Yirik masshtabli meteorologik maydonlarning statistik strukturasi
![chetlanishning o‘rtacha kvadratini ifodalovchi f kattalikning dispersiyasidan
foydalaniladi: σf
2=[f(r)− ¯f(r)]2
. (2)
f kattalik f kattalikning o‘rtacha kvadratik chetlanishi deb ataladi.
Tasodifiy maydonning har bir alohida realizatsiyada u yoki bu nuqtadagi f
kattaliklar muayyan qiymatlarni qabul qiladi. Shu bilan bog‘liq ravishda atrofdagi
nuqtalardagi f qiymatlar bu qiymatga qanchalik yaqin degan savol tug‘iladi.
Tasodifiy maydonning turli nuqtalarda bir vaqtdagi o‘zini tutishini statistik
tavsiflash ko‘p o‘lchamli taqsimot funksiyalarining berilishini talab qilib,
murakkab masala hisoblanadi. Shunga qaramay ko‘pchilik hollarda statistik
tuzilishning soddaroq harakteristikalari bilan cheklanish mumkin bo‘ladi.
Buning uchun quyidagi funksiyalarni ko‘rib chiqamiz: korrelyatsion,
tarkibiy va spektral.
1. f kattalikning kovariatsion funksiyasi statistik bog‘lanishning eng sodda
harakteristikasi hisoblanadi. U f kattalikning biror r
i va r
k nuqtalardagi
anomaliyalari ko‘paytmasining o‘rtachasi sifatida quyidagi formula bo‘yicha
aniqlanadi :
mf(ri,rk)=[f(ri)− ¯f(ri)][f(rk)− ¯f(rk)]
(3)
Shuningdek
μf(ri,rk)=
mf(ri,rk)
σf(ri)σf(rk)
(4)
ko‘rinishidagi korrelyatsion funksiyadan ham foydalanilib, u har bir r
i va r
k
nuqtalar juftligi uchun f kattalik qiymatlarining korrelyatsiya koeffitsiyentlarini
beradi.
Aksariyat adabiyotlarda kovariatsion funksiya normalanmagan korrelyatsion
(yoki korrelyatsion) funksiya deb ataladi. Yuqorida ko‘rilgan holdagi korrelyatsion
funksiya esa normalangan korrelyatsion funksiya deb yuritiladi.
Bir nechta kattaliklarning maydonlari bir vaqtda qaralayotgan hollarda ular
orasidagi bog‘lanishni ko‘rib chiqish maqsadga muvofiq. Bu bog‘lanishni o‘zaro](https://docx.uz/documents/48ce4ab5-3b88-469b-8dbe-196bb4b8c4ed/page_3.png?v=1)
![kovariatsion va korrelyatsion funksiyalar yordamida tavsiflash mumkin.
f(r) va g(r) tasodifiy kattaliklar maydonlarini ko‘rib chiqayotgan bo‘laylik.
U holda o‘zaro kovariatsion funksiya :mfg(ri,rk)=[f(ri)− ¯f(ri)][g(rk)−¯g(rk)]
, (5)
o‘zaro korrelyatsion funksiya :
μfg(ri,rk)=
mfg(ri,rk)
σf(ri)σg(rk)
(6)
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Bu funksiya krosskorrelyatsion funksiya deb ham ataladi.
Ayni bir kattalik qiymatlari orasidagi bog‘lanish qaralayotganligini
ta’kidlash uchun bu funksiyalar avtokovariatsion va avtokorrelyatsion funksiyalar
deb ataladi.
m
f va
f funksiyalarning ta’riflaridan ularning quyidagi xossalari kelib
chiqadi:
a)
mf(ri,rk)=mf(rk,ri);
μf(ri,rk)=μf(rk,ri), 7)
ya’ni r
i va r
k nuqtalarning o‘rnini almashtirsak, bu funksiyalar o‘zgarmaydi. Bu
xossa simmetriklik xossasi deb ataladi.
Yuqoridagi kabi
mfg(ri,rk)=mgf(rk,ri);
μfg(ri,rk)= μgf(rk,ri).
(8)
b) Cheklanganlik xossasi :
mf(ri,rk)≤σf(ri)σf(rk);
mfg(ri,rk)≤σf(ri)σg(rk);
|μf(ri,rk)|≤1; |μfg(ri,rk)|≤1.
(9)
Funksiyalar argumentlari mos kelgan chegaraviy hollarda quyidagi
tengliklar o‘rinli bo‘ladi:
mf(ri,rk)=σf2(ri);
μf(ri,ri)=1.
(10)
2. Maydonlarning statistik tuzilishini tavsiflash uchun berilgan ikki](https://docx.uz/documents/48ce4ab5-3b88-469b-8dbe-196bb4b8c4ed/page_4.png?v=1)
![nuqtadagi f qiymatlar farqining o‘rtacha kvadratini ifodalovchi tarkibiy
funksiyadan ham foydalanish mumkin:bf(ri,rk)=[f(ri)− f(rk)]
2
11)
Tarkibiy funksiya kovariatsion va korrelyatsion funksiyalar bilan quyidagi
formula orqali bog‘langan:
bf(ri,rk)= σf2(ri)+σf2(rk)−2m f(ri,rk)+[f(ri)− f(rk)]
2=
¿2σf(ri)σf(rk)[1− μf(ri,rk)]+[σf(ri)−σf(rk)]
2+[f(ri)− f(rk)]
2.
(12)
Tarkibiy funksiyaning tarifidan uning manfiy emasligi kelib chiqadi. Bundan
tashqari, quyidagi munosabatlar ham o‘rinli bo‘ladi:
bf(ri,rk)=bf(rk,ri)
bf(ri,ri)=0
bf(ri,rk)≤[σf(ri)− σf(rk)]
2+[f(ri)− f(rk)]
2.
(13)
3. Meteorologiyada bir jinsli va izotrop maydonlar katta amaliy qiziqish
uyog‘otadi. Bunday maydonlar uchun bir nuqtali statistik harakteristikalar
(masalan, o‘rtacha qiymatlar va dispersiya) maydonning barcha nuqtalarida bir xil,
ikki nuqtali harakteristikalar (masalan, korrelyatsion funksiyalar) esa faqat nuqtalar
orasidagi masofaga bog‘liq bo‘ladi. Demak, ular uchun quyidagi tengliklar o‘rinli
bo‘ladi:
f(ri)= f(rk)=...= f;
(14a)
σf2(ri)= σf2(rk)=...=σf2;
(14b)
mf(ri,rk)=mf(ρ);
(14v)
μf(ri,rk)=μf(ρ);
(14g)
b f(ri,rk)= b f(ρ),
(14d)
bu yerda
ρ=|ri−rk| – r
i va r
k nuqtalar orasidagi masofa.
Bir jinsli va izotrop maydonlarning kovariatsion funksiyasi
=0 bo‘lganda
o‘zining
σf
2 dispersiyaga teng bo‘lgan maksimal qiymatini qabul qiladi. Nuqtalar](https://docx.uz/documents/48ce4ab5-3b88-469b-8dbe-196bb4b8c4ed/page_5.png?v=1)
![orasidagi masofaning ortishi bilan kovariatsion va korrelyatsion funksiyalarning
qiymatlari kamayib boradi va bu kamayish monoton bo‘lmasligi ham mumkin.
Nuqtalar orasidagi masofa juda katta bo‘lganda barcha meteorologik elementlar
qiymatlari orasida bog‘lanish bo‘lmaydi hamda mos ravishda kovariatsion va
korrelyatsion funksiyalarning qiymatlari nolga intiladi. Kovariatsion
funksiyalarning masofaga bog‘lanishlari 3-rasmda keltirilgan.
Bir jinsli va tasodifiy izotrop maydonlar uchun kovariatsion, korrelyatsion
va tarkibiy funksiyalar quyidagi munosabatlar bilan o‘zaro bog‘langan:m f(ρ)= σ f
2μ f(ρ)
b f(ρ)= 2σ f
2− 2m f(ρ)= 2σ f
2
[1− μ f(ρ)].
(15)
(15) ifodadan
masofaning ortishi bilan tarkibiy funksiya quyidagi qiymatga
intilish kelib chiqadi :
b f(∞ )= 2 σ f
2.
(16)
Shunday qilib, bir jinsli va tasodifiy izotrop maydonlar uchun tarkibiy
funksiya
=0 bo‘lganda nolga teng va ning kichik qiymatlarida masofaning
ortishi bilan ortib boradi. Juda katta masofalarda u o‘zining to‘yinish qiymati 2
σf
2
ni qabul qiladi. Oraliq sohada tasodifiy maydonning xususiyatlariga bog‘liq holda
tarkibiy funksiyaning o‘zini tutishi turlicha bo‘lishi mumkin. 3-rasmda karab
chiqilgan kovariatsion funksiyalarga mos keluvchi tarkibiy funksiyalarning ayrim
o‘ziga xos ko‘rinishlari ham keltirilgan (2 egri chiziqlar).
4. Tasodifiy funksiyalar nazariyasida kovariatsion funksiyalardan Fure
almashtirishlarini ifodalovchi spektral funksiyalar katta ahamiyatga ega. Misol
uchun, f(t) statsionar tasodifiy funksiya uchun m
f (
) kovariatsion funksiya va S
f ( )
spektral funksiya orasidagi bog‘lanish quyidagi formula orqali aniqlanadi:
S f(ω )= 2
π∫
0
∞
m f(τ)cos (ωτ )dτ .
(17)
Bu ifodadan](https://docx.uz/documents/48ce4ab5-3b88-469b-8dbe-196bb4b8c4ed/page_6.png?v=1)
Yirik masshtabli meteorologik maydonlarning statistik strukturasi