Дата регистрации 11 Январь 2024
21 ПродажGipergeometrik funksiya
![Magistrlik dissertatsiyasi mavzusining asoslanishi va uning
dolzarbligi . Respublikamizda yoshlarning bilim olishi, mamlakatimizning
rivojlanishiga ularni keng jalb qilish bo yicha 2017-yil 20-apreldagi “Oliy ta limʻ ʼ
tizimini yanada rivojlantirish chora-tadbirlari to g risidagi” PQ-2909 qarori asosida
ʻ ʻ
olib borilayotgan ishlar va tadbirlarda, shuningdek rejalashtirilayotgan vazifalarda
oliy ta lim muassasalari ilmiy salohiyatini mustahkamlash, oliy ta limda ilm-fanni
ʼ ʼ
yanada rivojlantirish, uning akademik institutlar bilan integratsiyalashuvini
kuchaytirish, iqtidorli talaba yoshlarni ilmiy faoliyat bilan shug ullanishga keng
ʻ
jalb qilish orqali ularning bilim darajasini yanada mustahkamlash masalalariga
katta e tibor berilgan. “Bizning vazifamiz-to plangan tajriba va ilg or xalqaro
ʼ ʻ ʻ
amaliyotga suyangan holda, o zimizning taraqqiyot va yangilanish modelimizni
ʻ
qat iy amalga oshirishdan iborat”[1] . Respublikamizda “Ta lim to g risida” gi
ʼ ʼ ʻ ʻ
Qonun va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” ning amalga oshirilayotganligi
munosabati bilan umumiy o rta va o rta maxsus, kasb-hunar ta limi va Oliy ta lim
ʻ ʻ ʼ ʼ
muassasalaridagi matematika ta limi mazmunining yangilanishi, ularning yangi
ʼ
jihozlari bilan ta minlanishi, ta lim jarayonida axborot texnologiyalaridan keng
ʼ ʼ
foydalanish bo lajak matematik o qituvchilarini tayyorlash mazmuniga bevosita
ʻ ʻ
ta sir ko rsatmoqda. Ularning bilim, ko nikma va malakalariga bo lgan talablar
ʼ ʻ ʻ ʻ
kuchaymoqda.[2]
O zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh. M. Mirziyoyevning Oliy Majlisiga
ʻ
2018-yilgi Murojaatnomasida “Yuqori malakali pedagog kadrlar tayyorlash va
qayta tayyorlashga e tibor berish lozim. Kadrlar tayyorlashning sifati, erkin
ʼ
fikrlovchi shaxsni kamol toptirish, ertaga sinfxonalar va auditoriyalarda kimlar
dars va saboq berishiga bog liq. Yana bir bor ta kidlab o tishga to g ri keladi:
ʻ ʼ ʻ ʻ ʻ
amalga oshirilayotgan barcha islohotlarning taqdiri shu masalaga, ya ni kadrlar
ʼ
tayyorlashga chambarchas bog liqligini biz aniq va ravshan anglab olishimiz
ʻ
lozim. O zini shu mamlakatning haqiqiy vatanparvari deb biladigan har bir kishi
ʻ
bu dasturni amalga oshirishga o z mehnatini, o z ulushini qo shadi, deb
ʻ ʻ ʻ
ishonaman” deya ta kidlab o tgan edi .
ʼ ʻ](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_3.png?v=1)
![integral tenglamalarni tadqiq etishga olib kelmoqda . Bu yerda yadroning
nosingulyar qismi nokarlamen tipidagi siljishga ega hamda tenglamaning
noxarakteristik qismida nofredgolm operatori ishtirok etadi.
Buziluvchan, elliptik va aralash turdagi tenglamalar nazariyasining
rivojlanishi dastlab G. Darbu [1], F.Trikomi [2], E. Xolmgren [3] va S.
Gellerstedtlarning [4] mos ravishda 1894, 1923, 1927 va 1938- yillarda e’lon
qilingan fundamental ishlaridan boshlangan. Aralash turdagi
tenglama uchun birinchi fundamental tadqiqotlar italiyalik matematik
F.Trikomi tomonidan bajarilgan.
Bu ishlardan keyin buziluvchan va aralash turagi tenglamalar uchun
chegaraviy masalalar nazariyasi ko’p yo’nalishlarda o’rganildi va
rivojlantirildi, jadallik bilan rivojlanib ketdi, bu yo’nalishda salmoqli ilmiy
natijalar quyidagi ishlarda olindi: A.V.Bitsadze [4] , M.M.Smirnov[5] , M.S.
Salohitdinov [6], T.D.Djurayev [7], A.M.Naxushev [8], E.I.Moiseyev [9],
A.P.Soldatov [10] , A.I. Kojanov [11] monografiyalarida keltirilgan.
Tadqiqot obyekti va predmeti . Singulyar koeffitsiyentli Gellerstedt
tenglamasi va bu tenglama uchun buzilish chizig’ida Frankl shartlili masala.
Tadqiqot ishning maqsadi va vazifalari . Dissertatsiyamizda tanlangan
ishning maqsadi singulyar koeffitsiyentli aralash turdagi tenglamalar uchun
tenglama tipi o’zgarish chizig’ida Frankel shartlili masalalarni o’rganish.
Ilmiy yangiligi . Dissertatsiya ishida olingan natijalarning barchasi yangi
bo’lib,
Tadqiqotning asosiy masalalari va farazlari . Ushbu ishda birlamchi
masalalar sifatida quyidagilarni ko’rib o’tish belgilangan:](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_5.png?v=1)
![,
bu holda (1.1.1) tenglama funksiyaga nisbatan parametrlari
bo’lgan gipergeometrik funksiyag aylanadi. Shunday
qilib, (1.1.1) tenglamaning maxsus nuqta atrofidagi chiziqli erkli yechimlari
ushbu ko’rinishda bo’ladi:
,
,
bu yerda butun sonlar bo’lmasligi kerak.
1.2- §. Kasr tartibli integro-differensial operatorlar va ularning xossalari
Ta’rif. , bo’lsin. Ushbu
, ,
, ,
ko’rinishdagi ifodalar funksiyaning (kasr) tartibli (Riman-Luivill
ma’nosidagi) integrallari deyiladi [3,4,6].
va funksiyalar oraliqning deyarli barcha
nuqtalarida aniqlangan bo’lib, sinfga tegishli bo’ladi.
Agar , bo’lsa, deyarli hamma uchun](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_11.png?v=1)
![tenglik o’rinli bo’ladi.
Ta’rif. funksiya kesmada aniqlangan bo’lsin.
, ,
, , (1.2.1)
ko’rinishdagi ifodalar funksiyaning (kasr) tartibli (Luivill ma’nosidagi)
hosilalari deyiladi [3,4,6].
Kasr tartibli integrallar ixtiyoriy tartibgacha aniqlangan bo’lsa, (1.2.1)
kasr tartibli hosilalar faqatgina bo’lganda aniqlangan.
bo’lganda
, ,
, .
Odatda kasr tartibli integrallar ko’rinishida ifodalanuvchi funksiyalar
sinfini bilan belgilanadi, ya’ni
.
Quyidagi teorema o’rinli.
Teorema . bo’lsin. U holda
,
tengliklar barcha funksiyalar uchun,](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_12.png?v=1)
![,
ayniyatlar o’rinlidir .
5. bo’lsin, u holda ushbu ayniyatlar o’rinlidir:
, (1.2.4)
(1.2.5).
1.3- §. Elliptik tipdagi tenglamalar uchun ekstremum prinsipi
Chegarasi bo’lgan sohada ushbu
tenglamani tekshiramiz . sohada forma musbat
aniqlangan.
Hopf prinsipi [4]. Agar funksiya ushbu
(1.3.1)
tenglamaning aynan nolga teng bo’lmagan sohada regulyar , da
uzluksiz yechimi bo’lib,
shart bajarilsa, u holda barcha sohada](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_15.png?v=1)
![,
agarda bo’lsa,
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Zarembo-Jiro prinsipi [4]. funksiya elliptik tipga tegishli bo’lgan
(1.3.1) tenglamaning sohadagi regulyar yechimi bo’lsin. Agar soha
chegarasining nuqtasida o’zining ekstremal qiymatini qabul qilib,
kontur shunday xossaga ega bo’lsaki, da yotuvchi nuqtadan
aylanacha o’tkazish mumkin bo’lsa, u holda aylanachaning markaziga qarab
yo’nalgan radius bo’yicha olingan hosila ( agar u mavjud bo’lsa)
nuqtada noldan farqli bo’ladi; shu bilan birga maksimum bo’lgan holda
, minimum bo’lgan holda esa bo’ladi.](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_16.png?v=1)
![Koshi masalasi:
1) u ( x , y ) ∈ C ¿
va (2.1.2) tenglamani qanoatlantiradi.
2)u(x,0)= τ(x),x∈J;limy→−0(− y)β0∂u
∂y=ν(x)
bu masala korrekt emas.
Haqiqatdan ham,
β0=− m/2 da
−
( − y ) m
u
xx + u
yy − m
2 u
y = 0 ( m > 0 )
u(x,y)=τ0[x+ 2
m+2(− y)
m+22 ]− τ0[x− 2
m+2(− y)
m+22 ]
∂ u
∂ x = τ '
¿
∂ 2
u
∂ x 2 = τ ' '
¿
∂u
∂y=−τ'¿
∂ 2
u
∂ y 2 = τ ' '
¿
u|y=0=u(x,0)= τ(x)− τ(x)=0
∂ u
∂ y
|
y = 0 = 0 + 0 = 0
−
( − y ) m
u
xx + u
yy + β
0
y u
y = − ( − y ) m
τ ' '
¿](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_20.png?v=1)
![η−ξ= 4
m+2(− y)
m+22 ≥0
y= 0 da η−ξ= 0,η=ξ.
A
( − 1,0 ) ⇒ ξ = − 1 , η = − 1
A ' ( − 1,1 )
B
( 1,0 ) ⇒ ξ = 1 , η = − 1
AC :x− 2
m+2(− y)
m+22=−1⇒ ξ=−1A'C '
BC : x + 2
m + 2
( − y ) m + 2
2
= 1 ⇒ η = 1 C ' B '
∆:−1≤ξ≤1,−1≤η≤1,η≥ξ
D → ∆
ABC → A'B'C'
Endi chegaraviy shartlarni yangi o’zgaruvchiga nisbatan yozamiz:
η − ξ = 4
m + 2
( − y ) m + 2
2
y → 0 ⇒ η − ξ → 0 , η → ξ
u(x,0)= limy→0u(x,y)= limη−ξ→0u(ξ,η)=τ(ξ)
∂u
∂y= ∂u
∂ξ·ξy+∂u
∂η·ηy= ∂u
∂ξ(− y)
m2− ∂u
∂η(− y)
m2=(− y)
m2
[
∂u
∂ξ− ∂u
∂η]
η − ξ = 4
m + 2
( − y ) m + 2
2
m+2
4 (η− ξ)=(− y)
m+22
− y =
[ m + 2
4 ( η − ξ )] 2
m + 2
( − y ) β
0 ∂ u
∂ y = ( − y ) β
0 + m
2
[ ∂ u
∂ ξ − ∂ u
∂ η ] = ( − y ) m + 2 β
0
2 ( ∂ u
∂ ξ − ∂ u
∂ η ) = [ m + 2
4 ( η − ξ )] m + 2 β
0
m + 2 ( ∂ u
∂ ξ − ∂ u
∂ η )](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_22.png?v=1)
![α + β = m + 2 ( β
¿ ¿ 0 + α
0 )
2 ( m + 2 ) + m + 2 ( β
¿ ¿ 0 − α
0 )
2 ( m + 2 ) = m + 2 β
0
m + 2 ¿ ¿
Demak, (− y)β0∂u
∂y=[
m+2
4 (η− ξ)]
α+β
(
∂u
∂ξ− ∂u
∂η)
ya’ni
limη−ξ→0[
m+2
4 (η−ξ)]
α+β
(
∂u
∂ξ− ∂u
∂η)=ν(ξ)(2.2 .3)
(2.2.2) tenglamani
L(u)= uξη+a(ξ,η)uξ+b(ξ,η)uη=0
a= a(ξ,η)= β
η−ξ,b=b(ξ,η)= −α
η−ξ
ko’rinishda yozib olamiz.
(2.2.3) bilan birga unga qo’shma
M (v)= vξη− ∂
∂ξ(av )− ∂
∂η(bv )=0(2.2 .4)
tenglamani o’rganamiz.
Ushbu tenglikni qaraymiz:
2
( vL ( u) − uM ( v )) = ¿ 2 ( v u
ξη + av u
ξ + bv u
η − u v
ξη + u ∂
∂ ξ ( av ) + u ∂
∂ η ( bv )) = ¿
¿ ∂
∂ ξ
( v ∂ u
∂ η − u ∂ v
∂ η + 2 auv ) + ∂
∂ η ( v ∂ u
∂ ξ − u ∂ v
∂ η + 2 buv ) = ¿
¿∂v
∂ξ
∂u
∂η+v ∂2u
∂ξ∂η− u ∂2v
∂ξ∂η− ∂u
∂ξ
∂v
∂η+2∂(uv )
∂ξ ·u+2av ∂u
∂ξ+¿
+ v ∂ 2
u
∂ η ∂ ξ + ∂ v
∂ η ∂ u
∂ ξ − ∂ u
∂ η ∂ v
∂ ξ − u ∂ 2
v
∂ ξ ∂ η + 2 ∂
( bv )
∂ η · u + 2 bv ∂ u
∂ η
Demak,](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_23.png?v=1)
![2( vL ( u) − uM ( v )) = ¿ ∂
∂ ξ ( v ∂ u
∂ η − u ∂ v
∂ η + 2 auv ) + ∂
∂ η ( v ∂ u
∂ ξ − u ∂ v
∂ ξ + 2 buv ) ( 2.2 .5 )
Endi ushbu sohani qaraymiz
∆ξ
bu
P1P2:η=ξ+ε
P1P0:ξ= ξ0
P2P0:η=η0
η0=ξ0+ε
ξ0=η0− ε
P
1
( ξ
0 , ξ
0 + ε ) , P
2 ( η
0 − ε , η
0 )
(2.2.5) tenglamani ∆
ε soha bo’yicha integrallaymiz va unga Grin formulasini
qo’llaymiz:
v= R(P,P0)= R(ξ,η;ξ0,η0)
u=u(P)=u(ξ,η)
0=2∬∆ε
❑
(vL (u)−uM (v))dξdη =¿
¿∬
∆ε
❑
[
∂
∂ξ(v∂u
∂η− u∂v
∂η+2auv )+ ∂
∂η(v∂u
∂ξ−u∂v
∂ξ+2buv )]dξdη](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_24.png?v=1)
![¿
∬
D❑(
∂ Q
∂ x − ∂ P
∂ y ) dxdy =
∫
∂ D❑ (
Pdx + Qdy ) = ¿ ¿
¿
∫
∂ ∆
ε❑
[
− ( v ∂ u
∂ ξ − u ∂ v
∂ ξ + 2 buv ) dξ + ( v ∂ u
∂ η − u ∂ v
∂ η + 2 auv ) dη ] = ¿ ¿
¿∬∂∆ε
❑
¿¿
ya’ni (5)
bu yerda
∆ε= P1P2∪P2P∪P1P - ∆
ε soha chegarasi. P
2 P
0 da η = η
0 , dη = 0
va
ξ = ξ
0 , dξ = 0
ekanligini e’tiborga olib, oxirgi tenglikni ushbu ko’rinishda yozib
olamiz:
0 =
∫
P
1 P
2❑
[(
v ∂ u
∂ η − u ∂ v
∂ η + 2 auv ) dη − ( v ∂ u
∂ ξ − u ∂ v
∂ ξ + 2 buv ) dξ ] − ¿ ¿
− ∫P2P0
❑
(v∂u
∂ξ− u∂v
∂ξ+2buv )dξ + ∫P0P1
❑
(v∂u
∂η− u∂v
∂η+2auv )dη (2.2 .6)
(2.2.6) tenglikning oxirgi ikkita integralining u ( ξ , η )
dan hosilalar olingan hadlarida
bo’laklab integrallash amalini bajarib, ushbu tenglikka ega bo’lamiz:
∫
P
2 P
0❑
(
v ∂ u
∂ ξ − u ∂ v
∂ ξ + 2 buv ) dξ = ¿ ¿
¿(u− v)|P2
P0− ∫P2P0
❑
u∂v
∂ξdη − ∫P2P0
❑
(u∂v
∂ξ−2buv )dξ =¿¿
¿u(P0)v(P0)−u(P2)v(P2)− 2∫P2P0
❑
(u∂v
∂ξ−buv )dξ
∫P0P1
❑
(v∂u
∂η− u∂v
∂η+2auv )dη = ¿¿
¿(v−u)|P0
P1− ∫P0P1
❑
u∂v
∂ηdη −¿∫P0P1
❑
(u∂v
∂η−2auv )dη =¿¿¿
¿v(P1)u(P1)− v(P0)u(P0)− 2∫P0P1
❑
(u∂v
∂η−2auv )dη](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_25.png?v=1)
![Shunday qilib, ushbu tenglikka ega bo’lamiz:
0 =
∫
P
1 P
2❑[(
v ∂ u
∂ η − u ∂ v
∂ η + 2 auv ) dη − ( v ∂ u
∂ ξ − u ∂ v
∂ ξ + 2 buv ) dξ ] − ¿ ¿
−u(P0)v(P0)+u(P2)v(P2)+2 ∫P2P0
❑
(u∂v
∂ξ−buv )dξ +¿
+ v
( P
1 ) u ( P
1 ) − v ( P
0 ) u ( P
0 ) − 2
∫
P
0 P
1❑ (
u ∂ v
∂ η − 2 auv ) dη ( 2.2 .7 )
u=u(ξ,η)= u(P)
v = v
( P , P
0 ) = v ( ξ , η ; ξ
0 , η
0 )
v(ξ,η;ξ0,η0)= R(ξ,η;ξ0,η0)= R(P,P0)
R(P,P0)
shunday bo’lsinki,
P
2 , P
0 : η = η
0
∂ v
∂ ξ − bv
|
η = η
0 = ∂ R
( ξ , η
0 ; ξ
0 , η
0 )
∂ ξ ∂ v
( ξ , η
0 )
∂ ξ − b ( ξ , η
0 ) R ( ξ , η
0 ; ξ
0 , η
0 ) = 0 ( 2.2 .8 )
v
( ξ , η
0 )
P0P1
da ξ=ξ0,dξ = 0
∂ v
∂ η − av
|
ξ = ξ
0 = ∂ R
( ξ
0 , η ; ξ
0 , η
0 )
∂ η ∂ v
( ξ
0 , η )
∂ η − a ( ξ
0 , η ) R ( ξ
0 , η ; ξ
0 , η
0 ) = 0
v(ξ0,η)
Bu yerdan ushbu tenglamalarga kelamiz:
¿
Shunday qilib, (2.2.7) va (2.2.8) tenglikka asosan, (2.2.6) tenglikni ushbu
ko’rinishda yozib olamiz:](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_26.png?v=1)
![2 u( P
0 ) v ( P
0 ) =
∫
P
1 P
2❑ [(
v ∂ u
∂ η − u ∂ v
∂ η + 2 auv ) dη − ( v ∂ u
∂ ξ − u ∂ v
∂ ξ + 2 buv ) dξ ] + ¿
+u(P2)v(P2)+u(P1)v(P1)
Bu yerdan ushbu formulaga kelamiz:
u
( P
0 ) v ( P
0 ) = u ( P
2 ) v ( P
2 ) + u ( P
1 ) v ( P
1 )
2 + ¿
+ 1
2 ∫
P
1 P
2❑
[(
v ∂ u
∂ η − u ∂ v
∂ η + 2 auv ) dη − ( v ∂ u
∂ ξ − u ∂ v
∂ ξ + 2 buv ) dξ ] ( 2.2 .9 )
Endi
P1P2 to’g’ri chiziqda η=ξ+ε ekanligini hamda ∂η= ∂ξ , ξ0≤ξ≤η0−ε
ekanligini e’tiborga olib, hamda (2.2.9) da η
ni ξ
orqali ifodalab, ushbu tenglikka
kelamiz:
u
( ξ
0 , η
0 ) = u ( P
2 ) v ( P
2 ) + u ( P
1 ) v ( P
1 )
2 + ¿
+ ∫ξ0
η0−ε
[(a− b)v+1
2(
∂v
∂ξ− ∂v
∂η)]u|η=ξ+ε
∂ξ+¿1
2 ∫ξ0
η0−ε
[(
∂u
∂η− ∂u
∂ξ)v]|η=ξ+ε
∂¿
(2.2.10)
(2.2.2) munosabat Riman formulasi deyiladi.
Endi v ( ξ , η )
ni faqat P ( ξ , η )
nuqtaga emas
P0(ξ0,η0) ham bog’liqligini hisobga olib,
uni quyidagicha
v(ξ,η)= R(ξ,η;ξ0,η0)= R(P ,P0)
belgilagan edik va bu funksiya
( ξ , η )
o’zgaruvchi bo’yicha L ( u ( ξ , η )) = 0
tenglamaga
qo’shma bo’lgan M
( R ( ξ , η ; ξ
0 , η
0 )) = 0
tenglamani ( ξ , η )
o’zgaruvchi bo’yicha
yechimi bo’ladi va u (2.2.8), (2.2.9) shartlarni qanoatlantiradi. Bu xossaga ega
bo’lgan funksiyaga (2.2.2) tenglamaning Riman funksiyasi deyiladi.
u
( ξ
0 , η
0 ) = u ( P
2 ) R ( P
2 , P
0 ) + u ( P
1 ) R ( P
1 , P
0 )
2 + ¿](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_27.png?v=1)
![+ ∫ξ0
η0−ε
{[(
α+β
η−ξ)R(ξ,η;ξ0,η0)+1
2(∂R(ξ,η;ξ0,η0)
∂ξ − ∂R(ξ,η;ξ0,η0)
∂η )]u}|η=ξ+ε
dξ +1
2 ∫ξ0
η0−ε
[(
∂u
∂η− ∂u
∂ξ)R]|η=ξ+ε
dξ ( 2.2 .10 )
2.3-§. nuqtaning o’zgarishiga qarab kvadratda Koshi
masalasi yechimini keltirib chiqarish
Endi
P(α0,β0) nuqtaning A0C0B0D0 kvadratda o’zgarishiga qarab, D sohada (1)
tenglama uchun shakli o’zgargan Koshi masalasini yechimini beruvchi
formulalarni keltirib chiqaramiz.
A.
P(α0,β0)∈∆A0B0C0α>0,β>0,0<α+β<1 bo’lsin. Bu holda Riman
funksiyasi ushbu ko’rinishda bo’ladi:
R
( ξ , η ; ξ
0 , η
0 ) = ( η − ξ ) α + β
(
η
0 − ξ ) β(
η − ξ
0 ) α F
( β , α ; 1 , σ ) ( 2.3 .1 )
bu yerda F
( β , α ; 1 , σ ) − ¿
Gaussning gipergeometrik funksiyasi.
σ= (ξ−ξ0)(η− η0)
(ξ−η0)(η−ξ0)(2.3 .2)
(2.2.10)formula uchun ushbu limitni hisoblaymiz:
lim
ε → 0 ( ∂ u
∂ ξ − ∂ u
∂ η ) R
( ξ , η ; ξ
0 , η
0 )|
η = ξ + ε ( 2.3 .3 )
(2.3.1) tenglikka asosan (2.3.3) limitni ushbu ko’rinishda yozib olamiz:
−limε→0(
∂u
∂ξ− ∂u
∂η)
(η−ξ)α+β
(η0−ξ)β(η− ξ0)αF (β,α;1,σ)=¿¿
¿limε→0[(
m+2
4 (η−ξ))
α+β
(
∂u
∂ξ− ∂u
∂η)](
4
m+2)
α+β F(β,α;1,σ)
(η0−ξ)β(η− ξ0)α|η=ξ+ε
bu yerda
limε→0F(β,α;1,σ)|η=ξ+ε= F(β,α;1,1 )= Г(1)Г(1− α− β)
Г(1− α)Г(1− β)](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_28.png?v=1)
![bu yerda Г( α ) − ¿
Eylerning gamma funksiyasi 1− α− β>0 .
Shunday qilib, (3) ga asosan,
−
( 4
m + 2 ) α + β
Г
( 1 − α − β )
Г
( 1 − α ) Г ( 1 − β ) ν
( ξ )
(
η
0 − ξ ) β(
η − ξ
0 ) α ( 2.3 .5 )
tenglikka ega bo’lamiz.
Endi (2.3.6) formuladagi ushbu ifodani hisoblaymiz:
J = lim
ε → 0
[ α + β
η − ξ R + 1
2 ( ∂ R
∂ ξ − ∂ R
∂ η ) ]|
η = ξ + ε = ¿ ¿
¿ lim
ε → 0
{ α + β
η − ξ
( η − ξ ) α + β
(
η
0 − ξ ) β(
η − ξ
0 ) α F
( β , α ; 1 , σ ) + [ ∂
∂ ξ (( η − ξ ) α + β (
η
0 − ξ ) − β (
η − ξ
0 ) − α
F ( β , α ; 1 , σ )) − ∂
∂ η (( η − ξ ) α + β (
η
0 − ξ ) − β (
η − ξ
0 ) − α
F ( β , α ; 1 , σ ))]} = ¿ ¿
¿limε→0{
α+β
η− ξ
(η− ξ)α+β
(η0− ξ)β(η−ξ0)αF(β,α;1,σ)+1
2[−(α+β)(η−ξ)α+β−1(η0− ξ)−β(η−ξ0)−αF(β,α;1,σ)+(η− ξ)α+ββ(η0− ξ)−β−1(η− ξ0)−αF (β,α;1,σ)+(η− ξ)α+β(η0− ξ)−β(η− ξ0)−α∂F
∂σ
∂σ
∂ξ− (α+β)(η−ξ)α+β−1(η0−ξ)−β(η− ξ0)−αF (β,α;1,σ)+α(η−ξ)α+β(η0− ξ)−β(η−ξ0)−α−1F(β,α;1,σ)−(α+β)α+β(η0−ξ)−β(η− ξ0)−α∂F
∂σ
∂σ
∂η]}u(ξ,η)|η=ξ+ε
=¿¿
¿limε→0
(η− ξ)α+β
(η0− ξ)β(η− ξ0)α[(
α+β
η−ξ− α+β
2(η−ξ)+ β
2(η0− ξ)− α+β
2(η− ξ)+ α
2(η− ξ0))F+1
2
∂F
∂σ
∂σ
∂ξ− 1
2
∂F
∂σ
∂σ
∂η]=¿
¿limε→0
(η− ξ)α+β
(η0− ξ)β(η− ξ0)α[
β
η0− ξF(β,α;1,σ)+ α
η−ξ0
F(β,α;1,σ)+∂F
∂σ
∂σ
∂ξ− ∂F
∂σ
∂σ
∂η]u|η=ξ+ε
Ushbu ayniyatlarni tekshirib ko’rish qiyin emas
σ = ( ξ − ξ
0 ) ( η − η
0 )
( ξ − η
0 ) ( η − ξ
0 ) 1 − σ = ( η
0 − ξ
0 ) ( η − ξ )
( η
0 − ξ ) ( η − ξ
0 )
σ
ξ = η
0 − η
η − ξ
0 η
0 − ξ
0
( η
0 − ξ ) 2 σ
η = − ξ − ξ
0
η
0 − ξ η
0 − ξ
0
( η − ξ
0 ) 2
(2.3.6)
∂F(β,α;1,σ)
∂σ =αβF (β+1,α+1;2,σ)=¿
¿ α β
( 1 − σ ) − α − β
F ( 1 − β , 1 − α ; 2 , σ )
bu yerda
F
( a , b , c , z ) = ( 1 − z ) c − a − b
F ( c − a , c − b , c ; z )](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_29.png?v=1)
![avtotransformatsiya formulasi qo’llanilgan.
(2.3.6) tengliklarga asosanJ= limε→0
1
2
(η− ξ)α+β
(η0−ξ)β(η− ξ0)α[
β
η0−ξF (β,α;1,σ)+ α
η−ξ0
F (β,α;1,σ)+(∂σ
∂ξ− ∂σ
∂η)αβ(1− σ)1−α−βF (1− β,1−α;2,σ)]u|η=ξ+ε
= ¿¿
¿limε→0
1
2
(η−ξ)α+β
(η0− ξ)β(η−ξ0)α¿¿¿
¿ lim
ε → 0 1
2 ¿ ¿ ¿
¿limε→0
1
2
(η0− ξ0)1−α−β
(η0− ξ)1−α(η−ξ0)1−β(
η0−η
η0− ξ+ξ− ξ0
η− ξ0)·α·β·Г (2)Г(2−(1− β)−(1−α))
Г(2− (1− β))Г(2−(1−α))
u(ξ,η)|η=ξ+ε
bu yerda limitga o’tib, ushbu tenglikka ega bo’lamiz:
J =
( η
0 − ξ
0 ) 1 − α − β
(
η
0 − ξ ) 1 − α (
η − ξ
0 ) 1 − β · α · β · Г
( α + β )
Г
( 1 + α ) Г ( 1 + β ) τ ( ξ ) = ¿
¿ (η0− ξ0)1−α−β
(η0−ξ)1−α(η−ξ0)1−β
Г(1+α+β)
Г(1+α)Г(1+β)τ(ξ)(2.3 .7)
Endi
R(P1,P0)= R(P2,P0)=0 (bu holda (2.3.3) formulada η=ξ ) ekanligini va
(2.3.15), (2.3.16) tengliklarga asosan, (2.3.12) tenglikni ushbu ko’rinishda yozib
olamiz:
u
( ξ , η ) = Г ( α + β )
Г
( α ) Г ( β ) ∫
ξ
0η
0
(
η
0 − ξ
0 ) 1 − α − β
τ ( ξ ) d ξ
(
η
0 − ξ ) 1 − α (
ξ − ξ
0 ) 1 − β − ( 4
m + 2 ) α + β
Г
( 1 − α − β )
Г
( 1 − α ) Г ( 1 − β ) ∫
ξ
0η
0
ν
( η ) d η
(
η
0 − ξ ) β(
ξ − ξ
0 ) α ( 2.3 .8 )
formulaga kelamiz.
(2.3.8) tenglikda ξ = ξ
0 + ( η
0 − ξ
0 ) 1 + t
2 almashtirish bajarib va eski o’zgaruvchilarga
o’tib, ushbu formulaga kelamiz:](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_30.png?v=1)
![u( x , y ) = γ
1 ∫
− 11
τ [ x + 2 t
m + 2 ( − y ) m + 2
2 ]
( 1 − t ) α − 1
( 1 + t ) β − 1
dt + + γ
2 ( − y ) 1 − β
0
∫
− 11
ν [ x + 2 t
m + 2 ( − y ) m + 2
2 ]
( 1 − t ) − β
( 1 + t ) − α
dt .
(2.3.9)
γ1= Г(α+β)
Г(α)Г(β)21−α−β
,
γ2= Г(2− α− β)
(1− β0)Г(1−α)Г(1− β)2α+β−1
.
(2.3.9) formula Darbu formulasi deyiladi.
ξ
0 = x − 2
m + 2
( − y ) m + 2
2
,
η0= x+ 2
m+2(− y)
m+22 ,
η
0 − ξ
0 = 4
m + 2
( − y ) m + 2
2
,
ξ
0 +
( η
0 − ξ
0 ) 1 + t
2 = x − 2
m + 2 ( − y ) m + 2
2
+ 4
m + 2 ( − y ) m + 2
2 1 + t
2 = ¿
¿ x − 2
m + 2
( − y ) m + 2
2
+ 2
m + 2 ( − y ) m + 2
2
+ 2 t
m + 2 ( − y ) m + 2
2
= ¿
¿ x + 2 t
m + 2
( − y ) m + 2
2
,
η
0 − ξ = η
0 −
( ξ
0 + ( η
0 − ξ
0 ) 1 + t
2 ) = ( η
0 − ξ
0 )( 1 − 1 + t
2 ) = ¿
¿
( η
0 − ξ
0 ) 1 − t
2 = 2
m + 2 ( − y ) m + 2
2 (
1 − t ) ,
ξ−ξ0= ξ0+(η0− ξ0)1+t
2 −ξ0=(η0− ξ0)1+t
2 = 2
m+2(− y)
m+22 (1+t)
.
II bob bo’yicha xulosa
Dissertatsiyaning ikkinchi bobi “ Shakli o’zgargan Koshi masalasi” deb
nomlanga bo’lib, unda ba’zi tenglamalar uchun shakli o’zgargan Koshi masalasini
yechimi bayon etilgan. Ushbu bob uchta paragrafdan iborat bo’lib, birinchi](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_31.png?v=1)
![Quyidagi singulyar koeffitsientli umumlashgan Trikomi tenglamasini qaraymiz:
, (3.1.1)
bu yerda - doimiylar, - uchlari
nuqtalarda bo’lgan normal chiziq va (3.1.1)
tenglamaning va xarakteristikalari bilan chegaralangan
kompleks tekislikdagi chekli bir bog ’ lamli soha .
и bilan mos ravishda va yarim tekisliklarda yotgan
sohaning qismlarini , va bilan esa mos ravishda va
xarakteristikalarning nuqtadan chiquvchi xarakteristikalar bilan kesishish
nuqtalarini belgilaymiz , bu yerda - dagi interval . -
kesma nuqtalari to ’ plamidan kesma nuqtalari to’plamiga
diffeomorfizm bo’lsin , bundan tashqari . Bunday
funksiyaga misol sifatida chiziqli funksiyani keltirish mumkin , bu
yerda
Gellerstedt masalasida [45,186 b ;55,56] aralash sohaning giperbolik
qismida noma’lum funksiyaning qiymati va
xarakteristikalarda beriladi.
Ushbu bobda xarakteristika chegaraviy shartdan ozod qilingan, bu
to’liqsiz Gellerstedt sharti esa kesmada nolokal Frankl sharti bilan
almashtirilgan, da esa Dirixle sharti Bitsadze-Samarskiy sharti bilan
almashtirilgan masalaning korrektligi o’rganiladi [11].
GF masala ( Gellerstedt - Frankl ). sohada quyidagi shartlarni
qanoatlantiruvchi funksiya topilsin :
1. ;
2. va shu sohada (3.1.1) tenglamani qanoatlantirsin ;
3. yechim sohada [44, 35 b ] sinfning umumlashgan yechimi;](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_34.png?v=1)
![4. Buzilish chizig’ida quyidagi ulanish sharti bajarilsin
(3.1.2)
bundan tashqari bu limitlar da dan kichik tartibdagi
maxsuslikka ega bo’lishi mumkin , bu yerda
5. (3.1.3)
(3.1.4)
(3.1.5)
bu yerda
bundan tashqari
(3.1.6)
(3.1.5) shart Frankl shartiga o’xshash shart [52], (3.1.3) shart esa Bitsadze-
Samarskiy shartiga o’xshash shart [11] hisoblanadi .
(1. 2.1 ) Darbu formulasiga ko’ra (3.1.4) chegaraviy shartdan quyidagi
munosabatga kelamiz
(3.1.7)
bu yerda
(3.1.7) munosabat aralash sohaning giperbolik qismidan o’qning
intervaliga o’tkazilgan и noma ’ lum funksiyalar o ’ rtasidagi birinchi
funksional munosabatdir.
GF masala yechimining yagonaligi .
A.V.Bitsadzening [9,301 b ] ekstremum prinsipiga o’xshash prinsip o’rinlidir .
Quyidagi
(3. 1 . 8 )](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_35.png?v=1)
![shartlar bajarilganda GF masalaning yechimi o’zining musbat maksimumi va
manfiy minimumiga yopiq sohaning nuqtasida erishadi.
belgilash yordamida (3.1.5) shartni quyidagi ko’rinishda
yozamiz
(3. 1 . 9 )
Xopf prinsipiga [9,25 b ] ko ’ ra , funskiya o’zining musbat maksimum va
manfiy minimum qiymatlariga sohaning ichki nuqtalarida erishmaydi.
Faraz qilaylik, funksiya o’zining musbat maksimum va manfiy minimum
qiymatlariga o’qning intervalidagi nuqtada erishsin .
Bu yerda alohida quyidagi ikkita holni qaraymiz : , .
A . Aytaylik , bo’lsin , u holda musbat maksimum (manfiy minimum)
holda bu nuqtada [44, 74 b ]
(3. 1.10 )
Bizga ma ’ lumki , musbat maksimum ( manfiy minimum ) nuqtada funsiyaning
kasr tartibli differensial operatori uchun quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi
, bundan va (3.1.7) dan ( bu yerda )
(3. 1.11 )
ga ega bo ’ lamiz .
(3.1.10) и (3.1.11) tengsizliklar (3.1.2) ulanish shartiga zid, bundan esa
ekanligi kelib chiqadi.](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_36.png?v=1)
![§3. 2 GF masala yechiming mavjudligi .
Teorema . 3.1. (3. 1 . 8 ) shart hamda
(3. 2 .1)
bu yerda shart bajarilganda GF masala
yechimi mavjud .
и noma ’ lum funksiyalar orasidagi sohadan ga o’tkazilgan
bizga yaxshi ma ’ lum bo ’ lgan quyidagi munosabatni keltiramiz [44, 152 b ]
(3. 2 .2)
bu yerda
Ko’rinib turiptiki, (3. 2 .2) munosabat butun oraliq uchun o’rinli .
(3. 2 .2) munosabatni Bitsadze-Samarskiy (3.1.3): shartini
inobatga olgan holda (3.1.7) ga qo ’ yib , quyidagiga ega bo’lamiz:
(3. 2 .3)
bu yerda
(3. 2 .4)
(3. 2 .3) munosabatni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_38.png?v=1)
![(3.2.14)
Shu tariqa, (3.2.13), (3.2.14) lar yordamida (3.2.11) munosabatni (3.2.8)
ko’rinishga keltiramiz.
(3.2.8) ayniyat isbotlandi.
O’xshash usullar bilan (3.2.9) va (3.2.10) ayniyatlar ham isbotlanadi.
(3.2.10) dan foydalanib, (3.2.6) dan quyidagi singulyar integral tenglamaga ega
bo’lamiz:
(3.2.15)
bu yerda
(3.2.16)
(3.2.17)
-regulyar operator,
dagi birinchi integral operator regulyar emas, da integral osti
ifoda birinchi tartibli yakkalangan maxsuslikka ega ekanligi sababli (3.2.16) da bu
qo'shiluvchi alohida ajratib ko'rsatilgan.
(3.2.15) Trikomi singulyar integral tenglamasining yechimini
funksiya da chegaralangan va nuqtada birdan kichik maxsuslikka ega
bo’ladigan Gyolder funksiyalar singida izlaymiz .
(3.2.15) tenglamaga Karleman-Vekua [45, 41b] regulyarizatsiyalash metodini
qo’llab, quyidagi yechimga ega bo’lamiz](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_42.png?v=1)
![va shu ajratishdan foydalanib quyidagiga ega bo’lamiz
(3.2.23)
bu yerda
Quyidagilarni tekshirish qiyin emas
(3.2.24)
(3.2.25)
(3.2.26)
(3.3.24) formulani tekshiramiz
. (3.2.27)
(3.2.27) dagi birinchi va ikkinchi integrallarda mos ravishda
va integral o’zgaruvchisini almashtirishdan foydalanib,
quyidagiga ega bo’lamiz:
Bu yerda gipergeometrik funksiyaning integral ifodasidan [45, 8b]
foydalanib, quyidagiga kelamiz](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_44.png?v=1)
![. (3.2.28)
Gipergeometrik funksiyaga va (3.2.28) ning o’ng qismiga
avtotransformatsiya formulasini [45, 10b] qo’llab, quyidagiga ega bo’lamiz
(3.2.29)
Endi (3.2.29) ning birinchi qo’shiluvchisidagi gipergeometrik funksiyasiga Bolts
formulasini [45,11b] qo’llab, uni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_45.png?v=1)
![(3. 2 .32) tenglamada integral o’zgaruvchisini
almashtirib va quyidagi belgilashlarni kiritib
(3. 2 .32) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz
(3. 2 .33)
bu yerda
regulyar operator . ma’lum
funksiya .
(3. 2 .33) tenglama Viner-Xopf integral tenglamasidir . funksiya cheksizlikda
kamayuvchi ko’rsatkichli tartibga ega , bundan tashqari , bundan ,
[13, 12 b ], bu tenglama Koshi yadroli integral tenglamaga
o’xshash Furye almashtirishlari yordamida Rimanning chegaraviy masalasiga
keltiriladi vas hu tariqa kvadraturalarda yechiladi .
O’rama tipidagi integral tenglamalar uchun Fredgolm teoremalari faqat bir
holdagina o’rinli bo’ladi, ya’ni bu tenglamalar indeksi nolga teng .
(3. 2 .33) tenglamaning indeksi qarama-qarshi ishora bilan quyidagi ifodaga teng
bo’ladi
(3. 2 .34)
u yerda [14,28 b ]
(3. 2 .35)
Endi (3. 2 .34) ifodaning indeksini hisoblaymiz . Quyidagi munosabat o’rinli
ekanligidan](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_47.png?v=1)
![quyidagi o’rinli bo’ladi
Bundan kelib chiqadiki , , ya’ni bir aylanishdagi argument
o’zgarishi nolga teng [14,28 b ], bundan va GF masala yechimining yagonaligidan
(3. 2 .33) ning yechimga ega eganligi kelib chiqadi , bundan esa GF masala yechimi
mavjudligi ham kelib chiqadi .](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_48.png?v=1)
![3. 3- §. FE masalaning qo’yilishi va yechimining yagonaligi
kompleks tekislikdagi da uchlari da bo’lgan
egri chiziq bilan , da esa - quyidagi
(3. 3 .1)
singulyar koeffitsientli Gellerstedt tenglamasining va nuqtalardan
chiquvchi va xarakteristikalari bilan chegaralangan chekli bir bog’lamli
soha bo’lsin. va lar bilan mos ravishda sohaning va
yarimtekisliklarda yotuvchi sohaning qismlarini belgilaymiz. bilan esa
xarakteristikaning (3. 3 .1) tenglamaning nuqtadan chiquvchi xarakteristikasi
bilan kesishish nuqtasini belgilaymiz, bu yerda o’qning
intervalidagi o’zgarmas son.
da oraliqni mos ravishda quyidagi xossalar bilan va
oraliqlarga akslantiruvchi va diffeomorfizmlarni kiritamiz ;
1. bunday funksiya misolida quyidagi chiziqli
funksiyani keltirish mumkin bu yerda .
2. bunday funksiya misolida quyidagi chiziqli
funksiyani keltirish mumkin bu yerda
Ushbu paragraf (3. 3 .1) tenglama uchun elliptik sohaning chegarasida Frankl
[16,25,52] va Bitsadze-Samarskiy [11] shartli masalaning korrektligini isbotlashga
bag’ishlangan.
FE masala . sohada quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi
funksiyani topish talab qilinsin :
1. ;
2. va bu sohada (3. 3 .1) tenglamani qanoatlantiradi ;
3. sohada [44, 35 b ] sinfdagi umumlashgan yechim ;
4. Buzilish chizig’ida quyidagi ulanish sharti bajarilsin](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_49.png?v=1)
![(3. 3 .2)
va bu limitlar da dan kichik tartibli maxsuslikka erishishi mumkin,
bu yerda ;
5. Quyidagi shartlar bajarilsin
(3.3.3)
(3.3.4)
(3.3.5)
bu yerda
bundan tashqari
ga mos egri chiziqning qismini orqali
belgilaymiz.
(3. 3 .3) shart da va buzilish chizig’ida noma ’ lum funksiyaning
qiymatini bog’lovchi Bitsadze - Samarskiy [11] shartiga o ’ xshash shart, (3. 3 .4)
shart esa va da noma’lum funksiyaning qiymatini bog’lovchi Frankl
[52] shartiga o’xshash shart.
(1.2.1) Darbu formulasiga ko’ra (3. 3 .5) chegaraviy shartdan quyidagi
munosabatga ega bo’lamiz
(3.3.6)
bu yerda
.
(3.4.6) munosabat aralash sohaning giperbolik qismidan
o’qning intervaliga o’tkazilgan va noma’lum funksiyalar orasidagi
birinchi funksional munosabat.
FE masala yechimining yagonaligi .](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_50.png?v=1)
![Teorema 3.3. FE masala
(3.3.7)
shartlar bajarilganda faqat trivial yechimga ega.
Isbot. Teskarisini faraz qilamiz, 1-teorema shartlari bajarilganda FE masala
trivial bo’lmagan yechimga ega. U holda noma’lum funksiya o’zining
musbat maksimum va manfiy minimum qiymatlariga sohada erishadi. Faraz
qilaylik, nuqta funksiyaning sohadagi musbat maksimum
nuqtasi bo’lsin. Xopf prinsipiga [9, с .25] ko’ra,
bo’lsin.
Ma’lumki, (3.3.1) tenglamaning yechimi uchun musbat maksimum
(manfiy minimum) nuqtada quyidagi tengsizlik o’rinli [44, с .74]](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_51.png?v=1)
![(3. 3 .8)
Shuningdek ma’lumki , funksiyaning musbat maksimum nuqtasida (
funksiyaning manfiy minimum nuqtasida ) kasr tartibli differensial operatorlar
uchun quyidagi tengsizlik o’rinli
[44.21 b ].
Natijada , (3. 3 .6) dan quyidagiga egamiz
(3. 3 .9)
(3. 3 .8) va (3. 3 .9) tengsizliklar (3.4.2) ulanish shartiga zid . Bundan kelib chiqadiki ,
musbat maksimum nuqta Bu yerda (3. 3 .7) munosabatdan mos
(3. 3 .3),(3. 3 .4) chegaraviy shartlardan uning egri chiziqda ham mavjuda emasligi
kelib chiqadi .
Shu tariqa , FE masala yechimi (3. 3 .7) shart bajarilganda o’zining musbat
maksimumiga sohaning nuqtalarida erishadi .
Shunga o’xshash, FE masala yechimi (3.3.7) shart bajarilganda, o’zining
manfiy minimumiga shuningdek, sohaning va nuqtalarida
erishishini ko’rsatish mumkin . Ammo mos (3.3.5) bir jinsli shartdan
ekanligi kelib chiqadi , mos (3. 3 .4) bir jinsli shartdan esa da
ekanligi kelib chiqadi, bundan esa
Shu tariqa , funksiya sohada o’zining musbat maksimum va
manfiy minimum qiymatlariga va nuqtalarda erishadi va bu
nuqtalarda noma’lum funksiyaning qiymati nolga teng . Bundan kelib chiqadiki ,
da
Endi sohada bir jinsli shartlar bilan shakli o’zgargan Koshi masalasi
yechimini tiklab , (1.2.7) Darbu formulasidan da ekanligini
aniqlaymiz . Shu tariqa , da . (3.3) teorema isbotlandi .](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_52.png?v=1)
![(3. 4 .3)
Endi (3.6.2) ning o ’ ng qismidagi birinchi integralda , (3.6.3) ayniyatni inobatga
olgan holda , bo’laklab integrallash amalini bajaramiz va shu tariqa, hosil qilingan
munosabatda da limitga o’tib , quyidagi ifodaga kelamiz [44,152 b ]
(3. 4 .4)
Oxirgi integralni orqali belgilab, uni quyidagi ko’rinishda ifodalaymiz
(3. 4 .5)
(3.6.5) ning o ’ ng qismidagi ikkinchi integralda almashtiish bajarib ,
(3.4.4) chegaraviy shartni inobatga olgan holda : quyidagi
ko’rinishga kelamiz
Endi oxirgi munosabatni (3.4.3) chegaraviy shartni inobatga olgan holda :
quyidagi ko’rinishga keltiramiz](https://docx.uz/documents/8fd3805b-e06f-479f-81da-e7257583a4a0/page_55.png?v=1)
KIRISH……………………………………………………3
1-BOB. Asosiy fundamental tushunchalar
1.1-§. Gipergeometrik funksiya
1.2-§. Kasr tartibli integro-differensial operatorlar va ularning xossalari
1.3-§. Elliptik tipdagi tenglamalar uchun ekstremum prinsipi
I bob bo’yicha xulosa
2-BOB. Shakli o’zgargan Koshi masalasi
2.1-§. Singulyar koeffitsiyentli Gellerstedt tenglamasi uchun shakli o’zgargan Koshi maslasi
2.2-§. Eyler-Puasson-Darbu tenglamasi va uning yechimi
2.3-§. nuqtaning o’zgarishiga qarab kvadratda Koshi masalasi yechimini keltirib chiqarish
II bob bo’yicha xulosa
3-BOB. Singulyar koeffitsiyentli umumlashgan Trikomi tenglamasi uchun to’liqsiz Gellerstedt shartli masala
3.1-§. GF masala va uning yechimining yagonaligi
3.2-§. GF masala yechimining mavjudligi
3.3-§. FE masalaning qo’yilishi va yechiming yagonaligi
3.4-§. FE masala yechimining mavjudligi
III bob bo’yicha xulosa
XULOSA……………………………………………………
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………