Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi
![tenglamaning aniqlanish sohasi l≤x≤3 bo’ladibu degan so’z tenglama ildizi 1
soni bilan 3 soni orasida bo’ladi, deganidir.
Irratsional tenglamalar ayniy shakl almashtirishlar orqali ratsional
tenglama ko’rinishiga keltiriladi. Irratsional tenglamalarni yechish uchun eng
ko’p ishlatijadigan shakl almashtirish berilgan tenglikning har ikkala tomonini
bir xil darajaga ko’tarish va
√ f ( x ) √ g ( x )
= √ f ( x ) g ( x )
, √ f ( x )
√
g ( x ) = √
f(x)
g(x) kabi
usullardir. Bunday shakl almashtirishlarni bajarish jarayonida yechilayotgan
tenglama uchun chet ildiz hosil bo’lishi mumkin, chunki bu ayniy tengliklarning
o’ng tomonlarining aniqlanish sohasi chapga qaraganda kengroqdir.
Teorema. Agarf(x)=g(x) (1) tenglamaning har ikkala qismini kvadratga
ko’tarilsa, berilgan tenglama uchun chet ildiz hosil bo’ladi, bu chet ildiz f(x)= − ¿
g(x) tenglamaning ildizidir.
Isboti. Agar (1) tenglamaning har ikkala tomoni kvadratga ko’tarilsa,
[f(x)]²=[g(x)]² yoki [f(x)]² − ¿
[g(x)]²=0 bu degan so’z [f(x) − ¿
g(x)][f(x)
+¿ g(x)]²=0
deganidir. Bunda quyidagi ikki hol bo’lishi mumkin: 1) agar f(x) − ¿
g(x)=0
bo’lsa, f(x)
+¿ g(x) ≠ 0 u holda f(x)=g(x) bo’ladi; 2) agar f(x)+g(x)=0 bo’lsa,f(x) − ¿
g(x) ≠
0 u holda g( х )=
− g ( х )bo’ladi. Demak, hosil bo’ladigan chet ildiz yoki
[f(x)]² − ¿
[g(x)]²=0 tenglamaning ildizi bo’ladi.
Misol. 4x=7 tenglama berilgan bo’lsin. Bu tenglamaning har ikkala
tomonini kvadratga ko’tarilsa, 16x²=49 bo’ladi. Bundan(16x² − ¿
49=0)=> =>(4x
− ¿
7)(4x+7)=0.
1) agar 4x − ¿
7=0 bo’lsa, 4x − ¿
7
≠ 0 bundan x= 7
4 =1 3
4 ;
2) agar 4x+7=0 bo’lsa, 4x + ¿
7 ≠
0 bundan x= − 7
4 = − ¿
1 3
4 ;
Bunda x = − ¿
1 3
4 chet ildizdir, haqiqatda ham 4 ∙ ( − 7
4 ) = 7
bundan -7=7, bu x= − ¿
1
3
4 yechim tenglamani qanoatlantirmaydi deganidir. Bu chet ildiz 4x=7
tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga ko’tarish natijasida hosil bo’ladi.
19](https://docx.uz/documents/28cecc78-ac1d-44ed-ba8d-097f9e28a077/page_19.png?v=1)
![Maktab matematika kursida irratsional tenglamalarni yechish quyidagi ikki usul
orqali amalga oshiriladi:
1) irratsional tenglamaning har ikkala tomonini bir xil darajaga ko’tarish;
2)yangi o’zgaruvchilar kiritish usuli.
Irratsional tenglamalarning ikkala tomonini bir xil darajaga ko’tarish usuli
quyidagi ketma-ketlik asosida amalga oshiriladi:
a) berilgan irratsional tenglama n√
f ( x )
= n√g(x) ko’rinishga keltiriladi;
b) bu tenglamaning ikkala tomoni n darajaga ko’tariladi;
d) hosil bo’lgan
f (x)=g(x) ratsional tenglama hosil bo’ladi;
e) natijada f
(x)=g(x) ratsional tenglama yechiladi va tekshirish orqali chet ildiz
aniqlanadi.
1-misol.
√ 3 x + 4
=x tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasini topiladi: x≥0 va 3x+4≥0, bundan x ≥
− 4
3 .
I usul. Har ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak, [(
√ 3 x + 4
)= x²]=> =>(3x + 4=x²).
Bundan x
² -3x-4=0 tenglamani hosil qilamiz. Uning yechimlari x =4 va x = - l , ₁ ₂
x = - l yechim
₃ √ 3 x + 4
=xtenglama uchun chet ildizdir, chunki u tenglamani
qanoatlantirmaydi.
II usul [(
√ 3 x + 4
)= x²] => (3x + 4=x²) =>{[x² − ( 3 x + 4 )
]=0}=>(x − √ 3 x + 4
)(x+
√
3 x + 4
)= 0.
1) Agarx −
√ 3 x + 4 = 0
bo’lsa,x+ √ 3 x + 4 ≠
0 bo’ladi,bundan x = √ 3 x + 4
berilgan
tenglama hosil bo’ladi, buning yechimi x = 4 bo’ladi.
2) Agar x+
√ 3 x + 4
=0 bo’lsa,x − √ 3 x + 4
≠ 0 bo’ladi, bundanx = − √ 3 x + 4
bo’ladi,
buning yechimi x = − ¿
l dir.
Demak,
√ 3 x + 4
=x tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga ko’tarish
natijasida x= − ¿
1 chet ildiz hosil bo’ladi, x=4 esa uning haqiqiy yechimi bo’ladi.
Irratsional tenglamalarni yangi o’zgaruvchilar kiritish usuli bilan ham yechiladi.
2-misol. 5
√(
x − 5 ) 2
− ¿ 5 √
x − 5 ¿ =6 tenglamani yeching.
Yechish.Bu tenglamaning aniqlanish sohasi (-
∞ ,∞ ). Agar 5√x−5 =y deb
20](https://docx.uz/documents/28cecc78-ac1d-44ed-ba8d-097f9e28a077/page_20.png?v=1)
![belgilasak, tenglama y²-y-6=0 ko’rinishga keladi. Bu tenglama у =3 va y =-2₁ ₂
yechimlarga ega. Bunga ko’ra x - 5=243; x=248.
5√x−5 =-2 tenglama aniqlanish
sohasiga tegishli bo’lgan ildizga ega. Demak, x =248, x =-27 tenglamaning
₁ ₂
yechimi bo’lar ekan.
3-misol.
√x+4+√x+20 =8 tenglamani yeching.
Yechish. 1. Aniqlanish sohasi topiladi. x+4≥0 va x+20≥0, bulardan x≥-4 va x≥-
20 bo’ladi. Bundan x≥-4 qiymat olinadi.
2. Berilgan tenglamaning har ikkala tomoni kvadratga ko’tariladi:
(
√ x + 4 + √ x + 20 ) ²
=(8)²
x+4+ 2
√ x + 4 ∙ √ x + 20
+x+20=64
2x+
√ x + 4 ∙ √ x + 20
=40
¿
)²=(20-x)²,
(
x + 4 )( x + 20 ) = 400 − 40 x + x 2
x 2
+24x+80=
400 − 40 x+x2 ,
64x=320, x=5.
Bu tenglamani yana quyidagi usul bilan ham yechish mumkin:
(√x+4+√x+20 )²
=(8)² ¿ =0] =>
[
(√ x + 4 + √ x + 20 ) − 8 ¿ ] [ ( (√ x + 4 + √ x + 20 ) ❑
+ 8 ) ] = 0 ¿ ¿ ❑
1)
√ x + 4 + √ x + 20
=8 buningyechimi х =5,
2)
√ x + 4 + √ x + 20
=-8, bu tenglama yechimga ega emas.
4-misol.
√ 2 x + 3
= a, parametrik ko’rinishdagi irratsional tenglamani yeching. Bu
yerda tenglamaning aniqlanish sohasiga nisbatan a>0 shartni qo’yish yetarli
bo’ladi. (
√2x+3 )²= a², 2 х +3=a², bundan 2x=a²-3 yoki x ¿ a ² − 3
2 yechim hosil
bo’ladi.
Tekshirish.
√2a²−3
2 +3 = a, √ a = ¿
a, a=a.
5-misol.
√x2+4x+4+√x2−10 x+25 =10 irratsional tenglamani yeching.
Yechish. Bu tenglamani
√ ( x + 2 ) ² + √ ( x − 5 ) ²
=10 yoki │x+2│+│x-5│=10
ko’rinishga keltirib, so’ngra yechiladi.
a) agar x < - 2 bo’lsa, − ¿
x − ¿
2 − ¿
x+5=10, bundan − ¿
2x=7 yoki x= − ¿
3,5;
21](https://docx.uz/documents/28cecc78-ac1d-44ed-ba8d-097f9e28a077/page_21.png?v=1)
Irratsional tenglamalarni o’qitish metodikasi