Войти
Регистрация
Docx
Рефераты
Дипломные работы
Прочее
Презентации
Рефераты
Курсовые работы
Дипломные работы
Диссертациии
Образовательные программы
Инфографика
Книги
Тесты
Информация о документе
Цена
10000UZS
Размер
509.4KB
Покупки
2
Дата загрузки
23 Февраль 2025
Расширение
docx
Раздел
Курсовые работы
Предмет
Алгебра
Продавец
Madinabonu
Дата регистрации 27 Апрель 2024
41 Продаж
Bir tomonli limitlar. Ikkinchi ajoyib limit.
Купить
40-bet
Купить
Похожие документы
To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar 26
Tekislikda kordinatalar metodi 26
Sonli qatorlar 26
Sonli qatorlar 2-variant
Sonlar ketma-ketligi va uning xossalari 26
Подтвердить покупку
Да
Нет
![Yuqoridagi ta’riflardan kelib chiqadiki, {хn} ketma-ketlik yuqoridan
chegaralangan bo’lsa, uning hamma elementlari
(−∞ , М ] oraliqqa tegishli, {хn}
ketma-ketlik quyidan chegaralangan bo’lsa, uning hamma elementlari
[m ,+∞ )
oraliqqa tegishli, yuqoridan va quyidan chegaralangan bo’lsa,
[m ,M ] oraliqqa
tegishli bo’ladi.
Misollar:
1) 1, 2, 3, ...,
n , ... sonlar ketma-ketligi quyidan chegaralangan, lekin yuqoridan
chegaralangan;
2) -1, -2, -3, ..., -
n , ... sonlar ketma-ketligi yuqoridan chegaralangan;
3) 1,
1
2
,1
3
,...,1
п
,... sonlar ketma-ketligi chegaralangan, chunki uning hamma
elementlari uchun
0≤ xn≤ 1 tengsizlik bajariladi, bunda m = 0 M = 1 bo’ladi;
4) -1, 2, -3, 4, -5, ...,
−(− 1)nn ,... sonlar ketma-ketligi chegaralanmagan, chunki
qanday A son olmaylikki, bu ketma-ketlik ichida
|xn|> A tengsizlikni
qanoatlantiruvchi elementlari mavjud bo’ladi.
1.2 Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketliklar hamda ularning xossalari .
1-ta’rif.
{хn} sonlar ketma-ketligi istalgan А son uchun, shunday N raqam
mavjud bo’lib, hamma
n> N lar uchun |xn|> A tengsizlik bajarilsa, {хn} sonlar
ketma-ketligi cheksiz katta ketma-ketlik deyiladi.
{хn}
cheksiz katta ketma-ketlik chegaralanmagan bo’ladi.
2-ta’rif. Istalgan
ε> 0 son uchun shunday N raqam mavjud bo’lib,
9](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_9.png?v=1)
![n> N lar uchun |xn|<ε tengsizlik bajarilsa {хn} ketma-ketlik cheksiz kichik
sonlar ketma-ketligi deyiladi. 2
Misollar:
1) natural sonlar ketma-ketligi
{n} cheksiz katta ketma-ketlikdir;
2)
{
1
n} sonlar ketma -ketligi cheksiz kichikdir, haqiqatan ham, istalgan ε> 0 son
olsak,
|xn|= |1
n
|<ε dan n> 1
ε bo’lib, N uchun
N = [
1
ε] (
1
ε butun qismi) olib,
hamma
n> N lar uchun
1
n
= |xn|< ε tengsizlik bajariladi. 2-ta’rifga asosan {
1
n}
ketma-ketlik cheksiz kichik bo’ladi. CHeksiz kichik va cheksiz katta ketma-
ketliklar orasida ushbu bog’liqlik bor.
1-teorema.
{хn} cheksiz katta ketma-ketlik va uning hamma elementlari 0 dan
farqli bo’lsa,
{
1
xn} ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik va aksincha {αn}
cheksiz kichik ketma-ketlik va
αn≠ 0 bo’lsa, {
1
αn} ketma-ketlik cheksiz katta
ketma-ketlik bo’ladi.
Isbot.
{хn} cheksiz katta ketma-ketlik bo’lsin. Istalgan ε> 0 son olib,
A= 1
ε
deylik. 1-ta’rifdan shu A son uchun shunday N raqam mavjudki, n> N
lar uchun
|xn|> A bo’ladi. Bundan hamma n> N uchun
|
1
xn
|<
1
A
= ε kelib
2
Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989.
10](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_10.png?v=1)
![lim
n→∞
xn= a ёки n → ∞ да xn→ a
simvollar bilan belgilanadi. Chekli limitga ega sonli sonli ketma-ketlikka,
yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.
Limitning ta’rifiga misol qaraymiz.
Limitning ta’rifidan foydalanib,
lim
n→∞
n
n+1
= 1
ekanligini ko’rsatamiz. Istalgan
ε> 0 son olamiz.
|xn− 1|=| n
n+1
− 1|= |n− n− 1
n+1
|= 1
n+1
bo’lganligi uchun,
|xn− 1|<ε tengsizlikni qanoatlantiruvchi n larning qiymatini
topish,
1
n+1
< ε tengsizlik bilan bog’liq va 1<ε(n+1) ёки n> 1− ε
ε bo’ladi.
Shuning uchun
N sifatida
1− ε
ε sonning butun qismini olish mumkin, ya’ni
N = [
1− ε
ε ]
b њ ladi. Bu holda |xn− 1|<ε tengsizlik hamma n> N lar uchun
bajariladi. Masalan,
ε= 0,1 bo’lsin, bu holda
N = [
1− 0,1
0,1 ]= [
0,9
0,1 ]= 9. n= 10 > N = 9
bo’lsin. Bunda
x10= 10
10 +1
= 10
11
bo’lib,
13](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_13.png?v=1)
![lim
x→a[f1(x)± f2(x)]= lim
x→a
f1(x)± lim
x→a
f2(x)(5)
2) chekli sondagi funksiyalar ko’paytmasining limiti funksiyalar
limitlarining ko’paytmasiga teng, ya’ni
lim
x→a[f1(x)⋅f2(x)]= lim
x→a
f1(x)⋅lim
x→a
f2(x) (6)
Natija: O’zgarmas ko’paytuvchini limit belgisidan tashqariga chiqarish
mumkin, ya’ni,
lim
x→a[cf 1(x)]= clim
x→a
f1(x) (7)
3) Ikkita funksiya nisbatining limiti, maxrajning limiti n њ ldan farqli
bo’lsa, bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni
lim
x→a
f2(x)≠ 0
bo’lsa,
lim
x→a
f1(x)
f2(x) =
lim
x→a
f1(x)
lim
x→a
f2(x) (8)
bo’ladi.
Limitlarni hisoblashda quyidagi limitlardan foydalaniladi:
lim
x→a
sin x
x
= 1 ; (9)
lim
x→∞(1+ 1
x)
x
= lim
x→0
(1+α)1/α= e , e= 2 ,71828 ...
(10)
Bu limitlarga mos ravishda birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar deyiladi.
20](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_20.png?v=1)
![2.2 Aniqmasliklar va ularni ochish
1.Aniqmasliklar. lim
x→a
f(x)
ϕ(x) limitni hisoblashda f(x), ϕ(x)
funksiyalar ch.kich.f. lar bo’lsa,
f(x)/ϕ(x) nisbatga x→ a da (0/0)
ko’rinishdagi aniqmaslik deyiladi .
f(x), ϕ(x) funksiya lar ch.kat.f. lar bo’lsa,
f(x)/ϕ(x)
nisbatga x→ a da (∞ /∞ ) ko’rinishidagi aniqmaslik deyiladi .
Xuddi shunga o’xshash
∞ − ∞ , 0⋅∞ , 00, ∞ 0 aniqmasliklar
lim
x→a
[f1(x)− ϕ(x)], lim
x→a
[f(x)⋅ϕ(x)] ва lim
x→a
[f(x)]
ϕ(x)
limitlarni hisoblashda kelib chiqadi. Bunday hollarda limitlarni hisoblashga
aniqmasliklarni ochish deyiladi .
(0/0)
va ( ∞ /∞ ) ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishda quyidagi xossadan
foydalaniladi:
f(x) va ϕ(x) funksiyalar x= a nuqtaning biror atrofidagi hamma
nuqtalarda o’zaro teng bo’lsa, ularning
x→ a dagi limiti ham teng bo’ladi.
Masalan,
f(x)= x2− 9
2(x− 3) va ϕ(x)= x+3
2 funksiyalar x ning
x= 3
dan boshqa hamma qiymatlari uchun teng, chunki
x2− 9
2(x− 3)
=
(x− 3)(x+3)
2(x− 3)
= x+3
2
Yuqoridagi xossaga asosan,
lim
x→a
f(x)= lim
x→a
ϕ(x)
bo’ladi, ya’ni
21](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_21.png?v=1)
![lim
t→1
[lg (t+√ t2+80 )+√t2+8]= lg (1+√ t2+80 )+ √1+8= lg 10 + 3= 1+3= 4.
5-misol.
lim
x→1
3x2− x− 2
4 x2− 5x+2 limitni hisoblang.
Yechish.
x=1 da surat ham, maxraj ham nolga aylanib (0/0) ko’rinish-
dagi aniqmaslik hosil bo’ladi.
Surat va maxrajni
ax 2+bx +c= a(x− x1)(x− x2) formula yordamida
chiziqli ko’paytuvchilarga ajratamiz. Bunda
x1 va x2 lar ax 2+ba + c= 0
kvadrat tenglamaning ildizlari. Demak,
lim
x→1
3x2− x− 2
4x2− 5x+1
= lim
x→1
3(x− 1)(x+2/3)
4(x− 1)(x− 1/4)
=
¿ lim
x→1
3(x+2/3)
4(x− 1/4)
=
3(1+2/3)
4(1− 1/4)
= 5/3
b њ ladi.
6-misol.
lim
x→1
6 x2+5 x+ 4
3 x2+7 x− 2 limitni hisoblang.
Yechish.
x→ ∞ da ) / ( ko’rinishdagi aniqmas ifodaga ega bo’lamiz.
Bunday aniqmaslikni ochish uchun kasrning surat va maxrajini
x ning eng yuqori
darajalisiga, ya’ni ga bo’lamiz, hamda limitlarning xossalaridan foydalansak
lim
x←∞
6 x2+5 x+ 4
3 x2+7 x− 2
= lim
x→∞
6+ 5/x+4/x2
3+ 7/x− 2/x2 =
¿
¿ lim
x→∞
(6+ 5/x+ 4/x2)
lim
x→∞
(3+7/x− 2/x2)
= 6+ 0+0
3+ 0+0 = 2
¿
25](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_25.png?v=1)
![9-misol. lim
x→0
sin 5x
x limitni birinchi ajoyib limitdan
foydalanib hisoblang. 6
Yechish.
5x= α , deb almashtirsak, bundan x= α/5 , x→ 0 α → 0
bo’ladi.
SHuning uchun,
lim
x→0
sin 5 x
x
= lim
α→0
sin α
α/5
= 5lim
α→0
sin α
α
= 5⋅1= 5
,
chunki
lim
α→0
sin α
α
= 1 .
10-misol.
lim
x→∞
(1+3/x)x limitni ikkinchi ajoyib limitdan foydalanib
hisoblang.
Yechish.
x→ ∞ da limitga o’tsak, 1∞ ko’rinishdagi aniqmaslik kelib
chiqadi.
3/x= α bilan almashtirsak, bu yerdan x= 3/α hamda x→ ∞ da
α → 0
bo’ladi..Demak,
lim
x→∞
(1+3/x)x= lim
α→0
(1+α )3/α= [lim
α→0
(1+ α )1/α
]
3
= e3
kelib chiqadi.
SHundayqilib,
lim
x→∞
(1+3/x)x= e3 .
11-misol.
lim
x→1
( 1
x− 1
− 2
x2− 1
) limitni hisoblang.
6
Т. Азларов, Х. Мансуров “Математик анализ”, Т.: Ўқитувчи, 1-қисм, 1989.
27](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_27.png?v=1)
![3) f ( x
0 -0), f ( x
0 +0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda
x
0 nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;
4) f ( x
0 -0)= f ( x
0 +0) ¹ f ( x
0 ) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan
uzilish deyiladi.
Misol . Ushbu f ( x )=[ x ] funksiyaning x
0 =2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega
ekanligini ko`rsating.
Yechish . Demak, [ x ]=1, =2
Bundan esa berilgan funksiyaning x
0 =2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega
ekanligi kelib chiqadi.
36](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_36.png?v=1)
![12. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz.
Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. I semestr. T.: TDPU. 2013ʻ
y. – 56 b.
13. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz.
Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. III semestr. T.: TDPU. 2013
ʻ
y.
14. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков Д.И. Лекции по
математическому анализу. М. : «Высшая школа». 1999 г. – 695 стр.
15. Демидович Б.П.., «Сборник задач и упражнений по
математическому анализу» Учеб. Пособие для вузов . М.: ООО
«Издательство Астрель» ООО «Издательство АСТ», 2003 г – 558 [2]
ст.
16. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 1
том. C Пб.: «Мифрил». 1996 г. – 416 стр.
17. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 2
том. C Пб.: «Мифрил». 1996 г.-426 стр.
18. Turgunba y ev R.M. Matematikal i q analiz. I tom. T.: “Abu matbuot-
konsalt”, 2014.-344b. (qozoq tilida)
19. Turgunba y ev R.M. Matematikali q analiz. II tom. T.: “Abu matbuot-
konsalt”, 2015.-397 b. (qozoq tilida)
Axborot manbaalari
1. www.tdpu.uz
2. www.pedagog.uz
3. www.edu.uz
5. www.nadlib.uz (A.Navoiy nomidagi O z.MK)
ʻ
39](https://docx.uz/documents/974f404d-f791-4357-bea5-4d89f783a050/page_39.png?v=1)