Gilbert aksiomalar sistemasi va undan kelib chiqadigan natijalar - Geometriya - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	12000UZS
Hajmi	410.2KB
Xaridlar	12
Yuklab olingan sana	06 Aprel 2024
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Geometriya

Gilbert aksiomalar sistemasi va undan kelib chiqadigan natijalar

Sotib olish

Gilbert aksiomalar sistemasi va undan kelib
chiqadigan natijalar
MUNDARIJA
KIRISH………………………………………………………………………….....9
I BOB. Yevklid geometriyasini aksiomatik asosda qurishdagi turli
yondoshuvlar……………………………………………………………………..11
1.1. Aksiomatik metod haqida tushuncha…………………………………………11
1.2. Pogorelov aksiomalar sistemasi……………………………………………...15
1.3. Veyl aksiomalar sistemasi …………………………………………………...17
II BOB. Yevkilit geometriyasini Gilbert aksiomalar sistemasi asosida
qurish………………………………………………………………………..……20
2.1. Gilbert aksiomalar sistemasi …………………………………………………29
2.2. Gilbert aksiomatikasida zidsizlik masalasi……………………………….…..36
2.3. Gilbert aksiomalar sistemasining to’liqligi va parallelik aksiomasining
erkinligi………………………………………………………………………...….36
Xulosa……………………………………………………………………………37
Foydalanilgan adabiyotlar va manbalar ro‘yxati……………………………..38
Ilovalar ……………………………………… ………………………………………………...39
1

K I R I SH
O`zb е kiston R е spublikasining “Ta’lim to`g`risida” gi Qonuni va “Kadrlar
tayyorlash milliy dasturi” yuksak umumiy madaniyatga, kasb–hunar
ko`nikmalariga, ijodiy va ijtimoiy faollikka, mantiqiy mushohada qilish hamda
ijtimoiy hayotdagi muammolarning oqilona е chimlarini topish mahoratiga ega
bo`lgan, istiqbol vazifalarini odilona baholay oladigan kadrlar yangi avlodini
shakllantirish, shuningd е k, har tomonlama barkamol, ta’lim va kasb–hunar
dasturlarini ongli ravishda mukammal o`zlashtirgan, mas’uliyatli fuqarolarni
tarbiyalashni nazarda tutgan p е dagogik g`oyani ilgari suradi.
Istiqlol tufayli o`zining mustaqil taraqqiyot yo`lidan borayotgan jamiyatimiz
kun sayin d е mokratlashib, davlat, jamiyat va shaxs munosabatlari tobora ko`proq
mantiqiy mushohada qilish tamoyillariga asoslanmoqda. Ta’lim tizimi oldidagi
davlat buyurtmasi O`zb е kiston R е spublikasi “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”
ning asosiy g`oyalarida o`z aksini topgan.
Jamiyat rivojlanishining hozirgi bosqichida barkamol insonni tarbiyalash eng
asosiy, k е chiktirib bo`lmaydigan muhim vazifalardan biridir. Birinchi
Pr е zid е ntimiz Islom Karimov ta’kidlaganid е k: “Sog`lom avlodni tarbiyalash buyuk
davlat poyd е vorini, faravon hayot asosini qurish d е ganidir” [4, 3]. Shu jihatdan
olganda, mamlakatimizda sog`lom avlod dasturi harakatining k е ng tus olgani,
“Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” asosida ta’lim–tarbiya tizimining tubdan isloh
etilayotgani ham ana shu ulug`vor vazifani amalga oshirish yo`lidagi muhim
qadamdir.
O`zb е kiston R е spublikasi mustaqil Davlat suv е r е nligini qo`lga kiritgan
birinchi kunlaridanoq uzluksiz ta’lim tizimida amalga oshirilayotgan k е ng
islohotlar milliy ta’lim–tarbiya tizimini takomillashtirishga, zamon talablari bilan
uyg`unlashtirilgan, jahon andozalari darajasiga mos “milliy mod е lni” hayotga
tadbiq qilishga qaratildi. Jamiyatimizdagi fuqarolar tafakkurini yangilash, milliy
o`zlikni anglash, milliy va umumbashariy qadriyatlarni o`zlashtirish orqali,
o`quvchilarning ist е ’dodlari, qobiliyatlarini tadqiq etish, est е tik tafakkurini
shakllantirish va rivojlantirish davlat umummilliy siyosati darajasidagi
masalalardan biri sifatid b е lgilab b е rilishi yosh avlodni har tomonlama kamol
toptirish uchun ta’lim– tarbiyaning barcha sohalarida, ularning omillari va
vositalarini ishga solishni taqozo etmoqda. b е lgilab b е rilishi yosh avlodni har
tomonlama kamol toptirish uchun ta’lim– tarbiyaning barcha sohalarida, ularning
omillari va vositalarini ishga solishni taqozo etmoqda.
Kurs ishining maqsadi: Talabalarga geometriyani o’qitishning an’anaviy
talim metodi haqida umumiy ma'lumotlar va ularning o'ziga xos xususiyatlarini
2

tushuntirish, ular yordamida dasturi tuzishni va uni o‘qiy olishni o‘rgatish orqali
talabalarni geometriya fanlariga qiziqishlarini yanada oshirish.
Kurs ishining vazifasi: Bo’lajak geometriya o’qituvchilariga an’anviy talim
metodi bo’yicha tayyorgarlik tizimi mazmunining nazariy va amaliy holatini
o‘rganish va tahlil qilish; -talabalarga turli loyihalarni tasvirlashdagi o’ziga xos
xususiyatlarni va ularning turlari haqida tushunchalar berish va takomillashtirish; -
talabalarning mavzu yuzasidan bilim, ko'nikma va malakasini shakllantirish.
Kurs ishining ob’yekti: Oliy ta’lim tizimida “Matematika” bakalavriyat
ta’lim yo‘nalishi talabalariga nazariy va amaliy ta’lim berish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Bo‘lajak muhandislarni tayyorlash
bo‘yicha tahsil olayotgan talabalarning geometriya muhandisligi ilmini egallash
jarayonidagi ta’lim mazmuni va texnologiyasi.
Kurs ishining tuzilishi va tarkibi: Kurs ishi kirish, ikki bob, to’rt paragraf,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.
3

I BOB . Yevklid geometriyasini aksiomatik asosda qurishdagi turli
yondashuvlar
1.1. Affin almashtirishning analitik ifodasi
Geometriya asoslari matematikaning bir qismi bulib, unda geometriyaning
asosiy tushunchalari, aksiomalari va umuman geometrik sistemaning deduktiv
tarzda qurilishi, shuning bilan birga aksiomalar orasidagi munosabatlar urganiladi.
Bu goyalar moxiyatini tushunish va ularning yuzaga kelish sabablarini faxmlash
uchun qisqacha bulsada, tarixga nazar tashlash zarur.
Matematikada aksiomatik (deduktiv) metodning yaratilishiga grek
olimlaridan Pifagor, Aristotel ь , Platon, Yevklid ilk qadam quyganlar. Bu borada
ayniqsa Yevklidning (eramizdan avvalgi 340— 287-y.y.) xizmati katgadir.
Yevklid «Negizlar» («Asoslar») deb atalgan asarida geometriyani mantiqiy
jixatdan mukammal asoslash ma^qsadida avval ta'riflar keltirib, keyin aksiomalar,
postulatlar sistemasini kabul qildi. Shu asosda u uz zamonasi talablariga tula-tukis
javob beradigan geometriya «binosini» kurishga erishdi.
Noyevklidiy geometriyaning vujudga kelishi va tuplamlar nazariyasining
yaratilishi fanning deyarli barcha tarmoqlari uchun muxim omil rolini uynadi.
Aksiomatik, metodning modiyatini tushunish maqsadida maktabda
Urganiladigan geometriya kursiga murojaat qilaylik. Unda bir qancha teoremalar
isbotlangan bulib, isbotlangan xar bir teorema uzidan oldin kelgan teoremalarga
asoslanadi, shu yusinda ish kurishda isbotsiz qabul kilinishi zarur bulgan ibora
(jumla) lar va tushunchalarga duch kelamiz: natijada ta'rifsiz qabul qilingan
ob'ektlar (masalan, nukqta, tugri chiziq, tekislik, masofa tushunchalari), ularni
boglovchi nisbatlar (masalan, nuqtaning tugri chizikda yotishi, tugri chizikdagi
nuqtaning shu tugri chizikdagi boshka ikki nuqta «orasida» yotishi, kesma va
burchaklarning teng (kongruent) ligi) vujudga keladi.
Asosiy ob'ektlar, ularni boglovchi nisbatlar va tegishli aksiomalar
sistemasini tanlab olish muxim masaladir. Aksiomatik metod asosida muxokama
yuritishni qisqaroq qilib quyidagicha tavsiflash mumkin: avvalo. ta'riflanmaydigan
asosiy ob'ektlar tanlab olinadi, keyin ularni uzaro boglovchi asosiy munosabatlar
— aksiomalarsistemasi tanlab olinadi, so’ngra esa shu aksiomalar asosida mantiq
(logika) qoidalariga asoslangan xolda yangi- yangi jumlalar (teoremalar)
isbotlanadi.
Aksiomalar sistemasiga quyiladigan talablar
Kabul silinadigan aksiomalar sistemasi suyidagi talablarga javob berishi
kerak:
1) mantiq qonunlari asosida aksiomalar sistemasidan bir-birini inkor etuvchi ikkita
jumla (gap) kelib chiqmaydigan bulsin, ya'ni aksiomalar sistemasi zidlikka ega
bulmasin;
4

2) muayyan aksiomalar sistemasida ishtirok etadigan xar bir aksioma
qolganlarining mantiqiy xulosasi bulmasligi—teorema sifatida isbot lanmasligi,
ya'ni aksiomalar sistemasidagi xar bir aksioma erkinlik xususiyatiga ega bulishi
kerak;
3) aksiomalar sistemasi katoriga shu sistemadan mantitsai kelib chiqmaydigan
yangi aksiomani qushish mumkinmi, ya'ni aksiomalar sistemasi tuliq
(mukammal)lik xossasiga buysunadimi?
Geometriyani aksiomatik surishdagi bu muxim savollarga XIX asrdagina
tula javob topildi. Bu savolga javob berishda ular rus matematigi N. I.
Lobachevskiy ijodi va XIX asr olimlaridan Ye. Beltrami, A. Puankare, F. Kleyn
tadqiqotlari xal qiluvchi rol uynadi. Aksyomalarning belgili sistemasi asosida olib
boriladigan muxokamalarning zidlikka olib kelish - kelmasligi masalasini xal qilib
berish uchun matematikada model (interpretatsiya, sharxlanish) goyasi ishlatiladi.
Ta'rif. Ma'lum ob'ektlarning biror tuplami anitslangan bulib, shu tuplam
elementlari orasida asosiy munosabat (nisbatlar) saqlanib, unda aksiomalarning
barcha shartlari bajarilsa, bu aksiomalar sistemasining modeli qurilgan deyiladi.
Misollar. 1. Butun sonlar tuplami sushish amaliga nisbatan, gruppa tashkil
silgani uchun, bu tuplam gruppaviy aksiomalar sistemasining modeli bula oladi
(bunda asosiy ob'ektlar butun sonlar bulib, asosiy munosabat qushish amalidir).
2. Tekislikdagi barcha geometrik vektorlar tuplami chiziqli fazo xosil qilgani
uchun, u chiziqli fazo aksiomalari sistemasining modeli bula oladi (bunda asosiy
ob'ekt geometrik vektor bulib, asosiy nisbatlar vektorlar ustidagi chiziqli amallar
— qushish, vektorni son (skalyar) ga kupaytirishdir).
Ta'rif. Aksiomalar sistemasidan bir-birini inkor qiladigan ikkita jumla
mantiqan kelib chiqmasa, bu sistema zidsiz (qarama-qarshiliksiz) sistema deb
ataladi. Aks xolda aksiomalar sistemasi zidli sistema deyiladi.
Matematikada zidli sistema bilan ish kurilmaydi. Aksiomalar sistemasining
zidsizligi sanday isbot silinadi?
Aksiomalar sistemasining zidsizligi shu sistema modelining tanlab olinishi
bilan xal qilinadi. Agar tekshiriladigan aksiomalar biror usul bilan modelda
bajarilsa va bu model obektlarining tabiatida zidlikning yuqligiga ishonch xosil
qilinsa, u xolda bu aksiomalardan bir-birini mantiqan inkor etadigan ikkita jumla
kelib chiqmasligi, ya'ni bitta faktni' xam tasdiqlab, xam inkor etib bulmasligi
ma'lum buladi. Demak, biz yuqorida keltirgan misolimizda gruppaviy aksiomalar
sistemasining va chiziqli fazo aksiomalari sistemasining zidsiz ekanini kursatdik,
deyishimiz mumkin.
Ta'rif. Zidsiz aksiomalar sistemasidagi xar bir aksioma shu sistemadagi
solgan barcha aksiomalarning mantiqiy xulosasi bulmasa, bunday aksiomalar
sistemasi erkin sistema deb ataladi,
5

Bundan kurinadiki, aksiomalar sistemasining erkin bulish talabi xar bir
aksiomaning solgan aksiomalarning xulosasi (natija) si emasligini tekshirish bilan
isbotlanadi. Bu masala quyidagicha xal qilinadi.
Aksiomalarning zidsiz A
1, A
2 , . . ., A
n sistemasiga qarashli, masalan, A
n
aksiomaning erkin ekanligini kursatish uchun bu sistemadan A
n ni chiqarib tashlab,
uning urniga A
n aksioma, ya'ni A
n ning mazmunini inkor etuvchi jumla iborani
kiritib, aksiomalarning yangi sistemasini xosil qilish va uning zidsizligini isbotlash
kerak. Xaqiqatan xam, agar A
n aksioma A
1, A
2 , …,A
n-1 , aksiomalarning natijasi
sifatida xosil qilinsa, u xolda bu aksioma A
1, A
2 ,..,A
n-1 aksiomalarning xam natijasi
bulib chiqadi. Bu esa avvalgi sistemaning zidligini bildiradi.
Aksiomalar sistemasidagi biror aksiomaning erkinligi, ya'ni uning mustaqil
aksioma ekanligini bu sistemadagi aksiomalar sonini kamaytirish mumkin
emasligidan darak beradi.
Aksiomalar sistemasining erkinligini tekshirishda xar bir aksiomaning
erkinligi aloxida tekshirilmaydi, chunki tegishli isbotlar juda sermexnatdir, lekin
ba'zi «shubxali» aksiomalarga nisbatan erkinlik talabi tekshiriladi.
Aksiomalar sistemasining tuliqligining mazmuni shundan iboratki, yangi
aksiomalar qushmasdan turib, shu nazariyaga taalluqli xar bir da'voning shu
sistemaga tayangan xolda urinliligini yoki inkorini aytish mumkin bulsin. Bu
talabning amalga oshirilishi odatda sistema uchun kurilgan ikki model orasidagi
izomorfizm deb ataladigan tushunchaga asoslanadi.
Ta'rif. Aksiomalar sistemasining ikki E, E' modelining asosiy obekta (nuqta,
tugri chiziq, tekisliklar) orasida uzaro bir qiymatli moslik urnatilgan bulib, bu
moslikda element (ob'ekt) lar ikkala modelda xam bir xil nisbatda bulsa, ya'ni
A € E=> A’€ E’ bulsa, bu ikki model izomorf deyiladi.
Ta'rif. Aksiomalar sistemasiga taalluqli istalgan jumlaning tug’ri yoki
notug’ri ekanini aniqlash mumkin bulsa, aksiomalarning bu sistemasi tuliq
(mukammal) deb ataladi.
Aksiomalarning zidsiz ∑ sistemasi berilgan bulsin, shu sistema asosida
surilgan nazariyaning barcha jumlalar uch sinfga ajrachish mumkin:
I. ∑ va undan mantiqan kelib chikkan natijalar yordamida isbotlash mumkin
bulgan jumlalar.
II. ∑ va undan mantiqan kelib chikkan natijalar yordamida inkor etish
mumkin bulgan jumlalar.
III. ∑ va Undan mantiqan kelib chiqqan natijalar yordamida, isbot xam kilib
bulmaydigan, inkor xam kilib bulmaydigan jumlalar!
Demak, ∑ ning biror modeli qurilgan bulsa, I sinfga kiruvchi barcha
jumlalar shu modulda urinli buladi, II sinfga kiruvchi barcha jumlalar shu modelda
urinli bulmaydi, nixoyat, III sinfga kiruvchi jumlalar shu modelda urinli bulib,
uning boshqa shunday modeli mavjud bulishi mumkinki, unda bu jumlalar urinli
bulmay
6

di. Bundan kurinadiki, ∑ ning istalgan ikki modeli uzaro izomorf bulsa,
aksiomalarning bunday sistemasi tuliq buladi. Buning ma'nosi shundan iboratki,
aksiomalarning tulik sistemasi uchun turli modellar fakat uzining asosiy ob'ekt
(element) larga beriladigan konkret mazmuni bilan farq qiladi, mantiliy jidatdan
ular bir xildir.
Demak, aksiomalarning biror sistemasining tuliqligini isbotlash uchun uning
kamida ikkita modelini olib, ularning uzaro izomorfligini kursatish kifoya. Bu
fikrdan biz keyingi boblarda foydalanamiz.
Matematikada aksiomalarning tuliq bulmagan sistemasi bilan xam ish
kurishga tugri keladi. Masalan, gruppaviy aksiomalar sistemasi turtta aksiomadan
iborat bulib, u tuliq emas, chunki bu sistemaning bir-biriga izomorf bulmagan
ikkita modelini kursatish mumkin. Xaqiqatdan, ratsional sonlar tuplami qushish
amaliga nisbatan gruppa tashkil kiladi, bundan tashqari barcha haqiqiy sonlar
tuplami xam qushish amaliga nisbatan gruppa xosil kiladi. Lekin bu ikki model
orasida izomorf moslik xosil qilish mumkin emas, chunki ratsional va haqiqiy
sonlar tuplamlari orasida uzaro bir qiymatli moslik mavjud emas.
7

1.2. Pogorelov akseomalar sistemasi
Geometriyadan maktab kursi uchun darslik sifatida qabul silingan kitobida
A. V. Pogorelov uz aksiomatikasini taklif etgan. Bu u sistema uchun asosiy
tushunchalar nuqta, tugri chiziq, tekislik, tegishli, orasida yotadi, uzunlik,
burchakning gradus ulchovi. Bu tushunchalarning asosiy xossalari suyidagi
aksiomalarda bayon silinadi.
I. Tegishlilik aksiomalari
I
1 . Istalgan ikki nutstadan utuvchi tug’ri chiziq mavjud va u faqat bittadir.
I
2 . Istalgan tugri chiziqda kamida ikkita nuqta yotadi. Bir tug’ri chizitsda
yotmaydigan uchta nutqa mavjud.
I
3 . Istalgan tekislikka tegishli nuqtalar va unga tegishli bulmagan nuqtalar
mavjud.
I
4 . Agar ikki tekislik umumiy nuqtaga ega bulsa, ular tugri chiziq buylab
kesishadi.
I
5 . Agar ikkita turli tug’ri chiziq umumiy nuqtaga ega bulsa, ular orqali bitta
va faqat bitta tekislik utkazish mumkin.
Bu aksiomalar yordamida ushbu teoremalarni isbotlash mumkin
(tekislikdagi teoremalar bilan cheklanamiz).
1. Ikkita turli tug’ri chizi yo kesishmaydi, yoki faqat bitta nuqtada kesishadi.
2. Dar sanday tugri chizitstsa tegishli bulmagan nutsta mavjud.
II. Tartib aksiomalari.
II
1 . Tugri chiziqdagi uchta nuqtadan bittasi va faqat bittasi qolgan ikkitasi
orasida yotadi.
II
2 . Tekislikdagi tug’ri chiziq shu tekislikning tug’ri chiziqda yotmagan
nuqtalarini ikkita yarim tekislikka shunday ajratadiki, bitta yarim tekislikka tegishli
nuqtalarni tutashtiruvchi kesma berilgan tug’ri chiziq bilan kesishmaydi, xar xil
yarim tekisliklarga tegishli nuqtalarni tutashtiruvchi kesma berilgan tug’ri chiziq
bilan kesishadi.
Tartib aksiomalaridan sung, nur, kesma, siniq chiziq, kupburchak,
uchburchak va xokazo tushunchalar kiritish mumkin. Gilbert aksiomalari
sistemasidagi Pash aksiomasi teorema sifatida isbotlanadi.
III. Kesma va burchaklar uchun ulchov aksiomalari.
III
1 . Xar bir kesma noldan katta tayin uzunlikka ega. Agar C nuqta kesmada
yotsa, AB ning uzunligi AC va CB kesmalar uzunliklarining yigindisi ga teng.
III
3 . Xar bir burchak noldan katta tayin gradus ulchoviga ega. Yoyiq burchak
180° ga teng. Burchakning gradus ulchovi uzining tomonlari orasidan utuvchi xar
qanday nur yordamida ajratilishidan xosil qilingan burchaklarning gradus
ulchovlari yigindisiga teng.
8

Bu gruppadagi aksiomalar yordamida kesma uzunligi va burchak kattaligini
ulchash masalasi tula xal qilinadi, bundan tashkari tug’ri chiziqda koordinatalar
sistemasini kiritish imkoniyati yaratiladi. Turtinchi gruppa aksiomasini kiritishdan
oldin kesmalar, burchaklar, uchburchaklar tengligi tushunchalariga ta'rif beriladi.
IV. Byerilgan uchburchakka teng uchburchakning mavjudligi xaqida
aksioma.
IV. ABC uchburchak va nur berilgan bulsin. U xolda ABC uchburchakka
teng shunday A
1 B
1 C
1 uchburchak mavjudki, uning A
1 nuqtasi nurning uchi bilan
ustma-ust tushadi, B
1 nuqta esa nurda yotadi. C nuqta esa a nur orqali utuvchi
tug’ri chiziq bilan anilanadigan yarim tekisliklardan berilganida yotadi.
V. Uzunligi berilgan kesma ning mavjudligi xaqidagi aksioma.
V. Xar qanday xaqiqiy d musbat son uchun uzunligi shu d ga teng kesma
mavjud.
VI. Parallellik aksiomasi.
VI. Berilgan tugri chizikda yotmaydigan nukqta orkali tekislikda berilgan
tug’ri chizikda bittadan ortiq parallel tugri chiziq o’tkazish mumkin emas.
Pogorelov aksiomalari sistemasi 12 ta aksiomadan iborat bulib, I
3-5
aksiomalar fazoga taalluqlidir. Shu aksiomalar asosida Yevklid geometriyasi tula
bayon qilinadi. Bu aksiomatikaning muxim tomonlaridan biri kesma uzunligi va
burchak ulchovi tushunchalari asosiy tushunchalar qatoriga kiritilgan, bu esa
umuman geometriyani mantikan ixchamrok, qilib qurishga yul ochadi.
9

1.3. Veyl aksiomalar sistemasi
1916 yilda nemis matematigi German Veyl (1885— 1955) tomo nidan taklif
kilingan aksiomatika fanda vektorli aksiomatika deb yuritilib, Gilbert aksiomalari
sistemasiga nisbatan soddaligi bilan farq qiladi, bundan tashqari bu aksiomatika
xozirgi zamon matematikasini talay bulimlari bilan uzviy boglanganligi bilan
ajralib turadi.
Bu sistemada asosiy tushunchalar sifatida «Vektor» va «Nuqta» qabul
qilingan.
Vektorlar va nuqtalarni bir-biri bilan bog’lovchi munosabatlar «vektorlarni
qushish», «vektorni songa kupaytirish», «vektorlarni skalyar kupaytirish»,
«vektorlarni nutqadan boshlab quyish» dir. Bu munosabatlarning barcha xossalari
quyidagi besh gruppa aksiomalarida uz ifodasini topgan. (Biz bu yerda
aksiomalarni keltirish bilan chegaralanamiz
I. Vektorlarni qushish aksiomalari.
Istalgan ikki vektorga ularning yig’indisi deb ataladigan vektor
mos keltirilib, bu a mal xossalari ushbu aksiomalarda ifodalanadi:
I
1. Ixtiyoriy vektor uchun tenglik bajariladi.
I
2 . Ixtiyoriy vektorlar uchun tenglik
bajariladi.
I
3 . Nol vektor deb atalgan vektor mavjud bulib, ixtiyoriy vektor uchun
I
4 . Xar qanday vektor uchun shunday vektor mavjudki, uning uchun
II. Vektorni songa kupaytirish aksiomalari.
Istagan vektor va istagan xaqiqiy k songa ularning kupaytmasi deb
ataladigan vektor mos keltirilib, bu amal xossalari ushbu aksiomalarda
ifodalanadi:
II
1 . Ixtiyoriy vektorlar va k xaqiqiy son uchun
tenglik bajariladi.
II
2 . Ixtiyoriy k, t xaqiqiy sonlar va xar sanday vektor uchun
bulsin, ya'ni vektorni songa kupaytirish munosabati xaqiqiy sonlarni qushish
amaliga nisbatan distributiv sonuniga buysunishi talab silinadi.
II
3 . Ixtiyoriy k, t xaqiqiy sonlar va xar sanday vektor uchuk
tenglik bajariladi.
II
4 . Ixtiyoriy vektor uchun
10

Bu ikki gruppa aksiomalari yordamida vektorlarning chiziqli
kombinatsiyasi, chiziqli erkinligi, chiziqli bog’liqligi va shu kabi tushunchalarni
kiritish mumkin.
III. Ulchov aksiomalari.
III
1 . Fazoda uchta chizitsli erkin vektor mavjud.
III
2 . Fazodagi xar sanday turtta vektor chiziqli bog’liqdir.
IV. Vektorlarni skalyar kupaytirish aksiomalari.
IV
1 . Ixtiyoriy ikki vektor uchun
IV
2 . Ixtiyoriy uchta vektor uchun
IV
3 . Ixtiyoriy vektor va xaqiqiy k son uchun
IV
4 . Ixtiyoriy vektor uchun
V. Vektorni nuktadan boshlab quyish aksiomalari.
V
1 . Ixtiyoriy vektor va xar qaday M nuqta uchun yagona shunday N nuqta
mavjudki, uning uchun .
V
2 . Ixtiyoriy A,V,C nuqtalar uchun .
Veyl aksiomalari yordamida xam Yevklid geometriyasini tula bayon qilish
mumkin.
Biz shu paragrafning boshida Veyl aksiomalari xozirgi zamon
matematikasining boshqa bulimlari bilan uzviy boglanganligini ta'kidlagan edik,
xaqiqatdan xam, yukorida keltirilgan aksiomalar sistemasiga diqqat bilan nazar
tashlasak, I gruppa aksiomalari algebradagi kommutativ gruppa aksiomalari, I, II
gruppa aksiomalari esa birgalikda xozirgi zamon matematikasida muxim rol
uynaydigan chiziqli fazo aksiomalaridir. Bundan tashkari I, II, III, V gruppa
aksiomalari birgalikda uch ulchovli affin fazosining aksiomatikasi xisoblanadn.
Endi, yakun sifatida yuqorida quyilgan Yevklid geometriyasining uch xil
aksiomatikasini quyidagi jadvalga joylashtiraylik.
Aksiomalar
sistemasi Asosiy obektlar
(tushunchalar) Asosiy
munosabatlar
(nisbatlar) Aksiomalar
gruppasining nomi
D . Gilbert nuqta,
tug’ri
chizik,
tekislik «Tegishli»
«Orasida»
«Kongruentlik» Tegishlilik
aksiomalari
Tartib aksiomalari
Kongruentlik
aksiomalari
Uzluksizlik
aksiomasi
Parallellik
aksiomasi
G. Veyl vektor, «Vektorlarni Vektorlarni
11

nutsta qushish»,
«Vektorlarni
songa
kupaytirish»,
«Vekyurni skalyar
kupaytirish»,
«Vektorni
nuktadan
boshlab quyish» qushish
aksiomalari
Vektorlarni songa
kupaytirish
aksiomalari
Ulchov
aksiomalari
Vektorlarni
skalyar
kupaytirish
aksiomalari
Vektorlarni
nuktadan
Boshlab quyish
aksiomalari
A. Pogorelov nuqta,
tug’ri chizik,
tekislik, uzunlik,
burchakning
gradus ulchovi «Tegishli» (yoki «
...da yotadi»),
«Orasida yota
di» Tegishlilik
aksiomalari
Tartib aksiomalari
Kesma va
burchaklar uchun
ulchov
aksiomalari
Berilgan
uchburchakka
teng
uchburchakning
mavjudligi
xaqida aksioma
Uzunligi berilgan
kesmaning
mavjudligi xaqida
Aksioma
Parallellik
aksiomasi
12

II BOB. Yevkilet geometriyasini gilbert akseomalar sistemasi asosida qurish
2.1. Gilbert aksiomalar sistemasi
Butunjahon matematiklarining II-xalqaro kongressida olmon matematik
olimi David Gilbert (1862-1943) «Matematika muammolari» deb nomlanuvchi
tarixiy ma'ruzasini o‘qib eshittirdi. Mazkur ma'ruzada 23 ta murakkab matematika
masalalar ro‘yxat tariqasida beyon qilingan bo‘lib, ma'ruzachining ta'rifiga ko‘ra,
matematika fanining keyingi taraqqiyoti ko‘p jihatdan ushbu masalalarning
yechilishi bilan uzviy bog‘liq bo‘lishi taxmin qilingan. Gilbert haq bo‘lib chiqdi. U
o‘sha kongressda bayon qilgan ro‘yxatdagi murakkab matematik masalalarning
yechimiga keyingi bir necha avlod matematiklar uchun eng oliy ilmiy maqsadga
aylandi. Hozirda Gilbert masalalarining aksariyati o‘z yechimini topgan, lekin ular
ichida hanuz olimlarga tinchlik bermayotganlari ham bor.
Gilbertning o‘sha mashhur ma'ruzasidan uch yilcha avvalroq boshqa bir
nufuzli olim Anri Puankare (1854-1912) Syurix kongressi uchun shunga o‘xshash
ma'ruza tayyorlagandi. o‘z ma'ruzasida Puankare matematik analiz va matematik
fizika orasidagi o‘zaro uzviylik masalalariga e'tibor qaratgan bo‘lib, ularning hal
etilishi ya'ni, isbotlanishi matematika va fizikaning keyingi rivoji uchun ulkan
qadam bo‘lishini ta'kidlagan.
Parij kongressi uchun Gilbertga shunga o‘xshash ma'ruza qilish taklifi bilan
chiqishganida, olim bu fikrni Puankarega nisbatan behurmatlik bo‘lishini aytib rad
etgan edi. Lekin, Gilbertning do‘sti va salohiyatda undan kam bo‘lmagan boshqa
bir matematik olim German Minkovskiy, uni bu borada umuman boshqacha yo‘l
tutish mumkinligiga ishontirdi. Uning maslahatiga ko‘ra, Gilbert o‘z ma'ruzasida
o‘sha davrning eng murakkab masalalari sifatida qaralayotgan, hamda, yaqin
kelajak matematiklari hal etishi (isbotlashi) lozim deb qaralgan muammolarni
o‘rtaga tashlashi kerak edi. Shunday qilib, Minkovskiyning maslahati bilan, Gilbert
mana yaqin 100 yildan ziyod vaqtdan buyon dunyo matematiklarini aqlini
shoshirib kelayotgan 23 ta muhim va murakkab matematik masalalar ro‘yxatini
e'lon qildi.
Gilbert o‘z maruzasida matematikaning keyingi taraqqiyoti uchun eng
muhim deb hisoblagan bo‘limlariga katta e'tibor qaratgan. Masalalarni saralashda
eng birinchi mezon, qo‘yilgan muammoning murkkabligi professional
matematiklarning diqqatini torta oladigan darajada yetarlicha qiyin bo‘lishi, shu
13

bilan birga u albatta yechimga ega bo‘lishi lozim edi. Shuningdek ikkinchidan,
Gilbert iddaosiga ko‘ra, mazkur masalalarning bayoni, ya'ni, sharti «birinchi duch
kelgan odamga ham tushuntirsa bo‘ladigan darajada ravon bo‘lishi» kerak edi.
Gilbertning birinchi muddaosi o‘zi istaganidek amalga oshdi. Ikkinchisi esa
faqat rasmiy bir mulohaza o‘laroq qolib ketdi. Zero nafaqat Gilbertning o‘sha
mushkul matematik muammolarini, balki, o‘rtacha murakkablikdagi har qanday
matematik masalani ham, birinchi duch kelganga tushuntirsa bo‘ladigan sodda va
ravon bayon qila bilish uchun, o‘sha birinchi duch keluvchini Gyottingen yoki,
Prinston kabi oliy matematika institutlari yo‘laklarida poylash kerak.
Ma'ruzaning o‘zida vaqt tig‘izligi sababli Gilbert faqat 10 ta masala
bayoniga to‘xtalgan xolos. Lekin u yuqorida ham aytilganidek, aslida 23 ta
muammodan iborat bo‘lgan. Ushbu muammolarni shartli ravishda to‘rtta kichik
guruhlarga ajratish mumkin. Birinchi guruhga matematika asoslariga taaluqli
bo‘lgan masalalar tegishl bo‘lib, 1-6 masalalarni o‘z ichiga oladi. ikkinchi guruh 7-
12 raqamli masalalardan iborat bo‘lib, sonlar nazariyasiga taaluqli masalalardan
iborat bo‘lgan. 13-17 raqamli masalalarni o‘z ichiga olgan uchinchi guruhda,
Gilbertning ta'biri bilan aytganda sof matematika'ga taaluqli bo‘lgan, ya'ni, algebra
va funksiyalar nazariyasini qamrab oluvchi muammolar bayon etilgan. 19-23
raqamli masalalardan iborat to‘rtinchi guruhda esa mohiyatan matematik analizga
tegishli muammolar o‘rtaga tashlangan. Ular bilan quyidagi jadvalda tanishishingiz
mumkin.
№ Sharti Hozirgi holati
1 Kantroning kontinuum-gipotezsi Yechilgan
2 Arifmetika aksiomalarining o‘zaro zid emasligi Yechilgan
3 Ixtiyoriy ko‘pyoqni shunday qismlarga bo‘lish
kerakki, ushbu qismlardan aynan o‘sha ko‘pyoq
hajmiga teng hajmdagi kub yasash mumkin
bo‘lsin. Yechilgan
4 Geodezik chiziqlari to‘g‘ri chiziq bo‘lgan
metrikalarni aniqlash Yechilgan
5 Uzluksiz guruhlar Li guruhlari ekanini aniqlash Yechilgan
14

6 Fizika aksiomalarini matematik mohiyati Yechilmagan
7 Muayyan sonlarning transsendentligi Ko‘plab xususiy hollar
uchun yechilgan. Umumiy
hol uchun yechilmagan.
8 Riman va Goldbax gipotezalarini qamrab
oluvchi tub sonlar bilan bog‘liq muammo Yechilmagan
9 Tub sonlarning o‘zaro yaqinligi nazariyasini
umumlashtirish Yechilgan
10 Diofant tenglamalarining yechimi uchun
algoritm topish Yechilgan
11 Ixtiyoriy algebraik son koeffitsiyentiga ega
bo‘lgan kvadratik shakllarni tadqiq qilish
(Irving Kaplanskiy ta'rifi) Yechilgan
12 Kronekerning abel maydonlari haqidagi
teoremasini ixtiyoriy algebraik maydonlarga
tadbiq etish Yechilmagan
13 Yettinchi darajali umumiy tenglamani faqat
ikkita o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan funksiya
yordamida yechish mumkinmi? Yechilgan
14 Butun sonli funksiyalar sistemasining
yakuniyligini isbotlash Yechilgan
15 German Shubertning (1848-1911) hisobiy
geometriyasi uchun qat'iy asoslash berish Yechilgan
16 Egri va algebraik yuzalar topologiyasi masalasi Yechilgan
17 Barcha shakllarni, ratsional funksiyalar
kvadratlarining yig‘indisi ko‘rinishida ifodalash
mumkinligini isboti. Yechilgan
15

18 Fazoni teng geometrik shakllar bilan qanchalik
turli xil usulda to‘ldirish mumkin? Yechilgan
19 Lagranjning muntazam variatsion masalasining
yechimi har doim ham analitik bo‘ladimi? Yechilgan
20 Drixlening chegaraviy shartlar masalasining
umumiy muammosi Yechilgan
21 Monodromiya guruhi va ma'lum kritik nuqtalar
bo‘yicha differensial fuks tenglamalarning
mavjudligini isbotlash Yechilgan
22 Avtomorf funksiyalar orqali, analitik
bog‘liqliklarni uniformizatsiya qilish Yechilgan
23 Variatsion hisoblash uslublarini rivojlantirish Yechilgan
Adolat yuzasidan aytish joizki, ushbu masalalarning aksariyati mohiyatan
faqat matematik masalagina bo‘lib qolmay, balki, butun boshli yangi bir nazariyani
shakllantiruvchi gipotezalarning markaziy muammosi sanaladi. Ularning
aksariyatining yechishga bo‘lgan urinishlar, keyinchalik katta ilmiy gipotezalarga
aylanib ketgan va butun boshla matematika olaida yangi yo‘nalishlar ochilishiga
sabab bo‘lgan. Bu jihatdan ham Gilbert matematiklar oldiga qo‘ygan maqsadga
erishildi desak mubolag‘a bo‘lmaydi. Vaqt o‘tishi bilan, Gilbert ro‘yxatidagi 6-, 8-
va 12-raqamli masalalardan tashqari qolgan barcha 20 ta masala o‘z yechimi yoki,
isbotini topdi.
Gilbert masalalarining shartini bayon qilishda ba'zi xilma-xilliklar mavjud.
Buning sababi esa, so‘nggi yillarda matematika fanining taraqqiyoti aql bovar
qilmas darajada keskin ilg‘orlikka erishgani bilan izohlanadi. Bu haqida Gilbert
orzu ham qilmagan bo‘lsa kerak. Jadvalda ham ko‘rganingizdek, uning masalalari
ilmiy va texnik atamalar bilan liq to‘la bo‘lgan o‘ta murakkab matematika
masalalardan iborat bo‘lgan. Jadvalda, allaqachon yechilgan va hamon o‘z
yechimini kutayotgan masalalar alohida rang bilan ajratib ko‘rsatilgan. Keling
ulardan ayrimlarining tafsilotlariga qisqacha to‘xtalib o‘tsak:
Kantorning kontinuum-gipotezasining isboti.
16

Ro‘yxatdagi birinchi masala Kantorning kontinuum gipotezasi bilan bog‘liq
bo‘lib, unda to‘plamlarning elementlari miqdori haqida so‘z boradi. Masalan
{a,b,c,d} to‘plam 4 ta elementga ega bo‘lib, uning quvvati 4 ga teng deb olinadi.
To‘plam quvvati tushunchasi, gap cheksiz miqdordagi elementlar soniga ega
bo‘lgan to‘plamlar haqida so‘z borganda alohida ahamiyat kasb eta boshlaydi.
Masalan, natural sonlardan iborat bo‘lgan to‘plamning quvvati, juft sonlar
to‘plamining quvvati P ga teng. Ushbu tasdiqni isbotlash uchun, to‘plamlar orasida
o‘zaro bir ma’noli muvofiqlikni o‘rnatish kerak. Har bir natural son uchun, shu
songa mos ravishda ikkiga ko‘paytirilgan qiymatni berib chiqsak: 1→2, 2→4,
3→6... ga ega bo‘lamiz.
Shunday qilib, qancha juft sonlar bo‘lsa, natural sonlar ham aynan shuncha
bo‘ladi. Kantor natural sonlar to‘plamining quvvatini 0ℵ bilan belgilagan. Shunday
qilib, |N|=N
0 deb yozish mumkin.
1 va 2 sonlari orasida boshqa hech qanday butun son yo‘q. Ayni vaqtda,
haqiqiy sonlar to‘plami cheksizdir. Barcha haqiqiy sonlar to‘plamining
quvvati R ning qiymati N dan katta bo‘lishi mantiqan to‘g‘ridek ko‘rinadi. Kantor
buning amalda ham aynan shunday ekanini isbotladi va R to‘plam quvvatini
kontinuum deb nomlab, uni c harfi bilan belgiladi.
Eslatib o‘tamiz, sonlarning to‘plamlari ketma-ketligi quyidagicha
ko‘rinishga ega:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Bunda Z bilan butun sonlar to‘plami, Q bilan ratsional sonlar to‘plami
va R bilan haqiqiy sonlar to‘plami ifodalangan (natural sonlar to‘plami - N).
Natural sonalr to‘plami butun sonlar to‘plamining ichki to‘plami, o‘z navbatida
butun sonlar to‘plami ham ratsional sonalr to‘plamining ichki to‘plami, ratsional
sonlar to‘plami esa, haqiqiy sonlar to‘plamining ichki to‘plami hisoblanadi.
Agar 0<c
ℵ bo‘lsa, ya'ni, natural sonlar to‘plami elementlarining soni, haqiqiy
sonlar to‘plami elementlasining sonidan qat’iyan kichik bo‘lsa, quyidagicha savol
kelib chiqadi: oraliq quvvatlar ham mavjudmi? Kantor bu oraliqda hech qanday
son mavjud emas deb taxmin bildirgan. Boshqacha aytganda, R to‘plamning
istalgan cheksiz ichki to‘plami A ning quvvati, yoki 0
ℵ ga, yoki c ga teng bo‘ladi.
Kantorning aynan shu gipotezasi kontinuum-gipoteza nomini olgan.
Ushbu gipotezaning amaliy mohiyatiga va umuman uning haq ekanligiga
shubha qiluvchi ko‘plab g‘arazli matematiklar mavjud bo‘lib, ularing e’tiroz va
qoralovlariga qaramasdan, Gilbert ushbu gipotezani o‘z ro‘yxatiga 1-raqam bilan
kiritdi. Chunki Gilbert o‘zi ushbu gipotezaning haqligiga ishonardi. U mazkur
gipoteza dushmanlariga qarata bir safar shunday degan edi: «Qanchalik
urinmangiz, bizni Kantor qurgan ko‘shkdan quvub chiqara olmaysiz!»
Umuman olganda to‘plamalar nazariyasining butun asosi, Sermelo-Frenkel
aksiomalari tizimi ustiga qurilgandir. Ular standart aksiomalar deyiladi. 1938 yilda
buyuk matematik olim Kurt Gyodel kontinuum-gipotezani Sermelo-Frenkel tizimi
17

doirasida inkor etishning iloji yo‘qligini isbotladi. 1966 yilda esa Pol Koen,
kontinuum-gipotezani isbotlash uchun Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimining o‘zi
kifoya qilishini isbotladi. Shu tarzda, kontinuum-gipotezani to‘plamlar
nazariyasining standart aksiomalar tizimi doirasida inkor etishning ham,
isbotlashning ham iloji yo‘q.
Arifmetika aksiomalarining o‘zaro zid emasligi.
Gilbert ro‘yxatida ikkinchi raqam bilan qayd etilgan masala arifmetika
aksiomalarining o‘zaro zid emasligini isbotlashni taqozo etadi. Unga ko‘ra,
arifmetika ham Yevklid geometriyasi singari, qator aksiomalar ustida barpo
qilinadi deb qaraladi. Agar biz qandaydir biror teoremani isbotlashni istasak, biz
aynan o‘sha aksiomalarga tayanuvchi mantiqiy mulohazalar zanjirini tuzib
chiqamiz. Aksiomalar esa isbot talab qilmaydigan haqiqatlar deb qabul qilinadi.
Gilbert shunday aksiomalar to‘plamida hech biri boshqasiga zid kelmasligini
isbotlanishini istagan. Boshqacha aytganda, ushbu to‘plamdagi aksiomalarning
istalgan biror sondagisini olib, ular orqali mantiqiy mulohazalar yuritish bilan,
boshqa biror aksiomaga zid xulosaga kelish mumkin emas. Ushbu masalani ham,
1-raqamli masalaning yechimi muallifi buyu Kurt Gyodel hal etgan bo‘lib, u
o‘zining to‘liqsizlik haqidagi ikkinchi teoremasi orqali rad etgan. Unga ko‘ra,
arifmetikaning ziddiyatga ega emasligini, arifmetikaning o‘zining uslublari orqali
isbotlashning imkoni yo‘q.
Fizikani aksiomalash mumkinmi?
Gilbert o‘z ma'ruzasining boshlang‘ich matnida oltinchi masalasi sifatida,
«fizika fanining shunday sohalarini tadqiq qilish kerakki, ularda asosiy o‘rinni
matematika tutsin; birinchi navbatda bunga ehtimollar nazariyasi va mexanika
kiradi» deya e'tirof etgan.
Ehtimollar nazariyasi aksiomatikasini 1933-yilda buyuk rus matematigi
Andrey Nikolayevich Kolmogorov aniqlagan. Fizikaning aksiomatizatsiyasi
borasidagi masalani hal qilishda esa Jon fon Neyman va boshqa olimlar ham katta
jonbozlik ko‘rsatishgan. Shunga qaramay, eng kuchli matematik olimlar
tomonidan ham hozirda shunday fikrlar o‘rtaga tashlanmoqdaki, eksperimental
natijalarning benihoya murakkabligi aksiomalar sistemasning beqarorlashuviga
olib kelishi mumkin va shu vajga ko‘ra, mazkur masala borasida muayyan isbotga
erishish g‘oyat mushkuldir.
Ushbu masala, Gilbert muammolari ichida hanuz o‘z isboini kutayotgan
uchta masaladan birinchisidir (tartib bo‘yicha, 6-raqamli masala).
Muayyan sonlarning transsendentligining isboti, xususan 2√2 uchun.
Gilbert muammolari ro‘yxatidagi yettinchi masalaning sharti aynan shunday
yangraydi. Agar muayyan son butun koeffitsiyentli ko‘phadning ildizi (yechimi)
bo‘lsa, u algebraik son deyiladi. Masalan 2/3 – algebraik sondir. Chunki u 3x=2
tenglamaning yechish orqali aniqlanishi mumkin. Har qanday ratsional son
algebraik son bo‘ladi. Biroq, irratsional sonlar ichida ham algebraik, xususan √2 (u
18

x2-2=0 tenglamaning yechimi hisoblanadi) kabi, hamda noalgebraik, xususan π
va e kabi sonlar mavjud. Aynan shunday ( π va e kabi) turkumdagi sonlarni
transsendentlar deyiladi. Sonning transsendentligini isbotlash juda mushkul. Agar
biz natijasi aynan biz ega bo‘lib turgan son bo‘luvchi butun koeffitsiyentli
tenglamani topa olmasak, bu baribir amalda shunday tenglama yo‘q degan
xulosani bermaydi. Gilbert quyidagicha masalani ko‘rib chiqishni taklif qilgan:
agar α ( α ≠0, α ≠1) algebraik son bo‘lsa, β esa irratsional son bo‘lsa, unda αβ ning
transsendentligini isbotlash mumkinmi?
1934-yilda olimlar Aleksandr Gelfond, Teodor Shnayder va Karl Zigellar, β
ning algebraik son bo‘lgan xususiy holat uchun Gilbert tasdig‘i o‘rinli ekanini
ko‘rsatib berishdi. Ular 2√2 va e π
ning transsendentligini isbotlay olishdi. Garchi 7-
raqamli ushbu masalada umumiy hol uchun Gilbert sharti bajarilmagan bo‘lsa-da,
lekin aynan ma’ruzadagi shart uchun masala hal etilgan deb qaraladi.
Diofant tenglamalarini yechish uchun algoritm mavjudligi haqidagi masala.
Tenglamalarni yechishning algoritmi - fikrlash qobiliyatini ishga solmasdan ham,
tenglamani mexanik usul bilan yechish uchun tadbiq qilsa bo‘ladigan ketma-
ketliklar usulidir. Boshqacha aytganda bu uslni masalan, kompyuterda amalga
oshirsa bo‘ladi. Masalan, o‘rta maktablarda o‘rganiladigan kvadrat tenglamalar
uchun yechim topishning algoritmlari mavjud. Xossatan, ax2+bx+c=0
tenglamaning yechimi

tenglama orqali aniqlanadi.
Diofant tenglamalari esa, shunday tenglamalarki, ularda butun koeffitsiyentli
bitta yoki bir nechta nomalumlar qatnashadi ava tenglamaning yechimi ham butun
son bo‘ladi. masalan, 1/2x+y=3 tenglama difant tenglama sanalmaydi, chunki
undagi noma'lumning koeffitsiyenti bo‘lmish - butun son emas. 2x+3=6 tenglama
esa, diofant tenglamadir, lekin bu tenglama yechimga ega emas. 2x-3y=–4
tenglama diofant tenglama sanaldi va uning yechimlari masalan x=1 va y=2
bo‘ladi.
Gilbert muammolari ro‘yxatida 10-raqami bilan keltirilgan masala, ya'ni,
diofant tenglamalar algoritmini izlash muammosini 1970-yilda matematik Yuriy
Matiyasevich tomonidan hal etilgan. Javob quyidagicha: Qidirilayotgan universial
algoritm mavjud emas! Shuningdek, J.Jons ham 33 ta o‘zgaruvchili hadlardan
iborat 18 xil tenglamalar misolida (ang katta darajali tenglamada 560-chi daraja
qo‘llangan) diofant tenglamalarni yechish uchun universial algoritm mavjud
emasligini isbotlagan.
Difant tenglamalarning to‘liq tasnifini kimdir tuzib chiqa olishi haqiqatdan
juda-juda yiroq bo‘lgan narsadir. Zero bugungi kun matematikasi tadqiqotarining
19

barcha jabhalarini bitta inson ongining o‘zi bilan qamrab olishning imkoni ham
yo‘q.
Ushbu masalaning hal etilishi, ilm-fanda fundamental jihatdan g‘oyat muhim
bo‘lgan ko‘plab masalalarda yangi bosqichga ko‘tarilish imkonini berishi
kutilayotir. Masalan, kimyoviy birikmalardagi atomlarning joylashtirishda shunday
matematik uslublarga tayanib ish ko‘rish mumkin bo‘lishi ehtimol. Shuningdek,
makur masalaning hal etilishida, axborot texnologiyalari sohasi ham katta naf
ko‘radi. Ya'ni, axborotni kompakt-disklarda yoki, vinchesterlarda joylashtirishning
eng samarali va xavfsiz usullarini ishlab chiqish, ushbu disklarning asosini tashkil
qiluvchi kimyoviy elementlar atomlarini eng samarali va maksimal xavfsiz
joylashtira olish yo‘li bilan hal etilishi mumkin. Bu esa, axborotni atom-
molekulyar miqyosda saqlash imkoni demakdir. Kvant kompyuterlari sari
qo‘yilayotgan qadamlar ichida, bu usulning amalda joriy etilishi eng katta ilg‘or
qadamlardan biri bo‘lishi ehtimol...
18-raqamli masala.
Muayyan geometrik shakllardan iborat bir xil plitkalar bilan tekislikni
to‘ldirish amaliyotini, matematikada monand qilish deyiladi. Monand qilishda,
figuralar orasida ochiq oraliqlar qolmasligi, shakllarning o‘zi esa bir-birining
ustiga minib ketmasligi kerak. «Tekislikni bir xil shaklar bilan qanday turli xil
usullarda to‘ldirish mumkin?» - degan savolga javob tayin: 17 xil usul bilan
to‘ldirish mumkin.
Gilbert ro‘yxatidagi 18-raqamli masala ham, tekislikdagi shakllarni monand
qilish masalasiga o‘xshash bo‘lib, faqat bunda jarayon uch o‘lchovli fazoda va
geometrik jismlar orqali bajarilishi lozim. Ushbu masalaning Gilbert bayon qilgna
sharitda olmon astronomi Iogann Kepler tomonidan 1611-yilda shakllantirilgan
Kepler gipotezasi qayd etib o‘tiladi. Ushbu gipotezaga muvofiq, sferalarni
joylashdagi maksimal zichlik chegaraviy-markazlashgan usul yordamida piramidal
terish orqali erishiladi. (Shunga o‘xshash tarzda, to‘p yadrolari to‘rtburchakli
piramida tarzida taxlanadi). Shunday taxlamning zichligi taxminan 74% gacha
yetadi.
1998-yilda Tomas Xeyls Kepler gipotezasining yechimini topganligi haqida
e'lon qilgan edi. uning ilmiy ishi «Matematika solnomalari» jurnalida e'lon
qilingan. Xeyls isbotlashlarida turli xil taxlamlarning matematik uslublari bilan
bayon etilgan 150 ta o‘zgaruvchili tenglamalarni keltiradi. Unga ko‘ra, bir xil
o‘lcham va shakldagi sferalarni taxlashning amalda imkonli bo‘lgan 5000 xil usuli
bor ekan. Mazkur nufuzlik ilmiy jurnal tomonidan tanlab olingan 12 ta eng kuchli
matematik olimlar Xeyls isbotlashlarini tekshirib ko‘rishdi va natijaga 99%
qoniqish hosil qilganliklarini e'tirof etishdi. Xeyls isbotlashlarini kompyuter dasturi
orqali amalga oshirgan edi. Buning uchun u juda katta hajmdagi dastur tuzishiga
to‘g‘ri kelgan. Biroq matematiklar uing 3 Gb hajmdagi dasturiy kodni tekshirih
chiqish esa amalda imkosiz deb qarashdi. Boz ustiga, Xeyls taqdim etgan uslub,
20

mazkur masalaning barcha jabhalarini qamrab olmaydi va shu sababli u to‘liq
yechimni topgan deb qaralishi mumkin emas. Ustiga ustak, jahoning nufuzli
matematik olimlari ichida shunday qarash mavjudki, ular matematik masalalarning
kompyuter orqali keltirilgan isbotlarini qabul qilishmaydi. Buning izohi uchun ular
ikkita asosiy sababni ko‘rsatishadi: birinchidan, bunday isbotlashlarni to‘liq
tekshirib tasdiqlashning imkoni yo‘q, chunki dasturiy algoritmning ayrim
bosqichlarida bajariladigan amallar shu darajada murakkab bo‘ladi-ki, ularni
to‘g‘riligini tekshirishning o‘zini ham imkoni yo‘q, qolaversa, ikkinchidan, bunday
isbotlashlarda ham dasturiy tarafdan va ham texnik tarafdan xatolik kelib chiqishi
ehtimoli katta.
Gilbert masalalari borasida qiziq faktlar:
- Gilbert masalalaridan hech bo‘lmaganda bittasini yechgan matematiklardan
iborat faxriy klub tuzilgan. Ushbu guruhga Kurt Gyodeldan tashqari shuningdek
birinchi kattalikdagi yulduz matematiklarda German Veyl ham kirgan.
- 1929-yilda atiga 29 yoshda bo‘lgan Emil Artin (rasmda) 9- va 17-raqmli
masalalarni yechib, Gilbert masalalarini hal etganlar faxry klubida eng yoqori
o‘ringa, ya'ni, Gilbert taxtiga chiqqan. U shuningdek algebra va topologiya
bo‘yicha qator muhim ilmiy-amaliy ishlarni muallifi bo‘lgan.
- 17-masaladagi kvadratlar yig‘indisini hisoblash usulini Georg Krayzel
taklif qilgan bo‘lib, u 2 2*100
qadamdan iborat. Lekin Emil Artin bu usuldan
foydalanmagan.
21

2.2. Gilbert aksiomasida zidsizlik masalalari
Aksiomalar sistemasining zidsizligiga ishonch xosil qilish uchun kamida
bitta model mavjudligining yetarli ekanini yuqorida ta'kidlagan edik. Shu maqsadni
kuzda tutib, biror model yasashga xarakat ilamiz. Biz bu urinda arifmetik
vositalarga asoslangan modelni keltiramiz. Bu modelni yasashda xaqiqiy sonlar,
chiziqli tenglamalar tugrisidagi ta'limot ma'lum deb faraz silinadi. Kisqalik uchun
planimetriyaga taalluqli aksiomalar uchun model quramiz. Asosiy tushunchalarni,
ya'ni nuqta va tug’ri chiziqni quyidagicha tanlab olamiz.
1. A nuqta deb ma'lum tartib da olingan bir juft tayin xaqiqiy x,y sonlarni
qabul qilamiz, uni A = ( x, y ) kurinishda belgilaymiz, x,y sonlarni A nutstaning
aniqlovchilari deb ataladi. Masalan, A = (2,3), B = (0, 1/5, C= ( , l). Tegishli
aniqlovchilarimos ravishda teng bulgan nutstalar ustma- ust tushadi.
2. u tug’ri chiziq deb ma'lum tartibda olingan, tayin uchta a, b ,c xaqiqiy
sonlarning a: b :c nisbatlarini qabul qilamiz, uni = (a: b :c) deb belgilaymiz, bunda a,
b lardan kamida bittasi noldan farqli deb olinadi. a, b , c sonlar u tug’ri chiziqning
anitslovchilari deb ataladi. Masalan, u =(1:2:3), v = ( :0:4), w = ( -7:5:0).
Mos aniqlovchilari teng yoki proportsional bulgan ikki tug’ri chiziq ustma-
ust tushadi. Asosiy munosabatlardan biri «. . . da yotadi» (yoki «tegishli») ni
quyidagicha aniqlab olamiz: = ( x, y ) nutsta bilan u = (a: b:c ) tug’ri chiziqning
aniqlovchilari orasida ax + by + c+ = 0 (*) shart bajarilsa, nuqta tug’ri chiziqda
yotadi deymiz; (*) shart bajarilmasa, nuqta tug’ri chiziqda yotmaydi. Masalan M =
( — 1,4) nuqta m = (3:1: — 1) tugri chiziqda yotadi, chunki 3 (— 1) + 1 * 4 + ( —
1) = 0; (0;5) nuqta n = (— 6 : — 2:3) tugri chiziqda yotmaydi, chunki — 6 -0 +
( — 2)* 5 + 3 = — 7 ≠ 0.
Kolgan asosiy munosabatlarga va tushunchalarga keyinroq kaytamiz. Endi
I
1-3 aksiomalarning bajarilishini kursatamiz.
I
1 ning bajarilishini kursatamiz. A= (x
1 ; y
1 ), B = (x
2 , y
2 ) ikkita turli nuqta
bulsin, bu yerda x
1 ≠ x
2 , y
1 ≠ y
2 lardan kamida bittasini urinli deb olaylik. Shu ikki
nuqtadan utuvchi tug’ri chiziqning mavjud ekanini isbotlaylik. Buning uchun
shunday (a: b :c) tugri chiziq topaylikki, unda A, B nuqtalar yotsin, ya'ni
ax
1 +by
1 +c=0, ax
2 +by
2 +c=0 (1)
22

shartlar bajarilsin. Aniqrog’i bu shartlarni sanoatlantiruvchi a, b , csonlarini
topaylik. (1) dagi tenglamalardan birini ikkinchisidan xadlab ayiramiz:
a(x
1 — x
2 ) + b (y
1 — y
2 ) = 0 .
x
1 ≠ x
2 desak, bu tenglikdan a: b = — (y
1 — y
2 ) : (x
1 — x
2 ). Bu proporsiyadan: a = —
λ(y
1 — y
2 ), b = λ (x
1 — x
2 ) desak va bu qiymatlarni (1) ning birinchi tenglamasiga
quysak: — λ(y
1 — y
2 ) x
1 + λ(x
1 — x
2 ) y
1 + c == 0, bundan: c= — λ ( x
2 y
1 — x
1 y
2 ). U
xolda u =a:b:c = — (y
1 — y
2 ) : (x
2 y
1 — x
1 y
2 ), ya'ni tugri chiziq aniqlandi.
I
2 aksiomaning bajarilishini kursatish uchun topilgan tug’ri chizig’ning
yagona ekanligini kursatish kifoya. , nuqtalardan yana
bosh tug’ri chiziq utadi deb faraz qilib, yuqoridagi singari
muxokama yuritsak, ni xosil qilamiz.
I
3 . tug’ri chizikda yotuvchi A = (x, y) nukqta aniklovchila- ri ax
+ by + c = 0 shartni qanoatlantiradi. Bu yerda ikkita x,y son bitta tenglamani
kanoatlantirganligi sababli uning x, y ga nisbatan yechimlari ikkitadan xam kup
nuktadan iborat.
Endi A = (0 ,0), B= (0,1), C = (1,0) nuqtalarni olib, ularning bitta turri
chizikda yotmasligini kursataylik:
Bu uchta tenglamadan a = b = c = 0, lekin shartga kura a, b , c bir vaqtda
nolga teng emas. Demak, A, B, C nuqtalar bitta tug’ri chiziqda yotmaydi.
Endi II
1-4 aksiomalar shartlarining bajarilishini tekshiraylik. Avvalo
«orasida» munosabatini aniqlaylik.
A = (x
1 ,y
1 ), B = (x
2 , y
2 ), C= (x
3 , y
3 ) nuqtalar = (a: b: C) tugri chizikda yotsin,
ya'ni
Bunda a, b, c larni noma'lumlar deb qarasak, u xolda bu bir jinsli
tenglamalar noldan farqli yechimga ega bulishi uchun
bulishi kerak, bundan . Bu ikki kasrning umumiy qiymatini λ
ABC
deb belgilaymiz va λ
ABC > 0 xolda B nukta bilan orasida yotadi deb aytamiz. A, C
nuqtalar orasida yotgan barcha nuqtalar tuplamiga AC kesma deb ataladi. Analitik
23

geometriyada λ
ABC son uchta A, B, C nuktaning oddiy nisbati deb ataladi, ya'ni λ
ABC
II
1 .
λ
ABC > 0 = >
λ
CBA > 0 > 0, demak,
B nukta C bilan A orasida yotadi.
II
2 . B nuqta bilan C orasida yotsa, Bu
ifodalarning xar birini t > 0 bilan belgilaymiz:
. Bulardan:
A, B nuqtalar berilganda t ga xar xil musbat qiymatlar berish bilan x
2 , y
2 ni
topish mumkin. Topilgan bir juft son AB tug’ri chiziqga tegishli shunday nuqtani
aniqlaydiki, B nuqta bilan C orasida yotadi.
Endi II
3 aksioma shartining bajarilishiga ishonch xosil kqilish maqsadida bir
tug’ri chizikda berilgan nuqtalar uchun

sonlardan faqat bittasi musbat bulishini kursatishimiz kerak. Ammo bu uchta son
quyidagi munosabatga buysunadi:
Faraz qilaylik, λ
ABC >0,
λ
CBA > 0 bulsin. U xolda bir vaqtda. x
2 — x
1 > 0 , x
3
— x
2 > 0, x
1 — x
3 > 0 yoki x
2 — x
1 < 0,. X
3 — x
2 <0, x
1 — x
3 < 0 bulishi kerak.
Bularning birinchi ikkitasini xadlab kushsak, x
3 — x
1 > 0 bulib, uchinchisiga
qarama-qarshi buladi. Xuddi shu xulosaga keyingisida xam kelish mumkin.
Demak,(**) dagi sonlardan ikkitasi musbat bo’lishi mumkin emas ekan. (***) ga
asosan bu sonlarning uchtasi xam manfiy bula olmaydi. Xullas, (**) dagi uchta
sondan faqat bittasigina musbat bulishi mumkin. Bu degan suz, uchta nuktadan
fakat bittasi qolgan ikkitasi orasida yotishligini bildiradi.
II
4 . A, B, C nuqtalar bir tugri chiziqda yotsa, (*) urinlidir. Shu tenglikning
xar birini biror t ga tenglab, ularning birinchisini x
2 ga, ikkinchisini y
2 ga nisbatan
yechamiz:
Ravshanki, t>0 bulsa shartimizga asosan B nuqta bilan orasida yotadi. Demak, t ga
istalgan musbat qiymat berib, AC kesmaning nutstalarini topa olamiz. (t = 0 ga
nukta, t = oo ga C nuqta mos keladi.) t ga manfiy kiymatlar bersak, AC tug’ri
24

chizikning AC kesmaga tegishli bulmagan nuqtalari xosil buladi. Endi Pash
aksiomasiga utaylik.
A, B, C nukqtalar bir tug’ri chiziqda yotmasin, ya'ni:
yoki
u xolda bu nuktalar aniklagan ABC uchburchakni xosil qilamiz. Biror u tugri
chiziq shu uchburchak uchlaridan utmay, tomonlarini yoki uning davomlarini mos
ravishda N
1 (AB tomonni), N
2 (BC tomonni), N
3 (VA tomonni) nuqtalarda kessin.
N
1 nuqta AB ni t
1 nisbatda, N
2 nuqta BC ni t
2 nisbatda, N
3 nuqta CA ni t
3 nisbatda
bulsin. Shartga kura, t
1 ,t
2 , t
3 larning birortasi nol xam emas, cheksiz xam emas,
N
1 = (x'
1, y ’
1 ), N
2 = (x'
2 , y’
2 ), N
3 = (x’
3 , y’
3 ) desak,
N
1, N
2 , N
3 nuqtalar bitta tug’ri chizikda yotadi, demak:

Bu tenglikka ular qiymatlarini quyamiz va
determinant xossalaridan foydalanib soddalashtiramiz:
Bu ifodadagi birinchi kupaytuvchi noldan farqli, uchinchi kupaytuvchi xam
t
1 , t
2 , t
3 larni tanlab olingan shartlariga kura noldan farqli. Demak, faqat ikkinchi
kupaytuvchigina nol bulishi mumkin:
Agar turri chizq ABC uchburchak uchidan utmasdan, uning bir tomonini,
masalan AB ni kessa, demak t
1 > 0; u xolda t
1 t
2 t
3 = — 1 munosabat t
2 yoki t
3 dan
biri albatta musbat bulishini bildiradi, ya'ni shu tug’ri chizi BC yoki CA
kesmalardan birini kesadi. Bu esa Pash aksiomasining mazmunidir.
Kongruentlik aksiomalarining bajarilishini kursatishdan avval, nur va
burchak tushunchalarini kiritaylik.
25

u = (a:b:c) tug’ri chiziqda tayin 0 = (x
0 , y
0 ) va A = (x
1 ,y
1 ) nuqtalarni olaylik.
Uning ixtiyoriy (x , y) nuktasi uchun
urinli buladi, bu yerda m = x
1 — x
0 , y = y
1 — y
0 , t esa parametr, t ga istalgan son
siymatlarni berib, tug’ri chiziqning nuqtalarini topish mumkin. Tug’ri chiziqning
barcha nuqtalarini ikki sinfga ajratamiz. t> 0 ga mos kelgan barcha nuqtalarni
birinchi sinfga, t < 0 ga mos kelgan nuqtalarni esa ikkinchi sinfga kiritaylik. t = 0
ga mos 0 =(x
0 ,y
0) nuqta turli sinfga qarashli ixtiyoriy ikki nuqtaning orasida yotadi.
Tug’ri chiziqning birinchi (yoki ikkinchi) sinfga kirgan barcha nuqtalari tuplamini
uchi 0 bulgan nur deb ataymiz va h = (x
0 , y
0 ;m:n ) yoki h = (x
0 ,y
0 ;-m: -n ) kurinishda
belgilaymiz. U mumiy uchga ega bulgan ikki h, k nurdan tashkil topgan figura
burchak deb ataladi, uni burchak( h,k ) kurinishda belgilaymiz. «Kongruentlik»
munosabatini kuyidagicha ta'riflaymiz
nuqtalar berilan
bulsin. Agar tenglik urinli
bulsa, AB kesma CD kesmaga kongruent (teng) deb ataladi va AB = CD
kurinishda belgilanadi.
nurlardan tashkil topgan burchak
berilgan bulsin. Agar
tenglik urinli bulsa, burchaklar uzaro kongruznt (teng) deb
ataladi. Endi kongruentlik aksiomalarining bajarilishini tekshiraylik.
III
1 . u = (a:b:c) tug’ri chiziq xamda nutstalar
bilan anitslangan A V kesma berilgan bulsin. turri chizikdagi 0 = (x
0 , y
0 ) nuqtaning
bir tomonida shunday M = (x, y) nuqta topaylikki, uning uchun OM = AB tenglik
bajarilsin. Xaqiqatan xam, shunday M nuqta uchun quyidagi tenglik urinli bulishi
kerak:
(x — x
0 ) 2
+ (y — y
0 ) 2
= (x
2 — x
1 ) 2
+ (y
2 — y
1 ) 2
.
Bu tenglikda x,y urniga x
0 + mt, y
0 + nt ni quyamiz:
Bu ifodadagi t ning ikkita qiymatiga u tug’ri chiziqdan ikkita nuqta mos kelib, O
nuqta bu nuqtalarning orasida yotadi. Demak, O ning bir tomonida OM = AB
shartni qanoatlantiruvchi yagona nuqta mavjud.
III
2 ,III
3 ,III
4 aksiomalarning bajarilishi xam xuddi shunday isbotlanadi.
26

III
5 . ABC uchburchakning uchlari:
uchburchakning uchlari
A B = A’B’, AC=A'C’, bulsin. ni isbotlashimiz
kerak. AB= A'C' dan: (x
2 — x
1 ) 2
+ (y
2 — y
1 ) 2
= (x’
2 — x’
1 ) 2
+ (y
2 -y
1 ) 2
va
AC=A’C’dan:
, Shartga kura ,
bu munosabatlardan:

ni isbotlash uchun quyidagi tenglikning urinli ekanini kursatish
kifoya:
Kengroq muxokamalar bu tenglikning urnnli ekanidan darak beradi
Endi Dedekind aksiomasiga utaylik.
IV. Kongruentlik munosabatiga asoslanib, tekislikda xarakat tushunchasini kiritish
mumkin. Xarakat natijasida «orasida» . munosabati saqlanadi, ya'ni AB kesma
biror xarakat natijasida A'B' kesmaga utsa, A nukqta bilan B nuqta orasidagi
barcha nuqtalar A' bilan B' orasidagi nuqtalarga utadi. Shuning uchun Dedekind
aksiomasini biror kesma, masalan, y = 0 tugri chiziqdagi kesma uchun bajarilishini
kursatish kifoya.
(0:1:0), ya'ni 0*x+1*y + 0 = 0 tug’ri chiziqdagi A = (0,0), B= (d,0) (d > 0 )
nuqtlardan xosil bulgan AB kesmani tekshiraylik. Bu yerda B nuqtaning birinchi
aniqlovchisi musbat son, ikkinchi aniqlovchisi — nol. Bu vaqtda (0:1:0) tug’ri
chiziqdagi N = (x
1 : 0) nuqtaning A bilan B nuqtalar orasida bulishi uchun 0 < x < d
shart bajarilishi kerak. Aksincha, bu shartni qanoatlantiruvchi xar bir x songa A
bilan B orasida yotgan nuqta mos keladi. Demak, AB kesma nuqtalarini Dedekind
aksiomalari shartini qanoatlantiradigan qilib ikki sinfga ajratish (0 , d) intervaldagi
sonlarnn Dedekind aksiomasi shartlarini qanoatlantiradigan qilib ikki sinfga bulish
demakdir. Xaqiqiy sonlar tuplamida Dedekind aksiomasi urinlidir. Agar (0,d)
intervalni ikki sinfga ajratuvchi Dedekind soni t bulsa, bu songa AB kesmada mos
keluvchi nukta M = (t, 0) buladi.
Nixoyat, B parallellik aksiomasini tekshiraylik. u = (a: b :c) tug’ri chizik, va
unda yotmagan A = (x
0 , y
0 ) nuqta berilgan bulsin: ax
0 + by
0 + c≠ 0. nuktadan
27

utuvchi biror tug’ri chiziq u ' = (a': b ':c') ni, ya'ni a’x
0 + b 'y
0 + c' =0 ni olaylik. Bu
tenglikdan: c' = — (a ' x
0 + b 'y
0 ).
Parallellik aksiomasining shartiga kura
sistema umumiy yechimga ega emas, ya'ni , bundan a’ = λ a, b '
=λb;c
uchun Shunday qilib,
tayin yagona tug’ri chizikdir. Demak,
yuqorida keltirilgan arifmetik modelda Gilbert aksiomalari sistemasining
(tekislikka taalluqli aksiomalari) barcha shartlari bajarilgan, demak shu aksiomalar
yordamida isbot qilinadigan barcha teoremalar xam urinli. Quyidagi xulosaga
kelamiz: arifmetikaning qonun- qoidalari zidlikdan xoli bulsa, Yevklid
geometriyasi xam mantiqiy zidsizdir.
28

2.3. Gilbert aksiomalar sistemasining to’liqligi va parallelik aksiomasining
erkinligi
Aksiomalar sistemasining to’liq shartiga ekanini ko’rsatish uchun uning
ko’rilgan istalgan ikki modelining izomorf ekanini ko’rsatish kifoyadir. Xuddi
shunga uxshash Gilbert aksiomalari sistemasining ikkinchi modeli sifatida Dekart
modeli deb nomlangan modelni kiritish mumkin. Bu modelning mohiyati
quyidagicha: tekislikda dekart sistemasini kiritib, har bir nuqtaga uning
koordinatalari deb ataladi bir juft (x, y) sonni mos keltiramiz va aksincha.
To’g’ri chiziq deb ax + by +c = 0 tenglamani ( a, b, c tayin sonlar bulib, a
yoki b lardan kamida bittasi noldan farqli) qanoatlantiruvchi barcha x, y sonlar
juftini, ya'ni nutstalarni olamiz. x = 0, y = 0 to’g’ri chizitslarni koordinata utslari
deb ataymiz. (0, 0) nuqtani koordinatalar boshi deb yuritamiz. To’g’ri chiziqda A=
(x
1 , y
1 ), B = (x
2, y
2 ), C = (x
3 , y
3 ) nuqtalar berilgan bulsin. b ≠ 0 holda x
1 <x
2 <x
3
yoki x
1 >x
2 >x
3 bulsa, b= 0 holda esa y
1 <y
2 <y
3 yoki y
1 <y
2 <y
3 bulsa, B nuqta A
bilan C orasida yotadi deb ataladi.
Bundan tashqari, kongruentlik tushunchasi uchun nur, burchak va hokazo
tushunchalarga analitik geometriyada berilgan ta'riflarni ko’zda tutamiz. Asosiy
tushuncha va munosabatlar Gilbert aksiomalari sistemasining barcha shartlarini
qanoatlangiradi.
Demak, bu ikki modeldagi asosiy tushunchalar (ob'ektlar, munosabatlar)
orasida o’zaro bir qiymatli moslik mavjud bulib, asosiy munosabatlar saqlanar
ekan, bu esa arifmetik model bilan dekart modeli orasida izomorf moslikning
mavjudligidan darak beradi.
Quyidagi xulosaga kelamiz: Gilbert aksiomalari sistemasi to’liqlik talabiga
javob beradi.
Endi Gilbert aksiomalari sistemasidagi aksiomalarning erkinligi masalasiga
tuxtaylik. Biror aksiomaning boshqa aksiomalarga nisbatan erkin ekanligini
29

kursatish uchun uning inkorini olib, qolgan aksiomalar bilan birgalikda yangi
sistemani xosil qilib, bu sistemaning zidsiz ekanligini kursatish, ya'ni birorta
modelda yangi sistema aksiomalarining bajarilishini isbotlash kerak. Yuqorida
xuddi shunday ishni Gilbertning parallellik aksiomasi uchun bajardik. Chunki bu
aksiomaning inkori sifatida Lobachevskiy aksiomasini olib, yangi aksiomalar
sistemasini hosil qildik va bu sistemaning zidsiz ekanligini isbotladik. Boshqacha
qilib aytganda, parallellik aksiomasi mustatsil aksioma bulib, uni absolyut
geometriya aksiomalari yordamida teorema sifatida isbotlash mumkin emas ekan.
XULOSA
Xulosa qilib shuni aytish mumkinki Geometriya asoslari matematikaning bir qismi
bulib, unda geometriyaning asosiy tushunchalari, aksiomalari va umuman
geometrik sistemaning deduktiv tarzda qurilishi, shuning bilan birga aksiomalar
orasidagi munosabatlar urganiladi. Bu goyalar moxiyatini tushunish va ularning
yuzaga kelish sabablarini faxmlash uchun qisqacha bulsada, tarixga nazar tashlash
zarur. Kongruentlik tushunchasi uchun nur, burchak va hokazo tushunchalarga
analitik geometriyada berilgan ta'riflarni ko’zda tutamiz. Asosiy tushuncha va
munosabatlar Gilbert aksiomalari sistemasining barcha shartlarini qanoatlangiradi.
Demak, bu ikki modeldagi asosiy tushunchalar (ob'ektlar, munosabatlar)
orasida o’zaro bir qiymatli moslik mavjud bulib, asosiy munosabatlar saqlanar
ekan, bu esa arifmetik model bilan dekart modeli orasida izomorf moslikning
mavjudligidan darak beradi.
Quyidagi xulosaga kelamiz: Gilbert aksiomalari sistemasi to’liqlik talabiga
javob beradi.
Endi Gilbert aksiomalari sistemasidagi aksiomalarning erkinligi masalasiga
tuxtaylik. Biror aksiomaning boshqa aksiomalarga nisbatan erkin ekanligini
kursatish uchun uning inkorini olib, qolgan aksiomalar bilan birgalikda yangi
sistemani xosil qilib, bu sistemaning zidsiz ekanligini kursatish, ya'ni birorta
modelda yangi sistema aksiomalarining bajarilishini isbotlash kerak. Yuqorida
xuddi shunday ishni Gilbertning parallellik aksiomasi uchun bajardik. Chunki bu
aksiomaning inkori sifatida Lobachevskiy aksiomasini olib, yangi aksiomalar
sistemasini hosil qildik va bu sistemaning zidsiz ekanligini isbotladik. Boshqacha
qilib aytganda, parallellik aksiomasi mustatsil aksioma bulib, uni absolyut
geometriya aksiomalari yordamida teorema sifatida isbotlash mumkin emas ekan.
30

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati .
1. O’zbekiston Respublikas Pirizidenti Mirziyoev.SH.M Xalqimizning roziligi
bizning faolligimizga berilgan eng oliy baxodi. 2-jild.T.. “O’zbekiston”, 2018.
2. Karimov.I. A O’zbekiston mustaqillikga erishish ostonasida—T.
“O’zbekiston”,2017.
3. Dadajonov Normat, Yunusmetov Rasulmat, Abdullaev Temir Geometriya.
Toshkent “O’ituvchi”—1988.
4. Dadajonov.N. D, Juraeva.M. J Geometriya. 1-qism, Toshkent, “O’qituvchi”,
1982.
5. Otajonov.R.Q. Geometriya yasash metodlari. T, “O’qituvchi”, 1970.
6 Pogorelov.A. V Geometriya, 6-10, Toshkent, “O’qituvchi”, 1984.
31

Elektron ta’lim resurslari
1 . O’zbekiston Respublikasi Oliy va urta maxsus ta’lim vazirligi : www.edu.uz .
2 . O’zbekiston Respublikasi Xalq talim vazirligi : www.uzedu.uz .
3. O’zbekiston Respublikasi Xalq talim vazirligi xuzuridagi Multimedia
umumta’lim dasturlarini ruvojlantirishmarkazi: www.eduportal.uz .
www.multimedia.uz .
4. O’zbekiston Respublikasi Oliy va urta maxsus ta’lim vazirligi xuzuridagi bosh
Bosh ilmiy-metodik markaz: www.bimm.uz .
Ijtimoiy axborot ta’lim portal: www.ziyonet.uz .
5. Nizomiy nomidagi Toshkent davlat pedagogika universiteti www.tdpu.uz .
6. Internet resurslari elekton kutubxonasi: http://www.allbest.ru .

33

Gilbert aksiomalar sistemasi va undan kelib chiqadigan natijalar

Sotib olish