Информация о документе

Цена 25000UZS
Размер 658.7KB
Покупки 0
Дата загрузки 18 Март 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

154 Продаж

Birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar

Купить
REJA. Differensial tenglamalar haqida dastlabki tushunchalar. 1.Differensial tenglama haqida tushuncha 2.Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama 3.Koshi masalasi. 4.Mavjudlik va yagonalik teoremalari 5.Izoklina Birinchi tartibli hususiy xosilali differentsial tenglamalar 1.Asosiy tushunchalar. 2.Koshi masalasi. 3.Koshi maslasining geometrik interpretatsiyasi. Birinchi tartibli hususiy hosilali chiziqli bir jinsli tenglama 1.Birinchi tartibli hususiy hosilali chiziqli bir jinsli tenglama va simmetrik formadagi oddiy differensial tenglamalar sistemasi orasidagi bog’liqlik. 2. Umumiy yechimni qurish. 3. Koshi masalasi XULOSA FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR. 1 Differensial tenglamalar haqida dastlabki tushunchalar. Ta’rif. Erkli o’zgaruvchilar, ularning noma’lum funksiyasi (yoki funksiyalari) va noma’lum funksiyaning hosilasi qatnashgan tenglik differensial tenglama deyiladi. Agar differensial tenglamada erkli o’zgaruvchi bitta bo’lsa u oddiy differensial tenglama deyiladi. Erkli o’zgaruvchilar soni ikkita va undan ortiq bo’lsa u hususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Differensial tenglamada qatnashgan noma’lum funksiya hosilasining eng yuqori tartibi tenglama tartibi ni belgilaydi. Misollar. -tartibli oddiy differensial tenglama -tartibli hususiy hosilali differensial tenglama -tartibli hususiy hosilali differensial tenglama Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama quyidagi ko`rinishga ega: funksiya sohada aniqlangan bo’lsin. sohaning o’qidagi proeksiyasi intervaldan iborat bo’lsin. Ta’rif. Agar intervalda aniqlangan funksiya tenglamani shu intervalda ayniyatga aylantirsa, ya’ni ?????? ′ ( ?????? ) ≡ ?????? ( ?????? , ?????? ( ?????? )), ?????? ∈ ?????? ayniyat o’rinli bo’sa, u holda funksiya intervalda tenglamaning yechimi deb ataladi. tenglamaning har bir yechimining grafigi bu tenglamaning integral chizig’i deyiladi. 2 Misollar. tenglama uchun funksiya to’plamda bu tenglamani yechimi bo’ladi. Tenglama uchun funksiya intervalda bu tenglamaning yechimi bo’ladi. tenglamaning yechimi oshkormas funksiya ko’rinishida bo’lishi ham mumkin. , oshkormas funksiyada ni topamiz. Demak ayniyat o’rinli bo’lsa, funksiya tenglamaning oshkormas yechimi deb ataymiz. Misol. tenglamani oshkormas funksiya (markazi koordinatalar boshida bo’lgan radiusi ga teng aylana) yechimi bo’lishini ko’rsataylik: Bularni ga qo’ysak ayniyatga ega bo’lamiz. Demak berilgan tenglama oshkormas yechimga ega ekan. 3 Differentsial tenglama yechimi parametrik ko’rinishda hosil bo’lishi ham mumkin. parametrik funksiya uchun ayniyat intervalda o’rinli bo’lsa (3) funksiyani (1) tenglamaning parametrik yechimi deymiz. Misol. parametrik funksiya (ellips) differensial tenglamaning yechimi bo’ladi. Haqiqatdan ham munosabat (4) ayniyat to’g’riligini ko’rsatadi. (1) tenglamaning boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi – Koshi masalasi deyiladi. Bunda ( ) boshlang’ich berilganlar (qiymatlar) deb ataladi. Koshi masalasining geometrik ma’nosi – (1) tenglamaning ( ) nuqtadan o’tuvchi integral chizig’ini topishdan iborat. (1) tenglamaning faqat bitta integral chizig’i otadigan tekislikning nuqtalaridan iborat to’plamni orqali belgilaylik. Ta’rif. Agar birinchidan 4 bir parametrli chiziqlar oilasining har bir chizig’i (1) tenglamaning integral chizig’idan iborat bo’lsa, ikkinchidan ihtiyoriy nuqtada nuqtada (6) tenglamani ga nisbatan bir qiymatli yechish mumkin bo’lsa, u holda (6) chiziqlar oilasi (1) tenglamaning umumiy yechimi deyiladi. chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzish uchin sistemadan ni yo’qotish kerak. Misol. chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzaylik. Sistemadan differensial tenglamani hosil qilamiz. – Koshi masalasini yechamiz. Berilgan tenglamaning umumiy yechimi chiziqlar oilasidan iborat. tenglikdan masalaning yechimini aniqlaymiz: Ta’rif. Agar tenglamaning integral chizigi’ining barcha nuqtalarida Koshi masalasi yagona yechimga ega bo’lsa funksiya tengla`maning xususiy yechimi deyiladi. 5 Agar tenglamaning integral chizigi’ining barcha nuqtalarida Koshi masalasi kamida ikkita yechimga ega bo’lsa funksiya tenglamaning maxsus yechimi deyiladi. Differensial tenglamaning barcha yechimlarini topish masalasi differensial tenglamani integrallash masalasi deb yuritiladi. Koshi teoremasi. Agar va funksisyalar Г sohada uzluksiz bo’lsa u holda har bir nuqta uchun shunday son topiladiki Koshi masalasining intervalda aniqlangan yechimi mavjud va yagona bo’ladi. Ta’rif. Agar sohada aniqlangan funksiya uchun shunday son topilsaki, sohadan ihtiyoriy nuqtalar olinganda ham tengsizlik bajarilsa funksiya bu sohada bo’yicha Lipshis shartini qanoatlantiradi deymiz. Pikar teoremasi. Agar funksiya sohada uzluksiz va bo’yicha Lipshis shartini qanoatlantirsa u holda har bir nuqta uchun shunday son topiladiki Koshi masalasining intervalda aniqlangan yechimi mavjud va yagona bo’ladi. 6 Peano teoremasi. Agar funksiya sohada uzluksiz bo’lsa u holda har bir nuqta uchun Koshi masalasining kamida bitta yechimi mavjud bo’ladi. tenglamaning izoklina si deb tekislikdagi shunday nuqtalarning geometrik o’niga aytiladiki, u nuqtalarda differensial tenglamaning integral chiziqlariga o’tkazilgan urinmalar o’qining musbat yo’nalishi bilan bir hil burchak tashkil etadi. Ta’rifga ko’ra izoklina tenglamasi , ko’rinishda bo’ladi. Differensial tenglamada erkli o’zgaruvchilar soni ikkita va undan ortiqbo’lsa, uni xususiy xosilali differentsial tenglama deb ataymiz. Bunday tenglamalar umuman olganda ko’rinishga ega, bu yerda – erkli o’zgaruvchilar, – noma’lum funksiya. tenglamada qatnashgan nomalum funksiyaning eng yuqori tartibi – tenglamaning tartibi xisoblanadi. Agar erkli o’zgaruvchilarning biror sohasida aniqlangan ( ) funksiya sohada tenglamani ayniyatga aylantirsa u holda bu funksiya tenglamaning sohadagi yechimi deb ataymiz. Tushunarliki tenglamaning sohadagi ?????? ( ?????? 1 , ?????? 2 , … , ?????? ?????? ) yechimi tenglamada qatnashuvchi barcha xususiy xosilalarga ham ega bo’lishi kerak. Birinchi tartibli xususiy xosilali differentsial tenglamalar 7 ko’rinishga ega. 1-misol. Tenglamani yeching bu yerda ikki o’zgaruvchili noma’lum funksiya. Yechish. Ravshanki funksiya ga bog’liq emas, ya’ni , bu yerda – ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya. 2-misol. Tenglamani yeching. bu yerda ikki o’zgaruvchili noma’lum funksiya. Yechish . Tenglamada erkli o’zgaruvchilarni formulalar yordamida almashtiramiz. Natijada tengliklarga ega bo’lamiz. Bularni tenglamaga qo`yamiz va tenglamaga kelamiz. Ohirgi tenglama yechimga ega, bu yerda o’zgaruvchining ihtiyoriy differensiallanuvchi funksiyasi. Yuqoridagi almashtirish bo’yicha eski ( ?????? va ?????? ) erkli o’zgaruvchilarga qaytamiz: ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya. 3-misol. Tenglamani yeching 8 bu yerda ikki o’zgaruvchili noma’lum funksiya. Yechish . Tenglamada erkli o’zgaruvchilarni formulalar yordamida almashtiramiz. Natijada tengliklarga ega bo’lamiz. Bularni tenglamaga qo`yamiz va tenglamaga kelamiz. Bundan , bu yerda o’zgaruvchining ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiyasi. Yuqoridagi almashtirish bo’yicha eski ( ?????? va ?????? ) erkli o’zgaruvchilarga qaytamiz: – ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya. 4-misol. Tenglamani yeching bu yerda ikki o’zgaruvchili noma’lum funksiya. 9 Yechish. Tenglamani ko’rinishini o’zgartirib yozamiz: . Bu tenglikni x bo’yicha integrallaymiz: , bu yerda o’zgaruvchining ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiyasi. Oxirgi tenglikni esa bo’yicha integrallaylik: bu yerda va o’z argumentlarining ixtiyoriy ikki marta differensiallanuvchi funksiyalari, . Yuqorida ko’rilgan birinchi tartibli xususiy xosilali tenglamalarning barcha yechimlari formulasi, ya’ni umumiy yechimi bitta ihtiyoriy funksiyaga, ikkinchi tartibliniki esa ikkita ixtiyoriy funksiyaga ega bog’liq bo’ldi. Ta’kidlash joizki tartibli xususiy xosilali tenglamaning umumiy yechimi ta ixtiyoriy funksiyaga bog’liq bo’ladi. Bizga m -tartibli xususiy xosilali va yuqori xosilalardan biriga nisbatan yechilgan quyidagi tenglama berilgan bo’lsin: (3) tenglama uchun Koshi masalasi quyidagicha qo’yiladi: Koshi masalasi. (3) tenglamaning da tengliklarni qanoatlantiruvchi yechimini toping. Bu yerda , 10 funksiyalar boshlang’ich qiymatlar (yoki boshlang’ich funksiyalar) deb ataladi. (4) shart esa boshlang’ich shart deyiladi. Qo’yilgan Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi Kovalevskaya teoremasini keltirishdan avval analitik funksiya tushunchasini kiritib olaylik. Agar funksiya sohada ihtiyoriy marta differensiallanuvchi bo’lsa bu funksiya sohada analitik funksiya deb ataladi. Kovalevskaya teoremasi . Agar (4) boshlang’ich shartda berilgan , funksiyalar nuqtaning biror atrofida analitik funksiyalar bo’lsa, funksiya esa o’zi aniqlangan to’plamning nuqtasining biror atrofida analitik bo’lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki bu atrofda Koshi maslasining yechimi mavjud va yagona. Shuningdek yechim ta’kidlangan atrofda analitik funksiyadan iborat. Keltirilgan teoremaning isboti analitik funksiyalar nazariyasiga asoslangan bo’lgani uchun uni keltirmaymiz. 11 Erkli o’zgaruvchilari soni ikkita bo’lgan birinchi tartibli xususiy xosilali differensiallash masalasi hamda Koshi masalasining geometrik talqinini ko’rib chiqamiz. Bunday tenglama xususiy xosilalardan biriga nisbatan yechilgan bo’lsin: (5) tenglamaning yechimi ko’rinishga ega. (6) funksiya nuqtalar fazosida biror sirtni ifodalaydi. Bu sirtni (5) differensial tenglamaning integral sirti deb ataymiz. Demak xususiy xosilali differentsial tenglamalarni yechish masalasi integral sirtlarni topish masalasidan iboratdir. Agar (6) formula sirt tenglamasidan iborat bo’lsa, bu sirtga nuqtada o’tkazilgan urinma tekislik tenglamasi yoki ko’rinishga ega bo’ladi, bu yerda va urinma tekislikning burchak koeffisietlaridir. Shunday qilib (5) xususiy xosilali tenglama izlanayotgan sirt nuqtasining koordinatalari bilan bu sirtga shu nuqtada o’tkazilgan urinma tekislikning ?????? va ?????? burchak koeffisientlari orasidagi bog’lanishni ifodalaydi. 12 (5) tenglama uchun qo’yilgan Koshi masalasi ham sodda geometrik interpretatsiyaga ega. (5) tenglama uchun Koshi maslasi. (5) tenglamaning da ?????? = ?????? ( ?????? ) tenglikni qanoatlantiruvchi ?????? ( ?????? , ?????? ) yechimini toping. Bu shart qisqacha , ?????? = ?????? ( ?????? ) (7) boshlang’ich shart ko’rinishida beriladi. (7) tenglama nuqtalar fazosida biror egri chiziqni ifodalaydi. Demak (5), (7) Koshi masalasi (7) egri chiziq ustidan o’tuvchi sirtni topish masalasidan iboratdir. Birinchi tartibli hususiy hosilali chiziqli bir jinsli tenglama Ushbu tenglama birinchi tartibli hususiy hosilali chiziqli bir jinsli tenglama deyiladi. (1) tenglama bilan birga ushbu simmetrik ko’rinishdagi oddiy differensial teglamlar sistemasini qaraymiz. 1-teorema. Agar ifoda (2) sistemaning birinchi integrali bo’lsa, u holda funsiya (1) tenglamaning yechimidan iborat. Isbot. (2) tengliklarni biror ?????? parametrga tenglab olaylik, ya’ni 13 Bundan (2) sistemaga teng kuchli quyidagi sistemga ega bo’lamiz ifodaning to’liq diffrensilini hsoblaymiz: ?????? funksiya (2) sistemaning birinchi integrali ekanligidan, funksiya differensialiga (3) sistemadan larning ifodasini qo’ysak ayniyat hosil bo’ladi, ya’ni Bundan ayniyatga ega bo’lamiz. Bu ayniyat funksiya (1) tenglamani yechimi ekanligini ko’rsatadi. Teorema isbotlandi. 2-teorema. Agar funksiya (1) tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda ifoda (2) sistemaning birinchi integralidan iborat bo’ladi. Isbot . Agar funksiyani (2) sistema yechimlari ustida o’zgarmasga aylanishini ko’rsatsak teorema isbotlanadi. Buning uchun funksiyaning to’liq differensiali (2) sistema yechimlari ustida aynan nolga aylanishini ko’rsatish yetarli. funksiyani to’liq differensiallaymiz va (2) ga teng kuchli (3) sistema yechimlari ustida hisoblaymiz: 14 Teorema isbotlandi. 2-reja. 3-teorema. ifodalar (2) sistemaning birinchi integrallari bo’lsa, u holda funksiya (1) tenglamaning yechimi bo’ladi, bu yerda Ф barcha argumentlari bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi ihtiyoriy funksiya. Isbot. (4) funksiyani (1) tenglamaga qo’yamiz: Teorema isbotlandi. Ta’rif. Agar ifodalar (2) sistemaning erkli birinchi integrallari bo’lsa, u holda funksiya (1) tenglamaning umumiy yechimi deb ataladi, bu yerda barcha argumentlari bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi ihtiyoriy funksiya. Misol. Tenglamaning umumiy yechimini toping . 15 Yechish. Bu tenglamaga mos simmetrik formadagi sistemani yozamiz . . Sistemaning tenglamasidan yoki birinchi integralini topamiz. tenglamadan esa birinchi integralni topamiz. Topilgan birinchi integrallarni erkliligini tekshiramiz . Bu matritsa ustunlaridan tuzilgan hech bir determinant nolga teng emas. Demak va birinchi integrallar erkli. 3-teoremaga ko’ra, berilgan tenglamaning umumiy yechimi formula bilan ifodalanadi. (1) tenglama uchun Koshi masalasi. Tenglamaning barcha yechimlari orasidan boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimni toping, bu yerda berilgan funksiya. Koshi masalasini umuman olganda shunday tushunish kerak: (1) tenglamaning barcha yechimlari orasidan argumentlardan birining fiksirlangan qiymatida qolgan argumentlarning berilgan funksiyasiga teng 16 bo’ladigan yechimni toping. Xususan, yuqorida qo’yilgan Koshi masalasida argumentning fiksirlangan qiymatida argumentlarning berilgan funksiyasiga teng bo’lgan yechimni topish talab qilingan. Koshi masalasini yechimini umumiy yechim formulasidan xosil qilish jarayonini ko’rib chiqamiz. (1) tenglamaning (5) umumiy yechimi formulasida funksiyani shunday aniqlashimiz kerakki u tenglikni qanoatlantirsin. Belgilashlar kiritaylik: Bu sistemani larga nisbatan yechish mumkin bo’lsin: Agar funksiyani ko’rinishida tanlasak (6) shart bajariladi. Haqiqatdan ham 17 tenglamaning boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topaylik. Berilgan tenglamaga mos simmetrik sistemani yozamiz: . Bu sistemaning birinchi integralini topamiz. Demak berilgan sistemaning umumiy yechimi: . tenglamani nisbatan yechib tenglikni olamiz. Demak Koshi masalasining yechimi yoki funksiyadan iborat. 2-Misol. yz ∂ u ∂ x + xz ∂ u ∂ y + xy ∂ u ∂ z = 0 tenglamaning ?????? ( ?????? , ?????? , ?????? ) yechimlari orasidan ?????? ( ?????? , 0, ?????? ) = sin( ?????? + ?????? ) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimni topaylik. Berilgan tenglamaga mos simmetrik sistemani yozaylik: tenglamadan birinchi integralni topamiz. tenglamadan esa ?????? 2 − ?????? 2 = ?????? 2 ( ?????? , ?????? , ?????? ) birinchi integralni topamiz. Topilgan birinchi integrallar erkli. Demak berilgan tenglamaning umumiy yechimi formula bilan aniqlanadi. 18 ???????????? ???????????? = ???????????? ???????????? = ???????????? ???????????? sistemani ?????? , ?????? larga nisbtan yechamiz: . Demak izlanayotgan yechim yoki funksiyadan iborat. 19 Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini va Koshi masalasi yechimini topish usuli. Faraz qilaylik bizga birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli chiziqli differensial tenglama berilgan bo’lsin: b1(x1,⋯ ,xn)ux1+⋯ +bn(x1,⋯ ,xn)uxn=0 . (3) Bunda bi(x1,⋯ ,xn),i=1,2 ,⋯ ,n koeffisientlar biror D ⊂Rn sohada aniqlangan va o’zining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan uzluksiz va hammasi bir vaqtda nolga teng bo’lmagan berilgan funksiyalar. Aniqlik uchun bn(x1,x2,⋯ ,xn)≠0 bo’lsin. Odatda (3) bilan bir vaqtda uning xarakteristik tenglamalari deb ataluvchi quiydagi diffrensial tenglamalar sistemasi qaraladi: dx 1 b1(x1,⋯ ,xn)= dx 2 b2(x1,⋯ ,xn)= ⋯ = dx n bn(x1,⋯ ,xn) . (4) (4) sistemani unga ekvivalent bo’lgan quyidagi tenglamalar sistemasi bilan almashtiramiz dx i dx n = bi(x1,⋯ ,xn) bn(x1,⋯ ,xn),i=1,2 ,⋯ ,n−1 . (5) bi(x1,⋯ ,xn),i=1,2 ,⋯ ,n koeffisientlarga yuqoridagi qo’yilgan shartlarda (5) sistema n−1 ta chiziqli bog’lanmagan birinchi integrallarga ega bo’ladi: ϕi(x1,x2,⋯ ,xn)=Ci,i=1,2 ,⋯ ,n−1 . (6) (6) ga (3) tenglamaning xarakteristik chiziqlari oilasi deb ataladi. Quyidagi lemmada (3) tenglama hamda (5) sistema yechimlari orasidagi bog’lanish keltiriladi. Lemma. 1) Agar ϕ(x1,x2,⋯ ,xn)=C (5) ning biror birinchi integrali bo’lsa, u holda u=ϕ(x1,x2,⋯ ,xn) funksiya (3) differensial tenglamaning xususiy yechimi bo’ladi. 2) Agar u=ϕ(x1,x2,⋯ ,xn) funksiya (3) ning biror xususiy yechimi bo’lsa, u holda ϕ(x1,x2,⋯ ,xn)=C oila (5) ning birinchi integrali bo’ldi. 3) Agar ϕi(x1,x2,⋯ ,xn)=Ci,i=1,2 ,⋯ ,n−1 lar (5) ning birinchi integrallari bo’lsa, u holda (3) differensial tenglamaning umumiy yechimi u=F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1) 20 dan iborat bo’ladi. Bunda F qaralayotgan sohada uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya. Isbot. 1). (6) ga ko’ra (5) ning ixtiyoriy birinchi integrali xarakteristik chiziqlar bo’ylab o’zgarmasga tengligi tufayli (5) ning ixtiyoriy birinchi integrali to’liq differensiali quyidagi tenglikni qanoatlantiradi dϕ= ∂ϕ ∂x1 dx 1+ ∂ϕ ∂x2 dx 2+⋯ + ∂ϕ ∂xn dx n=0 . Bunda (5) ga asosan dx i= bi(x1,⋯ ,xn) bn(x1,⋯ ,xn)dx n,i=1,2 ,⋯ ,n−1 tenglikdan foydalansak, quyidagi ifodaga ega bo’lamiz: [ ∂ϕ ∂x1 b1 bn + ∂ϕ ∂x2 b2 bn +⋯ + ∂ϕ ∂xn bn bn]dx n=0 . Agar bn(x1,x2,⋯ ,xn)≠0 ekanligini hisobga olsak quyidagi tenglikni olamiz: b1(x1,⋯ ,xn)∂ϕ ∂x1 +b2(x1,⋯ ,xn)∂ϕ ∂x2 +⋯ +bn(x1,⋯ ,xn)∂ϕ ∂xn =0 . (7) Ushbu tenglik C1,C2,⋯ ,Cn−1 larga bog’liq bo’lmagan holda qaralayotgan D ⊂Rn sohaning barcha nuqtalarida bajariladi. Bu esa u=ϕ(x1,x2,⋯ ,xn) funksiya (3) differensial tenglama uchun xususiy yechim ekanligini bildiradi. Shunday qilib biz lemmaning 1) –qismini isbotladik. 2) Faraz qilaylik u=ϕ(x1,x2,⋯ ,xn) funksiya (3) ning biror xususiy yechimi bo’lsin, ya’ni (7) ning ayniyat ekanligini olamiz. U holda ϕ funksiyaning to’la differensialini hisoblaymiz: dϕ= ∂ϕ ∂x1 dx 1+ ∂ϕ ∂x2 dx 2+⋯ + ∂ϕ ∂xn dx n . Bunda (5) sistemani hisobga olsak quyidagi tenglikni olamiz: dϕ=[b1 ∂ϕ ∂x1 +b2 ∂ϕ ∂x2 +⋯ +bn ∂ϕ ∂xn] dx n bn . Bu tenglikda (7) ayniyat ekanligini hisobga olsak ϕ(x1,x2,⋯ ,xn)≡C=const bo’ladi, ya’ni (5) sistemaning ixtiyoriy untegral chizig’i bo’ylab ϕ(x1,x2,⋯ ,xn)≡C=const bo’lar ekan. 3) Teoremaning bu tasdig’ini isbotlash uchun, ya’ni (3) ning umumiy yechimi xarakteristikalar orqali 21 u=F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1)ko’rinishda ekanligini isbotlash uchun u barcha xususiy yechimlarni o’z ichida saqlovchi yechim ekanligini ko’rsatishimiz yetarli. Faraz qilaylik u=ϕ(x1,x2,⋯ ,xn) nolmas funksiya (3) ning ixtiyoriy bir xususiy yechimi bo’lsin. U holda ϕ= F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1) tenglikni qanoatlantiruvchi va uzluksiz differensiallanuvchi F funksiyaning mavjud ekanligini ko’rsatamiz. Teorema sharti va farazimizga asosan ϕ,ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1 funksiyalar (5) sistemaning va teoremaning isbotlangan 2) qismiga ko’ra ular (3) ning ham yechimlari ekanligidan quyidagi ayniyat o’rinli b 1 ∂ϕ ∂x 1 +b 2 ∂ϕ ∂x 2 +⋯+b n ∂ϕ ∂x n =0¿ } b 1 ∂ϕ 1 ∂x 1 +b 2 ∂ϕ 1 ∂x 2 +⋯+b n ∂ϕ 1 ∂x n =0¿ } ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯¿}¿¿¿ (8) Agar (8) ayniyatni b1,b2,⋯ ,bn larga nisbatan bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi deb qarasak uning nolmas yechimga ega ekanligidan uning determinanti nolga teng bo’lishu zarur bo’ladi: | ∂ϕ ∂x 1 ∂ϕ ∂x 2 ⋯ ∂ϕ ∂x n ¿|| ∂ϕ 1 ∂x 1 ∂ϕ 1 ∂x 2 ⋯ ∂ϕ 1 ∂x n ¿||⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯¿|¿ ¿ ¿¿ . Bundan ϕ,ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1 funksiyalar sistemasining Yakobiani nolga teng bo’lganligi uchun ular chiziqli bog’langan degan xulosaga kelamiz. Demak, ϕ nolmas funksiya qolganlari orqali ifodalanadi: ϕ= F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1) . (5) sistemaning har bir birinchi integrali bo’ylab ϕi,i=1,2 ,⋯ ,n−1 funksiyalar o’zgarmasga aylangani uchun F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1) funksiya ham (5) sistemaning integral chiziqlari bo’ylab o’zgarmasga aylanadi, ya’ni F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1)=C ham (5) ning integrali bo’ladi. Teoremaning 2) tasdigiga asosan u=F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1) funksiya (3) ning yechimi bo’ladi. Demak u=F(ϕ1,ϕ2,⋯ ,ϕn−1) funksiya (3) ning 22 barcha xususiy yechimlarini beruvchi yechim ekan. Bu esa uning umumiy yechim ekanligini anglatadi. Misol. x ∂ u ∂ x +( xy + x e x ) ∂ u ∂ x = 0 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. Yechish. Ushbu tenglamaga mos xarakteristik tenglamalar sistemasi dx x = dy xy + x e x ko’rinishdagi bitta o’zgaruvchilari ajraladigan oddiy differensial tenglamadan iborat bo’ladi. Uni dx x= dy x(y+ex) dx = dy ( y + e x ) shaklda tasvirlab, integrallaymiz va natijada berilgan tenglamaning X= ln | y + e x | +c yoki C= x − ln | y + e x | xarakteristik chiziqlari oilasini olamiz. Natijada berilgan tenglamaning umumiy yechimi U=F(x- ln | y + e x | ) funksiyadan iborat bo’ladi. Bunda F uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya. Bu misollardan ko’rinib turibdiki, xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama cheksiz ko’p sondagi yechimlarga ega ekan. Unga qanday qo’shimcha shart qo’yilsa, bu tenglama yagona yechimga ega bo’ladi degan savol muhim fizik va matematik ahamiyatga ega hisoblanadi. Quyida biz n ta erkli o’zgaruvchili u(x1,x2,⋯ ,xn) funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning umumiy ko’rinishini keltiramiz: ∑ i,j=1 n aij(x1,⋯ ,xn)uxixj(x1,⋯ ,xn)+∑ i=1 n bi(x1,⋯ ,xn)uxi(x1,⋯ ,xn)+f(x1,⋯ ,xn)=0 , (1) bunda aij(x1,x2,⋯ ,xn) , bi(x1,x2,⋯ ,xn),i,j=1,2 ,⋯ ,n va f(x1,x2,⋯ ,xn) funksiyalar qaralayotgan sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi berilgan funksiyalar. 23 Biz ushbu kursda asosan ikki o’zgaruvchili funksiyalar bilan shug’ullanamiz va ko’p o’zgaruvchili hol uchun tegishli ko’rsatma beramiz. Bu holda ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli tenglama quiydagi ko’rinishda yoziladi: a11(x,y)uxx+2a12(x,y)uxy+a22(x,y)uyy+b1(x,y)ux+b2(x,y)uy+c(x,y)u+f(x,y)=0 (2) Agar (2) tenglamada erkli o’zgaruvchilarni o’zaro bir qiymatli ξ= ϕ(x,y),η= ψ(x,y) (3) almashtirish bajarsak (2) differensial tenglamaga ekvivalent tenglamani hosil qilamiz. Ushbu yangi o’zgaruvchilarda (2) tenglamada ishtirok etayotgan xususiy hosilalarni hisoblaymiz: u x =u ξ ξ x +u η η x ¿} u y =u ξ ξ y +u η η y ¿} u xx =u ξξ ξ x 2 +2u ξη ξ x η x +u ηη η x 2 +u ξ ξ xx +u η η xx ¿}u xy =u ξξ ξ x ξ y +u ξη (ξ x η y +ξ y η x )+u ηη η x η y +u ξ ξ xy +u η η xy ¿}¿¿¿ (4) (4) dagi ifodalarni (2) ga qo’yamiz va bir xil xususiy hosilalarni jamlab, (2) ga ekvivalent bo’lgan quyidagi xususiy hosilali differensial tenglamaga kelamiz: ¯a11(ξ,η)uξξ+2¯a12(ξ,η)uξη+¯a22(ξ,η)uηη+¯b1(ξ,η)uξ+¯b2(ξ,η)uη+^¯c(ξ,η)u+¯f(ξ,η)=0 . (5) Bunda koeffisientlardagi funksiyalar (2) tenglama koeffisientlari orqali quyidagicha ifodalanadi ¯a 11 =a 11 ξ x 2 +2a 12 ξ x ξ y +a 22 ξ y 2 ¿}¯a 12 =a 11 ξ x η x +a 12 (ξ x η y +ξ y η x )+a 22 ξ y η y ¿}¯a 22 =a 11 ξ y 2 +2a 12 η x η y +a 22 η y 2 ¿} ¯b 1 =a 11 ξ xx +2a 12 ξ xy +a 22 ξ yy +b 1 ξ x +b 2 ξ y ¿} ¿¿¿ (6) Demak o’zaro bir qiymatli akslantirishlar natijasida xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama yana chiziqli differensial tenglamaga o’tar ekan. (6) dan ko’rinib turibdiki, agar biror z=ϕ(x,y) funksiya a11zx2+2a12zxzy+a22zy2=0 (7) 1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda (6) da ξ=ϕ(x,y) deb olinsa ¯a11=0 bo’ladi. Xuddi shu kabi mulohazalarni ¯a12 va ¯a22 koeffisientlar uchun ham aytish mumkin. Demak yangi o’zgaruvchilarni (5) diffrensial tenglamaning yuqori tartibli xususiy hosilalaridan ba’zilari nolga teng bo’ladigan qilibtanlash masalasi (7) birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimini topish bilan uzviy bog’liq ekan. 2-tartibli xususiy hosilali 24 differensial tenglamaning aralash ikkinchi tartibli xususiy hosilalari qatnashmagan bu sodda shakli odatda uning kanonik shakli deb yuritiladi. Kanonik shaklini ta’minlovchi (7) birinchi tartibli xusuiy hosilali differensial tenglamaning yechimga ega bo’lish masalasi (2) dtenglamaning xarakteristik tenglamasi deb ataluvchi a11dy 2−2a12dydx +a22dx 2=0 (8) oddiy differensial tenglamaning umumiy integrali bilan uzviy bog’liq bo’ladi. Uning umumiy integrallariga odatda (2) tenglamaning xarakteristik chiziqlari deb yuritiladi. Yuqoridagi tasdiqni biz quyidagi lemmada keltiramiz. Lemma. z=ϕ(x,y) funksiya (7) birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamaning aynan o’zgarmasdan farqli yechimi bo’lishi uchun ϕ(x,y)=C,C=const ning (8) oddiy differensial tenglamaning umumiy integrali bo’lishi zarur va yetarlidir. Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilaylik z=ϕ(x,y) funksiya (7) birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning aynan o’zgarmasdan farqli biror yechimi bolsin. U holda a11ϕx2+2a12ϕxϕy+a22ϕy2=0 ayniyatga ega bo’lamiz. Uni quyidagi ayniyat bilan almashtiramiz a11( ϕx ϕy) 2 −2a12(− ϕx ϕy)y +a22=0 . (9) Endi ϕ(x,y)=C oshkormas munosabatdan y=g(x,C) funksiyani aniqlash mumkin deb, uning hosilasini qaraymiz dy dx =−ϕx(x,g(x,C)) ϕy(x,g(x,C)) . U holda (8) ni quyidagi a11( dy dx ) 2 − 2a12 dy dx +a22=[a11(− ϕx ϕy) 2 − 2a12(− ϕx ϕy)+a22]y=g(x,C) =0 . (10) Ta’kidlanganidek (9) ning ayniyat ekanligidan so’ngi tenglik ham sohada qaralayotgan har bir nuqtada bajariladi. Bu esa y=g(x,C) funksiya (8) ning umumiy yechimi ekanligini anglatadi. Bunday nuqtalar to’plami esa ϕ(x,y)=C umumiy integralni beradi. Yetarliligi. Faraz qilaylik ϕ(x,y)=C,C=const (8) ning umumiy integrali bo’lsin. Qaralayotgan sohadan ixtiyoriy bir (x0,y0) nuqtani olamiz. Va bu nuqtadan (8) ning ϕ(x0,y0)=C0 shartni qanoatlantiruvchi biror integral chizig’ini o’tkazamiz. Endi y=g(x,C0) shartni qanoatlantiruvchi integral egri chiziq uchun (10) ning o’rinli ekanligini olamiz. Undan esa (5) ning z=ϕ(x,y) da bajarilishini hosil qilamiz. Lemma isbot bo’ldi. (8) oddiy differensial tenglama quyidagi ikki oddiy differensial tenglamaga ajraladi: 25 dy dx = a12−√a12 2 −a11a22 a11 ¿ } ¿¿¿(11) (11) dagi ildiz belgisi ostidagi ifodaning qaralayotgan nuqtadagi qiymatiga qarab (2) tenglama quyidagi 3 tipga ajraladi. Ta’rif. 1) Agar berilgan (x0,y0) nuqtada Δ=a122(x0,y0)−a11(x0,y0)a22(x0,y0)>0 bo’lsa (2) tenglama bu nuqtada giperbolik tipli deyiladi. 2) Agar berilgan (x0,y0) nuqtada Δ=a122(x0,y0)−a11(x0,y0)a22(x0,y0)=0 bo’lsa (2) tenglama bu nuqtada parabolik tipli deyiladi. 3) Agar berilgan (x0,y0) nuqtada Δ=a122(x0,y0)−a11(x0,y0)a22(x0,y0)<0 bo’lsa (2) tenglama bu nuqtada elliptik tipli deyiladi. (2) tenglamaning hamma giperbolik tipli bo’ladigan nuqtalari to’plami shu tenglamaning giperboliklik to’plami, parabolic tipli nuqtalari to’plami parabolic sohasi va elliptic tipli bo’ladigan nuqtalari to’plami uning elliptiklik sohasi deyiladi. Agar (2) tenglama qaralayotgan soha nuqtalarida bir nechta tipga ega bo’lsa, bu sohada tenglama aralash tipli deyiladi. Endi (2) tenglama faqat bir tipga ega bo’ladigan biror D to’plamni qaraymiz. (11) ga asosan bu sohaning har bir nuqtasidan (2) tenglamaning ikkita xarakteristik chizig’I o’tadi. Xususan, (2) tenglama D sohada giperbolik tipli bo’lganda ikkala turli haqiqiy qiymatli, parabolik holda ustma-ust tushuvchi haqiqiy qiymatli va elliptik bo’lganda esa ikkita qo’shma kompleks qiymatli xarakteristik chiziqlar hosil bo’ladi. (2) tenglamaning kanonik shaklini topish uchun bu hollarni alohida-alohida qarab chiqamiz. 1) D sohada (2) giperbolik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida Δ=a122−a11a22>0 tengsizlik o’rinli. Bu holda (11) ning har ikkala tenglamasi haqiqiy qiymatli ϕ(x,y)=C1,ψ(x,y)=C2 umumiy integrallarga ega bo’ladi. Mavzu boshida aytilgan yangi o’zgaruvchilarni ξ=ϕ(x,y), η=ψ(x,y) kabi tanlaymiz. U holda Lemma va (6) ga asosan ¯a11=¯a22= 0,¯a12≠0 bo’lib, yangi o’zgaruvchilarda (2) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi: uξη=F1(ξ,η,u,uξ,uη) , (12) bunda F1(ξ,η,u,uξ,uη)=− ¯b1(ξ,η) 2¯a12(ξ,η)uξ− ¯b2(ξ,η) 2¯a12(ξ,η)uη− ¯c(ξ,η) 2¯a12(ξ,η)u− ¯f(ξ,η) 2¯a12(ξ,η) . Odatda (12) tengalamaga giperbolik tenglamalarning 1 -tur kanonik shakli deyiladi. Agar unda α= ξ+η 2 , β= ξ−η 2 almashtirishlarni bajarsak 26 uξη= 1 4(uαα−uββ)bo’lib, (12) ga asosan giperboik tenglamalarning 2-tur kanonik shakli uαα−uββ=4F1(α,β,u,uα,uβ) hosil bo’ladi. 2) D sohada (2) parabolik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida Δ=a122−a11a22=0 tenglik o’rinli. Bu holda (11) ning har ikkala tenglamasi bitta haqiqiy qiymatli ϕ(x,y)=C umumiy integralga ega bo’ladi. Bu holda yangi o’zgaruvchilarni ξ=ϕ(x,y), η=ψ(x,y) kabi tanlaymiz. Bunda ψ(x,y) orqali ϕ(x,y) bilan chizqli bogl’anmagan ixtiyoriy funksiya tanlangan. U holda Lemma va (6) ga asosan ¯a11=0,¯a12≠0 va bo’lib, a12=√a11 √a22 bo’lganligi uchun (6) dan ¯a12=(√a11ξx+√a22ξy)(√a11ηx+√a22ηy)= 0 ekanligini olamiz. Natijada (5) da ¯a22 bo’lish bilan giperbolik tipli tenglamalarning kanonik shakli ni hosil qilamiz: uηη=F2(ξ,η,u,uξ,uη) . Bunda F1(ξ,η,u,uξ,uη)=− ¯b1(ξ,η) ¯a22(ξ,η)uξ− ¯b2(ξ,η) ¯a22(ξ,η)uη− ¯c(ξ,η) ¯a22(ξ,η)u− ¯f(ξ,η) ¯a22(ξ,η) . 3) D sohada (2) tenglama elliptik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida Δ=a122−a11a22<0 tengsizlik o’rinli. Bu holda (11) ikkita qo’shma kompleks umumiy integrallarga ega bo’ladi ϕ(x,y)+iψ (x,y)=C1,ϕ(x,y)−iψ (x,y)=C2 . Bu holda yangi o’zgaruvchilarni ξ=ϕ(x,y), η=ψ(x,y) kabi tanlaymiz. Bu holda ¯a11=¯a22≠ 0,¯a12=0 o’rinli bo’ladi. (5) tenglamaning ikkala tomonini ¯a11 ga bo’lib, elliptic tipli tenglamalarning uξξ+uηη= F3(ξ,η,u,uξ,uη) kanonik shaklini hosil qilamiz. Misol-2 Quyidagi berilgan ikkinchi tartibli xususiy hosilali o’zgaruvchi koeffisientli chiziqli differentsial tenglamaning tiplarini aniqlang va ularni kanonik holga keltiring 3U XX +U XY +3U X+U Y+Y=0 27 Bu tenglamani yechish uchun quyidagi formulalardan foydalanamiz 1 .B 2− A ∗ C ≻ 0 → gepirbolik 2 .B 2 − A ∗ C ≺ 0 → parobolik 3 .B 2− A ∗ C = 0 → elliptik Yechish:bu misolda AU XX +BU XY +CU YY +LU X+HU Y+LX = 0 bu yerda a=1 b=1 c=0 shularga tenglamani tipini aniqlaymiz. b2− ac = 12− 1∗(0)= 1 demak bu tenglamani tipi gepirbolik tipli ekan. Kanonik holga keltirish uchun quyidagi formulalardan foydalanamiz u x =u ξ ξ x +u η η x ¿} u y =u ξ ξ y +u η η y ¿} u xx =u ξξ ξ x 2 +2u ξη ξ x η x +u ηη η x 2 +u ξ ξ xx +u η η xx ¿} u xy =u ξξ ξ x ξ y +u ξη (ξ x η y +ξ y η x )+u ηη η x η y +u ξ ξ xy +u η η xy ¿} ¿¿¿ 28 dy 2− dx ∗ dy = 0 tenglamani hosil qilamiz DY = 0 deb olsak 3 DY = DX bo ' ladi bundan 3 Y = X + C 1→ 3 y − x = c 1 DY = 0 → y = c 2 Bu yerdan ξ va η larni topamiz ξ = 3 y − x η = y ξ va η lardan foydalanib u x ,u y ,u xy , u xx , u yy larni yozamiz . u x= − v ξ u y= 3 v ξ+ v η u xy = − 3 v ξξ − v ξη − 3 v ξ 29 FOYDALANGAN ADABIYOTLAR 1. Шарипов Ш.Р., Мўминов Н.С. Оддий дифференциал тенгламалар. Тошкент. “Ўқитувчи” 1992, 310 б. 2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969, 424 с. 3. Ўринов А.Қ. Оддий дифференциал тенгламалар учун чегаравий масалалар. – Тошкент: Mumtoz so ‘ z , 2014. 164 б. 4. Оппоқов Ю.П, Турғунов Н., Гаффаров И.А. Оддий дифференциал тенгламалардан мисол ва масалалар тўплами. (Ўқув қўлланма). Тошкент – 2009 йил. 5. Morris Tenebout, Harry Pollard. Ordinary differential equations. Birkhhuzer. Germany, 2010. 6. Robinson J.C. An Introduction to ordinary differential equations. Cambridge University Press 2013. 30

Birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar

Купить