Kengaytirilgan Yevklid geometriyasi - Geometriya - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	10000UZS
Hajmi	784.4KB
Xaridlar	2
Yuklab olingan sana	28 Fevral 2024
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Geometriya

Kengaytirilgan Yevklid geometriyasi

Sotib olish

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
MATEMATIKA VA INFORMATIKA FAKULTETI
MATEMATIKA VA INFORMATIKA YO’NALISHI
208- GURUH TALABASI
GEOMETRIYA fanidan
KURS ISHI

1

MUNDARIJA:
I. KIRISH ………………………………………………………………….3
II. ASOSIY QISM.
I BOB. KENGAYTIRILGAN YEVKLID GEOMETRIYASI . YEVKLID
GEOMETRIYASINING OLIY TA’LIM MATEMATIKASIDAGI ROLI ......5
1.1. Kengaytirilgan Yevklid geometriyasi ...........................................................5
1.2. Yevklid geometriyasining oliy ta’lim matematikasidagi roli . ……............13
II BOB. UCHBURCHAK GEOMETRIYASI. PIFAGOR TEOREMASI .......16
2.1. Uchburchak geometriyasi … ......................................................................16
2.2. Pifagor teoremasi........................................................................................21
III. XULOSA ……..……………………………...…………………..……...24
IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR R O’ Y X ATI ……..................26
2

KIRISH
Kurs ishining dolzarbligi: Maktab o`quvchilarining, kollej va litsey
tinglovchilari va talabalarining geometrik figura va uning tuzilishi bo`laklari
elementlari orasidagi bog`lanishi, xossalari haqidagi tasavvurlarini aniqlashda,
kengaytirishda va rivojlantirishda va ijodiy yondashishda ularning mantiqiy
fikrlash, konstruktorlik qobiliyatlarini o`stirishda geometrik yasashga doir
masalalar katta ahamiyat kasb etadi.
O`rganuvchi va tahsil oluvchida bu jihatlarni kengaytirish
qobilyatlarini o`stirish, tarbiyalash rivojlangan texnika asrida va
ma`lumotlarning intensiv texnologiyasi tadbig`i davrida mustaqil
davlatimizning yetuk ijodkorlarini raqobatga tayyorlash
zamonamizning asosiy vazifalaridan biridir. Bu holatga geometrik
figura va uni birorta uskuna, asbob, qurollar yordamida yasashning
muhim ahamiyati mavjuddir.
Kishilik jamiyati paydo bo`lishidagi o`zaro munosabatlar, tabiatga bo`lgan
munosabatlar o`rab turgan turli narsa va jihozlardan unumli va samarali
foydalanish geometric figuralarni hosil qilishga, yasashga olib keldi.
Bu jarayon yasash qurollarini va qurollarning imkoniyat darajasini aniqlab berdi.
Matematika faning qurilishi strukturasi, qolaversa geometriya asoslari mantiqiy
qonuniyatlari geometrik figurani yasashga doir masalalarni ham belgilab berdi.
Ma`lumki, geometrik figura nuqtalarning birorta bo`sh bo`lmagan to`plamidir.
Figuralarning ta`rifidan ko`rinmoqdaki, u turli-tuman bo`lib asosan tekis va tekis
bo`lmagan bo`lib, uni fazoning birorta tekisligida va uning ustida
qurishga, yasashga to`g`ri keladi. Geometrik figurani yasashga doir
masalalar figura tuzilishi, xususiyatlari va masalaning talablaridan
kelib chiqib, qurollarni ishlatish imkoniyati darajasini hisobga olib
hamda konstruktiv masalani hal qilishda obyektiv va subyektiv
qonuniyatlarni hisobga olishga to`g`ri keladi. Bu aytilganlardan kelib
chiqib yasashga doir geometrik masala, uni yasash, yasash qurollari
majmuasi va uning ishlatilish (foydalanish) imkoniyatlari,
geometriyaning aksiomatik qurilishi va hokazolarni hisobga olgan
holda quyidagi talab qonuniyatlar qatoriga ega bo`lamiz.
Kurs ishining maqsadi: Talabalarga geometriyani o’qitishning an’anaviy talim
metodi haqida umumiy ma'lumotlar va ularning o'ziga xos xususiyatlarini
tushuntirish, ular yordamida dasturi tuzishni va uni o’qiy olishni o’rgatish orqali
talabalarni geometriya fanlariga qiziqishlarini yanada oshirish.
Kurs ishining vazifasi: Bo’lajak geometriya o’qituvchilariga an’anviy talim
metodi bo’yicha tayyorgarlik tizimi mazmunining nazariy va amaliy holatini
3

o’rganish va tahlil qilish; -talabalarga turli loyihalarni tasvirlashdagi o’ziga xos
xususiyatlarni va ularning turlari haqida tushunchalar berish va takomillashtirish; -
talabalarning mavzu yuzasidan bilim, ko'nikma va malakasini shakllantirish.
Kurs ishining ob’yekti: Oliy ta’lim tizimida “Matematika” bakalavriyat ta’lim
yo’nalishi talabalariga nazariy va amaliy ta’lim berish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Bo’lajak muhandislarni tayyorlash
bo’yicha tahsil olayotgan talabalarning geometriya muhandisligi ilmini egallash
jarayonidagi ta’lim mazmuni va texnologiyasi.
Kurs ishining tuzilishi va tarkibi: Kurs ishi kirish, ikki bob, to’rt paragraf,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
4

I BOB. KENGAYTIRILGAN YEVKLID GEOMETRIYASI. YEVKLID
GEOMETRIYASINING OLIY TA’LIM MATEMATIKASIDAGI ROLI
1.1. Kengaytirilgan Yevklid geometriyasi
Yevklid geometriyasi — miloddan avvalgi 3-asrda Yevklid izchil asoslagan
geometriya. Parallellik aksiomasiga (to g ri chiziqda yotmagan nuqta orqali shuʻ ʻ
to g ri chiziq bilan kesishmaydigan faqat bitta to g ri chiziq o tkazish mumkin,
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
degan aksiomaga) hamda mutlaq geometriya aksiomalari sistemalari deb ataluvchi
besh guruh (bog lanish, tartib, harakat, uzluksizlik, parallellikdan iborat)
ʻ
aksiomalarga asoslangan.
Yevklid geometriyasi aksiomalar sistemalari nuqta, to g ri chiziq, tekislik,
ʻ ʻ
harakat va nuqta, to g ri chiziq va tekislik orasidagi munosabatlarga tayanadi.
ʻ ʻ
Yevklid geometriyasi birinchi marta izchil ravishda Yevklid “negizlari’ da
bayon etilgan. Yevklid geometriyasidan farqli geometriya birinchi marta rus
geometri N. I. Lobachevskiy yaratdi. Yevklid geometriyasi o rta maktabda
ʻ
o qitiladi va “elementar geometriya” deb ham ataladi.
ʻ
Yevklid taxminan, eramizdan avvalgi 365-300 yillarda yashab ijod etgan.
Bu olim hayoti haqida deyarli aniq ma’lumotlar mavjud emas. Bizga u haqidagi
ayrim uzuq-yuluq afsona tarzidagi xabarlar yetib kelgan xolos.
Uning eng mashhur asari «Negizlar» ga birinchi bo’lib sharh yozga Prokl (V
asr), Yevklidning qachon va qayerda tug’ilganligini yoki vafot etganligini aniq
aytib bera olmagan.
Proklning qayd etishicha «bu arbob alloma» Ptolomey I zamonasida yashagan
ekan. Ba’zi biografik ma’lumotlar XII-asrga oid arab qo’lyozmasida saqlanib
qolgan: «Yevklid, Naukratning o’g’li «Geometr» nomi bilan mashhur, qadimgi
zamon allomasi, kelib chiqishiga ko’ra yunon, yashagan joyi Suriya, Tir o’lkasida
tavallud topgan.
Afsonalardan birida aytilishicha, podsho Ptolomey geometriyani o’rganishni
istab qoladi. Lekin bu oson emasligini bilib, u Yevklidni o’z huzuriga chorlaydi va
matematikani o’rganish uchun oson yo’llarni ko’rsatishini so’raydi.
«Geometriya uchun shohona yo’l yoq» - deb aytadi Yevklid, va bu jumla
bizning davrimizga qanotli ibora ko’rinishida yetib kelgan.
Podsho Ptolomey I, o’zining davlatining shon shuhratini oshirish niyatida
mamlakatga olimlar va shoirlarni jalb etgan va ular uchun Muza san’at saroylari –
Museyonlar barpo etgan. Bu saroyda mashg’ulot xonalari, botanika va hayvonot
bog’lari, rasadxona va munajjimlar ishlovchi idora, yolg’iz holda ishlash uchun
yakkalik xonalar va eng asosiysi katta va boy kutubxona mavjud edi.
5

Saroyga taklif qilingan olimlar orasida Yevklid ham bo’lib, u bungacha Misr
poytaxti – Iskandariyada matematika maktabi ochgan va uning o’quvchilari uchun
o’zining fundamental ilmiy ishlarini darslik sifatida yozib bergan edi.
Aynan Iskandariyada Yevklid o’zining geometriyaga oid eng katta va mashhur
asari – «Boshlang’ichlar» ni yozib tugatadi. Taxminlarga ko’ra bu asar
eramizgacha bo’lgan 325-yilda tugallangan ekan.
Yevklidning soha bo’yicha avvalgi hamkasblari – Fales, Pifagor, Aristotel va
boshqalar geometriyaning rivoji uchun katta ko’lamdagi ishlarni amalga
oshirishgan edi. Lekin, ularning barcha ilmiy ishlari geometriyaning alohida qism
va yo’nalishlariga taalluqli bo’lib, yaxlit mantiqiy izchillikka ega bo’lmagan.
Yevklidning zamondoshlarini ham va undan keyingilarni ham Negizlar»dagi
keltirilgan ma’lumotlar va ilmiy asoslarning mantiqiy izchilligi va tizimlashganligi
lol qoldirib kelgan. «Negizlar» 13 ta kitobdan iborat yagona ilmiy asarni o’zida
namoyon qiladi. 13 kitobdan har biri, shu kitobda qo’llaniladigan tushunchalarning
(masalan, nuqta, to’g’ri chiziq, kesma va ho kazo) aniq ta’rifini keltirish bilan
muqaddimalanadi. Keyin esa, isbotsiz ravishda qabul qilinadigan asosiy qoidalar
(5 ta aksioma va 5 ta postulat) keltiriladi va butun Geometriya ular asosiga
quriladi. Fanning taraqqiyot darajasi hali amaliy matematikaning maydonga
chiqishini taqozo etmagan o’sha davrlarda, Negizlar»ning I-IV kitoblarida
keltirilgan ilmiy tushunchalar geometriyaning deyarli barcha boshlang’ich
tamoyillarini qamrab olgan va Pifagorchilar maktabining darajasidan ancha o’zib
ketgan edi. V kitobda proporsiyalar haqida so’z borib, u Knidlik Yevdoksning
ta’limotlariga tutashib ketadi. VII-IX kitoblarda streometriyaga doir bilimlar bayon
qilinadi, xususan, tekislikning yuzasi, irratsionallik nazariyasi, (ayniqsa X kitobda)
haqida batafsil to’xtalib o’tiladi. XIII kitobda olim Teetetdan kelib chiquvchi
«to’g’ri jismlar» bo’yicha tadqiqotlar keltirilgan.
Yevklidning «Negizlar» asari hozirda Yevklid geometriyasi nomi bilan ma’lum
bo’lgan geometriya fanining asosi hisoblanadi. Negizl а r»ning g ео m е triyag а doir
bo’liml а ri o’zining m а zmuni jih а tid а n va m а t е ri а l bayon etishdagi qat’iyligi
jih а tid а n g ео m е triyaning hozirgi maktab d а rslikl а rig а mos k е l а di. U fazoning
metrik xususiyatlarini bayon qiladi va hozirgi zamon fanida Yevklid fazosi deb
ataladi.
Yevklid fazosi, Galiley hamda Nyutonlar tomonidan asos solingan mumtoz
fizika hodisalarining namoyon bo’lish arenasi hisoblanadi. Bu fazo bo’sh, cheksiz
va izotrop bo’lib uch o’lchamga ega. Yevklid fazoda atomlar harakatini ilgari
suruvchi g’oyalariga asoslangan o’ziga xos fazo geometriyasini yaratdi. Undagi
eng soda geometrik obyekt bu – nuqta bo’lib, Yevklidga ko’ra nuqta tomonlarga
ega emas va bo’linmas hisoblanadi.
Fazoning cheksizligi uchta postulatlar bilan ifodalanadi:
6

«Har qanday ikki nuqta orasidan to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin»;
«Kesmani har ikki tarafga cheksiz davom ettirish mumkin»;
«Har qanday markaz orqali aylana chizish mumkin»
«Boshlang’ichlar» haqida gapirilganda uning, Injildan so’ng ikkinchi mashhur
qadimgi yodgorlik asar deb baholanadi. Kitob o’ziga xos, jozibador tarixga ega.
Ikki ming yillik davomida u maktab o’quvchilarining asosiy darsligi,
geometriyaning kirish kursi sifatida Benazir manba bo’lib xizmat qildi.
«Boshlang’ichlar» o’z mazmun mohiyatiga ko’ra soda va ravon tilda yozilganligi,
o’quvchi uchun o’zlashtirishga qulayligi kabi ajoyib jihatlari tufayli, qadimda ham,
yaqin o’tmishda ham favqulodda mashhurlikka ega edi. Noshirlik ishi hali yo’lga
qo’yilmagan Gutenberggacha bo’lgan davrlarda, «Boshlang’ichlar» turli
mamlakatlar va shaharlarda ko’plab tillardagi qo’lyozmalar shaklida xattotlar
tomonidan minglab nusxalarda ko’chirib tarqatilgan. «Boshlang’ichlar»ning
qadimgi Misr papiruslariga yozilgan nusxasi, teriga yozilgan bitiklar ko’rinishidagi
namunasi, va qog’ozga xattotlik usulida yozilgan nusxalari ma’lum. Mazkur
asarning amaliy ahamiyati shunda ediki, geometrik bilimlar, kundalik turmushda,
uylar, bino va inshootlarni loyihalashda, dastgoh, asbob uskunalarni yasashda va
ayniqsa harbiy sohalarda eng zaruriy bilimlar hisoblanardi. XX asrgacha bo’lgan
so’nggi to’rt asr ichida «Boshlang’ichlar» 2500 marotaba nashr etilgan: o’rtacha
bir yilda 6 – 7 nashrda chop etilgan. XX asrgacha mazkur kitob Geometriya
fanidan nafaqat maktablarda, balki, universitetlarda ham asosiy darslik bo’lib
hisoblangan.
Yevklidning «Boshlang’ichlar» asarini to’liq o’rganib va mukammal sharhlab
chiqqan eng birinchi olimlar – o’rta asr musulmon sharqi matematik allomalari edi.
Musulmonlardan «Boshlang’ichlar»ning arab tilidagi nusxalari italyan
matematiklari orqali Yevropa uyg’onish davri matematiklari e’tiboriga yetib bordi
va lotin tili hamda boshqa Yevropa tillariga muttasil o’girildi. Dastlabki bosma
nashri 1533-yilda Bazelda paydo bo’ldi. Shunisi qiziqki, «Boshlang’ichlar»ning
ingliz tilidagi eng birinchi tarjima nusxasi, olim yoki tarjimon tomonidan emas,
balki, Londonlik savdogar Genri Billingveem tomonidan 1570-yilda amalga
oshirilgan va chop ettirilgan. Albatta, Yevklid fazosining barcha xususiyatlari
birdaniga kashf etilgan emas. Uning ko’plab jihatlari asrlar davomida, ilmiy
tafakkurning uzoq izlanishlari natijasida maydonga chiqqan. Lekin, o’sha barcha
ilmiy ishlarga «Boshlang’ichlar» asari, o’z nomiga munosib ravishda ilmiy qanot
bergan. Hozirda ham Yevklid geometriyasining asoslarini bilish butun dunyo
bo’yicha ta’lim jarayonlarining muhim shartlaridan biri hisoblanadi.
Biz Yevklid tekisligiga taalluqli yasashga doir masalalar bilan shug’ullanamiz.
Tekislikda yasashga doir masalalarni yechishda odatda yasash qurollaridan sirkul
va chizg’ich ishlatiladi. Yasashga doir masalalarni chizg’ich va sirkul yordamida
7

yechishda chizma praktikasida qo’llaniladigan chizg’ich va sirkul emas, balki
abstrakt .chizg’ich va sirkul e’tiborga olingan. Bu qurollarning konstruktiv
imkoniyatlari quyidagi ikki aksioma bilan ifoda qilinadi:

1.Yasash uskunalari bular sirkul va chizg`ichdir. Chizg`ich
birliklarga ajratilmagan bo`lib, uning yordamida faqat ikki yasalgan nuqtadan
o`tgan to`g`ri chiziqni o`tkazish mumkin.
2.Sirkul yordamida markazi yasalgan nuqtada va radiusi yasalgan kesma
uzunligiga teng bo`lgan aylanani chizish mumkin.
Izoh: Eslatamizki, yasashga doir masalalarni yechishda ba`zida yasalgan
figuralar to`g`ri chiziq, aylana, nurga va kesmaga tegishi yoki tegisli bo`lmagan
nuqtalarni ixtiyoriy olishga to`g`ri keladi. Bu oraliq yordamchi yasalgan nuqtalarni
tanlab olish shart tufayli bajariladi. Bu tegishli va tegishli bo`lmagan nutqalarni
olish mumkinligini P1-P5 yasash postulatlari yordamida quyidagicha asoslaymiz.
1-masala
To`g`ri chiziqqa tegishli bo`lmagan birorta nuqtani yasang.
Yechish: Berigan (yasalgan) to`g`ri chiziqda ixtiyoriy ikki yasalgan A va B
nuqtalarni olamiz. So`ngra va aylanalarni yasaymiz. Bu aylanalar
M va N nuqtalarda kesishadi. P5 bo`yicha bu nuqtalar yasalgan deb hisoblanadi.
Bu yerda
2-masala Berilgan aylana markazini yasang
Yechish : Aytaylik yasalgan aylana bo`lsin. Bu aylananing ixtiyoriy yasalgan
A va B nuqtalarini olamiz va AB kesma o`rta perpendikulari m ni o`tkazamiz. Bu
o`rta maktabdan ma`lum. Aytaylik C va D nuqtalar m bilan ni kesishgan nuqtalari
bo`lsin (bu nuqtalar P4 bo`yicha yasalgandir). CD kesmaning o`rtasi O nuqta
aylananing markazidir. Biz bundan keyin aylananing markazi yasalgan deb
hisoblaymiz
Odatda, yasashga doir masalalarni hal qilishda masala yechimini
osonlashtirish va to’la yechimini ta’minlash maqsadida yuritiladigan muhokama
quyidagi 4 ta bosqichdan iborat:
1. Analiz – tayyorgarlik va masalani o`rganish bosqichi;
2. Yasash – amaliy bosqichi;
3. Isbotlash – sinash bosqichi (yechimni asoslash);
4. Tekshirish – ijodiy bosqich.
1. Analiz.
Bu masala yechishning dastlabki tayyorlov bosqichidir. Bu bosqichning asosiy
vazifasi masalani yechilishi oldindan ma’lum bo’lgan masalalarga ajratish va
8

masalaning yechilish tartibini aniqlashdan iborat. Bunda, masala yechildi deb faraz
qilib, izlanayotgan figura masala talabiga mumkin qadar to’laroq javob beradigan
qilib qo’lda taxminan chizib qo’yiladi. So’ngra kerakli geometrik faktlardan
foydalanib, so’ralgan va berilgan figura orasidagi bog’lanishlar aniqlanadi va
figuraning qaysi elementini qay tartibda yasash mumkinligini belgilanadi. Bunda
berilgan va izlanayotgan figuralar orasidagi bog’lanishlarni topishni osonlashtirish
maqsadida yordamchi figuradan foydalaniladi. Yordamchi figura shunday bo’lish
kerakki, uni berilganlarga asosan yasash va undan izlanayotgan figuraga to’ldirish
mumkin bo’lsin. Shu asnoda qo’shimcha figurani va izlanayotgan figurani yasash
rejasi tuziladi.Bu ketma – ket yasash jarayoni.
2. Yasash.
Masalada so’ralgan figurani yasash uchun kerak bo’lgan asosiy yasashlar P 1 P 5
postulatlarni hisobga olib ketma-ketligi analiz bosqichida tuzilgan reja asosida,
qadam va qadam chizg’ich va sirkul yordamida figura yasaladi.
3. Isbotlash.
Bunda yasalgan figura masalada izlangan figura ekanligi isbot qilinadi, ya’ni uni
masalada berilgan barcha shartlarga javob berishi isbotlanadi. Isbotlash bosqichida
yasashda bajarilgan amallarga va geometriyaning tegishli teoremalariga asoslanadi.
Ko`pgina hollarda isbotlash yasash jarayonidan kelib chiqadi.
4. Tekshirish.
Bu bosqichda quyidagi savollarga javob topish kerak:
1) masalada berilgan elementlarni ixtiyoriy tanlab olinganda ham masala
yechimga ega bo’ladimi, agar ega bo’lmasa, u holda qanday shart bilan tanlab
olinganda masala yagona yechimga ega bo’ladi, qanday hollarda masala yechimga
ega bo’lmaydi?
2) berilgan elementlar imkoniyati boricha tanlab olinganda masala nechta
yechimga ega bo’ladi?
Yasashga doir masalalarni bosqichlarga ajratib yechish to’g’ri va yagona
yechimni topish garovidir. Lekin, har qanday masalani yechishda ham bu to’rtta
bosqichga qat’iy rioya qilish shart emas. Masalaning sodda yoki murakkabligiga
qarab, bu bosqichlarning ba’zilariga to’xtalmasdan keyingi bosqichiga o’tib ketish
mumkin.
Agar birorta to`plamning (figuraning) nuqtalari bitta shartni qanoarlantirsa, bu
nuqtalarga geometrik o`rin deyiladi. Bu nuqtalar to`plamini nuqtalarini yasash
uslubi geometrik o`rin metodi deb yuritiladi.
Geometrik o’rinlar metodida masala quyidagi ikki shartni qanoatlantiruvchi
nuqtani topishga keltiriladi: birinchi 1 shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarning
geometrik o’rni F1 figuradan; ikkinchi 2 shartni bajaruvchi nuqtalarning geometrik
9

o’rni F2 figuradan iborat bo’lsin. Har ikki 1 va 2 shartni qanoatlantiradigan
nuqtalar F1 F2 kesishmaga tegishli bo’ladi.
Yuqoridagi i shartni qanoatlantiruvchi i F figuralar to`g`ri chiziq, aylana yoki
ularning birorta bo`lagidan iborat bo`lishi kerak. P 1 P 5 shartlarni qanoatlantiruvchi
figura nuqtalari yasalgan hisoblanadi.
Tekislikning ma’lum talablarga javob beruvchi biror yoki bir nechta nuqtasini
topishga doir masalalar yoki shunday nuqtalarni topishga keltirib yechiladigan
masalalar geometrik o’rinlar metodi bilan yechiladi. Shu sababli bu metodga
kesishmalar metodi deb ham yuritiladi.
Bu metod bilan masala yechish uchun o’rta maktabda ma’lum bo’lgan quyidagi
asosiy geometrik o’rinlarni puxta bilish zarur.
1. Tekislikning biror O nuqtasidan ma’lum r uzoqlikda yotgan nuqtalarning
geometrik o’rni markazi shu O nuqtadan radiusi r bilan chizilgan aylana bo’ladi.
2. Berilgan to’g’ri chiziqdan ma’lum masofada yotgan naqtalarning geometrik
o’rni shu to’g’ri chiziqdan ikki tarafda unga parallel va berilgan masofada
joylashgan ikki to’g’ri chiziqdir.
3. Kesma uchlaridan teng uzoqlikdagi nuqtalarning geometric o’rni shu
kesmaning o’rta perpendikulyari bo’ladi.
4. Burchak tekisligida burchak tomonlaridan teng uzoqlikda yotuvchi
nuqtalarning geometrik o’rni shu burchakning bissektrisasidir.
5. O’zaro parallel ikki to’g’ri chiziqdan teng uzoqlikdagi bir nuqtasidan
ikinchisiga tushirilgan perpendikular hosil qilgan nuqtalarning geometrik o’rni bu
to’g’ri chiziqlarning istalgan ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesma o’rtasidan shu
to’g’ri chiziqlarga parallel qilib o’tkazilgan to’g’ri chiziqdir. Boshqacha qilib
aytganda bu to`g`ri chiziq berilgan to`g`ri chiziqning simmetriya o`qidir.
6. Berilgan AB kesma berilgan burchak (900) ostida ko’rinadigan nuqtalarning
geometrik o’rni berilgan kesmani diametr qilib chizilgan aylanadan iboratdir (bu
geometrik o’ringa
A, B nuqtalar kirmaydi).
7. Tekislikning berilgan kesma [ AB ]berilgan ( α ) burchak ostida ko’rinuvchi
nuqtalarning geometric o’rni - berilgan burchakni sig’diruvchi ikkita teng
segmentning berilgan kesma bilan tortilib turuvchi yoylaridan iboratdir (geometrik
o’ringa A,B nuqtalar kirmaydi). Bundan keyingi geometrik o’rinlar asosiy
geometrik o’rinlardan biriga keltiriladi yoki ularning bir nechtasidan foydalanib
topiladi. Geometrik o’rinlar metodi bilan yechiladigan masalalarga misol tariqasida
qiyidagi masalani ko’raylik.
Agar birorta to`plamning (figuraning) nuqtalari bitta shartni qanoarlantirsa,
bu nuqtalarga geometrik o`rin deyiladi. Bu nuqtalar to`plamini nuqtalarini yasash
uslubi geometrik o`rin metodi deb yuritiladi.
10

Geometrik o’rinlar metodida masala quyidagi ikki shartni qanoatlantiruvchi
nuqtani topishga keltiriladi: birinchi 1 shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarning
geometrik o’rni F1 figuradan; ikkinchi 2 shartni bajaruvchi nuqtalarning geometrik
o’rni F2 figuradan iborat bo’lsin. Har ikki 1 va 2 shartni qanoatlantiradigan
nuqtalar F1 F2 kesishmaga tegishli bo’ladi.
Yuqoridagi i shartni qanoatlantiruvchi i F figuralar to`g`ri chiziq, aylana yoki
ularning birorta bo`lagidan iborat bo`lishi kerak. P 1 P 5 shartlarni qanoatlantiruvchi
figura nuqtalari yasalgan hisoblanadi.
Tekislikning ma’lum talablarga javob beruvchi biror yoki bir nechta nuqtasini
topishga doir masalalar yoki shunday nuqtalarni topishga keltirib yechiladigan
masalalar geometrik o’rinlar metodi bilan yechiladi. Shu sababli bu metodga
kesishmalar metodi deb ham yuritiladi. Bu metod bilan masala yechish uchun o’rta
maktabda ma’lum bo’lgan quyidagi asosiy geometrik o’rinlarni puxta bilish zarur.
1. Tekislikning biror O nuqtasidan ma’lum r uzoqlikda yotgan nuqtalarning
geometrik o’rni markazi shu O nuqtadan radiusi r bilan chizilgan aylana bo’ladi.
2. Berilgan to’g’ri chiziqdan ma’lum masofada yotgan naqtalarning geometrik
o’rni shu to’g’ri chiziqdan ikki tarafda unga parallel va berilgan masofada
joylashgan ikki to’g’ri chiziqdir.
3. Kesma uchlaridan teng uzoqlikdagi nuqtalarning geometrik o’rni shu
kesmaning o’rta perpendikulyari bo’ladi.
4. Burchak tekisligida burchak tomonlaridan teng uzoqlikda yotuvchi
nuqtalarning geometrik o’rni shu burchakning bissektrisasidir.
5. O’zaro parallel ikki to’g’ri chiziqdan teng uzoqlikdagi bir nuqtasidan
ikinchisiga tushirilgan perpendikular hosil qilgan nuqtalarning geometrik o’rni bu
to’g’ri chiziqlarning istalgan ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesma o’rtasidan shu
to’g’ri chiziqlarga parallel qilib o’tkazilgan to’g’ri chiziqdir. Boshqacha qilib
aytganda bu to`g`ri chiziq berilgan to`g`ri chiziqning simmetriya o`qidir.
6. Berilgan AB kesma berilgan burchak (900) ostida ko’rinadigan nuqtalarning
geometrik o’rni berilgan kesmani diametr qilib chizilgan aylanadan iboratdir (bu
geometrik o’ringa A, B nuqtalar kirmaydi).
7. Tekislikning berilgan kesma [ AB ] berilgan ( α ) burchak ostida ko’rinuvchi
nuqtalarning geometric o’rni - berilgan burchakni sig’diruvchi ikkita teng
segmentning berilgan kesma bilan tortilib turuvchi yoylaridan iboratdir (geometrik
o’ringa A,B nuqtalar kirmaydi). Bundan keyingi geometrik o’rinlar sosiy geometrik
o’rinlardan biriga keltiriladi yoki ularning bir nechtasidan foydalanib topiladi.
Geometrik o’rinlar metodi bilan yechiladigan masalalarga misol tariqasida
qiyidagi masalani ko’raylik.
1-masala: Aylanada shunday nuqta topilsinki, u berilgan ikki
11

nuqtadan teng masofada yotsin. Agar bizga A,B nuqtalar va ω aylana berilgan
bo’lsa, izlanayotgan nuqta [AB] kesmaning o’rta perpendikulyari bilan aylana
kesishgan nuqtasidan iborat bo’ladi. Ya`ni D va C nuqtalar.
Bir to’g’ri chiziqda yotmagan kesmalarning, masalan siniq chiziq
bo’g’inlarining algebraik yig’indisiga teng kesma yasash, kesmalarni to’g’rilash
deb ataladi. To’g’rilashdan foydalanib masala yechish –yasashda to’g’rilash
metodi deyiladi.
Yasashga doir masaladagi ma’lum elementlar qatorida izlanayotgan figura
chiziqli noma’lum elementlarining yig’indisi yoki ayirmasi berilgan bo’lsa, bunday
masala to’g’rilash metodi bilan oson yechiladi.
Geometrik almashtirishlardan foydalanib, geometrik masalalarni yechish
mumkin. Bu metod bilan masala yechishni analiz bosqichida, berilgan va izlangan
figuralardan tashqari, berilgan figuraning yoki uning biror qismini u yoki bu
geometrik almashtirishlar natijasida hosil qilingan figuralar ham qaraladi. Bu
figura qaysi geometrik almashtirishni qo’llab hosil qilingan bo’lsa, yasashga doir
masala o’sha metod bilan yechilgan deb ataladi. Jumladan, simmetriya metodi,
parallel ko’chirish metodi, gomotetiya metodi, inversiya metodi va h.k. Masalan
quyidagi ko’rinishdagi masalalar
1. MN to’g’ri chiziqning bir tarafida A va B nuqtalar joylashgan. MN to’g’ri
chiziqda shunday X nuqta topingki, bu nuqtadan A,B nuqtalargacha bo’lgan
masofalarning yig’indisi eng kichik bo’lsin (simmetriya metodi).
2. Asoslari va diognallari bo’yicha trapetsiya yasang (parallel ko’chirish
metodi).
3. A va B burchaklari va C uchidan chiqqan bissektrisasi с b bo’yicha
uchburchak yasang (gomotetiya).
4. Berilgan M markazdan shunday aylana chizingki, uning berilgan to`g`ri
chiziqlar bilan kesishuvidan hosil bo`lgan vatarlarning yig`indisi berilgan kesmaga
teng bo`lsin.(burish)
Bu metodda izlangan figura bilan masalada berilganlar orasidagi bog’lanishni
bevosita aniqlamay, oldin ularga inversion mos figuralar orasidagi munosabat
topiladi, so`ngra izlangan figuraga o’tiladi. Bu ish quyidagi tartibda bajariladi:
1. Masalada izlangan figura topildi deb, taxminan chizib qo’yiladi. Bayon
qilingan geometrik metodlar bir talay konstruktiv masalalar yechish yo`llarini
ko`rsatsada, bazan ulardan foydalanish ishni g`oyat murakkablashtiradi, ayrim
hollarda ulardan butunlay foydalanib bo`lmaydi. Bu kamchilikni yo`qotish
yo`lidagi urinishlar natijasida algebraik metod vujudga kelgan.
Bu metodning boshqa metodlardan afzalligi shundaki, geometric metodlarda
faqat geometrik nazariyadangina foydalanilsa, algebraik metodda geometrik
nazariyalar bilan birga algebra qoidalari ham keng miqyosda ishlatiladi.
12

Geometrik nazariya bilan algebra qoidalarini birga ishlatish, ya`ni algebrani
geometriyaga tadbiq etish, algebraik tushunchalar bilan geometrik tushunchalar
orasidagi bog`lanishga asoslanadi. Shuning uchun algebraik metodni o`rganishni
ana shu bog`lanish haqida bir ikki so`z aytishdan boshlaymiz.
1.2. Yevklid geometriyasining oliy ta’lim matematikasidagi roli
Geometrik figuralarni yasash nazariyasining muhim muammolaridan biri :
Berilgan ma`lumot elementlari asosida u yoki bu geometrik shaklni-figurani sirkul
va chizg`ich yordamida yasash mumkinmi? - degan savolga javob beradigan
mezonning o`rnatilishidir. Shu bilan birga ta`kidlash joizki, agar yasaladigan
shakl-figura mavjud bo`lsa , shunda uni yasash mumkinligi xususida
masala qo`yiladi. Masalan, biz quyidagi misolni qarasak. To`g`ri
chiziqda uchta M,N va D nuqtalar berilgan. Tomonlari MN,NP va MP
kesmalarga teng bo`lgan uchburchakni yasang.
Bunday uchburchak mavjud emas shu sababli, bu masala umuman yechimga ega
emas.
Misol sifatida, boshqa bir misolni ko`raylik. Ikkita o`zaro
kesishadigan to`g`ri chiziqlar a va b va shu chiziqlarda yotmagan A
nuqta berilgan. A nuqtadan shunday to`g`ri chiziq o`tkazingki uning a va b to`g`ri
chiziqlar bilan ajratgan kesmasi berilgan kesmaga teng bo`lsin. Masala shartlarini
qoniqtiradigan p kesmaga ayrim chegaralanishlarida yasalishi lozim to`g`ri chiziq
mavjudligini ko`rsatish mumkin. Biroq, ko`rinishidan oson tuyilgan bu masala
sirkul va chizg`ich yodamida yechilmaydi.
Ma`lum bir o`lchov birligida x kesmaning uzunligi a, b, … l
kesmalar uzunligi bilan bog`liq berilgan formula:
= f(a, b, …. l) ẋ yordamida ifodalangan bo`lsa.
Har doim ham x kesmani sirkul va chizg`ich yordamida yasash
mumkinmi? –degan savol tug`iladi.
Bu savolga quyidagi ikkita teorema javob beradi,
TEOREMA 1. Agar x kesmaning uzunligi berilgan kesmalar uzunliklarining
arifmetik operatsiyalari (qo`shish, ayirish, bo`lish,ko`paytirish) va kvadrat ildizdan
chiqarish yordamida ifodalansa, bu x kesmani sirkul va chizg`ich yordamida
yasash mumkin.
Teoremaning tasdig`i ko`rinib turibdi. x kesmaning yasalishini
har doim yordamchi kesmalarning tugallangan to`plami y, z, …, ga
olib kelsa bo`ladi.
TEOREMA 2 . Agar x kesmani berilgan kesmalar bilan sirkul va
chizg`ich yordamida yasash mumkin bo`lsa, x kesmaning uzunligini
13

berilgan kesmalar uzunliklarining arifmetik operatsiyalari va kvadrat
ildizdan chiqarish yordamida ifodalash mumkin.
Algebrada biror bir musbat sonni ifodalovchi a harfiga
geometriyada biror bir birlik bilan o`lchangan kesmaning uzunlig deb qarash
mumkin. Shunday qilib, a harfi bir vaqtda ham sonni, ham kesmani uzunligini
bildirishi mumkin.
2. Mo’ljallab shunday bir nuqtani inversiya markazi deb qabul qilinadiki, bu
nuqtani markaz qilib chizilgan aylanaga nisbatan berilgan va so’ralganlarni
inversion almashtirganda masala yechishning osonroq yo’li topilsin, ya’ni
masalada berilgan va so’ralganlar orasidagi munosabatga qaraganda ularga
inversion mos figuralar orasidagi munosabat soddaroq bo’lsin.
Bu shartni qanoatlantiradigan inversiya aylanasi chizib, masalada berilgan va
so’ralganlar bu aylanaga nisbatan inversion almashtiriladi.
3. Chizilgan inversion figuralar orasidagi munosabatni o’rganib, so’ralgan
figuraga mos figurani yasash mumkinligi aniqlanadi, ya’ni berilgan masalaga
nisbatan osonroq bo’lgan yordamchi masalani yechish yo’li belgilanadi. Shu bilan
yechishning analiz bosqichi tugaydi. Yasashga doir masalalarni boshqa yasash
asboblari vositasida yechish.
Shu vaqtgacha yechilgan yasashga doir masalalarda keltirilgan ifodalarda
berilgan kesmalarning ratsional funksiyalari, yo faqat ularning kvadrat ildizlarini
o’z ichiga olgan ifodalar ekanligini ko’rdik. Bu hol tasodifiy emas. Masalaning
sirkul va chizg’ich vositasida yechilish belgisi (alomati) quyida berilmoqda:
14

II BOB. UCHBURCHAK GEOMETRIYASI. PIFAGOR TEOREMASI
2.1. Uchburchak geometriyasi
Uchburchaklar tengligining TBT alomati Agar bir uchburchak- ning ikki
tomoni va ular orasidagi burchagi ikkinchi uchburchakning ikki tomoni va ular
orasidagi burchagiga mos ravishda teng bo’lsa, bunday uchburchaklar o’zaro teng
bo’ladi.
Uchburchaklar tengligining BTB alomati Agar bir uchburchak- ning bir tomoni
va unga yopishgan ikki burchagi ikkinchi uchburchakning bir tomoni va unga
yopishgan ikki burchagiga mos ravishda teng bo’lsa, bunday uchburchaklar o’zaro
teng bo’ladi.
Bizga ma’lumki, nuqtalarning har qanday to’plami figura deb
ataladi. Ma’lum talablarga javob beruvchi figurani bir yoki bir nechta
yasash qurollari yordamida yasashni talab etgan masala konstruktiv
(yasashga doir) masala deyiladi.
Konstruktiv geometriyada geometrik figurani yasash deganda
uning barcha elementlarini topishni tushunamiz. Geometriyaning
yasashga doir asosiy talablari aksiomalar orqali ifoda qilinadi.
Maktablar, kollejlar va litseylar kursida geometrik yasashlar
muhim o`rin egallaydi. Geometrik figuralarni yasashga doir masalalar
turli metodlar orqali bajariladi. Avvalo yasashga doir masalalarni
yechishda masalaning berilishi (qo`yilishi) shartlari, masalaning
yechilishi bosqichlari, yasash uskunalariga e`tibor qaratiladi.
Fazoda biror tekislikni tanlab olamiz va bu tekislikka asosiy
tekislik deb ataymiz. Qaralayotgan hamma geometrik figuralar shu
tekislikda joylashgan deb olinadi. Asosiy tekislikning nuqtalari, to`g`ri
chiziqlari va aylanalari yasashga doir masalalarda muhim o`rin
egallagani sababli ularga ham asosiy figuralar deb ataymiz. Bu asosiy
figuralardan tashqari bizni kesma, nur, yarim tekislik, ko`pburchaklar
va aylana yoylari kabi sodda geometrik figuralar qiziqtiradi, bu sodda
geometrik figuralar nuqtalarning berilishi bilan to`la aniqlanadi.
Ixtiyoriy yasashga doir masala berilgan figuralar yordamida u
yoki bu shartni qanoatlantiruvchi (izlangan) figurani yasash talab
qilinadi. Umumiy holatda yasashga doir masalaning qo`yilishini
aniqlash maqsadida quyidagi kelishuv qoidalarini o`rnatishga to`g`ri
keladi. Masalani aniq qo`yishda va ma`lum qoidalar asosida yechishda
ma`lum bir asosiy figuralar to`plami Ω ajratiladi. Ω to`plam
15

elementlari nuqta, to`g`ri chiziq va aylanadan iborat bo`lib, Ω ning
elementlari yasalgan deb yuritiladi. Ω dagi har bir turli chiziq, nuqta
va aylana bitta yaxlit obyekt sifatida qabul qilinadi. Masalan: aylanaɣ
yasalgan bo`lsa, u holda uning har bir nuqtasi qolaversa, markazi
yasalgan deb hisoblanavermaydi. Lekin bu aylananing ma`lim bir
nuqtalari alohida erkin bir figura sifatida yasalgan deb olishimiz
vaholanki, bu holatlar masalaga aytilgan bo`ladi yoki yasash
jarayonida vujudga keladi.
Bunday holatlar ya`ni yasashga doir masalani asosiy figurasi
quyidagi ikki shartni qanoatlantirishi kerak.
a) yasashga doir masala shartida berilgan nuqta, to`g`ri chiziq va
aylana Ω to`plamga tegishli deb hisoblanadi, ya`ni bu figuralar
yasalgan deb hisoblanadi. Hamda masalada berilgan asosiy figuralar
to`plami Ω to`plami chekli to`plamdir;
b) kamida bitta yasalgan to`g`ri chiziq mavjuddir. Ixtiyoriy
yasalgan to`g`ri chiziqda yoki aylanada kamida ikkita yasalgan nuqta
mavjuddir.
Endi biz ba`zi bir amallar (yasashlar) yordamida Ω ga yangi
nuqta, to`g`ri chiziq va aylanalar kiritamiz. Bu har bir amalni
yasashning qadamlari deb yuritamiz. Yasash postulatlarini keltiramiz, ya`ni biz
yasashni qaysi qadamlarini bajarilgan deb hisoblashimiz mumkin.
P1. Yasalgan ikki nuqtadan o`tgan to`g`ri chiziq yasalgandir. kesishish nuqtasi
yasalgandir.
P4.Yasalgan to`g`ri chiziqning va aylananing kesish nuqtalari
yasalgandir.
Endi biz umumiy ko`rinishda sirkul va chizg`ich yodamida
yasashga doir masalaning qo`yilishi ta`rifini keltiramiz. Bizga
F F F 1 2 , ,..., n chekli sondagi asosiy yasalgan figuralar berilgan bo`lib
yasash lozim bo`lgan izlanayotgan F figurani ta`riflovchi asosiy
xossalari ifodalangan bo`lsa, P P 1 5  postulatlarni chekli sonda qo`llab
F asosiy figurani yasash talab qilinadi. Ta`kidlaymizki, bu ta`rifda
chekli sondagi amallar bajarilish juda muhimdir.
Biz Yevklid tekisligiga taalluqli yasashga doir masalalar bilan
shug’ullanamiz. Tekislikda yasashga doir masalalarni yechishda
odatda yasash qurollaridan sirkul va chizg’ich ishlatiladi. Yasashga
doir masalalarni chizg’ich va sirkul yordamida yechishda chizma
praktikasida qo’llaniladigan chizg’ich va sirkul emas, balki abstrakt
16

chizg’ich va sirkul e’tiborga olingan. Bu qurollarning konstruktiv
imkoniyatlari quyidagi ikki aksioma bilan ifoda qilinadi:
1.Yasash uskunalari bular sirkul va chizg`ichdir. Chizg`ich
birliklarga ajratilmagan bo`lib, uning yordamida faqat ikki yasalgan
nuqtadan o`tgan to`g`ri chiziqni o`tkazish mumkin.
2.Sirkul yordamida markazi yasalgan nuqtada va radiusi yasalgan
kesma uzunligiga teng bo`lgan aylanani chizish mumkin.
Izoh: Eslatamizki, yasashga doir masalalarni yechishda ba`zida
yasalgan figuralar to`g`ri chiziq, aylana, nurga va kesmaga tegishi
yoki tegisli bo`lmagan nuqtalarni ixtiyoriy olishga to`g`ri keladi. Bu
oraliq yordamchi yasalgan nuqtalarni tanlab olish shart tufayli
bajariladi. Bu tegishli va tegishli bo`lmagan nutqalarni olish
mumkinligini P1-P5 yasash postulatlari yordamida quyidagicha
asoslaymiz. Bizga o’rta maktabdan yasashga doir masalalarni yechishning
turli usullari ma’lum. Maktabda yasaladigan figuralarni asosan sirkul
va chizg’ich yordamida bajarilishi talab qilinadi. Akademik litseylar
uchun o’quv dasturda o’quvchilar sirkul va chizg’ich yordamida tipik
yasashga doir masalalarni hal qilish talab qilinadi. Jumladan, berilgan
tomonlariga ko’ra uchburchak yasash, berilgan burchakka teng
burchak yasash; burchak bissektrisani yasash; kesmani teng ikkiga
bo’lish; perpendikulyar to’g’ri chiziq yasash va h.k. O’quvchilarning fazoviy
tasavvurlarini kengaytirishda ijodiy va konstruktorlik qobiliyatlarini rivojlantirishda
hamda ularni mantiqiy fikrlashga o’rgatishda yasashga doir masalalarni yechishning
ahamiyati juda kattadir.
Bizga ma’lumki, nuqtalarning har qanday to’plami figura deb
ataladi. Ma’lum talablarga javob beruvchi figurani bir yoki bir nechta
yasash qurollari yordamida yasashni talab etgan masala konstruktiv
(yasashga doir) masala deyiladi.
Konstruktiv geometriyada geometrik figurani yasash deganda
uning barcha elementlarini topishni tushunamiz. Geometriyaning yasashga doir
asosiy talablari aksiomalar orqali ifoda qilinadi. Maktablar, kollejlar va litseylar
kursida geometrik yasashlar muhim o`rin egallaydi. Geometrik figuralarni
yasashga doir masalalar turli metodlar orqali bajariladi. Avvalo yasashga doir
masalalarni yechishda masalaning berilishi (qo`yilishi) shartlari, masalaning
yechilishi bosqichlari, yasash uskunalariga e`tibor qaratiladi.
Fazoda biror tekislikni tanlab olamiz va bu tekislikka asosiy
tekislik deb ataymiz. Qaralayotgan hamma geometrik figuralar shu
17

tekislikda joylashgan deb olinadi. Asosiy tekislikning nuqtalari, to`g`ri
chiziqlari va aylanalari yasashga doir masalalarda muhim o`rin
egallagani sababli ularga ham asosiy figuralar deb ataymiz. Bu asosiy
figuralardan tashqari bizni kesma, nur, yarim tekislik, ko`pburchaklar va aylana
yoylari kabi sodda geometrik figuralar qiziqtiradi, bu sodda
geometrik figuralar nuqtalarning berilishi bilan to`la aniqlanadi.
Ixtiyoriy yasashga doir masala berilgan figuralar yordamida u
yoki bu shartni qanoatlantiruvchi (izlangan) figurani yasash talab
qilinadi. Umumiy holatda yasashga doir masalaning qo`yilishini
aniqlash maqsadida quyidagi kelishuv qoidalarini o`rnatishga to`g`ri
keladi. Masalani aniq qo`yishda va ma`lum qoidalar asosida yechishda
ma`lum bir asosiy figuralar to`plami Ω ajratiladi. Ω to`plam
elementlari nuqta, to`g`ri chiziq va aylanadan iborat bo`lib, Ω ning
elementlari yasalgan deb yuritiladi. Ω dagi har bir turli chiziq, nuqta
va aylana bitta yaxlit obyekt sifatida qabul qilinadi. Masalan: aylanaɣ
yasalgan bo`lsa, u holda uning har bir nuqtasi qolaversa, markazi
yasalgan deb hisoblanavermaydi. Lekin bu aylananing ma`lim bir
nuqtalari alohida erkin bir figura sifatida yasalgan deb olishimiz
vaholanki, bu holatlar masalaga aytilgan bo`ladi yoki yasash
jarayonida vujudga keladi.
Bunday holatlar ya`ni yasashga doir masalani asosiy figurasi
quyidagi ikki shartni qanoatlantirishi kerak.
a) yasashga doir masala shartida berilgan nuqta, to`g`ri chiziq va
aylana Ω to`plamga tegishli deb hisoblanadi, ya`ni bu figuralar
yasalgan deb hisoblanadi. Hamda masalada berilgan asosiy figuralar
to`plami Ω to`plami chekli to`plamdir;
b) kamida bitta yasalgan to`g`ri chiziq mavjuddir. Ixtiyoriy
yasalgan to`g`ri chiziqda yoki aylanada kamida ikkita yasalgan nuqta
mavjuddir.
Endi biz ba`zi bir amallar (yasashlar) yordamida Ω ga yangi
nuqta, to`g`ri chiziq va aylanalar kiritamiz. Bu har bir amalni
yasashning qadamlari deb yuritamiz.
Yasash postulatlarini keltiramiz, ya`ni biz yasashni qaysi
qadamlarini bajarilgan deb hisoblashimiz mumkin.
Ta'rif
Bir to'g'ri chiziqda bo'lmagan uchta nuqtadan iborat geometrik figuralar
uchburchaklar deyiladi.
18

Nuqtalarni tutashtiruvchi chiziq segmentlari tomonlar, nuqtalar esa cho’qqilar
deyiladi. Cho'qqilar katta lotin harflari bilan belgilanadi, masalan: A, B, C.
Tomonlar ular tashkil topgan ikkita nuqta - AB, BC, AC nomlari bilan ko'rsatilgan.
Kesishuvchi tomonlar burchak hosil qiladi. Pastki tomoni rasmning asosi
hisoblanadi.
Guruch. 1. ABC uchburchagi.
Uchburchaklar turlari
Uchburchaklar burchak va tomonlarga ko'ra tasniflanadi. Har bir uchburchak turi
o'ziga xos xususiyatlarga ega.
Burchaklarda uch turdagi uchburchaklar mavjud:
 o'tkir burchakli;
 to'rtburchaklar;
 o'tkir.
Barcha burchaklar o'tkir burchakli uchburchaklar o'tkir, ya'ni har birining daraja
o'lchovi 90 0 dan oshmaydi.
To'rtburchak uchburchak to'g'ri burchakni o'z ichiga oladi. Qolgan ikkita burchak
har doim o'tkir bo'ladi, chunki aks holda uchburchak burchaklarining yig'indisi 180
darajadan oshadi, bu mumkin emas. To'g'ri burchakka qarama-qarshi bo'lgan
tomon gipotenuza va qolgan ikki oyoq deb ataladi. Gipotenuza har doim oyoqdan
kattaroqdir.
o'tkir uchburchakda o'tmas burchak mavjud. Ya'ni, 90 darajadan kattaroq burchak.
Bunday uchburchakdagi qolgan ikkita burchak o'tkir bo'ladi.
19

Guruch. 2. Burchaklardagi uchburchaklar turlari.
Pifagor uchburchagi - bu tomonlari 3, 4, 5 bo'lgan to'rtburchak.
Bundan tashqari, kattaroq tomon gipotenuzdir.
Bunday uchburchaklar ko'pincha geometriyadan oddiy masalalar tuzish uchun
ishlatiladi. Shuning uchun, esda tuting: agar uchburchakning ikki tomoni 3 bo'lsa,
uchinchisi, albatta, 5 bo'ladi. Bu hisob-kitoblarni soddalashtiradi.
Yon tomonlardagi uchburchaklar turlari:
 teng tomonli;
 teng yon tomonlar;
 ko'p tomonli.
Teng tomonli uchburchak - barcha tomonlari teng bo'lgan uchburchak. Bunday
uchburchakning barcha burchaklari 60 0 ga teng, ya'ni u doimo o'tkir burchakli.
Izossellar uchburchak faqat ikkita teng tomoni bo'lgan uchburchakdir. Bu
tomonlar lateral, uchinchisi esa asos deb ataladi. Bundan tashqari, teng yonli
uchburchakning poydevoridagi burchaklar teng va har doim o'tkirdir.
Ko'p tomonli yoki ixtiyoriy uchburchak - barcha uzunliklari va barcha burchaklari
bir-biriga teng bo'lmagan uchburchak.
20

2.2. Pifagor teoremasi
Shu vaqtgacha yechilgan yasashga doir masalalarda keltirilgan
ifodalarda berilgan kesmalarning ratsional funksiyalari, yo faqat
ularning kvadrat ildizlarini o’z ichiga olgan ifodalar ekanligini
ko’rdik. Bu hol tasodifiy emas. Masalaning sirkul va chizg’ich
vositasida yechilish belgisi (alomati) quyida berilmoqda:
Teorema. Ma’lum a,b,c,… kesmalar orqali ifodalangan
x  f ( a , b , c ,...) kesmani sirkul va chizg’ich yordamida yasash mumkin
bo’lishi uchun bu ifoda berilgan kesmalardan iborat argumentlarga
nisbatan ratsional va birinchi darajali bir jinsli funksiya bo’lishi yoki
ratsional amallar (qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish amallari)
bilan birga faqat kvadrat ildizlarni o’z ichiga olgan funksiya bo’lishi
zarur va yetarlidir.
Teoremaning zururiy shartini isboti o’zidan-o’zi ko’rinib turibdi.
Chunki, algebraik metod bilan yechiladigan barcha masalalar
maktabda ko’rilgan 1-7 masalalarga keltirib yechiladi.
Yechimga ega bo’lmagan yasashga doir masalalarga ko’plab
misollar keltirish mumkin. Masalan, kvadrat bo’lmagan to’g’ri
to’rtburchakka ichki aylana chizish, aylana ichida yotgan nuqtadan
shu aylanaga urinma o’tkazish mumkin emas va h.k.
Berilgan elementlari soni talabdan ko’p bo’lgan yasashga doir
masalalarni yechimga ega bo’lgan masalalari kiradi. Masalan, birilgan
ikki burchagi bo’yicha uchburchak yasash yoki berilgan 4 ta nuqtadan
aylana o’tkazish va sh.k.
Amaliyotda yechimi mavjud, lekin tanlab olingan yoki berilgan
yasash asboblari bilan yechib bo’lmaydigan masalalar katta
ahamiyatga ega. Bu holda berilgan masalani berilgan yasash vositalari
bilan yechish mumkin emasligi ko’rsatib bilishimiz lozim bo’ladi. Bu
– qiyin masalalar qatoriga kiradi. Qadimdan juda ko’p olimlar sirkul
va chizg’ich yordamida yechib bo’lmaydigan masalalar bilan
shug’ullanishganliklari bizga ma’lum.
1. «Uzunligi 2  R ga teng bo’lgan kesmani yasang».Aylanani
to’g’rilash. R=1 bo’lsa, Х  2  yasashga keltiriladi. Bizga ma’lumki,
taxminan   ni yasash mumkin (Arximed). Lekin 1882 yilda  ni
transendent son ekanligini F.Medemonn tomonidan isbot qilingan.
2. «Yuzi berilgan doiraning yuziga teng bo’lgan kvadrat
yasang».Doira kvadraturasi.
21

3. «Xajmi berilgan kubni hajmidan 2 barobar katta bo’lgan
kubning qirrasini yasang».Kubni ikkilantirish. х 3  2 а 3  х  а 3 2 agar
a =1 bo’lsa, х 3  2  х 3  2  0 Algebradan ma’lumki, bu tenglama
haqiqiy sonlardan iborat ildizga ega emas. Lekin ushbu masalani
ikkinchi tartibli egri chiziqlardan foydalanib yechish mumkin.
4. «Berilgan α burchakni teng 3 ga bo’ling» Burchakni teng 3 ga bo’lish. Faraz
qilaylik    3  3    cos   cos3   4 cos3   3cos  . Agar 2 ; cos 2 cos a
x     desak, x 3  3 x  a  0 tenglamaga ega bo’lamiz. Xususiy holda a=0
bo’lsa, (   900 ) x 3  3 x  0 tenglama hosil bo’ladi. x ( x 2  3)  0, x 1  0,
x 2  3 . Masala yechimga ega. Ya’ni, sirkul va chizg’ich yordamida   300 ni
yasay olamiz. Umuman, ixtiyoriy burchakni n
 2 teng bo’lakka bo’lish mumkin ( n  N ). Agar a= 1 bo’lsa, (  3   ) bo’lib x 3
 3 x  1  0 tenglamagan ega bo’lamiz.
Algebradan ma’lumki bu tenglik keltirilmaydi. Ya’ni 600 ni sirkul
va chizg’ich yordamida teng 3 ga bo’lib bo’lmaydi. R.Otajonov
kitobida, ushbu masalani sirkul va ikkita nuqtasi belgilangan chizg’ich
yordamida yechish mumkinligi ko’rsatilgan.
5.Muntazam ko’pburchaklarni yasash to’g’risida .
Ushbu muammo nemis matematigi K.Gauss tomonidan 1796 yilda hal qilingan. n -
tomoni muntazam ko’pburchakning sirkul va chizg’ich yordamida yasashning
zarur va yetarli sharti n  2 m  P 1 P 2... PS ko’rinishida yozish mumkin.
ekanligidadir. Bu yerda P 1, P 2 ,..., PS lar turli 22 k  1 ko’rinishidagi tub sonlardir.
Agar n tub son bo’lsa, uning ko’rinishi 22 k  1 ko’rinishda bo’lishi zarur
(Hozirgacha bunday sonlar chekli sonda yoki cheksiz ekanligi isbot qilimagan!).
Misol tariqasida, aylanani 7 yoki 9 ta teng bo’lakka bo’lib bo’lmaydi, boshqacha
qilib aytganda yirkul va chizg’ich yordamida muntazam 7 yoki 9 burchak yasab
bo’lmaydi. Sababi 7  22  3, 9  32 . Xuddi shunday 10 burchakni
yasab bo’lmaydi.
Endi biz umumiy ko`rinishda sirkul va chizg`ich yodamida
yasashga doir masalaning qo`yilishi ta`rifini keltiramiz. Bizga
F F F 1 2 , ,..., n chekli sondagi asosiy yasalgan figuralar berilgan bo`lib
yasash lozim bo`lgan izlanayotgan F figurani ta`riflovchi asosiy
xossalari ifodalangan bo`lsa, P P 1 5  postulatlarni chekli sonda qo`llab
F asosiy figurani yasash talab qilinadi. Ta`kidlaymizki, bu ta`rifda
chekli sondagi amallar bajarilish juda muhimdir.
Biz Yevklid tekisligiga taalluqli yasashga doir masalalar bilan
shug’ullanamiz. Tekislikda yasashga doir masalalarni yechishda
odatda yasash qurollaridan sirkul va chizg’ich ishlatiladi. Yasashga
doir masalalarni chizg’ich va sirkul yordamida yechishda chizma
22

praktikasida qo’llaniladigan chizg’ich va sirkul emas, balki abstrakt
chizg’ich va sirkul e’tiborga olingan. Bu qurollarning konstruktiv
imkoniyatlari quyidagi ikki aksioma bilan ifoda qilinadi:
1.Yasash uskunalari bular sirkul va chizg`ichdir. Chizg`ich
birliklarga ajratilmagan bo`lib, uning yordamida faqat ikki yasalgan
nuqtadan o`tgan to`g`ri chiziqni o`tkazish mumkin.
2.Sirkul yordamida markazi yasalgan nuqtada va radiusi yasalgan
kesma uzunligiga teng bo`lgan aylanani chizish mumkin.
Izoh: Eslatamizki, yasashga doir masalalarni yechishda ba`zida
yasalgan figuralar to`g`ri chiziq, aylana, nurga va kesmaga tegishi
yoki tegisli bo`lmagan nuqtalarni ixtiyoriy olishga to`g`ri keladi. Bu
oraliq yordamchi yasalgan nuqtalarni tanlab olish shart tufayli
bajariladi. Bu tegishli va tegishli bo`lmagan nutqalarni olish
mumkinligini P1-P5 yasash postulatlari yordamida quyidagicha
asoslaymiz.
Bunday masalalar xili jami 17 ta bo`lib , ular berilgan ikkita
burchagi va berilgan bitta chiziqli elementi bo`yicha uchburchak
yasashdan iboratdir.
Bu masalarni qisqacha bunday yozib ko`rsatish mumkin: (A,B, a ),
(A,B, c ), (A,B, b ), (A,B, ha ), (A,B, hc ), (A,B, hb ), (A,B, ma ), (A,B, mc ),
(A,B, mb ), (A,B, ba ), (A,B, bc ), (A,B, bb ), (A,B, r ), (A,B, R ), (A,B, rb ),
(A,B, ra ), (A,B, rc ).
Bu masalalarning ba`zilari kitobning bundan oldingi betlarida
yechilgan Shuning uchun bulardan oldingi uchtasiga to`xtalmay, 11-
masala yechib ko`rsatamiz. Qolganlarni kitobxonga yordamchi
figurani ishlatish yo`li bilan mustaqil yechishni tavsiya qilamiz. Bu
masalani o`xshashlik metodi bilan yechilishini ko`raylik.
1-masala. A,B, va bc bo`yicha uchburchak yasash.
Analiz: Masalada berlgan shartlardan A va B burchaklar izlangan ABC
uchburchakning shaklini, bc bissektrissa esa bu uchburchakning
kattaligini aniqlaydi.
Demak, berilgan masala quyidagi ikki yordamchi masalaga
ajraladi.
1)A va B burchaklari berilgan uchburchak yasash.
2)ABC uchburchakka o`xshash, uning C uchidan chiqqan
bissektrissasi berilgan bc kesmaga teng uchburchak yasash.
Yasash : A1 va B1 burchaklari A av B burchalariga mos ravishda
teng bo`lgan yordamchi A1CB1 uchburchak yasaymiz (14-rasmga
qarang). Birinchi yordamchi masala aniqmas masaladir. Shuning uchun
23

bunda yasaladigan uchburchak ixtiyoriy kattalikda, ammo izlangan
uchburchakka o`xshash bo`ladi. Demak, birinchi yordamchi masalani
yechish bilan izlangan uchburchakning shakligina aniqlanadi.
Ikkinchi yordamchi masalani yechish uchun yasalgan A1CB1
uchburchakni biror nuqtaga nisbatan ma`lum koeffisient bilan
o`xshash almashtiramiz.
Bu ishni quyidagi yo`llar bilan bajarish mumkin:
Birinchi xil akslantirish . Yasalgan uchburchakda masalada
berilgan bc kesma mos CD1=bc bissektrisa chizib, uning C uchini
gomotetiya markazi deb qabul qilamiz. Mos kesmalarning nisbatini ya`ni k=bc:b`c
ni o`xshashlik koeffisienti sifatida qabul qilib, A1CB1 uchburchakni C markazga
nisbatan k koeffisient bilan almashtiramiz. Buni quyidagicha bajarish
mumkin: CD1 bissektrisa ustiga uning C uchidan boshlab, berilgan CD=bc
bissektrisani qo`yamiz. Markazi c da joylashgan va D1 nuqtani
D ga almashtiruvchi almashtirish gomotetiya bizga kerak almashtirish
bo`ladi. D nuqtada A1B1 tomonga parallel qilib to`g`ri chiziq
o`tkazamiz. Bu chiziq yordamchi uchburchakning CA1 va CB1
tomonlari bilan kesishib, A1 va B1 nuqtalarga mos bo`lgan A va B
nuqtalarni beradi; bundan izlangan ABC uchburchak hosil bo`ladi.
Ikkinchi xil akslantirish: 15-rasmda yasalgan yordamchi A1B1C1
uchburchakdagi C1D1=b`c bissektrisaning ikkinchi uchi bo`lgan D1
nuqtani gomotetiya markazi deb qabul qilib, yordamchi uchburchakni
shu markazga nisbatan birinchi holda aytilgan k koeffisient bilan bissektrisaga teng
bo`lgan D1C kesmani qo`yamiz.
Pifagor va uning teoremasi haqida.
Buyuk yunon matematigi Pifagorning hayoti haqida ma'lumotlar juda oz. U
eramizdan oldingi VI asrning ikkinchi yarmida Egey dengizining Samos orolida
tug'ilgan. Keyinchalik u janubiy Italiyadagi Kroton shah-rida yashagan, shu yerda
o'z maktabiga asos solgan. Pifagor maktabi shakllarni ajratish va to'g'ri chiziqli
shakllarni tengdosh shakllarga almash-tirishning geometrik usulidan teoremalarni
isbot qilish va masalalar yechishda ham foydalanganligi yunon matematiklarining
asarlaridangina bizga ma'lum. Xususan, geometriyaning fan sifatida tarkib
topishida Pifagor va uning maktabi katta hissa qo'shgan. Quyida keltiriladigan
teorema Pifagor nomi bilan yuritiladi. Uning teoremasi quyidagicha:
( P i f a g o r t e o r e m a s i . ) To'g'ri burchakli uchburchak gipotenu zasining
kvadrati uning katetlari kvadratlarining yig'indisiga teng.
24

Bu teorema to'g'ri burchakli uchburchakka oid bo'lib, uchburchak tomonlariga
teng kvadratlarning yuzlari orasidagi munosabatni ko'rsatadi. Pifagor bu
teoremaning nazariy isbotini keltirgan. Pifagor teoremasi bilan aniqlangan
geometrik munosabatning xususiy hollari Pifagordan oldin ham turli xalqlarda
ma'lum edi, ammo teoremaning bu umumiy shakli Pifagor maktabiga nisbatan
beriladi.
Katetlari a va b, gipotenuzasi c bo'lgan to'g'ri burchakli ABC uchbur chak
berilgan bo'lsin, u holda Pifagor teoremasi
c 2
=a 2
+ b 2
(1)
formula bilan ifodalanadi, bunda a 2
, b 2
, c 2
— tomonlari a, b, c bo'lgan
kvadratlarning yuzlariga teng. Shuning uchun bu tenglik tomoni gipotenu- zaning
uzunligiga teng kvadratning yuzi tomonlari katetlarga teng kvadrat larning yuzlari
yig'indisiga teng ekanini ko'rsatadi .
Agar a, b va c butun musbat sonlar uchun a 2
+ b 2
= c 2
tenglik baja- rilsa, bu
sonlar Pifagor sonlari yoki Pifagor uchliklari deb ataladi. Agar to'g'ri burchakli
uchburchak katetlari va gipotenuzasining uzunliklari butun sonlar bilan ifodalansa,
bu sonlar Pifagor uchligini hosil qiladi. Bunday uchlikka 3, 4 va 5 sonlari misol
bo'la oladi. Haqiqatan, 3 2
+ 4 2
= 5 2
. Tomonlari 3, 4 va 5 ga teng bo'lgan to'g'ri
burchakli uchburchak yasash-dan Misrda yer ustida to'g'ri burchak yasash uchun
foydalanilgan. Shuning uchun bunday uchburchak «misr uchburchagi» deb ataladi.
Pifagor teoremasi to'g'ri burchakli uchburchakning istalgan ikki tomoniga ko'ra
uchinchi tomonini topish imkonini beradi.
Pifagor teoremasining tatbiqiga misol tariqasida tomoni 1 birlikka teng bo'lgan
kvadratning diagonalini topamiz. Kvadratning diagonali har bir kateti 1 birlikdan
bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuza- sidan iborat. Pifagor
teoremasiga asosan diagonalning kvadrat 1 2
+ 1 2
= 2, diagonalining uzunligi esa√2
bo'ladi.
Pifagor teoremasi isboti
Katetlari a, b va gipotenuzasi c ga teng bo'lgan to'g'ri butchakli uchburchak
berilgan. Bu uchburchak uchun Pifagor teoremasi o'rinli ekanini isbot qilamiz,
ya'ni
a 2
+ b 2
= c 2
ekanini ko'rsatamiz.
Buning uchun tomoni berilgan to'g'ri burchakli uchburchak katetlari yig'indisi (a
+ b) ga teng bo'lgan ikkita kvadrat yasaymiz. Kvadratlarni 120- rasmda
ko'rsatilgan usul bilan to'g'ri burchakli uchburchaklar va kvadratlarga ajratib
chiqamiz. Chizmalardan birinchisida hosil bo'lgan
25

to'rtburchak kvadrat ekanini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham, avvalo bu to'rtburchak
romb, chunki uning tomoni katetlari a va b bo'lgan to'g'ri burchakli
uchburchakning gipotenuzasi c ga teng. Chizmadagi x bur-chakning kattaligini
topish uchun ∠ x+ ∠ 1 + ∠ 3 = =180°, ∠ 3 = ∠ 2 va ∠ l = 9 0 ° - ∠ 2 ekanini
e'tiborga olib, topamiz:
∠ x = 90°. Ma'lumki, to'g'ri burchakli romb — kvadratdir.
Qaralayotgan ikkala kvadrat tengdosh. Shuningdek, birinchi kvadrat yuzi 4S
Δ
+ c 2
ga teng, ikkinchi kvadratning yuzi 4S
Δ + a 2
+ b 2
ga teng. Shuning uchun
Demak,
c 2
= a 2
+ b 2
.
Teorema isbotlandi.
26

XULOSA
Fanni o’rganishning dolzarbligi. Respublikamizdagi iqtisodiy, siyosiy va badiiy
madaniyat tizimlarida ro’y berayotgan o’zgarishlar har bir shaxs uchun, uning
turmushining barqaror bo’lishi uchun katta imkoniyatlar tug’diradi. Respublikamiz
Prezidenti I.A.Karimov ko’rsatib berganidek, «...Mamlakatni modernizatsiya qilish
va aholiga munosib sharoit yaratib berish borasida o’z oldimizga qo’ygan maqsad
va vazifalarimiz hamda mintaqa va jahon bozorlarida ro’y berayotgan o’zgarishlar,
kuchli talab va raqobat iqtisodiy islohotlarni yanada chuqurlashtirishni ob’ektiv
shart qilib qo’ymoqda». Bunday shartlardan biri – jamiyatdagi muammolarga ilmiy
yondashishdir. Bu yondashuvda mazkur fan muhim o’rin tutadi.
Shuni alohida ta’kidlash joizki, geometriya faning rivojlanishida SHarq
olimlarining buyuk mutafakkirlarining o’rni beqiyosdir. Yurtimizda yaratilgan
qadimiy inshootlar, noyob tasviriy, me’moriy asarlarga maftun bo’lib qolarkanmiz,
shunday yuksak badiyatni bunyod etgan me’mor, musavvir va haykaltaroshlarning
san’ati, mahoratidan qalbimizda iftixor xissiyotlari uyg’onadi. Buyuk
vatandoshimiz Muhammad Muso al-Xorazmiy ko’plab fanlarning rivojlanishiga
asos solganlar. Xorazmiy o’zinig xayoti davomida algebra, astranomiya,
geografiya geometriya va boshqa fanlarga ulkan xissa qo’shgan. Bu mavzuni
bayon qilishda o`quvchilarga chizmalarda har хil shartlilik va sоddalashtirishlardan
fоydalanilsa sеzilarli daraja grafik ishlarining hajmi kamayib, chizmalar ancha
soddalashishini aytish kerak. Chizmalarda qo`llaniladigan ayrim shartlilik va
sоddalashtirishlarni o`qituvchi tоmоnidan tayyorlangan o`quv plakatlaridan ham
ko`rsatish mumkin.
S h unday qilib, uzun buyumlar (val, dasta, shatun, stеrjеn va bоshqalar)ning
chizmada uzib tasvirlanishi ham sоddalashtirish hisоblanadi. Ikkita aylanish
jismlarining kеsishish (o`tish) chiziqlarini chizmada aniq yasashlar talab
qilinmagan hоllarda standartlarda ularning sоddalashtirib tasvirlashga ruхsat
bеrilgan.
Chizmalarga o`lchamni quyidagi tartibda qo`yish maqsad g a muvоfiq: chizmaga
avval gabarit o`lchamlar qo`yilib, dеtalning tashqi kоnturlari ko`rsatiladi; undan
kеyin dеtaldagi elеmеntlar (tеshik, o`yiq, chiqiq va bоshqalar)ning o`rnini
ko`rsatuvchi o`lchamlar va охirida qоlgan o`lchamlar qo`yiladi.
Ko`pchilik hоllarda o`lchamlarni bazaviy sirtlardan bоshlab qo`yiladi. Masalan,
chiziqli o`lchamlar dеtalning ishlоv bеrilgan yon sirtidan bоshlab qo`yiladi.
O`lcham qo`yish variantlari ko`rsatilgan.
Valik yoki vtulka tipidagi dеtallarga o`lcham qo`yishda hamma vaqt aylanish
27

sirtining diamеtri ko`rsatiladi. Bu tоkarlik stanоklarida ishlоv bеrishni nazоrat
qilish talablaridan kеlib chiqadi . Gеоmеtrik jismlarga o`lcham qo`yilmaganda,
hamda o`lcham, bеlgi va yozuvlardan fоydalanilgandagi zarur va yеtarli tasvirlar
sоnini aniqlashga misоllar kеltirilgan.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. R.K.Otajonov “Geometrik yasash metodlari” Toshkent O`qituvchi – 1971
2. N.Dodajonov, R.Yunusmetov, T.Abdullayev ―Gometriya II qism Toshkent‖
―O`qituvchi – 1988.
‖
3. X.Nazarov, X. Ochilova, E.Podgornova ―Geometriyadan masalalar
to`plami
‖
Toshkent O`qituvchi – 1993.
‖
4. L.S.Atanasyan, V.T.Bazilev ―Geometriya Chast I Moskva Prosvisheniya –
‖ ‖
1986.
5. Kirichenko V. A. Postroeniya tsirkulem i lineykoy i teoriya Galua // Letnyaya
shkola «Sovremennaya matematika». — Dubna, 2005.
6. Prasolov V. V. Tri klassicheskie zadachi na postroenie.
Udvoenie kuba, trisektsiya ugla, kvadratura kruga. — M.: Nauka,
1992. — 80 s. — (Populyarn ы e lektsii po matematike).
7. Geyler V. A. Nerazreshim ы e zadachi na postroenie // SOJ. — 1999. — № 12.
— S. 115—118.
8. Azad, H., and Laradji, A., "Some impossible constructions
in elementary geometry", Mathematical Gazette 88, November 2004,
548–551.
9. Martin, George E., Geometric Constructions, New York:
Springer-Verlag New York, Inc. 1998.
10. Pogorelov A.V. Geometriya ―Nauka , 1983.
‖
11. Baz ы lev V.T. Dunichev K.I. Ivanitskaya V.P. Geometriya
Chast I. Moskva, ―Prosvisheniya – 1974. Chast II.
‖
28

Elektron resurslar
1 . O’zbekiston Respublikasi Oliy va urta maxsus ta’lim vazirligi : www.edu.uz .
2 . O’zbekiston Respublikasi Xalq talim vazirligi : www.uzedu.uz .
3. O’zbekiston Respublikasi Xalq talim vazirligi xuzuridagi Multimedia
umumta’lim dasturlarini ruvojlantirishmarkazi: www.eduportal.uz .
www.multimedia.uz .
4. O’zbekiston Respublikasi Oliy va urta maxsus ta’lim vazirligi xuzuridagi
bosh
Bosh ilmiy-metodik markaz: www.bimm.uz .
Ijtimoiy axborot ta’lim portal: www.ziyonet.uz .
5. Nizomiy nomidagi Toshkent davlat pedagogika universiteti www.tdpu.uz .
6. Internet resurslari elekton kutubxonasi: http:// www.allbest.ru .
7. https://uz.wikipedia.org/wiki/Termiz
8. https://www.google.com .
9. www.ziyonet.uz
29

« T A S D I Q L A Y MA N »
“Matematika va uni o’qitish
metodikasi” kafedrasi mudiri:
f.m.f.f.d.(PHD). N.Xurramov
«____» _____________ 20__ y.
K U R S ( i s h i ) L O Y I H A S I
________________________________________________________ fan bo`yicha
Guruh __________________ talaba _____________________________________
Rahbar ____________________________________________________________
T O P S H I R I Q
1. Ishlanadigan loyiha mavzusi _____________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
2. Boshlang`ich ma’lumotlar _______________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
3. Qo`llanmalar _________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
4. Chizmali qismning tuzilishi ______________________________________
1. ____________________________________________________________
2. ____________________________________________________________
3. ____________________________________________________________
4. ____________________________________________________________
5. Yozma qismining tuzilishi _______________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
6. Qo`shimcha vazifa va ko`rsatmalar __________________________________
7. Kurs (ishi) loyihasini bajarish rejasi
Kurs ishining yakuniy natijalari
Uslubiy
qism Ko’rgazmal
i qurollar Adabiyotlar Rasmiylashtirish Himoyachi Jami
ball
30

Rahbar ___________________________ ____________
TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
KURS ISHI (loyihasi) ga
M U L O H A Z A
Talaba_____________________________________________________________
(ismi va familiyasi)
Mavzu_____________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
1. Mavzuning dolzarbligini
asoslash____________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
____________________________________________________
2. Qismlar bo`yicha bajarilgan ish tavsifnoma (ishning nazariy va amaliy
ahamiyati, zamonaviy-ilmiy uslublardan foydalanganligi)
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3. Muallif ishiga baho (mustaqilligi, intizomliligi va boshqalar)
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
4. Umumiy xulosalar (ishning topshiriqga mos kelishi, talab darajasiga javob
berishi, himoyaga qo`yilish imkoni)
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Rahbar__________________________________ «____»________ 2022 yil
31

”Matematika va uni o`qitish metodikasi” kafedrasi mudiri: PhD. N.Xurramov
TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
KURS ISHI (loyihasi) ga
T A Q R I Z
Talaba________________________________________________________________________
(ismi va familiyasi)
Mavzu________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Mavzuning dolzarbligini asoslash__________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2. Ishning tarkibini ballash________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
3. Mavzuning ballanishi va uning afzallik tomonlarini ko`rsatish_________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
4. Ishda foydalanilgan adabiyotlarga ball berish_______________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
5. Ilmiy munazara yuritish qobiliyatiga ball berish_____________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
6. Xulosa va takliflarning ochiqligi va dalillari asoslanganligi____________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
7. Jadval va grafiklar, chizmalar sifatiga berilgan ball, ishni rasmiylashtirishning talab darajasiga
javob berishi___________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
8.Ishdagi kamchiliklar___________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
9. Mualifning qaysi taklifini ishlab chiqarishga joriy etish maqsadga muvofiq_______________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
10. Ishning qo`yilgan talab darajasiga mos kelishi to`g`risida umumiy xulosa_______________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Taqrizchining (F.I.SH.) ish joyi,
unvoni_______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Imzo
32

TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
MATEMATIKA VA INFORMATIKA
FAKULTETI
Matematika va uni o’qitish metodikasi kafedrasining
20__–yil ____________dagi ___–sonli yig`lish qaroridan
K O` C H I R M A
Qatnashdilar:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
K U N T A R T I B I
20__–20__–o`quv yilida
________________________________________fakulteti
______________________________________________ ta`lim yo`nalishi talabasi
______________________________________________________________ ning
kurs ishi mavzusini tasdiqlash to`g`risida
E S H I T I L D I:
Kafedra mudiri: PhD. N.Xurramov so`zga chiqib kafedra a`zolarini kurs ishi
mavzusi bilan tanishtirdi va mavzuning dolzarbligi bugungi kundagi ahamiyatini
nazarda tutib:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________nomli kurs ishining mavzusi qilib tasdiqlansin.
Ilmiy rahbar etib ____________________________________ belgilansin.
33

”Matematika va uni o`qitish metodikasi” kafedrasi mudiri: PhD. N.Xurramov
MATEMATIKA VA UNI O`QITISH METODIKASI KAFEDRASIDA
BAJARILGAN KURS ISH(LOYIHA)LARINI BAHO LASH MEZONLARI

№
Mezonlar Maksima
l ball Talaba
olgan
ball
1. Mavzuning dolzarbligi 10 ball
2. Ishning ilmiy-uslubiy yangiliklari va ijodiy yondoshish
darajasi 10 ball
3. Mavzu bo`yicha natijalarning ilmiy to`garaklarda,
konferensiyalarda ishtirok etishi 10 ball
4. Tushuntirish qismining rasmiylashtirilishi
(natijalarning ilmiy texnikaviy, ishlab chiqarish
iqtisodiy, madaniy sohalarga mosligi va ishning ilmiy,
ijodiy tahlil etilishi.) 5 ball
5 Ilmiy amaliy xulosalar 10 ball
6 Imlo xatolari(orfografik) 5 ball
7 Tinish belgilari(punktiatsion) xatolari 5 ball
8 Uslubiy xatolari(stilistik) 5 ball
9 Talabaning himoya qilish darajasi, pedagog mahorati 15 ball
10 Savollarga aniq va to`liq javob berishi 15 ball
11 Ko`rgazmali va texnik vositalari 10 ball
Jami ball 100 ball
Ushbu baholash mezonlari kafedra yig’ilishida muhokama qilinib ma’qullangan.
Bayonnoma №___ «___»_______________ 2022 yil.
34

O’qituvchi: ____________ ______________
"Matematika va informatika" kafedrasi himoya hay’atining_______________sonli
BAYONNOMASI
<<_____>>_____________2022-yil
Kurs ishi himoyasiga quyilgan
talablar____________________________________________________________
__________________________________________________________________
Kurs ishi
mavzusi____________________________________________________________
__________________________________________________________________
Qatnashdilar:________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Kurs ishi_________________________________________rahbarligida bajarildi.
Hay'atga quyidagi hujjatlar topshirildi:
1.___________________varaqdan iborat kurs ishi
2.Rahbar_________________ning kurs ishi mavzusi berilganligi haqidagi
topshirig’i
3.Rahbar_______________________ning kurs ishiga bergan bahosi haqidagi
taqrizi
Savollar:
1._________________________________________________________________
2._________________________________________________________________
3._________________________________________________________________
4._________________________________________________________________
5._________________________________________________________________
Kafedra himoya hay'atining qarori
1.Talaba_________________ “_____________________________________”
Mavzusidagi kurs ishini______________ballga himoya qildi,deb hisoblansin.
Hay'at raisi:_____________________________________________________
Hay'at a'zolari:__________________________________________________
35

Bayonnomani to'ldirgan shaxs__________________________________________
(Ism-sha'rif va imzo)
36

Kengaytirilgan Yevklid geometriyasi

Sotib olish