Algebraik va transsendent tenglamalarning haqiqiy ildizlarining mavjudligi va yagonaligi shartlari - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	30000UZS
Размер	1.7MB
Покупки	0
Дата загрузки	16 Март 2025
Расширение	doc
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

80 Продаж

Algebraik va transsendent tenglamalarning haqiqiy ildizlarining mavjudligi va yagonaligi shartlari

Купить

Mundarija
KIRISH ............................................................................................................................................... 2
ALGEBRAIK VA TRANSSENDENT ....................................................................................................... 4
TENGLAMALARNI HAQIQIY ILDIZLARI .............................................................................................. 4
1.1 Algebraik va transsent tenglama idizlarini ajratish .................................................................... 4
1.2 Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlari mavjudlik shartlari ................................................ 5
1.3 Transsendent tenglamalarni vechishda iteratsiya metodi ........................................................ 8
1.4 Yuqori tartibli iteratsion metod qurishda Chebishev metodi .................................................. 13
ALGEBRAIK VA TRANSSENDENT TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISH ........................................ 16
2 .1Oddiy iteratsiya usuli. ............................................................................................................... 16
2.2Takomillashgan Nyuton usuli. ................................................................................................... 20
XULOSA .......................................................................................................................................... 31
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR .................................................................................................... 33
1

KIRISH
Hozirgi kunda kompyuter texnologiyalari kirib bormagan soha deyarli
uchramaydi. Kompyuter texnologiyalardan faqat hisoblash ishlarini olib borish
uchun emas, balki, hayotga tadbiq qilinadigan elektron darsliklar, rasm va video
tasmalarni qayta ishlovchi, katta hajmli ma’lumotlarni o’zida saqlovchi dasturlar
yaratish uchun ham foydalaniladi.So’ngi yillarda kompyuter va uning dasturiy
ta’minotiga bo’lgan talab va qiziqishlar ortib bormoqda. Bu esa o’z navbatida
dasturchidan katta izlanish va mahoratni talab qiladi.
Yangi axborot – kommunikatsion texnologiyalari hozirgi vaqtda eng dolzarb
mavzulardan biri bo’lib kelmoqda, sababi har bir sohani o’rganish, izlanish va
tajriba orttirish uchun turli usullardan foydalanish kerak bo’ladi. Shuning uchun
yangi axborot – kommunikatsion texnologiyalardan foydalanish maqsadga
muvoffiqdir.
Hozirgi zamon mutaxasislari, faoliyat doiralari qanday bo’lishidan qat’iy
nazar informatika bo’yicha keng ko’lamdagi bilimlarga, zamonaviy hisoblash
texnikasi, informatsion aloqa va kommunikatsiya tizimlari, orgtexnika vositalari va
ulardan foydalanish borasida yetarli malakalarga ega bo’lishi, hamda yangi
information texnika va texnologiya asoslarini uning ertangi kuni, rivoji
to’g’risidagi bilimlarni o’zida mujassamlashtirgan bo’lishi kerak. Zamonviy
hisoblash texnikasi va information texnologiyalarning kun sayin rivojlanib,
jamiyatning esa tobora informatsiyalashib borishi sababli, uzluksiz ta’lim
tizimining o’rta va yuqori bosqichlariga informatika, ishlab chiqarish va
boshqarish jarayonlarini kompyuerlashtirish bo’yicha bir qator o’quv fanlari
kiritilgan.
Kurs ishining dolzarbligi. Kompyuterning qo’llanilish sohalaridan biri
matematik, mexanik va fizik jarayonlarni va ob’ektlarning matematik modellarini
hisoblash usullari va kompyuterlarning dasturiy vositalari yordamida tadqiq etish
bo`lib qolmoqda. Hisoblash usullari va kompyuterlarning zamonaviy
imkoniyatlari birgalikda bunday jarayonlar va ob`yektlarning shu paytgacha
2

noma`lum xususiyatlarini ochishga va, shu asnoda, texnologik jarayonlarni
takomillashtirishga xizmat qilmoqda. Ushbu kurs ishining mavzusi ham hisoblash
usullari va kompyuterning ilmiy tadqiqot ishlarida qo’llanilishiga bog`liq bo’lib,
ilmiy va amaliy jihatdan dolzarbdir.
Kurs ishining maqsadi. Ushbu kurs ishini yozishda algebraik va
transsendent tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish va taqribiy hisoblash
usullari yordamida matematik yechish, aniq amaliy masalalarda bu jarayonni
ko’rsatish, masalani yechishning algoritmi yaratish ko’zda tutilgan.
Kurs ishining vazifalari . A lgebraik va transsendent tenglamalarning haqiqiy
ildizlarini ajratish va taqribiy hisoblash usullari o’rganiladi. Usullar bir qancha
misollarda ko’rsatiladi va misollarni yechish algoritmi ko’rsatiladi.
Kurs ishining ob’ekti va predmeti . A lgebraik va transsendent tenglamalar kurs
ishi ning tadqiqot obyektidir. Ushbu ishda A lgebraik va transsendent tenglamalar
analitik va taqribiy yechish masalasi qaraladi. Quyida masalaning qo’yilishi va uni
yechishning ketma-ket algoritmi keltirilgan.
3

ALGEBRAIK VA TRANSSENDENT
TENGLAMALARNI HAQIQIY ILDIZLARI
1.1 Algebraik va transsent tenglama idizlarini ajratish
Agar algebraik yoki transsendent tenglamaning ko‘rinishi yetarlicha
murakkab bo‘lsa, uning ildizlarini aniq topishning har doim ham iloji
bo‘lavermaydi. Bundan tashqari, uning ba’zi koeffitsiyentlarining taqribiyligi
ma’lum bo‘lsa, ildizlarini aniq topish masalasi o‘z ma’nosini yo‘qotadi. Shuning
uchun ildizlarni taqribiy topish metodlari va ulaming aniqlik darajasini baholash
muhim ahamiyatga ega.
Tenglamalaming ildizlarini taqribiy topish uchun qo’llaniladigan usullarda
uning ildizlari ajratilgan, ya’ni shunday yetarli kichik oraliqlar topilganki, bu
oraliqda tenglamaning bittagina ildizi joylashgan, deb faraz qilinadi. Bu oraliqning
biror nuqtasini boshlang‘ich yaqinlashish deb, tanlangan metod bilan berilgan
aniqlikda topish mumkin. Demak, tenglama ildizlarini taqribiy topish masalasi ikki
qismdan iborat:
1) ildizlarni ajratish, ya’ni shunday oraliqchalarni ko‘rsatish kerakki, unda
tenglamaning bitta va faqat bitta ildizi bo‘lsin;
2) ildizning taqribiy qiymati - boshlang‘ich yaqinlashishni berilgan aniqlikda
hisoblash.
Matematik analizdan ma’lum bo‘lgan quyidagi teoremalardan ildizlarni
ajratishda foydalaniladi.
Teorema. Agar f(x ) funksiya da uzluksiz bo‘lib, oraliqning oxirlarida
turli ishorali qiymatlami qabul qilsa, u holda f(x ) = 0 tenglamaning bu oraliqda
hech bo‘lmaganda bitta ildizi bor. Agar f'(x ) mavjud bo‘lib, u da ishorasini
saqlasa, u holda da f(x ) = 0 ning ildizi yagonadir. Teorema. f ( x) funksiya
da analitik bo‘lib, f (a) f(b)<0 shart o‘rinli bolsa, f(x ) = 0 tenglamaning
da yotadigan ildizlari soni toqdir.
4

1.2 Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlari mavjudlik shartlari
Algebraik
f(x)=a
0 x n
+a
1 x n-1
+…+a
n =0 (a
0 ≠0) (1)
tenglama ildizlarining soni va ulami ajratish inasalasini ko‘raylik.
Dekart teoremasi . Karraliklarining karrasi bilan hisoblaganda (1)
tenglamaning musbat ildizlari soni
a
0 ,a
1 ,…a
n
koeffitsiyentlar sistemasida (nolga teng koeffitsiyentlar e’tiborga olinmaydi) ishora
almashtirish soniga teng yoki undan juft songa kamdir.
Gyua teoremasi . (1) tenglamaning koeffitsiyentlari haqiqiy bo’lib, uning
barcha ildizlari haqiqiy bo’lsa, koeffitsiyentlar uchun
a
k 2
>a
k-1 a
k+1 k=1,2,…,n-1
tengsizliklar o'rinli.
(1) tenglamada a
0 ≠ 0, a
n ≠0 deb hisoblaymiz.
Teorema 1. Agar
A= , A
1 =
bo’lsa, u holda (1) tenglamaning barcha ildizlari
r = <|x|<1+A=R (2)
halqa ichida yotadi.
Isboti . Faraz qilaylik |x| >1 bo’lsin. Modulning xossasiga ko‘ra
|f(x)|=
.
5

Agar |x| > 1 + A deb olsak, u holda |f(0)| > 0 tengsizlik kelib chiqadi, ya’ni x
ning shunday qiymatlarida f(x) ko‘phad nolga aylanmaydi, demak (1)
tenglamaning ildizi yo‘q. (2) tengsizlikningchap tomonini ko’rsatish uchun x=
deb , f(x)= g(y) ga ega bo’lamiz, bu yerda g(y) =a
n y n
+a
n-1 y n-1
+…+a
0 . Yuqorida
isbot qilinganiga ko’ra g(y) ko’phadning
y
k =
ildizlari
|y
k |=
tengsizlikni qanoatlantiradi, bundan esa
|x
k |>
kelib chiqadi.
Bu teoremadagi r va R - (1) tenglama musbat ildizlarining mos ravishda quyi
va yuqori chegaralaridir. Xuddi shuningdek, -R va -r - manfiy ildizlarning mos
ravishda quyi va yuqori chegarasi bo‘ladi.
Teorema 2. ( Lagranj teoremasi .) Agar (1) tenglamaning manfiy
koeffitsiyentlaridan eng birinchisi (chapdan hisoblaganda) a
k bo’lib, B manfiy
koeffitsiyentlarning absolut qiymatlari bo‘yicha eng kattasi bo‘lsa, u holda musbat
ildizlarning yuqori chegarasi
R=1+
son bilan ifodalanadi.
6

Isboti. Bu ycrda ham x > 1 deb olamiz. Manfiy boimagan a
0 ,a
1 ,…a
k-1 larni
nol bilan almashtiramiz, a
k ,a
k+1, …,a
n larni csa B ga almashtirsak f(x ) ko‘phadning
qiymati kamayishi mumkin.
Shuning uchun
f(x) a
0 x n
-B(x n-k
+x n-k-1
+…+1)=a
0 x n
-B
tengsizlikka ega bo’lamiz. Bundan esa x> 1 bo’lganda
f(x) a
0 x n
-B >a
0 x n
- =
= [a
0 x k-1
(x-1)-B]> [a
0 (x-1) k
-B]
kelib chiqadi. Demak,
x>1+ =R
musbat ildizlari x +
< R tengsizlikni qanoatlantiradi.
Teorema 3. (Nyuton teoremasi.) Agar x = c> 0 uchun f (c)
≥0, k = 0,1,...,n
shart o‘rinli boisa, R = c ni (l)ning musbat ildizlari uchun yuqori chegara deb olish
mumkin.
Isboti . Teylor fbrmulasiga ko‘ra
Shartga ko‘ra, x > c bo’lganda summaning har bir hadi musbatdir. Demak,
(l)ning barcha x musbat ildizlari x +
< c tengsizlikni qanoatlantiradi. Agar quyidagi
ko‘phadlarga
f
1 (x) = (-1) n
f(-x) =a
0 x n
-a
1 x n-1
-a
2 x n-2
-…-(-1) n
a
n ,
f
2 (x)=x n
f =a
n x n
+a
n-1 x n-1
+…+a
0 ,
7

f
3 (x)=(-x) n
f = a
n x n
-a
n-1 x n-1
-…-(-1) n
a
0 ,
yuqoridagi teoremalarni qo’llab f(x), f
1 (x), f
2 (x), f
3 (x) larning musbat ildizlarining,
mos ravishda, R,R
1 ,R
2 ,R
3 yuqori chegaralari topilgan bo‘lsa, u holda (1)
tenglamaning hamma musbat ildizlari < x +
< R va barcha manfiy ildizlari –
R
1 <x< tengsizliklarni qanoatlantiradi.
1.3 Transsendent tenglamalarni vechishda iteratsiya metodi
Berilgan f(x) = 0 tenglamaning ildizlari ajratilgan bo’lsin. Iteratsiya
metodini qo’llash uchun f(x ) = 0 tenglamani
x = (1)
kanonik ko‘rinishga keltiramiz. Ildiz yotgan oraliqdan ixtiyoriy nuqta olib,
izlanayotgan ildizning dastlabki yaqinlashishi deb, quyidagi ketma-ketlikni
(iteratsion jarayonni) hosil qilamiz:
x
n = | , n=1,2,… (2)
Agar (3)
mavjud va funksiya uzluksiz bo‘lsa, (2) tenglikning har ikkala tomonida
limitga o‘tsak,
,
ya’ni
hosil boiadi. Demak, , berilgan tenglamaning ildizi ekan va uni (2) yordamida
talab qilingan aniqlikda topish mumkin. (3) limit mavjud bo’lgan holda, iteratsiya
jarayoni yaqinlashuvchi deyiladi. Quyidagi teorema iteratsion jarayonning
yaqinlashishini ko‘rsatadi.
8

Teorema. Faraz qilaylik, funksiya va boshlang‘ich yaqinlashish x
0
quyidagi shartlami qanoatlantirsin:
1) funksiya |x –x
0 |< (4)
oraliqda aniqlangan bo‘lib, bu oraliqdan olingan ixtiyoriy ikkita x va y nuqtalar
uchun Lipshits shartini qanoatlantirsin:
, (0<q<1) (5)
2) quyidagi tengsizliklar bajarilsin:
(6) '
U holda (1) tenglama (4) oraliqda yagona , ildizga ega bo‘lib,
{x
n } ketma-ketlik bu yechimga intiladi va intilish tezligi
(7)
tengsizlik bilan aniqlanadi.
Isboti. Ixtiyoriy n uchun x
n ni qurish mumkinligini va x
n (4) oraliqda
yotishligi hamda
(8)
tengsizlik bajarilishini induksiya metodi bilan ko‘rsatamiz.
Agar n = 0 bo’lsa, x
1 = bo’lgani uchun (8)dan (6) hosil bo'ladi, ya’ni
bo'ladi, bundan esa
<
hosil bo'lib, x
1 (4) oraliqda yotishligini ko'rsatadi. Faraz qilaylik, x
1 ,x
2 ,…x
n lar
qurilgan bo'lib, ular (4) oraliqda yotsin va
(k=1,2,…,n-1)
tengsizliklar bajarilsin. Induksiya shartiga ko‘ra, x
n (4) da yotadi, (4) da
aniqlangan, shuning uchun ham x
n+1 = ni qurish mumkin.
9

Teoremaning birinchi shartidan
kelib chiqadi. va x
n uchun induksiya shartiga ko‘ra, o’rinli,
demak .
Bu x
n , x
n+1 lar uchun (8) ifoda o‘rinliligini ko‘rsatadi.
Tengsizlik x
n+1 (4) oraliqda yotishini ko‘rsatadi.
Endi {x
n } ketma-ketlik fundamentalligini ko‘rsatamiz. (8) tengsizlikka ko‘ra,
ixtiyoriy p natural son uchun
Bu tengsizlikning o‘ng tomoni p ga bogiiq emasligidan va 0< q< 1
boiganidan {x
n } ketma-ketlikning fundamentalligi va uning limiti
mavjudligi kelib chiqadi. {x
n } ketma-ketlik (4) oraliqda yotganligi uchun , ham
shu oraliqda yotadi. (5) shartdan ning uzluksizligi kelib chiqadi, shuning
uchun ham x
n +1 = tenglikda limitga o‘tib, (1) tenglamaning ildizi
ekanligini ko‘ramiz. Topilgan ildiz yagonadir. Faraz qilaylik, (1) tenglamaning
(4) oraliqdagi boshqa ildizi bo’lsin. (5) ga ko‘ra,
10

0 < q < 1 boiganligi uchun bu munosabat = bolsagina bajariladi. (9)
tengsizlikda p limitga o‘tsak, (7) tengsizlik kelib chiqadi. Teorema isbot
bo’ldi.
Eslatma. Faraz qilaylik, x = tenglamaning ildizi , yotgan qandaydir
(a,b) oraliqda ishora saqlasa va | | q< 1 shart o'rinli bo’lsa, u holda
agar musbat bo’lsa
(n=1,2,…), (10)
ketma-ketlik ,, ga monoton yaqinlashadi, bordi-yu manfiy bo’lsa, (10)
ketma-ketlik ildiz atrofida tebranib unga yaqinlashadi. Haqiqatan ham, 0 ≤ ≤
q<1 bo’lib, x
0 < bo’lsin. U holda
bu yerda , bundan
Demak, matematik induksiyaga asosan
ga ega bo’lamiz.
Shunga o‘xshash natija , bo’lganda ham kelib chiqadi. Fndi
holni ko‘rib chiqamiz.Faraz qilaylik, bo’lib,
bo’lsin, u holda
bo’ladi, bundan , va ligi kelib chiqadi. Shu mulohazalarni
x
1 ,x
2 ,..., yaqinlashishlar uchun qaytarsak,
hosil bo ’ ladi , ya ’ ni ketma - ket yaqinlashishlar , atrofida tebranib , unga
yaqinlashadi .
11

1.3 Nyuton metodi
Faraz qilaylik,
f(0) = 0 (1)
tenglamaning [a,b] oraliqdagi yagona ildizi, boisin. f ’( x ) va f ” ( x ) lar noldan
farqli bo‘lib, [ a,b ] da ishora saqlasin. bo’lib, ning taqribiy qiymati
bo’lsin, ya’ni
(2)
xatolik va uni kichik miqdor bo’lsin deb hisoblaymiz. Teylor formulasiga
asosan
taqribiy tenglikka ega bo ’ lamiz . Bundan bo ‘ lganligi uchun (2) dan
ildizning navbatdagi taqribiy qiymatiga ega bo ’ lamiz :
(n=0,1,2…) (3)
(3) ketma-ketlikni qurishda boshlang‘ich yaqinlashish bo‘lib,
shartni qanoatlantirishi maqsadga muvofiqdir. (3) ketma-
ketlikning geometrik talqini quyidagidan iborat:
ning qiymati y = f(x) funksiya grafigining nuqtasiga
o‘tkazilgan urinmaning OX o‘qi bilan kesishgan nuqtasining abssissasiga tengdir.
Shuning uchun ham Nyuton metodi urinmalar metodi deb ham ataladi. Nyuton
metodining yaqinlashish tezligini quyidagicha baholash mumkin. Teylor
formulasidan
bu yerda , va x
n oralig‘ida joylashgan.
12

Bundan
Demak,
Agar [a,b] x
0 va , ni o‘z ichiga olgan
hamda f ’(x), f ’’(x) ishorasini o‘zgartirmaydigan oraliq bo’lsa, u holda
ga ega bo’lamiz. Bu Nyuton metodining yaqinlashish tezligini ko‘rsatadi.Eslatma.
Agar iteratsiya usulida
deb olsak, Nyuton metodi hosil bo’ladi. Agar [a,b] da f ’ (x) kam o‘zgarsa, u holda
(3) formulada
deyish mumkin va natijada Nyuton metodining modifikatsiyasi
(n=0,1,2,…) (4)
hosil bo’ladi. (4) formula bilan hisoblash jarayoni o’tkazilsa, har bir qadamda f ’
(x) ning qiymatini hisoblanmaslik qulaylik tug‘diradi. Bu qulaylik, ayniqsa f ' (x)
murakkab bo’lganda yaqqol seziladi.
1.4 Yuqori tartibli iteratsion metod qurishda Chebishev metodi
Faraz qilaylik, f(x ) = 0 tenglamani [a,b] da yagona ildizi x = , mavjud
bo’lsin va f(x ) funksiya hamda uning yetarlicha yuqori tartibli hosilalari uzluksiz
bo’lsin. Bundan tashqari, da f ' (x ) ≠ 0 bo’lsin. U holda f '(x ) bu oraliqda
13

ishora saqlaydi va f (x )monoton funksiya bo’lib, x = g(y) teskari funksiyaga ega
bo’ladi. Teskari funksiya g(y) f (x)ning o‘zgarish sohasi [c,d] da aniqlangan bo’lib,
f(x) qancha uzluksiz hosilaga ega bo’lsa, u ham shuncha uzluksiz hosilaga ega
bo’ladi. Teskari funksiya ta’rifiga ko‘ra,
x = g(y) , y = f(g(y)) .
Demak,
. (1)
Agar bo’lsa, u holda Teylor formulasidan
(2)
bu yerda . (2) da y = f (x ) va g(y) = x ni nazarda tutib,
ni hosil qilamiz. Agar
deb belgilasak, u holda
tenglama uchun x = , yechim bo’ladi, chunki
Bundan
, n=0,1,2,…,p-1
bo’lganligi sababli
, n=0,1,2,…; (4)
14

iteratsion jarayon p-tartibli deyiladi. Agar x
0 ga yaqin bo’lsa, u holda (4) bilan
aniqlangan { x
n } ketma-ketlik ga yaqinlashadi. Haqiqatan ham,
bo’lganligi uchun ning shunday atrofi topiladiki, u yerda bo’ladi.
Bundan x
0 ga yetarlicha
yaqin bo’lsa, { x
n } iteratsion ketma-ketlikning yaqinlashishi kelib chiqadi.
Endi x = g ( f (x)) dan ketma-ket hosila olamiz:
g ' (f(x))f ’(x)=1,
g’’(f(x)) f ’ 2
(x) + g'(f (x)) f ’’( x ) = 0 ,
g ’’’ ( f(x))f ’ 3
(x)+3g ’’(f(x)) f ’(x) f ’’( x )+ g ' (f(x))f ’’’(x)=0,
… … … … …
Bundan ketma-ket g '(f(x )), g ’’( f (x)) …, g (p-1)
(f(x )) larni va shu bilan birga
ni aniqlaymiz. (4) iteratsion jarayonni p ning birnechta konkret qiymatlarida
ko‘rinishini keltiramiz:
p = 2
,
p = 3
’
p = 4
.
Bular mos ravishda 2-, 3- va 4-tartibli iteratsion jarayonlardir.
15

ALGEBRAIK VA TRANSSENDENT TENGLAMALARNI TAQRIBIY
YECHISH
2 .1Oddiy iteratsiya usuli.
Berilgan ushbu
Tenglamalar sistemasining musbat ildizlari aniqlikda
topilsin.Sistemaning ildizlarini grafik yordamida taqriban aniqlaymiz.
Chizmadan ko’rinishicha shu ildiz 3.4<x<3.6 2.1<y<2.3 oraliqda yotadi.
2.3.1 chizmada tenglamalar grafiklari keltirilgan.
Boshlang’ich yaqinlashish sifatida
olamiz. Sistemani kanonik shaklga keltiramiz:
Endi
16

sohada
(yaqinlashish) shartini bajarilishini tekshiramiz:
Demak q<1 iteratsiya jarayoni yaqinlashadi.
aniqlik bilan yechimini anqlash uchun zarur bo’ladigan interfeyslar sonini
Tengsizlik yordamida hisoblaymiz.
Demak bajarilishi zarur bo’lgan iteratsiyalar soni N=25 ketma-ket
yaqinlashishlarni

17

f1 x
N y
N 
f2 x
N y
N
 

 

 6.878 10 7

1.059 10 7



 



2.3.2 chizmada tenglamalar grafiklari keltirilgan .
I Usul. Berilgan ushbu
Tenglamalar sistemasining musbat ildizlari
aniqlikda topilsin.Sistemaning ildizlarini grafik yordamida taqriban
aniqlaymiz.
Chizmadan ko’rinishicha shu ildiz 3.4<x<3.6 2.1<y<2.3 oraliqda yotadi.
18

2.3.3 chizmada tenglamalar grafiklari keltirilgan.
Boshlang’ich yaqinlashish sifatida
olamiz. Sistemani kanonik shaklga keltiramiz:
Endi
Sohada
(yaqinlashish) shartini bajarilishini tekshiramiz:
Demak q<1 iteratsiya jarayoni yaqinlashadi.
19

aniqlik bilan yechimini anqlash uchun zarur bo’ladigan interfeyslar
sonini
Tengsizlik yordamida hisoblaymiz.
Demak bajarilishi zarur bo’lgan iteratsiyalar soni N=25
2.2Takomillashgan Nyuton usuli.
Berilgan ushbu
Tenglamalar sistemasining musbat ildizlari
aniqlikda topilsin.sistemaning ildizlarini grafik yordamida taqriban
aniqlaymiz.
Chizmadan ko’rinishicha shu ildiz 3.4<x<3.6 2.1<y<2.3 oraliqda yotadi.
20

2.2.1 chizmada tenglamalar grafiklari keltirilgan.
Boshlang’ich yaqinlashish sifatida
olamiz.Sistemani Nuyuton usuli bo’yicha yechish uchun
An xy( )
f1 xy( )
f2 xy( )
y
f1 xy( ) d
d
y
f2 xy( ) d
d









2.2.2 chizmada tenglamalar grafiklari keltirilgan.
21

VATARLAR USULI
Algebraik va transtsendent tenglamalarni echishda vatarlar usuli keng
qo`llanadigan usullardan biridir. Bu usulni ikki xolat uchun kurib chiqamiz.
1- x o l a t . Faraz kilaylik f(x) =0 tenglamaning ildizi [a,b] kesmada
ajratilgan va kesmaning chekka nuqtalarida f(a) × f(b) <0 bo`lsin. Bundan
tashqari birinchi va ikkinchi hosilalari bir xil ishorali qiymatlarga ega bo`lsin,
ya`ni f'(x) × f ''(x) > 0 yoki f(a) <0; f(b)>0; f'(x) >0; f''(x)>0 (5-racm).
f(x) =0 — tenglamaning aniq echimi, f(x) funktsiya grafigining Ox uki bilan
kesishgan nuqtasi x
0 . A va V nuqtalarni turri chiziq (vatar) bilan tutashtiramiz.
Oliy matematikadan ma`lumki, A va V nuqtalarda (5- racm) utgan to`g’ri
chiziqning tenglamasi quyidagicha yoziladi:
(2.3)
Utkazilgan vatarning Ox uki bilan kesishgan nuqtasi x
1 ni taqribiy echim deb
qabul kilamiz va uning koordinatasini aniqlaymiz. (2.3) tenglikda x=x
1 , u= 0 deb
hisoblab uni x
1 ga nisbatan echamiz:
23x xy y
a
0 0
ax
1
x
2 x
0 b b
x
0 x
2
x
1B(b;f(b))
B(b;f(b))A(a;f(a))
5- раcм 6- ра c м

(2.4)
Izlanayotgan echim x
0 e ndi [x
1 ; b] kesmaning ichida. Agar topilgan x
1 echim bizni
kanoatlantirmasa yuqorida aytilgan muloxazalarni [x
1 ; b] kesma uchun
takrorlaymiz va x
2 nuqtaning koordinatini aniqlaymiz:
(2.5)
Agar x
2 ildiz ham bizni kanoatlantirmasa, ya`ni avvaldan berilgan e aniqlik uchun
| x
2 - x
1 |
£ e shart bajarilmasa, x
z ni hisoblaymiz:
(2.6)
yoki umumiy xolda
(2.7)
ya`ni hisoblashni | x
n+1 - x
n | £
e shart bajarilgunga qadar davom ettiramiz.
Yuqorida keltirilgan formulalarni f(a) > 0; f(b) < 0; f'(x) < 0; f''(x) < 0
uchun ham qo`llash mumkin.
2- x o l a t . f(x) funktsiyaning birinchi va ikkinchi hosilalari turli ishorali
qiymatlarga ega deb faraz kilaylik, ya`ni f'(x)
× f''(x) < 0 yoki f(a) > 0, f(b) < 0, f'
(x) < 0, f'' (x) > 0 (6-rasm).
A va V nuqtalarni turri chiziq (vatar) bilan tutashtirib uning tenglamasini
yozamiz
(2.8)
Bu tenglamada y = 0 va x = x
1 deb qabul kilib, uni x
1 ga nisbatan echsak,
(2.9)
Topilgan x
1 ni taqribiy echim deb olish mumkin. Agar topilgan x
1 ning aniqligi
bizni kanoatlantirmasa, yuqoridagi muloxazani [ a, x
1 ] kesma uchun takrorlaymiz,
ya’ni x
2 ni hisoblaymiz:
24

(2.10)
Agar | x
2 -x
1 | £ e shart bajarilsa, taqribiy echim sifatida x
2 olinadi, bajarilmasa x
3 ,
x
4, … lar hisoblanadi, ya`ni
(2.11)
Xisoblash jarayoni | x
n+1 - x
n | £ e bulgunga qadar davom ettiriladi.
f(a) < 0 , f(b) > 0 , f'(x) > 0, f''(x) <0 bo`lgan xol uchun ham taqribiy ildiz (2.9) –
(2.11) formulalar bilan hisoblanadi. Demak, agar f'(x) × f''(x) >0 bo`lsa taqribiy
echim (2.4-2.7) formulalar bilan, f'(x)
× f''(x) < 0 bo`lsa (2.9) - (2.11) formulalar
bilan hisoblanadi.
Misol. x 3
+ x 2
- 3 = 0 tenglama
e = 0,005 aniqlikda vatarlar usuli bilan
hisoblansin.
E c h i s h . Ildizlarni ajratsak, 0,5<x<1,5 ga ega bo`lamiz; bu erda
f(0,5)=-2,625<0 ; f(1,5) = 2,600 > 0 ; f'(x)=3x 2
+ 2x; f''(x) = 6x + 2 .
Kidirilayotgan taqribiy ildiz [ 0,5; 1,5 ] kesmada ekan. Bu kesmada esa f'(x) > 0 ;
f''(x) >0 . Demak biz taqribiy ildizni (2.4) - (2.7) for mulalar yordamida
hisoblaymiz (1- xolat). (2.4) dan x
1 = 1,012 ni, (2,5) dan x
2 = 1,130 ni; (2.6) dan
x
3 = 1,169 ni, (2.7) dan (n=3) x
3 =1,173 ni topamiz. Bu erda |x
4 - x
3 | = 1, 173 -
1,169 = 0,004 < e . Demak shart 4-kadamda bajarildi. Shuning uchun x
4 =1,173
yuqoridagi tenglamaning e = 0,005 aniqlikdagi ildizi bo`ladi.
25

2. URINMALAR (N’YUTON) USULI
Urinmalar usulini N’yuton usuli deb ham ataydilar. Bu usulni ham ikki xolat
uchun kurib chiqamiz.
1- x o l a t . Faraz kilaylik, f(a) < 0, f(b) > 0, f'(x) > 0, f''(x) > 0 yoki f(a)>0,
f(b) < 0, f'(x) < 0, f''(x) < 0 (7-rasm).

7- racm 8 - racm
y = f(x) egri chiziqka V nuqtada urinma o’tkazamiz va urinmaning Ox uki
bilan kesishgan nuqtasi x
1 ni aniqlaymiz.
Urinmaning tenglamasi quyidagicha:
y - f(b) = f'(b) (x-b), (2.12)
bu erda y=0, x=x
1 deb , (2.12) ni x
1 nisbatan echsak,
(2.13)
Shu muloxazani [ a;x
1 ] kesma uchun takrorlab, x
2 ni topamiz:
(2.14)
26 Ay
xB
a = x
0 x
1 x
2
00 a
x
2 x
1
x y
B(b;f(b))
A(a;f(a)) b=x
0y =f(x)
f(a) b

Umuman olganda
(2.15)
Hisoblashni | x
n+1 - x
n | £ e shart bajarilganda tuxtatamiz.
2- x o l a t . Faraz kilaylik f(a) < 0, f(b) > 0, f'(x) > 0, f''(x) < 0 yoki f(a)>0 ,
f(b) < 0, f'(x) < 0, f''(x) > 0 (8- rasm). y = f(x) egri chiziqka A nuqtada urinma
o’tkazamiz, uning tenglamasi:
y - f(a) = f' (a) (x – a), (2.16)
Bu erda y=0, x=x
1 decak,
(2.17)
[ x
1 ;b ] kesmadan
(2.18)
Umuman
(2.19)
(2.13) va (2.17) formulalarni bir-biri bilan solishtirsak, ular bir-birlaridan
boshlangich yaqinlashishi ( a yoki b ) ni tanlab olish bilan farqlanadilar.
Boshlangich yaqinlashishni tanlab olishda quyidagi koidadan fondalaniladi;
boshlangich yaqinlashish tarzida [a;b] kesmaning shunday chekka ( a yoki b)
qiymatini olish kerakki, bu nuqtada funktsiyaning ishorasi uning ikkinchi
hosilasining ishorasi bilan bir xil bo`lsin.
Misol. x-sinx=0,25 tenglamaning ildizi e =0,0001 aniqlikda urinmalar usuli
bilan aniqlansin.
E c h i s h . Tenglamaning ildizi [0,982; 1,178] kesmada ajratilgan (buni
tekshirishni kitobxonga xavola kilamiz); bu erda a=0,982 ; b=1,178 ;
f'(x)=1-cosx; f''(x) = sin x>0 .
27

[0,982; 1,178] kesmada f (1,178) .
f''(x) > 0 , ya`ni boshlangich
yaqinlashishda x
0 =1,178. Hisoblashni (2.13)-(2.15) formulalar vositasida
bajaramiz . Hisoblash natijalari quyidagi 2.1- jadvalda berilgan .
2.1-jadval
n
x
n - sin x
n f(x
n )=x
n -sinx
n -0,25 f ¢ (x
n )=1- s osx
n
0 1,178 - 0,92384 0,00416 0,61723 - 0,0065
1 1,1715 - 0,92133 0,00017 0,61123 - 0,0002
2 1,1713 - 0,92127 0,00003 0,61110 - 0,0005
3 1,17125
Jadvaldan kurinadiki, x
3 -x
2 = |1,17125 – 1,1713| = 0,00005 < e . Demak
echim deb x = 1,17125 ni ( e =0,0001 aniqlikda) olish mumkin.
5-8 – rasmlarga dikkat bilan e`tibor kilsak shuni ko`ramizki, f(x)=0
tenglamaning taqribiy echimlarini vatarlar va urinmalar usuli bilan topganda aniq
echimga ikki chekkadan yaqinlashib kelinadi. Shuning uchun ikkala usulni bir
vaktning o`zida qo`llash natijasida maqsadga tezrok erishish mumkin. Bu usulni
k o m b i n a t s i y a l a n g a n u s u l deb ataydilar. Kombinatsiyalangan usul
yuqorida keltirilgan usullarning umumlashmasi bo`lgani tufayli bu to`g’rida ko`p
tuxtalmaymiz.
3. KETMA - KET YAQINLASHISH USULI
Bizdan f(x) =0 tenglamaning ildizini aniqlash talab etilsin. Bu tenglamani
quyidagi (teng kuchli) ko`rinishda yozamiz
x = j (x) ( 2.20)
f(x) =0 tenglamani x =
j (x) ko`rinishga keltirishni juda engil amallar bilan istalgan
vaktda amalga oshirish mumkin. (2.20) ning ildizi [a,b] kesmada ajratilgan
bo`lsin. [a,b] ning ichida ixtiyoriy x nuqtani olamiz ( a
£ x
0 £ b ) va bu nuqtani
28

boshlangich (nolinchi) yaqinlashish deb qabul kilamiz. x ni (2.20) ning ung
tarafidagi x ning o`rniga kuyib, hosil bo`lgan natijani x desak,
x
1 = j (x
0 ) (2.21)
x
1 ni birinchi yaqinlashish buyicha (2.20) ning ildizi deyiladi. Keyingi
yaqinlashishlar kuiidagicha topiladi:
x
2 =
j (x
1 ),
x
3 =
j (x
2 ),
. . . . . . . . .
x
n =
j (x
n-1 )
. . . . . . . . . .
Buning natijasida quyidagi ketma-ketlikni to`zamiz
x
0 , x
1 , x
2 , … , x
n (2.22)
Agar (2.22) ketma-ketlikning limiti mavjud bo`lsa ( ) , u xolda x (2.20)
ning ildizi bo`ladi. Buning isboti juda sodda. Agar
j (x) ni uzluksiz funktsiya
desak,
ya`ni x = j (x) bo`lib, x (2.20) ning ildizi bo`ladi.
Agar (2.20) ketma-ketlikning limiti mavjud bo`lmasa, u xolda ketma-ket
yaqinlashish usulining ma`nosi bo`lmaydi.
Yuqorida aytilganlardan xulosa shuki, biz bu usul bilan f(x) =0, [ x=
j (x) ]
tenglamaning echimini topmokchi 5ulsak, quyidagi ketma-ket bajarilishi lozim
bo`lgan jarayonni hisoblashimiz kerak bo`ladi:
(2.23)
bu erda x
0 ,x
1 ,x
2 , …, x
n … ketma-ket yaqinlashishlar; x
0 - boshlangich yaqinlashish;
x
1 - birinchi yaqinlashish; x
2 - ikkinchi yaqinlashish va x.k.
29

(2.23) jarayon yaqinlashuvchi bo`lishining etarlilik shartlarini quyidagi
teorema ifodalaydi (teoremani isbotsiz keltiramiz).
Teorema. x= j (x) tenglamaning ildizi [a, b] kesmada ajratilgan bo`lib,
bu kesmada quyidagi shartlar bajarilsa:
1) j (x) funktsiya [a, b] da aniqlangan va differentsiallanuvchi;
2) barcha x Î [a;b] uchun j (x) Î [a;b];
3) barcha x Î [a;b] da |j¢ (x) | £ M < 1 bo`lsa, u xolda (2.23) jarayon
yaqinlashuvchi bo`ladi
Bu erda shuni ta`kidlash lozimki, teoremaning shartlari faqat etarli bo`lib,
zaruriy emasdir, ya`ni (2.23) jarayon bu shartlar bajarilmaganda ham yaqinla -
shuvchi bo`lishi mumkin. (2.23) ni hisoblaganimizda, hisoblashni avvaldan
berilgan aniqlik uchun quyidagi tengsizlik bajarilgunga qadar davom ettiramiz:
|x
n -x
n-1 |
£ e (n=1,2,3,4, … )
Misol. 4x-5lnx =5 tenglama e =0,0001 aniqlikda ketma-ket yaqinlashish
usuli bilan echilsin.
E c h i s h . Tenglamani ko`rinishda yozamiz va y
1 = lnx ;
chiziqlar kesishgan nuqtani aniqlaymiz. Bular x
0 = 2,28; x
0 = 0,57 .
Bularni boshlangich yaqinlashish nuqtalari deb olamiz. Berilgan tenglamani
x=1,25(1+lnx) ko`rinishda yozsak,
j (x)=1,25(1+lnx) bo`ladi, bundan,
. Bu xolda x
0 =2,28 uchun ketma-ket yaqinlashish jarayoni yaqinlashuvchi
bo`ladi:
Hisoblash natijalari quyidagi 2.2- jadvalda keltirilgan:
2.2-jadval
(1) (2) (3)
x ln (1) +1 1,25(2)
2,28 1,82418 2,28022
30

2.28022 1.82427 2,28034
2,28034 1,82432 2,28040
2,28040 1,82435 2.28044
2,28044 1,82437 2,28046
Boshlangich yaqinlashish x
0 =0,57 atrofida jarayon yaqinlashuvchi
bo`lmaydi, chunki
Bu xolda berilgan tenglamani x = e 0,8 x-1
ko`rinishda yozib, hisoblashni
davom ettirish kerak.
XULOSA
Algebraik va transsendent tenglamalarning haqiqiy ildizlarini topish ancha
murakkab va bu masala hisoblash matematikasining mukammal yechilmagan
muammosidir. Algebraik va transsendent tenglamalarning haqiqiy ildizlarini
topish boshlang’ich muammosi – bu algebraik va transsendent tenglamalarning
31

haqiqiy ildizlarini topish yechimlarining mavjudligi, soni va ular yotgan oraliqni
topish muammolari o’rganilgan, bular aniq misollarni yechish orqali izohlanadi.
Ushbu kurs ishida algebraik va transsendent tenglamalarning haqiqiy
ildizlarini topish va taqribiy hisoblash tadbiqlarining, masalan, fizik-mexanik
jarayonlar masalalarida qo’llanilishi ko’rsatilgan. algebraik va transsendent
tenglamalarning haqiqiy ildizlarini topish va taqribiy hisoblashdan iborat bo’lgan
bir qator amaliy masalalarni sonli yechish masalasi qaraladi. Algebraik tenglamalar
sistemasini yechishning bir qator taqribiy hisoblash usullar (Nyuton usuli,
iteratsiyalar usuli va boshqa usullar)dan iborat. Shu usullardan foydalanib bir qator
aniq amaliy masalalar yechdim, hisob algoritmi va blok-sxemasi tuzdim, shunga
ko’ra Mathcad matematik paketida dastur ishlab chiqdim. Olingan natijalarni
analitik yechimlar bilan taqqosladim, natijalarni grafiklardan foydalanib tegishli
xulosalar chiqardim.
32

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Абдухамидов А . У ., Худойназаров С . Ҳисоблаш усулларидан
амалиёт ва лаборатория машғулотлари . – Тошкент : Ўқитувчи ,
1995.
2. Бахвалов Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1975.
3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобелков Г. М. Численные методы. – М.:
Лаборатория базовых знаний, 2002. – 600 с.
4. Воробьева Г.К., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной
математике. – М: Высшая школа, 1990.
5. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple V. Математический
пакет для всех. - М.: Мир, 1997.
6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.:
Наука, 1966.
7. Дьяконов В.П. Maple 6: учебный курс. - СПб.: Питер, 2001.
8. Исраилов М.И. Ҳ исоблаш усуллари. 1-қисм. – Тошкент: Ўқитувчи,
2003.
9. Исраилов М.И. Ҳ исоблаш усуллари. 2-қисм. – Тошкент: Ўқитувчи,
2004.
10. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
11. Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислителная математика в примерах и
задачах. – М.: Наука, 2008. – 368 с.
33

Купить

Похожие документы
Funksiya tushunchasi
Boshlang`ich funksiya va aniqmas integral
Makroiqtisodiyot test savollari
Iqtisodiy siyosatga kirish test savollari
Biznes test savollari