Kvadrikaning markazi va tasnifi - Tarix - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	698.5KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	04 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Tarix

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

169 Sotish

Kvadrikaning markazi va tasnifi

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM ,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 24.02-guruh talabasi
ning
Analitik geometriyafanidan
“Kvadrikaning markazi va tasnifi”
mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari: .

Farg ona-2025ʻ

MUNDARIJA
KIRISH …………………………………………………………….3
1-§. Affin fazoda kvadrikalar haqida tushuncha…………………..7
2-§. Affin fazoda kvadrikalar tenglamasini kanonik ko rinishga ʻ
keltirish…………………………………………………………….9
3-§. Kvadrika markazi va tasnifi………………………………….12
4-§. Uch o lchovli Yevklid fazosidagi kvadrikalar……………….20
ʻ
XULOSA ………………………………………………………….27
Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………………29
Foydalanilgan imternet saytlari……………………………………30
2

KIRISH
Yosh avlodni Vatan ravnaqi, yurt tinchligi, xalq faravonligi kabi oliyjanob
tuyg ular ruhida tarbiyalash, yuksak fazilatlarga ega, ezgu g oyalar bilan ʻ ʻ
qurollangan komil insonlarni voyaga yetkazish, jahon andozalariga mos, kuchli,
bilimli, raqobatbardosh kadrlar tayyorlashdir. Keyingi yillarda mamlakatimiz ilm-
fani ham axborotlashtirishning nazariy asoslariga katta hissa qo shib kelmoqda.
ʻ
SH.Mirziyoyev
Matematikada kvadrik geometrik figuraning bir turi bo‘lib, uni algebraik
jihatdan kvadrat tenglamaning yechimlari to‘plami sifatida tasvirlash mumkin.
Xususan, affin fazoda kvadrikalar ma’lum miqdordagi o‘zgaruvchilarda ikkinchi
darajali polinom tenglamasini qanoatlantiradigan nuqtalar to‘plamidir.
Kvadrikalarni kanonik qilish uchun biz har qanday kvadrikani standart shaklga
aylantirish imkonini beruvchi usullardan foydalanamiz. Bu to‘rtburchaklar bilan
ishlashni va turli kvadratlarni solishtirish va solishtirishni osonlashtiradi. Kanonik
shakllar, shuningdek, kvadrikalar xossalari, masalan: ularning haqiqiy yoki
xayoliy yechimlari yoki simmetrik yoki cheksiz ekanligi haqida muhim
tushunchalar beradi.
Kvadrikalar va ularning kanonik shakllarini tushunish matematika va
fizikaning ko plab sohalarida, jumladan algebraik geometriya, differensial
ʻ
geometriya va mexanikada muhim ahamiyatga ega. Keyingi bo‘limlarda biz
mavzuni batafsilroq o‘rganamiz va kvadrikalarni kanonik qilish uchun
qo‘llaniladigan ba’zi usullarni muhokama qilamiz. Kvadrikalar algebraik
geometriyaning asosiy tushunchasi bo lib, matematikaning ko plab sohalarida,
ʻ ʻ
jumladan, geometriya, topologiya va fizikada muhim rol o ynaydi. Ruxsat etilgan
ʻ
nuqtalari bo‘lmagan geometrik fazo bo‘lgan affin fazoda kvadratiklar kvadrat
polinomlarning nollari sifatida aniqlanadi.
Kvadrikalarni kanonik qilish uchun almashtirishlardan foydalanib, ularni
ishlash osonroq bo‘lgan standart shaklga aylantirish mumkin. Xususan, chiziqli
almashtirishlar o zaro mahsulot atamalarini yo q qilish va kvadrat tenglamani
ʻ ʻ
diagonaldan tashqari shartlarsiz aylantirilgan va masshtabli koordinatalar tizimini
3

ifodalash uchun ishlatilishi mumkin. Bu shakl kanonik shakl sifatida tanilgan va
kvadrikaning hisob-kitoblari va tahlillarini soddalashtirishi mumkin.
Kvadrikaning kanonik shaklini topish uchun turli usullardan foydalanish
mumkin, jumladan, bog langan kvadratik shaklni diagonallashtirish va xosʻ
vektorlar va xos qiymatlardan foydalanish. Kvadrikalar matematika, fizika,
muhandislik va kompyuter grafikasida muhim rol o‘ynaydigan geometrik
obyektlardir. Affin fazodagi kvadrikani affin fazoning o‘zgaruvchilaridagi
kvadratik ko‘phadning nol to‘plami sifatida aniqlash mumkin. Kvadriklarga misol
sifatida sharlar, ellipsoidlar, paraboloidlar, giperboloidlar va konuslar kiradi. Affin
fazoda kvadrikalarni o‘rganish ularning xossalari va turli real vaziyatlarda
qo‘llanilishini tushunishga yordam beradi.
Kvadrikalar bilan ishlashda bir qiyinchilik shundaki, ular odatda
koordinatalar tizimini tanlashga qarab ko‘plab mumkin bo‘lgan tasvirlarga ega.
Biroq, kvadrikalarni kanonik qilish orqali biz bu ortiqchalarni bartaraf etishimiz va
tahlilimizni soddalashtirishimiz mumkin. Kvadrikaning kanonik shakli
koordinatalar tizimining chiziqli o‘zgarishlari ostida o‘zgarmas bo‘lgan yagona
tasvirdir. Kvadrikani kanonik shaklga o‘tkazish uning markazi, o‘q uzunligi,
orientatsiyasi va turi kabi muhim xususiyatlarni aniqlash imkonini beradi.
Ushbu mavzuda biz affin fazodagi kvadrikalar asoslarini va ularni kanonik
qilish usullarini o‘rganamiz. Biz kvadrikaning ta’rifi va misollari bilan
tanishishdan boshlaymiz, so‘ngra affin fazodagi kvadrika tenglamasini ko‘rib
chiqamiz. Keyin biz kvadrikalarni kanonik qilish tafsilotlarini, jumladan, kanonik
shaklning ta’rifini, kvadrikaning kanonik shaklini chiqarishni va kvadrikalarning
turli xil o zgarishlarni ko rib chiqamiz. Shuningdek, biz kvadrikalarning turli
ʻ ʻ
sohalarda qo llanilishini tasvirlab beramiz va haqiqiy misollar keltirishga
ʻ
harakat qilamiz. Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya
berishning murakkab vazifalarini hal etish o qituvchining g oyaviy e’tiqodi,
ʻ ʻ
kasb mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada
4

bog liqdir. Ta’lim tarbiya jarayonini to g ri tashkil etish uchun barcha mavjudʻ ʻ ʻ
imkoniyatlarni safarbar etish o qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan
ʻ
biridir. Kvadrika o sib kelayotgan yosh avlodni kamol topdirishi uchun
ʻ
o rgatilishi mumkin bo lgan asosiy mavzulardan biri hisoblanadi. U o quvchi
ʻ ʻ ʻ
tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi,
o quvchilarda maqsadga yo naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini
ʻ ʻ
shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to g ri, go zal
ʻ ʻ ʻ
tuzilganligi, o quvchilarni didli, go zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
ʻ ʻ
Affin fazoda kvadrikalar analizi matematikaviy usul olishiga qarab,
lekin ko plab sohalar uchun muhim vosita bo lib, matematikaviy modellovchi
ʻ ʻ
ilmiy tadqiqotlarning yanada odobliroq qo llanmasiga, g oyaviy va tizimli
ʻ ʻ
yechimlar yaratishda ham juda katta yordam beradi.
Kvadrika mavzusi o quvchilarni irodali, diqqatni to plab olishni, qobiliyat
ʻ ʻ
va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo lishini talab eta borib, mustaqil,
ʻ
ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o zining
ʻ
qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko nikmalarini
ʻ
rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darajasiga qo yiladigan eng
ʻ
muhim talablardan biri har bir darsda tanlangan mavzuning ilmiy asoslangan
bo lishidir, ya’ni darsdan ko zlangan maqsad hamda o quvchilar imkoniyatini
ʻ ʻ ʻ
hisobga olgan holda mavzu hajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash,
avvalgi o rganilgan mavzu bilan bog lash, o quvchilarga beriladigan topshiriq
ʻ ʻ ʻ
va mustaqil ishlarning ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak bo ladigan
ʻ
jihozlarni belgilash va qo shimcha ko rgazmali qurollar bilan boyitish,
ʻ ʻ
qo shimcha axborot texnalogiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni
ʻ
yaratishdir. Mavzu davomida o quvchilarning jismoniy holati, ijodkorligi va
ʻ
tez fikrlash qobiliyatlari rivojlanishiga ishonchim komil.
Kurs ishing maqsadi: Analitik geometriya fani davomida kvadrikalar
tushunchasi haqidagi bilim ko nikmalarni mustahkamlash. Kvadrikalar haqidagi
ʻ
tasavvurni kengaytirish.
5

Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig ish va rejani shakllantirish.ʻ
2. Affin fazosidagi kvadrikalar tenglamasi haqida tushuncha berish.
3. Affin fazosida kvadrika tenglamasini kanonik ko rinishga keltirish.
ʻ
4. Uch o lchovli Yevklid fazosida kvadrika tenglamasining kanonik tenglamalarini
ʻ
o rganish.
ʻ
5. Kvadrikaning grafiklari bilan tanishish.

6

1- §. Affin fazoda kvadrikalar haqida tushuncha
A
n bu n o lchovli affin fazo bo lsin. ʻ ʻ Ta’rif: dagi biror
reperda quyidagi ikkinchi tartibli algebraik tenglamani
qanoatlantiruvchi ning barcha nuqtalari to‘plami kvadrika (yoki ikkinchi
tartibli sirt) deb ataladi (uni Q bilan belgilaylik):
Q:
a11x1x1+2a12x1x2+… +2a1nx1xn+a22x2x2+2a23x2x3+… ++annxnxn+2a1x1+2a2x2+… +2anxn+a0=0,
(1) bunda a
ij = a
ji bo lib, bulardan kamida bittasi noldan farqli. n=2
ʻ
bo lgan holda Q ning tenglamasi:
ʻ
a11x12+2a12x1x2+a22x22+2a1x1+2a2x2+a0=0
bu yerda
x
1 , = x
, x
2 = y
desak,
a11x2+a12xy +a22y2+a1x+a2y+a0=0 tenglama hosil qilinib, u
affin tekislikda ikkinchi tartibli chiziqning tenglamasidir. Demak, affin
tekislikda kvadrika ikkinchi tartibli chiziqdir. n=3 da (1) tenglama uch
o zgaruvchili bo lib,
ʻ ʻ x
1 = x ,
x
2 = y ,
x
3 = z
desak,
a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy +2a13xz +2a23yz +2a1x+2a2y++2a3z+a0=0

ko rinishida bo ladi. Bu esa uch
ʻ ʻ
o lchovli affin fazodagi ikkinchi tartibli sirtning tenglamasidir.
ʻ
Affin fazodagi kvadrika ikki yoki undan ortiq o zgaruvchili kvadrat
ʻ
tenglamaning yechimlari to plami sifatida belgilanishi mumkin bo lgan geometrik
ʻ ʻ
shakldir. Shuni ham ta’kidlaymizki, affin fazodagi kvadrika tushunchasi
koordinatalar istemasini almashtirishga nisbatan invariantdir, bir reperda
berilgan ikkinchi darajali tenglama boshqa reperda yozilganda ham ikkinchi
darajali tenglamadan iborat bo ladi (chunki bir affin reperidan ikkinchi affin
ʻ
reperiga o tishda tenglamaning darajasi oshmaydi va kamaymaydi).
ʻ
Kvadrikalarni bir jinsli koordinatalarda ham o rganish mumkin, bu esa
ʻ
ularning tenglamalarini yanada ixcham ifodalash va geometrik xossalarini to liqroq
ʻ
tushunish imkonini beradi. Bir jinsli koordinatalarda kvadrat tenglama fazoning
7

affin koordinatalaridagi polinom tenglama sifatida emas, balki koordinatalar
vektorida kvadratik shakl sifatida ifodalanishi mumkin.
Affin fazova kvadrikalar orasidagi munosabat, ko‘plab matematikaviy va
mexanika sohasida foydalaniladi. Maxsus qilib, grafik dizayni, kompyuter
grafikasi, robotik, shakl taniish, geometrik ma'lumotlar vaboshqalar kabi sohalar,
ma’no yaralash, chizilgan model yasashi va boshqa bo‘limlarda juda muhim
ishoradur.
Affin fazo, kvadrikalar orasidagi munosabatni ta’riflashda foydali bo‘lib,
kvadrikalar shakl, hajm, joylashuvi va boshqa xususiyatlari analizini
osonlashtiradi. Affin fazda kvadrikalar analizi, ma’lumotli sohaning
kengaytmasiga qaramay, yutuqlar va tijorat ishlari ham juda muhimdir. Misol
uchun, kompyutergrafikaga oid sohada, uch o‘lchamli narsani farqli
ko‘rinishlardan ko‘rsatish uchun Affin fazo ishlatiladi. Shuningdek, yutuq
texnologiyalar hamda shakl tanish sohalarida, Affin fazo obyektlari o‘zaro
o‘xshashlikni o‘lchash va obyektlarni aniqlash va kuzatishda foydali bir vosita
bo‘ladi.

8

2- §. Affin fazoda kvadrikaning kanonik shakllari
Yuqoridagi (1.1) tenglamani qisqaroq ko rinishda yozib olsak:ʻ
φ
2 +2φ
1 + a
0 =0 (2.1)
bunda φ
2 kvadratik forma, φ
1 esa chiziqli forma hisoblanadi.
Endi (2.1) tenglamani soddalashtirish bilan shug ullanaylik. Bu
ʻ
tenglamaning chap tomonidagi ifoda birinchi qo shiluvchi φ
ʻ
2 kvadratik formadan
iboratligi sababli, uni alohida yozib olib kanonik ko rinishga keltiramiz. Faraz
ʻ
qilaylik, u quyidagi ko rinishga kelsin:
ʻ
φ2=b1y12+b2y22+… +bkyk2≤n,
b
1 ∙ b
2 ∙ … ∙ b
k ≠ 0
(2.2)
u holda shu (2.2) kvadratik forma yozilgan reperda (2.1) ni yozaylik:
b1y12+b2y22+… +bkyk2+2c1y1+2c2y2+… +2cnyn+a0=0
(2.3) ravshanki, yangi
reperga o tilganda φ
ʻ
1 chiziqli formaning ham koefitsiyentlari o zgaradi, ularni ʻ
biz
c1,c2,… ,cn deb belgiladik. (2.3) dagi hadlarni guruhlab, to la kvadratga ʻ
keltiramiz:
b
1
( y
12
+ 2 c
1
b
1 y
1 + c
12
b
12 − c
12
b
1 2 ) + b
2 ( y
22
+ 2 c
2
b
2 y
2 + c
22
b
22 − c
22
b
22 ) + … + b
k ( y
k2
+ + 2 c
k
b
k y
k + c
k2
b
k2 − c
k2
b
k2 ) + 2 c
k + 1 y
k + 1 + … + 2 c
n y
n + a
0 = 0
yoki
b
1
( y
1 + c
1
b
1 ) ² + b
2 ( y
2 + c
2
b
2 ) ² + … + b
k ( y
k + c
k
b
k ) ² + + 2 c
k + 1 y
k + 1 + … + 2 c
n y
n + a
0 − ( c
12
b
1 2 + c
22
b
22 + … + c
k2
b
k2 ) = 0
Endi quyidagi formulalar orqali
yangi reperga o tamiz:
ʻ z1= y1+c1
b1
, z
2 = y
2 + c
2
b
2 ,
. . . , z
k = y
k + c
k
b
k ,
zk+1= yk+1,
. . . , zn= yn hamda a = − a
0 + ( c
12
b
12 + c
22
b
22 + … + c
k2
b
k2 ) belgilashni kiritamiz,
natijada:
b1z12+b2z22+… +bkzk2+2ck+1zk+1+… +2cnzn=a (2.4)
Agar k=n bo lsa, bu (2.4) tenglama
ʻ

b1z12+b2z22+… +bnzn2=a (2.5)
ko rinishni oladi. Quyidagi hollarni ko rib chiqaylik.
ʻ ʻ
9

1-hol. (2.4) da ck+1= ck+2=… = cn=0 va a ≠ 0 bo lsa, ʻ
b1z12+b2z22+… +bkzk2=a.
(2.6) Chap tomondagi
kanonik ko rinishdagi kvadratik formani normal ko rinishga keltiramiz,
ʻ ʻ
buning uchun o zgaruvchilarni quyidagicha almashtiramiz:
ʻ
z1=
√|
a
b1|u1,
z2=
√|
a
b2|u2, . . . ,
zk=
√|
a
bk|uk,
z
k + 1 = u
k + 1 ,
z
n = u
n .
bularni (2.6) ga qo ysak, ʻ
ɛ
1 u
12
+ ɛ
2 u
22
+ … + ɛ
k u
k2
= 1 ,

(2.7) bunda
ɛ1,ɛ2,… ,ɛk lar yoki +1 yoki -1 dir, aniqrog i ʻ a
bi
>0 bo lsa, ʻ
ɛi=1,
a
bi
<0 bo lsa, ʻ ɛi=−1 .
2-hol.
ck+1= ck+2=… = cn=0 va a =0 bo lsa, (2.4) quyidagi ʻ
ko rinishni oladi:
ʻ

b1z12+b2z22+… +bkzk2=0.
O zgaruvchilarni quyidagicha almashtiramiz:
ʻ
z
1 = 1
√|
b
1 | u
1 ,
z
2 = 1 √|
b
2 | u
2 ,
..., z
k = 1 √|
b
k | u
k .
U holda
ɛ1u12+ɛ2u22+… +ɛkuk2= 0,
bunda bi>0
bo lsa,
ʻ ɛi=1 va bi<0 bo lsa, ʻ ɛi=−1 . 3-hol. k<n
bo lib,
ʻ ck+1,ck+2,… ,cn lardan kamida bittasi noldan farqli, aniqrog i ʻ c
k + 1 ≠ 0
bo lsin. O zgaruvchilarni quyidagicha almashtiramiz
ʻ ʻ z1= v1, z2=v2, . . . ,
z
k = v
k ,

a
2− ck+1zk+1−… −cnzn= vk+1 , zk+2=vk+2 , . . . , z
n = v
n .
U holda (2.4) quyidagi
ko rinishni oladi:
ʻ
b1v12+b2v22+… +bkvk2=2vk+1
(2.9) yoki

v1= 1
√|b1|
u1, v
2 = 1
√|
b
2 | u
2 ,
. . . ,
10

vk= 1
√|bk|
uk, vk+1=uk+1, . . . , vn=un desak,

ɛ2u22+ɛ2u22+… +ɛkuk2=2uk+1
(2.10) bo ladi, bunda ham ʻ ɛ
t lar +1 yoki
-1. (2.7), (2.6) va (2.10) ko rinishdagi tenglamalar kvadrikaning
ʻ normal
ko rinishdagi tenglamalari
ʻ deb ataladi. Xulosa qilib shuni aytish mumkinki,
(1.1) ko rinishdagi har qanday tenglamani yangi reperga o tish yoli bilan
ʻ ʻ
quyidagi uch ko rinishdan biriga keltirish mumkin ekan:
ʻ
I.ɛ1u12+ɛ2u22+… +ɛkuk2=1,
k≤n, ɛi=±1.
II .ɛ1u12+ɛ2u22+… ɛkuk2= 0,
k ≤ n ,
ɛ
i = ± 1.
(2.11)
III .ɛ1u12+ɛ2u22+… +ɛkuk2=2uk+1,
k < n ,
ɛi=±1.
Misol. 8 x
12
− 4 x
1 x
2 + 5 x
22
+ 6 x
2 = 0
kvadrikaning tenglamasini kanonik ko’rinishga keltiring.
Yechish: , . ni kanonik ko‘rinishga
keltiramiz. , desak, bo‘lib,
yoki .
U holda berilgan tenglama quyidagi holatga ko‘rinishni oladi:

Yoki to‘liq kvadratga keltirsak,

11

almashtirishdan so‘ng . dagi ellips tenglamasi
hosil qilindi.
3-§. Kvadrika markazi va tasnifi.
Kesmaning o rta nuqtasi affin almashtirishda shu kesma obrazining ʻ
o rta nuqtasiga o tadi, shunga asoslanib A
ʻ ʻ
n da kvadrikaning simmetriya
markazi tushunchasini kiritish mumkin.
Ta’rif. Kvadrikaning har bir nuqtasiga uning biror S nuqtaga nisbatan
simmetrik nuqtasi mavjud bo lsa, S nuqta kvadrikaning
ʻ simmetriya markazi
deb ataladi.
Masalan, A
3 dagi reperda kanonik tenglamasi bilan berilgan epsiloid,
bir va ikki pallali giperboloidlar uchun koordinatalar boshi simmetriya mar-
kazidir. Kvadrika
ɛ
1 u 2
1 + ɛ
2 u 2
2 + …+ ɛ
k u 2
k = 1, (2.7) tenglama bilan berilsa, uning
simmetriya markazi koordinatalar boshidan iborat va aksincha, kvadrikaning
markazi koordinatalar boshida bo lsa, uning tenglamasi shu reperda (2.7)
ʻ
ko -rinishida bo ladi. Haqiqatdan ham,
ʻ ʻ
M(u
1 , u
2 , … , u
n ) ∈ (2.7) ⟹ M
ʹ ( − u
1 , − u
2 , … , − u
n ) ∈ (2.7).

M Mʹ kesmaning o rta nuqtasi ʻ O (0, 0, … , 0) dir, chunki kesmaning uchlari
uning o rta nuqtasiga nisbatan simmetrik joylashgan. Bundan tenglamalari
ʻ
u
1 =0, u
2 =0, … , u
k =0 dan iborat (n-k) o lchovli tekislikning barcha nuqtalari
ʻ
(2.7) tenglama bilan aniqlanadigan kvadrikaning simmetriya markazi bo ladi
ʻ
degan xulosa chiqaramiz. Xususiy holda k=n bo lsa, simmetriya markazlari
ʻ
to plami nol o lchovli tekislik bo lib, faqat bitta nuqtadan, u ham bo lsa,
ʻ ʻ ʻ ʻ
koordinatalar boshidan iborat. U vaqtda kvadrika faqat bitta simmetriya
markaziga ega bo lib, u
ʻ markazli kvadrika deb ataladi. Endi kvadrikaning
tenglamasi φ
2 +2φ
1 + a
0 =0, (2.1) ko rinishida berilgan bo lsa, bu kvadrika
ʻ ʻ
markazining mavjudligi masalasiga to xtalaylik.
ʻ
12

Kvadrika
φ
2 + a =0 (3.1)
ko rinishidagi (bunda φʻ
2 ifoda n o zgaruvchili kvadratik forma) tenglama ʻ
bilan berilsa, uning simmetriya markazi koordinatalar boshidan iborat.
Endi (2.1) ko rinishiga mos holni ko raylik. Faraz qilaylik, S (x
ʻ ʻ 0
1 , x 0
2 ,
… x 0
n ) nuqta (2.1) kvadrikaning simmetriya markazi bo lsin. Reper boshini
ʻ
shu nuqtaga ko chiramiz, bazis vektorlarning yo nalishini esa saqlab qolamiz:
ʻ ʻ

x1= y1+x10 ,
x2= y2+x20
,
… … … … … …
x
n = y
n + x
n0
Bularni (2.1) ga qo yib,
ʻ
soddalashtirsak,
φ2'+(2a11x10+2a12x20+… +2a1nxn0+2a1)y1+… +(2an1x10+2an2x20+… +2annxn0+2an)yn+a'=0
,
(3.3) bunda φ
2 ifoda
ˈ y
1 , y
2 , . . . , y
n o zgaruvchili ʻ
kvadratik forma, a ˈ − ¿
barcha ozod sonlarning algebraik yig indisi.
ʻ
Koordinatalar boshi kvadrikaning simmetriya markazi bo lishi uchun (3.3)
ʻ
tenglama (3.1) ko rinishni olishi kerak, ya’ni birinchi darajali hadlarning
ʻ
barcha koeffitsiyentlari bir vaqtda nolga teng bo lishi zarur va yetarlidir:
ʻ
a
11 x
10
+ a
12 x
20
+ … + a
1 n x
n0
= − a
1 ,
a21x10+a22x20+… +a2nxn0=− a2
, (3.4)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1x10+an2x20+… +annxn0=− an
.
Demak, kvadrika simmetriya markazining x 0
1 , x 0
2 , . . . , x 0
n koordinatalari
(3.4) ni qanoatlantirishi kerak, demak, kvadrika markazining mavjudligi
masalasi (3.4) sistemaning yechimiga bog liq quyidagi determinantni qaraylik:
ʻ
¿
1. ∆ ≠ 0 ,
(3.4) sistema yagona yechimga ega, kvadrika bitta simmetriya
markaziga ega markazli deb atalgan kvadrika hosil qilinadi.
13

2. ∆= 0 va (3.4) sistema cheksiz ko p yechimga ega bo lsa, kvadrikaning ʻ ʻ
simmetriya markazlari ham cheksiz ko p bo ladi (bunday nuqtalar to plami k
ʻ ʻ ʻ
o lchovli tekislik bo ladi).
ʻ ʻ
3.
∆= 0 va (3.4) sistema birgalikda bo lmasa, kvadrika bitta ham simmetriya ʻ
markaziga ega emas. Keyingi ikki holda kvadrika markazsiz deb ataladi.
Eslatma. (3.4) sistemaning birinchi tenglamasiga diqqat bilan qarasak, u (1.1)
tenglamadan x
1 bo yicha (qolgan x
ʻ
2 , x
3 , . . . , x
n larni doimiy deb olinsa)
olingan hosiladan, ikkinchi tenglama esa (1.1) dan x
2 bo yicha olingan
ʻ
hosiladan (bunda x
1 , x
3 , x
4 , . . . x
n lar doimiy deb olinadi) va h.k., oxirgi
tenglama esa (1.1) dan x
n bo yicha olingan hosiladan (bunda
ʻ x
1 , x
2 , … , x
n − 1 lar
doimiy hisoblanadi) iborat ekan.
Misol. x 2
1 − ¿
5x 2
3 +2x
1 x
2 − ¿
2x
2 x
3 +2x
1 +4x
2 +10x
3 − ¿
3=0 kvadrikaning
simmetriya markazining mavjudligini isbotlang hamda parallel ko chirish
ʻ
yordamida tenglamani soddalashtiring.
Yechish. (2.1) bilan solishtirsak,
φ
2 = x
12
− 5 x
32
+ 2 x
1 x
2 − 2 x
2 x
3 ,
φ1= 2x1+4x2+10 x3 . Endi (3.4) sistemani
tuzamiz.
x10+x20=−1
,
x10− x30=− 2
, (*)
x20+5x30= 5
. Uning determinanti:
∆=
|
111
10−1
015|
=−4≠0.
(*) dan x 0
1 =
− ¿ 1, x 0
2 =0, x 0
3 =1.
Berilgan kvadrika markazi S( − ¿
1,0,1). Reperni parallel ko chirib, uning
ʻ
boshini S nuqtaga keltiramiz:
x
1 =y
1 − ¿
1, x
2 =y
2 , x
3 =y
3 +1; bularni berilgan
tenglamaga qo yib, uni soddalashtirsak,
ʻ
y 2
1 − ¿
5y 2
3 +2y
1 y
2 − ¿
2y
2 y
3 +1=0.
n o lchovli affin fazodagi kvadrikaning (1.1) ko rinishidagi
ʻ ʻ
14

tenglamasini affin reperni maxsus tanlab olish yo li bilan ʻ І. ε1u12 +
ε2u22
+...+ εkuk2 =1, k ≤ n
, ε
i = ± 1
II.
ε1u12 + ε2u22 +...+ εkuk2 =0, k ≤ n
, εi = ±
1
III.
ε1u12 + ε
1 u
1 2
+ ε
2 u
2 2
+ ... + ε
k u
k 2
= 2 u
k + 1 , k < n , ε
i = ± 1
(2.11) ko rinishdagi uchta ʻ
tenglamaning biriga keltirish mumkin. Hech qanday affin almashtirish bilan
bu tenglamalardan birini ikkinchisiga o tkazib bo lmaydi, demak, ular o zaro
ʻ ʻ ʻ
affin ekvivalent sinflar emas. Shu tenglamalarning har birini ko rib chiqaylik.
ʻ
1. ε
1 u
1 2
+ ε
2 u
2 2
+...
+ ε
k u
k 2
=1, k
≤n. k = n da
ε1u12
+ ε2u22 +...+ εnun2 =1. (3.5) 1-hol. ɛ
1 = ɛ
2 = . . . = ɛ
n = 1
uchun
u 2
1 + u 2
2 + . . . + u 2
n =1 (3.6) hosil qilinib, kvadrika
ellipsoid deb ataladi ( n =3 da A
3 dagi ellipsoid). 2-
hol.
ɛ
1 = ɛ
2 = . . . = ɛ
n = − ¿
1 bo lsa, (3.5) ʻ ⇒ u 2
1 + u 2
2 + . . . + u 2
n = − ¿
1. A
n da bu
tenglamani qanoatlantiruvchi birorta ham haqiqiy nuqta yo q, bu holda (3.6)
ʻ
tenglama mavhum ellipsoid ni ifodalaydi deymiz.
3-hol.
ɛ
1 = ɛ
2 = . . . = ɛ
t =1, ɛ
t+1 = ɛ
t+2 = . . . = ɛ
n = − ¿
1 bu holda (3.5) tenglama bilan
aniqlanadigan kvadrika n − ¿
t indeksli giperboloid deb ataladi (n=2 hol yuz
bersa,
ɛ
1 =1, ɛ
2 = − ¿
1 yoki ɛ
1 = − ¿
1, ɛ
2 =1 da kvadrika tekislikdagi giperbolani
ifoda qiladi, n=3 da
ɛ
1 , ɛ
2 , ɛ
3 dan bittasi − ¿
1 ga teng bo lsa, kvadrika ʻ bir
pallali giperboloid ni,
ɛ
1 , ɛ
2 , ɛ
3 dan ikkitasi − ¿
1 ga teng bo lsa, kvadrika ʻ ikki
pallali giperboloid ni aniqlaydi).
Endi k<n bo lgan holni ko raylik.
ʻ ʻ

ɛ
1 u 2
1 + ɛ
2 u 2
2 + . . . + ɛ
k u 2
k =1. (3.7)
Ma’lumki, bu ko rinishdagi tenglama simmetriya markazlari (n-1)
ʻ
o lchovli koordinata tekisligidan iborat bo lgan sirtni ifoda qiladi, bunday
ʻ ʻ
kvadrika A
n da silindrik sirt deb ataladi.
1-hol.
ɛ
1 = ɛ
2 = . . . = ɛ
k =1. (3.7) tenglama
u 2
1 + u 2
2 + . . . + u 2
k =1 (3.8) ko rinishni
ʻ
15

oladi va k o lchovli tekislikdagi ellipsoidni aniqlab, ʻ A
n fazoda esa asosi shu
ellipsoiddan, yasovchilari (n-k) o lchovli tekislikdan iborat
ʻ elliptik silindr ni
beradi. N=3, k=2 da esa A
3 da yasovchilari biror koordinata o qiga parallel
ʻ
eliptik silindrni aniqlaydi. 2-hol.
ɛ
1 =
ɛ
2 = . . . = ɛ
k = − ¿
1 uchun u 2
1 + u 2
2 + . . . + u 2
k = − ¿
1. Bu tenglama birorta ham
haqiqiy nuqtaga ega bo lmagan kvadrikani aniqlab, uni
ʻ mavhum silindr
deyiladi.
3-hol.
ɛ
1 = ɛ
2 = . . . = ɛ
t =1. ɛ
t+1 = ɛ
t+2 = . . . = ɛ
k = − ¿
1 uchun
u 2
1 + u 2
2 + . . . + u 2
t − ¿
u 2
t+1 − ¿
. . . –
u 2
k =1. (3.9)
Bu tenglama k o lchovli tekislikda (k-t) indeksli giperboloidni aniqlab, uning
ʻ
har bir nuqtasidan (n-k) o lchovli tekislik o tadi. Bunday kvadrikani
ʻ ʻ A
n da
(k-t) indeksli giperbolik silindr deb ataladi. Uning yasovchilari (n-k)
o lchovli tekislikdan iborat.
ʻ
II.
ɛ
1 u 2
1 + ɛ
2 u 2
2 + . . . + ɛ
k u 2
k =0.
Bu tenglama bilan aniqlangan kvadrikaning simmetriya markazi
koordinatalar boshida bo lib, bu nuqta kvadrikaga tegishlidir.
ʻ
k=n bo lsin.
ʻ
1-hol.
ɛ
1 = ɛ
2 = . . . = ɛ
n bo lsa, (3.10) ʻ ⇒ u 2
1 + u 2
2 + . . . + u 2
n =0 tenglama bilan
aniqlanadigan kivadrika mavhum konus deb ataladi. Bu konus faqat bitta
haqiqiy nuqtaga ega bo ladi (koordinatalar boshi
ʻ O ).
2-hol.
ɛ
1 , ɛ
2 , . . . , ɛ
n ning barchasi bir xil ishorali bo lmasa, kvadrika ʻ
konus deb ataladi, demak, konus markazli sirtdir. Uning markazi konusning
uchi deb ataladi. Shunisi qiziqki, bu konusga tegishli biror T nuqtani olsak,
OT to g ri chiziqning (
ʻ ʻ O - konusning markazi) barcha nuqtalari ham konusga
tegishli bo ladi. Bu to g ri chiziq
ʻ ʻ ʻ konusning yasovchisi deb ataladi.
Endi k<n holni tekshiraylik.
1-hol.
ɛ
1 = ɛ
2 = . . . = ɛ
k (3.10) tenglama
u 2
1 + u 2
2 + . . . + u 2
k =0. (3.11)
16

ko rinishni oladi. Bu tenglama bilan aniqlanadigan kvadrika ham ʻ mavhum
konus deb yuritiladi.
Lekin bu tenglamani A
n da qarasak, bu kvadrika (n-k) o lchovli
ʻ
tekislikning barcha nuqtalarini o z ichiga oladi (chunki
ʻ N (0, 0, . . . , 0, u
k+1 , . . .
, u
n ) ko rinishdagi barcha nuqtalarning koordinatalari (3.11) tenglamani
ʻ
qanoatlantiradi). Bunday konus uchi (n-k) o lchovli tekislikdan iborat
ʻ
mavhum konus deb ataladi.
2-hol.
ɛ
1 , ɛ
2 , . . . , ɛ
k ning barchasi bir xil ishorali bo lmasa (masalan, t ʻ
tasi +1 bo lsa), u holda (3.10) tenglama bilan aniqlanadigan kvadrikani
ʻ (k-t)
indeksli, uchi (n-k) o lchovli tekislikdan iborat konus
ʻ deb ataladi.
Nihoyat, (2.11) dagi uchinchi tenglamani tekshiraylik,

ε1u12 + ε1u12+ε2u22+...+εkuk2=2uk+1 . (3.12) k=n-1. 1-hol. ε
1 = ε2
=…=ɛ
n-1 (3.12) tenglama bilan aniqlanadigan kvadrika elliptic paraboloid deb
ataladi (n=3 bo lsa, (3.12) tenglama
ʻ u12 + u22 = 2u
3 koʻrinishda boʻlib, A
3 dagi
elliptic paraboloidni ifodalaydi). 2-hol.
ɛ
1 , ɛ
2, . . . , ɛ
n-1
ning barchasi bir xil ishorali bo lmasa (masalan, t tasi +1 bo lsa), u holda
ʻ ʻ
(16) tenglama bilan aniqlanadigan kvadrika (k-t) indeksli giperbolik
paraboloid deb ataladi. k
≤ n-2. Mavzuga oid
misol yechish. 1) A
3 da
u 2
1 + u 2
2 +4 u
1 u
3 -4 u
2 =0 tenglama bilan aniqlanuvchi kvadrikaning turini toping.
Yechish. Avvalo bu
kvadrikaning simmetriya markazi bor yoki yo qligini aniqlaylik. Buning
ʻ
uchun berilgan tenglamadan avval u
1 , keyin u
2 , nihoyat u
3 boyicha hosila
olaylik:
2 u
1 +4 u
3 =0,
2 u
2 -4=0,
4 u
1 =0. bu sistema
yagona yechimga ega: u
1 =0, u
2 =2, u
3 =0. Markaz (0, 2, 0) nuqtada joylashgan
ekan. Endi reper boshini shu markazga keltiraylik, buning uchun quyidagicha
17

chiziqli almashtirishni bajarish kerak:
u
1 =y
1 , u
2 =y
2 +2, u
3 =y
3 .
bularni berilgan tenglamaga qo ysak,ʻ
y 2
1 +(y
2 +2) 2
+4y
1 y
3 -4(y
2 +2)=0,
y 2
1 +y 2
2 +4y
2 +4+4y
1 y
3 -4y
2 -8=0,
y 2
1 +y 2
2 +4y
1 y
3 -4=0. Endi
φ
2 =y 2
1 +y 2
2 +4y
1 y
3 kvadratik formani Logranj usuli bilan kanonik ko rinishga
ʻ
keltiramiz. Ushbu
x
1 =y
1 +2y
3 , x
2 =y
2 , x
3 =y
3
almashtirishni bajarib, φ
2 -x 2
1 ni hisoblaylik:
φ
2 -x 2
1 =y 2
1 +4y
1 y
3 +y 2
2 -(y
1 +2y
3 ) 2
=y 2
1 +4y
1 y
3 +y 2
2 -y 2
1 -4y
1 y
3 -4y 2
3 =y 2
2 -4y 2
3 =x 2
2 -4x 2
3 ,
yoki φ
2 =x 2
1 +x 2
2 -4x 2
3 .
U holda berilgan tenglama quyidagicha bo ladi: x
ʻ 2
1 +x 2
2 -4x 2
3 -4=0, yoki x 2
1 +x 2
2 -
4x 2
3 =4, yoki x 2
1 /4+x 2
2 /4-x 2
3 =1, bu esa, A
3 dagi bir pallali giperboloiddir.
2 ) A
3 da u 2
1 + u 2
2 + u 2
3 -2 u
1 +4 u
2 -11=0 tenglama bilan aniqlanuvchi kvadrikaning
turini toping.
Yechish. Birinchi o rinda bu kvadrikaning simmetriya markazini
ʻ
aniqlaymiz. Buning uchun berilgan tenglamadan avval u
1 , keyin u
2 , so ng
ʻ u
3
bo yicha hosila olaylik:
ʻ
2 u
1 -2=0
2 u
2 +4=0
2 u
3 =0
bu sistema yagona yechimga ega: u
1 =1, u
2 = − ¿
2, u
3 =0. Demak, markaz
(1; − ¿
2; 0) nuqtada ekan. Endi reper boshini markazga keltiramiz, buning
uchun quyidagicha chiziqli almashtirishni kiritamiz:
u
1 = y
1 +1, u
2 = y
2 − ¿
2, u
3 = y
3
bularni berilgan tenglamaga qo ysak,
ʻ
( y
1 +1) 2
+( y
2 − ¿
2) 2
+ y 2
3 − ¿
2( y
1 +1)+4( y
2 − ¿
2) − ¿
11=0
y 2
1 +2 y
1 +1+ y 2
2 − ¿
4 y
2 +4+ y 2
3 − ¿
2 y
1 − ¿
2+4 y
2 − ¿
8 − ¿
11=0
18

y 2
1 + y 2
2 + y 2
3 − ¿
16=0 yoki
y
1 = x , y
2 = y , y
3 = z deb belgilasak,
u holda berilgan tenglama ko rinishi quyidagicha bo ladi: ʻ ʻ
x2+y2+z2=16
, yoki x 2
16 + y 2
16 + z 2
16 = 1
bu tenglama esa A
3 dagi
ellipsoidni ifodalaydi.
19

4-§. Uch o lchovli Yevklid fazosidagi kvadratikalar.ʻ
Biz n o lchovli affin fazodagi kvadrikalar tasnifi bilan tanishdik. Uch
ʻ
o lchovli affin fazoda 17 xil kvadrikaning borligini oshkor qilish osondir.
ʻ
І.
ε1u12 + ε2u22 +...+ ε
k u
k 2
=1,k ≤n , εi =±1.
II.
ε1u12 + ε2u22 +...+ εkuk2 =0,k ≤ n
, εi = ±
1.
III.
ε1u12 + ε
1 u
1 2
+ ε
2 u
2 2
+ ... + ε
k u
k 2
= 2 u
k + 1 , k ≤ n , ε
i = ± 1.
tenglamalarda k ni 1, 2, 3 sonlar deb olinsa 17 ta har xil tenglama hosil
qilamiz.
Shu kvadrikalarni uch o lchovli yevklid fazosida qarasak, dekart
ʻ
reperini qulay tanlab olish yo li bilan ularning tenglamalarini quyidagi
ʻ
jadvalda ko rsatilgandek qilib yozish mumkin (o zgaruvchilarni u
ʻ ʻ
1 , u
2, u
3
bilan emas, balki eskicha belgilashimizga mos ravishda x, y, z deb olamiz).
№
Kvadrikaning sodda tenglamas Kvadrikaning nomi
1
x2
a2+ y2
b2+z2
c2=1 Ellipsoid
2 x 2
a 2 + y 2
b 2 + z 2
c 2 = − 1 mavhum ellipsoid
3 x 2
a 2 + y 2
b 2 − z 2
c 2 = 1 bir pallali giperboloid
4 x 2
a 2 − y 2
b 2 − z 2
c 2 = 1 ikki pallali giperboloid
13 x 2
a 2 + y 2
b 2 + z 2
c 2 = 0 mavhum konus
14
x2
a2+ y2
b2− z2
c2=0 uchi koordinatalar boshida bo lgan ʻ
konus
20

15 x 2
a 2 + y 2
b 2 = 1 elliptik silindr
16x2
a2− y2
b2= 2z giperbolik paraboloid
17 x 2
a 2 = 2 z parabolik slindr

21 5
x 2
a 2 + y 2
b 2 = − 1 mavhum silindr
6
x 2
a 2 − y 2
b 2 = 1 giperbolik silindr
7
x 2
a 2 + y 2
b 2 = 0 Oz o qi bo yicha kesishuvchi 2ta
ʻ ʻ
mavhum tekislik
8
x 2
a 2 − y 2
b 2 = 0 ikkita kesishuvchi tekislik
9
x2
a2=1
ikki o zaro parallel tekislik ʻ
10
x 2
a 2 = − 1 ikki mavhum o zaro parallel tekislik
ʻ
11

x2=0 ustma-ust tushgan ikki tekislik
12
x2
a2+ y2
b2= 2z
elliptik paraboloid

XULOSA
Kvadratikalar matematika, muhandislik va informatika sohalarida muhim rol
o‘ynaydi. Nisbatan oddiy matematik tenglamalar yordamida 3D fazoda murakkab
shakllar va sirtlarni ifodalash orqali kvadrikalar geometrik muammolarni
soddalashtirishga va murakkab ob’ektlar va mexanizmlarni loyihalashni
osonlashtirishga qodir. Bundan tashqari, kvadrikalarni kanonik qilish ularning
matematik tasvirini yanada soddalashtirishga yordam beradi, bu esa yanada
samarali hisob-kitoblarga va keng ko‘lamli masalalarda qo‘llanilishi mumkin
bo‘lgan umumlashtirilgan yechimlarga olib keladi. Umuman olganda, affin fazoda
kvadrikalardan foydalanish innovatsion tadqiqotlar va turli sohalarda amaliy
qo‘llash uchun ajoyib imkoniyatlarni taqdim etishda davom etmoqda.
Matematikada affin fazo tushunchasi masofa va burchak tushunchalari
mavjud bo‘lmagan, nuqtalar, chiziqlar va tekisliklar kabi geometrik jismlar mavjud
bo‘lgan fazoni anglatadi. Shu nuqtai nazardan, kvadratni nuqtalari koordinatalarda
ikkinchi darajali tenglamani qanoatlantiradigan geometrik obyekt sifatida aniqlash
mumkin.
27

Kvadrikalarni kanonik qilish kvadrikani standart shaklga aylantirishni o‘z
ichiga oladi, bu esa tahlil va hisoblashni osonlashtiradi. Bunga to‘rtburchak
chiziqli o‘zgartirishlar ketma-ketligini u standart taniqli shaklga ega bo‘lguncha
qo‘llash orqali erishiladi. Masalan: kvadrat matritsani diagonallashtirish
o‘zgarmaslarni hisoblashni va kvadratiklarni o‘zgartirishni soddalashtirishi
mumkin. Kvadriklarning kanonik shakllari, shuningdek, ushbu obyektlarning
o‘qlari, markazi va geometrik xususiyatlari kabi keyingi tahlilni osonlashtiradigan
o‘ziga xos xususiyatlaridan foydalanishga imkon beradi.
Affin fazodagi kvadrikalar algebraik geometriyada muhim rol o‘ynaydi va
fizika va kompyuter grafikasida turli amaliy qo‘llanmalarga ega. Kvadriklarni
kanonik qilish jarayoni ularni aniqlash va standart shaklga aylantirishni o‘z ichiga
oladi, bu ularni tahlil qilish va manipulyatsiya qilishni osonlashtiradi. Chiziqli
almashtirishlar va diagonalizatsiya kabi usullardan foydalangan holda,
kvadratiklarning geometrik xususiyatlarini samarali o‘rganish va ulardan haqiqiy
muammolarni hal qilish uchun foydalanish mumkin. Kanonik shakllar,
shuningdek, samaraliroq hisob-kitoblarni amalga oshirishga imkon beradi va
kvadratiklar ishtirok etgan tenglamalar tizimlarining yechimlarini topish jarayonini
soddalashtiradi. Umuman olganda, kvadratiklarni kanonik qilish bu geometrik
ob’ektlarni turli kontekstlarda o‘rganish va ulardan foydalanish uchun kuchli
vositadir.
Affin fazoda kvadriklardan foydalanish muhandislik, kompyuter grafikasi va
robototexnika kabi turli sohalarda qo llanilishi mumkin. Masalan:kompyuterʻ
grafikasida kvadrikalar xarakter animatsiyasi va deformatsiya modellari kabi
murakkab modellarni ifodalash uchun ishlatilishi mumkin. Xuddi shunday,
robototexnikada kvadrikalar turli robot mexanizmlarini va ularning atrof-muhit
bilan o‘zaro ta'sirini modellashtirishda foydali bo‘lishi mumkin. Umuman olganda,
affin fazoda kvadrikalarni kanonik qilish qobiliyati ularni turli sohalardagi
muammolarni hal qilish uchun foydali vositalarga aylantiradi.
28

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Narmanov A.Y. Analitik geometriya. Toshkent . “O‘zbekiston faylasuflari milliy
jamiyati” 2020 yil , 176 bet.
2. Bayturayev A.M., Kucharov. R.R. Algebra va geometriya. Toshkent.
“Innovatsiya-Ziyo”, 2020 yil, 184 bet.
3 . Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan
masalalar to‘plami. T. Universitet, 2006 yil, 442 bet.
4. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М. «Физматлит», 2004
yil , 232 стр. 4. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”,
T.1995 ,
5. Dadajonov N.D. , Jurayev M.SH. Geometriya. 1-qism Toshkent. 1995
6. Latipov X., Tojiyev SH., Rustamov R. Analitik geometriya va chiziqli
algebra. Toshkent. “O‘qituvchi” 1993 y
7. Клетеник Д.В., Сборник задач по аналитической геометрии. М .
« Физматлит », 2016 г , 241 стр .
8 . Boxonov.Z.S Analitik geometriyadan misol va masalalar to‘plami.
Uslubiy qo‘llanma. Nam DU 2018 yil, 106 bet.
29

9. Izu Vaisman . Analytical Geometry. World Scientific, USA, 2007 year,
297 p.
10. N.D.Dadjonov , M.SH.Jo ra. “Geometriya” 1-qism. O qituvchi 1986.ʻ ʻ
11. A.Y.Narmanov “Analitik geometriya kursi” Toshkent 2006.
12. Baxvalov “Analitik geometriyadan masalalar to plami”.
ʻ
13. Q.M.Baratov “Analitik geometriya”.
14. D.Dadajonov “Geometriya 2-qism Geometriya asoslari”.
15. D.A.Izotov, SH.U.Ismailov “Analitik geometriya”.
O.F.G aniyev “Analitik geometriya”.
ʻ
30

FOYDALANILGAN ELEKTRON SAYTLAR
1. www./Ziyo . Net.
2. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/
3. http://www.allmath.ru/
4. http://www.pedagog.uz/
5. http://window.edu.ru/window/
6. htt://www.arki.ru/magaz
7. htt://www.lib.ru
8. htt://www.bilimdon.uz
9. htt://www.istedod.
31

Kvadrikaning markazi va tasnifi

Sotib olish