhit egallagan
chegaralangan sohasida qo’zg’olish vujudga (impuls) kelgan bo’lsin. Chekli tezlik
bilan tarqaluvchi qo’zg’olish vaqtning boshqa bir t paytida muhitning boshqa
chekli qismini egalladi. Vaqtning har bir paytida muhitning harakatga kelgan
qo’zg’olgan qismini muhitning qolgan qismidan ajratib turuvchi vaqtdan bog’liq
sirt to’lqin fronti deyiladi yoki to’lqin sirti deyiladi. To’lqin sirti nuqtasining sirt
normali bo’ylab yo’nalgan harakat tezligi to’lqin tezligi deyiladi.
Qo’zg’olishlarning to’lqin frontlari paydo bo’lib tarqalishi hodisasi hamma real
jismlarga xosdir.
Berilgan qo’zg’olishlarning muhitda tarqalishi ushbu muhitning fizik –
mexanik va deformativ xususiatlaridan kuchli bog’liq bo’ladi. Tabiiy sharoitlarda
qattiq jismlar va siqiluvchi suyuqliklarning fizik – mexanik va deformasion
xususiatlari bir-birlaridan katta farq qiladi. Bu esa o’z navbatida qattiq jismlarda va
siqiluvchi suyuqliklarda qo’zg’alishlar tarqalishi har xil xaraktyerda bo’lishiga olib
keladi. Masalan: elastik jismlarda mahalli qo’zg’olish (impuls) zarrachadan
beriladi biri ikkinchisining orqasidan boruvchi ikkita to’lqin fronti hosil bo’ladi,
siqiluvchi suyuqliklarda esa Bunday qo’zg’olish bitta to’lqin bo’lib tarqaladi.
Faraz qilaylik qo’zg’olmas x,,z dekart koordinatalari sistemasida qo’zg’olish
to’lqini frontining sirti F(x,y,z,t)=0
(1.3.10)

funksiya bilan berilgan bo’lsin. Kichik  t vaqtdan keyin bu sirt boshlang’ich
holatga yaqin bo’lgan boshqa holatni fazoda egalladi. Vaqtning t payti uchun
to’lqin sirtining M nuqtasidan
¯n normal o’tkazamiz. Ushbu normalning vaqtning
t+
 t paytidagi to’lqin fronti bilan kesishgan nuqtasini M
1 bilan belgilamiz. M va
M
1 nuqtalar orasidagi vektor – kesmani
Δℓ orqali belgilamiz. To’lqin sirtining ¯n
normali bo’ylab yo’nalgan ushbu kesmaning koordinat o’qlaridagi proeksialari
quyidagi miqdorlardan iborat bo’ladi
Δx = 1
G⋅∂F
∂x⋅Δℓ ; Δy = 1
G⋅∂F
∂y⋅Δℓ ; Δz = 1
G⋅∂F
∂z⋅Δℓ
, (1.3.11)
bu yerda
G2=(
∂F
∂x)
2
+(
∂F
∂y)
2
+(
∂F
∂z)
2
.
Qaraotgan sirtga M
1 nuqta ham tegishli bo’lganligidan
F(x+Δx ,y+Δy ,z+Δz ,t+Δt )= 0
tenglik o’rinlidir. Bu funksiyani M(x,,z) nuqta atrofida Telor qatoriga oib vaqtning
t+
 t paytida
Δℓ ⋅G+∂F
∂tΔt +0(Δt 2)+0(Δℓ 2)= 0
(1.3.12)
ifodaga ega bo’lamiz. Bu qatorning oxirgi ikkita hadi
 l 2
,  t 2
va yuqori kichiklik
tartibiga ega. Qatorni  t ga hadma – had bo’lamiz va
 t  0 bo’lganda limitga
o’tamiz
D= lim
Δt→0
Δℓ
Δt =− ∂F
∂t⋅1
G
. (1.3.13)x nz
M
1
yM F>0
F<0

Ushbu D miqdor (1.3.10) sirtning ixtiori nuqtasining sirt normali yo’nalishidagi
tezligidan iboratdir. Shuning uchun ham bu tezlik to’lqin frontining ko’chish
tezligi deyiladi. Bu tezlik fazodagi ixtiori harakatchan sirtning tezligi sifatida sof
geometrik ma’noga ega. Ushbu (1.3.13) formuladan ko’rinadiki agar to’lqin
sirtining shakli (1.3.10) ko’rinishdagi tenglama bilan berilgan bo’lsa uning
tezligini aniqlash qiin emas. Agar to’lqin fronti ¯v(x,y,z,t) tezliklar maydoniga ega
bo’lgan tutash muhitda harakatlanaotgan bo’lsa, frontning muhit zarachalariga
nisbatan tezligi

θ= D − vn (1.3.14)
formula bilan aniqlandi. Bu yerda
vn – to’lqin sirtining M nuqtasidagi muhit
zarrachasi tezligining sirtga normal qiymati. Bu yerdagi
 tezlik to’lqin frontining
muhitga nisbatan tezligi deyiladi. Agar to’lqin tinch holatdagi muhitda
harakatlanaotgan bo’lsa
vn = 0 va  = D bo’ladi.
Faraz qilaylik
vx,vy,vz lar ¯v - tezlikning x,y,z o’qlaridagi komponentalari
bo’lsinlar. U holda
G⋅ϑn=ϑx
∂F
∂x+ϑy
∂F
∂y+ϑz
∂F
∂z
va (1.3.13) hamda (1.3.14) formulalarga asosan
−θ
√(
∂F
∂x)
2
+(
∂F
∂y)
2
+(
∂F
∂z)
2
= ∂F
∂t
+ϑx
∂F
∂x
+ϑy
∂F
∂y
+ϑz
∂F
∂z
(1.3.15)
Tekis bir o’lchamli harakat uchun, ya’ni to’lqin fronti va zarrachalar tezligi
faqat bitta x koordinata va vaqtdangina bo’g’liq bo’lgan holda (3.15) tenglama
quidasi ko’rinishni oladi.
∂F
∂t+(vx+θ)
∂F
∂x= 0
(1.3.16)
To’lqin frontining asosan ikki turi mavjud bo’ladi. Faraz qilaylik muhit
zarrachalarining parametrlari to’lqin frontidan o’tishda uzluksiz bo’lsinlar, lekin bu
parametrlarning gradientlari uzilishga ega bo’lsinlar. Bunday to’lqin frontlari
kuchsiz uzilish to’lqinlari deyiladi. Kuchsiz uzilish to’lqinlarning xossalari

qo’zg’otilgan harakat tenglamalarining to’lqin xususiatlari bilan chambarchas
bog’liq hamda ular bilan aniqlanadi.
Boshqa tur to’lqinlar frontlarida muhit parametrlarining o’zlari uzilishga ega
bo’ladilar. Bunday to’lqinlar zarba to’lqinlari yoki sakrashlar deyiladi. Zarba
frontida parametrlarning uzilishlari differensial tenglamalar bilan tavsiflanishi
mumkin emas. Ammo ular harakat miqdori, energia va massaning saqlanish
qonunlariga bo’sunadilar. Real holatda zarba to’lqini geometrik sirtdan iborat
emas. U to’lqin harakati yo’nalishidagi kichik o’lchamli (qalinlikli) qatlamdan
iboratdir. Muhitning harakati bu qatlamda uzluksiz, lekin parametrlar
gradientlarining katta qiymatlarida sodir bo’ladi. Shuning uchun ham muhitning
qatlamdagi harakatini o’rganishda, yoki boshqacha atganda zarba to’lqinining
strukturasini tadqiq qilishda, dissipaytiv kuchlarni, issiqlik o’tkazuvchanlikni va
boshqa energianing tarqalishiga olib keluvchi faktorlarni hisobga olish zarurdir.
Bundan keyin ko’chish uyurmasi ( вихри ) ni ⃗ω bilan belgilaymiz. U holda
(1.3.18) vektor tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
⃗ω = rot ⃗s,b2Δ ⃗ω = д2⃗ω
дt 2
. (1.3.20)
Yuqoridagi (1.3.18) to’lqin tenglamasi ko’rsatadiki hajmiy deformasiya chiziqli-
elastik jismda
a tezlik bilan tarqaladi. (1.3.19) tenglamadan ko’chish uyurmasi
elastik muhitda
b tezlik bilan tarqalishi ko’rinadi.
1.4-§. Skalyar , Vektor potensiallar hamda bo’ylama va ko’ndalang to’lqinlar
tezliklari
Bo’ylama va ko’ndalang to’lqinlar tezliklari. Tezlik o’lchamiga ega
bo’lgan ikkita yangi
a va b o’zgarmaslarni
a 2= λ+ 2 μ
ρ ,b 2= μ
ρ
(1.4.1)
formulalar bilan kiritamiz. U holda quyidagi kelib chiqadi :
(a2− b2)grad div ⃗s+b2Δ⃗s= д2⃗s
дt 2
(1.4.2)

Ushbu tenglamaning ikkala tomoniga ital ÷ operatorini qo’llasak, hamda
div grad ϕ= Δϕ
ekanligini hisobga olsak
(a2−b2)Δdiv ⃗s+b2Δdiv ⃗s= д2div ⃗s
дt2
tenglamani olamiz. Bu yerdan
a2Δ θ= д2θ
дt2
(1.4.3)
tenglamaga ega bo’lamiz.
Endi (1.4.2) ning ikkala tomoniga
ital rot operatorini qo’llab
rot grad ϕ= 0
ekanligini hisobga olsak
b2Δrot ⃗s=д2rot { ⃗s
дt2 ¿
(1.4.4)
tenglamaga ega bo’ lamiz.
Endi ko’chish vektorini ikkita
⃗s va ⃗sb vektorlari yig’ndisi sifatida tasvirlaymiz
⃗s= ⃗sa+⃗sb
, (1.4.5)
bunda
⃗sa va ⃗sb vektorlari quyidagi xususiyatlarga ega deb hisoblanadi:
div ⃗sa≠0
lekin rot ⃗sa=0;
div ⃗sb=0
lekin rot ⃗sb≠0. (1.4.5) `
(1.4.5) ifodani (1.4.2) tenglamaga qo’yib
(a2−b2)grad div ⃗sa+b2Δ(⃗sa+⃗sb)= ⃗¨sa+⃗¨sb
(1.4.6)
tenglamani olamiz.
Tenglamaning o’ng tomonida simvollar ustiga qo’yilgan nuqtalar vaqt
bo’yicha differensiallashni ifodalaydi. (1.4.6) tenglamaning ikkala tomoniga
“divergensiya” operatorini qo’llab quyidagi tenglikni olamiz
(a2−b2)div grad div ⃗sa+b2Δdiv (⃗sa+⃗sb)=div (⃗¨sa+⃗¨sb)
,
bu yerda
div grad ϕ= Δϕ
ekanligini hamda (1.4.5)`tengliklarni hisobga olsak

div (a2Δ⃗sa− ⃗¨sa)=0. (*)
shu bilan bir qatorda (1.4.5)` ga asosan
rot ⃗sa=0 bo’lganligidan
rot (a2Δ⃗sa− ⃗¨sa)=0
(**)
tenglikni ham yozishimiz mumkin. Ana shu
(∗) va (** ) tengliklardan
a2Δ ⃗sa− ⃗¨sa=0
yoki
a2Δ ⃗sa=⃗¨sa
(1.4.7)
ya’ni
⃗sa vektorni aniqlovchi to’lqin tenglamasiga kelamiz.
(1.4.6) tenglamaning ikkala tomoniga
ital rot operatorini qo’llaymiz
(a2−b2)rot grad div ⃗sa+b2Δrot (⃗sa+⃗sb)=rot (⃗¨sa+⃗¨sb)
bu yerda
rot grad ϕ=0 ekanligini hisobga olib
rot (b2Δ⃗sb− ⃗¨sb)=0
(***)
tenglikka ega bo’lamiz. Shu bilan bir qatorda (1.4.5) ga asosan
div ⃗sb=0
bo’lganligidan
div (b2Δ⃗sb− ⃗¨sb)=0.
(** **)
tenglikni ham yozishimiz mumkin. Oxirgi (***) va (** **) tengliklardan
b2Δ⃗sb= ⃗¨sb
(1.4.8)
⃗sb
vektorni aniqlovchi to’lqin tenglamasiga kelamiz.
Shunday qilib quyidagi xulosalarni chiqarish imkoniyatiga ega bo’ldik:
- hajmiy deformasiya
θ va ko’chish vektorining potensial tuzuvchisi ⃗sa lar chiziqli
elastik muhitda
a tezlik bilan tarqaladilar. Bu tezlik bo’ylama tezlik, unga mos
keluvchi to’lqin esa – bo’ylama to’lqin (yoki bo’ylama to’lqin sirti) deyiladi.
Bo’ylama to’lqinni, uning orqasidan hajm o’zgarishi sodir bo’lganligidan,
kengayish to’lqini deb ataydilar;
- ko’chish vektori uyurmasi
⃗ω va ko’chish vektorining nopotensial (uyurmaviy)
tuzuvchisi
⃗sb lar elastik muhitda tezligi b bo’lgan to’lqin bo’lib tarqaladilar. Bu

to’lqin ko’ndalang to’lqin (yoki ko’ndalang to’lqin sirti) deb ataladi. Uning b
tezligi esa ko’ndalang to’lqin tarqalish tezligi deyiladi. Faqat ko’ndalang to’lqinlar
tarqalayotganda uning orqasida vujudga kelgan qo’zg’olishlar hajm o’zgarishini
keltirib chiqarmaydi, balki faqat shakl o’zgarishi sodir bo’ladi. Shuning uchun
ko’ndalang to’lqin siljish to’lqini deb yuritiladi.
1.5-§. Bir o’lchamli to’lqin harakati va bir o’lchamli yassi to’lqinlar
Faraz qilaylik ko’chish faqat bitta
x fazaviy koordinatadangina bog’liq bo’lsin.
U holda
⃗s= U (x,t)⃗i+v(x,t)⃗j+w (x,t)⃗k,
⃗sa= U (x,t)⃗i,⃗sb= v(x,t)⃗j+w (x,t)⃗k,
a2д2u
дx 2= д2u
дt 2 ; b2д2v
дx 2= д2v
дt 2 ;b2д2w
дx 2 = д2w
дt 2 .
(1.5.1)
Muhitning harakati to’g’ri burchakli koordinat sistemasining
x o’qi bo’ylab,
yoki markasiy simmetriya holida simmetrik harakatning radiusi bo’ylab sodir
bo’layotgan bo’lsin. Bunday harakat uchun
rot ⃗s= 0⇒ ⃗s= ⃗sa
va (1.4.7) ga asosan
a2Δ⃗s= ⃗¨s
(1.5.2)
sferik simmetriyali harakatni qaraymiz. Faraz qilaylik
x - chiziqli koordinata, θ,ψ
- sferik burchak koordinatalari bo’lsinlar. Koordinatalar boshi simmetriya
markazida bo’lsin. Zarrachalarning
x o’qi bo’ylab ko’chishini u(x,t) orqali
belgilaymiz. U holda
⃗s=U(x,t)⃗i
.
Qaralayotgan masalada deformasiya tenzori komponentalaridan faqat
εxx,εθθ,εψψ
largina noldan farqli bo’ldilar. Bunda
εθθ= εψψ bo’ladi va ko’chish komponentalari
orqali quyidagicha ifodalanadilar.

εxx = дu
дx ,εθθ = εψψ = u
x . (1.5.3)
Kuchlanish tenzori komponentalaridan
σxx,σθθ va σψψ lar (bunda σθθ= σψψ ) noldan
farqli bo’ladilar va Guk qonuni quyidagi ko’rinishni oladi
σxx=(λ+2μ)дu
дx +2λu
x, σθθ=σψψ = λдu
дx +(λ+2μ)u
x
. (1.5.4)
Ushbu munosabatlar Yung moduli va Puasson koeffisiyenti orqali quyidagicha
yoziladi:
σxx= E
(1+v)(1−2v)[2vu
x+(1−v)дu
дx ],
σθθ=σψψ = E
(1+v)(1−2v)(
u
x+vдu
дx ).
(1.5.5)
Haqiqatan (1.5.3) formulalarga asosan
θ= εxx+εθθ+εψψ = дu
дx +2u
x
,
u holda
σxx=λθ+2μεxx=λ(
дu
дx +2u
x)+2μдu
дx =(λ+2μ)дu
дx +2λu
x=
¿(
Eν
(1+ν)(1−2ν)+E
1+ν)
дu
дx +2Eν
(1+ν)(1−2ν)⋅u
x=E
(1+ν)(1−2ν)[2vu
x+(1−v)дu
дx ];
σθθ=σψψ=λ⋅дu
дx
+2(λ+μ)u
x
=Eν
(1+ν)(1−2ν)
дu
дx
+2[
Eν
(1+ν)(1−2ν)
+E
2(1+ν)]=
¿Eν
(1+ν)(1−2ν)
⋅дu
дx
+E
(1+ν)(1−2ν)
u
x
=E
(1+ν)(1−2ν)(
u
x
+νдu
дx ).
Sferik simmetriyali muhitning radial harakati quyidagi kuchlanishli
tenglama bilan aniqlanadi
дσ xx
дx +2(σxx− σθθ )
x = ρд2u
дt 2
. (1.5.6)
Bu yerdagi kuchlanishlar o’rniga ularning (1.5.4) ifodalarini qo’yamiz va ko’chish
uchun tenglama olamiz
д2u
дx 2+2
x
дu
дx − 2u
x2= 1
a2
д2u
дt 2,
(1.5.7)

bu yerda a - elastik bo’ylama to’lqin tezligi. Harakat yurmasiz bo’lganligi uchun
ko’chishni skalyar potensial
ϕ(x,t) funksiya orqali
u(x,t)= дϕ
дx
(1.5.8)
ko’rinishda ifodalash mumkin. (1.5.7) va (1.5.8) tenglamalardan
ϕ(x,t) potensial
д2(xϕ )
дx 2 = 1
a2
д2(xϕ)
дx 2
(1.5.9)
tenglamani qanoatlantirishi kelib chiqadi.
Olingan to’lqin tenglamasining yechimi ma’lum va
xϕ(x,t)= f(x−at )+f1(x+at )
(1.5.10)
ko’rinishga ega, bu yerda
f va f1 - o’z argumentlarining ixtiyoriy funksiyalari.
Faraz qilaylik faqat uzoqlashuvchi to’lqin mavjud bo’lsin. Umumiylikni
chegaralamagan holda to’lqin frontida
ϕ= 0 deb hisoblash mumkin. U holda
(1.5.10) dan
x= at bo’lganda (to’lqin frontida)
f(0)+f1(2at )=0
,
bundan
f1(x+at )=− f(0)= const ,x+at >0
tenglik kelib chiqadi.
Shunday qilib uzoqlashuvchi to’lqin ortidagi yechim bitta ixtiyoriy funksiya
bilan tasvirlanadi
ϕ(x,t)= 1
xf(x−at ).
(1.5.11)
Harakat radial va silindrik simmetriyaga ega bo’lsin. Boshi simmetriya
markazida bo’lgan qutb koordinatalari sistemasi
x,θ da deformasiyalardan faqat
εxx= дu
дx
va εθθ= u
x lar, kuchlanishlardan faqat σxx,σθθ va σzz lar noldan farqli
bo’ladilar. Guk qonuniga ko’ra
σxx= (λ +2 μ)дu
дx +λu
x ,σzz= λ (
дu
дx +u
x ),
σθθ = λ дu
дx +(λ+2μ)u
x .
(1.5.12)

Silindrik simmetriya holida muhit radial harakatining tenglamasiρд2u
дt 2= дσ xx
дx +σxx− σθθ
x
. (1.5.13)
(1.5.13) ga (1.5.12) ni qo’ysak ko’chishga nisbatan
д2u
дx 2+1
x
дu
дx − u
x2= 1
a2
д2u
дt 2
(1.5.14)
tenglamaga ega bo’lamiz.
Bir o’lchamli yassi to’lqinlar. Bir o’lchamli yassi to’lqinlar tarqalishini tadqiq
qilishni ikki holda olib boramiz. Avvalo to’lqin fazo chegarasiga perpendikulyar
yo’nalishda tarqalayotgan holni, keyin to’lqin yarim fazo chegarasiga
perpendikulyar yo’nalishda tarqaladi, lekin muhit zarrachalari to’lqin tarqalish
yo’nalishiga perpendikulyar yo’nalishda tebranadilar.
1 a
) Faraz qilaylik to’lqin va uning orqasidan muhit zarrachalarining harakati
muqaddam tinch, kuchlanmagan elastik yarim fazoda
ox o’qi boylab sodir bo’lsin.
Bunda
ox o’qi yarim fazoning chegara tekisligiga perpendikulyar. oxyz dekart
koordinatalari sistemasining
y va z o’qlari shu chegara tekisligida yotadi.
Zarrachalarning ko’chishi faqat
x koordinatadan hamda t vaqtdangina bog’liq
bo’ladi. Shunday qilib
⃗S= ⃗iu(x,t),u= w= 0.
Qaralayotgan masalada (6.18) ga asosan
д2u
дt2=a2д2u
дx 2
(1.5.15)
bu yerda a – odatdagi bo’ylama to’lqin tezligi. Ushbu tenglamaning umumiy
yechimi ikkita ixtiyoriy funksiyalar yig’indisi sifatida tasvirlanishi ma’lum: z
L
0
x

U (x,t)= f(x−at )+f1(x+at ). (1.5.16)
Bu yechim muhitda qo’zg’alishlar bo’ylama to’lqin tezligi bilan tarqalishini
ko’rsatadi. Shubhasiz, shu tezlik bilan to’lqin fronti ham tarqaladi. To’lqin fronti
muhitning tinch va harakatdagi o’rtasidagi chegara bo’lib xizmat qiladi.
To’lqinning oldingi fronti ko’pincha bosh to’lqin deb ham yuritiladi. Bosh to’lqin
frontida ko’chish uzliksiz. Shuning uchun, agar harakat vaqtning
t=0 paytida
chegarada boshlansa ko’chish
U (at ,t)= f(0)+f1(2at )=0
ga teng bo’ladi. Oxirgi tenglik
2at argumentning istalgan musbat qiymatida o’rinli.
Demak,
f1(x+at )=− f(0),x+at >0.
Olingan o’zgarmasni (1.5.16) yechimning o’ng tomoniga qo’shib
U (x,t)= f(x−at )
(1.5.17)
yechimga ega bo’lamiz. Bu uchun yarim fazo uchun o’rinli.
Faraz qilaylik muhit o’ng tomondan
x=0 chegara tekisligiga parallel
tekislik bilan chegaralangan bo’lsin, hamda
x=0 tekislik bilan uning orasidagi
masofa
L ga teng bo’lsin. U holda 0≤ x<L tilimda (polosada) (1.5.17) yechim
vaqtning
t= L/a shartdan aniqlanuvchi qiymatigacha o’rinli bo’ladi. Vaqt
L≤at <2L
tengsizlikni qanoatlantiruvchi chegaralarda o’zgarganda (1.5.17)
formula koordinatasi
x<2L−at bo’lgan nuqtalarda o’rinli bo’ladi. Tilim
qo’zg’olgan harakatining boshqa qismida masalaning yechimi
x= L tekislikdagi
chegaraviy shartdan bog’liq bo’ladi. Harakatning ushbu sohasida va
at≥2L
bo’lganda butun tilimda ko’chish (1.5.16) umumiy yechimning har ikkala ixtiyoriy
funksiyalari yordamida anqilanadi.
Faraz qilaylik elastik yarim tekislikning
x=0 chegarasida ko’chish berilgan
bo’lsin, ya’ni
U(0,y,z,t)=F(t)
.
Bu chegaraviy shartni (1.5.17) yechim yordamida quyidagicha yozish mumkin:
f(−at)=F(t)

yoki, z=−at yangi o’zgaruvchi kiritib
f(z)= F(− z
a)
Oxirgi tenglik z ning hamma manfiy qiymatlarida o’rinli, va demak
x−at ham
hamma manfiy qiymatlarida o’rinlidir. Shunday qilib
U (x,t)= f(x− at )= F (t− x
a),x<at .
(1.5.18)
Demak, vaqtning t paytida ko’chishning x nuqtadagi qiymati ko’chishning
vaqtning
t− x/a paytidagi chegaraviy qiymatiga teng. Kuchlanishlar Guk
munosabatlardan aniqlanadilar:
σxx= (λ+2μ)дu
дx ,σyy= σzz= λдu
дx
. (1.5.19)
Kuchlanish tenzorining boshqa komponentalari nolga teng.
1 b
). Faraz qilaylik to’lqin
0x o’qi bo’ylab tarqalayotgan, to’lqin ortidagi
zarrachalar esa oz o’qi yo’nalishida siljiyotgan bo’lsinlar va ularning ko’chishlari
faqat x va t lardangina bog’liq bo’lsinlar:
U = v= 0;w= w (x,t)
.
U holda ko’chish (1.5.1) ga asosan yarim fazoda
д2w
дt2=b2д2w
дx 2
(1.5.20)
tenglamani qanoatlantiradi. Bu yerda b – odatdagidek ko’ndalang to’lqin tezligi.
Xuddi yuqoridagidek mulohaza yuritib
w(x,t)= f(x−bt )
yechimga ega bo’lamiz. Yechimning o’ng tomonidagi ixtiyoriy funksiyani
aniqlash uchun quyidagi chegaraviy shartni qo’yamiz:
x=0 da
w(0,y,z,t)=Φ(t)
ko’chish berilgan. Xuddi yuqoridagidek yechim
w(x,t)=Φ (t− x/b),x<bt
(1.5.21)
ko ’ rinishga ega bo ’ ladi . Kuchlanish va deformasiya
εxz= 1
2
дw
дx ,τxz= 2 με xz
(1.5.22)

ifodalardan aniqlanadilar. Kuchlanish va deformasiya tenzorlarining qolgan
komponentalari nolga teng.
Ko’ndalang va bo’ylama to’lqinlar tezliklarining nisbati b
a= √
μ
λ+2μ= √
1− 2v
2− 2v
ga teng va
v=0,3 bo’lganda
b
a=0,5 . Metallar uchun v= 0,3 va kilogramm-kuch,
mert, sekund birliklar sistemasida Yung moduli
E= 2⋅10 10 , zichlik ρ=780 va
boylama to’lqin tezligi 5800 ga teng bo’ladi.

II-Bob. Mexanik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenlarda to’lqin
tarqalishi bo’yicha masalaning qo’yilishi va yechilishi
2. 1-§. Zarba ta’sirida sterjenning siqilishi
Agar sterjen uchiga tezligi v bo’lgan jism bilan zarba berilsa, sterjendagi
kuchlanishni quyidagicha yozish mumkin σ= E ϑ
c.
(2.1.1)
Katta bo’lmagan zarba beruvchi yuk chekli l uzunlikdagi sterjenga urilgan holni
qaraylik. Aniqlik uchun sterjenning boshqa uchi qattiq mahkamlangan deb
hisoblaylik va yuk h balandlikdan tushsin (2.1.1chizma).
Sterjen qarshiligiga uchragan yuk tezligi sekinlasha
boradi, sterjen siqilishi eng katta qiymatga erishganda
nolgacha kamayadi. Yukning kinetik energiyasi siqilgan
sterjenda elastik va u bo’ylab tarqaluvchi to’lqin
potensial energiyaga aylanadi. Bundan yuk sterjendan
ajralmasdan yana dastlabki holatigacha yuqoriga
ko’tariladi. Agar sterjen uzunligi uncha katta emas va
massasi yuk massasi M dan juda kichik bo’lsa, zarba
berish jarayoni l uzunlikdagi sterjendagiga nisbatan
uzoqroq davom etadi. Bu vaqt davomida to’lqin sterjen
bo’ylab ko’p marta harakatlanadi.
Sterjenning zichligini ρ deb hisolaymiz va u holda to’lqin tarqalish tezligi
cheksiz katta bo’ladi. Bu esa sterjenda defomasiyalanish juda tez tarqalishini
bildiradi va vaqtning har bir momentida kesimlarda bir xil bo’ladi. Masalaning
bunday soddalashgan qo’yilishida u energiya tenglamasini qo’llash orqali yechiladi
~T+~U = To= M ϑ2
2
(2.1.2)
Deformasiya ortib borishi bilan yuk tezligi kamayadi va deformasiya maksimal
qiymatga erishgan onda nolga teng bo’ladi. Bu onda esa
~T=0, (2.1.2) dan
~U =T0= M ϑ2
2
h
ΔlmaxМ
Q
2.1.1-chizma

Bu holda elastik energiya deformasiya orqali quyidagicha topiladi (Δl )max =√
2T0l
EF .
Agar Q og’irlikdagi yuk h balandlikdan tushsa.
T=Qh bo’ladi va
(Δl )max =√
2Qhl
EF .
(2.1.3)
Statik qo’yilgan kuch uchun
(Δl cm)= Q l
EF
U holda maksimal deformasiya quyidagicha yoziladi
(Δl )max =√2h(Δl )cm
(2.1.4)
Agar Q yuk yetarlicha katta, h esa kichik bo’lsa (2.1.4)o’rinli bo’lmaydi. Chunki
yukning
ΔI masofaga ko’chishi uchun bajargan qo’shimcha ishini tashlab yubora
olmaymiz.
ΔI =(ΔI )max bo’lganda ish quyidagiga teng bo’ladi
Q [h+(Δl )cm]= EF
2I(Δl )max2
Bu
(ΔI )max ga nisbatan kvadrat tenglama va uni quyidagicha yozish mumkin
(Δl )max
2 −2(Δl )cm (Δl )max −2h(Δl )cm=0.
uning yechimi
(Δl )max =(Δl )cm +√(Δl )cm
2 +2h (Δl )cm
(2.1.5)
Tenglama yechimini tanlashda radikal oldidagi “+” ishora olingan, “–” ishora esa
zarbadan keyingi yuqoriga ko’tarilishga mos keladi.
Agar
(Δl )cm << h bo’lsa, u holda (2.1.4) kelib chiqadi ya’ni yuk to’satdan
qo’yilsa
(Δl )max =2(Δl )cm
(2.1.6)
Zarba berish jarayonida sistemaga ta’sir etuvchi tashqi ta’sir kuchlar va inersiya
kuchlaridan eng kattasi ko’chishga proporsional bo’ladi. Shu sababli tashqi
dinamik ta’sir ostidagi kuchlanishni hisoblash statik hisob natijasini dinamik
koeffisiyentga ko’paytirish bilan olinadi

(Δl )max /(Δl )cm(2.1.1),(2.1.5)formulalar massasi zarba beruvchi yuk massasiga nisbatan yetarlicha
kichik bo’lgan ixtiyoriy chiziqli-elastik sistema uchun o’rinli.
Masala Uzunligi
l=0,5 м , ko’ndalang kesim yuzasi F=10 см 2 bo’lgan
po’lat sterjenga
1м balandlikdan massasi 200 kg bo’lgan yuk 20 m/c tezlik bilan
kelib urildi. Buning natijasida sterjen ko’ndalang kesimidagi kuchlanishni, to’liq
energiyani, maksimal cho’zilishni aniqlang.
Yechish Po’lat uchun elastiklik moduli
E= 2.10 11Па , zichlik
ρ=7850 кг
м3 .
U holda sterjenda to’lqin tarqalish tezigi (1) ga ko’ra
с=
√
2.10 11Па
7850 кг /м3≈ 5000 м
с
Endi sterjen ko’ndalang kesimidagi kuchlanishni aniqlaymiz
σ=2.10 11Па 20 м/с
5000 м/с=800000000 Па =800 МПа
Deformasiyalanish natijasida sterjenda to’plangan to’la energiya
T0=200 кг .(20 м/с)2
2 =40 кЖ
Massasi 200 kg bo’lgan yukning og’irlik kuchi
Q= Мg =200 кг .10 м
с2= 2000 Н
. Buni hisobga olib sterjenning maksimal cho’zilishini (siqilishini) hisoblaymiz
(Δl )max =
√
2Qh l
EF =
√
2.2000 Н .1м .0,5 м
2.10 11Па .0,01 м2 =0,001 м
2.2-§. Sterjenning bo’ylama tebranish tenglamasi va uning yechimi
Massasi tekis (uzluksiz) taqsimlangan sistema tebranishlarini qaraylik.
Dastlab ko’ndalang kesimi o’zgarmas bo’lgan sterjenning bo’ylama tebranish
masalasini qarash mumkin. 2.2.1 - chizma
sterjenning x va
x+dx koordinatali mn va
pq
kesimlari orasida joylashgan
deformasiyalanmagan elementi
keltirilgan. Vaqtning biror fiksirlangan tu+du
u
dxm p
n q m' p'
n' q'
m p
n q

momentida mn kesim m'n', pq kesim p'q' holatni egallaydi. Boshlang’ich
koordinatasi x bo’lgan chap kesimning ko’chishini u orqali belgilaymiz. u siljish
ikkita o’zgaruvchining ya’ni t vaqt va deformasiyalanmagan holatdagi x
koordinataning funksiyasidir, shuning uchun
x+dx koordinatali kesimning
ko’chishi
u+∂u
∂xdx bo’ladi. 2.2.1 - chizmada m'n'p'q' element alohida ham
tasvirlangan.
m'n', kesimga ta’sir qiluvchi kuchlanishni σ orqali belgilaymiz, u
holda
p'q' kesimga ta’sir qiluvchi kuchlanish σ+∂σ
∂xdx bo’ladi. Lekin
tasvirlangan element harakatda, uning tezlanishi
∂2u
∂t2 ga teng, massasi ρF dx , bu
yerda p - zichlik, F - ko’ndalang kesim yuzasi. Bu elementning harakat
tenglamasini tuzamiz
ρF dx ∂2u
∂t2=F ∂σ
∂xdx
.
Guk qonuniga ko’ra
σ=Ee , elementning nisbiy deformasiyasi e=m'p'−mp
mp =∂u
∂x.
Buni harakat tenglamasiga qo’yib,
Fdx ga qisqartiramiz
∂2u
∂t2−c2∂2u
∂x2=0
, (2.2.1)
bunda
c= √
EA
¯m = √
E
ρ (2.2.2)
tezlik o’lchoviga ega va bu yerda
ρ -zichlik. Uning yechimini quyidagi ko’rinishda
olish mumkin. c bo’ylama elastik to’lqin tarqalish tezligi.
(2.2.1) differensial tenglama to’lqin tenglamasi deb ataladi, u sterjendagi
barcha dinamik jarayonlar, to’lqin tarqalishi va tebranishni tavsiflaydi.
Uning yechimini quyidagi ko’rinishda olish mumkin.
U (x,t)= f1(x−ct )+f2(x+ct)
(2.2.3)n q
2.2.1-chizma

f1 va f2 lar mosh ravishda x−ct va x+ct parametrlarning ixtiyoriy funksiyalari.
Bu ifodalar musbat va manfiy yo’nilishlarda sterjin o’qi bo’ylab tarqaluvchi
ko’chish to’lqini tarqalishini ifodalaydi.
Bu chizmada vaqtning
t=0 momentida berilgan funksiyalar ixtiyoriy h olatni
jamlagan, ya’ni bundan oldinroq sterjin 2 – uchidan ko’chishlar berilgan.
Bunda hadlar qarama-qarshi yo’nalishda bir xil tezlik bilan tarqaluvchi ikki
to’lqinni ifodalaydi. (2.2.3) umumiy yechim bo’lib, sterjenning ixtiyoriy harakatini
shu ko’rinnishda olish mumkin. O’rnashgan tebranishlarni o’rganishda u noqulay,
chunki xususiy tebranish chastotasini oddiy ususllar bilan aniqlash imkonini
bermaydi. Tebranish haqidagi masalani yechishda o’zgaruvchilarga ajratish yoki
Furye metodidan foydalanamiz. (2.2.1) tenglama uning va yechimlari quyidagi
xossalarga ega:
1. (2.2.1) tenglama
xususiy
yechimining ixtiyoriy
o’zgarmas songa
ko’paytmasi ham shu
tenglama yechimi
bo’ladi. At time: t=0
2.2.2-chizma
t=0
2.2.3-chizma

2. Ikkita (ixtiyoriy sondagi) xususiy yechimlar yig’indisi yana yechim bo’ladi.
Endi (2.2.1) tenglamaning xususiy yechimini T(t) va X(x) funksiyalar
ko’paytmasi ko’rinishda izlaylik
u(x,t)=T(t)X(x).
(2.2.4)
(2.2.4)ni (2.2.1)ga olib borib qo’yamiz
¨TX−c2TX''=0.
Bu yerda nuqta vaqt bo’yicha hosilani, shtrix koordinata bo’yicha hosilani
bildiradi.
O’zgaruvchilarga ajratish tenglamani quyidagi ko’rinishda yozishga imkon
beradi
¨T
T=c2X''
X =−ω2
Birinchi had faqat vaqtning, ikkinchi had faqat koordinataning funksiyasidir.
Tenglik funksiyalarning o’zgarmas qiymatida o’rinli. Bundan
ω2 o’zgarmasligi
kelib chiqadi.
T(t) va X(x) funksiyalar uchun ham oddiy differensial tenglamalarga
kelamiz
¨T+ω2T=0
, (2.2.5)
X''+ω2
c2X=0
(2.2.6)
(2.2.5) ning umumiy integrali

T= Asin ωt +Bcos ωt (2.2.7)
Bundan ko’rinadiki,
ω xususiy tebranish doiraviy chastotasi. (2.2.6)ning umumiy
integrali
X(x)=C1sin ωx
c +C2cos ωx
c
(2.2.8)
(2.2.6) va (2.2.7) tengliklar o’zgarmaslar boshlang’ich va chegaraviy shartlardan
topiladi.
(2.2.4) chizmada ko’rsatilgan oldinga tarqaluvchi to’lqinning tarqalashini
qaraymiz. Vaqtning
t=0 va t= Δt momentlarida ular turlicha holatni egallaydi,
yangi holatga o’tganda argument quyidagi holatda bo’ladi. 2.2.4-chizma

2.2.5-chizma

x'=x−cΔtBu h olda
f1(x−cΔt )≡ f1(x') va to ’ lqin formasi (2.2.4) chizmada ko ’ rsatilgan
kabi x /
o ’ zgaruvchidan bog ’ liq bo ’ ladi .
Bu to’lqinning tarqalish tezligi c ga teng. Xuddi shunday (2.2.5) dagi
f2
teskari yo’nalishda harakatlanadi.
To’lqin tarqaluvchi sterjen dinamik holatini ko’chishlar orqali ifodalaymiz.
Ma’lumki,
σ= Eε va ε= ди
дх bundan esa

σ(х,t)= E ди
дх = E
дf 1
дх (x−ct )+E
дf 2
дх (x+ct ) (2.2.9)
ekanligi kelib chiqadi. Bu yerda
E
дf 1
дх va E
дf 2
дх larni mos ravishda g1 va g2 lar
orqali belgilab olsak, kuchlanishni quyidagicha yozishimiz mumkin.

σ(х,t)= g1(x− ct )+g2(x+ct ) (2.2.10)
Ixtiyoriy ko’chish to’lqini formasi va unga mos kuchlanish to’lqini orasidagi
munosabat 2.2.5-chizmada tasvirlangan.
Ko’rinib turibdiki kuchlanish to’lqini ham o’zgarmas forma va c– tezlik
bilan tarqaladi.
2.3-§. Chegaraviy shartlar
Ixtiyoriy sterjenda to’lqin tarqalishi ifodasi ixtiyoriy funksiya uning
uchlariga qo’yilgan chegaraviy shartlar orqali topiladi, ya’ni to’lqin funksiyasi
chegarada muvozanat va birgalik
shartlarini qanoatlantiruvchi qilib
tanlanadi.
Chap uchidan qaytuvchi
to’lqinlar ham chegaraviy shartlarni
qanoatlantirishi kerak.
Misol uchun: Ko’chish
to’lqini formasi (2.3.1) chizmada
ko’rsatilgan x=0 nuqtada
U=(0,t)= f1(−ct) kabi belgilanadi. 2.3.1-chizma

Agar sterjining o’ng uchi (x= L) erkin bo’lsa, vaqtning hamma momentlarida bu
uchda kuchlanishlar nolga teng bo’ladi.
B u s h a r t o ’ n g d a n c h a p g a q a r a b , t a r q a l u v c h i 2 – k u c h l a n i s h t o ’ l q i n i u c h u n
ham o’rinli bo’lishi kerak. Bu mulohazaning momentik ifodasi quyidagicha:
σx=L=0= E
дf 1
дх (L− ct )+E
дf 2
дх (L+ct )
bundan esa

дf 1
дх (L−ct )=−
дf 2
дх (L+ct ) (2.3.1)
ga kelamiz. ko’rinib turibdiki, sterjen erkin uchida
ди
дх deformasiyada qaytuvchi
to’lqin hosilasi tarqaluvchi to’lqin (+ _) qarama – qarshi ishora bilan olinganligiga
teng bo’lar ekan. Ko’chish to’lqinlari shu shart bilan tasvirlanib, 2.3.2a-chizmada
tasvirlangan. Unga mos kuchlanish to’lqinlari esa 2.3.2b-chizmada tasvirlangan.
Endi sterj e nni ng o’ng uchi mahkamlangan holni qaraymiz. Unda quyidagi
o’rinli bo’ladi
U x=L=0= f1(L-ct )+ f2(L+ct )

2.3.2-chizmaa
b

bundan kelib chiqadiki
f2(L+ct)=− f1(L−ct) (2.3.2)
bunda tarqaluvchi to’lqin va qaytuvchi to’lqinlar joylashishi 2.3.3-chizmada
keltirilgan va chegarada ko’chishning nolga tengligi qanoatlantiriladi.
M asala . Uchiga bolg’a bilan zarba berilgan qoziqda bo’ylama to’lqin
tarqalishini va uning qismlardagi kuchlanishni qaraymiz. Bunda zarba beruvchi
kuch funksiyasi
P(t)=10 5sin π t
0,005 π a bo’lsin va t1=0,005 c da kuchlanish epyurasi
chizilsin. Bular pulat va beton uchun hisoblasin
Yechish. Dastlab po’lat uchun masalani echamiz. Birinchi to’lqin tarqalish
tezligini topamiz.
Berilgan:
E= 2⋅10 11πa ,A=0,01 m2,ρ=7850 kg
m3
CS=√
E
ρ=
√
2⋅10 11πa
7850 kg
m3
≈5000 m
s
qoziqning impuls berilgan uchida kuchlanish
σ0(t)=− P(t)
A =−
10 5sin πt
0,005 πa
0,01 m2 =−10 7sin πt
0,005
lekin oldinga tarqaluvchi to’lqini uchun quyidagi munosabat o’rinli. Bu
σ0(t)=g1(−CSt)
bunda g
1 biz qarayotgan hol uchun quyidagicha bo’ladi.
σ0(t)=−10 7sin (− π
3)CSt
umumiy holda oldingi tarqaluvchi to’lqin
σ(x,t)=−10 7sin π
3(cSt−x)
t1=0,005
bo’lganda σ(x,0,005 )=−10 7sin π(1− x
3)
Endi beton uchun masalani yechamiz, to’lqin tarqalish tezligini topamiz.
Berilgan
E=10 10πa ,A= 0,1 m2,ρ= 2500 kg
m3
2.3.3-chizma

CS=
√
E
ρ=
√
10 10
2500 = 2000 m
s qoziqning impuls berilgan uchida kuchlanish
σ0(t)=− P(t)
A =−
10 5sin πt
0,005 πa
0,1 m2 =−10 6sin πt
0,005 πa
lekin oldingi tarqaluvchi to’lqin uchun quydagi munosabat o’rinli. Bu
σ0(t)= g1(−cSt)
bunda g
1 biz qarayotgan hol uchun quydagicha bo’ladi
σ0(t)=−10 6sin (− π
3)Cst
umumiy holda oldinga tarqaluvchi to’lqin
σ(x,t )=−10 6sin π
3(CSt−x)
t1=0,005
bo’lganda σ(x,0,005 )=−10 6sin π(1− x
3) .
2.3.4-chizma
2.4-§. Mexanik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenda to’qin tarqalishi
Turli xususiyatli ketma-ket ulangan s terjen larda to’lqinning qaytishi va
sinish hollari yuz beradi. Bunday sterjenlarning hamma nuqtalarida muvozanat
va birgalik tenglamalari to’lqinlarning qaytish va sinishi bilan birgalikda bajariladi.

Insident to’lqin =ua Singan to’lqin = uc
Qaytgan to’lqin =
ub
2.4.1-chizma
chizmada tasvirlangan bir - biriga ulangan 1 va 2 - sterjenlarni qaraylik. Bu 2 ta
sterjen turli xil zichlik va qattiqlikka ega va to'lqin tarqalish ham bu
xususiyatlardan bog'liq holda turlicha.
1- sterjenda tarqaluvchi to'lqin
U a bog'lanish chegarasida U b bo'lib qaytadi.
Shuningdek 2- sterjenda ham U
c sifatida tarqaladi. Bog'lanish chegarasida quyidagi
uzviylik shartlari o'rinli.
Ko'chish:
U
1 = U
2 U
a + U
b = U
c (2.4.1)
Kuch:
N1= N2Na+Nb= Nc
(2.4.2)
bu yerda 2 ta hol ham qaytuvchi to'lqin ham 1-sterjen uchun berilgan, chunki
bunda birgalik shartlari hamma vaqt bajariladi.
∂ U
a
∂ t + ∂ U
b
∂ t = ∂ U
c
∂ t (2.4.3)
Ko'rinishlarda qo'yilgan shartlar ulardan vaqt bo'yicha olingan hosilaga teng. Lekin
to'lqin tarqalishini quyidagicha yozamiz.
U a= fa(x− ct)≡ fa(ξ)
bu yerda ξ
qulaylik uchun kiritilgan o'zgaruvchi. U
a ning hosilalari quyidagicha
ifodalanadi.

∂ U
a
∂ x = ∂ f
a
∂ ξ ∂ ξ
∂ x = ∂ f
a
∂ ξ ∂ U
a
∂ t = ∂ f
a
∂ ξ ∂ ξ
∂ t = − c
1 ∂ f
a
∂ ξ (2.4.4)
Bundan ko'rinadiki, vaqt va koordinatalar bo'yicha olingan hosilalar to'lqin
targalish tezligi yordamida quyidagicha bog'langan.
∂ U
a
∂ t = − c
1 ∂ U
a
∂ x (2.4.5)
Xuddi shunday qaytuvchi va sinuvchi to'lqinlar uchun ham quyidagi munosabatlar
o'rinli.
∂ U
b
∂ t = − c
1 ∂ U
b
∂ x
∂ U
c
∂ t = − c
1 ∂ U
c
∂ x (2.4.6)
(2.4.6)da musbat ishora qaytuvchi to'lginning manfiy yo'nalishini bildiradi.
tenglamalarni (2.4.3) ga olib borib qo'ysak quyidagi tenglamaga ega bo'lamiz.
− c
1 ∂ U
a
∂ x + c
1 ∂ U
b
∂ x = − c
2 ∂ U
c
∂ x (2.4.7)
Lekin ∂U a
∂x = εa .. hokazo deformasiyalar kuchlar orqali ifodalasak (2.4.7)
tenglamani kuchlar orqali quyidagicha yozish mumkin
−c1
A1E1
Na+ c1
A1E1
N b= −c2
A2E2
N c
(2.4.8)
yoki soddaroq ko'rinishda
Nc= α(Na− N b)
(2.4.9)
bu yerda
α= c1
c2
A2
A1
E2
E1
= √
m2E2A2
m1E1A1
(2.4.10)
Nihoyat (2.4.9) birgalik shartlari (2.4.1) va muvozanat shartlarga olib borib,
qo'yilsa quyidagiga ega bo'lamiz.
N
a + N
b = α
( N
a − N
b )
bundan esa
N
b = N
a α − 1
α + 1 (2.4.11)
hamda (2.4.9) dan

N
c = N
a 2 α
α + 1 (2.4.12)
(2.4.11) va (2.4.12) larda kuchlarni quyidagicha ifolab olamiz.N = AE ∂U
∂x= ± AE
c
∂U
∂t
bularni (2.4.11) ga qo'yib va integrallab, quyidagiga ega bo'lamiz.
A1E1
c1
U b=− A1E1
c1
U aα−1
α+1
bundan
U b=U aα−1
α+1 (2.4.13)
ga kelamiz. Xuddi (2.4.12) ga olib borib, qo'yamiz va uni integrallaymiz
− A
2 E
2
C
2 U
c = − A
1 E
1
C
1 U
a 2 α
α + 1
bundan esa U
c = U
a 2
α + 1 (2.4.14)
bo'ladi.
α -koeffisient ikki sterjen orasidagi qaytuvchi va sinuvchi to'lqinlar
amplitudasini xarakterlaydi.
Yuqoridagilarda qo'shni sterjenlar xususiyatlari turlicha.
α -esa ulardan bog'liq
holda (2.4.10) orgali topiladi. Jadvalda tushuvchi, qaytuvchi va sinuvchi to'lqinlar
orasidagi munosabat turli chegaraviy shartlardan keltirilgan.
Holat.
α=
√
А2E2m2
A1E1m1 Kuch to’lqinlari Ko’chish
to’lqinlari
⃗Na+Nb= ⃗Nc ⃗иа+иb= ⃗uc
1.Uzluksiz 1 1 0 1 1 0 1
2.Qattiq
mahkamlangan
∞ 1 1 2 1 -1 0
3.Erkin 0 1 -1 0 1 1 2
4.
А2Е2
А1Е1
=
м2
м1
= 2 2 1 1/3 4/3 1 -1/3 2/3
5.
А2Е2
А1Е1
=
м2
м1
= 1
2 ½ 1 -1/3 2/3 1 1/3 4/3

Masala. Bizga materiallari turlicha bo'lgan 2 ta ketma-ket ulangan sterjen berilgan
bo'lsin. Bu
2 ta sterjen turli xil zichlik va qattiqlikka ega ularda to'lqin tarqalishi
ham bu xususiyatlardan bog'liq holda turlicha. Mana shu sterjenda to'lqin tarqalish
jarayonini qaraymiz. 1-sterjenning uchidan u
a = sin ωt
qonuniyat bilan o'zgaruvchi
ko'chish berilgan bo'lsin. Buning natijasida birinchi sterjenda tarqaluvchi to'lqin ua
bog'lanish chegarasida u
b ko'rinishda orqaga qaytsin, hamda ikkinchi sterjenda ham
u
c ko'rinishda davom etsin.
Birinchi sterjenning xususiyatlarini quyidagicha tanlaymiz
E1= 2⋅10 11Π a,ρ1=7850 κ2
M 3,A1=0,01 m2
Ikkinchi sterjen uchun
E
2 = 10 11
Π a , ρ
2 = 9000 κε
M 3 , A
2 = 0,01 m 2
Bundan (1.10) ga ko'ra α = c
1 A
2 E
2
c
2 A
1 E
1 = 0,75
.
Xuddi shunday sterjen xususiyatlarining turli variantlarida yugoridagilarni bajarish
mumkin.
Quyida
α parametrning turli qiymatlari uchun sterjenlar biriktirilgan sohaga
tushuvchi, qaytuvchi va ikkinchi sterjen bo'ylab tarqaluvchi to'lginlar ,Maple 9"
dasturi yordamida tasvirlangan.
u
a
u
cu
a
u
cu
a
2.4.2.-chizma. Bir jinsli sterjenda
to’lqin tarqalishi. u
c
u
a
u
b
2.4.3-chizma. Materiali bir xil
pog’onali sterjenda to’lqin tarqalishi
A
1 =2A
2 .

bu yerda с1,c2,c3, E1,E2,E3, va A1,A2,A3 birinchi, ikkinchi va uchinchi
sterjenlarning mexanik va gemetrik xususiyatlari.
2.4.2 dan 2.4.5 – chizmalarda turli hollar uchun ikki pog’onali sterjenda
to’lqin tarqalishi tasvirlangan.
Asosiy xulosalar
Bitiruv malakaviy ishining kirish qismida ishning predmeti, va dolzarbligi
tavsiflashga atroflicha to’xtalib o’tilgan. Ishning predmeti ko’rsatilgan va shu
asosda uning ob’yekti aniqlashtirilgan.
Bitiruv malakaviy ishining birinchi bobida mexanik to’lqinlar haqida batafsil
ma’lumotlar keltirilgan hamda tahlil qilib chiqilgan.
Ikkinchi bobda mexamik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenda to’lqin
tarqalishi masalasi qo’yilgan hamda yechilgan va xulosalar berilgan
Olingan natijalarga ko’ra quyidagilar aniqlandi:
- bir jinsli sterjenda to’lqin o’z shaklini o’zgartirmasdan tarqaladi;
- turli xususiyatli ketma-ket ulangan sterjenlar chegarasida to’lqinning bir qismi
orqaga qaytadi va yana bir qismi ikkinchi sterjen bo’ylab tarqalishda davom etadi,
- to’lqin ko’ndalang kesimi katta bo’lgan sterjendan ko’ndalang kesimi kichik
bo’lgan sterjenga o’tganda amplituda oshadi;
- to’lqin ko’ndalang kesimi kichik bo’lgan sterjendan ko’ndalang kesimi katta
bo’lgan sterjenga o’tganda amplituda kamayadi;
- qattiq materialli sterjendan yumshoqroq materalli sterjenga to’lqin o’tganda
amplituda ortadi;
- yumshoqroq materialli sterjendan qattiqroq materalli sterjenga to’lqin o’tganda
amplituda pasayadi. u
b
2.4.5-chizma. Turli xususiyatli, ko’ndalang
kesimi bir xil sterjenda to’lqin tarqalishi
(po’lat-mis).2.4.4-chizma. Materiali bir xil pog’onali
sterjenda to’lqin tarqalishi 2A
1 =A
2 .u
b

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
1. Ray W. Clough, Joseph Penzien. Dynamics of Structures. International Student
Edition. 1975. p. 634 p.
2. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. Москва «Наука»
1988 год.
3. Худойназаров Х. Х. Нестационарное взаимодействие цилиндрических
оболочек и стержней с деформируемой средой. Ташкент.: Абу Али ибн Сино.
2003. – 326 с.
4. Х olmurodov R . I ., Xudoynazarov X . X . Elastiklik nazariyasi . I, II qism. Toshkent.:
Fan. 2004.
5. Achenbach J. D., 1975, Wave Propagation in Elastic Solids, Elsevier, ISBN:
0720403251, Netherlands.
6. Bedford, A. & Drumheller, D.S., 1994, Introduction to Elastic Wave
Propagation, John Wiley & Sons Ltd., West

Xususiyatlari uzluksiz bo‘lmagan sterjenda to‘lqin tarqalishi

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish