O‘zgarmas koeffitsientli bir jinsli va bir jinsli bolmagan - Geologiya - Referatlar

Dokument ma'lumotlari

Narxi	2000UZS
Hajmi	294.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	07 Noyabr 2026
Kengaytma	doc
Bo'lim	Referatlar
Fan	Geologiya

O‘zgarmas koeffitsientli bir jinsli va bir jinsli bolmagan

Sotib olish

O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli va bir jinsli bolmagan
chiziqli differensial tenglamalar
R е j a:
1. n - tartibli chiziqli, o’zgarmas koeffitsientli differensial
tenglama.
2. 2 - tartibli chiziqli differensial tenglama yechimlarining
xossalari.
4. 2 - tartibli chiziqli, o’zgarmas koeffitsientli differentsial
tenglama uchun Vronskiy determinanti.
5. 2 - tartibli chiziqli, o’zgarmas koeffitsentli differensial
tenglama yechimlarining Vronskiy determinanti orqali
ifodalanuvchi xossalari.
6. Xarakteristik tenglama.
7. Bir jinsli bo’lmagan chiziqli, o’zgarmas
koeffitsientli differensial tenglama.
8. Bir jinsli bo’lmagan chiziqli, o’zgarmas
koeffitsientli differensial tenglamaning xususiy yechimini tanlash
usuli.
A d a b i yo t l a r:
1. A.S. Piskunov. Differensial va integral hisob.
Toshkent. «O’qituvchi»,1974 y ,7 – 17 betlar
2. M.S. Salohitdinov, O’.N. Nasritdinov. Oddiy differensial tenglamalar.
T.
«Uzbekiston» , 1994 y., 6 – 9 betlar.
3. V.P. Minorskiy. Oliy matematikadan masalalar to’plami. T.
«O’qituvchi», 1977, 224-228 betlar.
4. Е .U. Soatov «Oliy matematika» 5-jild «O’qituvchi», 1988.
5. http://docs.ttesi/uz/simf.html

1. O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar
Ta’rif .
a
0 y (n)
+a
1 y (n-1)
+..+ a
n-1 y ’
+a
n y=f(x) ( 1.1 )
ko’rinishdagi tenglama n-tartibli chiziqli , o’zgarmas koeffitsientli
differensial tenglama deyiladi, bunda
a
0 ,
. a
1 ,..,a
n-1 ,a
n – o’zgarmas miqdorlar, a
0 0.
Agar f(x) 0 bo’lsa, bir jinsli bo’lmagan tenglama,
f(x) 0
bo’lsa, bir jinsli tenglama deyiladi.
1-teorema
y
1 va y
2 2- tartibli bir jinsli chiziqli
y ”
+ a
1 y ’
+a
2 y=0 ( 1 . 2 )
tenglamaning xususiy yechimlari bo’lsa, u xolda y=y
1 +y
2 ham shu
tenglamaning yechimi bo’ladi.
2- teorema
Agar y ( 1 . 2 ) tenglamaning yechimi bulsa , u xolda Cy
ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
Ta’rif
Agar [a,b] da ( 1 . 2 ) tenglamaning 2 ta yechimining
nisbati o’zgarmas miqdorga teng , ya’ni

bo’lsa y
1 va y
2 yechimlar [a,b] da chiziqli erkli yechimlar
deyiladi, aks xolda chiziqli bog’lik yechimlar deyiladi .
Ta’rif
W(y
1 , y
2 )=
= y
1 2
-
1 y
2
- ko’rinishdagi determinant Vronskiy determinanti deyiladi.
3- teorema
Agar y
1 va y
2 yechimlar [a,b] da chiziqli bog’liq bo’lsa,u
xolda bu kesmada Vronskiy determinanti nolga teng.
4- teorema

Agar ( 1 . 2 ) tenglama yechimlaridan tuzilgan W(y
1 , y
2 ) - Vronskiy
determinanti tenglama koeffitsientlari uzluksiz bo’lgan [a,b] kesmadagi
biror x=x
0 qiymatida nolga teng bo’lmasa ,u xolda W(y
1 ,y
2 )
bu
kesmada nolga aylanmaydi.
Isbot
y
1 va y
2 ( 1 . 2 ) tenglamaning yechimlari bo’lsin. U xolda
y
1 ”
+ a
1 y
1 ’
+a
2 y
1 =0 , y
2 ”
+ a
1 y
2 ’
+a
2 y
2 =0 .
Birinchi tenglikni y
2 ga, ikkinchi tenglikni y
1 ga kupaytirib, ayiramiz:
(y
1 y
2 ’’

- y
2 y
1 ’’
)+
a
1 (y
1 y
2 ’

- y
2 y
1 ’
)=0 ( 1 . 3 )
W(y
1 , y
2 )= y
1 y
2 ’

- y
1 y ‘
2 dan
W
x (y
1 , y
2 )= y
1 y
2 ’’

- y
1 ’’
y
2 xosil
bo’ladi. Demak, ( 1.3 ) tenglama

W
x + a
1 W=0
ko’rinishni oladi. Bu tenglamaning W|
x=x =W
0 shartni qanoatlantiruvchi
yechimini topamiz:

( 1 .6).
( 1 .6) formula Livuill formulasi deyiladi.
W|
x=x =W
0 boshlang’ich shartdan C= W
0 ni topamiz. Demak,
( 1 .7)
W
0 0, bu xolda ( 1 .7) dan x ning xech bir qiymatida W 0
kelib chiqadi.
5- teorema.
Agar ( 1 . 2 ) tenglamaning y
1 va y
2 yechimlari chiziqli erkli bo’lsa , bu
yechimlardan tuzilgan W(y
1 ,y
2 ) - Vronskiy determinanti xech bir nuktada
nolga aylanmaydi.

( 1 . 2 ) tenglamani integrallashga kirishamiz. Yuqoridagi 1 - teoremaga
ko’ra bu tenglama umumiy yechimi uning 2ta chiziqli erkli xususiy
yechimlari yig’indisidan iborat.
Xususiy yechimni
,k-const
ko’rinishda izlaymiz:
Xosilalarni (1.2) ga qo’yib
( k 2
+a
1 k+a
2 )e kx
=0
yoki
k 2
+a
1 k+a
2 =0
tenglamani xosil qilamiz.
Bu tenglama (1.2) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.

1. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k
1 va k
2 haqiqiy va xar xil
sonlar bo’lsin. Bu xolda
y
1 =e k x
va y
2 =e k x
funksiyalar xususiy yechimlar bo’ladi.

bo’lgani uchun ular chiziqli bog’liq emas.
Demak, umumiy yechim
y =c
1 e k x
+ c
2 e k x
.
ko’rinishda bo’ladi.
Misol.
y ’’
+y ’
-2y = 0 tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish.
Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozamiz:

k 2
+ k-2=0
Uni yechib, k
1 =1 va k
2 =-2 topib, quyidagi umumiy yechimni hosil
qilamiz:
y =c
1 e x
+ c
2 e -2x
.
2. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k
1 va k
2 haqiqiy va teng
sonlar (karrali) bo’lsin: k
1 =k
2 .

Bu xolda k
1 =k
2 = .
Bitta hususiy yechim ma’lum
y
1 = e k x
= e
Ikkinchi xususiy yechimni y
2 =u(x)e k x
shaklda izlaymiz:
y
2 ’
=(u ’
(x) + k
1 u(x))e k x
,
y
2 ’’
=(u ’’
(x) +2k
1 u ’
(x) + k 2
1 u(x))e k x
.
Bularni (1.2) ga qo’yib va soddalashtirib
(u ’’
(x) +(2k
1 +a
1 ) u’(x) + (k 2
1 +k
1 a
1 +a
2 ) u(x))e k x
=0
xosil qilamiz.
k
1 = bo’lganda 2k
1 +a
1 =0 va k
1 - xarakteristik tenglama karrali ildizi
bo’lganidan
u ’’
(x) e k x
= 0 yoki u ’’
(x) = 0.
Uni integrallab u(x)=Ax+ B ni xosil qilamiz.
Xususiy xolda, A=1 va B=0 deb olish mumkin: u(x)=x.
Demak, ikkinchi xususiy yechim y
2 =xe k x
ko’rinishda buladi.
Demak, bu xolda umumiy yechim
y =( c
1 + c
2 x)e k x

ko’rinishida bo’ladi.
3. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k
1 va k
2 kompleks sonlar
bo’lsin:
, ,
.
Xususiy yechimlarni
y
1 =e x
va y
2 =e x
shaklida yozish mumkin.
Quyidagi natijadan foydalanamiz: agar xaqiqiy koeffitsentli bir
jinsli chiziqli tenglamaning hususiy yechimi kompleks funksiyalardan
iborat bo’lsa, u xolda uning haqiqiy va mavxum qismlari xam shu
tenglamaning yechimi bo’ladi.
Demak, xususiy yechim

e x
= e x
cos( x)+ie x
sin( x)
bo’lgani uchun e x
cos( x) , e x
sin( x) lar (1.2) tenglamaning
yechimlari buladi.
Umumiy yechim esa
y= e x
(c
1 cos( x)+c
2 sin( x))
ko’rinishda bo’ladi.
Misol.
y ’’
-4y ’
+7y = 0 tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish.
Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozamiz:

k 2
- 4k+7=0.
Uni yechib, k
1 =2+i va k
2 =2-i topib , umumiy yechimni xosil
kilamiz:
y= e 2x
(c
1 cos( x)+c
2 sin( x)).
2. Bir jinsli bo’lmagan ikkinchi tartibli chiziqli, o’zgarmas koeffitsientli
differensial tenglama.
Bir jinslimas ikkinchi tartibli chiziqli, o’zgarmas koeffitsientli differensial
tenglama
y ”
+ a
1 y ’
+a
2 y=f(x) (2.1)
berilgan bo’lsin.
Agar da a
1 , a
2 (2.1) tenglamaning koeffitsientlari va o’ng
tomoni - f(x) uzluksiz bo’lsa, u xolda shu oraliqdagi har qanday
uchun

shartni qanoatlantiruvchi yagona yechim mavjuddir.
Chiziqli differentsial tenglama yechimlarining xossalarini ifodalovchi 1
va 2- teoremalarga ko’ra (2.1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi
teorema orqali ifodalanadi:
6- teorema.
Bir jinsli bo’lmagan (2.1) chiziqli, o’zgarmas koeffitsientli
differensial tenglamaning umumiy yechimi bu tenglamaning - xususiy
yechimi bilan mos bir jinsli

u ”
+ a
1 y ’
+a
2 y = 0
tenglamaning - umumiy yechimi yig’indisidan iboratdir, ya’ni
.
Isboti. . (2.2)
(2.1) tenglamaning yechimi ekanligini ko’rsatamiz. (2.2) ni (2.1) ga
qo’yib
a
1 a
2 f(x)
yoki

f(x) (2.3)
tenglikka ega bo’lamiz.
Birinchi qavsdagi ifoda nolga teng, chunki - bir jinsli
y ”
+ a
1 y ’
+a
2 y = 0
tenglamaning umumiy yechimi, ikkinchi qavsdagi ifoda esa f(x) ga teng,
chunki tenglamaning - (2.1) tenglamaning xususiy yechimlaridan biri.
Demak, (2.3) ayniyat.
Yechimdagi o’zgarmaslarni shunday tanlash mumkinki, -
sonlar qanday bo’lmasin
(2.4)
boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan qilib tanlash mumkin.
ekanligini xisobga olib
ni xosil qilamiz. (2.4) ga ko’ra

Bu sistemadan c
1 va c
2 ni topish uchun uni quyidagi ko’rinishga
keltiramiz
(2.5)
Bu sistemaning determinanti x=x
0 nuqtada Vronskiy
determinantidir. y
1 va y
2 lar chiziqli erkli yechimlar bo’lganligi uchun

Vronskiy determinanti nolga teng emas, ya’ni (2.5) aniq sistema.
Teorema isbotlandi.
Demak, agar chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning yechimi -
ma’lum bo’lsa, u xolda bir jinslimas (2.1) tenglamaning yechimini topish
uning biror - xususiy yechimini topishdan iborat bo’lar ekan.
Xususiy yechimni tanlash usuli.
1. (1) tenglamaning o’ng tomoni ko’rsatkichli funksiya va ko’pxad
ko’paytmasidan, ya’ni
ko’rinishida bo’lsin, n-darajali ko’pxad.
Quyidagi hollar bo’lishi mumkin:
A) soni
k 2
+a
1 k+a
2 =0
xarakteristik tenglamani ildizi emas. Bu holda xususiy yechimni
ko’rinishida izlaymiz.
Misol.

Demak

B) soni
k 2
+a
1 k+a
2 =0
xarakteristik tenglamaning bir karrali ildizi. Bu holda xususiy yechimni
ko’rinishida izlaymiz.
C) soni

k 2
+a
1 k+a
2 =0
xarakteristik tenglamaning ikki karrali ildizi. Bu holda xususiy yechimni
ko’rinishida izlaymiz.
Misol.

Bularni tenglamaga qo’yib, A=1/2, V=-3 ekanligini topamiz. U xolda

2. (1) tenglamaning o’ng tomoni
ko’rinishida bo’lsin.
Quyidagi hollar bo’lishi mumkin:
A) soni
k 2
+a
1 k+a
2 =0
xarakteristik tenglama ildizi emas. Bu holda xususiy yechimni
ko’rinishida izlaymiz.
B) soni
k 2
+a
1 k+a
2 =0
xarakteristik tenglamaning bir karrali ildizi. Bu holda xususiy yechimni
ko’rinishida izlaymiz.
Agar
f (x)=Mcos x+Nsin x
ko’rinishida bo’lsa (M,N-o’zgarmas sonlar), tenglamaning xususiy
yechimini :
c) i soni

k 2
+a
1 k+a
2 =0
xarakteristik tenglama ildizi emas. Bu holda xususiy yechimni
ko’rinishida izlaymiz.
d) i soni
k 2
+a
1 k+a
2 =0
xarakteristik tenglamaning bir karrali ildizi. Bu holda xususiy yechimni
ko’rinishida izlaymiz.
Misol.
Tenglamani yeching.
Yechish.
Xususiy y echimni
ko’rinishida izlaymiz.
ni tenglamaga qo ’ yib , tenglikning o ’ ng va chap tomonidagi
va oldidagi koeffitsentlarni tenglab , A =0 va V =1/4 ekanligini
topamiz . Demak,
Nazorat savollari
1. n - tartibli differensial tenglama deb qanday
differensial tenglamalarga aytiladi?

2. n - tartibli chiziqli, o’zgarmas koeffitsientli differensial
tenglama deb qanday differensial tenglamalarga aytiladi?
3. Chiziqli differensial tenglamaning yechimlarining
xossalari.
4. 2 - tartibli chiziqli, o’zgarmas koeffitsientli differentsial
tenglama uchun Vronskiy determinanti.
5 . Xarakteristik tenglama.
6 . Xarakteristik tenglama ildizlariga qarab bir jinsli
tenglama umumiy yechimining ifodalanishi.
7 . Bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial, o’zgarmas
koeffitsientli tenglama.
8 . Bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial, o’zgarmas
koeffitsientli tenglamaning xususiy yechimini tanlash
usuli.
« Олий математика » кафедраси мажлисининг
21 - сонли баённомасидан
к ў ч и р м а
Тошкент ша ҳ ри 9 . 06 .2011 йил
Кун тартиби:
Кафедра доценти М.М.Сайдаматовнинг очиқ дарси ҳ а қ ида.

Қ атнашдилар: Кафедранинг барча аъзолари
Эшитилди:
Кафедра доценти М.М. Сайдаматовнинг "Иккинчи тартибли чизиқли
ўзгармас коэффициентли бир жинсли ва бир жинсли бўлмаган дифференциал
тенгламалар" номли очиқ дарси муҳокама қилинди. Кафедра мудири, доцент
А.Каримов ва доцент Х.Қ. Абдурахманова ўз фикр-мулоҳазаларини
билдирдилар. Дарсда 72 талабадан 3 талаба ноъмалум сабабларга кўра
қатнашмади. Умуман олганда, дарс одатдагидек бошланиб, ўрталарига
келганда жонли мулоқот бўлди, маъруза давомида дифференциал тенгламага
олиб келадиган баъзи физик ва механик масалалардан мисоллар келтириб
ўтилди, натижада барча талабалар мустақил фикрларини баён қилиш
имкониятига эга бўлдилар. Аммо дарс замонавий техника воситалари билан
жиҳозланган махсус аудиторияларда проектор ёрдамида презентациялар
орқали намойиш этилганда янада юқори самарадорликка эришилар эди.
Шуларга қарамай, очиқ дарс замон талаби даражасида бўлиб, олий
таълимнинг ўқув стандартларига мос келади.
Қарор қилинди:
Кафедра доценти М.М.Сайдаматовнинг " Иккинчи тартибли чизиқли
ўзгармас коэффициентли бир жинсли ва бир жинсли бўлмаган дифференциал
тенгламалар" номли очиқ дарси юқорида келтирилган барча камчилик ва
тавсияларни инобатга олган ҳолда тасдиқлансин.
Кафедра мудири , доцент А.Каримов
Котиба Н.Хасанова
Олий математика кафедраси доценти М.М.Сайдаматов нинг
“ Иккинчи тартибли чизиқли ўзгармас коэффициентли бир жинсли ва бир
жинсли бўлмаган дифференциал тенгламалар ” деб номланган
очиқ дарсига
ТАҚРИЗ
Доцент М.М.Сайдаматовнинг «Олий математика» фанидан « Иккинчи
тартибли чизиқли ўзгармас коэффициентли бир жинсли ва бир жинсли
бўлмаган дифференциал тенгламалар” мавзусидаги очиқ дарси маъруза
машғулоти 24-май, сешанба куни 2-жуфтликда 1-76 хонада ўз вақтида
бошланди. Маърузада МТКТА факультетининг 9-10, 16 -10 ва 2 1-10
гуруҳлари талабалари қатнашдилар. Дарс давомати текширилиши

натижасида 72 талабадан 3 нафари ( 9 -10 гурух талабаси С.Норбўтаев, 16 - 1 0
гурухидан Н.Хакимов ва Д.Ахмедов) йўқлиги маълум бўлди.
Ўқитувчи янги дарсни бошлашдан аввал 3-5 минут вақтини маънавий
тарбиявий масалаларга сарфлади. Сўнг талабаларга саволлар бериш орқали
аввалги дарсда ўтилган мавзуни қисқача такрорлади.
Янги мавзу « Иккинчи тартибли чизиқли ўзгармас коэффициентли бир
жинсли ва бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламалар” эълон қилинди.
Бунда таъриф ва теоремалар орқали тенглама ечимининг мавжудлиги ва
хусусий ечимларини танлаш усуллари кўрсатилди.
Дарс ниҳоясида талабалар фойдаланишлари ва ўқув жараёнида керак
бўладиган адабиётлар, ҳамда тарқатма материаллар рўйхати талабалар
эътиборига ҳавола қилинди.
Дарс талабалар томонидан берилган саволларга жавоб бериш ва
ҳулосалар ясаш билан якунланди.
Умуман олганда, дарсда, айниқса дарснинг ўрталарига келиб, жонли
мулоқот бўлди, натижада барча талабалар мустақил фикрларини баён қилиш
имкониятига эга бўлдилар. Шуни такидлаш керакки, маърузада,тарқатма
материаллар талабаларга аввалги дарсларда берилганда, талабалар учун
ўзлаштириш янада осонроқ бўлар эди. Шуларга қарамай, М.М.Сайдаматов
очиқ дарси замон талаби даражасида бўлиб, олий таълимнинг ўқув
стандартларига мос келади.
Эксперт:
ЎзМУ, “ Алгебра ва функционал анализ” кафедраси
Физика - математика фанлари номзоди , Р.Додажонов
Олий математика кафедраси доценти М.М.Сайдаматов нинг
“ Иккинчи тартибли чизиқли ўзгармас коэффициентли бир жинсли ва бир
жинсли бўлмаган дифференциал тенгламалар ” деб номланган
очиқ дарсига
ТАҚРИЗ
Маъруза дарс жадвалида кўрсатилган хонада ўз вақтида бошланди.
Дарс аввалида дарсга келмаган талабалар гурух старосталари ёрдамида
аниқланди. Ўқитувчи янги дарсни бошлашдан аввал 5-6 минут вақтини
маънавий, маърифий масалаларга сарфлади ва олдинги дарсда ўтилган
мавзуни қисқача қайтариб, хулосалар берди.

Янги мавзунинг номи эълон қилинди. Бунда таъриф ва теоремалар
орқали иккинчи тартибли чизиқли ўзгармас коэффициентли бир жинсли
дифференциал тенглама ечими, унинг характеристик тенгламаси, яъни
алгебрик тенгламанинг илдизлари орқали ифодаланишини ва бир жинсли
бўлмаган чизиқли ўзгармас коэффициентли тенгламанинг хусусий
ечимларини танлаш усуллари кўрсатилди. Янги мавзунинг аввал ўтилган
мавзулар билан боғлиқликда ўтилганлиги ўқитувчининг тажрибаси
юқорилигидан далолат беради.
Дарс нихоясида талабалар фойдаланишлари ва ўқув жараёнида керак
бўладиган адабиётлар, Web сахифалар адреслари рўйхати талабалар
эътиборига ҳавола қилинди.
Дарс талабалар томонидан берилган саволларга жавоб бериш билан
якунланди.
Умуман олганда, дарс педагогик жиҳатдан тўғри ташкил этилиб, юкори
савияда ўтказилди. Аммо дарсда айрим талабаларнинг бефарқлиги
кузатилди. Шуларга қарамай, М.М.Сайдаматов очиқ дарси замон талаби
даражасида бўлиб, олий таълимнинг ўқув стандартларига мос келади.
Эксперт:
“Олий математика” кафедраси
мудири, доцент А. Каримов

O‘zgarmas koeffitsientli bir jinsli va bir jinsli bolmagan

Sotib olish