Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 540.3KB
Покупки 0
Дата загрузки 14 Декабрь 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

37 Продаж

Bir necha o`zgaruvchili funksiya ektstremumlari

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI __UNIVERSITETI Ro’yxatga olindi №__________ Ro’yxatga olindi №__________ “_____” ____________20 y. “_____” ____________20 y. “___________________________ “ KAFEDRASI “_____________________________ “ FANIDAN KURS ISHI Mavzu:________________ Bajardi:_________________________________ Tekshirdi:_______________________________ ______________ - 20___ 3 Bir necha o`zgaruvchili funksiya ektstremumlari Mundarija: Kirish……………………………………………………………………................. .......................... I BOB. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya ………………………………. 1.1- § . Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to`plami…………………………………………. 1.2- § . Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti..................................................... 1.3- § Bir o`zgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va x → ∞ dagi limitlar.. II BOB. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya hosilasi, differensiali va ekstremumlar ............................................................................................ 2.1- §. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya uzluksizligi………………………….. 2.2- § . Bir o`zgaruvchili funksiya hosilasi va differensiali ..................................... 2.3- § . Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumlar………………………….. 2.4- § . Funksiya ekstremumga erishishining yetarli sharti………………………. Xulosa .................................................................................................... Ilova........................................................................................................ Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati.................................................. 4 KIRISH “ Farzandlarimiz bizdan ko’ra kuchli , bilimli , dono va albatta baxtli bo’lishlari shart !” Sh. M. Mirziyoyev . O’zbekiston Respulikasining “Ta’lim to’g’risidagi” qonuni va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” uzluksiz ta’lim tizimini isloh qilishning yangi davrini ochganligi tabiiydir. Biz farzandlarimizning nafaqat jismoniy va ma’naviy sog’lom o’sishi, balki ularning eng zamonaviy intelektual bilimlarga ega bo’lgan, uyg’un rivojlangan insonlar bo’lib, XXI asr talablariga to`liq javob beradigan barkamol avlod bo`lib voyaga yetishi uchun zarur barcha imkoniyat va sharoitlarni yaratishni o`z oldimizga maqsad qilib qo`yganmiz. Shuni alohida ta’kidlash lozimki, ta’lim-tarbiya sohasida islohotlar o’tkazish va ularning asosiy yo’nalishlari, talablari va maqsadlarini aniqlash, hamda tegishli xulosalarni chiqarishda,bugungi muhokama qilinadigan hujjatlarda keng jamoatchiligimizning fikr-mulohazalari, tarbiya va izohlari ifoda topgan desak, hech qanday mubolag’a bo’lmas. Shuning uchun ham amaldagi ta’lim-tarbiya tizimining zaif tomonlarini, zamon talablari, jamiyatimiz kelajagi va maqsadlariga javob bermaydigan jihatlarini chuqur tasavvur qilish, erkin, badavlat yashayotgan ` mamlakatlar tajribasini o’rganish, o’z o’lkamizga yuksak malakali, har jihatdan yetuk kadrlar tayyorlash dasturining asosiy sharti bo’lmog’i lozim. Shuning uchun 5 ta’lim-tarbiya sohasida ham belgilanayotgan islohotlarni hayotga tadbiq qilishda islohotlarni bosqichma- bosqich o’tkazish prinsipi qo’yilgan. Kadrlar tayyorlash milliy dasturi “Ta’lim to’g’risida” gi O’zbekiston Respublikasi qonunining qoidalariga muvofiq holda tayyorlangan bo’lib, milliy tajribaning tahlili va ta’lim tizimidagi jahon miqyosidagi ustuvor yutuqlar asosida tayyorlangan hamda yuksak umumiy va kasb-hunar madaniyatiga, ijodiy va ijtimoiy faollikda, ijtimoiy-siyosiy hayotda mustaqil ravishda mo’ljalni to’g’ri ola bilish mahoratga ega bo’lgan, istiqbol vazifalarini ilgari surish va hal etishga qodir kadrlarning yangi avlodini shakllantirishga yo’naltirilgandir. Kurs ishining dolzarbligi: Uzluksiz funksiyalar fazosi zamonaviy matematika va boshqa tabiiy fanlarning asosiy obyekti hisoblanadi. Chunki uzluksiz funksiyalar bilan ishlash (integrallash, differensiallash, dinamik sistema qurish) matematikda eng qulaydir. Bu fazolarda o’lchovlarning kuchsiz yaqinlashishini tekshirish orqali bir qator nazariy (ehtimollar nazariyasidagi taqsimotlarning yaqinlashishi, limit teoremalar, funksional analizda o’lchovlarning limitini topish) va amaliy (fizikada sistemalar fazasining almashishlari, Gibbs o’lchovlarnining limitik xossalarini o’rganish) masalalar hal qilinadi. Jumladan bakalavryatda ushbu mavzu alohida va to’laligicha o’tilmaydi. Shu sababli bitiruv malakaviy ishida ko’rilgan masalalar juda dolzarbdir. Kurs ishining maqsadi: Ko’p o’zgaruchili funksiyalarni o’rganish Kurs ishining obyekti: O’rganish metodikasi (uslubi). ko’p o’zgaruchili funksiyalarni turli metodlari. 6 I BOB. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya 1.1- § . Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to`plami. n o`lchovli haqiqiy fazoda V = { M ( x 1 ; x 2 ; …; x n )} є R n nuqtalar to`plami berilgan bo`lsin. V to`plamga tegishli har bir M(x 1 ; x 2 ; …; x n ) nuqtaga aniq biror-bir y haqiqiy sonni mos qo`yuvchi f qonunga x 1 , x 2 , …, x n o`zgaruv-chilarning V nuqtalar to`plamida berilgan funksiyasi deyiladi. n ta o`z-garuvchilarning funksiyasi y = f (M) yoki y = f (x 1 ; x 2 ; …; x n ) ko`ri-nishda yoziladi. f (M) haqiqiy son u funksiyaning M nuqtada erishadigan qiymatini anglatadi. Xususan, agar V є R 1 bo`lib, V to`plam R 1 ={ x } haqiqiy sonlar to`p-lamining qism osti to`plamidan iborat bo`lsa, V to`plamda bir o`zga-ruvchili y = f (x) funksiya berilgan deyiladi. Misollar: 1) f (x) = ln x – V = { x є R 1 | x >0} to`plamda berilgan bir x o`zgaruvchili funksiya. Xususan, f (e) = ln e = 1. 2) f(M )= 1 x12+x22− V = R2 \ O ( 0 ; 0 ) to`plamda berilgan ikki x 1 va x 2 o`zgaruvchili funksiya. M(- 1; 2) nuqtada f (-1; 2) = 0,2. 3) f(M )= √7− x1 2− x2 2− x3 2− V = {M (x1; x 2; x 3)∈ R3| x 1 2+ x2 2+ x3 2≤ 7} to`plamda berilgan uch x 1 , x 2 va x 3 o`zgaruvchili funksiya. M(1; -1; 1) nuqtada f (1; -1; 1) = 2. y = f (M) = f (x 1 ; x 2 ; …; x n ) funksiya berilgan R n fazoga tegishli to`plamga uning aniqlanish sohasi deyiladi va D ( f ) yoki D ( y ) yozuv bilan ifodalanadi. y = f (M) funksiya o`z aniqlanish sohasi D ( f ) ning har bir nuqtasida qabul qilishi mumkin bo`lgan barcha qiymatlari to`plamiga esa uning qiymatlari to`plami yoki o`zgarish sohasi deyiladi. Funksiya qiymatlar to`plami R 1 haqiqiy sonlar to`plamining qism osti to`plami bo`lib, E( f ) yoki E(y) belgilar bilan yoziladi. Misollar: Quyida berilgan funksiyalarning aniqlanish sohalarini to-ping va 7 tegishli fazoda tasvirlang. Funksiyalarning qiymatlar to`plamini aniqlang: 1) y = l og 2 (3–x), 2) y= √4 x1− x2 2 , 3) y = arccos x 1 + arccos x 2 + arccos x 3 . 1) bir o`zgaruvchili y = log 2 (3-x) funksiya aniqlanish sohasi D (y): 3–x > 0 tengsizlik yechimidan iborat. Shunday qilib, D (y) = (- ∞; 3) є R 1 . Funksiya aniqlanish sohasi sonlar o`qida (- ∞; 3) ochiq nur ko`rinishida tasvirlanadi: Funksiya qiymatlari to`plami esa sonlar o`qidan iborat, ya`ni E (y) = R 1 . 2) funksiya ikki o`zgaruvchili bo`lib, uning aniqlanish sohasi D (y) = {M(x 1 ; x 2 ) є R 2 | x 1 ≥ x2 2 4 }. Funksiya aniqlanish sohasi haqiqiy koordinatalar tekisligi R 2 da quyidagicha tasvirlanadi: (1-rasm) (1-rasm) Funksiya qiymatlari to`plami E(y) = [0; ∞). 3) berilgan uch o`zgaruvchili funksiya aniqlanish sohasi D (y) = { M ( x 1 ; x 2 ; x 3 ) є R 3 | -1≤ x 1 ≤ 1, -1≤ x 2 ≤ 1, -1 ≤ x 3 ≤ 1}. Funksiya aniqlanish sohasi R 3 fazoda qirrasi 2 ga teng, simmetriya markazi koordinatalar boshida, yoqlari esa koordinatalar tekisliklariga parallel bo`lgan kubdan iborat: Funksiya qiymatlari to`plami E(y) = [0; 3 π ]. 80 3 R 1 х 2 0 х 1 2. Bir o`zgaruvchili funksiya umumiy xossalari va grafigi. Tes - kari funksiya (2-rasm) V  R 1 nuqtalar to`plamida aniqlangan bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiyaning grafigi deb, mumkin bo`lgan barcha (x; f (x)), x є V juf-tliklarning x0y to`g`ri burchakli koordinatalar tekisligidagi aksiga aytiladi. R 1 fazoda, x = 0 nuqtaga nisbatan simmetrik, nuqtalarning V qism to`plami va unda aniqlangan y = f (x) funksiya berilgan bo`lsin. Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = f (x) tenglik o`rinli bo`lsa, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya V to`plamda juft funksiya deyiladi. Juft funksiya grafigi 0u ordinata o`qiga nisbatan simmetrikdir. Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = - f (x) munosabat o`rinli bo`lsa, y = f (x) V to`plamda toq funksiya deyiladi. Toq funksiya gra-figi esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrikdir. Masalan, juft natural darajali y = x 2 n ( n є N ) funksiya juft funksiyaga misol bo`lsa, toq natural darajali y = x 2 n –1 ( n є N ) toq funksiyaga misoldir. y = f (x) funksiya uchun shunday bir musbat t son mavjud bo`lsaki, funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday x va x + t nuqtalari uchun f (x+t) = f (x) tenglik bajarilsa, y = f (x) funksiya davriy funksiya deyiladi. t soni esa funksiya davri deb yuritiladi. Amalda funksiya davrlari ichidan eng kichigi T ni topish masalasi qo`yiladi, qolgan barcha davrlar uning butun karralisidan iborat bo`ladi. Masalan, y = 5sin(0,25 π x) funksiyaning eng kichik musbat davri 90 х 1 х 2х 3 T= 2π 0,25 π = 8. y = f (x) funksiya V  R 1 to`plamda aniqlangan bo`lib, uning biror-bir V 1 qism osti to`plamidan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x 1 va x 2 nuqtalar uchun x 1 < x 2 munosabatdan f (x 1 )< f (x 2 ) ( f (x 1 )≤ f (x 2 )) tengsizlik kelib chiqsa, u holda y = f (x) funksiya V 1 to`plamda o`suvchi (kamayuvchi emas) deyiladi. Agarda funksiya aniqlanish sohasiga tegishli V 1 to`plamdan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x 1 va x 2 nuqtalar uchun x 1 < x 2 shartdan f (x 1 )> f (x 2 ) ( f (x 1 ) ≥ f (x 2 ) tengsizlik kelib chiqsa, y = f (x) funksiya V 1 to`plamda kamayuvchi (o`suvchi emas) deyiladi. O`suvchi va kamayuvchi funksiyalarga qat`iy monoton funksiyalar deyiladi. Masalan, y = e x aniqlanish sohasi R 1 da qat`iy monoton o`suvchi funksiyaga misol bo`lsa, x haqiqiy sonning butun qismi y = [ x ] esa kamayuvchimas funksiyaga misol bo`la oladi. y = f (x) funksiya D (y)  R 1 sohada aniqlangan bo`lib, Ye(u) uning qiymatlar to`plami bo`lsin. Ushbu funksiya uchun har qanday x 1 , x 2 є D (y) lar qaralmasin, x 1 ≠ x 2 shart qanoatlantirilganda, f (x 1 ) ≠ f (x 2 ) munosabat bajarilsin. U holda, har bir u є E(y) songa f (x) = y tenglikni qanoatlantiruvchi aniq bir x є D (y) sonni mos qo`yish mumkin, boshqacha aytganda, E(y) to`plamda berilgan y= f (x) funksiyaga teskari x=g(y) funksiya ni aniqlash mumkin. Berilgan y = f (x) funksiyaning qiymatlari to`plami E(y) teskari funksiya uchun aniqlanish sohasi bo`lsa, y = f (x) funksiyaning aniqlanish sohasi D (y) teskari funksiya uchun qiymatlar sohasi rolini o`taydi. Biror–bir [ a ; b ] kesmada aniqlangan, qat`iy monoton va uzluksiz y = f (x) funksiya, o`zining [ f ( a ); f ( b )] kesmada aniqlangan, qat`iy monoton va uzluksiz x = g(y) teskari funksiyasiga ega. Masalan, y = sin x funksiya [− π 2 ; π 2] kesmada aniqlangan, qat`iy monoton o`suvchi va uzluksiz bo`lganidan, [ -1 ; 1 ] kesmada aniqlangan, qat`iy o`suvchi va uzluksiz x = arcsin y teskari funksiyasiga ega. 10 O`zaro teskari f (x) va g(x) funksiya grafiklari birinchi chorak simmetriya o`qi y = x to`g`ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir. 3. Chegaralangan funksiya. Qavariq va botiq funksiyalar haqi-da tushuncha. V 1  D (y) nuqtalar to`plamida berilgan y = f (x) funksiyaning V 1 da erishadigan qiymatlari to`plami yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo`lsa, funksiya V 1 da yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi. y = f (x) funksiyaning yuqoridan (quyidan) chegaralanganligi, shunday bir K son mavjudligini anglatadiki, barcha M є V 1 nuqtalar uchun f (M) ≤ K ( f (M) ≥ K) tengsizlik o`rinli bo`ladi. V 1  D (y) nuqtalar to`plamida ham quyidan va ham yuqoridan che- garalangan funksiyaga, V 1 to`plamda chegaralangan funksiya deb ataladi. Ushbu holda, agar V 1 = D (y) bo`lsa, y = f (M) funksiya aniqlanish sohasida chegaralangan deyiladi va uning qiymatlari to`plami chegaralangan sonlar to`plamidan iborat bo`ladi. Agar y = f (M) funksiya V 1 to`plamda yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan bo`lsa, V 1 to`plamga tegishli { M k } nuqtalar ketma-ketligi mavjudki,lim k→∞{f(M k)}=+ ∞ ( lim k→∞{f(M k)}=− ∞ ) munosabat o`rinlidir. Misollar: 1) bir o`zgaruvchili y = x 2 funksiya aniqlanish sohasi R 1 da quyidan chegaralangan funksiyadir, chunki E(y)=[0; ∞); 2) ikki o`zgaruvchili y= √1− x1 2− x2 2 funksiya o`z aniqlanish sohasi D (y) = {M(x 1 ; x 2 ) є R 2 | x 1 2 + x 2 2 ≤ 1} to`plamda chegaralangandir, chunki E(y) = [0; 1]. y = f (M) funksiya qavariq V  R n nuqtalar to`plamida aniqlangan bo`lsin. V qavariq to`plamga tegishli har qanday ikki M 1 (x 1 ; x 2 ; …; x n ) va M 2 (u 1 ; u 2 ; …; u n ) nuqtalar va ixtiyoriy 0 ≤ α ≤ 1 son uchun f ( P ) ≤ α f ( M 1 ) + (1- α ) f ( M 2 ) ( f ( P ) ≥ α f ( M 1 ) + (1– α ) f ( M 2 )) tengsizliklar o`rinli bo`lsa, bu yerda R( α x 1 +(1– α )u 1 ; α x 2 +(1– α )u 2 ; …; αx n +(1- α )u n ), u holda, y = f (M) funksiya V 11 to`plamda qavariq (botiq) funksiya deyiladi. Masalan, y = x 2 funksiya R 1 da qavariq funksiyaga misol bo`lsa, y = -x 2 funksiya esa R 1 da botiq funksiyaga misol bo`ladi. n o`zgaruvchili chiziqli y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … +a n x n funksiya R n fazoda bir vaqtda ham qavariq va ham botiq funksiyadir. Qavariq funksiyalar quyidagi xossalarga ega : 1. – f (M) funksiya V to`plamda botiq bo`lgandagina, f (M) funksiya V da qavariq funksiya bo`ladi. 2. f 1 (M) va f 2 (M) funksiyalar V to`plamda qavariq bo`lsa, ularning ixtiyoriy nomanfiy k 1 va k 2 koeffitsientli chiziqli k 1 f 1 (M) + k 2 f 2 (M) kombinatsiyasi V to`plamda qavariq bo`ladi. 3. f (M) funksiya V to`plamda qavariq bo`lib, {M є V | f (M) ≤ b} to`plam bo`sh bo`lmasa, bu yerda b ixtiyoriy son, u holda to`plamning o`zi ham qavariq to`plamdir. Botiq funksiyalar ham yuqoridagi xossalarga o`xshash xossalarga ega. 1.2- § . Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti 1. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti haqida tushuncha. Ajoyib limitlar. Yaqinlashuvchi funksiya xossalari y = f (M) = f (x 1 ; x 2 ; …; x n ) funksiya V  R n to`plamda aniqlangan bo`lib,M 0(x1 0;x2 0;...; xn 0) nuqta V to`plamning quyuqlanish nuqtasi bo`l - sin. Funksiya limitining bir-biriga o`zaro teng kuchli Geyne va Koshi tillaridagi ta`riflari mavjud. Ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti Geyne yoki nuqtalar ketma-ketligi tilida quyidagicha ta`riflanadi: Har bir hadi V to`plamga tegishli va M 0 quyuqlanish nuqtasidan farqli har qanday M 1 , M 2 , …, M k , … nuqtalar ketma-ketligi M 0 nuqtaga intilganda, mos funksiya qiymatlari f (M 1 ), f (M 2 ), …, f (M k ), … sonli ketma-ketligi b songa intilsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M 0 dagi limiti deyiladi va 12 b= lim M→M0 f(M )yoki b=lim¿x1→x1 0¿ x2→x2 0¿ ..............¿¿xn→xn 0 ¿¿¿f(M)¿ ko`rinishda yoziladi. Xususan, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: har qanday x 0 songa intiluvchi argument qiymatlari x 1 , x 2 , …, x k , … sonli ketma – ketligi uchun, bu yerda x k є V , x k ≠ x 0 ( k = 1, 2, 3, …), funksiya qiymatlari f (x 1 ), f (x 2 ), …, f (x k ), … sonli ketma – ketligi b songa intilsa, b soni f (x) funksiyaning x → x 0 dagi limiti deyiladi va b= lim x→x0 f(M ) ko`rinishda yoziladi. Funksiya limiti Koshi yoki ε – δ tilida quyidagicha ta`riflanadi: Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M 0 nuqtaning δ atrofi S δ ( M 0 ) ni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha M є S δ ( M 0 ) ∩ V , M ≠ M 0 nuqtalar uchun | f (M) - b| < ε tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M 0 dagi limiti deyiladi. Xususiy holda, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: Har qanday ε > 0 son uchun shunday bir δ > 0 son tanlash mumkin bo`lsaki, V to`plamga tegishli va 0 < |x - x 0 | < δ munosabatlarni qanoatlantiruvchi har bir x uchun | f (x) – b| < ε tengsizlik bajarilsa, b soni f (x) funksiyaning x → x 0 dagi limiti deyiladi (1- rasm). Yuqorida keltirilgan ta`riflardan birini qo`llab, masalan, 1) lim x→π 2 sin x= 1 , 2) lim ¿ ¿ x1→−1¿ x2→2¿¿¿ 1 x1 2 +x2 2=0,2 ¿ yoki 3) lim x→0 cos 1 x mavjud emasligini isbotlash mumkin. 13 3-rasm. Quyida sanab o`tiladigan va ajoyib limitlar nomini olgan limitlar ham ta`riflar asosida isbotlanadi. 1.lim x→0 sin x x = 1 (1 - ajoyib limit asosiy shakli). 2. lim x→0 tgx x = 1 . 3. lim x→0 arcsin x x = 1 . 4. lim x→0 arctgx x = 1 . 5. lim x→0 (1+x) 1 x= e . (2 - ajoyib limit asosiy shakli). 6. lim x→0 log a 1+ x x = log ae . 7. lim x→0 ln (x+1) x = 1 . 8. lim x→0 ax− 1 x = ln a . 9. lim x→0 ex− 1 x = 1 . Limitga ega funksiyalar o`zlarining quyidagi xossalari bilan xarakterlanadi: 1) y = f (M) funksiya M → M 0 da limitga ega bo`lsa, ushbu limit yagonadir; 2) y = f ( M) funksiya M → M 0 da chekli limitga ega bo`lsa, M 0 nuqtaning δ atrofi S δ ( M 0 ) mavjudki, S δ ( M 0 ) ∩ V to`plamda f (M) funksiya chegaralangan bo`ladi. 14y b 0 x 01 2 x(δ=min(δ 1 , δ 2 )) x 0 + 2x 0 - 1 1.3- § . Bir o`zgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va x → ∞ dagi limitlar. Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya biror V = (a; ∞) nurda aniqlangan bo`lsin (2-rasm). Har qanday ε > 0 son uchun shunday K > 0 sonni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha | x | > K munosabatni qanoatlanti-ruvchi x lar uchun | f (x) – b | < ε tengsizlik o`rinli bo`lsa, b soni f (x) funksiyaning x → ∞ dagi limiti deyiladi. 4 – rasm . y = f ( x ) funksiyaning x → - ∞ dagi limiti ham yuqoridagidek ta ` riflanadi . Masalan, 1) lim x→+∞ 3 1+( 1 5 ) x= 3 , chunki x → + ∞ da ( 1 5) x → 0; 2) lim x→−∞ 3 1+( 1 5) x= 0 , chunki x → - ∞ da ( 1 5) x → + ∞ ; 3) lim x→∞(1+ 1 x) x = e . Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya x < x 0 da aniqlangan bo`lib, x 0 nuqta aniqlanish sohasining quyuqlanish nuqtasi bo`lsin (3–rasm). Har qanday ε > 0 son uchun δ 1 > 0 sonni ko`rsatish mumkin bo`l-saki, x 0 – δ 1 < x < x 0 shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun | f (x) –b 1 | < ε tengsizlik 15К0a xy b bajarilsa, b 1 = f (x 0 –0) son f (x) funksiyaning x→x 0 da chapdan limiti deyiladi vaf(x0− 0)= lim f(x) x→x0−0 ko`rinishda yoziladi. y = f (x) funksiyaning x → x 0 da o`ngdan limiti ham shunga o`xshash aniqlanadi va f(x0+0)= lim f(x) x→x0+0 ko`rinishda yoziladi (5– rasm ). 5- rasm . Masalan , 1) lim x→−0 1 1+5 1 x = 1 ; 2) lim x→+0 1 1+5 1 x = 0 . y = f ( x ) funksiyaning x 0 nuqtada limiti , funksiya shu nuqtada chapdan va o ` ngdan limitlarga ega bo ` lib , f ( x 0 –0) = f ( x 0 +0) tenglik bajarilganda , mavjud bo ` ladi . 3. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar. Limitlar haqidagi asosiy teoremalar quyidagilardan iborat: 1. Agar y = f (M) = C (C – o`zgarmas) bo`lsa, u holda lim f(M ) M→M0 =C . 2. lim f(M ) M→M0 mavjud bo`lsa, u holda ixtiyoriy k son uchun 1602 1b 1b 2 x 0 - 1 x 0 xx 0 + 2y lim M→M0 [kf (M )]= klim f(M ) M→M0 3. Agar lim f(M ) M→M0 va lim g(M ) M→M0 mavjud bo`lsa, a ) lim [f(M )± g(M )] M→M0 ham mavjud bo`ladi va lim [f(M )± g(M )]= M→M0 lim f(M ) M→M0 ± lim g(M ) M→M0 . b) lim [f(M )⋅g(M )] M→M0 mavjud bo`ladi va lim [f(M )⋅g(M )]= M→M0 lim f(M ) M→M0 ⋅ lim g(M ) M→M0 c) lim g(M ) M→M0 ≠0 o`rinli bo`lganda, lim M→M0 f(M ) g(M ) ham mavjud bo`ladi va lim M→M0 f(M ) g(M ) = lim f (M ) M→M0 lim g (M ) M→M0 . d) M 0 nuqtaning biror atrofida f (M) ≤ g (M) munosabat bajarilsa, u holda lim f(M ) M→M0 ≤ lim g(M ) M→M0 tengsizlik ham o`rinli bo`ladi. Limitlar haqidagi teoremalar bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya li-mitlarini hisoblashda qo`llaniladi. Masalan, lim ¿x1→−1¿ x2→2¿ ¿ 1 x1 2 +x2 2= 1 lim ¿ x1→−1¿ x2→2¿ x1 2 +lim ¿x1→−1¿ x2→2¿ ¿x2 2 ¿¿= 1 (−1) 2 +2 2=0,2 ¿¿ . 17 Agar lim α(M ) M→M0 = 0 bo`lsa, α (M) funksiya M → M 0 da cheksiz kichik funksiya deyiladi. Xususan, agar lim α(x) x→x0 = 0 bo`lsa, bir o`zgaruvchili α (x) funksiya x → x 0 da cheksiz kichik deb ataladi. Masalan, α(x)= x+1 x2 funksiya x → -1 va x → ∞ larda cheksiz kichik funksiyadir. Cheksiz kichik funksiya o`zining quyidagi xossalariga ega: 1) M → M 0 da α (M) cheksiz kichik funksiya bo`lib, f (M) = b + α (M) bo`lganda, lim f(M ) M→M0 mavjud va aynan b ga tengdir; 2) chekli sondagi va har biri M → M 0 da cheksiz kichik funksiyalarning yig`indisi yoki ko`paytmasi cheksiz kichik funksiyalardir. 3) M → M 0 da cheksiz kichik funksiyaning, M 0 nuqtaning biror atrofida chegaralangan funksiyaga ko`paytmasi, cheksiz kichik funksiyadir. Agar lim γ(M ) M→M0 = ∞ (yoki - ∞) bo`lsa, γ (M) funksiya M → M 0 da cheksiz katta funksiya deyiladi. Xususan, agar lim γ(x) x→x0 = ∞ (yoki - ∞) bo`lsa, γ (x) funksiya x → x 0 da cheksiz katta bir o`zgaruvchili funksiya deb ataladi. Masalan, γ(x)= x+1 x2 funksiya x → 0 da cheksiz kattadir. 4. Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar. Funksiyalarni taqqos-lash. Bir o`zgaruvchili f (x) va g(x) funksiyalar berilgan bo`lib, x ≠ x 0 da f (x) ≠ 0, g(x) ≠ 0 va lim x→x0 f(x) g(x)= l mavjud bo`lsin. U holda, quyidagi h hollarning biri o`rinli bo`ladi: a) Agar l ≠ 0 va l ≠ ∞ bo`lsa, f (x) va g(x) funksiyalar x → x 0 da teng 18 tartibli funksiyalar deyilib, f (x) = 0 * (g(x)) ko`rinishda yoziladi; b) Agar l = 1 bo`lsa, f (x) va g(x) funksiyalar x → x 0 da ekvivalent yoki teng kuchli deyilib, f (x) g(x) yozuvda ifodalanadi; c) Agar l = 0 bo`lsa, f (x) funksiya x → x 0 da g(x) funksiyaga nisbatan yuqori tartibli kichik deyiladi va f (x) = o (g(x)) yozuvda yoziladi; d) Agarda l = ∞ bo`lsa, unda g(x) = o ( f (x)). Masalan: 1. x → 0 da tg(2x) = 0*(5x), chunki lim x→0 tg 2x 5x = 2 5 . 2. x → 0 da x 3 = o(x 2 ), chunki lim x→0 x3 x2= 0 . 3. x → ∞ da x 2 = o(x 3 ), chunki lim x→∞ x2 x3= 0 . 4. x → 0 da tg 2x sin 2x, chunki lim x→0 tg 2x sin 2x = 1 . Agar x → x 0 da α (x) funksiya cheksiz kichik bo`lsa, quyidagi teng kuchliliklar (ekvivalentliklar) o`rinli: 1. sin α (x) α (x); 2. tg α (x) α (x); 3. arcsin α (x) α (x). 4. arctg α (x) α (x); 5. log a [1 + α (x)] α (x) log a e. 6. ln [1 + α (x)] α (x); 7. 1 – cos α (x) α2(x) 2 . 8. a α (x) - 1 α (x) ln a; 9. e α (x) - 1 α (x). 10. [1 + α (x)] n - 1 n α (x); 11. n √1+α(x)− 1 α(x) n . Yuqorida keltirilgan ekvivalentliklardan funksiyalar limitini hisob-lashda foydalanish maqsadga muvofiq. Masalan, lim x→0 ln (1+ x3) (1− cos x)arctgx = lim x→0 x3 x2 2 x = 2 . 19 S S S S S S S S S S S S S S II BOB. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya hosilasi, differensiali va ekstremumlar 2.1- § . Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya uzluksizligi 1. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi y = f (M) = f (x 1 ; x 2 ; …; x n ) funksiya V  R n to`plamda aniqlangan bo`lib,M 0(x1 0; x2 0; ...; xn 0) nuqta V to`plamning quyuqlanish nuqtasi va M 0 є V bo`lsin. Funksiyaning nuqtada uzluksizligini, funksiya limitini ta`riflagan kabi, ikki teng kuchli ta`riflardan biri orqali aniqlash mumkin. Har bir hadi V to`plamga tegishli va uning M 0 quyuqlanish nuqtasiga yaqinlashuvchi har qanday M 1 , M 2 , …, M k , … nuqtalar ketma-ketligi uchun, mos funksiya qiymatlari f ( M 1 ), f ( M 2 ), …, f ( M k ), … sonli ketma-ketligi f (M 0 ) songa intilsa, u holda f (M) funksiya M 0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M 0 nuqtaning shunday bir δ atrofi S δ ( M 0 ) ni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha M є S δ ( M 0 ) ∩ V nuqtalar uchun | f (M) - f (M 0 ) | < ε tengsizlik bajarilsa, f (M) funksiya M 0 nuqtada uzluksiz deyiladi. y = f (M) funksiyaning M 0 nuqtada uzluksizligi lim f(M ) M→M0 ning mavjudligini va uning funksiyaning M 0 nuqtada erishadigan qiymati f (M 0 ) ga tengligini anglatadi, ya`ni lim f(M )= M→M0 f(M 0) . lim f(M )= M→M0 f(M 0) shart lim [f(M )− f(M 0)]=0 M→M0 shartga teng kuchli ekanligini e`tiborga olsak, argumentlar orttirmalari deb ataladigan x1− x1 0= Δx 1 , 20 x2− x2 0= Δx 2, …, xn− xn 0= Δx n almashtirishlar va ularga mos funksiyaning M 0 nuqtadagi orttirmasi deyiladigan f (M) - f (M 0 ) = Δ f (M 0 ) almashtirish kiritsak, shartlar limΔf(M0)¿Δx1→0 ¿ Δx2→0¿ ............¿¿Δxn→0¿¿¿=0¿ ko`rinishda yoziladi. Bu esa, funksiyaning nuqtada uzluksizligi, shu nuqtada barcha argumentlarning cheksiz kichik orttirmalariga funksiya-ning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishini anglatadi. Xususiy holda, yuqorida keltirilgan ta`riflarni bir o`zgaruvchili funksiya uchun bayon qilishda M ni x bilan almashtirish kifoya qiladi. Masalan: 1) y = cos x funksiya har bir x 0 є R 1 nuqtada uzluksiz, chunki lim Δf (x0)= Δx →0 lim (cos (x0+ Δx )− cos x0) Δx →0 = = − 2lim (sin Δx 2 sin (x0+ Δx 2 ))= 0 Δx →0 2) y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … +a n x n chiziqli funksiya har bir M ( x 1 ; x 2 ; …; x n ) є R n nuqtada uzluksiz va hokazo. 2. Uzluksiz funksiyalar xossalari. To`plamda uzluksizlik Nuqtada uzluksiz funksiyalar quyidagi xossalar bilan xarakterlаnadi : 1. f (M) va g(M) funksiyalar M 0 nuqtada uzluksiz bo ` lsa , u holda M 0 nuqtada quyidagi funksiyalar ham uzluksiz bo ` ladi : a) f (M) + g(M); b) k f ( M ) ( k – o`zgarmas); c) f (M) · g(M); d) f(M ) g(M ) (g(M 0 ) ≠ 0). 2. Agar f (M) funksiya V to`plamda aniqlangan bo`lib, M 0 є V nuqtada 21 uzluksiz va f (M 0 ) > 0 ( f (M 0 ) < 0) bo`lsa, u holda M 0 nuqtaning shunday bir δ atrofi S δ ( M 0 ) mavjudki, barcha M є S δ ( M 0 ) ∩ V nuqtalar uchun f (M) > 0 ( f (M) < 0) tengsizlik o`rinli bo`ladi. To`plamning har bir nuqtasida uzluksiz funksiyaga to`plamda uzluksiz funksiya deyiladi. To`plamda uzluksiz funksiyalar esa quyidagi xossalarga ega: 1. Agar f (M) funksiya ixcham (chegaralangan va yopiq) V to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda f (M) funksiya V to`plamda chegaralangandir. 2. Agar f (M) funksiya ixcham V to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda f (M) funksiya V to`plamda o`zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Bir o`zgaruvchili funksiya uchun yuqorida qayd qilingan xossalardan tashqari, qo`shimcha quyidagi xossa o`rinli: 3. Agar f (x) funksiya [ a ; b ] kesmada uzluksiz va kesmaning chetki nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga erishsa ( f (a) · f ( b ) < 0), u holda (a; b ) intervalga tegishli kamida bitta c nuqta topiladiki, f (c) = 0 tenglik bajariladi (6- rasm). 6-rasm. 3. Bir tomonlama uzluksizlik. Bir o`zgaruvchili funksiyaning uzilish nuqtalari. Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya argumentning x ≤ x 0 (x ≥ x 0 ) qiymatlarida aniqlangan bo`lsin. 220a c b f  (a)f  (b) y x Agar lim f(x) x→x0−0 = f(x0) ( lim f(x) x→ x0+¿0 = f(x0) ¿ ) munosabat bajarilsa, f (x) funksiya x 0 nuqtada chapdan (o`ngdan) uzluksiz deyiladi. Masalan, f(x)=¿[2 1 x, x <0, [0, x =0, [ funksiya 0 nuqtada chapdan uzluksiz, chunki, lim f(x) x→−0 = lim 2 1 x x→−0 = 0= f(0) . y = f (x) funksiya [ a ; b ] kesmaning har bir ichki nuqtasida uzluksiz bo`lib, a nuqtada o`ngdan va b nuqtada chapdan uzluksiz bo`lgandagina [ a ; b ] kesmada uzluksiz bo`ladi. Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya x 0 nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo`lsin. Funksiyaning x 0 nuqtaning o`zida aniqlangan bo`li - shi shart emas. Agar f (x) funksiya x 0 nuqtada uzluksiz bo`lmasa, funksiya x 0 nuqtada uzilgan yoki x 0 nuqta uning uzilish nuqtasi deyiladi. y = f (x) funksiyaning x 0 nuqtada chapdan va o`ngdan limitlari mavjud bo`lib, o`zaro teng bo`lmasa, ya`ni lim f(x) x→x0−0 = f(x0− 0)≠ f(x0+0)= lim f(x) x→x0+¿0 ¿ u holda x 0 nuqta funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi. Masalan, f(x)= 1 1+2 1 x funksiya x 0 = 0 nuqtada birinchi tur uzilishga ega, chunki lim f(x) x→−0 = 1≠ 0=lim f(x) x→+¿0 ¿ (7 – rasm). Agar x 0 nuqtada funksiyaning chapdan va o`ngdan limitlari f (x 0 – 0) va f (x 0 + 0) lar o`zaro teng bo`lib, funksiyaning x 0 nuqtada erisha - digan qiymati f (x 0 ) dan farq qilsa, unda x 0 nuqta uzliksizlikni tiklash mumkin bo`lgan uzilish nuqtasi deb ataladi (3 – rasm). y = f (x) funksiyaning x 0 nuqtada chapdan yoki o`ngdan limitlarining biri 23 mavjud bo`lmasa (xususan, cheksiz bo`lsa), u holda x 0 nuqta funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi. 7-rasm. 8-rasm. Masalan, f(x)= 2 1 x funksiya x 0 = 0 da ikkinchi tur uzilishga ega, chunki f (+0) =∞. Bir necha o`zgaruvchili funksiyalar uzilish nuqtalaridan tashqari, uzilish chiziqlari, sirtlari va hokazolarga ega bo`lishlari mumkin. 2.2- § . Bir o`zgaruvchili funksiya hosilasi va differensiali 1. Hosila haqida tushuncha. Funksiya differensiali Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya x nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo`lsin. f (x) funksiyaning x nuqtadagi birinchi tartibli hosilasi deb, shu nuqtada funksiya orttirmasi Δ y = Δ f (x) ning argument orttirmasi Δ x ga nisbatining, Δ x nolga intilgandagi chekli limitiga aytiladi va f  (x), y  , y x , df (x) dx , dy dx ifodalarning biri orqali yoziladi. Ta`rifga ko`ra, f'(x)= lim Δx→0 Δy Δx = lim Δx →0 f(x+ Δx )− f(x) Δx . 240 xy x 00 xy f  (x 0 ) b Agar f (x) funksiya x nuqtada uzluksiz bo`lib, lim Δx →0 Δy Δx = ∞ (yoki - ∞) bo`lsa, u holda f (x) funksiya x nuqtada cheksiz hosila ga ega de-yiladi va f  (x) = ∞ (yoki - ∞) shaklda yoziladi. Chekli yoki cheksizligidan qat`i nazar, f'−(x)= lim Δx→−0 f(x+Δx )− f(x) Δx va f'+(x)= lim Δx→+0 f(x+Δx )− f(x) Δx limitlarga, mos ravishda, f (x) funksiyaning x nuqtada chapdan va o`ngdan hosilalari deyiladi. f (x) funksiyaning x nuqtada bir tomonlama, chapdan f'−(x) va o`ngdan f'+(x) hosilalari mavjud bo`lib, o`zaro teng bo`lgandagina, funksiya x nuqtada hosilaga ega bo`ladi va f'(x)= f'−(x)= f'+(x) . Berilgan f (x) funksiyaning hosilasi f'(x) ni topish amaliga funk - siyani differensiallash deb ataladi. Masalan: 1) y = x 3 funksiya har qanday haqiqiy x da chekli hosilaga ega, chunki y'(x)= lim Δx →0 (x+Δx )3− x3 Δx = lim Δx →0 3x2Δx +3x(Δx )2+(Δx )3 Δx = lim Δx →0 [3x2+3xΔx +(Δx )2]= 3x2 . Shunday qilib, (x 3 )  = 3x 2 (x є R ). 2) y= 3√x funksiya x = 0 nuqtada cheksiz hosilaga ega: y'(0)= lim Δx →0 3√0+Δx − 0 Δx = lim Δx →0 1 3 √(Δx )2=+ ∞ . 3) y = | x | funksiya esa x = 0 nuqtada har ikki bir tomonlama hosilalari y'+(0)= lim Δx →+0 eΔx − 1 Δx = 1 ; y'−(0)= lim Δx →−0 e−Δx− 1 Δx = − 1 mavjud bo`lishiga qaramasdan, hosilaga ega emas, chunki y'+(0) ≠ y'−(0) . 25 Erkli o`zgaruvchi yoki argument x ning differensiali deb, uning orttirmasi Δ x ga aytiladi va dx orqali belgilanadi, ya`ni dx = Δ x. Agar y = f (x) funksiyaning x nuqtadagi Δ y = f (x + Δ x) - f (x) orttirmasi, Δ y = A(x)dx + α (dx) ko`rinishda tasvirlansa, bu yerda A(x) – o`zgaruvchi, dx → 0 da α (dx) = 0(dx), u holda f (x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi deyiladi. Masalan, y = x 3 funksiya ixtiyoriy x nuqtada differensiallanuvchi, chunki Δ y = (x + Δ x) 3 - x 3 = 3x 2 dx + 3x( Δ x) 2 + ( Δ x) 3 = 3x 2 Δ x + α (dx). y = f (x) funksiyaning x nuqtadagi birinchi tartibli differensiali deb, shu nuqtada funksiya orttirmasi Δ y ning dx ga nisbatan bosh chiziqli qismi A(x)dx ga aytiladi va dy yoki d f (x) yozuv bilan belgilanadi. Ta`rifga binoan, dy = A(x)dx va Δ y = dy + α (dx). Agar f (x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda funksiya shu nuqtada uzluksizdir. Funksiyaning nuqtada uzluksizligi uning differensiallanuvchanligining zaruriy sharti hisoblanadi, ammo yetarli emas. Masalan, yuqoridagi misolimizda, y = | x | funksiya x = 0 nuqtada uzluksiz bo`lgani bilan differensiallanuvchi emas. y = f (x) funksiyaning x nuqtada chekli f  (x) hosilasining mavjudligi, f (x) funksiya shu nuqtada differensiallanuvchanligining yetarli shartidir. Ushbu holda, A(x) = f  (x) va dy = f  (x)dx tengliklar o`rinli. Masalan, y = x 3 funksiyaning ixtiyoriy x є R nuqtadagi differensiali dy =(x 3 )  dx = 3x 2 dx. Agar Δ y = dy + 0( Δ x) tenglikda Δ x yetarlicha kichik bo`lsa, taq - ribiy hisoblarda qo`llaniladigan Δ y ≈ dy yoki f (x + Δ x) ≈ f (x) + f  (x)dx formulalarni olamiz. Masalan, taqribiy hisoblash formulasini qo`llab, 3√124 ni hisoblash talab etilsin. y= 3√x funksiya uchun taqribiy hisoblash formulasi 3√ x+ Δx ≈ 3√ x+ 1 3 3 √ x2Δx ko`rinishda yoziladi. Natijada, 26 3√124 = 3√125 − 1≈ 3√125 + 1 3 3 √125 2(− 1)= 5− 1 75 = 474 75. Agar f (x) funksiya biror-bir ( a ; b ) oraliqning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo`lsa, shu oraliqda differensiallanuvchi funksiya deyiladi. Bundan tashqari, agarda f  (x) ushbu oraliqda uzluksiz bo`lsa, u holda funksiya oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi deb yuritiladi. 2. Hosila va differensialning geometrik va fizik ma`nolari. y = f (x) funksiya x 0 nuqtaning biror atrofida aniqlangan va shu atrofda grafigi chizilgan bo`lsin. y = f (x) funksiya grafigining M 0 (x 0 ; f (x 0 ) ) nuqtasiga o`tkazilgan urinma deb, M 0 M 1 kesuvchining M 1 (x 0 + Δ x; f (x 0 + Δ x) ) nuqta grafik bo`ylab M 0 (x 0 ; f (x 0 ) ) nuqtaga ixtiyoriy ravishda intilgandagi limit holatiga aytiladi (rasmga qarang). M 0 M 1 kesuvchining burchak koeffitsienti tg ϕ= Δy Δx ga teng bo`lib, uning Δ x nolga intilgandagi limiti, bir tomondan urinma burchak koeffitsienti k = tg α ga teng bo`lsa, ikkinchi tomondan hosila ta`rifiga ko`ra, y = f (x) funksiyaning x 0 nuqtadagi birinchi tartibli hosilasi f  (x 0 ) ga teng: k= tg α= lim Δx →0 Δy Δx = f'(x0) . 27 0 M 0 x 0 xy M 1 y dy f (x 0 )f (x 0 +x) x 0 +xx (9-rasm) Bundan esa, birinchi tartibli hosilaning geometrik ma`nosi kelib chi - qadi. y = f (x) funksiyaning x 0 nuqtadagi f  (x 0 ) hosilasi, funksiya grafigining x 0 abssissali nuqtasiga o`tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientiga teng: f  ( x 0 ) = k . Hosilaning geometrik ma`nosidan foydalanib, y = f (x) funksiya grafigining M 0 (x 0 ; f (x 0 ) ) nuqtasiga o`tkazilgan urinma va normal teng - lamalari , mos ravishda, quyidagicha yozilishi mumkin: y – f (x 0 ) = f  (x 0 )(x - x 0 ) va y - f (x 0 ) = - 1 f'(x0) (x – x 0 ). Masalan, y= 3√x funksiya grafigining x 0 = 1 abssissali nuqtasiga o`tkazilgan urinma tenglamasi: y− 3√1= 1 3 3 √12(x− 1) yoki y− 1= 1 3 (x− 1) y = f (x) funksiyaning x 0 nuqtadagi birinchi tartibli differensiali du esa, kattalik jihatdan, funksiya grafigining M 0 (x 0 ; f (x 0 ) ) nuqtasiga o`t - kazilgan urinmasining x 0 nuqta x 0 + Δ x nuqtaga o`tganda mos ordinata orttirmasiga teng Rasmdan, agarda Δ x yetarlicha kichik bo`lganda, taq - ribiy tenglik Δ y ≈ dy ning o`rinli ekanligini uqish qiyin emas. y = f (x) funksiya x nuqtada chekli f  (x) hosilaga ega bo`lsa, uni shu nuqtada erksiz o`zgaruvchi y ning erkli o`zgaruvchi x ga nisbatan o`zgarish tezligi sifatida talqin qilish mumkin. Funksiya orttirmasini uning differensiali bilan almashtirilishi esa, erksiz o`zgaruvchining o`zga - rishini argumentning kichik o`zgarishiga nisbatan chiziqli jarayon sifati - da hisoblash imkonini beradi. Masalan, moddiy nuqtaning to`g`ri chiziq bo`ylab harakat qonuni S = S ( t ) funksiya bilan berilgan bo`lsin. U holda, ixtiyoriy t vaqt onidagi v oniy tezlik kattaligi harakat qonuni - dan vaqt bo`yicha olingan birinchi tartibli hosila qiymatiga teng: v( t ) = S  ( t ). dS = v ( t ) · dt differensial esa, moddiy nuqta t va t + dt vaqt onlari 28 oralig`ida t momentdagi oniy v tezligi bilan tekis harakat qilganda bosib o`tishi Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumlar mumkin bo`lgan masofani aniqlaydi. 2.3- § . Ikki o’zgaruvchili funksiya ekstremumi Funksiya ekstremumi tushunchalari funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqtaning atrofi shu to‘plamga tegishli bo‘lsin: . Endi berilgan funksiyaning nuqtadagi qiymati ni (bu tayin son) funksiyaning nuqta atrofidagi nuqtalardagi qiymatlari (bular sonlar bo‘ladi) bilan solishtiramiz. Agar ixtiyoriy uchun bo‘lsa, funksiya nuqtada maksimumga ega bo‘ladi deyiladi. Bunda maksimum qiymat beradigan nuqta, songa esa funksiyaning maksimum qiymati deyiladi va kabi belgilanadi. Agar ixtiyoriy uchun bo‘lsa, funksiya nuqtada minimumga ega bo‘ladi deyiladi. Bunda minimum qiymat beradigan nuqta, songa esa funksiyaning minimum qiymati deyiladi va kabi belgilanadi. 29 Funksiyaning maksimumi hamda minimumi umumiy nom bilan uning ekstremumi deyiladi. Ma ’ lumki, ushbu ayirma funksiyaning to‘la orttirmasi deyiladi. Demak, nuqtaning atrofidagi nuqtalar uchun bo‘lsa, funksiya nuqtada maksimumga, bo‘lsa, funksiya nuqtada minimumga erishadi. Funksiya ekstremumga erishishining zaruriy sharti funksiyani nuqtaning atrofida qaraymiz. 1-teorema. Agar funksiya nuqtada ekstremumga erishishsa va shu nuqtada xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Aytaylik, funksiya nuqtada minimumga erishishsin. U holda nuqtaning atrofidagi nuqtalarda tengsizlik bajariladi. Jumladan bo‘ladi. Ravshanki, funksiya bitta o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘ladi. Keyingi tengsizlik esa bu funksiyaning nuqtada minimumga erishishini 30 bildiradi. Teoremaning shartiga ko‘ra u nuqtada hosilaga ham ega. Unda bir o‘zgaruvchili funksiya ekstremumga erishishining zaruriy shartiga ko‘ra bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshash bo‘lishi isbotlanadi. Eslatma. Agar funksiya biror nuqtada xususiy hosilalarga ega bo‘lib, shu nuqtada bo‘lishidan berilgan funksiyaning shu nuqtada ekstremumga erishishi har doim kelib chiqavermaydi. Masalan, funksiya uchun bo‘lib, nuqtada , bo‘ladi. Biroq bu funksiya nuqtada ekstremumga erishishmaydi. Teorema funksiya ekstremumga erishishining zaruriy shartini ifodalaydi. 2.4- § . Funksiya ekstremumga erishishining yetarli sharti funksiya nuqtaning atrofida berilgan bo‘lib, u quyidagi shartlarni bajarsin: 1) funksiya da uzluksiz va uzluksiz , , , , xususiy hosilalarga ega; 2) nuqtada , xususiy hosilalar nolga teng: Endi funksiyaning ikkinchi tartibli hosilalarining nuqtadagi qiymatlarini quyidagicha 31 belgilab, ushbu ayirmani hosil qilamiz. Agar 1) bo‘lib, bo‘lsa, funksiya nuqtada minimumga erishadi; 2) bo‘lib, bo‘lsa, funksiya nuqtada maksimumga erishadi; 3) bo‘lsa, funksiyaning nuqtada ekstremumi mavjud bo‘lmaydi; 4) bo‘lsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishishi ham mumkin, ekstremumga erishishmasligi ham mumkin. Misol. Ushbu funksiya ekstremumga tekshirilsin. Avvalo berilgan funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz: Bu hosilalarni nolga tenglab quyidagi sistemani yechamiz: Demak, nuqtada berilgan funksiyaning xususiy hosilalari nolga teng bo‘ladi: Endi berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilalarini hisoblab, larni topamiz: 32 Demak, bo‘lib, bo‘ladi. va bo‘lgani uchun berilgan funksiya nuqtada minimumga erishadi. 33 XULOSA Men ushbu kurs ishimda ko’p o’zgaruchili funksiyalarni , ularning limiti, ko’p o’zgaruvchili funksiyalar va ularning uzluksizligi haqida fikr yuritdim. Sifatli ta‘lim olish uchun ta‘lim vositalarining ahamiyati katta.Xalqimizda ajoyib naql bor ―Ish quroling soz bo‘lsa, mashaqqating oz bo‘lur. Rivojlanib borayotgan texnikalashuv sharoitida, albatta ta‘lim vositalari ham yangilashib borishi tabiiy. Kurs ishida nomlari keltirilgan zamonaviy ta‘lim vositalaridan kelajakda akadamik litsey maktab va oily o‘quv yurtlarida foydalanilsa maqsadga muvofiq bo‘ladi va yaxshi natijalarga erishish mumkin. Ta‘lim maqsadlari, uning mazmuni, o’qitish va ta‘lim berish usullari, nazorat va natijalarni baholashni o’zaro bog’liklikda loyihalash ko’pincha an‘anaviy o’quv jarayonida yetishmaydigan narsadir. Jahon pedagogika fani ilmiy – texnika taraqqiyoti ta‘sirini boshdan kechirib, psixologiya, kibernetika, tizimlar nazariyasi, boshqaruv nazariyasi va boshqa fanlar yutuqlarini birlashtirib, hozirgi davrda faol yangilanish (innovatsiya) jarayonlari bosqichidaturar ekan, inson imkoniyatlarini samarali rivojlantirish amaliyotiga boy mahsul bermoqda. Pedagogik texnologiya usullari dastlab o’qitishning harakatini namunaviy vaziyatdagi belgilangan qoida bo’yicha o’zlashtirish talab etiladigan mahsuldor darajasi uchun ishlab chiqilgan. Mahsuldor ta‘lim har qanday ta‘limning zaruriy tarkibiy qismi hisoblanib, u insoniyat jamg’argan tajribani aniq o’quv fani doirasida o’zlashtirish bilan bog’liq. 1997-yilda qabul qilingan O‘zbekiston Respublikasining―Ta‘lim to‘g‘risidagi qonuni va ― Kadrlar tayyorlash milliy dasturi milliy ta‘lim taraqqiyoti va milliy kadrlar tayyorlash tizimi istiqbollarini belgilovchi xujjat sifatida bu sohadagi ishlarni rivojlantirishda yana bir tarixiy davr boshlanishiga zamin yaratdi. Kadrlar tayyorlash Milliy dasturi asosiy vazifalaridan biri bu ta‘lim jarayonidagi sifat ko‘rsatkichlarini yaxshilash, ya‘ni jahon andozalariga mos, raqobatbardosh, yuqori saviyaga ega bo‘lgan mutaxassislar tayyorlashdir.Ushbu murakkab muammolarni yechimini topib, ularni amalda keng qo‘llash oliy ta‘lim tizimi xodimlari oldiga juda katta vazifalar belgilaydi. 34 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI 1. Toshmetov O ., Turgunbayev R., Saydamatov E., Madirimov M. Matematikʻ analiz I-qism. T.: “Extremum-Press”, 2015. -408 b. 2. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar. I T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 374 b. 3. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar. II T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 352 b. 4. Turgunbayev R.M. Matematik analiz I-qism. T.: “Innovatsiya-ziyo”.2019-340 b. 5. Turgunbayev R., Qodirov K., Bakirov T. Matematik analiz (Qatorlar nazariyasi) .T.: “Innovatsiya-ziyo”.201 9-156 b. 6. Turgunbayev R., Qodirov K., Bakirov T. Matematik analiz (Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning differensial va integral hisobi) . 2020. Farg ona. “Poligraf Super ʻ Servis . 7. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O zbekiston». 1 t: 1994 y.- ʻ 416 b. 8. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O zbekiston». 2 t . 1995 ʻ y.- 436 b. 9. Gaziyev A., Israilov I., Yaxshiba y ev M. “Matematik analizdan misol va masalalar” T.: “Yangi asr avlodi” 2006 y. 10. Toshmetov O , Turgunbayev R. Matematik analizdan misol va masalalar ʻ to plami. 1-q. TDPU ʻ . 2006 y.-140 b. 11. Toshmetov O , Turgunbayev R. ʻ Matematik analizdan misol va masalalar t o ʻ plami , 2- q. TDPU. 2010 y.-48 b. 12. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz. Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. I semestr. T.: TDPU. 2013 y. – 56 ʻ b. 13. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz. Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. III semestr. T.: TDPU. 2013 y. ʻ 35 14. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков Д.И. Лекции по математическому анализу. М. : «Высшая школа». 1999 г. – 695 стр. 15. Демидович Б.П.., «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» Учеб. Пособие для вузов . М.: ООО «Издательство Астрель» ООО «Издательство АСТ», 2003 г – 558 [2] ст. 16. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 1 том. C Пб.: «Мифрил». 1996 г. – 416 стр. 36

Bir necha o`zgaruvchili funksiya ektstremumlari

Kirish……………………………………………………………………...........................................

I BOB.  Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya   ……………………………….
1.1-§.Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya haqida tushuncha.Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to`plami………………………………………….

1.2-§. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti.....................................................

1.3-§ Bir o`zgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va x → ∞ dagi limitlar..

II BOB.   Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya hosilasi, differensiali va ekstremumlar............................................................................................

2.1-§.  Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya uzluksizligi…………………………..

2.2-§. Bir o`zgaruvchili funksiya hosilasi va differensiali.....................................
2.3-§. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumlar…………………………..
2.4-§. Funksiya ekstremumga erishishining yetarli sharti……………………….

 

Xulosa ....................................................................................................

Ilova........................................................................................................

Foydalanilgan   adabiyotlar ro’yxati..................................................

Купить