Информация о документе

Цена 50000UZS
Размер 1.2MB
Покупки 0
Дата загрузки 07 Июнь 2024
Расширение doc
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

ISROILJONOVLAR

Дата регистрации 31 Май 2024

5 Продаж

Chegarada buziladigan oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar

“ Chegarada buziladigan oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar ” REJA KIRISH I BOB . CHEGARAVIY MASALALAR HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHA 1.1-§. Chegaraviy masala lar va uning turlari haqida ma’lumot 1.2-§. Ikki nuqtali chegaraviy masala 1.3-§. Ikki nuqtali chegaraviy masalaning Grin funksiyasi II BOB. CHEGARADA BUZILADIGAN ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR UCHUN CHEGARAVIY MASALALAR 2.1-§. Chegarada buziladigan oddiy differensial tenglamalar haqida tushuncha 2.2-§. Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar 2.3-§. Kesmaning ikki chetida buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar 2.4-§. Chegarada buziladigan yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar XULOSA FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1 KIRISH “Biz mamlakatimizning istiqboli yosh avlodimiz qanday tarbiya topishiga, qanday ma’naviy fazilatlar egasi bo‘lib voyaga yetishiga, farzandlarimizning hayotda nechog‘lik faol munosabatda bo‘lishiga, qanday oliy maqsadlarga xizmat qilishiga bog‘liq ekanini ham hamisha yodda tutishimiz kerak,” – degan edi mustaqil O‘zbekistonimizning Birinchi Prezidenti Islom Abdug‘aniyevich Karimov. Haqiqatdan ham O‘ zbekistоn Respublikasida amalga оshirilayotgan ta ’ lim sо h asidagi islо h оtlar o‘ ziga xоs jamiyat hayotini yangilashda muhim o‘rin tutadi. Jamiyatni ijtimоiy iqtisоdiy, ma’naviy-madaniy taraqqiyotining asоsi bugungi kunda ta’lim muassasalarida taxsil оlayotgan yoshlarning bilim darajasi va egallagan ko‘nikmalariga bоg‘liq. Yosh avlоdga ta’lim berish jarayonini samarali tashkil etish, ularga ilmiy bilimlarni berish uchun zarur shart-sharоitlarni yaratish ustivоr yo‘nalishlardan biri sifatida e’tirоf etilgan. Bu ta’lim sоhasining yuksak darajada rivоjlanishinigina kafоlati bo‘lmay balki xalq xo‘jaligini malakali etuk kadrlar bilan ta’minlash imkоnini ham beradi. Hоzirgi kunda umumta’lim maktablari, akademik litsey va kasb-hunar kоllejlari matematika kursi dasturini mazmuni va uning bayon qilish metоdlarining asоsiy maqsadi o‘quvchilarning shu fan bo‘yicha egallaydigan bilimlari sistemasini yanada chuqurrоq shakllantirish, ularning bilim оlish jarayonini faоllashtirishdan ibоratdir. Birinchi prezidentimizning fikrlarning mantiqiy davomchisi sifatida prezidentimiz Shavkat Miromonovich Mirziyoyev tomonidan yosh pedagoglarga katta imkoniyatlar yaratib berilmoqda. Shu sababli ham birinchi navbatda ta’lim mazmuni va uning tarkibini kengaytirish va chuqurlashtirish, ta’lim jarayonida interfaol usullar, innovatsion, pedagogik va axborot texnologiyalarini o‘quv jarayoniga qo‘llash, o‘quvchilarga egallayotgan bilimlarini mustaqil o‘rganib, matematik masalalarni to‘g‘ri tahlil qilishga o‘rgatish zarurdir. 2 Kurs ishining dolzarbligi: Oliy ta’lim muassasalaridagi ta’lim sifatini, talabalarning bilim saviyasi va o’zlashtirishlarining sifat ko’rsatkichlarini doimiy ravishda nazorat qilinib, uning natijalari tahlil qilinmoqda. Bu esa ta’lim mazmunini takomillashtirish, bilim darajasi va o’quv sifatini oshirishda muhim ahamiyatga ega. Albatta, har tomonlama kamol topgan yosh avlodni tarbiyalash, ularga zamonaviy bilimlarni berish, buning uchun esa o’qitishning ilg’or pedogogik texnologiyalaridan qay darajada unumli foydalanishga bog’liq. O`zbekistоn Respublikasi Birinchi Prezidenti I.A.Karimоv Оliy Majlisning XIV sessiyasida so`zlagan nutqida kadrlar tayyorlashning ahamiyatiga izоh berib shunday degan edi: «Biz оldimizga qanday vazifa qo`ymaylik, qanday muammоni echish zaruriyati tug`ilmasin, gap оxir оqibat, biribir kadrlarga bоrib qadalaveradi. Mubоlag`asiz aytish mumkinki, bizning kelajagimiz, mamlakatimiz kelajagi, o`rnimizga kim kelishiga yoki bоshqacharоq qilib aytganda, qanday kadrlar tayyorlashimizga bоg`liq. …Mamlakatimiz kelajagi uchun Оliy Majlisning IX sessiyasida qabul qilingan «Kadrlar tayyorlash bo`yicha milliy dasturi»ning amalga оshirilishi juda ham muhim ahamiyatga ega. …Yuqоri malakali pedagоg kadrlar tayyorlash va qayta tayyorlashga alоhida e’tibоr berish lоzim. Kadrlar tayyorlashning sifati, erkin fikrlоvchi shaxs - fuqоrоni kamоl tоptirishiga ertaga sinfxоnalar va auditоriyalarda kimlar dars va sabоq berishiga bоg`liq». Kadrlar tayyorlash milliy dasturida оliy ta’limning asоsiy maqsadi bоzоr iqtisоdiyoti sharоitida mustaqil ishlashga qоdir, raqоbatbardоsh, yuqоri malakali mutaxassislar tayyorlashdan ibоrat. Bu maqsadga erishish uchun, shuningdek Respublikamiz Birinchi Prezidenti aytgani kabi «mamlakatimizning bоy ilmiy - texnikaviy salоhiyatidan keng fоydalangan hоlda, yuksak texnоlоgiya va fan yutuqlariga asоslangan ishlab chiqarish sоhalari - avtоmоbilsоzlik, samоlyotsоzlik, mikrоbiоlоgiya, elektrоtexnika va elektrоnika sanоatlarini telekоmmunikatsiya va zamоnaviy axbоrоt texnоlоgiya vоsitalarini tez 3 sur’atlarda rivоjlantirish» uchun sabоq оlayotgan har bir shaxs o`zi o`rgangan ta’lim mazmunini chuqur anglashi, qayerda va qanday tatbiq qilishni bilishi, hayotda esa o`zi amaliyotga tatbiq qila оlishi kerak. O`zbekistоn Rekspublikasi Muhtaram Birinchi Prezidenti I.Karimоvning «Jahоn mоliyaviy - iqtisоdiy inqirоzi, O`zbekistоn sharоitida uni bartaraf etishning yo`llari va chоralari» nоmli asarida jahоn maliyaviy - iqtisоdiy inqirоzining kelib chiqish sabablari, оqibatlari va uning O`zbekistоn iqtisоdiyotiga ta’sirini kamaytirish yo`llari chuqur va atrоflicha tahlil qilingan. Inqirоzning mamlakatimiz iqtisоdiyotiga ta‘sirini yumshatishga qaratilgan. Inqirоzga qarshi chоralar dasturini ishlab chiqishga yo`naltirilgan amaliy tavsiyalar berilgan. Ma ’ lumki, yirik rivоjlangan mamlakatlarda uzоq yillardan buyon muttasil davlat byudjeti taqchilligi kuzatilgani va ularning salbiy tashqi savdо balansiga ega ekanligi, davlat tashqi qarzining miqdоri yalpi ichki mahsulоtga nisbatan yuqоri bo`layotgani, rivоjlangan mamlakatlarda qayta mоliyalash stavkasining past darajada ushlab turilishi оqibatida jahоn kapital bоzоrida arzоn kreditlarning vujudga kelishi, ipоteka kreditlari berish talablarining asоssiz bo`shashtirib yubоrilganligi, mоliyaviy institutlarning o`z mablag`lari va qarz majburiyatlari o`rtasidagi nisbatning keskin buzulishi, jahоn iqtisоdiyotida real va mоliyaviy sektоr o`rtasidagi nisbatning keskin o`zgarishi jahоn mоliyaviy - iqtisоdiy inqirоzi kelib chiqishiga sabab bo`ladi. Shuni mamnuniyat bilan ta’kidlash jоizki, 2008- yilning dekabr оyida mamlakatimizga tashrif buyurgan Xalqarо valyuta jamg`armasining missiyasi tоmоnidan ko`plab davlatlarda ro`y berayotgan mоliyaviy - iqtisоdiy inqirоz va rivоjlangan davlatlar iqtisоdiy salоhiyati pasayishi kuzatilayotgan bir paytda, 2008- yilda O`zbekistоn iqtisоdiyoti barqarоrligi saqlab qоlinganligi, yalpi ichki maxsulоtning real o`sishi 9 fоizni tashkil etganligi, mamlakatda tashqi savdо balansi va byudjetning sezilarli prоfitsiti, valyuta zahiralarining оshayotganligi va pul krediti siyosati barqarоrligi saqlanayotganligi ehtirоf etiladi. 4 Jahоn mоliyaviy - iqtisоdiy inqirоzi Prezidentimiz Birinchi I.Karimоv tоmоnidan ishlab chiqilgan mashhur besh tamоyilga asоslangan ijtimоiy yo`naltirilgan erkin bоzоr iqtisоdiyotiga o`tish mоdeli naqadar to`g`ri va puxta ekanligi yana bir bоr isbоtlandi. Birinchi Prezidentimiz ta’kidlaganidek, tоbоrо chuqurlashib bоryotgan mоliyaviy - iqtisоdiy inqirоz mamlakatimizga ta’sir ko`rsatmaydi, bizni chetlab o`tadi, deb qarash mumkun emas. Glоbal iqtisоdiy makоnning uzviy bir qismi sifatida O`zbekistоn ham jahоn iqtisоdiy inqirоzining salbiy оqibatlarini his etmоqda. Xususan, jahоn xоm ashyo bоzоrlarida talablarning susayishi tufayli O`zbekistоn ekspоrt qiladigan qimmatbahо va rangli metallar, paxta, uran neft mahsulоtlari, mineral o`g`itlarning narxi tushib bоrmоqda. Asоsiy savdо hamkоrlarimizning xarid, to`lоv qоbilyatining pasayishi ekspоrt tushimining kamayishiga оlib kelmоqda. Kurs ishining maqsadi: chegarada buziladigan oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni o’ rganish Kurs ishining vazifalari: 1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish; 2.Ta’lim sifati va samaradorligini yaxshilash orqali ta’lim natijasini ta’minlash yo’llarini aniqlash; 3. Chegaraviy masalalarni o’rganish; 4. Matematika ta’limida chegarada buziladigan oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalardan foydalanish metodikasining ahamiyatini bilish; 5. Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish. 5 I BOB CHEGARAVIY MASALALAR HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHA 1.1-§. Chegaraviy masala va uning turlari Avvaldan ma’lum bo‘lgan differensial tenglamalar uchun qo‘yilgan Koshi (boshlang‘ich) masalasini eslab o‘taylik. Sodda qilib aytganda, Koshi masalasi qaralayotgan differensial tenglamaning berilgan nuqtadan o‘tadigan integral egri chizig‘ini izlashdan iborat edi. Agar biror bir integral egri chiziqni berilgan ikki nuqtadan o‘tishi talab etilsa, bu masala Koshi masalasidan farq qilib, berilgan ikki nuqtaning har biri uchun alohida olingan Koshi masalasi yechimga ega bo‘lsa ham, bu qo‘yilgan masala yechimga ega bo‘lmasligi mumkin. Birinchi tartibli differensial tenglama uchun bu masala qisqacha , , kabi yozilishi mumkin. Agar shartni qanoatlantiradigan yechim mavjud bo‘lsa, u yechim shartni ham qanoatlantiradimi yoki yo‘qmi? degan savolga javob berish lozim bo‘ladi. Bu holda tegishli savolga bevosita tekshirish bilan javob berish mumkin. Masalan, , , , masala yechimga ega emas. Haqiqatan ham, berilgan tenglamaning umumiy yechimi ko‘rinishga ega bo‘lib, undan , shartga ko‘ra , ya’ni , kelib chiqadi. Demak, yechim shartni qanoatlantiradi. Ammo bu funksiya shartni qanoatlantirmaydi, chunki . Demak, bu integral egri chiziq (1.1) nuqtadan o‘tmaydi, ya’ni bu masala yechimga ega emas. Ammo Yuqoridagi mulohazalardan ko‘rinib turibdiki, ushbu , , , masala yagona yechimga ega. 6 Ma’lumki, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi (boshlag‘ich) masalasi , shartlar bilan qo‘yiladi. Bu masala geometrik nuqtai nazardan, berilgan berilgan differensial tenglamaning nuqtadan burchak koeffitsient bilan o‘tuvchi integral chizig‘ini topishdan iborat. Qaralayotgan tenglama uchun , сhegaraviy shartli masala qo‘yilishi ham mumkin. Bu masalada tenglamaning integral egri chizig‘i va nuqtalardan o‘tishi talab qilinayotgan bo‘lib, bu nuqtalardan bu integral chiziq qanday burchak koeffitsient bilan o‘tishi avvaldan berilgan emas. Misol sifatida ushbu , , masalani tekshiraylik. Berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi dan iborat, bu yerda va – ixtiyoriy o‘zgarmaslar. Bundan shartni qanoatlantiradigan yechim ekani kelib chiqadi. Agar ( - berilgan ixtiyoriy butun son) bo‘lsa, bo‘ladi. ( - ixtiyoriy bo‘lganda ham). Agar bo‘lsa, u holda bo‘lib, tenglikdan kelib chiqadi. Bunda tegishli yechim dan iborat bo‘lib, ko‘rilayotgan masala yechimga ega bo‘ladi. Ammo , shartlarni qanoatlantiradigan yechim faqatgina bo‘lganda mavjud bo‘lib, u trivial yechimdan iborat bo‘ladi. Yuqorida differensial tenglamalar uchun qo‘yilgan masala Koshi masalasidan farq qiladigan masala bo‘lib, uni ikki nuqtali chegaraviy masala yoki, to‘g‘ridan – to‘g‘ri, chegaraviy masala deb yuritiladi. 7 1.2-§ . Ikki nuqtali chegaraviy masala Ushbu , (1) differensial tenglamaning , (2) shartlarni qanoatlantiradigan yechimini topish masalasi (1) tenglama uchun ikki nuqtali chegaraviy masala deb yuritiladi. Bunda (2) – chegaraviy shartlar deb ataladi. masalani o‘zgaruvchini almashtirish bilan soddalashtirish mumkin. Chunonchi, , deb almashtirish bajarsak, (1) tenglama yana ikkinchi tartibli quyidagi ko‘rinishdagi chiziqli differensial tenglama ga, (1.2) chegaraviy shartlar esa , ko‘rinishga keladi, bu yerda . Ko‘pincha (1) tenglamani tekshirishga qulay bo‘lgan boshqa ko‘rinishda yoziladi. Agar ( 1 ) ning ikki tomonini funksiyaga ko‘paytirib, ba'zi shakl almashtirishlarni bajarsak, , (3) ko‘rinishdagi tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu yerda , , . Yuqoridagi mulohazalarni e'tiborga olib, (3) tenglama uchun , (4) 8 shartni qanoatlantiradigan yechimni topish haqidagi chegaraviy masalasini qo‘yishimiz mumkin. Agar bo‘lsa, masala bir jinsli bo‘lmagan , bo‘lganda esa bir jinsli masala deb yuritiladi. Yuqorida bayon qilingan masala (3) tenglamaning ushbu ( 5 ) c hegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish haqidagi masalaning xususiy holidir, bu yerda , , , , , – berilgan o‘zgarmaslar bo‘lib, va . Agar bo‘lsa, masala bir jinsli chegaraviy masala deyiladi, bo‘lganda esa tegishli masala bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy shartli masala deb yuritiladi. Demak, ikki nuqtali chegaraviy masalada berilgan differensial tenglama qaralayotgan kesma chegarasida nafaqat nama’lum funksiyaning qiymati, balki uning hosilasining qiymati yoki o‘zi va hosilasining biror chiziqli kombinatsiyasining qiymati berilishi mumkin ekan. Odatda (4) shartli masala birinchi chegaraviy masala , , shartli masala ikkinchi chegaraviy masala , qolgan hollarda esa aralash chegaraviy masala deb ataladi 1.3-§. Ikki nuqtali chegaraviy masalaning Grin funksiyasi Differensial tenglamalar uchun biror bir chegaraviy masalani o‘rganishda unga mos Grin funksiyasi muhim ahamiyatga ega. Misol sifotida chegaraviy masala Grin funksiyasi bilan tanishamiz. Ta’rif. Qo‘yidagi shartlarni qanoatlantiruvchi ikki argumentli funksiya chegaraviy masalaning Grin funksiyasi deb ataladi: . funksiya bo‘yicha intervalda uzluksiz bo‘lib, - tayinlangan va ; 9 . funksiya va interval lar da ushbu bir jinsli tenglamaning yechimidan iborat; . funksiya bo‘lganda , chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi; . nuqtada hosila birinchi tur uzilishga ega bo‘lib, uning sakrashi ga teng, ya’ni yoki . Yuqorida ta’riflangan Grin funksiyasi quyidagi xossalarga ega: 1. funksiya o‘z argumentlariga nisbatan simmetrikdir. Buni isbotlash uchun , belgilashlarni kiritamiz. Ixtiyoriy , funksiyalar uchun ( 6 ) Grin formulasi o‘rinli bo‘ladi. Bu formulada , desak , to‘plamda , bo‘ladi. segment ni va nuqtalar yordamida uch bo‘lakka, ya’ni , , ga bo‘lib, (1.6 ) ni integrallasak: 10 tenglikni hosil qilamiz. Bu yerdan Grin funksiyasining xossalarini e'tiborga olsak, quyidagiga ega bo‘lamiz: yoki . Bundan tenglik, ya’ni tenglik kelib chiqadi. Demak, Grin funksiyasi o‘z argumentlariga nisbatan simmetrik ekan. 2. Grin funksiyasi mavjud. Grin funksiyasining mavjudligini uni bevosita tuzish bilan isbotlaymiz. Bunda Grin funksiyasining mavjudligini ta’minlaydigan yetarli shartlar ham kelib chiqadi. Ushbu (7) bir jinsli tenglamaning chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan yechimi faqatgina funksiyadan iborat bo‘lsin. (7) tenglamaning , boshlang‘ich shartni qanoatlantiradigan yechimini deb belgilaylik, bunday yechim mavjud, chunki , va lar nuqta atrofida uzluksiz. Bu yechim, umuman olganda, ikkinchi 11 chegaraviy shartni qanoatlantirmaydi. Aniqki, (bu yerda - ixtiyoriy o‘zgarmas son) funksiya chegaraviy shartni qanoatlantiradi. Xuddi shunga o‘xshash tenglamaning chegaraviy shartni qanoatlantiradigan trivial bo‘lmagan yechimi ni topamiz. ham chegaraviy shartni qanoatlantiradi (bu yerda - ixtiyoriy o‘zgarmas son). Yuqoridagilarni e’tiborga olib, Grin funksiyasini quyidagi ko‘rinishda izlaymiz: Bu yerdagi va larni shunday topamizki, natijada Grin funksiyasi va shartlarni ham qanoatlantirsin, ya ’ ni 1) funksiya tayinlangan uchun bo‘yicha uzluksiz bo‘lsin, xususiy holda da uzluksiz: (8) va 2) funksiya nuqtada uzilishga ega bo‘lib, uning sakrashi ga teng bo‘lsin: . (9) Ravshanki, funksiya bilan chiziqli bog‘liq bo‘lgan funksiyalar ko‘rinishga ega bo‘ladi. bo‘lganidan , bo‘ladi. Shu bilan birga . Bulardan va funksiyalarning chiziqli erkliligi kelib chiqadi. Demak, mos Vronskiy determinanti 12 tekshirilayotgan nuqtada noldan farkli bo‘ladi. Shuning uchun sistemadan va lar bir qiymatli top iladi : ; . Bularni e’tiborga olsak, Grin funksiyasi ko‘rinishga ega bo‘ladi. va funksiyalarga (6) formulani qo‘llasak, ekanligi kelib chiqadi. va xususiy yechimlarni shunday tanlash mumkinki, natijada bo‘ladi. Bu holda qo‘yilgan masalaning Grin funksiyasi formula bilan aniqlanadi. Bu formuladan qo‘yilgan masala uchun Grin funksiyasining simmetrikligi ko‘rinib turibdi. 3. Grin funksiyasi yagona. Bu xossa isbotini keyingi paragrafda keltiramiz. 1- eslatma. Biz tenglamaning shartlarni qanoatlantiruvchi trivial bo‘lmagan yechimi mavjud emas deb faraz qildik. Bu shart qo‘yilgan masala yechimining mavjudligini va yagonaligini ta’minlash bilan birga, qo‘yilgan masala Grin funksiyasining yagonaligini ham ta’minlaydi. 2-eslatma. Agar o‘rganilayotgan chegaraviy masalada (5) dan kelib chiquvchi boshqa chegaraviy shartlar olingan bo‘lsa, bu masalaning Grin funksiyasi o‘sha chegaraviy shartga mos bir jinsli shartni bajarishi talab qilinadi. 13 3-eslatma. masalaning yuqorida taъriflangan Grin funksiyasini ba’zida differensial operator (ifoda)ning (4) shartlarni qanoatlantiruvchi Grin funksiyasi deb ataladi. Agar qaralayotgan chegaraviy masalaga mos bir jinsli masala faqat trivial yechimga ega bo‘lib, bu masalaning Grin funksiyasi mavjud bo‘lsa, u xolda bu funksiya oddiy Grin funksiyasi deb yuritiladi. 14 II BOB CHEGARADA BUZILADIGAN ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR UCHUN CHEGARAVIY MASALALAR 2.1-§. Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar Agar va funksiyalar intervalda uzluksiz bo‘lib, bo‘lsa, ushbu , (10) tenglama c hegarada buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglama deyiladi. Bunda ko‘pincha funksiya uchun , , tengsizlik bajariladi deb qaraladi. (10) tenglama uchun quyidagi chegaraviy shartlar bilan masala qo‘yish mumkin: Agar bo‘lsa, ; (11) Agar bo‘lsa, , . ( 1 2) masalani qaraylik. Agar masalaning yechimi formula bilan ifodalansa, funksiyani bu masalaning Grin funksiyasi deb ataymiz. funksiyani tuzishga kirishamiz. Buning uchun (10) tenglamaning umumiy yechimini topamiz. (10) ni integrallasak, 15 yoki bu yerda Dirixle formulasidan foydalansak, (13) tenglik kelib chiqadi. chegaraviy shartdan , chegaraviy shartdan esa tengliklar kelib chiqadi, bu yerda . Topilganlarni ( 13 ) ga qo‘yamiz: . Bu y erda belgilash kiritsak, oxirgi tenglikdan tenglik kelib chiqadi. Yuqoridagi ta’rifga asosan funksiya qo‘yilgan masalaning Grin funksiyasidir. Bu funksiyaning bo‘lgandagi ifodasini quyidagicha o‘zgartiramiz: 16 . Buni e’tiborga olsak, Grin funksiyasi simmetrik xolda yoziladi: (14) Endi Grin funksiyasining xossalariga to‘xtalamiz: 1) Grin funksiyasi sohada uzluksiz; 2) bo‘lganda bo‘ladi; 3) Grin funksiyasi ( 11 ) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi; 4) . Bu xossalarning isboti ( 14 ) formuladan osongina kelib chiqadi. Endi masalaning yechimini topamiz. (10) tenglamaning umumiy yechimi (13) formula bilan aniqlanadi. chegaraviy shartdan kelib chiqadi. chegaraviy shartdan esa topiladi. Topilganlarni (13) ga qo‘ysak, tenglik kelib chiqadi, bu yerda 17 bo‘lib, funksiya masalaning Grin funksiyasidir. Shu funksiyaning xossalariga to‘xtalamiz: 1) Grin funksiyasi to‘g‘ri to‘rtburchakda uzluksiz (bu yerda ) va (agar , bo‘lsa). Funksiyaning uzluksizligi ravshan. Oxirgi tengsizlikni isbotlaymiz: . Bu yerda ikkinchi qo‘shiluvchida integrallash tartibini o‘zgartirib, so‘ngra ni bilan, ni esa bilan almashtirsak va tenglikni e’tiborga olsak, tenglik kelib chiqadi. U holda ; 2) bo‘lganda ; 3) Grin funksiyasi ( 12 ) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi: 4) . 18 Keyingi 2), 3) va 4) xossalarining isboti tegishli Grin funksiyasining ko‘rinishidan bevosita kelib chiqadi. Faqat qayd qilamizki, yana ba’zi qo‘shimcha shartlar qo‘yilganda 1) xossa ning tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha qiymatlari uchun xam o‘rinli bo‘ladi. Jumladan, agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, intervaldan olingan lar uchun bo‘ladi. 2.2-§. Kesmaning ikki chetida buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar Bizga , (15) tenglama berilgan bo‘lsin. Agar va funksiyalar intervalda uzluksiz bo‘lib, bo‘lsa, u holda ( 15 ) tenglama kesmaning ikkala chetida buziladigan 2-tartibli differensial tenglama deyiladi. Bu tenglama uchun chegaraviy masalalar ning nuqtalarda nolga aylanish tartibiga bog‘liq holda qo‘yilib, ko‘pincha , , , xollarda ko‘riladi. Bunda ( 15 ) tenglama uchun quyidagi shartlar bilan chegaraviy masalalar qo‘yish mumkin: 1) , , agar bo‘lsa; 2) , , agar ; bo‘lsa; 3) , , agar ; bo‘lsa; 4) , , agar bo‘lsa. 19 Bu yerda 4) holni qaraymiz, ya’ni deb faraz qilib, tenglamaning shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish haqidagi masalani qaraymiz. Bu masalaning trivialmas yechimi bo‘lgani uchun umumlashgan Grin funksiyasi tuziladi. Buning uchun yechimni normalashtiramiz. U xolda bo‘lib, tenglamaning umumiy yechimini topamiz: Masalaning Grin funksiyasini quyidagi ko‘rinishda izlaymiz: bo‘lganidan , bo‘ladi. Grin funksiyasining da uzluksizligidan tenglikni topamiz. Bundan: , bu yerda - ixtiyoriy o‘zgarmas. Topilganlarni Grin funksiyasi formulasiga qo‘yamiz: 20 Noma ’ lum o‘zgarmas ni shartdan topamiz: . Bundan Ikki karrali integrallarga Dirixle formulasini tatbiq etib, ya’ni integrallash tartibini o‘zgartirib, quyidagini topamiz: . Demak, . U holda qaralayotgan masalaning umumlashgan Grin funksiyasi 21 formula bilan aniqlanadi. Endi Grin funksiyasining xossa l ariga to‘xtalamiz. 1) funksiya o‘z argumentlariga nisbatan simmetrikdir. Bu bevosita ning formulasidan ko‘rinib turibdi. 2) Grin funksiyasining kvadrati sohada integrallanuvchidir. Haqiqatan ham, . va lar 2 dan kichik bo‘lganligi uchun, tengsizlikka ko‘ra, oxirgi tengsizlikning o‘ng tomoni chegaralangan. Xossa isbot etildi. 3) ; 4) ; 5) bo‘lganda . Oxirgi ikki tenglikning isboti Grin funksiyasining ko‘rinishidan kelib chiqadi. 22 2.3-§. Chegarada buziladigan yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar 1. Masalaning qo‘yilishi. Bizga , (16) tenglama berilgan bo‘lsin. Bu yerda va – [0.1] intervalda uzluksiz funksiyalar. Shu bilan birga va da , . Bu tenglama uchun chegaraviy shartlar ning qiymatiga qarab turlicha qo‘yiladi. Chegaraviy shartlar, masalan, bo‘lganda (17) ko‘rinishda, bo‘lganda esa , ; , (18) ko‘rinishda qo‘yilishi mumkin. ( 16 ) tenglama uchun ( 17 ) va ( 18 ) shartlar bilan berilgan chegaraviy masalalar [ ] da batafsil o‘rganilgan. Agar ( 16 ) tenglama uchun u yoki bu shartlar bilan qo‘yilgan chegaraviy masalaning yechimi formula bilan aniqlansa, u xolda funksiya o‘sha masalaning Grin funksiyasi deyiladi. 23 Biz quyida yuqoridagi masalalarga batafsil to‘xtab o‘tirmaymiz. Ammo bir necha misollarda 4-tartibli differensial tenglamalar uchun Grin funksiyasini tuzish bilan shug‘ullanamiz. 2.Chegarada buziladigan 4-tartibli differensial tenglamalar uchun Grin funksiyasini tuzishga doir misollar. 1. Ushbu , differensial operatorning , chegaraviy shartlar ni qano a t lantiruvchi Grin funksiyasini tuzing Ye chish. tenglamaning umumiy yechimini topamiz: . (19) Agar tenglamaning bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi faqat bo‘lsa, u holda oddiy Grin funksiyasi tuziladi. Buni tekshiraylik. Chegaraviy shartlardan quyidagi , , , tengliklar kelib chiqadi. Bulardan esa larga ega bo‘lamiz. Demak, chegaraviy shartlarni faqat trivial yechim, ya’ni funksiya qanoatlantiradi. Shuning uchun oddiy Grin funksiyasini quyidagi qo‘rinishda izlaymiz: (20) Chegaraviy shartlardan topamiz: U holda Grin funksiyasi 24 ko‘rinishga keladi. Grin funksiyasininig birinchi va uchinchi shartlariga asosan, bo‘lganda algebraik tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Bu sistemani yechib quyidagilarni topamiz : ; , ; . Topilganlarni formulasiga qo‘ysak, hosil bo‘lgan funksiya qo‘yilgan masalaning Grin funksiyasi bo‘ladi. 2. Ushbu , differensial operatorning , , chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi Grin funksiyasini tuzing. Ye chish. tenglamaning umumiy yechimi ( 19 ) ko‘rinishga ega. Undan chegaraviy shartlarga asosan kelib chiqadi. Demak, oddiy Grin funksiyasini tuzish lozim. Grin funksiyasini ( 20 ) ko‘rinishda izlaymiz. ( 20 ) dan, chegaraviy shartlarga asosan, , tengliklar va 25 algebraik tenglamalar sistemasi ega bo‘lamiz. Bu sistemani yechib topamiz : , . U holda Gr i n funksiyasining ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi: bo‘lganda bu funksiyani Grin funksiyasining birinchi va uchinchi shartlariga buysindirsak, algebraik tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Bu sistemani echamiz: , , , . Topilganlarni o‘rniga qo‘ysak, quyidagi 26 funksiya hosil bo‘ladi. Bu qo‘yilgan masalaning Grin funksiyasidir. 3. Ushbu differensial operatorning , ; , chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi Grin funksiyasini tuzing. Ye chish. tenglamaning umumiy yechimi ( 19 ) ko‘rinishga ega Undan, chegaraviy shartlarga asosan, ekanligi kelib chiqadi. Demak , tenglamaning bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi trivialmas yechimi mavjud. Shuning uchun umumlashgan Grin funksyasini tuzamiz. Buning uchun avval funksiyani normalashtirib, funksiyaga ega bo‘lamiz. Unda tenglamaning umumiy yechimini topamiz: . Endi umumlashgan Grin funksiyasi quydagi ko‘rinishda izlaymiz: 27 Chegaraviy shartlardan , natijalar kelib chiqadi. Bularni o‘rniga qo‘ysak, umumlashgan Grin funksiyasi quyidagi ko‘rinishga keladi: Umumlashgan Grin funksiyasining bo‘lgandagi shartidan , algebraik tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Sistemani yechib quyidagilarga ega bo‘lamiz : , , . Endi topilganlarni Grin funksiyasi ifodasiga qo‘yib, 28 formulani hosil qilamiz. Bu formuladagi ni umumlashgan Grin funksiyasining ortogonallik shartidan , ya’ni munosabatdan topamiz. Sodda hisoblashlar yordamida ekaniga ishonch hosil qiyin emas. Endi ning qiymatini o‘rniga qo‘ysak, qaralayotgan masalaning umumlashgan Grin funksiyasini hosil qilamiz: 29 XULOSA Hayotda inson hamisha ma’lum bir muammo yuzasidan eng maqbul qarorni qabul qilishdek mas’uliyatli ish bilan to’qnash keladi. Bu kabi muammolar iqtisoddan tortib texnikagacha taalluqlidir. Bunday vaziyatlarda ko’p hollarda matematikaga murojaat qilish masalaning eng sodda yechimi hisoblanadi. Matematikaning asosiy bo’limlaridan biri bo’lgan differensial hisob ham ko’plab shunday masalalarga to’g’ri yechim topishda eng soda yo’llardan biri hisoblanadi. Bunga misol tariqasida shuni aytish mumkinki, hayotimizda bo’ladigan ayrim tabiiy va biologik jarayonlarni matematik modellashtirishda aynan differensial tenglamalardan ko’p foydalaniladi. Shu sababdan ham bunday jarayonlarni ma’lum bir vaqt oralig’ida kuzatib, tahlil qilib borishda differensial tengalamalar uchun chegaraviy masalalarni o’rganish muhim ahamiyat kasb etadi. S huning uchun ham bugungi kunda ushbu sohada ko’plab izlanishlar olib borilmoqda. Xususan, mazkur kurs ishida chegarada buziladigan oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar haqida asosiy nazariy ma’lumotlar keltirilib, zarur hollari isbotlangan. Ko’plab shu turdagi masalalarni yechishning namunalari ko’rsatilgan. U 2 ta bob, 7 ta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Birinchi bobda chegaraviy masalalar ularning turlari: bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masalalar, birinchi, ikkinchi va aralash chegaraviy masalalar haqida umumiy tushunchalar berilgan. Yana ushbu bobda ikki nuqtali chegaraviy masala va uning Grin funksiyasi haqida ma’lumotlar keltirilgan. Ikkinchi bobda chegarada buziladigan oddiy differensial tenglamalar haqida tushunchalar berilib, so’ngra chegarada buziladigan ikkinchi va yuqori tartibli, differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar ko’rilgan. Bundan tashqari kesmaning ikki chetida buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar chuqur nazariy bilimlar berilgan. 30 Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, kurs ishida o’rganilgan masalalar nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, undan differensial tenglamalar sohasi bilan shug’ullanuvchi talabalar va ilmiy tadqiqotchilar foydalanishlari mumkin. 31 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. I.A.Karimov “Barkamol avlod-O’zbekiston taraqqiyotining poydevori”. Toshkent: “Ma’naviyat”, 1998 yil. 2. A.Q.O’rinov. Oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar. Toshkent: Mumtoz so’z, 2014. 164 b. 3. Q.B.Boyqo’ziyev. Differensial tenglamalar. Toshkent: O’qituvchi, 1938. 192 b. 4. M.S.Salohitdinov., G’.N.Nasritdinov. Oddiy differensial tenglamalar. Toshkent: O’qituvchi, 1982. 448 b. 5. А.Ф.Филиппов. Сборник задач по дифференциалным уравнениям. М.: Наука, 197 0. -96 с . Internet saytlari: 1. E lektron jurnal www . arki . ru 2. T o‘ li q matnli kutubxona www.lib.ru 3 . Maktabda axborot texnologiyalari www.edunet.uz 5 . Talaba-yoshlar sayti www.study.uz 6 . Bilim portali www . ziyonet . uz 32

KIRISH

I BOB. CHEGARAVIY MASALALAR HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHA

1.1-§. Chegaraviy masalalar va uning turlari haqida ma’lumot

1.2-§. Ikki nuqtali chegaraviy masala

1.3-§. Ikki nuqtali chegaraviy masalaning Grin funksiyasi

II BOB. CHEGARADA BUZILADIGAN ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR UCHUN CHEGARAVIY MASALALAR

          2.1-§. Chegarada buziladigan oddiy differensial tenglamalar haqida tushuncha

2.2-§. Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar 

2.3-§. Kesmaning ikki chetida buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar

2.4-§. Chegarada buziladigan yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar 

XULOSA

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

Купить