Дата регистрации 14 Февраль 2025
111 ПродажChekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari
![b) lim
x → x
0( f ( x ) + g ( x )) = lim
x → x
0 f ( x ) + lim
x → x
0 g ( x )
;
v) lim
x → x
0
( f ( x ) ∙ g ( x )) = lim
x → x
0 f ( x ) ∙ lim
x → x
0 g ( x ) ;
g) Agar
b2≠0 bo‘lsa, lim
x → x
0 f ( x )
g ( x ) = lim
x → x
0 f
( x )
lim
x → x
0 g
( x ) ;
bo‘ladi.
Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar
bajarilishi haqidagi ma’lumotlardan kelib chiqadi.
2-misol. Ushbu
limit hisoblansin.
Ma’lumki, 1 − cosx = 2 sin 2 x
2 . Shuni hisobga olib topamiz:
lim
x → 0 1 − cosx
x 2 =
limx→0
2sin 2x
2
x2 =limx→0
1
2∙
[
sin x
2
x
2 ]
2
= 1
2∙
[
limx→0
sin x
2
x
2 ]
= 1
2 .
Funksiyaning limiti
Ikki (va ikkidan ortiq) o‘zgaruvchi funksiyasining limiti va uzluksizligi
bir o‘zgaruvchi funksiyasidagi kabi ta’riflanadi. Bu ta’riflar nuqtaning
δ−
atrofiga tushunchasiga asoslanadi.
P0(x0;y0) nuqtaning δ− atrofi deb
√(x− x0)
2+(y− y0)
2< δ
(yoki ρ(P ,P0)<δ ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi
barcha
P(x;y) tekislik nuqtalari to‘plamiga aytiladi. Bu to‘plam markazi P0
nuqtada bo‘lgan va radiusi
δ ga teng ochiq (chegarasiz) doirada yotuvchi
barcha
P nuqtalardan tashkil topadi (4-rasm).
19](https://docx.uz/documents/30219598-5331-44b2-b030-40f11150188c/page_19.png?v=1)
![= lim
x→0
kx
(1− k)(√kx 2+3+3)
= 0
6(1− k)
= 0.Yuqorida keltirilgan ikki o‘zgaruvchi funksiyasining limiti unung karrali
limiti deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun karrali limitdan tashqari
takroriy limitlar deb ataluvchi
limx→x0
(limy→y0
f(x,y)) va limy→y0
(limx→x0
f(x,y)) limitlar ham
kiritiladi. Umuman olganda
lim (x,y)→(x0,y0)
f(x,y) karrali limit har ikki argument bir
vaqtda nuqtalarga intilganda takroriy limitlar bilan ustma-ust tushish shart emas.
Quyida
f(x,y) funksiyaning karrali limitini uning takroriy limitlari bilan
almashtirish imkonini beruvch teoremani keltiramiz.
MISOLLAR
1-misol:
Funksiya: f(x) = 3x + 2
Limit: x → 2
Yechim:
f(2) = 3·2 + 2 = 6 + 2 = 8
Demak, lim x→2 f(x) = 8
Bu yerda funksiya to‘g‘ri chiziq, har qanday nuqtada aniqlangan va uzluksiz,
shuning uchun limit mavjud va 8 ga teng.
2-misol:
Funksiya: f(x) = (x² - 4)/(x - 2)
Limit: x → 2
Yechim:
(x² - 4) = (x - 2)(x + 2), shuning uchun:
f(x) = [(x - 2)(x + 2)] / (x - 2) = x + 2 (x ≠ 2)
Endi x → 2 da: f(x) → 2 + 2 = 4
22](https://docx.uz/documents/30219598-5331-44b2-b030-40f11150188c/page_22.png?v=1)
![Demak, lim x→2 f(x) = 4
Bu yerda x = 2 nuqtada funksiya aniqlanmagan, lekin limit mavjud.
3-misol:
Funksiya: f(x) = sin(x)/x
Limit: x → 0
Yechim:
Bu limit matematikada mashhur limitlardan biridir va sin(x)/x → 1 bo‘ladi.
Demak, lim x→0 sin(x)/x = 1
Bu limit trigonometrik limitlardan biri hisoblanadi.
4-misol:
Funksiya: f(x) = (x² + x - 6)/(x - 2)
Limit: x → 2
Yechim:
f(x) = [(x - 2)(x + 3)] / (x - 2) = x + 3 (x ≠ 2)
x → 2 da: f(x) → 2 + 3 = 5
Demak, lim x→2 f(x) = 5
Bu yerda ham funksiya x = 2 nuqtada aniqlanmagan bo‘lsa-da, limit mavjud.
23](https://docx.uz/documents/30219598-5331-44b2-b030-40f11150188c/page_23.png?v=1)
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari