To‘lqin tarqalish tenglamasi uchun ayirmali sxemalar

Информация о документе

Цена	30000UZS
Размер	320.9KB
Покупки	0
Дата загрузки	14 Январь 2026
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Техника и технология

Продавец

Xojibobo

Дата регистрации 21 Декабрь 2024

5 Продаж

To‘lqin tarqalish tenglamasi uchun ayirmali sxemalar

Купить

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA LIM,ʼ FAN VA
INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT
TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITITETI
DASTURIY INJINERING FAKULTETI
“ALGORITMLASH VA MATEMATIK MODELLASHTIRISH “
KAFEDRASI
Mavzu: To‘lqin tarqalish tenglamasi uchun ayirmali sxemalar
Toshkent- 2025

2MUNDARIJA
KIRISH ................................................................................................... 4
I BOB. NAZARIY QISM ....................................................................... 6
1.1. Giperbolik turdagi tenglamalar va ularning umumiy tavsifi ........ 6
1.2. To‘lqin tenglamasini yechish usullari .......................................... 9
1.3. Ayirmali sxemalarning nazariy asosi ......................................... 12
II BOB. ASOSIY QISM ........................................................................ 13
2.1. Ayirmali usullarni tanlash mezonlari ......................................... 13
2.2. To‘lqin tenglamasi uchun ayirmali sxema va algoritm .............. 16
2.3. Dasturiy ta’minot ishlab chiqish jarayoni .................................. 20
2.4. Natijalar va ularning tahlili ........................................................ 27
2.5. Ayirmali usullar va boshqa sonli metodlar taqqoslanishi .......... 29
XULOSA .............................................................................................. 30
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR .............................................. 32

3KIRISH
To‘lqinlar tabiatda keng tarqalgan hodisadir. Ular elektromagnit,
akustik, suvdagi, va hatto elastik to‘lqinlar shaklida ham uchraydi.
To‘lqinlar, ayniqsa, fizikaviy tizimlarni modellashtirishda muhim rol
o‘ynaydi, chunki ular ko‘plab tabiiy va texnik jarayonlar, masalan,
tovushning tarqalishi, elektromagnit to‘lqinlarning yoyilishi,
to‘lqinlardagi impulslar, va boshqalar bilan bog‘liq. To‘lqinlar
matematik jihatdan ko‘plab differensial tenglamalar orqali ifodalanadi.
To‘lqin tarqalish tenglamasi - bu o‘zgaruvchan muhitdagi yoki
tizimdagi to‘lqinlarning vaqt va makon bo‘yicha qanday tarqalishini
ifodalovchi matematik modeldir. Oddiy bir o‘lchovli to‘lqin tenglamasi
quyidagicha ifodalanadi:
Bu yerda u(x,t) to‘lqinlar amplitudasi, t - vaqt, x - makon
koordinatasi, va c - to‘lqinning tarqalish tezligi.
To‘lqin tarqalish tenglamasini yechish - jismoniy jarayonlarni
simulyatsiya qilish uchun muhim vazifalardan biridir. Ushbu tenglamani
yechishning bir nechta usullari mavjud, ulardan biri - sonli (ayirmali)
usullar yordamida yechim olishdir. Analitik yechimlar ko‘pincha faqat
oddiy geometrik shakllarda va sodda shartlarda mavjud bo‘lishi
mumkin, ammo murakkab holatlar uchun raqamli (sonli) metodlardan
foydalanish zarur.
Sonli usullar - differensial tenglamalarni vaqt va makon bo‘yicha
diskretizatsiya qilish orqali yechimlarni hisoblashda qo‘llaniladi.
Ayirmali sxemalar - bu sonli usullarning eng keng tarqalgan va samarali

4turlaridan biri bo‘lib, ular vaqt va makon o‘lchovlarini bo‘lish orqali
differensial tenglamalarni yechishga imkon beradi.
To‘lqin tarqalish tenglamasi uchun ayirmali sxemalarni qo‘llashda
asosiy muammolardan biri - barqarorlik va yaqinlikni ta'minlashdir.
Ayirmali sxemalar, ayniqsa, murakkab fizik tizimlarda qo‘llanilganda,
yechimlar ba'zan noto‘g‘ri yoki barqarorsiz bo‘lishi mumkin. Shu
sababli, ayirmali sxemalarni tanlashda uning barqarorligi va yaqinligi
alohida ahamiyatga ega.
To‘lqin tarqalish tenglamalari tabiatdagi ko‘plab hodisalarni
tasvirlashda muhim ahamiyatga ega. Ular akustik, elektromagnit, suvda
va boshqa fizik tizimlarda to‘lqinlarning tarqalishini ifodalaydi. Bu
tenglamalarni yechish uchun analitik usullar ko‘pincha cheklangan
bo‘lgan holatlar uchun mavjud, ammo murakkab tizimlarda va noaniq
chegara shartlari mavjud bo‘lsa, analitik yechimlarni topish qiyinlashadi.
Shuning uchun, sonli usullar yordamida differensial tenglamalarni
yechish usullari keng qo‘llaniladi.
Bu ishning maqsadi - to‘lqin tarqalish tenglamasini yechishda
ayirmali sxemalarni qo‘llash, ularning samaradorligini tahlil qilish va
dasturiy ta'minot yordamida yechimlarni modellashtirish. Bu ishda
to‘lqin tenglamasining sonli yechimlarini olish uchun turli xil ayirmali
sxemalar, xususan, eksplisit(explicit - “inglizcha” - ochiq usul) va
implisit(implicit
- “inglizcha” - yopiq usul) usullarni o‘rganish va taqqoslash muhim
ahamiyat kasb etadi.

5I BOB. NAZARIY QISM
1.1. Giperbolik turdagi tenglamalar va ularning umumiy tavsifi
Giperbolik tenglamalar, matematikada va fizikada to‘lqinlar va
tarqalish jarayonlarini modellashtirishda muhim o‘rin egallaydi. Ular
ko‘pincha to‘lqinlarning vaqt o‘tishi bilan tarqalishi kabi hodisalarni
ifodalaydi. Giperbolik tenglamalar, odatda, ikki o‘zgaruvchi — vaqt va
makon bo‘yicha yechimlar talab qiluvchi tenglamalar bo‘lib, ular
o‘zlarining barqarorlik va tarqalish xususiyatlari bilan ajralib turadi.
Giperbolik tenglamaning umumiy ko‘rinishi ikki yoki undan ortiq
o‘zgaruvchilar bilan ifodalanadigan chiziqli tenglama bo‘lib, ularning
yechimlari vaqt o‘tishi bilan tarqaluvchi to‘lqinlarga o‘xshaydi. Bunday
tenglamalar, masalan, to‘lqinlar, akustika, elektromagnit maydonlari,
suv va havo atmosferasidagi o‘zgarishlarni tasvirlashda qo‘llaniladi.
Giperbolik tenglamalar to‘lqinlarning tarqalishiga oid
muammolarni yechishda keng qo‘llaniladi. Masalan, to‘lqin tarqalish
tenglamasi bu turdagi tenglama bo‘lib, u tizimdagi to‘lqinlarning tezligi,
amplitudasi va shakli haqida muhim ma'lumotlar beradi. Giperbolik
tenglamalar yordamida insonlar akustik to‘lqinlar, elektromagnit
maydonlarining tarqalishi, shuningdek, biologik va kimyoviy
jarayonlarning modellashtirishini amalga oshiradilar.
Giperbolik tenglamalar yechimlarini olishda analitik va sonli
usullar qo‘llaniladi. Analitik usullar ba'zi maxsus holatlar uchun
ishlaydi, lekin murakkab shartlar va chegaralarda yechimlar topish qiyin
bo‘ladi. Shuning uchun sonli metodlar, xususan, ayirmali sxemalar
yordamida giperbolik tenglamalarning yechimi amalda qo‘llaniladi.
Sonli yechimlar yordamida tenglamalarni diskretlashtirish orqali

7mumkin, bu esa hisoblashlar natijasida barqaror va aniq yechimlarga
olib keladi.
Giperbolik tenglamalar sonli yechimlar yordamida yechish uchun
ko‘plab metodlar ishlab chiqilgan, jumladan, eksplicit va implisit
usullar. Eksplicit usulda yangi qiymatlarni hisoblash uchun oldingi
qadamlardagi qiymatlar ishlatiladi, bu usul tezkor bo‘lishi mumkin,
lekin ba'zan stabil emas. Implisit usullarda esa kelajakdagi qiymatlar
bilan bog‘liq tenglama tizimlarini yechish talab etiladi, bu usullar esa
barqaror bo‘lishi mumkin, ammo hisoblashlar ancha murakkab bo‘ladi.
Sonli metodlar yordamida giperbolik tenglamalar yechimining
tahlili ilm-fan va texnologiyaning ko‘plab sohalarida muhim ahamiyatga
ega. Ularning yordamida turli xil fizik jarayonlar va tizimlar, masalan,
akustik, elektromagnit yoki mexanik tizimlarning xatti-harakatlarini
o‘rganish mumkin. Bu metodlar, shuningdek, yangi texnologiyalarni
ishlab chiqishda va mavjud tizimlarni optimallashtirishda qo‘llaniladi.
Giperbolik tenglamaning umumiy shakli quyidagicha ifodalanadi:
Bu yerda:
 u=u(x,t) — to‘lqinning tarqalishini ifodalovchi funksiya,
 a va b — tenglamaning parametrlari,
 t — vaqt o‘zgaruvchisi,
 x — makon o‘zgaruvchisi.
Bu tenglama to‘lqinlar tenglamasi deb ataladi va to‘lqinlarning
tarqalishini tasvirlaydi. Bu turdagi tenglamalar, ko‘pincha akustika yoki
elektromagnit to‘lqinlar bilan bog‘liq bo‘ladi.

8To‘lqin tenglamasining yechimi:
Agar yuqoridagi tenglama uchun boshlang‘ich shartlar berilgan
bo‘lsa, uning umumiy yechimi quyidagi shaklda bo‘ladi:
u( x,t )=f( x−ct ) + g( x+ct )
Bu yerda:
 f va g — boshlang‘ich shartlarga bog‘liq funksiyalar,
 c — to‘lqin tezligi.
Bu yechimda, f(x−ct) va g(x+ct) funksiyalari to‘lqinlarning oldinga
va orqaga yo‘nalgan tarqalishini tasvirlaydi.
Giperbolik tenglamalarni sonli usulda yechishda ayirmali
sxemalardan foydalaniladi. Masalan, eksplicit usul uchun quyidagi
ayirmali sxema ishlatiladi:
Bu yerda:
 u
i n
— i-ta nuqtadagi n-chi vaqt qadamidagi qiymat,
 Δt — vaqt qadamining o‘lchami,
 Δx — makon qadamining o‘lchami,
 c — to‘lqin tezligi.
Bu formulada, to‘lqinning tarqalishining keyingi qadamini
hisoblash uchun oldingi va o‘rta qiymatlar ishlatiladi.
Implisit usul
Implisit usul uchun ayirmali sxema quyidagicha bo‘lishi mumkin:

9Bu usulda, yangi qiymatlarni hisoblash uchun barcha
o‘zgartirishlarni birgalikda hisoblash zarur bo‘ladi, shuning uchun
barqarorlik uchun ko‘proq hisoblash resurslari talab etiladi, ammo u
yuqori barqarorlikni ta'minlaydi.
Bu formulalar va usullar giperbolik tenglamalarni yechishning
asosiy vositalaridir. Ayirmali sxemalar yordamida tenglamalarni sonli
tarzda yechish mumkin va bu metodlar turli xil fizik jarayonlarni
modellashda qo‘llaniladi.
1.2. To‘lqin tenglamasini yechish usullari
To‘lqin tenglamasini yechishda bir nechta usullar mavjud. Ular
asosan ikki katta guruhga bo‘linadi: analitik usullar va sonli usullar.
To‘lqin tenglamasining yechimi uchun ishlatiladigan usullar, uning
fizika va matematik xususiyatlariga qarab turlicha bo‘lishi mumkin.
Quyida ushbu usullarni ko‘rib chiqamiz:
Analitik usullar
To‘lqin tenglamasining analitik yechimi, ya'ni uning to‘g‘ridan-
to‘g‘ri matematik yechimi ba'zi holatlarda mavjud bo‘ladi. Bunday
yechimlar faqat ba'zi oddiy boshlang‘ich shartlar va chegara shartlari
uchun ishlaydi. Analitik yechimlar yordamida to‘lqinlarning shakli,
tezligi va amplitudasi to‘g‘risida aniq ma'lumotlar olish mumkin.
Yangi boshlang‘ich shartlar yordamida to‘lqinlar yechimi:
To‘lqin tenglamasi uchun analitik yechimlarning ko‘pligi bor,
lekin ular aniq shartlar va chegara shartlariga bog‘liq. Ko‘pincha, to‘lqin
tenglamasining yechimi quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘ladi:
u( x,t )=f( x−ct ) + g( x+ct )
Bu yerda:

10 f(x−ct) va g(x+ct)— to‘lqinlarni oldinga va orqaga tarqatadigan
funksiyalar,
 c — to‘lqin tezligi,
 u(x,t) — to‘lqinning tarqalishini ifodalovchi funksiya.
 Bu yechimga ko‘ra, to‘lqinlar oldinga va orqaga yo‘nalgan shaklda
tarqaladi, va ularning shakli boshlang‘ich shartlarga bog‘liq
bo‘ladi. Fourier transformatsiyasi yordamida to‘lqinlar yechimi:
Agar to‘lqin tenglamasi uchun boshlang‘ich shartlar to‘g‘ri
berilgan bo‘lsa, Fourier transformatsiyasi yordamida analitik
yechimlarni olish mumkin. Bu usulda, to‘lqinlarning vaqt va makon
bo‘yicha taqsimlanishi har bir chastota komponentasi sifatida
ifodalanadi. Fourier transformatsiyasi to‘lqinlarning tezligini va
amplitudalarini ajratib ko‘rsatish uchun samarali usul hisoblanadi.
Sonli usullar
Agar to‘lqin tenglamasining analitik yechimini olish qiyin bo‘lsa
yoki mumkin bo‘lmasa, unda sonli metodlar yordamida yechimlarni
topish mumkin. Sonli usullar, ayniqsa, murakkab chegaraviy shartlar va
boshlang‘ich shartlar bo‘yicha yechimlarni olishda qo‘llaniladi.
Sonli usullarni qo‘llashda, ayniqsa, ayirmali sxemalar muhim o‘rin
tutadi. Ayirmali sxemalar yordamida differensial tenglamalar
diskretizatsiya qilinadi va ularning sonli yechimlari olinadi.
1. Eksplisit usul (Oldingi qadamlarga asoslangan usul):
Eksplisit usulda, to‘lqin tenglamasining yechimlarini oldingi
qadamlardagi qiymatlar yordamida hisoblash mumkin. Bu usul eng
oddiy va tezkor hisoblanadi, ammo uning stabil bo‘lishi uchun
belgilangan shartlar talab qilinadi. Eksplicit usul uchun ayirmali sxema

i
12bo‘ladi:
Bu yerda:
 u n
— i-ta nuqtadagi n-chi vaqt qadamidagi qiymat,
 Δt — vaqt qadamining o‘lchami,
 Δx — makon qadamining o‘lchami,
 c — to‘lqin tezligi.
2. Implisit usul (Yangi qadamlarga asoslangan usul):
Implisit usulda, yangi vaqt qadamlaridagi qiymatlar bilan bog‘liq
tenglamalar tizimi yechiladi. Bu usul stabil bo‘lishi mumkin, ammo
hisoblash jarayoni ko‘proq vaqt talab qiladi. Implisit usul uchun ayirmali
sxema quyidagicha bo‘ladi:
3. Crank-Nicolson usuli:
Crank-Nicolson usuli implisit va eksplicit usullarni birlashtiradi.
Bu usul stabil va aniqlikni oshirish imkonini beradi, ammo hisoblashlar
biroz murakkabroq bo‘ladi. Crank-Nicolson usuli quyidagi formulaga
ega:
Bu usul barqaror va aniq yechimlarni taqdim etadi, ayniqsa ko‘p

14Sonli usullarda to‘lqin tenglamasining yechimini olishda
barqarorlik muhim ahamiyatga ega. Barqarorlikni ta'minlash uchun,
tenglama uchun diskretizatsiya qilingan shartlar va qadam uzunliklari
to‘g‘ri tanlanishi kerak. Barqaror usulda yechim vaqt o‘tishi bilan uzoq
davom etadigan barqaror xatti-harakatni ko‘rsatadi. Agar shartlar
noto‘g‘ri tanlansa, yechimlar tasodifiy o‘zgarishi yoki noto‘g‘ri bo‘lishi
mumkin.
1.3. Ayirmali sxemalarning nazariy asosi
Ayirmali sxemalar (sonli metodlar) differensial tenglamalarni
yechishda diskretizatsiya usuli sifatida ishlatiladi. Ularning asosiy
maqsadi, uzluksiz (kontinual) tizimlarni sonli, ya'ni aniq qadamlarda
hisoblashlar bilan ta'riflashdir. Ayirmali sxemalar yordamida,
differensial tenglamalar sonli tenglamalarga aylantiriladi, bu esa ularga
sonli yechimlarni topish imkonini beradi. Bu usullar ayniqsa giperbolik,
parabolik va elliptik tenglamalar uchun keng qo‘llaniladi.
Ayirmali sxema – bu differensial tenglamaning vaqt va makon
bo‘yicha o‘zgarishini diskretlashtirish usulidir. Bunda, kontinuumdagi
qiymatlar vaqt va makon o‘lchovlari bo‘yicha qadamlar bilan almashadi.
Bu jarayonda, differensial operatorlarning o‘rniga ularning ayirmali
(diskret) versiyalari ishlatiladi. Masalan, vaqt va makon o‘zgaruvchilari
uchun quyidagicha qadamlar qo‘yiladi:
Vaqt: t
n =nΔt n=0,1,2,…
Makon: x
i =iΔx i=0,1,2,…
Bu yerda Δt va Δx - vaqt va makon qadamlarining uzunligi.
Ayirmali sxema umumiy shaklda quyidagicha ifodalanadi:

15Bu yerda F — differensial tenglamaning birinchi yoki yuqori
tartibli differensial operatorlarini ifodalovchi funktsiya. Ayirmali
sxemada, ushbu operatorlar sonli ayirmalar yordamida ifodalanadi.
Masalan, agar u(x,t) funktsiyasining vaqt bo‘yicha birinchi
derivativasini diskretizatsiya qilish kerak bo‘lsa, quyidagi ayirmali ifoda
ishlatiladi:
Shuningdek, makon bo‘yicha derivativaning diskret shakli
quyidagicha bo‘ladi:
Bunday usullar yordamida differensial tenglamaning sonli yechimi
olinadi.
II BOB. ASOSIY QISM
2.1. Ayirmali usullarni tanlash mezonlari
Ayirmali usullarni tanlash — differensial tenglamalarni yechishda
samarali va to‘g‘ri yechim olish uchun muhim qadam hisoblanadi. Har
bir differensial tenglama yoki fizik jarayon uchun mos usulni tanlash
zarur, chunki har xil usullar turli xususiyatlar, afzalliklar va
kamchiliklarga ega bo‘ladi. Ayirmali usullarni tanlashda bir nechta
mezonlarga e'tibor berish kerak, chunki bu mezonlar usulning aniqligini,
barqarorligini, samaradorligini va qo‘llanilish qobiliyatini belgilaydi.
1. Aniqlik

16Aniqlik — usulning hisoblash natijalarining haqiqiy yechimga
qanchalik yaqin ekanligini ko‘rsatuvchi mezondir. Ayirmali usulning
aniqligi, asosan, diskretizatsiya qadamining uzunligi (Δx va Δt) bilan
bog‘liq bo‘ladi. Diskretizatsiya qadamining kichrayishi, odatda,
yechimning aniqroq bo‘lishiga olib keladi, lekin bu hisoblashlarni
ko‘proq vaqt va resurslar talab qilishi mumkin. Aniqlikni baholash
uchun quyidagi formulalar qo‘llaniladi:
 Tenglama uchun lokaliy o‘zgarishlar: Agar har bir vaqt
qadamida yechimning o‘zgarishlari kichik bo‘lsa, unda usul yuqori
aniqlikni ta'minlashi mumkin.
 Maxsus xatoliklarni baholash: Ayirmali usullarda xatoliklar
diskretizatsiya qadamining uzunligiga bog‘liq bo‘ladi. Misol uchun,
yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun xatolikni aniqlash uchun
maxsus hisob-kitoblar amalga oshiriladi.
2. Barqarorlik
Barqarorlik — usulning hisoblashlar davomida o‘zgarishlarning
cheklangan doirada qolishini anglatadi. Agar usul barqaror bo‘lsa,
yechim vaqt o‘tishi bilan tasodifiy o‘zgarishlardan ta'sirlanmaydi.
Barqaror usulda yechim vaqt o‘tishi bilan haddan tashqari katta yoki
kichik o‘zgarishlarga olib kelmaydi, bu esa hisoblashlarni yanada
ishonchli qiladi.
Barqarorlik tahlili: Barqarorlikni tahlil qilish uchun, masalan, von
Neumann barqarorlik tahlili kabi metodlar ishlatiladi. Bu tahlil
yordamida, usulning barqarorligi uchun kerakli diskretizatsiya
qadamlarini belgilash mumkin. Masalan, eksplicit usulda barqarorlikni
ta'minlash uchun CFL sharti (Courant-Friedrichs-Lewy sharti)ni

17hisoblash talab etiladi, bu shart qadam uzunliklari orasidagi munosabatni
belgilaydi. Agar bu shart bajarilsa, yechim barqaror bo‘ladi.
3. Samaradorlik
Samaradorlik — hisoblash vaqtining minimalligi va resurslarning
samarali ishlatilishini anglatadi. Ayirmali usullarni tanlashda, hisoblash
jarayonining tezligi va resurslarning optimalligi muhim ahamiyatga ega.
Samarali usulni tanlash uchun quyidagilarni hisobga olish kerak:
 Hisoblash tezligi: Agar usul juda ko‘p vaqtni talab qilsa yoki
hisoblash resurslarini haddan tashqari ishlatsa, unda u samarali emas.
Shu bois, usulning tezligi ham hisobga olinadi.
 Xotira talabi: Ba'zi usullar xotira va resurslarni ko‘proq talab
qiladi. Samaradorlikni ta'minlash uchun xotira va hisoblashning samarali
taqsimlanishi zarur.
Sonli metodlar yordamida hisoblashlar osonlashishi mumkin,
ammo ba'zi usullarni ishlatishda vaqt va resurslarni tejash uchun
o‘zgartirishlar kiriting, masalan, qadam uzunliklarini optimallashtirish.
4. Xatoliklar va ular bilan ishlash
Har qanday sonli metodlar natijalarida xatoliklar bo‘lishi mumkin.
Ayirmali sxemalar yordamida yechimlar olishda xatoliklar aniqlanishi
va kamaytirilishi kerak. Xatoliklar quyidagi turdagi bo‘lishi mumkin:
 Diskretizatsiya xatoligi: Ayirmali sxemalar yordamida
olingan yechimlar diskretizatsiya qadamlarining kattaligiga bog‘liq
bo‘ladi. Kichikroq qadamlar xatolikni kamaytiradi, lekin hisoblashni
uzoqroq va murakkabroq qiladi.

18 Uzluksizlik xatoligi: Ushbu xatolik, ayirmali sxemalar
yordamida uzluksiz jarayonlarni model qilishda yuzaga keladi. Bunday
xatolikni minimallashtirish uchun yuqori tartibli usullar qo‘llaniladi.
Xatolikni aniqlash va minimallashtirish uchun maxsus metodlar,
masalan, grid refinement yoki adaptive meshing texnikalari qo‘llaniladi,
bu usullar tarmoqni o‘zgarishlar talablariga moslashtiradi va xatolikni
kamaytiradi.
5. Implementatsiya va komplekslik
Implementatsiya qiyinligi va usulning murakkabligi ham usulni
tanlashda muhim mezonlardan biridir. Ba'zi usullar nisbatan oson
hisoblanadi va ulardan tezda foydalanish mumkin, boshqa usullar esa
murakkabroq bo‘lib, ko‘proq dasturiy ta'minot va matematik resurslarni
talab qiladi.
Murakkab usullar, masalan, Crank-Nicolson usuli yoki tarmoqni
moslashtirish usullari, yuqori aniqlikni va barqarorlikni ta'minlasa-da,
ularni implementatsiya qilish ko‘proq vaqt va resurslarni talab qiladi.
6. Qo‘llanilish sohalari
Ayirmali usullarni tanlashda ularning qo‘llanilish sohasini ham
hisobga olish zarur. Masalan, giperbolik tenglamalar uchun ko‘p
hollarda eksplicit usullar afzal bo‘lsa, parabolik tenglamalar uchun esa
implisit usullar samarali bo‘ladi. Shuningdek, ba'zi usullar har xil fizik
jarayonlarga moslashtirilgan bo‘lishi mumkin, masalan, issiqlik
tarqalishi yoki to‘lqinlarning tarqalishini hisoblashda.
2.2. To‘lqin tenglamasi uchun ayirmali sxema va algoritm
To‘lqin tenglamasi fizikada va muhandislikda keng qo‘llaniladigan
matematik model bo‘lib, u elastik muhitda to‘lqinlarning tarqalishini

19ifodalaydi. Bu tenglamani sonli (ayirmali) usullar yordamida yechish

20orqali, to‘lqinlarning vaqt va makondagi o‘zgarishini hisoblash mumkin
bo‘ladi.
To‘lqin tenglamasining umumiy ko‘rinishi
Bir o‘lchamli to‘lqin tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
bu yerda:
 u(x,t)– to‘lqin funksiyasi,
 c – to‘lqin tarqalish tezligi,
 x – fazoviy koordinata,
 t – vaqt.
Bu tenglamani sonli yechishda, vaqt va fazoni diskretlashtirish
orqali ayirmali sxemalar tuziladi.
Ayirmali sxema tuzish
Fazoni va vaqtni diskret qilib quyidagicha belgilanadi:
 x
i =iΔx, i =0,1,2,…,N
 t n
=nΔt, n=0,1,2,…
To‘lqin funksiyasining qiymatlari:
Endi to‘lqin tenglamasidagi hosilalarni markaziy ayirmali ifodalar
bilan almashtiramiz:

21Shularni tenglamaga qo‘ysak, quyidagi ayirmali sxema hosil bo‘ladi:
Yuqoridagi tenglamani yechishga mo‘ljallangan sxema
quyidagicha yoziladi:
Dastlabki va chegaraviy shartlar
To‘lqin tenglamasini yechish uchun boshlang‘ich va chegaraviy shartlar
kerak bo‘ladi.
Boshlang‘ich shartlar:
(dastlabki to‘lqin holati)
(dastlabki tezlik)
Ayirmali shaklda:

i i
22Algoritm bosqichlari
To‘lqin tenglamasi uchun ayirmali yechim algoritmini quyidagi
bosqichlar asosida qurish mumkin:
1. Boshlang‘ich qiymatlarni kiritish
f(x) va g(x) funksiyalarini
aniqlash Δx, Δt, N, c qiymatlarini
berish
2. Tarmoq nuqtalarini hosil qilish
x
i =i ⋅ Δx, i=0,1,…,N
Boshlang‘ich shartlar asosida u 0
va u 1
ni hisoblash
Takroriy hisoblash sikli.
3. Har bir vaqt bosqichi uchun n=1,2,… quyidagicha:
4. Chegaraviy shartlar:
5. Natijalarni saqlash yoki vizualizatsiya qilish.

232.3. Dasturiy ta’minot ishlab chiqish jarayoni
To‘lqin tenglamasi uchun ayirmali sxemalar asosida dasturiy
ta’minot ishlab chiqish zamonaviy hisoblash metodlarini amaliyotga
tadbiq qilishning muhim bosqichidir. Bu jarayon foydalanuvchi
ehtiyojlarini hisobga olgan holda, matematik modelni aniq tasvirlash,
algoritmlarni optimallashtirish va natijalarni vizual tarzda ifodalashni
o‘z ichiga oladi.
Dasturiy ta’minotni ishlab chiqish bosqichlari
Dasturiy ta’minotni ishlab chiqish jarayoni odatda quyidagi asosiy
bosqichlardan iborat bo‘ladi:
1. Talablarni aniqlash va tahlil qilish
Bu bosqichda to‘lqin tenglamasini yechish maqsadi aniqlanadi:
 Qanday to‘lqin tenglamasi (bir o‘lchamli yoki ko‘p o‘lchamli)?
 Qanday boshlang‘ich va chegaraviy shartlar mavjud?
 Foydalanuvchi grafik interfeysga muhtojmi yoki faqat matnli
natijalar kifoyami?
 Algoritm eksplisit yoki implisit sxemalarga asoslanadimi?
2. Matematik modelni ishlab chiqish
Dasturda qo‘llaniladigan to‘lqin tenglamasi ayirmali sxemalar yordamida
quyidagicha ifodalanadi:
Bu formulani dasturning yadro (kernel) algoritmiga aylantirish
zarur bo‘ladi.
3. Algoritmni yaratish
Algoritm quyidagicha bosqichlardan iborat bo‘ladi:

i i
24 Kiritilgan qiymatlar: c, Δx, Δt, N, T
 Boshlang‘ich qiymatlar u 0
, u 1
 Har bir vaqt bosqichi uchun iterativ hisoblash
 Chegaraviy shartlarni hisobga olish
 Yechim natijalarini saqlash
Quyida 2 ta masalaning yechimini Maple dasturi orqali ko‘rishimiz
mumkin:
1- masala. Quyidagi to‘lqin tenglamasi berilgan:
Boshlang‘ich shartlar:
Chegaraviy shartlar:
To‘lqin tezligi: c=1
Diskretlash parametrlari: Δx=0.1, Δt=0.01
Dastur kodi:
restart:
with(plots):
# Parametrlar
L := 1: c := 1: dx := 0.1: dt := 0.01:
Nx := trunc(L/dx): Nt := 100:
r := (c*dt/dx)^2:

$25# Matritsa yaratish u := Matrix(Nx+1, Nt+1, 0): # Boshlang‘ich shartlar for i from 0 to Nx do x := i*dx: u[i+1,1] := sin(Pi*x): u[i+1,2] := sin(Pi*x) + (dt^2/2)*c^2*(sin(Pi*(x+dx)) - 2*sin(Pi*x) + sin(Pi*(x-dx)))/(dx^2): end do: # Chegaraviy shartlar for n from 1 to Nt+1 do u[1,n] := 0: u[Nx+1,n] := 0: end do: # Ayirmali sxema orqali hisoblash for n from 2 to Nt do for i from 2 to Nx do u[i,n+1] := 2*u[i,n] - u[i,n-1] + r*(u[i+1,n] - 2*u[i,n] + u[i-1,n]): end do: end do: # sonli yechim printf(" t = 0.05 uchun sonli yechim:\n"): nval := trunc(0.05/dt): for i from 0 to Nx do printf("x = %.1f, u(x,t=0.05) = %.5f\n", i*dx, u[i+1,nval]): end do:$

26# grafigi
frame := []:
for n from 1 to Nt by 10 do
data := [seq([i*dx, u[i+1,n]], i=0..Nx)]:
frame := [op(frame), plot(data, style=line, color=red, thickness=2)]:
end do:
display(frame, insequence=true, title="To‘lqin tenglamasi yechimi (1-
masala)")
Dastur natijasi:

272- masala.Tenglama:
Shartlari:
Parametrlar:

$28Dastur kodi: restart; with(plots); L := 2; c := 2; dx := 0.2; dt := 0.01; Nx := trunc(L/dx); Nt := 100; r := (c*dt/dx)^2; u := Matrix(Nx + 1, Nt + 1, 0); for i from 0 to Nx do x := i*dx; u[i + 1, 1] := x*(2 - x); u[i + 1, 2] := u[i + 1, 1] + dt^2/2*c^2*((x + dx)*(2 + (-x - dx)) - 2*x*(2 - x) + (x - dx)*(2 + (-x + dx)))/dx^2; end do; for n to Nt + 1 do u[1, n] := 0; u[Nx + 1, n] := 0; end do; for n from 2 to Nt do for i from 2 to Nx do u[i, n + 1] := 2*u[i, n] - u[i, n - 1] + r*(u[i + 1, n] - 2*u[i, n] + u[i - 1, n]); end do; end do; printf("t = 0.1 uchun sonli natijalar:\n");$ $29nval := trunc(0.1/dt); for i from 0 to Nx do printf("x = %.1f, u(x,t=0.1) = %.5f\n", i*dx, u[i + 1, nval]); end do; frame := []; for n by 10 to Nt do data := [seq([i*dx, u[i + 1, n]], i = 0 .. Nx)]; frame := [op(frame), plot(data, style = line, color = blue, thickness = 2)]; end do; display(frame, insequence = true, title = "To‘lqin tenglamasi yechimi (2-masala)"); Dastur natijasi:$

302.4. Natijalar va ularning tahlili
Maple dasturiy muhitida to‘lqin tenglamasining sonli yechimi
uchun ayirmali sxema asosida hisoblash olib borildi. Dastlabki shart
sifatida:
u(x,0)=x(2−x)
funksiyasi tanlandi, bu funksiya oraliqdagi qiymati bo‘yicha
maksimumga x=1 nuqtada erishib, qiymati u(1,0)=1 bo‘ladi. Bu
boshlang‘ich funksiyaning grafigi parabolik ko‘rinishga ega bo‘lib,
chegaralarda nolga teng. Ya’ni, to‘lqin o‘rtada maksimal bo‘lib, ikki
chetidan silliq tushadi.
Yuqorida keltirilgan differensial tenglamaning ayirmali sxema
orqali yechimi Maple dasturida hisoblandi va natijalari grafik shaklida

31vizual ko‘rsatildi. Grafiklar yordamida to‘lqinning vaqt o‘tishi bilan
qanday o‘zgarishi aniq ko‘rindi.
Grafiklar asosida kuzatishlar:
1. To‘lqin shaklining saqlanishi
Hisoblash davomida to‘lqin shakli — ya’ni parabola ko‘rinishi —
saqlanib qoldi, lekin u vaqt o‘tishi bilan chapga va o‘ngga harakat qildi.
Bu to‘lqinli jarayonning klassik dinamikasini ifodalaydi.
2. Amplituda o‘zgarmaydi
Boshlang‘ich holatda u(x,0)≤1 bo‘lganligi sababli, vaqt bo‘yicha
hisoblangan barcha nuqtalarda u(x,t) qiymati hech qachon 1 dan
oshmadi. Bu to‘lqin tenglamasining energiya saqlanish xossasi
natijasidir.
3. Grafikda simmetriya kuzatildi
To‘lqin o‘rtada yuqoriga ko‘tarilib, ikki tomonga simmetrik
tarqaldi. Bu shuni bildiradiki, boshlang‘ich shart simmetrik tanlangan
bo‘lsa, yechim ham vaqt bo‘yicha simmetrik o‘zgaradi.
4. Chegaraviy shartlarning bajarilishi
Har bir vaqt nuqtasida u(0,t)=u(2,t)=0 tengligi saqlangan. Bu
chegaraviy shartlarning to‘g‘ri ishlashini ko‘rsatadi.
5. Sonli natijalar ham grafikni tasdiqlaydi
Har bir vaqtda Maple orqali olingan sonli natijalar (jadval
ko‘rinishida chop etilgan qiymatlar) ham grafikdagi yuqoriga chiqish va
pasayishni tasdiqlaydi. Masalan, t=0.1 da ham maksimum qiymat yaqin
1 ga teng bo‘lib qolmoqda.

322.5. Ayirmali usullar va boshqa sonli metodlar taqqoslanishi
To‘lqin tenglamasini yechishda turli xil sonli usullar mavjud
bo‘lib, ular orasida ayirmali usullar, Chebyshev usullari, spektral
usullar, sonli integrallash , Chegaraviy elementlar usuli va boshqalar
keng qo‘llaniladi. Quyida ayirmali usullarning afzallik va
kamchiliklarini boshqa metodlar bilan taqqoslab chiqamiz.
Mezoni Ayirmali usullar Sonli integrallash Spektral
usullar Chegaraviy
usullar
Hisoblash tezligi Tez Sekinroq O‘rtacha Tez
(chegarada)
Geometriyaga
moslashuv Kam
moslashuvchan Yuqori
moslashuvchanlik Kam Yuqori
Aniqlik O‘rtacha/Yuqori Yuqori Juda
yuqori O‘rtacha
Dasturlash
murakkabligi Oson Murakkab Murakkab Murakkab
Barqarorlik Muammo bor Yuqori Barqaror O‘rtacha
Cheksiz
sohalarda
qulaylik Yo‘q Qiyin Qiyin Juda qulay

33XULOSA
Mazkur kurs ishida to‘lqin tarqalish tenglamasini sonli yechish
masalasi, xususan, ayirmali sxemalardan foydalanish orqali tahlil qilindi.
Ish davomida giperbolik turdagi tenglamalarning matematik mohiyati,
ularni yechishning sonli usullari, ayniqsa eksplisit va implisit
sxemalarning nazariy asoslari chuqur o‘rganildi.
To‘lqin tenglamasi fizikada keng qo‘llaniladigan modellashtirish
vositasi bo‘lib, uning yechimi ko‘plab amaliy sohalarda — akustika,
elastik muhitlar, elektromagnit to‘lqinlar va boshqalarda qo‘llanadi.
Bunday tenglamalarning analitik yechimlarini topish ko‘p hollarda
murakkab yoki imkonsiz bo‘lganligi sababli, sonli yondashuvlar —
xususan, ayirmali sxemalar yordamida ularning yechimini topish dolzarb
hisoblanadi.
Ish davomida Maple dasturiy muhitida ayirmali sxemalarning
amaliy dasturlanishi amalga oshirildi. Dastlabki va chegara shartlari
asosida to‘lqin tenglamasining sonli yechimlari hisoblandi. Olingan
grafiklar va sonli natijalar yordamida sxemaning barqarorligi, aniqligi va
fizik talablarga muvofiqligi ko‘rsatib berildi.
Shuningdek, ayirmali usullar boshqa sonli metodlar bilan
taqqoslandi. Bu taqqoslashlar ayirmali sxemalarning afzalliklari —
soddalik, algoritmlash qulayligi va tez hisoblash imkoniyatlari — bilan
bir qatorda, ularning chegaralari, ya’ni geometriya murakkabligiga va
barqarorlik shartlariga bo‘lgan sezuvchanligi ham aniqlab berildi.
Umuman olganda, kurs ishida to‘lqin tenglamalarining ayirmali
sxemalar yordamida sonli yechimi samarali amalga oshirildi. Bu
yondashuv orqali talaba:

34 giperbolik tenglamalarni chuqur o‘rgandi,
 sonli yondashuvlarning nazariy asoslarini anglab yetdi,
 dasturiy modellashtirish ko‘nikmalarini shakllantirdi,
 va natijalarni mustaqil tahlil qilishga erishdi.
Bu ish nafaqat nazariy bilimlar, balki amaliy tajribani ham
mustahkamlovchi muhim bosqich bo‘lib xizmat qildi.

35FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Abdullayev S.A. Differensial tenglamalar. – Toshkent: Fan,
2004.
2. Karimov E.K. Cheksiz o‘lchamli fazolarda matematik fizika
tenglamalarining noan’anaviy cheklov masalalari. – Toshkent: Fan,
2011.
3. Safarov N.A. Ta’limiy matematik fizika tenglamalari. –
Toshkent: TDPU nashriyoti, 2016.
4. Gershgorin S.E. Chislenniye metodi resheniya
differentsialnix uravneniy. – Moskva: Nauka, 1989.
5. Semarskiy A.A., Guliyev J.N. Vvedeniye v teoriyu
raznostnix skhem. – Moskva: Nauka, 1973.
6. Burden R.L., Faires J.D. Numerical Analysis. – USA:
Brooks/Cole, 2011.
7. Thomas J.W. Numerical Partial Differential Equations: Finite
Difference Methods. – New York: Springer, 1995.
8. Maple Programming Guide. – Waterloo Maple Inc., 2022.
9. Hamidov O. Maple muhitida matematik modellashtirish. –
Toshkent: O‘zMU nashriyoti, 2020.
Internet manbalari
1. https://docx.uz/
2. https://scholar.google.com/
3. https://renessans-edu.uz/

Купить

Информация о документе

Продавец

To‘lqin tarqalish tenglamasi uchun ayirmali sxemalar

Похожие документы