Golomorf funksiyasining nollarini hisoblash.Rushe teoremasi

Информация о документе

Цена	30000UZS
Размер	573.1KB
Покупки	0
Дата загрузки	12 Июнь 2025
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Surayyo Qurbondurdiyeva

Дата регистрации 04 Февраль 2025

20 Продаж

Golomorf funksiyasining nollarini hisoblash.Rushe teoremasi

Купить

2 Mavzu: Glomorf funksiyasining nollarini hisoblash.Rushe
teoremasi
Mundarija
Kirish…………………………………………………………………….……3
I BOB. GLOMORF FUNKSIYALARI VA NOLLARI
1.1. Glomorf funksiyaning ta’rifi………………………………………..……6
1.2. Glomorf funksiyaning asosiy xossalari…………………………………1 3
II BOB. RUSHE TEOREMASI VA UNING QO‘LLANISHI
2.1. Rushe teoremasining bayoni……………………………………...……1 9
2.2. Misollar va masalalar…………………………………... ………………2 6
Xulosa……………………………………………………………….………40
Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………………………41

3 Kirish
Mavzuning dolzarbligi: Zamonaviy matematik tahlilda, xususan,
kompleks analiz sohasi o‘zining nazariy chuqurligi va keng qo‘llanish doirasi
bilan ajralib turadi. Kompleks funksiyalar nazariyasi matematikaning eng
asosiy va chuqur bo‘limlaridan biri hisoblanadi. Uning asosiy ob’ektlaridan
biri — glomorf funksiyalar bo‘lib, ular kompleks tekislikda farqlanuvchan
bo‘lgan funksiyalardir. Bunday funksiyalar doimiy differensiallilikka ega
bo‘lib, o‘zining kuchli xossalari sababli turli matematik va fizik modellarni
ifodalashda keng qo‘llaniladi.
Glomorf funksiyaning nol nuqtalari — ya’ni bu funksiyalar nolga teng
bo‘ladigan nuqtalar — uning eng muhim xossalaridan biridir. Nollarni topish
orqali biz funksiya qanday o‘zgarishini, uning qanday holatlarda qiymat
olmasligini yoki muayyan fizik yoki geometrik jarayonlar qanday sodir
bo‘lishini tahlil qilishimiz mumkin. Nollar orqali funksiya qanday
“yemiriladi” yoki “qayta tiklanadi” degan savollar yechim topadi. Shuning
uchun, glomorf funksiyalarning nollarini aniqlash va ularni tahlil qilish
nazariy jihatdan ham, amaliy jihatdan ham juda muhim hisoblanadi.
Ayniqsa, glomorf funksiyalarning nollarini topishda Rouché teoremasi
alohida ahamiyatga ega. Bu teorema orqali biz funksiya qanday bo‘lishidan
qat’i nazar, uning nollarining sonini aniqlashimiz mumkin, shunchaki boshqa
qulayroq funksiya bilan taqqoslab. Bu yondashuv bevosita nollarni topishdan
ko‘ra soddaroq va samaraliroqdir, ayniqsa yuqori darajadagi yoki murakkab
funksiyalar bilan ishlaganda.
Bugungi kunda kompleks analiz nazariyasi:
kvant fizikasi,
elektrotexnika,
signal ishlov berish,
aerodinamika, va hatto iqtisodiyot sohalarida keng qo‘llaniladi.

4Shunday ekan, bu sohaning asosiy teorema va metodlarini o‘zlashtirish
nafaqat matematikani chuqur tushunishga, balki real hayotdagi muammolarni
yechishga ham xizmat qiladi.
Kurs ishining asosiy maqsadi: Glomorf funksiyasining nollarini
hisoblash usullarini o'rganish va bu jarayonda Rushe teoremasini qo'llashni
tahlil qilishdir. Kurs ishi davomida glomorf funksiyalari va ularning nollarini
topishda ishlatiladigan metodlar, shuningdek, Rushe teoremasining ahamiyati
va uning glomorf funksiyalari uchun qo'llanilishi ko'rib chiqiladi.
Vazifalar: Glomorf funksiyalari haqida umumiy tushuncha olish.
Glomorf funksiyalarining ta'rifi, ularning xususiyatlari, va ular qanday xolda
ishlatilishi haqida umumiy tushunchaga ega bo'lish.
Glomorf funksiyasining nollarini aniqlash.
Glomorf funksiyasining noliga qanday yondashuvlar va metodlar
mavjudligini o'rganish. Bu metodlarga Darboux usuli, Nyutn usuli, va
boshqalar kiradi.
Rushe teoremasini o'rganish.
Rushe teoremasining asosiy g'oyasi, shuningdek, glomorf funksiyalarining
nollarini hisoblashda qanday qo'llanilishi haqida to'liq tushuncha hosil qilish.
Glomorf funksiyalari uchun Rushe teoremasining amaliy qo'llanishini tahlil
qilish.Rushe teoremasini glomorf funksiyalarining nollarini aniqlashda
qanday yordam berishini va uning amaliy ahamiyatini o'rganish.
Glomorf funksiyasining nolining mavjudligi va unikaligi haqida fikrlar
bildirish.Glomorf funksiyasining noliga oid umumiy xulosalar chiqarish va
qanday holatlarda funksiyaning yagona noli mavjudligini tahlil qilish.
Nazariy va amaliy masalalar asosida glomorf funksiyasining nollarini
hisoblash.Turli nazariy va amaliy misollarni ko'rib chiqish, glomorf
funksiyalarining nollarini hisoblashda Rushe teoremasining qo'llanilishi.
3. Tadqiqot usullari:
Matematik metodlar: glomorf funksiyalarining xususiyatlarini o'rganish,
kompleks analizga oid usullar.

5Amaliy hisoblash usullari: glomorf funksiyasining nollarini topish uchun
raqamli metodlar (masalan, Nyutn usuli).
Nazariy izlanishlar: Rushe teoremasining matematika sohasidagi o'rni, uning
glomorf funksiyalariga qanday ta'sir ko'rsatishini tahlil qilish.
4. Kutilyotgan natijalar:
Glomorf funksiyalarining nollarini aniqlash usullarini chuqur o'rganish va
amaliy misollar orqali ulardan foydalanish.
Rushe teoremasining glomorf funksiyalariga nisbatan qo'llanilishining
tushunilishi va uning ilmiy ahamiyatini aniqlash.
Glomorf funksiyalari va Rushe teoremasining o'zaro aloqalarini tahlil qilish
va matematika sohasida bu bilimlarni qo'llashda o'z hissangizni qo'shish.
Kurs ishining obyekti: Glomorf funksiyalar va ularning nollarini
hisoblash jarayoni, shuningdek, bu jarayonda qo'llaniladigan Rushe
teoremasidir. Glomorf funksiyalari kompleks analizning muhim bo'limiga
kirib, turli masalalarni hal qilishda, xususan, nollarni aniqlashda qo'llaniladi.
Rushe teoremasi esa glomorf funksiyalarining noliga oid fundamental
natijalarni beradi.
Kurs ishining predmeti: Glomorf funksiyalarining nollarini
aniqlashda qo'llaniladigan metodlar va usullar, shuningdek, Rushe
teoremasining glomorf funksiyalari bilan bog'liq holatlarda qanday
ishlatilishini o'rganishdir. Bu, shuningdek, glomorf funksiyalarining nollarini
aniqlashda nazariy va amaliy usullarning qo'llanishini va bu jarayonda Rushe
teoremasining roli haqida tushuncha hosil qilishni o'z ichiga oladi.

$6 I BOB. GLOMORF FUNKSIYALARI VA NOLLARI 1.1. Glomorf funksiyaning ta’rifi Kompleks analiz matematik analizning muhim tarmoqlaridan biridir. Bu tarmoqda asosiy o‘rganiladigan obyektlardan biri golomorf funksiyalar hisoblanadi. Golomorf funksiyalar — bu kompleks o‘zgaruvchili funksiyalar bo‘lib, ular ma’lum bir sohada kompleks differensiallanuvchidir. Bunday funksiyalar fizikada, muhandislikda va matematik fizika masalalarida keng qo‘llaniladi.Mazkur referatda biz golomorf funksiyalar, ularning asosiy xossalari, nollarining turlari hamda ular bilan bog‘liq ba’zi teoremalarni ko‘rib chiqamiz. 2. Golomorf funksiyalar tushunchasi Golomorf funksiya — bu kompleks o‘zgaruvchi zzz uchun berilgan f(z)f(z)f(z) funksiyasi bo‘lib, u ma’lum sohada kompleks hosilaga ega: f′(z)=lim Δz→0f(z+Δz)−f(z)Δzf'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}f′(z)=Δz→0lim Δzf(z+Δz)−f(z) Agar bu limit har qanday yo‘ldan Δz→0\Delta z \to 0Δz→0 bo‘lsa ham mavjud bo‘lsa, unda f(z)f(z)f(z) funksiya bu sohada golomorf deyiladi.Agar funksiya har bir nuqtada golomorf bo‘lsa, u butun funksiya deb ataladi. 3. Golomorf funksiyalarning xossalari Golomorf funksiyalar quyidagi asosiy xossalarga ega: Cheksiz darajali differensiallanuvchanlik : Agar funksiya golomorf bo‘lsa, u har qanday tartibdagi hosilalarga ega bo‘ladi. Koshi-Riman tenglamalari : f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z) = u(x, y) + iv(x, y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ko‘rinishdagi funksiya uchun quyidagi shartlar bajarilishi zarur:$ $7∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v} {\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}∂x∂u =∂y∂v ,∂y∂u =−∂x∂v Analitiklik : Har bir golomorf funksiya o‘z sohasida analitikdir, ya’ni uni daraja qatori orqali ifodalash mumkin. Integral formulalar : Koshi integral formulasi orqali funksiyaning qiymati uni o‘rab turgan kontur bo‘ylab aniqlanishi mumkin:  f(z0)=12πi γf(z)z−z0 dzf(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\ ∮ gamma} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dzf(z0 )=2πi1 γ ∮ z−z0 f(z) dz 4. Golomorf funksiyaning nollari Golomorf funksiyaning nollari — bu funksiyaning qiymati nolga teng bo‘ladigan nuqtalardir. Ya’ni: f(z0)=0f(z_0) = 0f(z0 )=0 Golomorf funksiyalar uchun nollar quyidagicha tasniflanadi: a) Oddiy nol Agar f(z)f(z)f(z) funksiyaning z0z_0z0 nuqtasida birinchi darajali nol bo‘lsa (ya’ni f(z)=(z−z0)g(z)f(z) = (z - z_0)g(z)f(z)=(z−z0 )g(z), bu yerda g(z0)≠0g(z_0) \ne 0g(z0 ) =0), u  oddiy nol deb ataladi. b) Ko‘p martalik nol Agar f(z)=(z−z0)mg(z)f(z) = (z - z_0)^m g(z)f(z)=(z−z0 )mg(z), m>1m > 1m>1, g(z0)≠0g(z_0) \ne 0g(z0 ) =0, bo‘lsa, z0z_0z0  nuqtasi mmm-martalik nol deb ataladi. Bu yerda mmm — nolning multiplikativligi . c) Nollarning ajratilganligi$ $8Golomorf funksiyaning nollari izolyatsiyalangan bo‘ladi, ya’ni har bir nol atrofida boshqa nol yo‘q. Bu xossa tufayli nollarning har biri alohida o‘rganilishi mumkin. 5. Muhim teoremalar Koshi teoremasi Agar f(z)f(z)f(z) funksiya yopiq egri chiziq bilan chegaralangan sohada golomorf bo‘lsa, u holda: γf(z) dz=0\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 γ ∮ ∮ f(z)dz=0 Liuvill teoremasi Agar butun funksiya chegaralangan bo‘lsa, u doimiydir: f(z) — butun va f(z) ≤M f(z)=constf(z) \text{ — butun va } |f(z)| \leq M \ ∣ ∣ ⇒ Rightarrow f(z) = \text{const}f(z) — butun va f(z) ≤M f(z)=const ∣ ∣ ⇒ Rouche teoremasi Agar f(z)f(z)f(z) va g(z)g(z)g(z) funksiyalar yopiq kontur ichida analitik bo‘lib, va f(z) > g(z) |f(z)| > |g(z)| f(z) > g(z) konturda bajarilsa, unda ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ f(z)+g(z)f(z) + g(z)f(z)+g(z) va f(z)f(z)f(z) funksiyalarning nollari soni kontur ichida teng bo‘ladi. 6. Golomorf funksiyalarni fizikada qo‘llash Golomorf funksiyalar elektrodinamika, gidrodinamika, termodinamika va kvant mexanikasida keng qo‘llaniladi. Masalan, elektrostatik maydonni tavsiflovchi potensial funksiyalar ko‘pincha analitik bo‘lib, ular kompleks tekislikda golomorf funksiyalar sifatida ifodalanadi.$ $9Golomorf funksiyalar kompleks analizning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, ularning differensiallanuvchanligi va analitikligi matematikada chuqur nazariy va amaliy ahamiyatga ega. Bu funksiyalarning nollari esa ularning ichki tuzilmasi haqida muhim ma’lumot beradi. Ular orqali kompleks tekislikda funksiyaning tutumi, fizik jarayonlarning dinamikasi va boshqa ko‘plab xususiyatlar o‘rganiladi. Koshi teoremasi. Agar funksiya bir bog’lamli D sohada (D ⊂ C z) golomorf bo’lsa, u holda funksiyaning D sohada yqtuvchi har Qanday silliq (bo’lakli silliq) γ yopiq chiziq (yopiq kontur) bo’yicha integral nolga teng bo’ladi: Misol-masala asosida ishlangan tushuntiruvlar 1-misol: $f(z) = z^5 + 3z + 1$ funksiyasining birlik doira ichida nechta noli borligini aniqlang. Yechilishi: Bu yerda $f(z) = z^5 + 3z + 1$. Biz $g(z) = z^5$ deb olaylik. Modulni baholaymiz: $|f(z) - g(z)| = |3z + 1|$, $|g(z)| = |z^5|$. Birlik doirada $|z| = 1$ bo‘lgani uchun $|g(z)| = 1$, $|f(z) - g(z)| \leq |3z| + |1| = 3 + 1 = 4$. Ammo bu yerda $|g(z)| = 1$ < $|f(z) - g(z)| = 4$, shuning uchun Rushe teoremasini bevosita qo‘llab bo‘lmaydi. Shuning uchun $g(z) = 3z$ olib ko‘ramiz va boshqacha baholaymiz. 2-misol: $f(z) = z^7 + 5z^2 + 2$ funksiyasining $|z| < 2$ doira ichida nechta noli bor? Yechilishi:$ $10$g(z) = z^7$, $f(z) - g(z) = 5z^2 + 2$. $|f(z) - g(z)| \leq 5|z|^2 + 2 = 5*4 + 2 = 22$, $|g(z)| = |z^7| = 128$. Bu yerda $|g(z)| > |f(z) - g(z)|$, shuning uchun Rushe teoremasi qo‘llanadi va $f(z)$ bilan $g(z)$ bir xil miqdorda nollarga ega. Demak, $f(z)$ ning $|z| < 2$ doirasida 7 ta noli bor. 3-misol: $f(z) = e^z - z^3$ funksiyasining $|z| < 2$ doirasida nechta noli bor? Yechilishi: $g(z) = -z^3$, $f(z) - g(z) = e^z$. $|e^z| \leq e^{|z|} = e^2 pprox 7.39$, $|g(z)| = |z^3| = 8$. Bu yerda $|g(z)| > |f(z) - g(z)|$, shuning uchun Rushe teoremasi qo‘llanadi. Demak, $f(z)$ ning nollari $g(z)$ ning nollari bilan bir xil: $z^3 = 0 \ Rightarrow$ bitta noli bor. 4-misol: $f(z) = \cos(z) - z^4$ funksiyasining $|z| < 1$ doirasida nechta noli bor? Yechilishi: $g(z) = -z^4$, $f(z) - g(z) = \cos(z)$. $|\cos(z)| \leq \cosh(|z|) \leq \cosh(1) pprox 1.543$, $|g(z)| = |z^4| = 1$. $|f(z) - g(z)| > |g(z)|$ bo‘lgani uchun Rushe teoremasini bu yerda qo‘llab bo‘lmaydi. Demak, boshqa usul kerak. 5-misol:$ $11$f(z) = z^6 + 4z^2 + 5$ funksiyasining $|z| < 2$ da nechta noli bor? Yechilishi: $g(z) = z^6$, $f(z) - g(z) = 4z^2 + 5$. $|f(z) - g(z)| \leq 4*4 + 5 = 21$, $|g(z)| = 64$. $|g(z)| > |f(z) - g(z)|$, shuning uchun $f(z)$ va $g(z)$ bir xil miqdorda nollarga ega: 6 ta noli bor. 6-misol: $f(z) = z^{10} + z^9 + \dots + z + 1$ funksiyasining birlik doira ichida nechta noli bor? Yechilishi: Bu geometrik progressiya: $f(z) = \frac{z^{11} - 1}{z - 1}$. $z = 1$ dan boshqa barcha ildizlar 11-darajali birlik ildizlari. Shu sababli, birlik doira ustidagi 11 ta ildizdan $z = 1$ tashqari 10 tasi birlik doirada yotadi. Demak, 10 ta noli mavjud. 7-misol: $f(z) = z^3 + 3z + 2$ funksiyasining $|z| < 2$ doirasida nechta noli bor? Yechilishi: $g(z) = z^3$, $f(z) - g(z) = 3z + 2$. $|f(z) - g(z)| \leq 6 + 2 = 8$, $|g(z)| = 8$. Bu holatda $|g(z)| = |f(z) - g(z)|$, tenglik bo‘lganligi sababli Rushe teoremasi bevosita qo‘llanmaydi. Ammo ozgina o‘zgarish kiritib, xulosa chiqarish mumkin.$

12Koshining integral formulasi.
Agar va da uzluksiz bo’lsa, u holda ∀ z∈D
uchun
f(z)= 1
2π i ∫
∂D
f(ξ)
ξ− z
dξ
tenglik o’rinli bo’ladi.

131.2.Glomorf funksiyasining asosiy xossalari
Agar bo’lsa, u holda sohada istalgan
tartibdagi hosilaga ega bo’lib , fn(z)= n!
2π i∫
γ
f(ξ)
(ξ− z)n+1dξ
(1)
bo’ladi.
Bu yerda
γ− D sohada yotuvchi (bo’lakli silliq) yopiq chiziq bo’lib, z esa
γ
chiziq bilan chegaralangan sohaga tegishli nuqta .
Isbot. Koshining integral formulasiga ko’ra
f(z)= 1
2π i∫
γ
f(ξ)
ξ− z
dξ
bo’ladi.
z nuqtaga ∆z orttirma berib,
f(z) funksiya orttirmasini topamiz:
f(z+Δz )− f(z)= 1
2π i∫
γ
f(ξ)dξ
ξ− z− Δz
− 1
2π i∫
γ
f(ξ)
ξ− z
dξ =
1
2π i∫
γ
f(ξ)(
1
ξ− z− Δz
− 1
ξ− z)dξ = Δz
2π i ∫
γ
f(ξ)dξ
(ξ− z− Δz )(ξ− z)
.
Unda
f(z+ Δz )− f(z)
Δz
= 1
2π i∫
γ
f(ξ)
(ξ− z− Δz )(ξ− z)
dξ

bo’ladi. Keyingi tenglikni quyidagicha yozib olamiz:
Endi

141
2πi ∫
γ
Δ zf (ξ)
(ξ− z− Δz )(ξ− z)2dξintegralni baholaymiz. Ravshanki,
|
1
2πi
∫
γ
Δzf (ξ)
(ξ− z− Δz )(ξ− z)
2dξ |<
|Δz |
2π
M ∫
γ
|dξ |
|ξ− z− Δz ||ξ− z|
2

bunda
.
Agar z nuqtadan
γ chiziqgacha bo’lgan masofani 2d (d>0) desak,
unda
|ξ− z|>d ,|ξ− z− Δz |>d
bo’lib, (agarda
|Δz| etarlicha kichiq bo’lsa)
(3)
bo’ladi. Bu erda
l− γ chiziq uzunligi.
(1) ni e’tiborga olib,
Δz → 0 da (2) da limitga o’tib
f'(z)= 1
2π i∫
γ
f(ξ)
(ξ− z)2dξ
bo’lishini topamiz.
Endi
f'(z) funksiyani olib uning uchun yuqoridagi mulohazalarni
takrorlasak

f''(z)= 2!
2πi ∫
γ
f(ξ)
(ξ− z)3dξ
(4)
tenglik hosil bo’ladi.

15Xuddi shu yo’l bilan uchinchi, to’rtinchi va hakozo tartibdagi hosilalarni
mavjudligi ko’rsatiladi. f(z) funksiyaning n–tartibli hosilasi
uchun (1) ni o’rinli bo’lishi matematik induksiya usuli yordamida isbotlanadi.
Natija 1. Agar
f(z)∈ϑ(D ) (D ⊂C z) bo’lsa, f'(z)∈ϑ(D ) bo’ladi.
Natija 2. Agar
f(z) funksiya D sohada boshlang’ich funksiyaga
ega bo’lsa, u holda
f(z) D sohada golomorf bo’ladi.
Funksiyani Teylor qatoriga yoyish.
Agar
f(z)∈ϑ(D ) (D ⊂C z) bo’lsa, u holda a∈D nuqtada (a nuqtaning
¿ρ(a)= {z∈ C z:|z− a|< ρ, ρ>0}⊂ D
atrofida) Teylor qatoriga yoyiladi:
f(z)= ∑
n=0
∞
cn(z− a)n= ∑
n=0
∞ fn(a)
n!
(z− a)n
Isbot.
¿ρ(a) ning chegarasini γ deylik.
γ= {z∈C z:|z− a|= ρ, ρ>0}
bo’ladi.
Avvalo funksiyani quyidagicha
1
ξ− z
= 1
ξ− a− (z− a)
= 1
(ξ− z)(1− z− a
ξ− a)

yozib, so’ng
1
1− z− a
ξ− a
= ∑
n=0
∞
(
z− a
ξ− a)
n
bo ’ lishini e ’ tiborga olib topamiz :

16 1
ξ− z
= ∑
n=0
∞
(
z− a
ξ− a )
n . (6)
Bu geometrik qator bo ’ lib , uning maxraji
z− a
ξ− a ga teng .
Ravshanki,
ξ∈γ uchun quyidagi tengsizlik
|z− a
ξ− a
|=
|z− a|
ρ
= q<1
o ’ rinli . Demak , (4) qator yaqinlashuvchi .
(6) tenglikning har ikki tomonini
1
2πi
f(ξ) ga ko ` paytirib , so ’ ng
γ chiziq
bo ’ yicha integrallab , ushbu
1
2πi
∫
γ
f(ξ)
ξ− z
dξ =
1
2πi
∫
γ
∑
n=0
∞ f(ξ)
(ξ− a)n+1(z− a)ndξ
tenglikka kelamiz.
(5) va (6) munosabatlardan
f(z)=
1
2πi
∫
γ
∑
n=0
∞ f(ξ)
(ξ− a)n+1(z− a)ndξ
bo’lishi kelib chiqadi.
Integral ostidagi
∑
n=0
∞ f(ξ)
(ξ− a)n+1(z− a)n
qatorning hadlari uchun
|
f(ξ)
(ξ− a)n+1(z− a)n|< 1
ρ
Mq n (n= 1,2 ,...)

(
M = max
γ
|f(ξ)|
)
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Ravshanki,

17∑
n=0
∞ M
ρ
qn (q<1)qator yaqinlashuvchi. Unda Veyershtrass alomatiga ko’ra
∑
n=0
∞ f(ξ)
(ξ− a)n+1(z− a)n
funktsional qator
γ da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Binobarin, bu qatorni
hadlab integrallash mumkin. Unda (7) tenglik ushbu

f(ξ)= ∑
n=0
∞
[
1
2πi ∫
γ
f(ξ)
(ξ− a)n+1dξ
]
(z− a)n
ko’rinishga keladi. Yuqorida keltirilgan ma’lum teoremaga ko’ra
C n= 1
2πi ∫
γ
f(ξ)
(ξ− a)n+1dξ =
f(n)(a)
n!
bo’lishini topamiz. Natijada (8) va (9) tengliklardan
f(ξ)= ∑
n=0
∞ f(n)(a)
n!
(z− a)n= ∑
n=0
∞
C n(z− a)n
bo ’ lishi kelib chiqadi . Bu esa
f(z) funksiyani Teylor qatoriga yoyilganini
bildiradi .
Natija 3. Agar
f(z) funksiya yopiq doirada golomorf bo’lib, bu doiraning
chegarasi aylanada
|f(z)|≤ M (M − const )

bo’lsa, u holda
f(z) funksiya Teylor qatorining Cn koeffitsentlari uchun
|Cn|≤ M
ρn (n= 0,1,2 ,...)
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Haqiqatan ham, (9) formuladan

18bo’lishi kelib chiqadi.
Odatda (10) tengsizllik Koshi tengsizligi deyiladi.
Liuvil teoremasi.
Agar f(z)∈ϑ(C ) bo’lib, u chegaralangan bo’lsa, f(z) funksiya C da
o’zgarmas bo’ladi.
Isbot. Golomorf funksiyaning xossasiga ko’ra,
f(z) funksiya |z− a|< ρ
doirada ning darajalari bo’yicha Teylor qatoriga yoyiladi:
bunda
Cn= 1
2πi ∫
γ
f(z)
(ξ− a)n+1dξ .
Koshi tengsizligi (10) ga binoan
|f(z)|≤ M bo’ladi. f(z)∈ϑ(C ) bo’lgani
uchun bu tengsizlikda
ρ ni istalgancha katta qilib olish mumkin. Shuning
uchun
n=1,2,3 ,... bo’lganda
lim
ρ→∞
Μ
ρn= 0 (n= 1,2,3 ,..)
bo’ladi. Ayni paytda (10) tengsizlikning chap tomoni
ρ ga boglik emas.
Binobarin
n=1,2,3 ,... bo’lganda
Cn= 0
( n=1,2,3 ,... )
bo’ladi. Demak,
C da f(z)= c0 (c0= const ) .
Morera teoremasi. Faraz qilaylik,
f(z) funksiya bir bog’lamli D sohada
D ⊂C z
aniqlangan va uzluksiz bo’lib, γ esa shu D sohada yotuvchi
ixtiyoriy silliq (bo’lakli silliq) yopiq chiziq bo’lsin. Agar
∫
γ
f(z)dz = 0 bo’lsa,
u holda
f(z) funksiya D sohada golomorf bo’ladi.
Isbot. Teoremada keltirilgan shart bajarilganda funksiya
D sohada
boshlang’ich
F(z) funksiyaga ega bo’lib, F(z) funksiya D da C
differensiallanuvchi, ya’ni golomorf bo’ladi.

193 0
-xossaning 1-natijasiga ko’ra F'(z) ham D sohada golomorf bo’ladi.
Ayni paytda
F '(z)= f(z)
bo’lganligi sababli
f(z)∈ϑ(D ) bo’ladi.

20 II BOB. RUSHE TEOREMASI VA UNING QO‘LLANISHI
2.1. Rushe teoremasining bayoni
Teorema2 (Rushe teoremasi ). Agar f(z) va F(z) funksiyalar chekli
bog’lamli G sohada va uning cheklita yopiq bo’lakli silliq Jordan
chiziqlaridan iborat
∂G chegarasida regulyar bo’lsa va ∀ z∈∂G
nuqtalarda
|F(z)|>|f(z)| tengsizlik bajarilsa, u holda F(z)+f(z) hamda
F(z) funksiyalar
G sohada bir xil sondagi nollarga ega bo’ladi.
Isbot.
G soha chegarasi ∂G da |F(z)|>|f(z)| tengsizlik
bajarilganligidan
∀ z∈∂G uchun F(z)+ f(z)≠0,F(z)≠ 0 tengsizliklarning
ham o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Logarifmik qoldiq haqidagi teoremaga
binoan Rushe teoremasining isboti uchun
1
2πi ∫
∂G
F'(z)+f'(z)
F(z)+f(z)dz= 1
2πi ∫
∂G
F'(z)
F(z)dz
(4)
tenglikni ko’rsatish kifoyadir. Shu tenglikni isbotlaymiz.
1
2πi ∫
∂G
F'(z)+ f'(z)
F(z)+ f(z)
dz = 1
2πi ∫
∂G
d
dz
ln [F(z)+ f(z)]dz =
= 1
2πi ∫
∂G
d
dz [ln F(z)]dz + 1
2πi ∫
∂G
d
dz {ln [1+ f(z)
F(z)]}dz
.
(5)
Agar
w=1+ f(z)
F(z) deb olsak, u holda (5) tenglikning ikkinchi
integrali
1
2πi∫
Г
dw
w dan iborat bo’ladi, unda integrallash chizig’i z nuqta
∂G
chegarani musbat yo’nalishda bir marta aylangan taqdirda
w=1+ f(z)
F(z)
nuqta chizadigan chiziqdan iborat. Teorema shartiga ko’ra
|f(z)
F(z)|<1
. Demak,
G chiziq markazi w=1 nuqta, radiusi 1 ga teng bo’lgan
doiraning ichida joylashadi. Bu doira
w=0 nuqtani o’z ichida
saqlamagani uchun murakkab kontur uchun Koshining integral
teoremasiga asosan
1
2πi∫
Г
dw
w =0. Bundan va (5) tenglikdan (4) formulani
olamiz. Teorema 2 isbot bo’ldi.
Modulning maksimumi prinsipi. Shvarts lemmasi. Koshi
formulasi
f(z)= 1
2πi ∫
∂G
f(ξ)
ξ− z
dξ
∂ G = Г = {ξ :|ξ|= R } va z=0

21bo’lganda, xususan sodda ko’rinishni oladi: ∂G chiziqning parametrik
tenglamasi
ξ= Re iϕ,0≤ ϕ≤ 2π , u holda dξ = iRe iϕdϕ va
f(0)= 1
2π∫
0
2π
f(Re iϕ)dϕ
. (6)
Demak, regulyar funksiyaning doira markazidagi qiymati uning
doira aylanasidagi qiymatlari o’rta arifmetigiga teng. (6) formuladan
foydalanib analitik funksiyalar nazariyasining juda muhim prinsipi-
modulning maksimum prinsipini keltirib chiqarish mumkin. Unga ko’ra
G
- sohada regulyar funksiya moduli shu sohaning hech bir ichki
nuqtasida o’zining maksimum qiymatiga erisha olmaydi, agar u aynan
o’zgarmasdan farqli bo’lsa.
Haqiqatdan ham,
M =sup
z∈G
|f(z)| bo’lsin. Prinsipning teskarisini faraz
qilamiz, ya’ni shunaqa
z0∈G nuqta mavjudki, |f(z0)|=M bajarilsin.
Markazi
z0 nuqtadan iborat doira Ur(z0)(Ur(z0)⊂G), uchun (6)
formulani qo’llab,
f(z0)= 1
2 π ∫
0
2π
f(z0+ re iϕ)dϕ
ni olamiz.
|f(z0+re iϕ)|≤ M va |f(z0)|=M bo’lganligidan
|f(z0)|≤ 1
2π ∫
0
2π
|f(z0+re iϕ)|dϕ
(7)
∀ϕ
uchun |f(z0+re iϕ)|= M ni olamiz. Haqiqatdan ham, agar biror
ϕ0
uchun |f(z0+re iϕ)|<M bo’lsa, u holda |f(z)| ning uzluksiz
ekanligidan yetarlicha kichik biror
ϕ0− ε<ϕ<ϕ0+ε interval mavjudki,
unda
|f(z0+re iϕ)|<M bajarilar edi, bu intervaldan tashqarida
|f(z0+re iϕ)|≤ M
. U holda (7) dan
M =|f(z0)|≤ 1
2π(∫
0
ϕ0−ε
|¿|dϕ+ ∫
ϕ0−ε
ϕ0+ε
|¿|dϕ+ ∫
ϕ0+ε
2π
|¿|dϕ)<M
. Buning bajarilishi mumkin
emas. Shunday qilib,
|f(z)|=M markazi z0 nuqtada bo’lgan istalgan

22yetarlicha kichik aylanada yoki markazi z0 nuqtada bo’lgan istalgan
yetarlicha kichik doirada. Endi butun
G sohada |f(z)|=M ekanligini
ko’rsatamiz. Shu maqsadda
z0 nuqtani ixtiyoriy z1∈G nuqta bilan biror
L⊂G
uzluksiz chiziq bilan tutashtiramiz. L chiziq va ∂G chegara
orasidagi masofani
d= ρ(L ,∂G )= min {|z− ξ|:z∈ L ,ξ ∈ ∂G }(d>0)
belgilaymiz. Tushunarliki, ixtiyoriy markazi
L chiziqda yotuvchi
d
2
radiusli doira
G da yotadi. Isbotlangan |f(z)|=M tenglikka ko’ra u har
bir bunday doirada o’rinli. Bunday doiraning markazini
L chiziqning z0
nuqtasidan
z1 nuqtasigacha uzliksiz siljitib, ko’ramizki, |f(z)|=M tenglik
hosil bo’lgan har bir doirada bajariladi. Demak,
|f(x)1|= M ham o’rinli,
ya’ni u butun
G ga o’rinli. Bundan f(z) ning doimiyligini oson keltirib
chiqara olamiz. Haqiqatdan,
ln f(z)= ln |f(z)|+iArg [f(z)] o’zgarmas
haqiqiy qism
ln M =U (x,y)=const ga ega. U holda Koshi -Riman
shartlariga ko’ra
∂u
∂x
= ∂u
∂y
= ∂v
∂x
= ∂v
∂y
=0, chunki
G da f(z)≠0 bo’lganligi
uchun
ln f(z) ham G da regulyardir (umumiylikni kamaytirmasdan G
ni bir bog’lamli chekli soha deb qarash mumkin). Demak,
ln f(z)≡const .
Bundan
f(z)≡const ekanligini olamiz. Lekin qilgan farazimizga ko’ra
f(z)≠const
. Demak, farazimiz noto’g’ri bo’lib, bu ziddiyat modulning
maksimum prinsipini to’g’ri ekanligini bildiradi.
Shvarts lemmasi. Agar
f(z) funksiya |z|<1 doirada regulyar va
f(0)=0,|f(z)|<1
shartlarni qanoatlantirsa, u holda |f'(0)|≤1,|f(z)|≤|z|
(|z|<1)
tengsizliklar o’rinli. Bu yerda tenglik belgisi faqat f(z)=zeiθ
funksiya uchun bajariladi.
Isbot.
ϕ(z)= f(z)
z funksiyani qaraymiz. Lemma shartiga asosan
f(0)=0
bo’lgani uchun ϕ(z) funksiya |z|<1 doirada regulyar va
ϕ(0)= f'(0).
Bundan tashqari, lim
|z|→1
|ϕ(z)|=lim
|z|→1
|f(z)|≤1 . Modulning
maksimum prinsipini qo’llab,
|z|<1 nuqtalar uchun |ϕ(z)|≤1 ni olamiz. Bu
yerdan,
|f'(0)|≤1
va |f(z)|≤|z| ( |z|<1 )
tengsizliklar va bularda tenglik belgisining faqat
f(z)=zeiο funksiya
uchun bajarilishi kelib chiqadi. Shvars lemmasi isbot bo’ldi.

23 Yagonalik teoremasi
Faraz qilaylik, f(z) va g(z) funksiyalar D sohada golomorf bo’lsin.
Agar bu funksiyalar D sohaga tegishli va hech bo’lmaganda bitta limit nuqta
ga ega bo’lgan E to’plamda (E⊂D) bir-biriga teng
bo’lsa, u holda f(z) va g(z) funksiyalar D sohada aynan bir-biriga teng
bo’ladi:
Isbot . Modomiki , nuqta E to ’ plamning limit nuqtasi ekan , unda E
to ’ plamga tegishli turli nuqtalardan tuzilgan va
z0
ga intiluvchi ∀ z∈E da f ( z )= g ( z ) bo ’ lgani uchun
bo ’ ladi .
Endi f(z) va g(z) funksiyalarni
z0 nuqtaning
B= {z∈C z:|z− z0|<ρ,ρ>0}
atrofida (bunda esa nuqtadan
∂D gacha bo’lgan masofa) Teylor
qatoriga yoyamiz:

zk→ z0 bo’lganligi sababli k ning biror qiymatidan boshlab keyingi lar
B= {z∈C z:|z− z0|<ρ,}
doiraga tegishli bo’ladi. Shuning uchun
f(zn)= g(zn),(n=1,2,3 ,...) bo’lib, (1)
dan
(2)
bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglikda
zk→ z0 da limitga o’tib

24 (3)
bo’lishini topamiz.
Bu (3) tenglikni e’tiborga olib (2) ni har ikkala tomonini zk−z0 ga
bo’lsak, unda

∑
k=1
∞
ak(zk−z0)k−1= ∑
k=1
∞
bk(zk−z0)k−1 (4)
hosil bo’ladi.
Keyingi tenglikda
zk→ z0 da limitga o’tib

a1=b1 (5)
bo’lishini topamiz. Bu (5) tenglikni e’tiborga olib, (4) ning har ikkala
tomonini
zk−z0 ga bo’lsak, unda
∑
k=2
∞
ak(zk− z0)k−2= ∑
k=2
∞
bk(zk− z0)k−2
hosil bo’ladi. So’ng
zk→ z0 da limitga o’tib, a2=b2 bo’lishini topamiz.
Bu jarayoni davom ettira borib,
bo’lishini topamiz. Shunday qilib
lar uchun
bo’ladi. Demak,
B= {z∈C z:|z− z0|<ρ,} doirada f(z)=g(z) bo’ladi.
D sohada ixtiyoriy
z¿ nuqtani olib, z0 va z¿ nuqtalarni D soha yotuvchi
uzluksiz L chiziq bilan birlashtiramiz. B doirada L egri chiziq qismida biror
nuqtani olamiz. So’ng B da
α ga intiluvchi

25 ketma-ketlikni qaraymiz. Ravshanki,
bo’ladi.
Endi f(z) va g(z) funksiyalarni α nuqtaning
atrofida (bunda
ρ1<d1 bo’lib, d1 - esa L va chiziqlar orasidagi masofa)
Teylor qatoriga yoyamiz:
Yuqorida keltirilgan mulohazani takrorlab, va
demak,
B1 doirada
f(z)=g(z)
bo’lishini topamiz.
nuqtani L chiziq bo’ylab nuqta tomon siljita borib va yana yuqorida
keltirilgan mulohazalarni takrorlab
bo’lishini topamiz.
nuqta D sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lganligi sababli, D sohada
f(z)=g(z)
bo’ladi.
Veyershtrass teoremasi.
Agar
(6)
funksional qatorning har bir hadi sohada
golomorf bo’lib, bu qator D sohada yotuvchi ixtiyoriy F yopiq to’plamda
tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda qator yig’indisi

26f(z)=∑
n=1
∞
fn(z) (7)
funksiya D sohada golomorf bo’ladi.
Isbot. D sohada ixtiyoriy
z0 nuqtani olib, uning shunday
atrofini qaraymizki, bo’lsin.
Shartga ko’ra (6) qator da tekis yaqinlashuvchi. Demak, qator
da ham tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
funksiya D sohada golomorf bo’lgani uchun u (6)
qatorning har bir hadi da ham golomorf bo’ladi. Binobarin,
da funksiya uzluksiz. Unda qator yig’indisi f(z)
funksiya ham da uzluksiz bo’ladi.
Endi da yotuvchi yopiq silliq
γ chiziqni olaylik . (7)
qatorni
γ chiziq bo’yicha hadlab integrallab, topamiz:
(8)
Koshi teoremasiga ko’ra
(9)
bo’ladi.
(8) va (9) dan bo’lishi kelib chiqadi. Morera teoremasidan
foydalanib f(z) funksiyani da va, demak, nuqtada golomorf
bo’lishini topamiz. Qaralayotgan nuqta D sohaning ixtiyoriy nuqtasi
bo’lganligidan f(z) funksiyani D sohada golomorf bo’lishi kelib chiqadi.
Natija: Yuqorida keltirilgan Veyershtrass teoremasining sharti
bajarilganda

27qatorni istalgan marta hadlab differensiallash mumkin bo’lib,
bo’ladi.
2.2. Misollar va masalalar
Faraz qilaylik, biror funksiyaning kengaytirilgan kompleks tekislikda C
da, berilgan bo’lib, bo’lsin.
Agar
bo’lsa, kompleks son funksiyaning noli deyiladi.
Aytaylik, funksiya nuqtada golomorf bo’lsin. Bu
funksiyani nuqta atrofida darajali qatorga yoyamiz:
(10)
Agar nuqta funksiyaning noli bo’lsa, u holda
bo’lib, (10) formula ushbu

28ko’rinishga keladi.
Aytaylik, (10) da
(11)
bo’lib,
bo’lsin. U holda (10) tenglikdan
bo’lishi kelib chiqadi.
Ma’lumki,
Yuqoridagi (11) munosabatni e’tiborga olib,
bo’lishini topamiz.
Bu holda nuqta funksiyaning karrali noli deyiladi.
Shunday qilib, funksiyaning karrali noli bo’lsa, u holda
bo’lib,
funksiya nuqtada golomorf bo’ladi.
Aksincha, agar funksiya quyidagicha
ifodalanib, funksiya nuqtada golomorf bo’lsa, nuqta
funksiyaning karrali noli bo’ladi.

29 funksiya nuqtada golomorf bo’lsin. Bu holda nuqta
atrofida funksiya ushbu
(12)
qatorga yoyiladi.
nuqta funksiyaning noli bo’lsin.
Ravshanki, u holda
bo’lib, (12) formula ushbu
(13)
ko’rinishga keladi.
Aytaylik, (13) formulada
(11)
bo’lib,
bo’lsin. Bu holda nuqta funksiyaning karrali noli bo’ladi. U
holda (13) formuladan
bo’lishini topamiz. Bu erda
funksiya uchun
bo’lib, ϕ(z) funksiya z=∞ nuqtada golomorf bo’ladi.

30Aksincha, agar funksiya quyidagicha
ifodalanib, funksiya z=∞ nuqtada golomorf bo’lsa, u holda
nuqta funksiyaning karrali noli bo’ladi.
Teorema. Faraz qilaylik, funksiya z=a nuqtada golomorf bo’lib, shu
z=a nuqta funksiyaning noli bo’lsin: f(a)=0 . U holda yo f(z) funksiya a
nuqtaning biror atrofida aynan nolga teng
f(z)≡0 yoki a nuqtaning shunday
atrofi topiladiki, bu atrofda f(z) funksiyaning z=a nuqtadan boshqa noli
bo’lmaydi.
Isbot. Shartga ko’ra, f(z) funksiya z=a nuqtada golomorf. Unda
funksiya z=a nuqta atrofida qatorga yoyiladi:
. (14)
Aytaylik, (14) da barcha lar nolga teng bo’lsin:
.
Ravshanki, bu holda funksiya z=a nuqta atrofida f(z)=0 bo’ladi.
Endi (14) da
bo’lib,
bo’lsin. Bu holda z=a nuqta f(z) funksiyaning m karrali noli bo’lib, u
quyidagicha
f(z)=(z−a)mg(z)
ifodalanadi. Bu erda g(z) funksiya z=a nuqtada golomorf va . Ayni
paytda g(z) funksiya z=a nuqtada uzluksiz ham bo’ladi. Unda
bo’lganligi sababli z=a nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda

31 bo’ladi. Binobarin shu atrofda f(z) funksiyaning z=a nuqtadan
boshqa nollari bo’lmaydi.
Chegirmalar va ularni hisoblash.
Faraz kilaylik, ) (z f funksiya } 0{     a z da golomorf bo’lib, a
nuqta bu funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo’lsin.
1-Ta’rif . Ushbu
) 0( ) (
2
1    
 ∫  az
dz z f
i
integral
) (z f funksiyaning a nuqtadagi chegirmasi deyiladi va ) (z f res az
kabi belgilanadi:
∫    

az az dz z f
i
z f res ) (
2
1 ) (
.
Ravshanki,
) (z f funksiya a nuqtada golomorf bo’lsa, 0 ) (   z f res az
bo’ladi.
Aytaylik,
) (z f funksiya } {    z r da golomorf bo’lsin.
2-Ta’rif . Ushbu
) ( ) (
2
1 r dz z f
i z
 

 ∫
integral
) (z f funksiyaning  z nuqtadagi chegirmasi deyiladi va
)(z f resz
kabi belgilanadi:
∫  
 
z z dz z f
i
z f res ) (
2
1 ) (
.
1-Teorema . Agar
) (z f funksiya } 0{ r a z    xalqada Loran qatori
 
 
n n
n azczf )()(
ga yoyilgan bo’lsa, u holda
1 ) (    c z f res az
(18)

$32bo’ladi. Agar ) (z f funksiya } {    z r xalqada Loran qatori    n n n zczf )( ga yoyilgan bo’lsa, u holda 1 ) (     c z f resz (19) 2-Teorema . (Chegirmalarning yigindisi haqidagi teorema). Agar ) (z f funksiya } ,..., , {\ 2 1 na a a C to’plamda golomorf bo’lsa, u holda      n k z az z f res z f res k 1 0 ) ( ) ( (20) bo’ladi. Endi funksiya chegirmalarini hisoblashda foydalanadigan formulalarni keltiramiz. 1) Agar a z nuqta ) (z f funksiyaning birinchi tartibli qutb nuqtasi bo’lsa, ) ( ) ( lim ) ( z f a z z f res a z az      (2 1 ) bo’ladi. 2) Agar ) ( ) ( ) ( z z z f    uchun ) ( ) ( z ва z   funksiyalar a nuqtaga golomorf bo’lib, 0 ) (' ,0 ) (     a a bo’lsa , u holda ) (' ) ( ) ( a a z f res az     (2 2 ) bo’ladi. 3) Agar a z nuqta ) (z f funksiyaning n-tartibli qutb nuqtasi bo’lsa, 1 1 )] ( ) [( lim )!1 ( 1 ) (         n n n a z az dz z f a z d n z f res (2 3 ) bo’ladi. 4) Agar  z nuqtada ) (z f funksiya golomorf bo’lsa,$ $33)] ( ) ( [ lim ) ( z f f z z f res z z      (24) bo’ladi. 5) Agar )1( ) ( z z f   bo’lib, ) (z  funksiya 0 z nuqtada golomorf bo’lsa, )0(' ) (    z f resz (25) bo’ladi. Integrallarni chegirmalar yordamida hisoblash . Chegirmalar yordamida turli integrallarni hisoblash mumkin. Bunda quyidagi teorema muhim rol o’ynaydi. Teorema (Koshi teoremasi). Faraz qilaylik , 1) ) (z f funksiya } ,... , {\ 2 1 na a a D sohada golomorf ), ,..., , , ( 2 1 D a a a C D n  2) ) (z f funksiya sohaning chegarasigacha aniqlangan va } ,... , {\ 2 1 na a a D da uzluksiz, 3) D - to’g’rilanuvchi yopiq kontur bo’lsin. U holda ∫       D n k az z f res i dz z f k 1 ) ( 2 ) ( (26) formula o’rinlidir. Izoh . (26)-formula D   bo’lgan hol uchun ham o’rinlidir. Faqat bu holda  z ni ) (z f uchun maxsus nuqta deb hisoblash hamda D chiziq orientatsiyasini soat strelkasi yo’nalishida olish kifoyadir. Yuqorida keltirilgan Koshi teoremasidan amaliyotda yopik kontur bo’yicha olingan integrallarni hisoblashda foydalaniladi. Aniq integrallarni chegirmalar yordamida hisoblash. Aniq integrallarni ham chegirmalar yordamida hisoblash mumkin. Bunda aniq integral kompleks o’zgaruvchili funksiyaning kontur bo’yicha olingan integraliga keltirilib hisoblanadi.$

34a) ∫
2
0
) sin, (cos dx x x R ko’rinishdagi integrallarni hisoblash.
Ushbu
∫


2
0
) sin, (cos dx x x R I
(27)
integral berilgan bo’lib, uni hisoblash talab etilsin, bunda
x ва x x x R sin cos ) sin, (cos 
larning ratsional funksiyasi va u ] 2,0[  da
uzluksiz.
Eyler formulasiga ko’ra
i
e e x e e x
ix ix ix ix
2
sin ,
2
cos
     
bo’lishini e’tiborga olib, s o’ ng
ixe z
deb belgilash kiritsak, unda
dz
iz
dx
z
z
i
x
z
z x
z C z z x
1 ),1 (
2
1 sin , )1 (
2
1 cos
},1 : { ] 2,0[
    
     
bo’lib, berilgan ( 28 )-integral quyidagicha
∫ ∫ 

 
1
2
0
) (~ ) sin, (cos
z
dz z R dx x x R I
bo’ladi, bunda
)).1 (
2
1 ),1 (
2
1( 1 ) (~
z
z
i z
z R
iz
z R   
Hosil bo’lgan integral oldingi punktdagi (26)-formula yordamida
hisoblanadi.
b) Xosmas integrallarni hisoblash.
Chegirmalar nazariyasidan foydalanib xosmas integrallarni ham
hisoblash mumkin. Bu kuyidagi teoremaga asoslangan.

35Teorema . ) (z f funksiya }0 Im: {   z C z sohaning chekli sondagi
maxsus nuqtalaridan tashqari barcha nuqtalarida golomorf bo’lib, uning
chegarasida uzluksiz bo’lsin. Agar
∫       
r
z r z dz z f r r }) arg 0 , { ( 0 ) ( lim
(28)
bo’lsa, u holda
∫ 
 dxxf )(
yaqinlashuvchi bo’lib,
∫ 

   
0Im ) ( 2 ) ( 
k k
z zz z f res i dx x f
(29)
bo’ladi.
Bu teoremadagi (28)-shartning bajarilishini ko’rsatishda quyidagi
lemmalardan foydaniladi.
1-Lemma (Jordan lemmasi). Agar
0 ) ( max lim    z f r r z r
(30)
bo’lsa,
∫ 
r
dz z f r 0 ) ( lim
(31)
bo’ladi.
2-Lemma . (Jordan lemmasi). Agar
0 ) ( max lim    z f r z r
(32)
bo’lsa, u holda
0    uchun
∫

 
r
dz e z f zi
r 0 ) ( lim
(33)
bo’ladi.
Endi
∫


 dx x R e xi ) (
ko’rinishdagi xosmas integrallarni qaraylik.

36Agar 0 ) ( max lim    z R z r bo’lsa, u holda bu integralga 2-lemmani va
yuqoridagi teoremani qo’llash natijasida quyidagi formulalarni hosil qilamiz:
∫ 

 






      
0 Im
)] ( [ Im 2 cos) (
k k z zz
zi z R e res xdx x R
, ( 34 )
∫ 

 






    
0 Im
)] ( [ Re 2 sin) (
k k z zz
zi z R e res xdx x R
, ( 35 )
1-m isol . Ushbu
∫

  
dx
x x
x
2 2
sin
2
integralni hisoblang.
) (z f 
funksiya deb
)] 1( [ )] 1( [ 2 2
) ( 2 i z i z
e
z z
e z f
iz iz
    

 

ni olamiz. Bu funksiyaning 2 ta
i z  1 1 va i z   1 2 qutb nuqtalari
bo ’ lib , ulardan
}0 {Im 1 1     z i z bo ’ ladi .
2 2
1 ) ( 2  

z z
z R
funksiya uchun
 z da 21
~)(
zzR
bo’lganidan 2-
lemma shartining bajarilishi ta’minlanadi. Unda (36)-formulaga ko’ra
∫

    
 
)] ( Re[ 2
2 2
sin
1 2 z f res dx
x x
x
zz
bo’ladi.
(23)-formuladan foydalanib
) ( 1 z f res zz ni hisoblaymiz:
).1 cos 1 (sin
2 2
)] 1( [
)] 1( [ )] 1( [
lim ) (
1 ) 1(
1
1
i e
i
e
i z
i z i z
e z f res
i i
iz
i z zz
  






   
    

 
  
Demak,

37 .1 sin )1 cos 1 (sin
2
Re 2
2 2
sin 11
2 
   


    
  ∫ e i e dx
x x
x
2– Misol. hisoblansin.
bo’lsin. U holda
cos ϕ= 1
2(z+1
z)
, dϕ= dz
iz =−idz
z ,
I= ∫
|z|=1
1
1− 2a1
2(z+1
z)+a2
(−i)dz
z=i∫
|z|=1
dz
az 2−(a2+1)z+a
.
Maxsus nuqtalarni topib olamiz:
az 2−(a2+1)z+a=0

R1(z)= i
az 2−(a2+1)z+a

bo’ganligi uchun birinchi aylana ichida
z1=a maxsus nuqta bor. Bu
maxsus nuqta birinchi tartibli qutbdir. Shunga asosan
Demak, .
3– Misol.
I=∫−∞
+∞ dx
(x2+1)4 hisoblansin.
R(z)= 1
(z2+1)4= 1
(z−i)4(z+i)4
bu funksiya
z1=i,z2=−i maxsus nuqtalarga ega bo’lib, bu maxsus nuqtalar
to’rtinchi tartibli qutbdir. Yuqori yarim tekislikda faqat
z1=i nuqta yotadi.

38n-chi tartibli qutb bo’lsa,
4– Misol. h isoblansin.
B unda,
Masalalar
1-masala
f(z) = z^5 + 3z^3 + 2 funksiyasining birlik doira ichida nechta noli bor?
Doira: |z| = 1
Tanlaymiz:
f(z) = z^5 + 3z^3 + 2
g(z) = z^5
|f(z) - g(z)| = |3z^3 + 2| ≤ 3 + 2 = 5
|g(z)| = 1
Bu yerda |f(z) - g(z)| > |g(z)| emas. Boshqa doira: |z| = 2
|g(z)| = 32, |f - g| ≤ 26 < 32
Rushé teoremasiga ko‘ra, f ning 5 ta noli bor.

39Javob: 5 ta noli bor.
2-masala
f(z) = z^4 + 5z + 2. Uning birlik doira ichidagi nollari sonini toping.
g(z) = z^4, |z| = 2
|g(z)| = 16, |f - g| ≤ 10 + 2 = 12 < 16
Rushé teoremasi bo‘yicha 4 ta noli bor.
Javob: 4 ta noli bor.
3-masala
f(z) = z^3 + z + 1 funksiyasining |z| < 1 doirasidagi nollari sonini toping.
g(z) = z^3
|z| = 2: |g(z)| = 8, |f - g| ≤ 3 < 8
Rushé teoremasiga ko‘ra 3 ta noli bor.
Javob: 3 ta noli bor.
4-masala
f(z) = z^6 + z^2 + 1 funksiyasining |z| < 1 ichidagi nollari soni?
|z| = 2: |g(z)| = 64, |f - g| ≤ 4 + 1 = 5 < 64
Rushé teoremasi bo‘yicha 6 ta noli bor.
Javob: 6 ta noli bor.
5-masala
f(z) = z^7 + 3z + 2, |z| < 1 dagi nollar soni?
|z| = 2: |g(z)| = 128, |f - g| ≤ 8 < 128
Rushé teoremasi bo‘yicha 7 ta noli bor.
Javob: 7 ta noli bor.
6-masala
f(z) = z^2 + 2z + 2. Uning nollarini toping.
Kvadrat tenglama: z^2 + 2z + 2 = 0
D = -4, z = -1 ± i
Javob: z = -1 + i, z = -1 - i
7-masala
f(z) = z^3 - 3z + 2 funksiyasining barcha nollari?

40z = 1 yechim
Qolgan: (z - 1)(z^2 + z - 2) = (z - 1)^2(z + 2)
Javob: z = 1 (2 marta), z = -2
8-masala
f(z) = z^4 + z + 10. |z| < 2 doirasidagi nollari soni?
|g(z)| = 16, |f - g| ≤ 11 < 16
Rushé teoremasi: 4 ta noli bor.
Javob: 4 ta noli bor.
9-masala
f(z) = z^5 + 6z^2 + 3, |z| < 2
|g(z)| = 32, |f - g| ≤ 27 < 32
Rushé teoremasi: 5 ta noli bor.
Javob: 5 ta noli bor.
10-masala
f(z) = z^3 + 2z + 5, |z| = 3
|g(z)| = 27, |f - g| ≤ 11 < 27
Rushé teoremasi: 3 ta noli bor.
Javob: 3 ta noli bor.
Xulosa
Glomorf funksiyalar va Rushe teoremasi kompleks tahlilning markaziy
jihatlaridan biridir. Ular yordamida matematikada va boshqa sohalarda
ko'plab masalalarni hal qilish mumkin. Misol uchun, elektrodinamika,
akustika, termodinamikada glomorf funksiyalarning nollari va ularning

41xususiyatlari fizika tizimlarini tushunish va simulyatsiya qilishda qo'llaniladi.
Glomorf funksiyaning nollarini hisoblash orqali tizimning holatlarini va uning
rivojlanishini tahlil qilish mumkin.
Shuningdek, glomorf funksiyalarni hisoblash nafaqat nazariy
matematikada, balki amaliy sohalarda ham muhimdir. Masalan,
muhandislikda to'liq yoki qisman tizimlarning xatti-harakatini simulyatsiya
qilishda, optimallashtirish masalalarini yechishda glomorf funksiyalar
o'zgarishlarni va ularning tahlilini amalga oshirishda ishlatiladi.
Glomorf funksiyalarni va ularning nollarini hisoblash, shuningdek, Rushe
teoremasining qo'llanilishi kompleks tahlilning asosiy va zaruriy
komponentlaridan biridir. Ushbu konseptlar yordamida matematik masalalar,
shuningdek, real hayotdagi amaliy muammolarni hal qilishda yirik yutuqlarga
erishish mumkin. Glomorf funksiyalarning nollarini topish va ularning
xususiyatlarini tahlil qilish orqali tizimlarning xatti-harakatini yanada
mukammal tushunish mumkin bo'ladi. Rushe teoremasi esa bu jarayonni
osonlashtiradi va murakkab matematik jarayonlarni yanada aniqlik bilan hal
qilish imkonini beradi. Shunday qilib, glomorf funksiyalar va Rushe
teoremasi matematikada, fizika va boshqa ilmiy sohalarda keng qo'llaniladi va
o'zgaruvchan tizimlarni o'rganish uchun zarur vositadir.Glomorf funksiyaning
nollari uchun ko'plab usullar mavjud.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Rahimov, S. (2010). Kompleks analiz . Toshkent: O‘zbekiston
Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi, Fan va ta’lim

422. Xodjayev, A. (2007). Matematika tahlili: Iqtisodiyot uchun
kurs .Toshkent: O‘zbekiston Milliy Universiteti nashriyoti.
3. Toshpulatov, M. (2013). Kompleks funksiyalar nazariyasi va ularga
oid masalalar . Toshkent: O‘zbekiston Milliy Universiteti nashriyoti.
4. Ravshanov, T. (2008). Kompleks tahlilga kirish . Toshkent:
O‘zbekiston fanlar akademiyasi.
5. Abdullayev, F. (2012). Kompleks analizga kirish . Toshkent:
O‘zbekiston Milliy Universiteti nashriyoti.
6. Sultonov, A. (2015). Kompleks analiz va uning qo‘llanilishlari .
Toshkent: O‘zbekiston Milliy Universiteti.
7. Berg, A. S. (2005). Funksiyalar nazariyasi va kompleks analizga oid
masalalar . Toshkent: Fan.
8. Shermatov, A. (2011). Matematik analiz: kompleks tahlil . Toshkent:
Toshkent davlat iqtisodiyot universiteti.
9. Muhammadiev, F. (2016). Glomorf funksiyalarni tahlil qilishning
asosiy metodlari . Toshkent: O‘zbekiston Milliy Universiteti.
10. Maxmudov, M. (2010). Matematik tahlil va kompleks funksiyalar
nazariyasi . Toshkent: O‘zbekistan matbuoti.
Rus tilidagi Adabiyotlar (O'zbek tilidagi manbalarga qo'shimcha
sifatida):
11. Коржев, Г. К. (2004). Комплексный анализ . Москва: Наука.
12. Зорич, В. А. (2001). Курс математического анализа . Москва:
ФИЗМАТЛИТ.
13. Шабельник, В. И. (2011). Комплексный анализ и его
приложения . Санкт-Петербург: Лань.
14. Лаврентьев, М. А., & Шар, В. М. (1998). Комплексный анализ
и его приложения . Москва: Наука.

4315. Мариничев, В. Н. (2003). Основы комплексного анализа .
Санкт-Петербург: БХВ-Петербург.

Купить

Похожие документы
Ekonometrika asoslari fanidan testlar
Kombinatorika Asoslari
Haqiqiy Yevklid fazosida chiqizli almashtirishlar
Funksiyaning integralinuvchanlik mezoni
Ekstirimal masalalar kurs ishi

Информация о документе

Продавец

Golomorf funksiyasining nollarini hisoblash.Rushe teoremasi

Похожие документы