Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi. Pikar teoremasi - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	25000UZS
Размер	482.4KB
Покупки	0
Дата загрузки	18 Март 2025
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

169 Продаж

Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi. Pikar teoremasi

Купить

MUNDARIJA
KIRISH .......................................................................................................................... 2
I BOB. BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR ......................... 4
1.1 Birinchi tartibli differensial tenglamalar ........................................................... 4
1.2 Bir jinsli, chiziqli va unga keltiriladigan differensial tenglamalar .................... 6
1.3 Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar. Xususiy
va umumiy yechim. ............................................................................................... 10
bu tenglamaga hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglama deyiladi.
(1.3.1)tenglama (1.3.2) tenglamani y’ ga nisbatan yechish natijasida hosil bo‘lgan
deb qaramasdan, balki (1.3.1) ga f(x,y) funksiya G sohada berilgan deb qaraymiz.
............................................................................................................................... 11
Izoh 1. Soha deyilganda faqat yopiq yoki faqat ochiq bog‘langan to‘plamni
olamiz. Agar berilgan G to‘plamning ixtiyoriy ikki nuqtasini tutashtiruvchi va shu
to‘plamga tegishli biror chiziq mavjud bo‘lsa, u holda G to‘plam bog‘langan
bo‘ladi. ................................................................................................................... 11
2.1. Koshi masalasining mavjudligi va yagonaligi ................................................ 13
2.2 Pikar teoremasi ................................................................................................ 20
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ..................................................................... 27

KIRISH
Matematika fani o ‘ sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o ‘ quv fani
sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning
aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik,
mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda
mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go ‘ zallikka
ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Differensial tenglamalar sistemasi nazariyasi hozirgi zamon matematikasining
muhim va murakkab tarmoqlaridan biri hisoblanadi. Tabiatda uchraydigan turli
jarayonlar (avtomobil harakati, sayyoraning uchishi, fizik va ximik va biologik
jarayonlar va h.k) o‘z harakat qonunlariga ega. Ba’zi jarayonlar bir xil qonun
bo‘yicha sodir bo‘lishi mumkin, bu hol esa ularni ishini o‘rganish ishini
yengillashtiradi. Bunday jarayonlarni o‘rganishda differensial tenglamalar fanining
o‘rni katta. Differensial tenglamalar sistemasi yordamida bir qator nazariy va amaliy
masalalar hal qilinadi.
Differensial tenglamalarni, unga aloqador barcha fanlarni nafaqat O‘zbekiston,
balki butun dunyo bor salohiyatini ishga solib o‘rganadi. Shu o‘rinda aytish lozimki,
differensial tenglamalarga bag‘ishlangan kitoblar rus, ingliz va boshqa tillarda
ko‘plab chop etilgan. Ular ichida matematik olimlar Pontryagin, Stepanov,
Petrovskiylar tomonidan yaratilgan darsliklarni alohida qayd qilib o‘tish lozim.
O‘zbek tilida ilk darslik akademik T. N. Qori-Niyoziy tomonidan 40-yillarda
yozilgan. Bu fanni olimlar necha asrlardan beri o‘rganib kelishadi. Ushbu soha faqat
hozirgi davrdagina mavjud bo‘lib qolmay, balki uning tarixi necha necha asrlar ortga
borib taqaladi. Ilm endi endi rivojlanayotgan paytda shu sohaning ilk ildizlari endi
quloch yoyishni boshlagan desak mubolag‘a bo‘lmas. O‘sha paytlarda ilm hali uncha
ham rivojlanmagan bo‘lsada, lekin insonlar, olimlar o‘zlari uchun muhim bo‘lgan
muammolarni yecha olishgan. Differensial tenglamalar juda ko‘p fanlar bilan uzviy
bog‘liq hisoblanadi. Masalan fizika, iqtisodiyot, biologiya, kimyo, tibbiyot va boshqa
fanlarda uchraydigan ko‘plab jarayonlar differensial tenglamalar yordamida
2

tavsiflanadi. Shu tenglamalarni o‘rganish bilan tegishli jarayonlar haqida biror
ma’lumotga, tasavvurga ega bo‘lamiz. O‘sha hosil qilingan differensial tenglamalar
o‘rganilayotgan jarayonning matematik modelidan iborat bo‘ladi. Bu model qancha
mukammal bo‘lsa, differensial tenglamalarni o‘rganish natijasida olingan
ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to‘la tavsiflaydi. Shunisi qiziqki, tabiatda
uchraydigan turli jarayonlar bir xil differensial tenglamalar bilan tavsiflanishi
mumkin.
Kurs ishining dolzarbligi: Birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun
Koshi masalasining ahamiyati shundan iboratki, ular yordamida birinchi tartibli
differensial tenglamalar yechiladi. Bundan tashqari tenglamalarning aniq va
taqribiy yechimlari orasidagi farqni baholashda ham integral tengsizliklardan
foydalanish mumkin.
Kurs ishining maqsadi: Ushbu kurs ishi birinchi tartibli differensial
tenglamalarni Koshi masalasi bilan yechishning oson usuliga olib keladi. Kurs ishida
masalalar qisqacha bayon etilib, turli usullar bilan yechishga e’tibor qaratilgan.
Kurs ishining obyekti va predmeti : Birinchi tartibli differensial tenglamalar
uchun Koshi masalasi yagonaligi va mavjudligi, Pikar teoremasi o ‘ rganiladi. Usullar
bir qancha misollarda ko ‘ rsatiladi va misollarni yechish algoritmi ko ‘ rsatiladi. Ushbu
kurs ishida birinchi tartibli differensial tenglamalrni Koshi usulida yechish masalasi
qaraladi.
Kurs ishining tarkibi va hajmi: Kurs ishi kirish qismi, 2 ta bob, xulosa va
adabiyotlar ro ‘ yxatidan iborat bo ‘ lib, 26 betda bayon qilingan.
3

I BOB. BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
1.1 Birinchi tartibli differensial tenglamalar
Ushbu bobda birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar
haqida tushunchalar beramiz hamda ularni yechilish usullari haqida
ma’lumot beramiz.
1.1-ta’rif. Quyidagi
(1.1.1)
ko ‘ rinishdagi tenglamalar birinchi tartibli differensial tenglamalar deyiladi. Bu yerda
x - erkli o ‘ zgaruvchi, - noma’lum funksiya esa
o ‘ zgaruvchilarning funksiyasi bo ‘ lib, berilgan funksiyadir.
Masalan ushbu ko ‘ rinishdagi tenglamalar
a )
b )
1-tartibli oddiy differensial tenglamalarga misol bo’ladi.
1.2-ta’rif. Birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglama
deb
(1.1.2)
yoki
(1.1.3)
ko ‘ rinishdagi tenglamalarga aytiladi, bu yerda
-berilgan funksiyalardir.
Masalan:
4

1.3-ta`rif. funksiyani berilgan differensial tenglamaga
qo ‘ yganda uni ayniyatga aylantirsa, u holda funksiyaga
berilgan differensial tenglamaning yechimi deyiladi.
1-misol. yechimdan foydalanib,
larini topamiz va berilgan tenglamaga qo ‘ yamiz:
demak, berilgan funksiya berilgan tenglamani yechimi bo ‘ ladi.
1.4-tarif. (1.1.1) yoki (1.1.2) tenglamalarning biror bir
intervaldagi yechimi deb, shu intervaldagi uzluksiz differensiallanuvchi

funksiyaga aytiladiki , bu funksiya (1.1.1) yoki (1.1.2) tenglamalarni I intervalda
ayniyatga aylantiradi, ya’ni:
yoki
2-misol. tenglamning (-1;1) intervaldagi yechimi va
funksiyalarning da uzluksiz ekanligini e`tborga olib
berilgan tenglamaga qo ‘ yamiz :
Demak ayniyat hosil bo`ldi, ya`ni funksiya (-1,1) intervalda
berilgan tenglamani yechimi bo`ladi.
1.5-ta’rif. (1.1.1) yoki (1.1.2) tenglamaning umumiy yechimi deb,
shunday funksiyaga aytiladiki:
5

1) c ning har qanday qiymatida funksiya (1.1.1) yoki (1.1.2)
tenglamalarni qanoatlantiradi;
2) boshlang ‘ ich shart har qanday bo‘lmasin c
o‘zgarmasning shunday c
1 qiymatini tanlash mumkinki funksiya berilgan
boshlang ‘ ich shartni va tenglamani qanoatlantiradi.
(1.1.1) yoki (1.1.2) tenglamaning boshlang ‘ ich shartni
qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi ,
boshlang ‘ ich shartga esa Koshi sharti deyiladi .
1.1-teorema. Agar funksiya D sohada y bo ‘ yicha
uzluksiz xususiy hosilaga ega bo ‘ lsa, u holda (1.1.2)
tenglamaning nuqtani o‘z ichiga oluvchi biror intervalda
aniqlangan va har bir berilgan nuqta uchun boshlang ‘ ich
shartni qanoatlantiruvchi yechim mavjud va yagonadir. Natija. Koshi masalasi
yechimi mavjud va yagona.
4-misol. tenglamaning yagona yechimga ega
bo ‘ ladigan sohani toping.
Yechish . funksiya uchun teorema shartiga
ko ‘ ra funksiya uzluksiz bo ‘ ladigan sohani topamiz, bu soha
esa XOY tekisligidir, ya’ni funksiya XOY tekisligining
ixtiyoriy nuqtasida uzluksiz. Demak berilgan tenglama XOY tekisligida yagona
yechimga ega.
1.2 Bir jinsli, chiziqli va unga keltiriladigan differensial tenglamalar
2.1-ta`rif. Ushbu
6

(1.2.1)
shartni qanoatlantiruvchi funksiya x va y argumentlariga
nisbatan n o ‘ lchovli (tartibli) bir jinsli funksiya deyiladi.
1-misol.
funksiyalar mos ravishda 0, 1 va 2 – tartibli bir jinsli funksiyalar ekanini ko ‘ rsating.
Yechish: a) 0-tartibli bir jinsli
funksiya;
b) 1-tartibli bir jinsli
funksiya;
2.2-ta’rif. Agar nolinchi tartibli bir jinsli funksiya bo‘lsa, u holda
(1.2.2)
differensial tenglama bir jinsli differensial tenglama deyiladi va bu
tenglama ko’rinishda yoziladi.
2.3-ta`rif. Agar va funksiyalar bir xil tartibdagi
bir jinsli funksiyalar bo ‘ lsa, u holda
(1.2.3)
tenglama bir jinsli differensial tenglama deyiladi.
2.4-ta`rif. Ushbu
(1.2.4)
7

ko’rinishdagi tenglamaga birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi. Bu
yerda va funksiyalar uzluksiz funksiyalar. (1.2.4) ko’rinishdagi tenglama
turli usullarda yechiladi. Masalan: o ‘ zgarmasni variatsiyalash (Lagranj) usuli,
Bernulli usuli va integrallovchi ko ‘ paytuvchi kiritish usuli.
1.O ‘ zgarmasni variatsiyalash usuli. Bu usul yordamida (1.2.4)
tenglamaning umumiy yechmini topish uchun avval quyidagi
teoremani keltiramiz:
2.1-teorema. (1.2.4) tenglamaning umumiy yechimi, bu tenglamaga mos
bir jinsli, ya’ni
(1.2.5)
tenglamaning umumiy yechimi va (1.2.4) tenglamaning xususiy yechimi
yig’indisidan iborat.
Demak, teoremaga ko ‘ ra (1.2.4) tenglamaning umumiy yechimi, ushbu
formula orqali topiladi, bu yerda funksiya
(1.2.5) tenglamaning umumiy yechimi, funksiya esa (1.2.4)
tenglamaning biror xususiy yechimi.
Ma’lumki, (1.2.5) tenglamaning umumiy yechimi ko ‘ rinishga
ega bo ‘ ladi. (1.2.4) ning xususiy yechimini esa
(1.2.6)
ko ‘ rinishda izlaymiz. Ya’ni (1.2.6) dan ni topib, (1.2.5) ga qo ‘ yib, undan
(1.2.7)
ni topamiz. (1.2.6) xususiy yechim bo ‘ lgani uchun, (1.2.7) da deb
tanlab, (1.2.7) ni (1.2.6) ga qo ‘ yib,
(1.2.8)
8

ko ‘ rinishdagi (1.2.5) tenglamaning xususiy yechimini topamiz. Shunday
qilib (1.2.5) tenglamaning umumiy yechimi
bo`ladi.
1-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamani ko ‘ rinishda yozsak, bu tenglama (1.2.5)
ko ‘ rinishdagi chiziqli differensial tenglamaga keladi. Bu tenglamani Logranj
(o ‘ zgarmasni variatsiyalash) usuli bilan yechamiz. Buning uchun
tenglamaning yechimi ekanini e’tiborga olib, berilgan tenglamaning yechimini
ko ‘ rinishda izlaymiz va ni berilgan tenglamaga
qo ‘ yib, bundan ni topamiz. Demak berilgan
tenglamaning umumiy yechimi ko ‘ rinishda bo ‘ ladi.
2.Bernulli usuli. Bu usulda yechim ko ‘ rinishda
izlanadi. va ni (1.2.5) ga qo`yib,
ga ega bo ‘ lamiz.
tenglamaning biror bir yechimini olsak, u holda oxirgi tenglikdan
ya`ni olamiz.
9

Demak, topilgan va funksiyalarni ga qo ‘ ysak
(1.2.8) yechimni olamiz.
2-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Berilgan tenglamani ko ‘ rinishda yozamiz.
Demak, berilgan tenglama chiziqli differensial tenglama. Bu tenglamani Bernulli
usuli bilan yechamiz, ya’ni almashtirish bajaramiz;
(1.2.9)
larni hosil qilamiz. Bundan tenglamaning biror bir
yechimini topamiz.
. Topilgan funksiyani (1.2.9) ga qo ‘ yib,
ya’ni ni olamiz. Demak, berilgan tenglamaning
umumiy yechimi bo`ladi.
1.3 Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar.
Xususiy va umumiy yechim.
Biz birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilmagan oddiy differensial
tenglamalarni qaraymiz:
(1.3.1)
10

Bunda x-erkli o’zgaruvchi , y-uning no’malum funksiyasi
esa
no’malum funksiyasining hosilasi. (1.3.1) tenglamaning muhim xususiy holiga
to‘xtalamiz.
(1.3.2)
bu tenglamaga hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglama deyiladi.
(1.3.1)tenglama (1.3.2) tenglamani y’ ga nisbatan yechish natijasida hosil bo ‘ lgan deb
qaramasdan, balki (1.3.1) ga f(x,y) funksiya G sohada berilgan deb qaraymiz.
Izoh 1. Soha deyilganda faqat yopiq yoki faqat ochiq bog ‘ langan to ‘ plamni
olamiz. Agar berilgan G to ‘ plamning ixtiyoriy ikki nuqtasini tutashtiruvchi va shu
to ‘ plamga tegishli biror chiziq mavjud bo ‘ lsa, u holda G to ‘ plam bog ‘ langan bo ‘ ladi.
Izoh 2. Agar I intervalda yopiq bo ‘ lsa, u holda uning chap uchiga o ‘ ng hosila,
o ‘ ng uchiga esa chap hosila nazarda tutiladi.
3.1-tarif. (1.3.2) chi tenglama berilgan bo ‘ lib, unda f(x,y) funksiya R 2
tekislikning G sohasida aniqlangan bo ‘ lsin. Agar I (ochiq,yopiq yoki yarim ochiq )
intervalda aniqlangan funksiya uchun quyidagi uch shart
(1.3.3)
bajarilsa, u holda bu funksiya I intervalda (1.3.2) differensial tenglamaning yechimi
deyiladi.
(1.3.2) differensial tenglamaning har bir yechimga mos kelgan egri chiziq
( ya’ni funksiyaning grafigi ) shu tenglamaning integral egri chizig ‘ i
11

deyiladi. (1.3.1) tenglamaning yechimi ba’zi hollarda oshkormas F(x,y)=0
ko ‘ rinishda bo ‘ lsa , ba’zi hollarda parametrik
ko‘rinishda bo‘lishi mumkin.
12

II BOB. KOSHI MASALASINING MAVJUDLIGI VA YAGONALIGI
2.1. Koshi masalasining mavjudligi va yagonaligi
Hosilaga nisbatan yechilgan ushbu
(2.1.1)
differensial tenglamaning
(2.1.2)
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topishga Koshi asalasi
deyiladi.
1.1-teorema. (Koshi) Agar funksiya
to‘g‘ri to‘rtburchakda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, -o‘zgaruvchi bo‘yicha
Lipshits shartini, ya’ni nuqtalar uchun shunday soni
topilib
(2.1.3)
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda shunday (2.1)-(2.2) Koshi masalasining
oraliqda aniqlangan va (2.1.2) boshlang‘ich shartni
qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud bo‘ladi. Bu yerda
(2.1.4)
1-izoh. Agar funksiya sohaning har bir nuqtasida xususiy
hosilaga ega bo‘lib
shartni qanoatlantirsa, u holda bu funksiya to‘g‘ri to‘rtburchakda -o‘zgaruvchi
bo‘yicha Lipshits shartini qanoatlantiradi.
13

Haqiqatan ham, ixtiyoriy ikki , nuqtalar uchun Lagranj
teoremasiga asosan quyidagi munosabat bajariladi:
bu yerda .
Oxirgi munosabatdan va xususiy hosilaning chegaralanganligidan
(2.1.3) tengsizlik kelib chiqadi.
Ammo, ba’zi hollarda hosilaga ega bo‘lmagan funksiyalar ham (2.1.3) Lipshits
shartini qanoatlantiradi.
Masalan. Ushbu funksiya , ya’ni nuqtada hosilaga ega
emas, lekin
o‘rinli. Bunda Lipshits o‘zgarmasi bo‘ladi.
Teoremani isbotlashdan oldin quyidagi misolni qaraylik
1-misol. Ushbu
Koshi masalasining yechimini toping.
Yechish. Berilgan differensial tenglamada o‘zgaruvchilarni ajratib
quyidagi
yechimni topamiz. Boshlang‘ich shartdan foydalanib,
berilgan Koshi masalasining
yechimini topamiz . Bundan tashqari , qaralayotgan Koshi masalasi yechimga
ham ega . Demak, berilgan Koshi masalasi ikkita
14

yechimga ega ekan. Bundan ko‘rinadiki, berilgan differensial tenglamaning o‘ng
tomonidagi
funksiya (2.1.3) - Lipshits shartini qanoatlantirmaydi. Chunki
Shuning uchun ham berilgan Koshi masalasining yechimi yagona emas. Demak,
Koshi teoremasidagi shartlar Koshi masalasi yechimi mavjud va yagona bo‘lishi
uchun yetarli shartlardir. Koshi masalasi yechimining yagonaligidan
funksiyaning uzluksizligi va o‘zgaruvchi bo‘yicha Lipshits shartini qanoatlantirishi
kelib chiqmaydi.
Teoremaning isboti (Yechimning mavjudligi). Berilgan differensial
tenglamani ushbu
ko‘rinishda yozib, uni interval bo‘yicha integrallaymiz:
Hosil bo‘lgan bu tenglikda (2.1.2) boshlang‘ich shartdan foydalanib,
(2.1.5)
munosabatni hosil qilamiz. Bu munosabat funksiyaga nisbatan integral
tenglamadir. Shunday qilib, agar funksiya (2.1.1)-(2.12) Koshi masalasining
yechimi bo‘lsa, u holda y ( x ) (2.1.5) integral tenglaman qanoatlantirar ekan. Aksincha,
agar uzluksiz funksiya (2.1.5) integral tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda
berilgan (2.1.1)-(2.1.2) Koshi masalasining ham yechimi bo‘lishini ko‘rsatish
15

mumkin. Haqiqatan ham, uzluksiz funksiya (2.1.5) integral tenglamani
qanoatlantirsin. U holda funksiya - sohada uzluksiz bo‘lgani uchun
munosabatning o‘rinli bo‘lishi “Matematik analiz” fanidan ma’lum. Yuqoridagi
(2. 1. 5) tenglikning ikki tomonini differensiallab
ekanligini topamiz. (2.1.2) boshlang‘ich shartning bajarilishi (2.1.5) tenglikdan
ko‘rinib turibdi:
Shunday qilib, (2.1.1)-(2.1.2) Koshi masalasi (2.1.5) integral tenglamaga ekvivalent
ekan. Shuning ushun (2.1.1)-(2.1.2) Koshi masalasi yechimini mavjudligini ko‘rsatish
o‘rniga, unga ekvivalent bo‘lgan (2.1.5) integral tenglama yechimini mavjudligini
ko‘rsatamiz. Buning uchun ketma-ket yaqinlashishlar (Pikar) usulidan foydalanamiz.
Quyidagi
,
,
……………………………. (2.1.6)
…………………………….
16

formulalar yordamida funksional ketma-ketlikni tuzib olamiz. Bu yerdagi
funksiyalarning har biri (2.1.2) boshlang‘ich shartni, ya’ni
qanoatlantiradi
Endi, ushbu
ayirmalarni baholaymiz:
(2.1.7)
Bundan ko‘rinadiki, agar x lar ushbu
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda (2.1.7) bahodan
(2.1.8)
tengsizliklar kelib chiqadi. Bu esa funksiyalarning
grafiklari larda P to‘g‘ri to‘rtburchakdan chiqib
ketmasligini ko‘rsatadi. Shunday qilib, tengsizlik bajarilsa,
funksiyalarning grafiklari
P to‘g‘ri to‘rtburchakda joylashar ekan.
Endi, har bir tayinlangan larda ushbu sonli
ketma-ketlikning n  da chekli limiti mavjudligini ko‘rsatamiz va uni
17

(2.1.9)
orqali belgilaymiz. Shu maqsadda, matematik induksiya usulini qo‘llab
(2.1.10)
bahoning o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz. Bu baho n  1 da o‘rinli:
.
Yechimning yagonaligi. Aytaylik, y
1 ( x ) , y
2 ( x ) funksiyalar (2.1.1)
differensial tenglamani va (2.1.2) boshlang‘ich shartni qanoatlantirsin.
Bundan tashqari ularning grafiklari P to‘g‘ri to‘rtburchakda joylashsin,
ammo
bo‘lsin. U holda ushbu
tengliklardan, avvalo
so‘ngra
munosabatni olamiz. Bu tenglikning ikki tomonini integrallab
ifodani olamiz. Lipshits shartidan foydalanib, oxirgi munosabatni
baholaymiz:
18

ya`ni
bahoni olamiz. Ushbu
belgilashlarni olib, Gronuolla tengsizligidan foydalansak,
ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Teorema to‘la isbot bo‘ldi.
Ko‘pchilik hollarda (2.1.1)-(2.1.2) Koshi masalasining y ( x ) yechimi
bilan (2.1.6) tengliklar orqali aniqlangan , n- yaqinlashish orasidagi
farqni hisoblashga to‘g‘ri keladi. Buning uchun ushbu ayirmani
baholashga to‘g‘ri keladi. Avvalo biz y
n ( x ) funksiyani quyidagi
ko‘rinishda yozib olamiz. So‘ngra bu tenglikning ikki tomonida n   da
limitga o‘tib
munosabatni hosil qilamiz. Bundan va (2.1.10) tengsizlikdan foydalanib,
quyidagi ayirmani baholaymiz:
Bu yerda
, N-Lipshits o‘zgarmasi.
19

2.2 Pikar teoremasi
Pikar teoremasining isboti. Mavjudligi. Ekvivalentlik lemmasiga ko‘ra Koshi
masalasi ushbu
(2.2.1)
integral tenglamani yechish masalasini ko‘ramiz. Bu tenglamaning yechimini
Pikarning ketma-ket yaqinlashish metodi bilan izlaymiz.
intervalda
yaqinlashgan funksiyalar ketma-ketligini quyidagicha ko‘ramiz:
Shu funksiyalarning grafigi, intervalda
to ‘ g ‘ ri to’rtburchakdan chiqib ketmaydi, ya ‘ ni
haqiqatdan.
20

tasdiqlab o‘tamizki,
ketma-ketlikning hadlari ko‘rilayotgan
intervalda uzluksiz, hatto differensiallanuvchidir.
Endi qurilgan ketma-ketlik intervalda tekist
yaqinlashuvchi ekanligini intervalda tekis yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz.
Ushbu
(2.2.2)
Funksional qatorni ko‘ramiz. Uning n - xususiy yig‘indisi
bundan
Shuning uchun (2.2.2) qatorning tekis yaqinlashuvchi ekanligi isbot qilish yetarli,
(2.2.2) qatorning har bir hadini baholaymiz,
tengsizlikni hisobga olgan holda
21

Induksiya usuli bilan:
(2.2.3)
Tengliksiz o‘rinli bo‘lsa, shu qonun n dan n+1 ga o‘tganda ham o‘rinli
ekanligini isbotlash mumkin:
Shunday qilib, tengsizlik ixtiyoriy natural n lar
uchun to‘g‘ri. Haqiqatdan ga ko‘ra
va
sonli qator yaqinlashuvchi, shunki Dalamber alomatiga ko‘ra
22

Endi topilgan shu limit funksiya ,
masalasining yechimi ekanligini isbot qilamiz,
Buning uchun da
tenglikdan
(2.2.4)
tenglik kelib chiqishini isbotlash lozim, haqiqatdan ravshanki
ketma –ketlikning funksiyaga tekis yaqinlashuvidan
uchun
shunday N nomer topiladiki, n>N bo‘lganda
tengsizlik o ‘ rinli bo’ladi shuning uchun
bo‘ladi. Bunda
23

shunday qilib
dan (2.2.1) ning o‘rinli ekanligini kelib chiqadi.
Yagonaligi tenglamaning shartni qanoatlantiradigan
yana bitta yechim bo‘lsin. Uning aniqlanish intervali bo’lib
va funksiyalarning aniqlanish intervallarining umumiy qismi
dan
iborat bo‘lsin. U holda da ekanligini isbotlaymiz.
Shartga ko‘ra
ayniyatlarga egamiz.
Bundan uchun
ya’ni
ga egamiz.
Bu yerdan Gronuall lemmasining natijasiga ko‘ra
24

kelib chiqadi uchun ham mulohazalar shunga o‘xshashdir. Yagonaligi
isbot etiladi. Pikar teoremasi isbotlanadi.
25

XULOSA
Ushbu kurs ishini tayyorlash davomida matematik fizik tenglamalardan
ba’zilari bilan tanishib chiqildi. Differensial tenglamalar kursida oddiy tartibli
differensial tenglamalar, yuqori tartibli differensial tenglamalar, differensial
tenglamalarni yechish usullari birinchi tartibli hususiy hosilalali tenglamalar bilimiga
oid tushunchalar qisqacha bayon etilgan. Tenglamalarni turlarga ajratib, ularni
yechish usullari misollar yordamida ko‘rsatib o‘tilgan.
Kurs ishini tayyorlash davomida birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar
uchun Koshi masalasining mavjudligi va yagonaligi, Pikar teoremasi haqida
ma’lumotlar to‘planildi. O‘zim uchun ko‘plab bilimlarga ega bo‘lish bilan bir
qatorda hali tanishib chiqib ulgurmagan adabiyotlar bilan ham tanishdim va
ko‘nikmalarga ega bo‘ldim.
Xulosa qiladigan bo‘lsam oddiy differensial tenglamalar har bir bo‘limiga
o‘tganimizda unda yangidan yangi qiziqarli ma’lumotlarga duch kelamiz ularni
o‘quvchilarga yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o‘qituvchining
mahoratiga bog‘liq. Mavzuni hayotga bog‘lab tushuntirib berish undagi o‘ziga xos
xususiyatlarni o‘quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon. O‘qituvchi hamisha
ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo‘lishi lozim va malakasini tajribasini
muntazam oshirib borishi kerak. O‘qituvchining zamon bilan ham nafas bo‘lishi ham
bugungi kun talabi.
26

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Azlarov T., Mansurov H. Matematik analiz. Toshkent:. “O‘qituvchi”, 1989 .
2. Salohiddinov M.S., Nasritdinov G’.N. Oddiy differensial tenglamalar. -
Т .:O ‘ qituvchi, 1982. 198-264 b.
3. Филиппов A. Ф . Сборник задач по дифференциальнымуравнениям .-
M.: Наука , 1992 . 74-87 c т p.
4. Краснов M. Л ., Киселев A. И ., МакаренкоГ . И . Сборникзадач по
обыкновенным дифференциалным уравнениям.-M.:Высшая школа,
1978. 78-79 c тр.
5. Матвеев Н.M. Сборник задач и упражнения по обыкновенным,
дифференциальным уравнениям. – Минск: Высшая школа, 1987. 69-70
стр.
6. Hasanov A . B Oddiy differensial tenglanmalar nazariyasiga kirish.Samarqand.
2019
Internet saytlari
1. www.ziyonet.uz
2. www.arxiv.uz
3. www.google.ru
27

Купить