Yuqori tartibli hosila hadi oldidagi kichik parametr - Педагогика - Рефераты

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	230.1KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	Педагогика

Yuqori tartibli hosila hadi oldidagi kichik parametr

Купить

Yuqori tartibli hosila hadi oldidagi kichik parametr
Reja:
1. Dastlabki mulohazalar
2. Nostasionar model masala
3. Modelli stasionar masala
4. Konvektiv hadni markaziy-ayirma bilan approksimasiyalash sxemasi
5. Konvektiv hadni bir taraf bilan approksimasiyalash sxemasi
6. Samarskiy sxemasi
7. "Potok" kattaligi bo’yicha sxemalarni taqqoslash

1. Dastlabki mulohazalar
Amaliy masalalarda ko’pincha yuqori tartibli hosila oldida kichik ko’paytma
bilan ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni qarashga to’g’ri keladi. Bundan
qoidaga ko’ra yechim nihoyatda tez o’zgaradigan chegaraviy qatlamlar – tor
sohalar paydo bo’ladi. Amaliy hisoblashlarda chegaraviy qatlam qalinligi ba’zan
to’r qadami aniqligida bo’lishi mumkin. Bu shartlarda yechim o’zgarishining
o’ziga xos xususiyatlarini hisobga olmaydigan odatdagi to’rli approksimasiyalar
nafaqat miqdoriy aniqmasliklarni tug’diradigan, balki sifat buzilishlarini
tug’diradigan katta xatoliklarni beradi. Bu quyida misollarda ko’rsatiladi. Bundan
nisbatan katta bo’lmagan tugunlar sonida chegaraviy qatlamda bir qator maxsus
sxemalar yomon bo’lmagan yechimni aks ettiradi.
2. Nostasionar model masala
Birinchi chegaraviy masalani qaraymiz∂u
∂t= v∂2u
∂ x2− a ∂u
∂ x , a<0
(1)
0≤ x≤ 1
, 0≤ t<+ ∞ (2)
u(0,x)=0,
(3)
u(t,0)= 0,
(4)
u(t,1)=1.
(5)
(1)-(5) masalaning issiqlik talqinini keltiramiz: chap oxiri
x= 0 , o’ng oxiri
x=1
ga mos issiqlikni o’tkazmaydigan naychada o’zgarmas tezlik bilan o’ngdan
chapga suyuq issiqlik tashuvchi oqsin ; naycha oxirlarida haroratning o’zgarmas
qiymatlari ta’minlansin ; boshlang’ich vaqt momentida naychaning hamma yerida
harorat nolga teng bo’lsin .
v
ning kichik qiymatlarida hodisaning sifat ko’rinishini tassavvur qilamiz.
Avval
v= 0 ga mos aynigan masalani qaraymiz. Aynigan tenglam quyidagicha
bo’ladi:

∂u
∂t
=−a∂u
∂x
.(6)
(3) boshlang’ich shart o’zgarmay qoladi. Shunday ekan suyuqlik naychada o’ngga
oqadi, u holda o’ng oxirda chegaraviy shartni (6) ga ulaymiz, ya’ni (5). (4) chap
chegaraviy shart (6) tenglama uchun ortiqcha hisoblanadi, chunki
a<0 ; shuning
uchun uni tashlab yuboramiz .
(2), (3), (5), (6) aynigan masala yechimi oson topiladi .
|a|t<1 da bo’lakli-
o’zgarmas funksiyaga ega bo’lamiz: agar
x>1+at bo’lsa u=1 ga; agar x<1+at
bo’lsa
u= 0 ga (1-rasmda – uzluksiz quyuq chiziqlar). |a|t≥1 da u≡1 ga ega
bo’lamiz. Yechimning
(t,x) tekislikdagi tasviri 2-rasmda berilgan .
1-rasm . 2-rasm.
Uzilish o’rniga kichik issiqlik o’tkazuvchanlikda 2-rasmda tasvirlangan tor
o’tish sohasi – qo’zg’aluvchi ichki o’tish qatlami paydo bo’ladi.
|a|t>1 da aynigan
masala yechimi
x= 0 nuqta atrofida berilgan masala yechimidan ancha farq qiladi,
shunday qilib
x= 0 da birinchisi 1 ga teng, ikkinchisi esa (4) shartga ko’ra nolga
aylanadi.
x= 0 nuqta atrofida |a|t>1 da o’tish sohasi – qo’zg’almas chegaraviy
qatlam hosil bo’lishini kutish mumkin (3-rasm). Ichki o’tish qatlami va chegaraviy
qatlam 2-rasmda shtrix bilan belgilangan .u
1
0
1 x t
x-at= 1
0
1 xu= 1
u= 0

3- rasm.
3. Modelli stasionar masala
Ushbu (1)-(5) masalaning stasionar analogini batafsilroq qaraymiz :vu''− au'= 0,
a<0, (7)
u(0)=0,
(8)
u(1)=1.
(9)
Bu masala yechimi oshkor ko’rinishda oson topiladi. (7) tenglama umumiy
yechimi quyidagicha bo’ladi :
u= C 1+C 2exp (− x/ε),
(10)
bu yerda
C1,C2 – ixtiyoriy o’zgarmaslar ; ε=v/|a| . (10) ni ( 8 ) va ( 9 ) ga qo’yib ,
ushbuga ega bo’lamiz
C1+C2= 0; C1+C2exp (− 1/ε)= 1.
Bu yerdan
C1=(1−exp (− 1/ε))−1,
C2=−(1−exp (−1/ε))−1 . (11)
(10), (11) yechimni kichik
ε larda katta aniqlik bilan quyidagi ko’rinishda yozish
mumkin
u= u0+ u
~
0
, u0= 1 , u
~
0= − exp (− x/ε) . (12)
Bu yerda
u0 – ushbu aynigan masalaga mos yechim u
1
0 1 x

− au0'= 0, u0(1)=1 . (13)
~u0
funksiya – chegaraqatlam tuzatmasi , uning vazifasi aynigan masala
qo’yilishiga kirmaydigan (13) chap chegaraviy shartning bajarilishini
ta’minlashdan iborat.
~u0 chegaraqatlam tuzatmasi x= 0 nuqtadan uzoqlashishi
bilan tez kamayadi . Chegaraviy qatlam shartli qalinligi sifatida
ε ni qabul qilish
mumkin, ya’ni
~u0 uchun relaksasiya uzunligini. ~u0 f unksiya x→ ∞ da 0 ga
intiluvchi va
x= 0 da u= u0+~u0 shartni qanoatlantiruvchi (7) tenglama yechimi
kabi aniqlanishi mumkin .
Bundan keyin biz
x= 0 chegara orqali konduktiv issiqlik oqimini
tavsiflaydigan ushbu kattalik bilan qiziqamiz
Q= νu'(0)= ν/ε=− a.
(14)
Yozuvni soddalashtirish uchun
a=−1 va ν o’rniga ε ni yozamiz . Shu sababli
Q= 1
bo’ladi .
4. Konvektiv hadni markaziy-ayirma bilan approksimasiyalash sxemasi
Quyidagi (7)-(9) chegaraviy masalaning to’r analogini qaraymiz :
ε
um+1− 2um+um−1
h2 +
um+1+um−1
2h = 0,
(15)
m=1,2 ,..,M −1,
u0= 0
, (16)
uM= 1
. (17)
Eyler usuliga ko’ra chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisiyentli oddiy differensial
tenglamalarning xususiy yechimi
u= exp (μx ) ko’rinishida izlanadi, bunda μ –
noma’lum parametr . Eylera usulini chiziqli birjinsli to’r tenglamalarni yechishga
ham qo’llash mumkin .
xm= mh to’rda um= exp (μmh )= qm, q= exp (μh ) ga ega
bo’lamiz . Bu ifodani
um uchun (15) ga qo’yib, ushbu q ni aniqlash uchun
xarakteristik tenglamani hosil qilamiz :

εq2− 2q+1
h2 + q2+1
2h
= 0.Bu yerdan quyidagini topamiz
q1=1,
q2=(1− h
2ε)(1+ h
2ε)
−1
. (18)
(15) tenglama umumiy yechimi ushbu ko’rinishda tasvirlanadi
um= C 1+C 2q2
m.
(16), (17) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni (12) ga
o’xshash (taqriban) quyidagicha tasvirlaymiz :
um= 1− q2
m.
(19)
Agar
q2≥ 0 bo’lsa , u holda (19) to’r funksiya m o’sishi bilan 0 dan 1 gacha
monoton o’zgaradi ;
q2<0 da n o monoton o’zgaradi ( 4-rasm ).
Monotonlik sharti yuqoridan
h:h<2ε qadam bilan chegaralanadi . Shunday
qilib, agar berilgan masala uchun faqat to’r qadami chegaraviy qatlam shartli
qalinligining ikkilanganligidan kichik bo’lgan holdagina monoton to’rli chegaraviy
qatlam hosil qilinishi mumkin. Aks holda yechimni buzuvchi ossillyasiya yuz
beradi .
5. Konvektiv hadni bir taraf bilan approksimasiyalash sxemasi
Endi yuqoridagidek tarzda ushbu konvektiv hadni bir taraflama ayirmali
munosabat bilan approksimasiyalovchi sxemani o’rganamiz
ε
um+1− 2um+um−1
h2 +
um+1+um
h = 0.
(20)
u
1
0
m

4-rasm.
Quyidagilarga ega bo’lamizε(q− 1)2
h2 + q2− q
h
= 0, q1= 1, q2= 1
1+h/ε
,
(21)
um= 1− q2
m.
(22)
(22) funksiya har doim monoton .
ε o’zgarishi bilan bu funksiya sifat jihatdan
xuddi (12) ning yechimidek o’zini tutadi : qancha
ε kichikroq olinsa,
chegaraqatlam tuzatmasi shuncha tez so’nadi .
6. Samarsk iy sxemasi
(20) sxema birinchi tartibli aniqlikka ega . Approksimasiya xatoligi bosh hadi
0,5 h∂2u/∂x2
dan iborat ; u dissipativ xususiyatga ega . Qo’shimcha "qovushqoqlik"
o’rnini to’ldirish uchun mos ravishda
ε ni kamaytirish mumkin bo’ladi, ya’ni ε ni
ε− h/2
ga almashtiriladi. Ko’rish mumkinki, bu konvektiv hadni markaziy-ayirma
bilan approksimasiyalovchi (15) sxemaga keladi.
A.A.Samarskiy approksimasiya qovushqoqligini kamaytiruvchi boshqa
usulni taklif etdi:
ε ni ushbu ε' ga almashtiriladi
ε'= ε(1+0,5 h/ε)−1.
(23)
konvektiv hadni birtaraflama approksimasiyalash sxemasi ko’rsatilgan o’rniga
to’ldirishda rasman ikkinchi tartibli aniqlikka ega, shunday qilib
h→ 0 va chekli
ε
da quyidagiga ega bo’lamiz
ε(1+0,5 h/ε)−1= ε(1− 0,5 h/ε)+O (h2)= ε− h/2+O (h2)
.
Modomiki Samarskiy sxemasi (20) dan faqat
ε ni ε− h/2 ga almashtirish bilan
farq qiladi, oldingi banddagi aytilgan sifatiy mulohazalar kuchini saqlaydi:

chegaraviy qatlam har doim monoton; ε kamayishi bilan chegaraqatlam tuzatmasi
so’nish tezligi oshadi.
7. Potok" kattaligi bo’yicha sxemalarni taqqoslash
3-bandda kiritilgan faqat to’r tugunlarida berilgan sonli yechim bo’yicha
Q
"oqim"ni aniqlashda quyidagi qiyinchilik kelib chiqadi. Chegaraviy qatlam
xususiyatiga ega bo’lgan funksiyalarda sonli differensiallash formulasi xatoligi
juda katta bo’lishi mumkin, shuning uchun har xil sxemalarni taqqoslashda
Q ni
hisoblash usulini standartlash kelib chiqadi. Yuqorida qaralgan barcha uchta
sxemalar uchun yechim ushbu ko’rinishga ega
um= 1− q2
m . Birinchi qo’shiluvchi
hosilasi nolga teng. Ikkinchi qo’shiluvchini to’r tugunlarida o’sha qiymatlarga ega
bo’lgan eksponenta bilan almashtirib quyidagiga egabo’lamiz
q2
m~exp (
x
h
ln q2).
x= 0
nuqtada hosilani aniqlashda eksponentani oddiy tarzda differensiallaymiz .
Quyidagini hosil qilamiz
Q= ε
h
ln q2
Yana to’r quyuqligini tavsiflash sifatida
r= ε/h munosabatni kiritamiz . Yuqorida
ko’rsatilgan standart yo’l bilan avvalgi bandlarda qaralgan uchta sxemalar yordami
bilan hisoblangan
Q ning qiymatlari r ning har xil qiymatlari uchun 1-jadvalda
keltirilgan .
1 -jadval
r= ε/h
(20) s xema (19) s xema Samarsk iy
s xema si
0,5 0,55 - 0,80
1 0,69 1,10 0,92
2 0,81 1,02 0,98

3 0,86 1,01 0,99
Ikkinchi tartibli aniqlikdagi ikkala sxemada chegaraviy qatlam shartli
qalinligida nisbiy xatolik tartibi foizi 2-3 intervalga chiqadi . Bunday to’rning
yechiluvchanlik yo’li konvektiv hadni Samarskiy sxemasi va markaziy-ayirmali
sxema bilan approksimasiyalash orasida farq deyarli yo’q. Bu yana r~ 1 ga
daxldordir, bunda ikkala sxema uchun xatolik tartibi 10 % bo’ladi . Bundan keyin
r
kamaytirilsa, ya’ni to’r qadami oshishi bilan holat o’zgaradi . r= 0,5 da
markaziy-ayirmali approksimasiya xizmatini to’xtatadi (
r= 0,5 da bu
approksimasiya uchun monotonlik chegarasi borligini eslaymiz).
r= 0,5 uchun
Samarskiy sxemasi
Q ning qiymatini 20% xatolik bilan beradi.
Jadvalning ikkinchi ustunidan ko’rinadiki konvektiv hadni bir tomonlama
approksimasiyalovchi birinchi tartibli aniqlikdagi sxema
Q da yaqqol ko’rinadigan
xatolikni tug’diradi (
r= 3 da 14% va r= 0,5 da 45%).

Yuqori tartibli hosila hadi oldidagi kichik parametr

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish