Дата регистрации 14 Февраль 2025
172 ПродажAniq integral va uning xossalari
![1-Bob. Aniq integral haqida tushuncha
1.1-§. Segmentni bo‘laklash.
Biror [a,b]⊂R segment beril - gan bo‘lsin. Bu segmentning quyidagi
a= x0< x1< x2<...xn−1< xn= b
munosabatda bo‘lgan
x0,x1,x2,...xn−1,xn
(1.1)
nuqtalari to‘plamini olaylik.
Ravshanki, (1.1) to‘plam
[a,b] segmentni
B1= [x0,x1], B2= [x1,x2],...,Bn= [xn−1,xn]
bo‘laklarga ajratadi.
1-ta’rif. Ushbu
a= x0< x1< x2<...xn−1< xn= b
munosabatda bo‘lgan
x0,x1,x2,...xn−1,xn
nuqtalar to‘plami
[a,b] segmentni bo‘laklash deyiladi va
P={x0,x1,x2,...xn−1,xn}
kabi belgilanadi.
Bunda har bir
xk(k=0,1,2,...,n) nuqta [a,b] segmentning bo‘luvchi
nuqtasi,
[xk,xk+1] (k=0,1,2,...,n−1) segment esa P bo‘laklashning oralig’i
deyiladi.
Quyidagi
λp= max {Δx k} , Δx k= xk+1− xk
miqdor
P bo‘laklashning diametri deyiladi.
Masalan,
[a,b]=[0,1 ] bo‘lganda quyidagi
0, 2
10
, 4
10
, 6
10
, 8
10
,10
10
= 1 ;
6](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_6.png?v=1)
![0, 1
10
, 4
10
, 5
10
, 6
10
,10
10
= 1nuqtalar sistemasi
[0,1 ] segmentning
P1={0, 2
10
, 4
10
, 6
10
, 8
10
,1 },
P2= {0, 1
10
, 4
10
, 5
10
, 6
10
,1}
bo‘laklashlarini hosil qiladi. Ularning diametrlari mos ravishda
λp1= 1
5
, λp2= 2
5
bo‘ladi.
YUqoridagi keltirilgan ta’rif va misollardan ko‘rina - diki,
[a,b] segmentning
turli usular bilan istalgan sondagi bo‘laklashlarini tuzish mumkin. Bu
bo‘laklashlardan iborat to‘plamni bilan belgilaymiz:
={P}.
1.2-§. Darbu hamda integral yig’indilar.
f(x)
funksiya [a,b] da ani q lan gan va chegaralangan bo‘lsin. Unda
∃ m ∈ R , ∃ M ∈ R , ∀ x∈[a,b] : m ≤ f(x)≤ M
bo‘ladi.
Aytaylik,
P= {x0,x1,x2,...,xn−1,xn}
[a,b]
segmentning biror bo‘laklashi bo‘lsin. U holda bu bo‘lak - lashning har bir
[xk,xk+1](k=0,1,2,...,n−1)
oralig’ida
m k= inf {f(x)}, x∈[xkxk+1] ,
M k= sup {f(x)}, x∈[xk xk+1] (k=0,1,2,...,n−1)
mavjud bo‘lib
7](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_7.png?v=1)
![inf
x∈[a,b]
{f(x)}≤ mk≤ M k≤ sup {f(x)}
x∈[a,b] (1.2)
bo‘ladi .
2-ta’rif. Ushbu
s= ∑
k=0
n−1
m k⋅Δx k
yig’indi
f(x) funksiyaning [a,b] segmentning P bo‘laklashiga nisbatan
Darbuning quyi yig’indisi deyiladi.
Ravshanki, bu yig’indi
f(x) funksiyaga hamda [a,b] ning P bo‘laklashiga
bog’liq bo‘ladi:
s= s(f;P ) .
3-ta’rif. Ushbu
S= ∑
k=0
n−1
M k⋅Δx k
yig’indi
f(x) funksiyaning [a,b] segmentning P bo‘laklashiga nisbatan
Darbuning yuqori yig’indisi deyiladi.
Bu yig’indi
f(x) funksiyaga hamda [a,b] ning P bo‘lak - lashiga bog’liq
bo‘ladi:
S= S(f;P) .
Endi har bir
k∈{0,1,2,...,n−1} ning qiymatida [xk,xk+1] segmentda
ixtiyoriy
ξk nuqtani tayinlaymiz: ξk∈[xk,xk+1] (k=0,1,2,...,n−1). Natijada
[a,b]
ning P bo‘laklashiga nisbatan
{ξ0,ξ1,ξ2,...,ξn−1}
nuqtalar to‘plami hosil bo‘ladi. Bu nuqtalardagi
f(x) funksiyaning
f(ξk) (k=0 ,1,2 ,...,n−1)
qiymatlari yordamida ushbu
∑
k=0
n−1
f(ξk)⋅Δx k
8](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_8.png?v=1)
![yig’indini tuzamiz.
4-ta’rif. Quyidagiσ= ∑
k=0
n−1
f(ξk)⋅Δx k
yig’indi
f(x) funksiyaning [a,b] segmentning P bo‘laklashiga nisbatan integral
yig’indisi deyiladi.
Integral yig’indi,
f(x) funksiyaga, P bo‘laklashga hamda har bir [xk,xk+1]
da olingan
ξk nuqtalarga bog’liq bo‘ladi:
σ= σ(f;P;ξk).
Ravshanki,
ξk∈[xk , xk+1] uchun
m k≤ f(ξk)≤ M k
bo‘lib, ayni paytda
s(f;P )≤ σ(f;P;ξk)≤ S(f;P)
( 1. 3)
tengsizliklar bajariladi.
1- misol. Ushbu
f(x)=|x|
funksiyaning
[−1, 1] segmentda quyidagi
P={−1,− 3
4
,− 1
2
,− 1
4
,0,1
4
,1
2
,3
4
,1}
bo‘laklashga nisbatan Darbu yig’indilari hamda
ξk= xk (k= 0 ,1 ,2 ,...,7)
deb, integral yig’indi topilsin.
◄ Berilgan
f(x)=|x| funksiya uchun [−1, 1] segmentning
P={−1,− 3
4
,− 1
2
,− 1
4
,0,1
4
,1
2
,3
4
,1}
bo‘laklashida
9](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_9.png?v=1)
![m 0= 3
4
, m 1= 1
2
, m 2= 1
4
, m 3= 0 ,
m 4= 0 , m 5= 1
4
, m 6= 1
2
, m 7= 3
4
M 0= 1 ,M 1= 3
4
,M 2= 1
2
,M 3= 1
4
,
M 4= 1
4
,M 5= 1
2
,M 6= 3
4
,M 7= 1hamda
ξ0=− 1 ,ξ1=− 3
4
,ξ2=− 1
2
,ξ3=− 1
4
,
ξ4= 0,ξ5= 1
4
,ξ6= 1
2
,ξ7= 3
4
,
f(ξ0)= 1 , f(ξ1)= 3
4
, f(ξ2)= 1
2
, f(ξ3)= 1
4
,
f(ξ4)= 0, f(ξ5)= 1
4
, f(ξ6)= 1
2
,f(ξ7)= 3
4
bo‘ladi.
Endi
Δx k= 1
4
(k= 0 ,1 ,2 ,...,7) bo‘lishini e’tiborga olib topamiz:
s(f;P )= (3
4
+ 1
2
+ 1
4
+0+0+ 1
4
+ 1
2
+ 3
4
)⋅1
4
= 3
4
,
S(f;P )= (1+ 3
4
+ 1
2
+ 1
4
+ 1
4
+ 1
2
+ 3
4
+1)⋅1
4
= 5,
σ(f;P ;ξk)= (1+ 3
4
+ 1
2
+ 1
4
+0+ 1
4
+ 1
2
+ 3
4
)⋅1
4
= 1 .
►
1.3-§. . Aniq integral ta’rifi.
Faraz qilaylik,
f(x) funksiya [a,b] da berilgan va chegaralangan bo‘lsin.
Unda
[a,b] oraliqning har qanday P bo‘laklashi hamda har qanday
10](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_10.png?v=1)
![ξk (ξk∈[xk,xk+1], k=0 ,1,2 ,...,n−1) larda yuqoridagi (1.2) va (1.3)
munosabatlar o‘rinli bo‘lib,
(b− a)⋅inf
[a,b]
{f(x)}≤ s(f;P)≤ σ(f;P ;ξk)≤
¿S(f;P)≤(b− a)⋅sup
[a,b]
{f(x)}
(1.4)
bo‘ladi.
Endi
[a,b] segmentning bo‘laklashlar to‘plami = {P} ning har bir P∈
bo‘laklashga
f(x) funksiyaning Darbu yig’indilari s(f,P) va S(f;P) ni tuzib ,
ushbu
{s(f;P)},{S(f;P)}
to‘plamlarni qaraymiz. Bu to‘plamlar (1.4) munosabatga ko‘ra chegaralangan
bo‘ladi.
5-ta’rif.
{s(f;P)} to‘plamning aniq yuqori chegarasi f(x) funksiyaning
[a,b]
oraliqdagi quyi integrali deyiladi va
∫
a−
b
f(x)dx
kabi belgilanadi.
Demak,
∫
a−
b
f(x)dx =sup
P {s(f;P)}.
6-ta’rif.
{S(f;P)} to‘plamning aniq quyi chegarasi f(x) funksiyaning
[a,b]
oraliqdagi yuqori integrali deyiladi va
∫
a
b−
f(x)dx
kabi belgilanadi.
Demak,
11](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_11.png?v=1)
![∫
a
b−
f(x)dx =inf
P {S(f;P)}.7-ta’rif. Agar
f(x) funksiyaning quyi hamda yuqori integrallari bir-biriga
teng
∫
a−
b
f(x)dx =∫
a
b−
f(x)dx
bo‘lsa,
f(x) funksiya [a,b] oraliq bo‘yicha integrallanuvchi (Riman ma’nosida
integrallanuvchi) deyiladi.
Bunda quyi hamda yuqori integrallarning umumiy qiymati
f(x)
funksiyaning
[a,b] oraliq bo‘yicha aniq integrali (Riman integrali) deyiladi va
∫
a
b
f(x)dx
kabi belgilanadi.
Demak,
∫
a
b
f(x)dx =∫
a−
b
f(x)dx =∫
a
b−
f(x)dx .
a
son integralning quyi chegarasi, b son esa integralning yuqori chegarasi, [a,b]
segment integrallash oralig’i deyiladi.
Eslatma. Yuqorida keltirilgan
f(x) funksiyaning integrali ta’rifiga binoan
integral
∫
a
b
f(x)dx
o‘zgarmas sonni ifodalaydi. Binobarin, integral ostida o‘zgaruvchining qanday
yozilishiga bog’liq bo‘lmaydi:
∫
a
b
f(x)dx =∫
a
b
f(t)dt .
2- misol.
f(x)= C , C ∈ R , x∈[a,b] bo‘lsin.
12](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_12.png?v=1)
![Bu funksiyaning integrallanuvchanligi aniqlansin.
◄ [a,b] segmentning ixtiyoriy
P={x0,x1,x2,...,xn−1,xn}
bo‘laklashini olib, unga nisbatan Darbu yig’indilarini topamiz:
s(C ;P)= ∑
k=0
n−1
C⋅Δx = C⋅(b− a),
S(C ;P )= ∑
k=0
n−1
C⋅Δx k= C⋅(b− a).
Bundan
Sup
P
{s(C ;P)}= C⋅(b− a),
inf
P
{S(C ;P )}= C⋅(b− a)
bo‘lib,
bo‘lishi kelib chiqadi.
Demak,
f(x)= C funksiya [a,b] da integrallanuvchi va
∫
a
b
C⋅dx = C⋅(b− a).
Xususan ,
f(x)=1 bo‘lganda
∫
a
b
dx = b− a
bo‘ladi. ►
3-misol .
f(x)= D (x) , x∈[0,1 ] bo‘lsin. Bu Dirixle funk - tsiyasini [0,1 ] da
integrallanuvchilikka tekshirilsin.
◄
[0,1 ] segmentning ixtiyoriy P bo‘laklashiga nisbatan Dirixle
funksiyasining Darbu yig’indilari
Bo ‘ lib,
Sup
P
{s(D ;P)}= 0 , inf
P
{S(D ;P)}= b− a
13](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_13.png?v=1)
![2- bob. Aniq integralning xossalari
2.1-§. Aniq integralning xossalari
1) Tengliklar bilan ifoda qilinadigan xossalar
1-xossa. Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
ixtiyoriy [ a , b ] Ì
[a,b] kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi.
2-xossa. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi va a<c<b
bo‘lsa, u holda
∫
a
b
f(x)dx =∫
a
c
f(x)dx +∫
c
b
f(x)dx (2.1)
tenglik o‘rinli.
1-eslatma . Agar
a<c<b bo‘lib, f(x) funksiya [a,c],[c,b] kesmalarda
integrallanuvchi bo‘lsa, u
[a,b] kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi va (2.1)
tenglik o‘rinli.
2-eslatma. Agar
a= b bo‘lib, f(x) funksiya a nuqtada aniqlangan bo‘lsa,
u holda
∫
a
a
f(x)dx =0 ni ta’rif sifatida qabul qilamiz.
Agar
a<b bo‘lib , f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
holda
∫
a
b
f(x)dx =−∫
b
a
f(x)dx , a<b
15](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_15.png?v=1)
![deb qabul qilamiz.
3-xossa . Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
holda
k f(x)(k= const ) funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi va
∫
a
b
kf (x)dx = k∫
a
b
f(x)dx
tenglik o‘rinli.
4-xossa. Agar
f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada integrallanuvchi
bo‘lsa, u holda
x f + g(x) funksiya ham [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi
va ushbu
∫
a
b
[f(x)± g(x)]dx =∫
a
b
f(x)dx ±∫
a
b
g(x)dx
tenglik o‘rinli.
5-xossa . Agar
f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada integrallanuvchi
bo‘lsa, u holda
f(x)g(x) funksiya ham [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.
3-eslatma. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
holda
∀ n∈N uchun |f(x)|n funksiya ham shu [a,b] oraliqda integrallanuvchi
bo‘ladi.
2) Tengsizliklar orqali ifoda la nadigan xossalar.
6-xossa. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lib, u shu
oraliqda manfiy bo‘lmasa, (
∀ x∈[a,b] uchun f(x)≥ 0 ), u holda
∫
a
b
f(x)dx ≥ 0 (a<b)
bo‘ladi.
16](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_16.png?v=1)
![1 -natija . Agar f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada integrallanuvchi
bo‘lib,
∀ x∈[a,b] uchun f(x) ≤ g(x) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda ushbu
∫
a
b
f(x)dx ≤∫
a
b
g(x)dx
tengsizlik ham o‘rinli .
2 -natija. (Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi ) . Agar
f(x) va g(x)
funksiyalar
[a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda f(x) - a g(x) ( a -
ixtiyoriy o‘zgarmas) funksiya ham
[a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi va
∫
a
b
[f(x)− αg (x)]2dx ≥ 0
tengsizlik o‘rinli.
Bu tengsizlikning chap tomonidagi ifoda
α ga nisbatan kvadrat uchhad
bo‘lib, u
α ning barcha haqiqiy qiymatlarida manfiy emas. Demak, kvadrat uch-
hadning diskriminanti musbat emas, ya’ni
[∫
a
b
f(x)g(x)dx ]2−∫
a
b
f2(x)dx ⋅∫
a
b
g2(x)dx ≤ 0,
|∫
a
b
f(x)⋅g(x)dx |≤ √∫
a
b
f2(x)dx ⋅√∫
a
b
g2(x)dx (2.2)
Bu tengsizlik, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi.
7-xossa. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa , u
holda |
x f | funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.
4-eslatma. |
x f | funksiyaning [a,b] kesmada integrallanuvchiligidan , f(x)
funksiyaning shu kesmada integrallanuvchi bo‘lishi har doim ham kelib
chiqavermaydi.
3) O‘rta qiymat haqidagi teoremalar.
17](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_17.png?v=1)
![f(x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va chegaralangan bo‘lsin. U holda
m= inf {f(x)}
, M = sup {f(x)} mavjud va m≤ f(x)≤ M ,∀ x∈[a;b] tengsizlik
o‘rinli bo‘ladi.
1-teorema . Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
holda shunday o‘zgarmas
μ (m ≤ μ≤ M ) son mavjud bo‘lib, ushbu
∫
a
b
f(x)dx = μ(b− a)
tenglik o‘rinli bo‘ladi .
N atija. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda
shunday
c (c∈[a,b]) nuqta topiladiki,
∫
a
b
f(x)dx = f(c)(b− a)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
2 -teorema. Agar
f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada integrallanuvchi
bo‘lib,
g(x) funksiya shu oraliqda o‘z ishorasini o‘zgartirmasa, u holda shunday
o‘zgarmas
μ (m ≤ μ≤ M ) son mavjud bo‘lib,
∫
a
b
f(x)g(x)dx = μ∫
a
b
g(x)dx
tenglik o‘rinli.
Natija . Agar
f(x) [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda [a,b] kesmada
shunday
c (c∈[a,b]) nuqta topiladiki,
∫
a
b
f(x)g(x)dx = f(c)∫
a
b
g(x)dx
18](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_18.png?v=1)
![tenglik o‘rinli bo‘ladi .
2.2-§. Aniq integralni hisoblash usullari
Har doim, har qanday integrallanuvchi funksiyaning aniq integralini, integral
yig‘indining limiti sifatida qarab, hisoblash oson bo‘lavermaydi, ya’ni integral
yig‘indini tuzib, uning limitini hisoblashda ancha noqulayliklar va qiyinchiliklarga
duch kelinadi.
Shuning uchun, aniq integralni yuqoridagi ta’rif bo‘yicha hisoblash usulidan
boshqa soddaroq usulini topish zaruriyati tug‘iladi. Bu usullarni quyida keltirib
o‘tamiz.
Nyuton-Leybnis formulasi. Yuqorida ko‘rdikki, agar f(x) funksiya [a,b]
kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda u shu kesmada boshlang‘ich funksiyalarga ega
bo‘ladi. Aniq integralning xossasiga asosan,
Ф (x)=∫
a
x
f(t)dt
funksiya,
f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyalaridan biridir. F(x)− f(x)
funksiyaning
[a,b] kesmadagi ixtiyoriy boshlang‘ich funksyasi bo‘lsin. Ma’lumki,
Ф (х)
va F(x) boshlang‘ich funksiyalarning biri, ikkinchisidan o‘zgarmas songa
farq qiladi, ya’ni
∫
a
x
f(t)dt = F (x)+С , a≤ x≤ b
.
Bundan,
x= a deb olib,
0= F (a)+С , С = − F (a)
e kanligini topamiz, ya’ni
∀ x∈[a,b] uchun,
∫
a
b
f(x)dx = F (b)− F (a) ( 2.3 )
19](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_19.png?v=1)
![Ba’zi aniq integrallarni hisoblashda bo‘laklab integrallash formulasi deb
ataluvchi
formuladan foydalaniladi.
Berilgan uzluksiz y = f ( x )
funkisiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan
aniq integiralni ba’zi hollarda biror differensiallanuvchi funksiya orqali
“eski” x o‘zgaruvchidan “yangi” t o‘zgaruchiga o‘tish usulida foydalanib hisoblash
mumkin bo‘ladi. Bunda quyidagi shartlar qo ‘ yiladi :
1.
2. va funksiyalar kesmada uzluksiz :
3. murakkab funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz .
Bu shartlarda ushbu formula o‘rinli bo‘ladi:
Bu formula aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi.
Aniq integralni taqribiy hisoblash.
Odatda, aniq integrallar Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblanadi.
Bu formula boshlang’ich funksiyaga asoslanadi. Ammo boshlang’ich funksiyani
topish masalasi doim osongina hal bo‘lavermaydi. Agar integral ostidagi funksiya
murakkab bo‘lsa, tegishli aniq integralni taqribiy hisoblashga to‘g’ri keladi.
To‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi.
Faraz qilaylik,
f(x) funksiya [a,b] segmentda berilgan va uzluksiz bo‘lsin.
Demak,
f(x)∈R([a,b]) .
21](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_21.png?v=1)
![Masala ∫
a
b
f(x)dx integralni taqribiy hisoblashdan iborat.
[a,b]
oraliqni a= x0,x1,x2,...,xn−1,xn= b nuqtalar (x0< x1< x2<...< xn)
yordamida
n ta teng bo‘lakka bo‘lib, har bir [xk,xk+1](k= 0,1,2 ,...,n− 1) bo‘yicha
integralni quyidagicha
taqribiy hisoblaymiz, bunda
(k= 0,1,2 ,...,n−1).
Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz:
∫
a
b
f(x)dx =∫
x0
x1
f(x)dx +∫
x1
x2
f(x)dx +...+∫
xk
xk+1
f(x)dx +...
.
Natijada
∫
a
b
f(x)dx
integralni taqribiy hisoblash uchun quyidagi
(2.4)
22](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_22.png?v=1)
![formulaga kelamiz.
(2.4) formula to‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi deyiladi.
Endi (2.4) taqribiy formulaning xatoligini aniqlaymiz.
(2.4) formulaning xatoligini
(2.5)
deylik.
Aytaylik, f(x) funksiya [a,b] segmentda uzluksiz f''(x) hosilaga ega
bo‘lsin.
Avvalo
Rn ni quyidagicha yozib olamiz:
Teylor formulasidan f o ydalanib topamiz:
(bunda
ξk son x va
xk+1
2 sonlar orasida) . Natijada
bo‘ladi.
Ravshanki,
∫
xk
xk+1
(
x− xk+1
2)
dx = 0 .
23](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_23.png?v=1)
![Demak, Rn= 1
2 ∑
k=0
n−1
∫
xk
xk+1
f''(ξk)⋅
(
x− xk+1
2)
dx .
O‘rta qiymat haqidagi teoremaga binoan
bo‘ladi.
Shunday qilib,
Rn uchun ushbu
Rn= 1
2 ∑
k=0
n−1(b− a)3
12 n3 f''(ξk)= (b− a)3
24 n2 ⋅1
n ∑
k=0
n−1
f''(ξk
¿)
ifodaga kelamiz.
Ravshanki,
1
n ∑
k=0
n−1
f''(ξk
¿)=
f''(ξ0
¿)+(ξ1
¿)+...+ f''(ξn−1
¿ )
n
miqdor
(ξk
¿∈[a,b], k= 0,1,2 ,...,n− 1 ) f''(x) ning [a,b] oraliqdagi eng kichik
m''
hamda eng katta M '' qiymatlar orasida,
m''≤ 1
n ∑
k=0
n−1
f''(ξk
¿)≤ M
bo‘ladi.
Shartga ko‘ra
f''(x) funksiya [a,b] da uzluksiz. Uzluksiz funksiyaning
xossasiga muvofiq
(a,b) da shunday ζ nuqta topiladiki ,
f''(ζ)= 1
n ∑
k=0
n−1
f''(ξk
¿)
bo‘ladi.
Natijada
Rn uchun quyidagi
24](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_24.png?v=1)
![Rn= (b− a)3
24 n2 f''(ζ)tenglikka kelamiz.
Demak ,
bo‘ladi.
Shunday qilib,
[a,b] oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo‘lgan
f(x)
funksiyaning
∫
a
b
f(x)dx
integralini (1) tug’ri to‘rtburchaklar formulasi yordamida taqribiy hisoblansa, bu
taqribiy hisoblash xatoligi quyidagi
Rn= (b− a)3
24 n2 f''(ζ) (ζ∈(a,b))
formula bilan ifodalanadi.
Trapetsiyalar formulasi.
f(x)
funksiyaning
∫
a
b
f(x)dx
integralini taqribiy hisoblash uchun, avvalo
[a,b] segmentni
a= x0,x1,x2,...,xn−1,xn= b
nuqtalar yordamida
n ta teng bo‘lakka bo‘linadi. So‘ng har bir
[xk,xk+1](k= 0,1,2 ,...,n−1)
bo‘yicha integralni quyidagicha
∫
xk
xk+1
f(x)dx ≈
f(xk)+ f(xk+1)
2 ⋅(xk+1− xk) (k= 0,1,2 ,...,n− 1)
taqribiy hisoblanadi. Natijada ushbu
25](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_25.png?v=1)
![formulaga kelamiz. Demak,
(2.6)
(2.6) formula trapetsiyalar formulasi deyiladi.
Bu taqribiy formulaning hatoligi Rn',f(x) funksiya [a,b] da uzluksiz f''(x)
hosilaga ega bo‘lishi shartida ,
Rn
'= − (b− a)3
12 n2 f''(ζ) (ζ ∈ (a ,b))
bo‘ladi.
Demak,
.
Simpson formulasi.
Bu holda
f(x) funksiyaning
∫
a
b
f(x)dx
integralini taqribiy hisoblash uchun
[a,b] segmentni a= x0,x1,...,x2k,x2k+1,
x2k+2,...,x2n−2,x2n−1,x2n=b
nuqtalar yordamida ta teng bo‘lakka bo‘lib, har
bir
[x2k,x2k+2] (k= 0,1,2 ,...,n−1) bo‘yicha integralni quyidagicha
26](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_26.png?v=1)
![∫
x2k
x2k+2
f(x)dx ≈
x2k+2− x2k
6 [f(x2k)+4 f(x2k+1)+ f(x2k+2)]=
= b− a
6n [f(x2k)+4 f(x2k+1)+ f(x2k+2)] (k= 0,1 ,...,n− 1)taqribiy hisoblanadi. Natijada
∫
a
b
f(x)dx=∫
x0
x2
f(x)dx+∫
x2
x4
f(x)dx+...+∫
x2n−2
x2n
f(x)dx≈¿¿¿
b−a
6n
[(f(x0)+4f(x1)+f(x2))+(f(x2)+4f(x3)+
+ f(x4))+...+(f(x2n−2)+4 f(x2n−1)+ f(x2n))]=
¿b− a
6n
[(f(x0)+ f(x2n))+4(f(x1)+ f(x3)+...
...+ f(x2n−1))+2(f(x2)+ f(x4)+...+ f(x2n−2))].
hosil bo‘ladi. Demak,
∫
a
b
f(x)dx ≈ ¿b− a
6n [f(x0)+ f(x2n)+4(f(x1)+ f(x3)+...¿
...+ f(x2n−1))+2(f(x2)+ f(x4)+...+ f(x2n−2))].
(2.7 )
(2.7) formula Simpson formulasi deyiladi.
Bu taqribiy formulaning hatoligi
Rn'' , f(x) funksiya [a,b] da uzluksiz
hosilaga ega bo‘lishi shartida,
bo‘ladi. Demak ,
.
Misol. Ushbu
∫
0
1
е−x2
dx
integral to‘g’ri to‘rtburchaklar, trapetsiyalar va Simpson formulalari yordamida
taqribiy hisoblansin.
27](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_27.png?v=1)
![[0,1 ] segmentni 5 ta teng bo‘lakka bo‘lamiz. Bunda bo‘linish nuqtalari
x0= 0, x1= 0,2 , x2= 0,4 , x3= 0,6 ,x4= 0,8 ,x5= 1,0
bo‘lib, bu nuqtalarda
f(x)= e−x2 funksiyaning qiymatlari quyidagicha bo‘ladi:
f(x0)= 1,00000 ,
f(x1)= 0,96079 ,
f(x2)= 0,85214 ,
f(x3)= 0,69768 ,
f(x4)= 0,52729 ,
f(x5)= 0,36788 .
Har bir bo‘lakning o‘rtasini ifodalovchi nuqtalar
x1
2
= 0,1 , x3
2
= 0,3 , x5
2
= 0,5 , x7
2
= 0,7 , x9
2
= 0,9
bo‘lib, bu nuqtalardagi funksiyaning qiymatlari quyidagicha bo‘ladi:
a) To‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi bo‘yicha
bo‘lib,
|Rn|≤ 1
12 ⋅25
= 1
300
≈ 0,003
bo‘ladi.
b) Trapetsiyalar formulasi bo‘yicha
= 1
5
⋅3,72184 ≈ 0,74437
bo‘lib,
|Rn
'|≤ 1
6⋅25
= 1
150
≈ 0,006
bo‘ladi.
v) Simpson formulasi bo‘yicha
28](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_28.png?v=1)
![∫
0
1
e−x2
dx ≈ 1
30
[(1,00000 +0,36788 )+4(0,99005 +
+0,91393 +0,77680 +0,61263 +0,44486 )+2(0,96079 +
+0,85214 +0,69768 +0,52729 )]= 1
30
(1,36788 +4⋅3,74027 )+
+2⋅3,03790 )= 1
30
(1,36788 +6,07580 +14 ,96108 )≈ 0,74682bo‘lib,
|Rn
''|≤ 12
2880 ⋅54= 0,7 ⋅10 −5
bo‘ladi.
MISOLLAR
2.2.1.
integral hisoblansin:
Yechish:
2.2.2. integral hisoblansin.
Yechish:
2.2.3. ni hisoblang.
Yechish:
29](https://docx.uz/documents/42f688c6-282c-4317-8992-1610093fe51a/page_29.png?v=1)
Aniq integral va uning xossalari