Войти
Регистрация
Docx
Рефераты
Дипломные работы
Прочее
Презентации
Рефераты
Курсовые работы
Дипломные работы
Диссертациии
Образовательные программы
Инфографика
Книги
Тесты
Информация о документе
Цена
10000UZS
Размер
509.4KB
Покупки
1
Дата загрузки
23 Февраль 2025
Расширение
docx
Раздел
Курсовые работы
Предмет
Алгебра
Продавец
Madinabonu
Дата регистрации 27 Апрель 2024
14 Продаж
Bir tomonli limitlar. Ikkinchi ajoyib limit.
Купить
40-bet
Купить
Похожие документы
To‘plamlar va ular ustida amallar, to‘plamda akslantirishlar 25
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari
Aniq integral va uning xossalari
Arifmetik va geometrik progressiyaning o‘qitish metodikasi
Gipergeometrik funksiya
Подтвердить покупку
Да
Нет
![Yuqoridagi ta’riflardan kelib chiqadiki, {хn} ketma-ketlik yuqoridan
chegaralangan bo’lsa, uning hamma elementlari
(−∞ , М ] oraliqqa tegishli, {хn}
ketma-ketlik quyidan chegaralangan bo’lsa, uning hamma elementlari
[m ,+∞ )
oraliqqa tegishli, yuqoridan va quyidan chegaralangan bo’lsa,
[m ,M ] oraliqqa
tegishli bo’ladi.
Misollar:
1) 1, 2, 3, ...,
n , ... sonlar ketma-ketligi quyidan chegaralangan, lekin yuqoridan
chegaralangan;
2) -1, -2, -3, ..., -
n , ... sonlar ketma-ketligi yuqoridan chegaralangan;
3) 1,
1
2
,1
3
,...,1
п
,... sonlar ketma-ketligi chegaralangan, chunki uning hamma
elementlari uchun
0≤ xn≤ 1 tengsizlik bajariladi, bunda m = 0 M = 1 bo’ladi;
4) -1, 2, -3, 4, -5, ...,
−(− 1)nn ,... sonlar ketma-ketligi chegaralanmagan, chunki
qanday A son olmaylikki, bu ketma-ketlik ichida
|xn|> A tengsizlikni
qanoatlantiruvchi elementlari mavjud bo’ladi.
1.2 Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketliklar hamda ularning xossalari .
1-ta’rif.
{хn} sonlar ketma-ketligi istalgan А son uchun, shunday N raqam
mavjud bo’lib, hamma
n> N lar uchun |xn|> A tengsizlik bajarilsa, {хn} sonlar
ketma-ketligi cheksiz katta ketma-ketlik deyiladi.
{хn}
cheksiz katta ketma-ketlik chegaralanmagan bo’ladi.
2-ta’rif. Istalgan
ε> 0 son uchun shunday N raqam mavjud bo’lib,
9](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_9.png?v=1)
![n> N lar uchun |xn|<ε tengsizlik bajarilsa {хn} ketma-ketlik cheksiz kichik
sonlar ketma-ketligi deyiladi. 2
Misollar:
1) natural sonlar ketma-ketligi
{n} cheksiz katta ketma-ketlikdir;
2)
{
1
n} sonlar ketma -ketligi cheksiz kichikdir, haqiqatan ham, istalgan ε> 0 son
olsak,
|xn|= |1
n
|<ε dan n> 1
ε bo’lib, N uchun
N = [
1
ε] (
1
ε butun qismi) olib,
hamma
n> N lar uchun
1
n
= |xn|< ε tengsizlik bajariladi. 2-ta’rifga asosan {
1
n}
ketma-ketlik cheksiz kichik bo’ladi. CHeksiz kichik va cheksiz katta ketma-
ketliklar orasida ushbu bog’liqlik bor.
1-teorema.
{хn} cheksiz katta ketma-ketlik va uning hamma elementlari 0 dan
farqli bo’lsa,
{
1
xn} ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik va aksincha {αn}
cheksiz kichik ketma-ketlik va
αn≠ 0 bo’lsa, {
1
αn} ketma-ketlik cheksiz katta
ketma-ketlik bo’ladi.
Isbot.
{хn} cheksiz katta ketma-ketlik bo’lsin. Istalgan ε> 0 son olib,
A= 1
ε
deylik. 1-ta’rifdan shu A son uchun shunday N raqam mavjudki, n> N
lar uchun
|xn|> A bo’ladi. Bundan hamma n> N uchun
|
1
xn
|<
1
A
= ε kelib
2
Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989.
10](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_10.png?v=1)
![lim
n→∞
xn= a ёки n → ∞ да xn→ a
simvollar bilan belgilanadi. Chekli limitga ega sonli sonli ketma-ketlikka,
yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.
Limitning ta’rifiga misol qaraymiz.
Limitning ta’rifidan foydalanib,
lim
n→∞
n
n+1
= 1
ekanligini ko’rsatamiz. Istalgan
ε> 0 son olamiz.
|xn− 1|=| n
n+1
− 1|= |n− n− 1
n+1
|= 1
n+1
bo’lganligi uchun,
|xn− 1|<ε tengsizlikni qanoatlantiruvchi n larning qiymatini
topish,
1
n+1
< ε tengsizlik bilan bog’liq va 1<ε(n+1) ёки n> 1− ε
ε bo’ladi.
Shuning uchun
N sifatida
1− ε
ε sonning butun qismini olish mumkin, ya’ni
N = [
1− ε
ε ]
b њ ladi. Bu holda |xn− 1|<ε tengsizlik hamma n> N lar uchun
bajariladi. Masalan,
ε= 0,1 bo’lsin, bu holda
N = [
1− 0,1
0,1 ]= [
0,9
0,1 ]= 9. n= 10 > N = 9
bo’lsin. Bunda
x10= 10
10 +1
= 10
11
bo’lib,
13](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_13.png?v=1)
![lim
x→a[f1(x)± f2(x)]= lim
x→a
f1(x)± lim
x→a
f2(x)(5)
2) chekli sondagi funksiyalar ko’paytmasining limiti funksiyalar
limitlarining ko’paytmasiga teng, ya’ni
lim
x→a[f1(x)⋅f2(x)]= lim
x→a
f1(x)⋅lim
x→a
f2(x) (6)
Natija: O’zgarmas ko’paytuvchini limit belgisidan tashqariga chiqarish
mumkin, ya’ni,
lim
x→a[cf 1(x)]= clim
x→a
f1(x) (7)
3) Ikkita funksiya nisbatining limiti, maxrajning limiti n њ ldan farqli
bo’lsa, bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni
lim
x→a
f2(x)≠ 0
bo’lsa,
lim
x→a
f1(x)
f2(x) =
lim
x→a
f1(x)
lim
x→a
f2(x) (8)
bo’ladi.
Limitlarni hisoblashda quyidagi limitlardan foydalaniladi:
lim
x→a
sin x
x
= 1 ; (9)
lim
x→∞(1+ 1
x)
x
= lim
x→0
(1+α)1/α= e , e= 2 ,71828 ...
(10)
Bu limitlarga mos ravishda birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar deyiladi.
20](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_20.png?v=1)
![2.2 Aniqmasliklar va ularni ochish
1.Aniqmasliklar. lim
x→a
f(x)
ϕ(x) limitni hisoblashda f(x), ϕ(x)
funksiyalar ch.kich.f. lar bo’lsa,
f(x)/ϕ(x) nisbatga x→ a da (0/0)
ko’rinishdagi aniqmaslik deyiladi .
f(x), ϕ(x) funksiya lar ch.kat.f. lar bo’lsa,
f(x)/ϕ(x)
nisbatga x→ a da (∞ /∞ ) ko’rinishidagi aniqmaslik deyiladi .
Xuddi shunga o’xshash
∞ − ∞ , 0⋅∞ , 00, ∞ 0 aniqmasliklar
lim
x→a
[f1(x)− ϕ(x)], lim
x→a
[f(x)⋅ϕ(x)] ва lim
x→a
[f(x)]
ϕ(x)
limitlarni hisoblashda kelib chiqadi. Bunday hollarda limitlarni hisoblashga
aniqmasliklarni ochish deyiladi .
(0/0)
va ( ∞ /∞ ) ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishda quyidagi xossadan
foydalaniladi:
f(x) va ϕ(x) funksiyalar x= a nuqtaning biror atrofidagi hamma
nuqtalarda o’zaro teng bo’lsa, ularning
x→ a dagi limiti ham teng bo’ladi.
Masalan,
f(x)= x2− 9
2(x− 3) va ϕ(x)= x+3
2 funksiyalar x ning
x= 3
dan boshqa hamma qiymatlari uchun teng, chunki
x2− 9
2(x− 3)
=
(x− 3)(x+3)
2(x− 3)
= x+3
2
Yuqoridagi xossaga asosan,
lim
x→a
f(x)= lim
x→a
ϕ(x)
bo’ladi, ya’ni
21](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_21.png?v=1)
![lim
t→1
[lg (t+√ t2+80 )+√t2+8]= lg (1+√ t2+80 )+ √1+8= lg 10 + 3= 1+3= 4.
5-misol.
lim
x→1
3x2− x− 2
4 x2− 5x+2 limitni hisoblang.
Yechish.
x=1 da surat ham, maxraj ham nolga aylanib (0/0) ko’rinish-
dagi aniqmaslik hosil bo’ladi.
Surat va maxrajni
ax 2+bx +c= a(x− x1)(x− x2) formula yordamida
chiziqli ko’paytuvchilarga ajratamiz. Bunda
x1 va x2 lar ax 2+ba + c= 0
kvadrat tenglamaning ildizlari. Demak,
lim
x→1
3x2− x− 2
4x2− 5x+1
= lim
x→1
3(x− 1)(x+2/3)
4(x− 1)(x− 1/4)
=
¿ lim
x→1
3(x+2/3)
4(x− 1/4)
=
3(1+2/3)
4(1− 1/4)
= 5/3
b њ ladi.
6-misol.
lim
x→1
6 x2+5 x+ 4
3 x2+7 x− 2 limitni hisoblang.
Yechish.
x→ ∞ da ) / ( ko’rinishdagi aniqmas ifodaga ega bo’lamiz.
Bunday aniqmaslikni ochish uchun kasrning surat va maxrajini
x ning eng yuqori
darajalisiga, ya’ni ga bo’lamiz, hamda limitlarning xossalaridan foydalansak
lim
x←∞
6 x2+5 x+ 4
3 x2+7 x− 2
= lim
x→∞
6+ 5/x+4/x2
3+ 7/x− 2/x2 =
¿
¿ lim
x→∞
(6+ 5/x+ 4/x2)
lim
x→∞
(3+7/x− 2/x2)
= 6+ 0+0
3+ 0+0 = 2
¿
25](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_25.png?v=1)
![9-misol. lim
x→0
sin 5x
x limitni birinchi ajoyib limitdan
foydalanib hisoblang. 6
Yechish.
5x= α , deb almashtirsak, bundan x= α/5 , x→ 0 α → 0
bo’ladi.
SHuning uchun,
lim
x→0
sin 5 x
x
= lim
α→0
sin α
α/5
= 5lim
α→0
sin α
α
= 5⋅1= 5
,
chunki
lim
α→0
sin α
α
= 1 .
10-misol.
lim
x→∞
(1+3/x)x limitni ikkinchi ajoyib limitdan foydalanib
hisoblang.
Yechish.
x→ ∞ da limitga o’tsak, 1∞ ko’rinishdagi aniqmaslik kelib
chiqadi.
3/x= α bilan almashtirsak, bu yerdan x= 3/α hamda x→ ∞ da
α → 0
bo’ladi..Demak,
lim
x→∞
(1+3/x)x= lim
α→0
(1+α )3/α= [lim
α→0
(1+ α )1/α
]
3
= e3
kelib chiqadi.
SHundayqilib,
lim
x→∞
(1+3/x)x= e3 .
11-misol.
lim
x→1
( 1
x− 1
− 2
x2− 1
) limitni hisoblang.
6
Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989.
27](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_27.png?v=1)
![3) f ( x
0 -0), f ( x
0 +0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda
x
0 nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;
4) f ( x
0 -0)= f ( x
0 +0) ¹ f ( x
0 ) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan
uzilish deyiladi.
Misol . Ushbu f ( x )=[ x ] funksiyaning x
0 =2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega
ekanligini ko`rsating.
Yechish . Demak, [ x ]=1, =2
Bundan esa berilgan funksiyaning x
0 =2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega
ekanligi kelib chiqadi.
36](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_36.png?v=1)
![12. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz.
Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. I semestr. T.: TDPU. 2013ʻ
y. – 56 b.
13. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz.
Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. III semestr. T.: TDPU. 2013
ʻ
y.
14. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков Д.И. Лекции по
математическому анализу. М. : «Высшая школа». 1999 г. – 695 стр.
15. Демидович Б.П.., «Сборник задач и упражнений по
математическому анализу» Учеб. Пособие для вузов . М.: ООО
«Издательство Астрель» ООО «Издательство АСТ», 2003 г – 558 [2]
ст.
16. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 1
том. C Пб.: «Мифрил». 1996 г. – 416 стр.
17. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 2
том. C Пб.: «Мифрил». 1996 г.-426 стр.
18. Turgunba y ev R.M. Matematikal i q analiz. I tom. T.: “Abu matbuot-
konsalt”, 2014.-344b. (qozoq tilida)
19. Turgunba y ev R.M. Matematikali q analiz. II tom. T.: “Abu matbuot-
konsalt”, 2015.-397 b. (qozoq tilida)
Axborot manbaalari
1. www.tdpu.uz
2. www.pedagog.uz
3. www.edu.uz
5. www.nadlib.uz (A.Navoiy nomidagi O z.MK)
ʻ
39](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_39.png?v=1)